108929202 Ecuaciones Diferenciales Con Aplicaciones de Modelado

Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.

Revisado y complementado: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede UIS-Socorro

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de

modelado. 1. Establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada.

Determine si la ecuación es lineal o no, comparando con la

siguiente ecuación:

La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer

grado.

Todos los coeficientes están en función de la variable

independiente

Solución: La anterior ecuación es una ecuación lineal ordinaria de

orden 3.

2. construya una ecuación diferencial que no tenga ninguna

solución real.

Esta ecuación tiene solución imaginaria.



Esta ecuación no tiene solución.

3. Construya una ecuación diferencial que usted asegure tenga

solo la solución trivial y=0. Explique su razonamiento.

y´=y ; Condición inicial: y (0) = 0

Razonamiento:

Ln l y l= x + c

Y=

Y (0)=0

0=c

0=c

0=c

Y=0

Y=0



4. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera derivada

sea ella misma? ¿Que su primera derivada sea un múltiplo

constante K de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma

de una ecuación diferencial de primer orden de solución.

Y(x)=

Y´(x)=

Y(x)=

Y´(x)=

5. Una taza de café se enfría de acuerdo con la ley de enfriamiento

de newton. Utilice los datos de la gráfica de la temperatura

T(t)para estimar las constantes Tm , To y K en un modelo de la

forma de un problema con valores iniciales de primer orden:

T (0) = T˳

Aplicación de la ley de enfriamiento de Newton:

De acuerdo con la grafica estimamos la temperatura inicial (T˳) y la

temperatura del medio



De la gráfica obtuvimos: y

Debemos resolver el problema con valores iníciales por el método de

variables separables.

- = Kt +c

t = 0 min.

Obteniendo esta expresión:

Y cuando T= 25, T=

= 25k

K= - . 9≈ -0.1

K= -0.1



6. Suponga que un tanque grande de mezclado contiene

inicialmente 300 galones de agua en los que se disolvieron 50

libras de sal. Entra agua pura a una razón de 3 gal/ min y cuando

la solución está bien revuelta, sale a la misma razón. Determine

una ecuación diferencial que exprese la cantidad A (t) de sal que

hay en el tanque al tiempo t. ¿cuánto vale A (0)?



X=Agua Xo=300 Galones

A=Sal Ao=50 Lb

Cantidad de agua pura que entra ----

Salida solución -----

Cantidad que entra de sal = (0) (

)

Cantidad que sale de sal =

.

+

= 0

Haciendo variables separables

DT

Ln lAl =

A(t)= C

A(0)=50 lb



7. suponga que en un principio un gran depósito de mezclado

contiene 300 galones de agua en la que se han disuelto 50 libras

de sal. Otra solución de salmuera se bombea hacia el depósito a

razón de 3 galones por minuto, y cuando la solución está bien

agitada, se bombea hacia afuera sólo 2 galones por minuto. Si la

concentración de la solución entrante es 2 libras por galón,

determine una ecuación diferencial para la cantidad de sal A (t)

que se encuentra en el tanque en el instante t.

Flujo de entrada

3 gal/min de solución

2 lb/ gal de concentración

Flujo de ¿Cuál es la cantidad

Salida de sal (A) en el tanque

3 gal/min de solución en un tiempo t?

Solución:

Sabemos que la cantidad de sal (A) que se encuentra en el tanque en

un tiempo t, está dado por la cantidad de sal que entra al recipiente y

la cantidad de sal que sale de este; matemáticamente esto es

expresado como:

= R entrada – R salida

Donde la cantidad de sal que entra (R entrada) está dada por:

R entrada= 3

* 2

= 6

300 gal de agua

+ 50 lb de sal



Donde el primer término de esta expresión es la velocidad de entrada

de la solución, y el segundo es la concentración de este flujo.

Y la cantidad de sal que sale es:

R salida = (

) (2

) =

En esta expresión el primer término es la concentración de sal en el

flujo de salida, la concentración de esta, está dada por la cantidad de

soluto (sal) sobre la cantidad de solvente (agua), y está última varía

con el tiempo porque el flujo de salida es menor que el de entrada.

Retomando tenemos que:

= R entrada – R salida

= 6

-

Para resolver está ecuación diferencial, entonces tenemos que:

= 6 -

Llevando la ecuación a la forme estándar:

+

= 6

Entonces:

P(x)=

f(x)=6 Factor Integrante: =

= = (300+ t)2

Extrapolando con la solución estándar encontramos que:

A (t) =

+

dt

A (t) =

+



Simplificando:

8. Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de área Ao que está en el fondo. Cuando el agua sale a través del agujero, la fricción y la contracción de la corriente cerca del agujero reducen el volumen de agua que sale

del tanque por segundo a , donde c es una constante

empírica. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cubico que se muestra en la

figura. El radio del agujero es de 2 pulg y

Partimos de:

En primer lugar podemos obtener el volumen del tanque:

Como la altura y el volumen varían con respecto al tiempo, tenemos

Pero

A (t) =

+ 2(300+t)



9

Sustituyendo

9

Pero como el nivel del agua está disminuyendo concluimos.

