calculo concavidad.doc

DERIVACIN DE FUNCIONES TRASCENDENTES

DERIVACIN DE FUNCIONES TRASCENDENTES.

Funciones Exponencial y logartmica.

Ida y Vuelta

Analicemos las siguientes situaciones:

Al pararse una persona ante un espejo, Qu se espera que suceda?

Al lanzar una piedra verticalmente hacia arriba Qu se espera que suceda?Al hacer un prstamo en dinero a un amigo Qu se espera que suceda?Al jugar un partido de tenis y lanzar la pelota al adversario Qu se espera que suceda?Cuando dos funciones son inversas, sucede algo similar, a las actividades anteriores, si sta cumple con ciertas condiciones:

La funcin g se llama funcin inversa de la funcin f y se denota por , como vemos la funcin g invierte la correspondencia dada por la funcin f, esto siempre y cuando f sa una funcin uno a uno (biunvoca).Recordemos tambien que si una funcin continua es siempre creciente o siempre decreciente, indica que tiene funcin inversa.Una funcin expnencial est definida por y = , en base ala definicin de logaritmo natural se transforma en x = ln y . las funciones y ln y tiene el comportamiento de funciones inversas, si permutamos x y y de la ecuacin resulta , que se define como funcin logaritmica.Grficamente las funciones exponencial f(x) = y logaritmica quedan de la siguiente forma:

Anlogamente si la funcin exponencial tiene como base a = 10 en lugar de e, basndose en la definicin de logaritmo comn, se transforma en x = log y . las funciones a x y log y , tienen el comportamiento de funciones inversas y si permutamos x y y de la ecuacin x = log y , resulta y = log x , que se define como una funcin logartmica su grfica es idntica a la anterior haciendo notar que en lugar de f(x) = ex queda f(x) = ax y en lugar de g(x) = ln x queda .FRMULAS DE DERIVACIN PARA FUNCIONES LOGARTMICAS Y EXPONENCIALES.

Partiendo de la frmula para derivar la funcin ln V, deduciremos las dems frmulas:

EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS.

1) Calcular la derivada de la siguiente funcin logartmica

Solucin por frmula:

NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la funcin anterior aplicando propiedades de los logaritmos.

2) Calcular la derivada de la siguiente funcin exponencial

Solucin aplicando propiedades de los logaritmos:

NOTA: Actividad para el alumno:

Derivar la funcin anterior aplicando frmulas.

DERIVA LAS SIGUIENTES FUNCIONES:

Solucin:

HALLAR LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

FRMULAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

DEMOSTRACION DE FORMULAS TRASCENDENTES

=

=

=

=

=

=

1). Calcular la derivada de la siguiente funcin trigonomtrica directa

Solucin:

2). Calcular la derivada de la siguiente funcin trigonomtrica inversa

Solucin:

ACTIVIDAD PRA LOS ALUMNOS.

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:

1)

2)

3)

4)

5).

6).

7).

8).

9).

10).

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

SUBE Y BAJA

En la grfica tenemos el perfil de una pirmide de base cuadrada, la cual se va a escalar, sabiendo que cada escaln tiene con base 1.00 m y como altura 50 cm. Si una persona hace el recorrido iniciando en el punto A y terminando en el punto J, Cul es el avance y la altura respectiva en cada uno de los puntos intermedios B, C, D, E, F, G, H, e I?

A qu avance corresponde el punto donde la persona est a la altura mxima?.A qu avance corresponde el punto donde la persona empieza a bajar?.Cuando la persona ha avanzado 12.5 mts. A qu altura se encuentra?.Cuando la persona ha avanzado 18.5 mts. A qu altura se encuentra?.Ahora analizaremos el comportamiento de un punto a travs de la grfica de una funcin; como veremos, distintas y diversas funciones tienen un recorrido semejante al de la persona subiendo y bajando la pirmide.

