Apuntes de Calculo Diferencial 2009

8/20/2019 Apuntes de Calculo Diferencial 2009

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Universidad Autónoma del Estado de México

Plantel “Ignacio Ramírez Calzada” Academia de Matemáticas

Núcleo de formación: Matemáticas

Apuntes de Cálculo Diferencialpara la asesoría en el área de matemáticas

M. en A. Bernabé Gustavo Quintana Galindo.

JUNIO 2009


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Apuntes de Cálculo Diferencial

M. en A. B. Gustavo Quintana Galindo Página 2

INDICE.

PRESENTACIÒN…………………………………………………………………………………………………… ...3LÍMITE DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………………..5

LÍMITES LATERALES……………………………………………………………………………………………….8

TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES…………………………………………………………..…10

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS…………………………………………………………………………………13

LÍMITES INFINITOS………………………………………………………………………………………..……..15

EL NÚMERO e ……………………………………………………………………………………………………….17

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN……………………………………………………………………………18

PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES……………….21

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO…………………………………………………………………………..23 INCREMENTOS………………………………………………………………………………………………………25

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………27

TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS………………………………………………………….29

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS………………………………….31

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS………………………………….33

DERIVADA DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS……………………………………………………………….35

DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES………………………………………………………37

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA…………………………………………….………………………………………39

DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN……………………………………………………………….41

DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS……………………………………………………………….42

ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA………………….…………..44

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………….46

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS……………………………………………..49

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN………………………………………………………………………………52

LA INTEGRAL INDEFINIDA………………………………………………………………………………………53

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN…………………………………………………………………………..54

FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN……………….………………………………………54

GLOSARIO……………………………………………………………………………………………………………..55

BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………………………………..57


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PRESENTACION

Los presentes Apuntes de Cálculo Diferencial pretenden apoyar los

objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando

conceptos y definiciones, así como ejercicios resueltos y proponiendo

al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a

tratar.

El alumno al hacer uso frecuente de estos apuntes encuentra un

apoyo académico, ya que los conceptos y ejemplos presentados le

permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los

ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas. Los

conceptos y definiciones que contiene y los ejercicios que resuelva le

proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la

materia de un modo más completo. Los apuntes contienen conceptos

y ejemplos de funciones, límites, derivadas y ecuaciones de las rectas

tangente y normal a una curva, así como aplicación de los

conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir

consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de

Formación de Matemáticas, por lo que estos apuntes se entregan a los

alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada

como parte de la clase o en el cubículo como asesoría disciplinaría.


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Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno sebusca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en elalumno y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico delas ciencias, lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.


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TEMA No. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.

El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales quedistinguen al cálculo de otras áreas de las matemáticas como el álgebra o lageometría. Debe advertirse al estudiante que la noción de límite no se llega adominar fácilmente. En efecto, es frecuentemente necesario para el principianteestudiar la definición muchas veces, mirándola desde varios puntos de vista, antesde que su significado se aclare. A pesar de la complejidad de la definición, es fáciladquirir intuición para los límites.

En el cálculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores f(x) deuna función f cuando está muy cerca de un número a , pero no esnecesariamente igual a a . De hecho, en muchos casos el número a no está en eldominio de f; esto es f(a) no está definido. Vagamente hablando, nos hacemos lasiguiente pregunta: ¿Si x se acerca más y más a a (pero x a ), f(x) se acercatambién cada vez más a algún número L ? Si la respuesta es sí decimos que ellímite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L. y escribimos

L x f a x

)(lim

Consideremos el caso de un físico que desea hacer mediciones de los efectos delvacío en un experimento, cuando la presión del aire es cero. Como es imposiblelograr un vacío perfecto en un laboratorio, una manera natural de abordar elproblema es medir dicha cantidad a presiones cada vez más pequeñas. Si alacercarse a cero la presión, las mediciones correspondientes se acercan a unnúmero L, entonces puede suponerse que la medición en el vació sería también L.Nótese que en este experimento la presión x nunca es igual a cero; sin embargolos equipos para hacer vació pueden lograr presiones muy cercanas a cero.

Consideremos que x tiende a 3,podemos considerar valores a la izquierda como2.5,2.8,2.9,2.99,2.999,2.9999 y desde la derecha 3.5,3.2,3.1,3.01,3.001.Nótese que a la variable x primero se le asignaron valores sucesivamente cada vezmás cercanos a 3 desde la izquierda y desde la derecha pero ninguno igual a 3


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Concepto de límite de una función:

El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia y =f (x) cuando la variable independiente x tiende a un valor fijo a , es el valor Lhacia el cual tiende la función, se denota:

L x f a x

)(lim

Que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L.

Significa que cuando x está muy cerca de a, la función y = f(x) está muy cercade L.

Para interpretar geométricamente el valor de un límite, se traza la gráfica de lafunción, entonces, cuando x está muy cerca de a , f(x) está muy cerca de L, porlo cual L es el valor del límite.

Ejemplo 1: Obtener el valor del límite

En este caso, como x tiende a uno, se le asignan a x valores sucesivamente cadavez más cercanos a uno, tanto menores como mayores y se valúa la función encada valor asignado a x. El valor hacia el cual tienda la función cuando x esté muycerca de 1 corresponderá al valor del límite.