9. un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se

muestra en la figura. Determine la ecuación diferencial para la

corriente i(t) si la resistencia es R, la inductancia es L y el voltaje

aplicado es E(t).

Caídas de voltaje: VR= iR ; VL=L

E(t): iR + L

E(t):R

+ L

10. Un circuito en serie de contiene un resistor y un capacitor

como se ilustra en la Figura. Determine una ecuación diferencial

para la carga q (t) en el capacitor se la resistencia es R, la

capacitancia es C y el voltaje impreso es E (t).



De acuerdo a la segunda ley de kirchhoff el voltaje aplicado E (t) a un

circuito cerrado debe ser igual a la suma de las caídas respectivas de

voltaje en el circuito. Como la corriente i (t) está relacionada con la

carga q (t) en el capacitor mediante

. Sumamos:

;

Caída del resistor Caída capacitor

11. Caída libre y resistencia del aire

Para movimientos de gran rapidez en el aire, como el de un

paracaidista, que está cayendo antes de que se abra el

paracaídas la resistencia del aire es cercano a una potencia de la

velocidad instantánea v(t). Determine una ecuación diferencial

para la velocidad v(t) de un cuerpo de masa m que cae, si la

resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad

instantánea.

Dirección

positiva

Kv2



El peso actúa sobre el cuerpo hacia abajo (dirección Positiva). La

resistencia (k v2) con k>0 actúa para impedir el movimiento, va hacia

arriba (dirección Negativa)

Utilizando la segunda ley de Newton

Igualo sumatorias de fuerza

12. Un barril cilíndrico de s pies de diámetro y w lb de peso, está

flotando en agua como se muestra en la figura 1.3.16a. Después

de un hundimiento inicial el barril presenta un movimiento

oscilatorio, hacia arriba y hacia abajo, a lo largo de la vertical.

Utilizando la figura 1.3.16b, defina una ecuación diferencial para

establecer el desplazamiento vertical y(t), si se supone que el

origen está en el eje vertical y en la superficie del agua cuando el

barril está en reposo. Use el Principio de Arquímedes: la fuerza de

flotación o hacia arriba que ejerce el agua sobre el barril el igual

al peso del agua desplazada. Suponga que la dirección hacia

abajo es positiva, que la densidad de masa del agua es

62.4lb/pies3 y que no hay resistencia entre el barril y el agua.

mg



Solución.

Según el Principio de Arquímedes se tiene:

La fuerza ascendente del agua sobre el barril = Peso del agua

desplazada

= (62,4) x (Volumen de agua desplazada)

= (62,4) (s/2)2 y

=15,6 s2y

Utilizando la segunda ley de Newton tenemos:

= - 15,6 s² y

+

= 0 ; = 32 pies/seg² y w= el peso del barril en libras

13. Después de que se fija una masa M a un resorte, este se estira

S unidades y cuelga en reposo en la posición de equilibrio.

Después el sistema masa-resorte se pone en movimiento, sea que

X (t) denote la distancia dirigida del punto de equilibrio a la masa.

Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el

movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el

centro de gravedad de la masa y que las únicas fuerzas son el

peso de la masa y la fuerza restauradora del resorte estirado.



Utilicé la ley de Hooke: la fuerza de restauración de un resorte es

proporcional a su elongación total. Determine una ecuación

diferencial del desplazamiento X (t) al tiempo t.

Condición de equilibrio:

Mg = k S

Aplicando la segunda ley de Newton

∑F = Ma ; donde a =

Obtenemos

Mg – k (x + S ) = M

Mg – kx – kS = M

Teniendo en cuenta la condición de equilibrio obtenemos la

siguiente ecuación

Mg – kx – Mg = M



-kx = M

+

= 0

Esta ecuación diferencial representa un movimiento armónico

simple.

Esta es una ecuación diferencial :

1. Ordinaria

2. De orden 2

3. lineal

4. Homogénea

14. Segunda Ley de Newton y ley de Hooke.



Después de que

se fija una masa

a un resorte, éste se estira unidades y cuelga en resorte en la

posición de equilibrio como se muestra en la figura. Después el

sistema resorte/ masa se pone en movimiento, sea que

denote la distancia dirigida del punto de equilibrio de la masa.

Suponga que la dirección hacia abajo es positiva y que el

movimiento se efectúa en una recta vertical que pasa por el

centro de gravedad de la masa y que las fuerzas que actúan sobre

el sistema son el peso de la masa, la fuerza de restauración del

resorte estirado y una fuerza de amortiguamiento sobre el

sistema masa resorte que es proporcional a la velocidad

instantánea de la masa y actúa en dirección contraria al

movimiento. Utilice la Ley de Hooke: la fuerza de restauración de



un resorte es proporcional a su elongación total. Determine una

ecuación diferencial del desplazamiento .