Analicemos el comportamiento de las funciones:y = x

y y = -x ; en un intervalo (-3, 3)

y

xy

-3-3

-2-2

-1-1

00

11

22

33

y = x

y = -x

y = x y = -xxy

-33

-22

-11

00

1-1

2-2

3-3

x

xTABLA 1

TABLA 2 y GRFICA 1

Analizando la tabla 1 y la grfica 1, vemos que los valores de x crecen y los valores de y tambin crecen, por lo tanto la funcin y = x es CRECIENTE.En el caso de la tabla 2 y la grfica 1; vemos que los valores de x crecen y los valores de y decrecen, por lo tanto la funcin y = -x es DECRECIENTE.En ambos casos si se amplia el intervalo, las dos funciones siguen siendo CRECIENTE y DECRECIENTE, respectivamente.

FUNCIN CRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de x crecen y los valores de y tambin crecen.

FUNCIN DECRECIENTE.- Es aquella en la que los valores de x crecen y los valores de y decrecen.De una manera similar analicemos el valor de las funciones: y = x y y = x; en un intervalo igual.xy

-39

-24

-11

00

11

24

39

y

xy

-3-9

-2-4

-1-1

00

1-1

2-4

3-9

x

x

yTABLA 3

TABLA 4

GRFICA 2

La funcin ; es DECRECIENTE en ( -, 0) y CRECIENTE en (0, ).

La funcin ; es CRECIENTE en (-, 0) y DECRECIENTE en (0, ).

En el punto (0, 0), vemos que la pendiente de la tangente (para ambas funciones) es CERO, por lo tanto el punto (0, 0) es un punto crtico y el VALOR x = 0 es un valor crtico.Ahora analizaremos un intervalo creciente de la funcin y = x.

y

y = x

(+) yx

x x (+)GRFICA 3Sabemos que si x crece, y crece y los incrementos al pasar del punto A al punto B, (x y y) tendrn el mismo signo y las tangentes por dichos puntos (A y B) forman ngulos agudos con el eje x, por lo tanto la pendiente de las tangentes es positiva (grfica 3).

y

(-) y

xx (+)

GRFICA 4

De la misma manera en un intervalo decreciente, sabemos que si x crece, y decrece y los incrementos x y y al pasar de un punto A a un punto B tendrn signos opuestos y las tangentes por dichos puntos, forman ngulos obtusos con el eje x, por lo tanto su pendiente es negativa. (Grfica 4).

De lo anterior podemos afirmar que:Una funcin es CRECIENTE en un punto dado, si el valor de su primera derivada es POSITIVO.Una funcin es DECRECIENTE en un punto dado, si el valor de la primera derivada es NEGATIVO.

Regresemos a las funciones y = x y y = -x y sustituyendo valores de x donde sabemos de antemano que la funcin es CRECIENTE o DECRECIENTE como x = -1 y x = 1.Sea la funcin:

Sea la funcin:y = x

y = -x

y = 2x

y = -2x

six = -1

six = -1y = 2 (-1)

y = -2 (-1)

y = -2

y = +2como la y es negativa

como la y es positivay = x es decreciente en x = -1

y = -x es creciente en x = -1six = 1

six = 1y = 2 (1)

y =-2 (1)

y = 2

y = -2

como la y es positiva

como la y es negativay = x es creciente en x = 1

y = -x es decreciente en x = 1Lo cual podemos comprobar en la grfica N 2.En general:Una funcin es CRECIENTE en un intervalo, si para cualquier par de nmeros x1, x2 del intervalo, x1< x2, implica (x1) < (x2).Una funcin es DECRECIENTE en un intervalo, si para cualquier par de nmeros x1, x2 del intervalo, x1 < x2 implica (x1) > (x2).Veamos el siguiente ejemplo:Hallar los intervalos en que la funcin es creciente o decreciente:

1. Calcular

2. Igualando

Simplificando la expresin tenemos:

Resolviendo por factorizacin la expresin tenemos:

Valores crticos,,

Los puntos crticos representan el valor de x donde la funcin cambia de CRECIENTE a DECRECIENE o viceversa.De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de (-,1), (1,3) y de (3, +).Considerando un valor del intervalo (-,1) y lo sustituimos en tenemos:

Como ,

La funcin es CRECIENTE.Considerando un valor del intervalo (1,3) y lo sustituimos en tenemos:

Como ,

La funcin es DECRECIENTE.Considerando un valor del intervalo (3, +) y lo sustituimos en tenemos:

Como ,

La funcin es CRECIENTE.Al graficar podemos observar que la funcin crece de (-,1), decrece de (1,3) y crece de (3,+).

yxy

00

14

22

30

44

4

2 1 2 3 4 En las siguientes funciones, determinar los intervalos en los que la funcin es creciente o decreciente. Construir las grficas correspondientes.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Verifica si las funciones dadas son crecientes o decrecientes en los valores indicados

g)

a) x = 1b) x = 2c) x = 3/2

h)

a) x = 2b) x = - 2 c) x = 3

i)

a) x = 0b) x = - 3

j)

EMBED Equation.3

a) x = - 2 b) x = 0c) x = 2

Trazar las grfica correspondiente de las siguientes funciones en los intervalos sealados y comenta con tus compaeros de equipo el comportamiento de las curvas.a)

b)

c)

d)

MXIMOS Y MNIMOS RELATIVOS.MS ALTO, MAS BAJO!Algunas de las aplicaciones ms importantes e interesantes del clculo diferencial son aquellos problemas en los que se busca la optimizacin de las soluciones obtenidas, esto lleva inherente los mximos y mnimos, porque al optimizar un resultado, es en algunos casos necesario maximizar y en otros minimizar, por ejemplo en el procesamiento de un producto en una fbrica lo interesante es maximizar la produccin y minimizar costos, tiempos, y desperdicios en la fabricacin del producto. Con este criterio, en muchos problemas debemos primeramente hallar, a partir de los datos, la expresin matemtica del problema, es decir, la funcin a travs de la cual obtenemos los valores mximos o mnimos que den solucin al problema.Socializa tus respuestas de los siguientes problemas con tu equipo y tu facilitador.

Si un fabricante de camisas desea construir una caja abierta del mayor volumen posible para empacar su producto, dispone de hojas de cartn cuadradas de lado a.Tu qu haras para resolver el problema?.Cuntas cajas podras construir con una hoja de cartn cuadrada de lado a?.Si tienes diversas opciones, cul sera la que te da el volumen mximo?.De esa hoja de cartn cul ser el desperdicio al lograr el volumen mximo?.El desperdicio podra ser nulo?.Una hoja de papel debe contener 18 cm de texto impreso, los mrgenes superiores e inferiores deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Se piden las dimensiones de la hoja, para que el gasto de papel sea mnimo.Qu propones para resolver este problema?.Cul es la informacin de la que dispones?.Se puede establecer una funcin que nos de la solucin?.Problemas como los dos anteriores, que se resolvern ms adelante, consisten en obtener el mximo o el mnimo. En el primero se desea el volumen mximo, en el segundo, que el gasto de papel sea mnimo. Como este, existen gran variedad de problemas en los que se buscan maximizar o minimizar reas, volmenes, tiempos, costos, gastos, material, velocidades, etc.En este capitulo aprenders a calcular el mximo o el mnimo de una funcin y en el siguiente resolvers problemas de aplicacin como los dos planteados al inicio.Aplicando la derivada de una funcin, determinamos los intervalos en que la funcin es creciente o decreciente, ahora la utilizaremos para analizar los puntos en que la funcin cambia de creciente a decreciente o viceversa, generando los puntos mximos o mnimos de una funcin.Un mximo y un mnimo, no significa que sean el mayor o el menor valor de la funcin, por eso se especifica qu son mximos y mnimos locales o tambin mximos y mnimos relativos y no deben confundirse con los puntos cuya ordenada es la mayor o la menor de la grfica completa.Los valores de x donde existe un mximo o un mnimo relativo de la funcin, se les define como valores crticos y a los puntos correspondientes se les define como puntos crticos.En un mximo relativo, la funcin cambia de creciente a decreciente, es decir, la derivada cambia de un valor positivo a un valor negativo. (GRAFICA 1).En un mnimo relativo, la funcin cambia de decreciente a creciente, es decir, la derivada cambia de un valor negativo a un valor positivo: (GRAFICA 1).