En ambas tablas, cuando los valores de x se acercan cada vez más a 1, la funciónse acerca cada vez más a 3, por lo tanto el límite de la función es igual a 3, esto es

Resumen: El limite de una función es que cuando x está muy cerca de un valora localizado en el eje x, la función está muy cerca de un valor Llocalizado en el eje y.

X0.50.80.90.990.999

2.252.642.812.982.998

x1.51.21.11.011.001

4.253.443.213.02013.002001


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Ejercicios de reforzamiento:

Obtenga el valor de los siguientes límites, para lo cual construya una tabla endonde asigne valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x:

1.-

2.-

3.-


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TEMA No.2. LÍMITES LATERALES

El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cualtiende x , tanto con valores menores como con valores mayores, se denomina:cálculo de un límite mediante sus límites laterales.

El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos alvalor hacia el cual tiende x , pero menores, se denomina límite lateral por laizquierda.

El límite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x tiende a un valorfijo a , se representa por:

)(lim x f a x

El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos alvalor hacia el cual tiende x , pero mayores, se denomina límite lateral por laderecha.

El límite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x tiende a un valor

fijo a, se representa por:

)(lim x f a x

TEOREMA

El límite de una función existe, sí y sólo sí, sus límites laterales existen y soniguales, esto es:

)(lim x f a x existe )(lim)(lim x f x f a xa x

Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una función, primerose deben obtener sus límites laterales y a partir de ellos, se determina el valor dellímite.


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Ejemplo 1: Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función:cuando x tiende a 5.

En este caso se obtiene el límite de la función elaborando la siguiente tabla:

Cuando los valores de x se acercan cada vez mása 5 por la izquierda, la función se acerca cada vez más a0, esto es, cuando , entonces y por lotanto:

Resumen: El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor haciael cual tiende x , tanto con valores menores como con valores mayores, sedenomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales.


1.-Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función:cuando x tiende a 2.

2.- Calcular el límite de la siguiente función utilizando límites laterales:

si para xpara x 2

4.54.84.94.994.999

0.70710.44720.31620.10000.0316


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TEMA No.3. TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES

Una forma directa para calcular el límite de una función, es mediante el uso deteoremas, los más importantes son los siguientes:

1. k k a x

lim donde k es un número real (una constante)

2. a xa x

lim

3. kakxa x

lim donde k es un número real (una constante).

4. nna x

a xlim

5. )(lim)(lim)()(lim x g x f x g x f a xa xa x

donde f (x) y g (x) son funciones

reales.

6. )(lim)(lim)()(lim x g x f x g x f a xa xa x

7.)(lim

)(lim

)(

)(lim

x g

x f

x g

x f

a x

a x

a x donde g (x) 0.

8. na x

n

a x x f x f )(lim)(lim

Ejemplo 1: Calcular el valor del límite:

Utilizando el teorema 5

Utilizando los teoremas 3,4 y 1


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Simplificando, se tiene el valor del límite.

=1


Se pide obtener el límite de un producto de dos funciones, entonces

= (1+2) (3-1)

= 3


Aplicando el teorema número 7, se tiene:

Ejemplo 4: Determinar el valor del límite

Factorizando tanto el numerador como el denominador de la función, porque alcalcular directamente el límite resulta la indeterminación .

Simplificando

Aplicando los teoremas correspondientes:

= = = 0


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Ejemplo 5: Calcular el valor del límite:

La simplificación de una expresión que contiene radicales, se hace racionalizando.

En este caso se debe racionalizar el denominador de la función multiplicando ydividiendo por el conjugado del denominador que es: +1.

Efectuando la multiplicación, en el denominador se tienen dos binomiosconjugados, cuyo producto resulta una diferencia de cuadrados.

=

Simplificando: =

Aplicando los correspondientes teoremas de límites:

=2

Resumen: Para el cálculo directo de límites de funciones se aplican los teoremascorrespondientes aplicando los productos notables para factorización así comoprocesos como racionalización.


Calcular los siguientes límites.

1.-

2.-

3.-

4.-


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TEMA No.4. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS

En esta sección desarrollaremos fórmulas para los límites de las funcionestrigonométricas, supondremos que cada variable representa un número real o lamedida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como unafunción con ciertas variables.

El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientesteoremas, en los cuales se considera que u = f (x).

1. senu senulim

2. coscoslim uu

3. 0lim0

u senu

4. 1coslim0

uu

5. 1lim0 u

u sen

u

Con estos teoremas es posible obtener el límite de funciones trigonométricas.Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero seaplican identidades trigonométricas y después el teorema correspondiente.

Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen lassiguientes:

u

u senu

costan

u senu

u cos

cot

uu

cos

1sec

u senu

1csc


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Ejemplo 1: Calcular el límite trigonométrico

El argumento de la función es 3x, entonces haciendo u=3x, cuando x , tambièn3x , esto es, el lìmite se puede escribir

Aplicando el teorema se tiene el valor del límite, esto es:

Ejemplo 2: Calcular el valor del siguiente límite

En este tipo de límites se debe multiplicar por la fracción para igualar el

argumento con el denominador y aplicar el teorema correspondiente.