Sin una fuerza de amortiguamiento, la ecuación diferencial es:

Con una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad, la

ecuación diferencial viene ser

La ecuación diferencial es:

15. Segunda ley de newton y la ley de la gravitación universal.

De acuerdo con la ley de la gravitación universal de Newton, la

aceleración de caída libre a de un cuerpo, tal como el satélite que

se muestra en la figura, que está cayendo desde una gran

distancia hacia la superficie no es la constante g. Mas bien, la

aceleración a es inversamente proporcional al cuadrado de la

distancia desde el centro de la tierra a=k/r2 donde K es la

constante de proporcionalidad. Utilice el hecho de que en la

superficie de la tierra, r=R y a=g, para determinar K. Si la

dirección positiva se considera hacia arriba, utilice la segunda ley

de Newton y la ley de la gravitación universal para encontrar, una

ecuación diferencial para la distancia r.

Según la ley de la gravitación universal, la aceleración de caída libre

es a

Si

donde, K= Constante de proporcionalidad

r= Distancia desde el centro de la tierra



Si (En la superficie de la tierra)

Para la superficie de la tierra (La dirección vertical hacia arriba es el

eje positivo y el contrario sería el negativo)

Si

Despejando a K

2 Constante de Proporcionalidad en la superficie de la

tierra

Según la Segunda Ley de Newton

F = ma

Si la fuerza neta del objeto es igual a la fuerza que ejerce el peso del

objeto

(La fuerza del peso del objeto es negativa

porque el objeto va cayendo, es decir, va en dirección contraria a

nuestro eje positivo)

Pero como



2

La Ecuación diferencial para la distancia r es:

16. Modelo de población. La ecuación diferencial

, donde k es una constante positiva, modela la población

humana, P (t), de cierta comunidad.

Analice e interprete la solución de esta ecuación. En otras

palabras, ¿Qué tipo de población piensa que describe esta

ecuación diferencial?

Solución:

Para la solución del ejercicio podemos observar que la ecuación

diferencial es de primer orden y de variables separables, debido a que

sus dos variables P (población) y t (tiempo) se pueden factorizar

como el producto de una función de t por una función de P así:

Separamos las variables:

Integramos:



1

. (Propiedades de exponentes)

Haciendo C igual a se obtiene:

Condiciones iníciales:

En la desarrollo de una dinámica poblacional se supone que para el

tiempo en el cual se aplica el modelo (t=0), la población presente va a

ser una población inicial puesto que es necesario partir con una

cantidad establecida.

t=0; P(o)=Po Po: población inicial

Aplicamos las C.I:

Gráficamente, el comportamiento de la población que describe esta

solución es el siguiente:



Análisis e interpretación:

Mediante la gráfica podemos observar que la solución de la ecuación

diferencial representa a una población con comportamiento periódico,

es decir que crece y decrece en intervalos de tiempo.

Este tipo de comportamiento en los seres vivos describe algunos

fenómenos como la actividad del corazón, respiración, ciclos

circadianos, mestruación etc cuyas representaciones gráficas son del

tipo sinusoidal.

Un tipo de población que describiría esta ecuación diferencial seria la

población que padece de tiempos de hambrunas, ya que mientras

tengan una cantidad de alimentos suficientes para satisfacer sus

necesidades van a encontrarse con buena salud, pero en el momento

en que estos comienzan a escacear, gran parte de la población

comenzará a sufrir enfermedades hasta el punto en el que algunas

personas mueren.

Otro tipo de población de seres vivos que describiría sería por ejemplo

una población de conejos al acecho de zorros depredadores.

17. Crecimiento poblacional:

Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón

proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si

la población inicial P0 se duplicó en 5 años, ¿En cuántos años se

triplicará y cuadruplicará?

Solución:



Para responder a estas preguntas lo primero que se debe es plantear

una ecuación diferencial de crecimiento poblacional como la siguiente:

F(x)= en la cual se sustituye x por P: F(p) = P en donde

reagrupando términos obtenemos una ecuación diferencial separable

de primer orden como se muestra:

F(x)− =0 Forma estándar de la E.D

De la cual tenemos P(t)=-k y F(t)=0 donde el Factor integrante para esta

ED es:

(F.I): =

Obteniéndose una familia uniparamétrica de soluciones:

P= C

Ahora haciendo uso de las condiciones iníciales t=0 y P (0)=Po, se

puede obtener C

Po=C

Donde C=P0 P(t)=

Sabiendo que la población se duplicó en cinco años se puede despejar

K como sigue:

P=2Po, t=5

2Po=Po

ln(2)=5k

k =

La solución de la ecuación diferencial original viene dada por:

P(t)=



a) P(t)=3Po, t=?

3Po=

ln(3)=

t=

t ≈ 7,9 años

b) P(t)=4Po , t=?

4Po=

ln(4)=

t=

t=10 años

18. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva.

Después de 6 horas la masa disminuyó 3%. Si la razón de

decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad

de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que

queda después de 24 horas.

Ln l c l= kt+c-------------- c(t)=

T=0--------- c=100mg

T=6H-------C=0,97(100)



C(T)=100 Y T=0

100=C

100= c

C(t)=100

97=100

Ln

=6k

K=-5,076* *

C(t)=100 t

Si c(t)

C=co

C(t)=Co

T=?