y

MXIMO

ABSOLUTO

MXIMO

RELATIVO

m = 0

m (+)

m (-)

a

c

x

b 0

d

MNIMO

m (-)

m (+)

ABSOLUTO

m = 0

MNIMO RELATIVOGRFICA 1

Sea la funcin y = 2x 9x + 12x 3, analiza si tiene mximos y/o mnimos.Qu vas a hacer?, Conoces su derivada?, Conoces sus puntos crticos?, Sabes si es creciente o decreciente?, En qu intervalos?, Si hay un mximo, en qu punto se localiza?, Conoces su grfica?, La grfica de la funcin te ayudara a resolver el problema?, Conoces algn procedimiento para resolver el problema?.Con los conocimientos previos, escribe un plan de solucin para tu problema, ordenndolos segn prioridades.

Sea la funcin y = 2x - 9x + 12x 3; para obtener sus mximos y/o mnimos, aplicamos el criterio de la primera derivada:y = 2x - 9x + 12x 31 Calcular

y = 6x - 18 x + 122 Igualar

6x - 18x + 12 = 0Factorizando la expresin anterior e igualando a cero cada factor se obtienen los valores crticos.

(x-1) (x-2) = 0

Valores crticos x1 = 1,

x2 = 2De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de (-,1), (1, 2) y de (2, +).Analizando el valor crtico x1=1

Considerando un valor


tomndolo del intervalo (-,1)

tomndolo del intervalo (1, 2)

y lo sustituimos en tenemos:


Como

Como

La funcin es CRECIENTE.

La funcin es DECRECIENTE.

MXIMOLa funcin y = 2x - 9x + 12x 3 tiene un valor MXIMO para el valor crtico x=1.

Sustituyendo el valor crtico en la funcin, se obtiene el valor MXIMO de y = 2.

Analizando el valor crtico x2=2







Como

Como



MNIMO

La funcin y = 2x - 9x + 12x 3 tiene un valor MNIMO para el valor crtico x=2.

Sustituyendo el valor crtico en la funcin, se obtiene el valor MNIMO de y = 1.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MXIMO de la funcin, se encuentra en el punto (1, 2) y que el valor MNIMO de la misma, se encuentra en el punto (2,1).Encuentre los valores mximo y mnimo absoluto de la funcin .

1 Calcular

2 Igualar

Resolviendo la ecuacin resultante se obtiene el valor crtico x = 1.

De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de (-,1), y de (1, +).Analizando el valor crtico x1=1




tomado del intervalo (1, +)y lo sustituimos en tenemos:


Como

Como



MNIMO

La funcin tiene un valor MNIMO para el valor crtico x=1.


En base a lo anterior podemos concluir que el valor MNIMO de la funcin, se encuentra en el punto (1, 1).Examine la funcin y determine si tiene mximo o mnimo:

1 Calcular

2 Igualar


De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de (-,2), y de (2, +).Analizando el valor crtico x2=2




tomndolo del intervalo (2, +)y lo sustituimos en tenemos:


Como

Como



MNIMO


Sustituyendo el valor crtico en la funcin, se obtiene el valor MNIMO de y = -3.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MNIMO de la funcin, se encuentra en el punto (2, -3).

MXIMOS Y MNIMOS APLICANDO EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:1 Se obtiene la primera derivada de la funcin.

2 La primera derivada se iguala a cero y se calculan las races reales de la ecuacin resultante, que representan los valores crticos de la ecuacin.

3 Se obtiene la segunda derivada de la funcin.

4 Se sustituye en la segunda derivada, en el lugar de la variable, cada uno de los valores crticos obtenidos; si el valor resultante es positivo, la funcin tiene un MNIMO para el valor crtico que se est analizando; si el resultado es negativo, la funcin tiene un MXIMO para el valor crtico que se analiza, si el valor de la segunda derivada es cero, no podemos decir si existe mximo o mnimo, o posiblemente ni uno ni otro.