=

Factorizando y efectuando productos.

=

Aplicando el teorema

= (2) (8) (1)= 16

Resumen: En los límites de funciones trigonométricas directas supondremos quecada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo yen algunos casos se expresará como una función con ciertas variables.

Ejercicios de reforzamiento.

Calcular el valor de los siguientes límites.

1.-

2.-


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TEMA No. 5 LÍMITES INFINITOS

DEFINICIÓN 1

Se dice que x tiende a más infinito )( x si a partir de un número realcualquiera, éste y todos los que le siguen son mayores que cualquier número realdado.

DEFINICIÓN 2

Se dice que x tiende a menos infinito )( x si a partir de un número realcualquiera, éste y todos los que le siguen son menores que cualquier número realdado.

DEFINICIÓN 3

Se dice que x tiende a infinito )( x sí )( x ó )( x .

DEFINICIÓN 4

Se dice que una función tiende a más infinito cuando a x , si cada vez que a “x”se le asignan valores cercanos a a , los valores de la función son cada vez másgrandes que cualquier número real dado, esto es:

)(lim x f a x

DEFINICIÓN 5

Se dice que una función tiende a menos infinito cuando a x , si cuando a “x”se le asignan valores cada vez más cercanos a a , los valores de la función son

cada vez menores que cualquier número real dado, esto es:

)(lim x f a x


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DEFINICIÓN 6

Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a másinfinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez mayores, los valores de lafunción son cada vez más cercanos a un número real L, esto es:

L x f x

)(lim

DEFINICIÓN 7

Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a menosinfinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez menores, los valores de lafunción son cada vez más cercanos a un número real L, esto es:

L x f x

)(lim

Resumen: en los límites infinitos se considera que la variable x toma valores quetienden a + y hacia -


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TEMA No.6. EL NÚMERO e

El número e llamado Número de Euler, esta definido por los siguientes límites,donde u es una función de x

u

uue

1

0)1(lim ó 1(lim

ue

u

1 ) u

El conocimiento del número e es indispensable para el cálculo de límites,derivadas e integrales de funciones logarítmicas y exponenciales.El sistema de logaritmos que tiene como base al número e recibe el nombre desistema de logaritmos naturales o neperianos, se denota por ln. El número e tiende al valor 2.71828....

Resumen: el numero e se presenta como un límite, y este número es la base delos logaritmos naturales.


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TEMA No.7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.

Una función es continua cuando se representa su gráfica como una línea continuasin presentar interrupciones ni saltos. El concepto de continuidad debe de cumplircon algunos requisitos que se proponen en la siguiente definición.

DEFINICIÓN.

Se dice que una función real de variable real con regla de correspondencia

Y = f(x) , es continua en un punto de abscisa x = a, cuando cumple la condiciónsiguiente, llamada condición de continuidad.

)(lim)( x f a f a x

Cuando esta condición no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a.En este caso, el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de lafunción.

Existen tres tipos de discontinuidad de una función:

1. Discontinuidad evitable o restringible.2. Discontinuidad infinita o asintótica.3. Discontinuidad de salto.

Estos tipos de discontinuidad se pueden identificar de acuerdo a las siguientescaracterísticas:

1. Se presenta una discontinuidad evitable, cuando la función no está definidaen el punto, pero el límite en ese punto si existe.

2. Se presenta una discontinuidad infinita, cuando la función no está definida

en el punto y tampoco existe el límite en ese punto.3. Se presenta una discontinuidad de salto, cuando la función está definida enel punto, pero el límite en ese punto no existe.

La condición de continuidad, en algunos textos se analiza por separado, esto es,primero se valúa la función en la abscisa del punto indicado, después se calcula ellímite de la función y por último se comparan los dos valores obtenidos.


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Ejemplo 1: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, encaso de que la función sea discontinua, indicar a que tipo de discontinuidadpertenece.

en x= 3

Analizando la condición de continuidad por separado se tiene:

a) El cual pertenece a los nùmeros reales.b) El cual pertenece a los nùmeros reales.

Como f (3) =

Se cumple la condición de continuidad, entonces la función dada es continua en

x=3.Gráfica. Se trata de una función lineal de primer grado, tabulamos en el intervalo(-1,6).

Ejemplo 2: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, encaso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidadpertenece.

3x-1 si

4 si en x=2. Analizando la condición de continuidad:

a) Para evaluar f (2), se considera la parte de la función que está definida parax=2, esto es la función lineal. Entonces:

x-10123

456

-9-7-5-3-1

135


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b) Aquì por tratarse de una funciòn definida en dos secciones, ellìmite se calcula mediante los lìmites laterales.

El límite por la izquierda es:

El límite por la derecha es:

Como los límites laterales son diferentes, entonces el límite de la función f(x) noexiste, esto es:

Entonces f (2) por no existir límite.

Por lo tanto la función f(x) es discontinua en x=2 porque no se cumple la condiciónde continuidad. Se presenta una discontinuidad de salto. Se deja al alumno laelaboración de la gráfica.