C(t)=

/Co=

Ln(

=kt

-Ln2=kt



T

=-

T=-

T=136,55 h

19. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en un lugar para datar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en lascaux, Francia. Precise la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determino que 85.5% de su C-14 encontrado en los arboles vivos del mismo tipo se había desintegrado.

El método se basa en que se sabe que la vida media del C-14 radiactivo es aproximadamente 5600 años.

Sea Ao la muestra de C-14 encontrada en la pieza de madera.

Sea la cantidad de C-14 presente en la madera que quedo a través del tiempo. Se soluciona el problema con valores iniciales.

Si se sabe que 5600 es la vida media del C-14, entonces tenemos.

(1)

Partiendo de Necesitamos hallar el valor de la constante. Usamos el hecho de la ecuación (1).

.

Como se desintegro el 85,5% del C-14, entonces resta un 14,5%, de donde



Al reemplazar se obtiene:

9 9

Respuesta: la madera hallada en la caverna data de hace 15600 años.

20. Muchos creen que la Sábana Santa de Turín, que muestra el

negativo del cuerpo de un hombre que al parecer fue crucificado,

es la mortaja de Jesús de Nazareth. En 1988 el Vaticano otorgó

el permiso para fecharlo con carbono. Tres laboratorios

independientes analizaron la tela y concluyeron que el sudario

tenía alrededor de 660 años de antigüedad, una edad consistente

con su aparición histórica. Con esta edad determine qué

porcentaje de C-14original permanecía en la tela en 1988.

Solución:

La cantidad de carbono presente en la tela depende de la cantidad

original de este, matemáticamente:

α x

Para llevar esta expresión a una igualdad es necesario agregar una

constante de proporcionalidad, en este caso es la constante de

desintegración, entonces tenemos:

= kx

Llevando la ecuación diferencial a la forma estándar:



– kx = 0

Donde:

P(x)= -k f(x)=0 Factor Integrante: = =

Extrapolando de la solución estándar tenemos:

X (t)= c

Para hallar el valor de C, utilizamos la siguiente condición inicial:

X (0) = Xo

C = Xo

La ecuación queda del siguiente modo:

X (t) = Xo

Para nuestro problema esta será la ecuación que vamos a emplear:

Vamos a hallar primero el valor de la constante de desintegración del

carbono, para esto conocemos un dato importante, el tiempo de vida

media del carbono es de 5600 años.

El tiempo de vida media es el tiempo necesario para que una

determinada sustancia se desintegre hasta la mitad de la cantidad

original.

Trasladando esto a términos matemáticos:

= Xoe

5600k

Simplificando y despejando tenemos que k:

K =

K=1.23*10-4



Volviendo a nuestra ecuación y reemplazando el valor de k, tenemos:

X (t) = Xo .

La cantidad inicial de C-14 en la tela era el 100% y el tiempo t=660

años, reemplazando los datos:

X (t)=100* .

21. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente

exterior, donde la temperatura del aire es 5° F y después de 5min

indica 30° F ¿Cuál era la temperatura inicial de la habitación?

t min

0 1 5

T °F

55 30

= K(T - Tm)

=

[ Ln (T-5) = Kt + C ]* e

T-5=

1. T= +5

Si t=5 y T=30°

30= +5

X (t)= 92.20%



2. =

Si t=1 y T=55°

55= +5

50= (

)

[ =

]*ln

3. K=-0.1733

3 en 2

=

.

= 59.5

T= +5

TO = . * 59.5 +5

TO =64.5

22. Al tiempo t=0 un tubo de ensayo sellado que contiene una

sustancia química está inmerso en un baño liquido. La

temperatura inicial de la sustancia química en el tubo de ensayo

es de 80 °F. El baño liquido tiene un temperatura controlada

(medida en grados Fahrenheit) dada por . ,

t≥0, donde t se mide en minutos.

a) Suponga que k=-0.1 en la ecuación (2). Antes de resolver el

PVI, describa con palabras como espera que sea la

temperatura T (t) de la sustancia química a corto plazo. Y a

largo plazo.



b) Resuelva el problema con valores iníciales. Use un programa

grafico para trazar la grafica de T (t) en diferentes intervalos de

tiempo. ¿las graficas concuerdan con sus predicciones del

inciso a)?

Según la ley de enfriamiento de Newton se tiene que:

Separando diferenciales e integrando tenemos:

Dado que la Tm está dada por:

; para t≥0

Podemos concluir la formula de esta manera:

a) Para k=-0.1 la formula queda:

.



Dado que el problema presenta en su desarrollo funciones

exponenciales se esperaría que la temperatura a corto plazo varié

notablemente.

Y partiendo del planteamiento anterior de las funciones

exponenciales, podemos afirmar que la temperatura a largo plazo

casi no varía o tiende a estabilizarse. Porque . tiende a cero

cuando el tiempo aumenta, por ende la temperatura de la sustancia

tiende a 100 para este caso.

b) Resolviendo el problema con valores iníciales podemos concluir:

Entonces la ecuación queda:

.