El procedimiento de la segunda derivada, no es aplicable, si la segunda derivada es igual a CERO o no existe, en tal caso se aplica el procedimiento de la primera derivada.

Para comprobar los ejemplos desarrollados con el criterio de la primera derivada, ahora los resolveremos con el criterio de la segunda derivada, haciendo notar que los pasos 1 y 2 de ambos criterios son iguales.

Ejemplo 1:Sea la funcin ; para obtener sus mximos y/o mnimos, aplicamos el criterio de la primera derivada:

1 Calcular

2 Igualar

Factorizando la expresin anterior e igualando a cero cada factor se obtienen los valores crticos.

(x-1) (x-2) = 0

Valores crticos x1 = 1,

x2 = 23 Calcular



Como

Como

La funcin tiene un MXIMO.

La funcin tiene un MNIMO.La funcin tiene un valor MXIMO para el valor crtico x=1.




En base a lo anterior podemos concluir que el valor MXIMO de la funcin, se encuentra en el punto (1, 2) y que el valor MNIMO de la misma, se encuentra en el punto (2,1).

Ejemplo 2.- Encuentre los valores mximo y/o mnimo absoluto de la funcin .

1 Calcular

2 Igualar


3 Calcular


Como

La funcin tiene un MNIMO.La funcin tiene un valor MNIMO para el valor crtico x=1.


En base a lo anterior podemos concluir que el valor MNIMO de la funcin, se encuentra en el punto (1, 1).

Ejemplo 3.- Examine la funcin y determine si tiene mximo o mnimo:

1 Calcular

2 Igualar


3 Calcular

Analizando el valor crtico x = 2

Como

La funcin tiene un MNIMO.


Sustituyendo el valor crtico en la funcin, se obtiene el valor MNIMO de y = -3.

En base a lo anterior podemos concluir que el valor MNIMO de la funcin, se encuentra en el punto (2, -3).

Examine si tienen mximo o mnimo las siguientes funciones:a)

f)

b)

g)

c)

h)

d)

e)

PLATOS, TAPAS, ANTENAS PARABLICAS, FAROS DE LUZ Y ANEXAS.

CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION.PLATOS, ANTENAS PARABLICAS, FAROS DE LUZ

Hasta este punto hemos manejado trminos como creciente, decreciente, mximo, mnimo, crtico; que desde el punto de vista matemtico hemos definido. Los trminos concavidad e inflexin se presentan ahora, y vamos a ver cmo se definen de acuerdo a un diccionario y compararlos con su definicin matemtica.

De un diccionario obtn la definicin de las siguientes palabras:Creciente:

Decreciente:

Mximo:

Mnimo:

Crtico:

Concavidad:

Inflexin:

Busca en un diccionario de sinnimos y antnimos las siguientes palabras:Creciente:

Decreciente:

Mximo:

Mnimo:

Crtico:

Concavidad:

Inflexin:

Deduce conclusiones de las actividades 1) y 2) y comntalas con tus compaeros.

Observe la curva definida por y = f (x) que se muestra en la grfica.

Y

C

A

B

X

Sabemos que en el punto A la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda de A es positiva y a la derecha es negativa, por lo tanto la curva en el punto A es cncava hacia abajo .

En el punto B, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda de A es negativa y a la derecha es positiva, por lo tanto la curva en el punto B es cncava hacia arriba + .

En el punto C, la pendiente de la tangente es m = 0, la pendiente de la tangente a la izquierda es positiva y a la derecha tambin es positiva, es decir no cambia de signo, slo cambia el sentido de concavidad, por lo tanto no existe ni mximo, mnimo, a este punto se le define como PUNTO DE INFLEXIN.Para calcular el sentido de concavidad de una funcin sigamos el proceso de la segunda derivada:

1Calcular la primera y segunda derivada de la funcin.

2Igualar la segunda derivada a cero y obtener las races (puntos crticos) de la ecuacin resultante.