Resumen: una función se considera continua cuando se representa su gráficacomo una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos.


Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trace lagráfica, en caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de

discontinuidad pertenece.

1.- en x=3

2.- en x=


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TEMA No. 8. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.

En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la forma

)(

)(

x g

x f y , donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales, los puntos en los cuales

la función g(x) es igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la divisiónentre cero no está definida.

Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una funciónalgebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero eldenominador.

Ejemplo 1: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función:

Igualando con cero el denominador

Resolviendo la ecuación por factorización:

Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=2.

Calculando el límite de la función en estos dos puntosa)

Para x=0

=

=


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La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,- ) porque lafunciòn no esta definida en x=0, pero su límite en ese punto si existe.

b)

Para el segundo valor x=2, se tiene

=No existe el lìmite.

Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisax=2. La gráfica de la función es:

Resumen: Los puntos de discontinuidad son aquellos donde la gráfica presentaalguna asíntota o una región donde no existe la curva de una manera continua.


Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica eindique el tipo de discontinuidad que se presenta.

1.-

2.-


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TEMA No. 9. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.

Si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, es continua sobreel intervalo. Si una función no es continua en a , se dice que es discontinua o quetiene una discontinuidad en a.

DEFINICIÓN 1.

Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) , escontinua en el intervalo ( a, b ), sí y sólo sí es continua en todos los puntos conabscisa dada por los números comprendidos dentro del intervalo abierto ( a, b )Lo cual implica que no tiene puntos de discontinuidad en todas las abscisas de lospuntos que pertenecen a dicho intervalo.

DEFINICIÓN 2.

Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) , escontinua en el intervalo ba, , sí y sólo sí cumple con las siguientes condiciones.

1.-Que f(x) no tenga puntos de discontinuidad en (a, b).

2.-Que )()(lim a f x f a x

3.-Que )()(lim b f x f b x

Ejemplo 1: Analice la continuidad de la función en elintervalo y trace la gràfica.

Analizando las tres condiciones de continuidad para un intervalo cerrado se tiene:

1.- En el intervalo abierto la funciòn es continua, puesto que existe paratodos los valores del intervalo, esto es, la función no presenta puntos dediscontinuidad en el intervalo abierto .


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2.-

Como Cumple con la segunda condiciòn decontinuidad.

3.- =0

Como Cumple con la tercera condiciòn de continuidad.

Por lo tanto la función es continua en el intervalo cerrado .

Resumen: si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, se diceque es continua sobre el intervalo.


Analice la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo indicado y trace lagráfica.

1.- en

2.- en


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TEMA No. 10. INCREMENTOS.

INCREMENTO DE UNA VARIABLE.

Si a la variable independiente x se le asigna un valor inicial x 1 , y después unvalor final x 2 , entonces, se llama incremento de la variable x a la diferencia delvalor final con el valor inicial y se denota por x (se lee: delta x ). Esto es:

12 x x x

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN.

Dada una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) , si xvaria de x1 a x2 entonces al valor de la función en x1 se llama valor inicial de lafunción f(x1) y al valor de la función en x2 se llama valor final de la funciónf(x2).

Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con el valorinicial y se denota por )( x f . Esto es:

)()()( 12 x f x f x f

En general para cualquier x que pertenece al dominio de la función, se considera:

)()()( x f x x f x f

Ejemplo 1: Determinar el cociente

Para la siguiente función:

El incremento de la función se obtiene con: , entonces


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Dividiendo entre y simplificando, se tiene el cociente de incrementos

Resumen: si a la variable x se le hace un incremento entonces la función f(x)presenta un incremento proporcional al realizado en el eje x.


Determine el cociente para las siguientes funciones:

1.-

2.-


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TEMA No 11. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en lasmatemáticas. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementalestanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades.

DEFINICIÓN.

La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límitedel cociente del incremento de la función entre el incremento de la variableindependiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero,esto es:

Derivada de x

x f x f

x

)(lim)(

0

También la derivada de una función se expresa como:

Derivada de x

x f x x f x f x

)()(lim)(0

A efecto de simplificar la notación, es común representar a x mediante la letrah , con lo cual se tiene:

Derivada deh

x f h x f x f

h

)()(lim)(

0

NOTACIÓN.

La derivada de una función real de variable real con regla de correspondencia)( x f y se denota de las siguientes seis formas:

)( x f D x , y D x , )(' x f , Y’ , dx xdf )(

, dxdy


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La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamenterepresenta la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es

)( x f Dm xT

Ejemplo 1: Obtener la derivada de la siguiente función: Aplicando la definición de derivada:

Resulta

Simplificando:

Realizando la división

Finalmente, calculando el límite cuando se tiene la derivada de la función

Resumen: La derivada de una función real de variable real continua, se obtienecomo el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de lavariable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende acero.


Utilizando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones.

1.-

2.-


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TEMA No. 12. TEOREMAS PARA EL CÀLCULO DE DERIVADAS.

Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivadade una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se

obtienen a partir de la definición.

1.- 0k D x donde k es un número real (Constante).

2.- 1 x D x

3.- k kx D x donde k es un número real (Constante).

4.-1nn

x nx x D donde n R .

