Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de orden superior

Muchos de los problemas de la física como el movimiento de un sistema de masas unidos a resortes, como también algunos otros problemas prominentes de la ingeniería, etc. incluyen las ecuaciones diferenciales de orden superior para representar el estado de tal sistema.

Para tú asombro, incluso las actividades deportivas como el paracaidismo incluyen los conceptos de las ecuaciones diferenciales de orden superior para describir el movimiento de un cuerpo en el aire, su velocidad, aceleración, etc. Algunos de los ejemplos prominentes que toman en cuenta las ecuaciones diferenciales de orden superior son los siguientes.

1. Paracaidismo: Es uno de los deportes de aventura más famosos y reconocido en todo el mundo. Pero muy pocas personas son conscientes de que incluye los conceptos de ecuaciones diferenciales con el fin de rastrear los objetos volando en el aire. Es muy importante hacer esto, porque que la velocidad del objeto debe estar dentro de los límites especificados mientras se aproxima al suelo. Para ello se presta especial atención a la velocidad dentro del tiempo de proyección para un aterrizaje seguro.

Velocidad, aceleración y posición son las cantidades principales que demuestran el movimiento de un cuerpo. Desde el principio, la física ha demostrado que la aceleración es el diferencial de la velocidad respecto al tiempo y que la velocidad que es el diferencial de la posición con respecto al tiempo. Esto implica que si de alguna manera nos las arreglamos para obtener una de las cantidades, entonces también podemos obtener las otras dos cantidades.

La segunda ley de Newton del movimiento nos da la relación, F¬net¬ = m.a, reescribiendo esta relación de la forma siguiente,

Esta expresión dada es una ecuación diferencial de segundo orden para la variable s, la cual es la posición de la partícula.

2. Movimiento armónico simple: Sea un cuerpo cuya masa m1 yace sobre una mesa. La mesa está libre de fricción. El cuerpo está conectado a una superficie estática con la ayuda de un resorte. Este resorte está en una posición sin estirar. La constante elástica del resorte es k1. La situación anterior puede ilustrarse como,

Aquí O1 es la posición inicial del cuerpo. La masa del cuerpo puede ser cambiada de la posición de equilibrio, mediante mover el cuerpo en cualquier dirección y luego soltarlo. Un ejemplo de ello es,

Esto haría que el bloque oscilara en torno a la posición inicial debido a que el resorte ejerce una cierta cantidad de fuerza sobre el cuerpo para mantenerlo en movimiento. Este tipo de oscilación que es llamado movimiento armónico simple.

La ley de Hook nos da una relación entre la cantidad de fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo y la distancia desde la posición de equilibrio. Esta fórmula se expresa como,

Ahora, aplicando la segunda ley del movimiento de Newton para el sistema anterior obtenemos,

O reescribiéndola obtenemos la relación,

La expresión anterior es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes cuya solución general puede darse como,

Por consiguiente, hemos obtenido el desplazamiento del cuerpo desde la posición de equilibrio y por lo tanto, es posibleobtener las otras cantidades.