.

T= .

Grafica general

En el intervalo t=0s a t=40s



Grafica en el intervalo t=0 a t=200

23. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una

casa donde la temperatura era constante a 70 °F. Al tiempo del

descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se

determinó de 85 °F. Una hora después una segunda medición

mostro que la temperatura del corazón era de 80 °F. Suponga que

el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura

del corazón era en ese momento de 98.6 °F. Determine cuantas

horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver.



Según el modelo de enfriamiento de NEWTON, la variación de la

temperatura con respecto al tiempo, es directamente proporcional al

diferencial de temperaturas (TEMP del medio y TEMP del objeto en

estudio) por una constante.

= K ( - )

Teniendo en cuenta que la = 70°F se tiene que:

=

Resolviendo las integrales:

= K t + C

Aplicando obtenemos:

T – 70 =

→ T- 70 = ; donde =

Así pues:

T(t) = 70 +

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales : T(0) = 98,6°F ;

entonces

T(0)= 98,6 = 70 + , como = 1 ; se tienes que:

98,6 = 70 + → = 28,6

→T(t) = 70 +



Como la temperatura a la hora del descubrimiento T( )= 85°F y una

hora después del descubrimiento la temperatura T( +1)= 80°F,

tenemos las dos siguientes ecuaciones:

→ (1) 85= 70 + 28,6

(2) 80 = 70 + 28,6

De la ecuación (1)

= →

= K

Aplicando y despejando K tenemos que:

K = -

Reemplazo K en la ecuación (2):

80 = 70 + 28,6

→

Entonces:

=

; al aplicar ln obtenemos:

=

→ =

≡ 1,6

Entonces, pasaron aproximadamente 1,6 horas antes de que se

encontrara al cadáver.



24. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO /CALENTAMIENTO

La razón con la que un cuerpo se enfría también depende de su

área superficial expuesta S. Si S es una constante, entonces una

modificación a la ecuación de la ley de

enfriamiento/calentamiento es

Donde k<0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B

están llenas de café al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura

del café es de 150 F. El área superficial del café en la taza B es el

doble del área superficial del café en la taza A. Después de 30

minutos la temperatura del café de la taza A es de 100F. Si Tm=70

F, entonces ¿Cuál es la temperatura del café de la taza B después

de 30 minutos?

Se identifica que . Por lo tanto se debe resolver el problema

con valores iniciales:



Taza de café A:

Y determinar el valor de de modo que

La ecuación es tanto lineal como separable.

Se obtiene

Y por consecuencia, cuando

Así

Por consiguiente

Por último, la medición de conduce a

. 9

Ahora bien, siendo k una constante de proporcionalidad, podemos

utilizar este valor para encontrar el valor de para el café de la

taza B

La ecuación es tanto lineal como separable.

Se obtiene

Y por consecuencia, cuando



Así

Por tanto obtenemos

.

. 9

RTA: La temperatura del café de la taza B, después de 30 minutos, es

de 81.2529 .

25. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han

disuelto 30g de sal que tiene 1g de sal por litro entra al tanque

con una razón de 4Lt/min; la solución bien mezclada sale del

tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t)de gramos

de sal que hay en el tanque al tiempo t.

Por la ecuación

Concentración de sal en el efluente

Razón de entrada

de la salmuera



Razón de entrada de la sal

Concentración de sal en el efluente

Razón de salida

de la salmuera

Razón de salida de la sal

Entonces

Si la cantidad inicial de sal en el tanque es A(0)=30g

Entonces el factor integrante de esta ecuación es:

Derivando



Integrando

dt

Si se divide entre el Factor Integrante

Si t=0 A=30

Entonces:

26. Mezcla de dos soluciones. Un tanque contiene 200L de un

líquido en el que se han disuelto 30g de sal. Agua pura entra al

tanque con una razón de 4L/min; la solución bien mezclada sale

del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de

gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.

Solución:



Para el desarrollo de este ejercicio debemos establecer una ecuación

diferencial cuya solución me permita determinar la cantidad A(t) de sal

en el tanque a un tiempo establecido, por lo cual las variables en

juego son el tiempo t, y la cantidad de sal A(t).

Como el flujo de salida de la solución final es igual al que está

entrando, se supone que el volumen dentro del tanque va a ser

siempre el mismo pero va a haber una variación de la cantidad de sal

en este con el paso del tiempo. Esta variación es igual a la diferencia

entre la razón de entrada y la razón de salida de la sal.

Tenemos entonces:

La razón de entrada de la sal al tanque es el producto de la

concentración de entrada de la sal por la razón de entrada del fluido.

Tenemos entonces:

Rentra= (0 g/L).(4 L/min) = 0 g/min de sal

Ahora, como el volumen del tanque se mantiene constante debido a

que la solución sale de este con la misma razón con la que entra, la

concentración de sal en el tanque así como en el flujo de salida es:

Por lo tanto la razón de salida es:



.