Sí f (x) y g (x) son dos funciones reales de variable real continuas:

Sí f(x) y g(x) son dos funciones continuas, se tienen los siguientes teoremaspara el cálculo de derivadas.

6. Derivada de un producto.

)()()()()()( x f D x g x g D x f x g x f D x x x

7. Derivada de un cociente.

2)(

)()()()(

)(

)(

x g

x g D x f x f D x g

x g

x f D

x x

x donde g (x) 0

8. Derivada de una función elevada a una potencia.

)()()( 1 x f D x f n x f D xnn

x

Este teorema generalmente se expresa como :

u Dunu D xnn

x

1 donde u es una función de x.


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Ejemplo 1: Obtenga la derivada de la función

Aplicando los teoremas correspondientes

Ejemplo 2: Obtenga la derivada de

Transformando la función a la forma de potencia

Aplicando teoremas y simplificando

Resumen: para obtener la derivada de una función algebraica de manera directa seaplican los teoremas respectivos, sin necesidad de desarrollar la definición de derivada.


Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1.-

2.-

3.-


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TEMA No. 13. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASDIRECTAS.

Hemos descrito una función algebraica y expresábamos que una función que no esalgebraica es llamada función trascendente. En esta parte estudiaremos el cálculode aquellas funciones trascendentes comúnmente llamadas funcionestrascendentes elementales. Estas incluyen las funciones trigonométricas, lastrigonométricas inversas, las logarítmicas y las exponenciales

La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando lossiguientes teoremas:

Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x)

1. u Duu sen D x x cos

2. u Du senu D x x cos

3. u Duu D x x2sectan

4. u Duu D x x2csccot

5. u Duuu D x x tansecsec

6. u Duuu D x x cotcsccsc

Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función

Considerando u= y que la derivada es de la forma, entonces

Calculando la derivada indicada y reordenando los términos, se tiene la derivadade la función.


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Resumen: Para obtener la derivada directamente de las funciones trigonométricasse aplican los teoremas respectivos haciendo la consideración del valor que tomala función u.


Obtenga la derivada de las siguientes funciones:

1.-

2.-

3.-


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TEMA No. 14. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS.

Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican lossiguientes teoremas.

Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x).

1. u Du

u senarc D x x21

1

2. u Du

uarc D x x 21

1cos

3. u Du

uarc D x x 21

1tan

4. u Du

uarc D x x 21

1cot

5. u Duu

uarc D x x1

1sec

2

6. u Duu

uarc D x x1

1csc

2

Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función

Si u= y utilizando el teorema se tiene

Derivando la función indicada, se tiene la derivada de la función.


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Resumen: para obtener la derivada de las funciones trigonométricas inversas seaplican los teoremas correspondientes haciendo las consideraciones de los valoresque toma la función u.


Derive las siguientes funciones:

1.-

2.-

3.-

TEMA No. 15. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS.


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Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremassiguientes:

Considerando que u es una función continua de x, esto es u = f (x).

1. u Deu

u D xaa x log1

log

2. u D

u

u D x x1

ln

Ejemplo1: Calcule la derivada de la función

Considerando u=

Aplicando el teorema se tiene:

Calculando la derivada indicada, se tiene la derivada de la función.

Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función

Considerando u=

Aplicando el teorema y simplificando, se tiene:

), calculando la derivada indicada.

= =


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Resumen: las funciones logarítmicas que consideran al logaritmo vulgar y allogaritmo natural se pueden derivar aplicando los teoremas correspondientes yconsiderando los valores que toma la función u.


Calcule la derivada de las siguientes funciones:

1.-

2.-

3.-


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TEMA No. 16. DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.

Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los siguientesteoremas.

Considerando que u es una función continua de x, esto es, u = f (x) .

1.

u Daaa D xuu

x ln donde a es una constante.

2.

u Dee D xuu

x

Ejemplo 1: Obtener la derivada de la funciónConsiderando u=

Aplicando el teorema , se tiene:

Calculando la derivada indicada

Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función:

Ejemplo 2: Calcule la derivada de la funciónConsiderando u= sen 3x

Aplicando el teorema , se tiene:

Calculando la derivada indicada

Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función


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Resumen: las funciones exponenciales en las cuales una constante o el número eson elevadas a una potencia que es una función de la variable independiente xtienen su derivada, la cual se obtiene mediante la aplicación de sus respectivasformulas.


Calcule la derivada de las siguientes funciones:1.-

2.-


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TEMA No. 17. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.

Encontrar la derivada de una expresión que es un producto, un cociente o unapotencia resulta más fácil si se usan logaritmos y sus propiedades para derivar.

Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de unafunción elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para elcálculo de derivadas.

El método de derivación logarítmica consiste en lo siguiente:1. Se iguala la función con y.

2. Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad.

3. Se aplican las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión.

4. Se derivan con respecto a la variable independiente ambos lados de laigualdad.

5. Se despeja Dxy, que es la derivada que se está calculando.

6.

Se substituye la función y = f(x) en el segundo miembro de la igualdad.

7. Se efectúan operaciones en el segundo miembro de la igualdad y se realizanlas simplificaciones correspondientes, obteniéndose la derivada de la funcióndada.