3Analizamos la segunda derivada; si para un valor menor que la raz obtenemos un resultado NEGATIVO la curva es CNCAVA HACIA ABAJO4Si el resultado es POSITIVO, la curva es CNCAVA HACIA ARRIBA.

Dicho de otra manera:Si f (x) > 0, es condicin para que una curva sea CNCAVA HACIA ARRIBA +

Si f (x) < 0; es condicin para que una curva sea CNCAVA HACIA ABAJO

Para determinar los puntos de inflexin de una CURVA se sigue el mismo proceso anterior, slo que el punto tres tiene una variacin:Calcular la primera y segunda derivada de la funcin.

Igualar la segunda derivada a cero y obtener las races (punto crtico) de la ecuacin resultante.

Analizamos la segunda derivada. Si para un valor menor que la raz y para otro valor mayor que la raz cambia de signo al sustituir los valores en la segunda derivada, entonces hay punto de inflexin en el punto crtico analizado.

Ejemplo 1.-Calcula la concavidad de la funcin , y el punto de inflexin si existe.

1 Calcular

Calcular

2 Igualar

Resolviendo la expresin anterior se obtiene el valor crtico .

De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de , y de .Analizando el valor crtico



tomndolo del intervalo

tomndolo del intervalo



Como

Como

La curva es:

La curva es:

CNCAVA HACIA ABAJO.

CNCAVA HACIA ARRIBA.En base a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el valor crtico , la funcin tiene un punto de inflexin.Ejemplo 1.-Calcula la concavidad de la funcin , y el punto de inflexin si existe.

1 Calcular

Calcular

2 Igualar

Factorizando la expresin anterior e igualando a cero, se obtienen los valores crticos.

Valores crticos x1 = -1,

x2 = 1

De lo anterior podemos decir que la funcin cambia de (-,-1), (-1, 1) y de (1, +).Analizando el valor crtico x1= -1



tomndolo del intervalo (-,-1)

tomndolo del intervalo (-1, 1)y lo sustituimos en tenemos:


Como

Como

La curva es:

La curva es:

CNCAVA HACIA ARRIBA.

CNCAVA HACIA ABAJO.

Debido a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el valor crtico , la funcin tiene un punto de inflexin.

Analizando el valor crtico x2= 1



tomndolo del intervalo (-1, 1)

tomndolo del intervalo (1, +)



Como

Como

La curva es:

La curva es:

CNCAVA HACIA ABAJO.

CNCAVA HACIA ARRIBA.Debido a que la concavidad de la curva cambia, podemos concluir que para el valor crtico , la funcin tiene un punto de inflexin.

Calcular el sentido de concavidad y puntos de inflexin de las funciones siguientes, en los puntos que se indican.

a) y = x + 2x - 4x 2en x = -1, x = 0

Sol.

+

b) f (x) = x - x + 3

en x = - 3/5; x = 0; x = 2Sol. ;

+c) y = x - 6x + 9x + 2en x = - 1; x = 0

Sol. ;

Calcula en qu intervalos las curvas siguientes son cncavas hacia arriba o cncava hacia abajo.

d)

Sol.

, a la izquierda de x = 1

+, a la derecha de x = 1

e)

Sol.

+, a la izquierda de x = 0

, a la derecha de x = 0

f)

Sol.

, a la izquierda de x = 1

+, a la derecha dex = 1

Dominio Dominio

X X

Rango Rango

Y Y

Y = f (x) x = G (y)

Y es la imagen de x bajo la x es la imagen de Y bajo la funcin

Funcin f g

EMBED Excel.Chart.8 \s

EMBED Excel.Chart.8 \s

E

DF

C G

B H

I

J

A

(

ALTO

TOPES

x

_1107278969.unknown

_1107360393.unknown

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EXPONENCIAL

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EXPONENCIAL

GRAFICA EXPONENCIAL

Hoja2

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1

2

3

4

5

X

VALOR DE X

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GRFICA LOGARITMICA

Hoja1

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X

VALOR DE X

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GRFICA LOGARITMICA

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