La ecuación queda entonces:

Separamos las variables:

Integramos:

. (Propiedades de exponentes)

Haciendo C igual a se obtiene:



Condiciones iníciales:

Definimos el instante t=0 como el tiempo en el cual empieza a entrar

agua pura al tanque para lo cual la cantidad de sal que hay en este es

aquella presente en la solución inicial, es decir 30 g.

t=0; A(o)=30 g

Aplicamos las C.I:

Gráficamente se tiene:



27. Se aplica una fuerza electromotriz de 30v a un circuito en serie

LR con 0,1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia.

Determinar la corriente i(t), si i(o)=o .Determine la corriente

conforme

Condiciones iníciales

Voltaje de caída en el inductor y en el resistor

Por leyes de Kirchhoff

Forma estándar

Donde



Factor integrante

. .

Resolviendo por la ecuación lineal

. . .

Siendo y=i

Reemplazando las condiciones iníciales, i(o)=o, obtengo el valor de C

Reemplazando en la ecuación lineal

Cuando



28. Resuelva la ecuación (7) suponiendo que = y

que o.

Ecuación (7)

Reemplazando =

Se lleva la ecuación a la forma

Entonces

Donde

Se determina el factor de integración



De lo anterior se tiene

+

+

Se desarrolla la integral y se tiene

=

Realizando de nuevo la integración por partes se tiene:

=



Finalmente se reducen términos y se halla la integral:

+

Reemplazando condiciones iníciales 0

0 +

Entonces:

29. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito

en serie RC, en el que la resistencia es de 200 Ohmnios y la

capacitancia es de 0.0001 Faradios. Determine la carga q(t) del

capacitor, si q(0)=0. Encuentre la corriente i (t).

R=200 (Ω)

E(t)=100(V)

C=0.0001 (F)



Para plantear el modelo matemático usaremos la segunda ley de

Kirchhoff donde establece que “El voltaje aplicado a un circuito en

serie es igual a la suma de las caídas de voltaje en el circuito”

Caída de voltaje en un resistor:

Caída de voltaje en un capacitor:

Donde hemos utilizado

Llevamos la ecuación diferencial a la forma estándar al dividir entre

Se reconoce que

y

Entonces el factor integrante es igual .

.

La solución como tal es

En particular es una constante y al solucionar la integral

indefinida se obtiene:



Como se puede apreciar es una familia de soluciones de un

parámetro para conocer el valor de este ( ) utilizamos la condición

inicial

En general se obtiene la siguiente solución como respuesta al

problema

Al derivar la carga con respecto al tiempo podemos hallar la corriente

Al reemplazar los distintos valores de las constantes finalmente se

obtiene:

. . y .

30. Ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa sujeta que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es:



Donde es una constante de proporcionalidad. La dirección positiva se toma hacia abajo.

a. Resuelva la ecuación sujeta a la condición inicial . b. Utilice la solución anterior para determinar la velocidad

limite o terminal de la masa. c. Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta

la masa se relaciona con la velocidad v por , determine una expresion explicita para s(t) si

Solución:

Analizamos la ecuación.

1

2

a. Entonces, igualando 1 y 2



Resolviendo:

Reemplazando:

b. Tenemos que:

c. Ahora si s(0)=0, entonces.

Integrando tenemos que.



31. Marcapasos de corazón: En la figura 3.1.12 se muestra un

marcapasos de corazón, que consiste en un interruptor, una

batería, un capacitos y el corazón como un resistor. Cuando el

interruptor S esta en P, el capacitor se carga; cuando S esta en Q

el capacitor de descarga, enviando estímulos eléctricos al

corazón. En el problema 47 de los ejercicios 2.3 vimos que

durante este tiempo que se están aplicando estímulos eléctricos

al corazón, el voltaje E a través del corazón satisface la ED lineal

a) Suponga que el intervalo de tiempo de duración

, el interruptor S está en la posición P como se muestra

en la figura 3.1.12 y el capacitor se está cargando. Cuando el

interruptor se mueve a la posición Q al tiempo el

capacitor se descarga, enviando un impulso al corazón

durante el intervalo de tiempo de duración

. Por lo que el intervalo inicial de carga descarga

+ el voltaje en el corazón se modela realmente por la

ecuación diferencial definida por tramos.



Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de

duraciones y , se repiten indefinidamente. Suponga que

s,

etc. Determine para

b) Suponga para ilustrar que . Utilice un programa de

graficación para trazar la grafica de la solución del PVI del

inicio a) para

Solución parte a :

Para , , y , el

voltaje no está siendo aplicado en el corazón y .

Para los otros tiempos , 10 , y

la ecuación diferencial está dada por:



Por medio de separación de variables tenemos:

Entonces tenemos:

Solución parte b :



32. Con base en la hipótesis de modelado de la ecuación (1),

determine una ecuación diferencial que describa la población,

P(t), de un país, cuando se permite una inmigración de tasa

constante r.

Ecuación (1):

De acuerdo a la ecuación (1), la tasa de crecimiento de la población de

un país crece en forma proporcional a la población total, P(t), de ese

país en cualquier momento t. Donde K es constante de

proporcionalidad.