Las propiedades de los logaritmos que se utilizan en este proceso son:

1.- ln AB= ln A+ln B

2.-

3.-


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Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función

Igualando la función con

Aplicando el logaritmo natural

Aplicando la propiedad de los logaritmos:

Derivando con respecto a los dos miembros de la igualdad

Despejando

Sustituyendo

Efectuando la multiplicación, se tiene la derivada de la función

Resumen: la derivación logarítmica es un proceso que principalmente se utilizapara calcular la derivada de una función elevada a otra función aplicando laspropiedades de los logaritmos.


Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de lassiguientes funciones.

1.-

2.-


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TEMA No.18. DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN.

Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultadouna nueva función, la cual se puede derivar nuevamente.

A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y sedenota por:

)(2

x f D x

y D x2

2

2 )(

dx

x f d

2

2

dx

yd

f ‘’(x)

Análogamente, la derivada de la segunda derivada, se llama tercera derivada de lafunción y se denota por Dx3f(x) , etcétera.

Las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de ordensuperior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria.

Ejemplo 1: Obtener la cuarta derivada de la función:

La primera derivada de la función es:

La segunda derivada

La tercera derivada

Finalmente la cuarta derivada

Resumen: las derivadas sucesivas de una función se obtienen derivando a la

primera derivada, a la segunda, a la tercera y así sucesivamente hasta obtener laderivada deseada.


1.- Halle la segunda derivada de la siguiente función

2.- Obtenga la quinta derivada de la función


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TEMA No. 19. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.

La mayoría de las funciones que hemos considerado han estado especificadasmediante una fórmula para f(x). Para tales funciones la derivada se obtiene poraplicación directa de los teoremas apropiados sobre derivadas.

Una función real de variable real es implícita cuando su regla de correspondencia

es de la forma f (x, y) = 0 , esto es, cuando ninguna variable está despejada entérminos de la otra.

La derivada de una función implícita de la forma f (x, y) =0 se puede determinarcon respecto a la variable independiente x o con respecto a la variabledependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita.

En el presente texto sólo se describe el procedimiento para obtener mediantederivación implícita, la derivada con respecto a la variable independiente x , en lacual, se deriva la regla de correspondencia con respecto a x , teniendo en cuentaque y es la variable dependiente y que Dxy = y’ es la derivada buscada.

En general, para obtener la derivada implícita con respecto a x de una función0, y x f , se aplica el siguiente procedimiento:

1. Se derivan todos los términos de la función con respecto a x.

2. Se efectúan las operaciones indicadas.

3. Utilizando las propiedades de la igualdad, se transforma la ecuación en otraequivalente de tal manera que en el primer miembro se tengan los términos

que contengan a y’. 4. Se factoriza y ‘.

5. Se despeja y ‘, que es la derivada que se desea obtener.


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Ejemplo 1: Derivar implícitamente con respecto a x la función

Derivando con respecto

Calculando las derivadas que aparecen indicadas

Para despejar y’ primero se aplica la propiedad distributiva y después se agrupanen el primer miembro lo términos que contienen a la derivada de y

Factorizando la derivada de y

Finalmente, despejando y’ se tiene la derivada de la función con respecto a x,esto es:

Resumen: la derivación implícita se aplica para aquellas funciones que sepresentan de manera implícita es decir que están dadas de la forma f(x, y)=0


Derive con respecto a x las siguientes funciones

1.-

2.-


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TEMA No. 20. ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNACURVA.

Una de las aplicaciones de la derivada, que tienen una utilidad inmediata, y que seapoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una funciónreal de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la rectatangente y normal en un punto determinado de la curva.

Si una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) escontinua y tiene derivada en x = x 0 , esto es, f ‘(x 0 ) R , entonces, la función

f(x) tienen una recta tangente en el punto ( x 0 ,f(x 0 ) ) , cuya pendiente esm=f’(x 0 ) y su ecuación en la forma punto pendiente es:

))((')( 000 x x x f x f y

Una recta normal a la curva en un punto dado, es la recta perpendicular a la rectatangente en ese mismo punto denominado punto de tangencia.

Es necesario recordar que si m 1 es la pendiente de una recta y m 2 la pendiente

de otra recta perpendicular a la primera, entonces se cumple que 121mm ,conocida como condición de perpendicularidad.

Por lo tanto, la recta normal a la curva en el punto de tangencia (x 0 , f(x 0 ) ) con

pendiente)('

1

0 x f mn , tiene por ecuación:

)()('

1)( 0

0

0 x x x f

x f y

Ejemplo 1: Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a la curvaen el punto de abscisa x=1.

La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=1 en la ecuaciónde la curva.


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Entonces el punto de tangencia es P (1,3)

La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función enla abscisa del punto de tangencia.La derivada de la función es:

El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:

La ecuación de la recta tangente es:

Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta tangente ala curva en el punto P (1,3).

La ecuación de la recta normal es:

Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta normal a lacurva en el punto P (1,3).

Resumen: Una de las aplicaciones de la derivada, consiste en la obtención de la

ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva, asícomo de la pendiente de ambas rectas con lo cual se puede trazar la gráfica.


1.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva conángulo de inclinación de 135º.

2.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva quetiene pendiente m=5.


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TEMA No. 21. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.

Función creciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto(a, b), se dice que es creciente en ese intervalo, sí y sólo sí:

)()( 21 x f x f para 21 x x definidos en el intervalo.

Función decreciente: una función real de variable real continua en el intervalo

abierto (a, b), se dice que es decreciente en ese intervalo, sí y sólo sí:

)()( 21 x f x f para 21 x x definidos en el intervalo.

Punto máximo de una función: el punto máximo de una función, es el punto en elcual la función cambia de creciente a decreciente.

Punto mínimo de una función: el punto mínimo de una función, es el punto en elcual la función cambia de decreciente a creciente.

Para determinar los puntos máximos y mínimos, de una función, así como losintervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el siguiente procedimiento:

1. Se obtiene la derivada de la función.

2. Se iguala con cero la derivada de la función.

3. Se resuelve la ecuación 0)(' x f .

La solución de esta ecuación corresponde a las abscisas de los puntos llamadospuntos críticos, que pueden ser los puntos máximos o mínimos, aunque no

necesariamente.

4. Se obtiene la segunda derivada de la función.

5. Se valúa la segunda derivada de la función en cada uno de los punto críticos

,0 x Y f (x) tiene un máximo en x0, sí f’’(x 0 ) < 0.


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)( x f tiene un mínimo en x0 , sí f’’(x 0 ) > 0.

6.

Se obtiene la ordenada de los puntos máximos y mínimos sustituyendo elvalor de x0 en la función original.

7. Se traza la gráfica de la función.

8. Se establecen los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Ejemplo 1: Obtener los puntos máximos y mínimos de la función

Así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente, trazar también lagráfica.Derivando la función

Igualando con cero la primera derivada

Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa del punto crítico

Calculando la segunda derivada de la función

Valuando la segunda derivada de la función en los puntos críticos

X-2 6(-2)=-122 6(2)=12

Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de su ordenada

-2 Se tiene un máximo en (-2,18)2 Se tiene un mínimo en (2,-14)

A partir de la gráfica, se determinan los intervalos donde la función es creciente ydecreciente.


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La función es creciente en:La función es decreciente en:

Se propone al alumno la elaboración de la gráfica.

Resumen: mediante la aplicación de derivadas es posible obtener la abscisa delos puntos máximos y mínimos de la gráfica de una función, así como lascoordenadas de estos puntos. También se obtienen los intervalos donde escreciente y decreciente.


Trazar la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos ymínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

1.-

2.-


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TEMA No. 22. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

La teoría que desarrollamos para encontrar los valores extremos de funcionespuede aplicarse en algunos problemas prácticos. Estos problemas puedendescribirse oralmente o enunciarse por medio de palabras escritas como se haceen los libros de texto. Para resolverlos, es necesario traducir los enunciadosverbales al lenguaje de las matemáticas introduciendo para ello fórmulas,

funciones y ecuaciones. Como los tipos de aplicaciones son muchos y muyvariados, es difícil dar reglas específicas para hallar las soluciones.

Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o unmínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento.

La aplicación principal se presenta en problemas de optimización, en los cuales sepide obtener uno o varios valores máximos o mínimos.

No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos losproblemas de este tipo, pero se recomienda realizar lo siguiente:

1.

Leer varias veces el problema hasta entenderlo totalmente. Aquí se debenidentificar tres elementos:

- Los datos del problema.- Las condiciones o restricciones del problema.- Lo que se pide obtener en el problema.

2. Asignar las variables con las cuales se planteará y resolverá el problema, deser posible realizar un dibujo lo más apegado posible al problema.

3. Establecer la función objetivo en términos de las variables propuestas. Estaes la función que se debe maximizar o minimizar según corresponda. Aquí lafunción objetivo puede ser una función con varias variables.

4. Establecer una ecuación para cada una de las condiciones o restriccionesdel problema, esto es, transformar el lenguaje común a lenguaje algebraico.


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5. Despejar una variable en cada una de las ecuaciones y sustituirla en lafunción objetivo de tal manera que se tenga una función con una solavariable.

6. Determinar los valores máximos o mínimos de la función según

corresponda.

7. Con los valores obtenidos, establecer las conclusiones del problema.

8. Si es posible, con los resultados obtenidos, realizar una comprobación con elenunciado del problema.

Ejemplo 1: Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir deuna pieza rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortandoun cuadrado de cada esquina y doblando sus lados. Encuentre el lado delcuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo.

Comenzamos por considerar el cartón de 21 cm de largo por 16 cm de ancho endonde usamos la letra x para denotar la longitud del lado del cuadrado que deberecortarse en cada esquina. Nuestro objetivo es lograr que la caja así construidatenga el máximo volumen posible.

El volumen V de la caja esta dado por

Esta ecuación expresa a V como una función de x. Derivando con respecto a xobtenemos

Por lo tanto los números críticos posibles son y 3, pero como se encuentrafuera del dominio de x, el único número crítico es 3.