Teniendo en cuenta las condiciones dadas para el problema como la

inmigración de tasa constante r, se tiene:

Una medicina se inyecta en el torrente sanguíneo de un paciente a

flujo constante r g/s. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con

un razón proporcional a la cantidad X(t) presente en cualquier



momento t. Formule una ecuación diferencial que describa la cantidad

X(t).

El modelo a emplear es:

) –

Con los datos del problema:

Donde r = flujo constante en g/s de entrada de la medicina, y la

medicina desaparece con una razón proporcional a la cantidad x(t)

presente en cualquier momento t.

En el momento t=0, se introduce una innovación tecnológica en una

comunidad de n personas, cantidad fija. Proponga una ecuación

diferencial que describa la cantidad de individuos, X(t) presente en

cualquier momento t que hayan adoptado la innovación.

, depende de las personas que hayan adoptado la innovación y de

las que no lo hayan hecho.

Denotamos:

X= número de personas en la población que han adoptado la inovación

Y= número de personas en la población que no han adoptado la innovación

n= Total de personas en la comunidad = X+Y

Donde Y = n–X, entonces:



–

33. Un tanque tiene la forma de cilindro circular recto, de 2ft de

radio y 10ft de altura, parado sobre una de sus bases. Al

principio, el tanque está lleno de agua y ésta sale por un agujero

circular de ½ in de radio en el fondo. Con la información del

problema anterior, formula una ecuación diferencial que exprese

la altura del agua en cualquier momento t.

La velocidad de salida del agua por el agujero=

A0=area del agujero= r=(1/2)x0,083= 4,166x10-2

A0=1,735x10-3

Volumen de agua que sale del tanque: v(t)= A0

Teniendo en cuenta la fricción y la contracción de la corriente cerca al

agujero, tenemos:

1)

; 0<C<1

Como el cilindro es circular recto entonces el volumen de agua en

cualquier momento t, se expresa como:

2) ;

Derivando 2,



3)

Reemplazando 3 en 1, entonces

Donde

A0= 4,16x10-2

Aw=4π

g= 32ft/s2

t=0 cuando h=10

34. Una persona P parte del origen y se mueve en la dirección

positiva del eje x, tirando de una carga que se mueve a lo largo de

la curva C. Esa curva se llama ¨tractriz¨. La carga que al principio

se hallaba en el eje y, en (0,S) está en el extremo de la cuerda de

longitud constante s, que se mantiene tensa durante el

movimiento. Deduzca la ecuación diferencial para definir la

trayectoria del movimiento ( la ecuación de la ¨tractriz¨). Suponga

que la cuerda siempre es tangente a C.

De acuerdo con la grafica tenemos que:

tan(

también se tiene que:



Pero

, puesto que tan es la pendiente de la recta tangente

a la curva en el punto P(X,Y), reemplazando obtenemos finalmente:

35. Suponga que se perfora un agujero que pasa por el centro de

la Tierra y que por él se deja car un objeto de masa m. Describa el

posible movimiento de la masa. Formule un modelo matemático

que lo describa. Sea r la distancia del centro de la Tierra a la masa

en el momento t, y M la masa de la Tierra. Sea Mr la masa de la

parte de la Tierra que está dentro de un radio r, sea δ la densidad

constante de la Tierra.

Al dejar caer la masa dentro del agujero será atraída por la masa de la

Tierra y éste fenómeno se describe con la siguiente ecuación:

1.



Al caer la masa tendrá una velocidad y por ende una aceleración,

entonces, según la segunda ley de Newton,

2.

Teniendo en cuenta la masa de la Tierra,

; donde δ es constante

Reemplazando 2 en 1 se obtiene

Que nos describe un movimiento armónico simple debido a que la

masa es atraída por la Tierra de la siguiente forma:

La máxima elongación va a ser r.

La partícula al llegar a –r va a ser atraída por la

gravedad de la tierra y regresa a r con una velocidad.

El anterior movimiento se repite indefinidamente.

36. En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la

velocidad de salida del agua a través de un agujero en el fondo de

un tanque lleno con agua hasta alguna altura h es igual a la

velocidad de un objeto que cae libremente desde una altura h:

r



Donde g es la aceleración de la gravedad.

Como la velocidad del agua que sale del tanque es

Entonces el volumen de agua que sale del tanque es

Pero como en este ejercicio se tiene en cuenta la fricción y la

contracción de la corriente cerca del agujero, entonces el flujo de agua

por segundo será:

Donde 0<C<1

Como el cilindro es circular recto, entonces, el volumen de agua en

cualquier momento t, se expresa como:

Donde Aw es el área constante de la superficie superior de agua:

37. Una tasa de café se enfría obedeciendo a la Ley de newton

del enfriamiento. Con los datos obtenidos de la grafica de la

temperatura T(t), calcular Tm, To y K Con un modelo de la forma:



1

T(0)=To

Solución: Según la Ley empírica de Newton acerca del enfriamiento,

la rapidez con que se enfria un objeto es proporcional a la diferencia

entre su temperatura y la del medio que le rodea. Si T(t) representa la

temperatura del objeto en el momento t>0, Tm es la temperatura

constante del medio que lo rodea y

es la rapidez con que se enfria

el objeto.