La segunda derivada de V está dado por

Sustituyendo 3 en lugar de x,


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Y aplicando el criterio de la segunda derivada, vemos que V tiene un máximo localen x=3. Por lo tanto para encontrar una caja con volumen máximo, debenrecortarse cuadrados de tres centímetros de lado de cada esquina del cartón.

Resumen: problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un

mínimo, pueden resolverse con la aplicación de la teoría de máximos y mínimos,principalmente en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno ovarios valores máximos o mínimos.


1.- Una empresa desea fabricar recipientes cilíndricos sin tapa con una capacidadde 6 litros. ¿Que dimensiones deben tener para que se utilice la menor cantidad dematerial en su fabricación?

2.- Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por laecuación , donde h es la altura en metros y t el tiempo ensegundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta.


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TEMA No 23. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.

Considérese una función real de variable real continua, con regla decorrespondencia ).( x f y

La diferencial de la variable independiente x se denota por dx y es igual a :

xdx

Donde x es el incremento de la variable independiente.

La diferencial de la variable dependiente o función y, se denota por dy o df(x) yse define como:

dx x f dy )('

Esto es, la diferencial de una función, es igual a la derivada de la funciónmultiplicada por dx .

1.

d ( k ) = 0

2.

d ( x ) = d x

3. d ( k x ) = k d x

4.

d xd xn x nn 1

Sí u y v son dos funciones reales de variable real

continuas :

5.- dxv Du Dvud x x )()(

6.- dxu Dvv Duvud x x )()(

7.-2v

vuDu Dv

v

ud x x dx donde v 0

8.- dxu Dunud xnn 1)(


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TEMA No. 24. LA INTEGRAL INDEFINIDA.

TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS

1. c xdx

2. ckxdxk donde k es un número real (constante).

3. dx x f k dx x f k )()(

donde k es un número real (constante).

4. dx x g dx x f dx x g x f )()()()( c x x

dxdx x ln1

TEMA No. 25. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.

Para calcular integrales utilizando este método, se utilizan los dos teoremassiguientes:

1. cun

duu nn 11

1

donde n R y n 1

2. cuu

duln


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FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.

Las principales fórmulas para calcular integrales indefinidas son:

1. cuduu sen cos

2. cu senduucos

3. cuduu seclntan

4. cu senduu lncot

5. cuuduu tanseclnsec

6. cuuduu cotcsclncsc

7. cuduu tansec 2

8. cuduu cotcsc 2

9. cuduuu sectansec

10. cuduuu csccotcsc

11. ca

adua

uu

ln

12. cedue uu

13. ca

u senarc

ua

du22

14. ca

uarc

aua

dutan

122

15. ca

uarc

aauu

dusec

122


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GLOSARIO.

Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición de un puntoen el plano.

Álgebra. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y generalizar lascuestiones relativas a los números. Esto se consigue utilizando letras para designarlos números que se buscan; las reglas operacionales se eligieron para quesiguieran el mismo patrón que en aritmética ordinaria con el empleo generalizadodel número negativo.

Amplitud. De un intervalo (a, b)

Aproximación. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto, pero losuficientemente cercano al real para considerarse suficiente.

Asíntota. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo auna curva, sin llegar a encontrarla nunca.

Cálculo Diferencial. Rama de las matemáticas que trata de las unidades decambio en las cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideransolamente los incrementos en las cantidades variables; se antepone a ellas elsímbolo “d”, lo que significa un incremento.

Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que determina la

distancia que un punto guarda en relación con los ejes de coordenadas rectilíneaso cartesianas. La x se define como la abscisa y es la distancia ortogonal que dichopunto guarda con el eje de las Y, y la coordenada “y” representa la distanciaortogonal que el punto guarda con respecto al eje X.

Curva. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección y nocontiene ninguna posición de línea recta. Es el lugar geométrico de las posicionessucesivas que ocupa un punto que se traslada con arreglo a una determinada ley;por lo tanto, es una figura geométrica determinada por un sistema de coordenadasy la expresión gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función deotra u otras, de cuya definición se desprende que una recta es un caso particularde curva.

Derivación. Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función.

Discontinuo. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente.


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Función, derivada de una. Es la tendencia de una función al acercamiento a unvalor dado de la variable independiente. Existen varias fórmulas para derivar.

Funciones implícitas. Son implícitas cuando su dependencia con la variableindependiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta, como es:

, en este caso “y” es una función implícita de x.

Funciones, valores críticos de las. Se llaman valores críticos a los valores enlos que una función encuentra un máximo, un mínimo o un punto de inflexión,éstos se localizan derivando la función e igualando a cero. Los valores de x quesatisfacen a f’(x) se llaman valores críticos.

Límite de una función. Es el valor al que tiende el resultado de la operacióncuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como es decir que el límitede f(x) cuando x tiende a “a” sea k.

Máximo. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad variable entreciertos límites.

Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden representar porexpresiones algebraicas, porque intervienen en ellas logaritmos, funcionestrigonométricas o ecuaciones en las que el exponente es la variable.

Variable dependiente. Magnitud que en una relación o función depende delvalor que se le asigne a otras variables.

Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para obtener suvalor.


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BIBLIOGRAFIA.

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Apuntes de Calculo Diferencial 2009

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