La ley de Newton de enfriamiento se traduce en l ecuación 1 lineal de

primer orden.

En donde K es una constante de proporcionalidad.

Como se supone que el objeto se enfria entonces se debe cumplir:

T>Tm.

En concordancia es lógico que K<0.

Tomando como base ésta ecuación y la grafica mostrada tenemos:

Gráficamente se ve que:

T(0)= 180⁰c y Tm=75⁰c

Utilizando la ecuación 1 resolvemos el problema de valor inicial

Haciendo una tabla de datos de la grafica se tiene:

T(t)⁰c t( min)

180 0

160 2.5



140 5

120 7.5

75.5 50

Desarrollando:

, T(0)=180⁰c y determinando el valor de K de tal

modo que T(10)=110⁰c

Como la ecuación es lineal y separable a la vez, entonces:

Integrando a ambos lados se tiene:

Por ultimo T(10)=110⁰c, Conduce a :

9

Tenemos que:



38. Explique por que la ecuación diferencial

No tiene soluciones reales cuando lxl<2,lyl>2

¿Hay otras regiones en el plano XY donde no tenga solución?



Mediante el procedimiento anterior se puede demostrar que la

ecuación

no tiene solución dentro de los reales cuando lxl<2, lyl>2, pues en

estos intervalos se obtiene una cantidad subradical negativa, la cual

no tiene valor en los reales.

LA ECUACION NO TIENE SOLUCION EN LOS INTERVALOS:

lxl , lyl>2 y lxl <2, lyl

39. Un peso de 96lb resbala pendiente debajo de un plano

inclinado que forma un ángulo de 30⁰ con la horizontal. Sí el

coeficiente de fricción dinámica es μ, deduzca la ecuación

diferencial para la velocidad, V(t), del cuerpo en cualquier

momento.



Aplique el hecho de que la fuerza de fricción que se opone al

movimiento es μN, donde N es la componente del peso normal al

plano.

SOLUCION:

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son el peso, la normal y la

fricción; el movimiento es producido por la componente del peso en el

eje X. Vamos a trabajar el problema por vectores con el fin de

disminuir el numero de componentes de las fuerzas que actúan sobre

el cuerpo, rotaremos el plano cartesiano 30⁰ en sentido anti horario.



De ésta forma vemos que la fricción y la normal tienen una única

componente mientras que el peso dos.

Estas componentes son:

-mgsen30 en el eje x`

-mgcos30 en el eje y`

Analizando el movimiento en cada eje tenemos:

En X` →∑Fx`=ma

-mgsen30-μN=ma 1

En Y`→∑Fy`=0

N-mgcos30=0 2

Despejando N tenemos:

N= mgcos30 3

Reemplazando 3 en 1 tenemos:

-mgsen30-μ mgcos30=ma

-mg(sen30-μ cos30)=ma

Dividiendo entre m a ambos lados se tiene:

-g(sen30-μ cos30)=a 4



Como

, para hallar la velocidad integramos a ambos lados 4,

5

Si tenemos condiciones iniciales V(0)=0, entonces c=0.

C depende de las condiciones iniciales dadas.

La ecuación 5 es la ecuación para la velocidad en cualquier tiempo.

Resolviendo 5 por variables separables tenemos:

6

6 es la solución general a la ecuación 5.

40. PROBLEMA DEL QUITANIEVES.

En esta sección proponemos y resolvemos un problema que ilustra la

forma en la cual se utilizan las ecuaciones diferenciales.

No es un problema matemático puro, es decir, uno que provea todas

las hipótesis necesarias para obtener una respuesta, sin embargo es

del tipo más frecuente encontrado por los matemáticos.

Para resolverlos, es necesario hacer lo que puede ser una asunción

física. Para cualquiera que pueda objetar la realización de asunciones



o presunciones le podemos decir que mucho en el progreso de la

ciencia es debido a hombres que tienen el coraje de asumir

situaciones, el buen sentido para asumir razonablemente y la

capacidad de dibujar correctas soluciones a partir de estas

asunciones.

Un día comenzó a nevar a una tasa pesada y constante. Una máquina

quitanieves comenzó a trabajar a medio día, avanzando a 2 millas la

primera hora y a una milla la segunda hora. ¿A que hora comenzó a

nevar?

Nuestra primera meta es tratar de recobrarnos del choque de que nos

pidan que tratemos de resolver semejante problema. En primer lugar,

los datos del problema están de acuerdo con la idea de que el

quitanieves se moverá más lentamente a medida que la capa de nieve

se engruese.

Esta idea sin embargo no es suficientemente precisa para permitirnos

resolver el problema; debemos realizar alguna asunción envolviendo la

tasa en la cual el quitanieves limpia la nieve de la calle.

Sin pretender determinar cuales asunciones puedan ser igualmente

buenas o se desempeñen mejor, asumimos que el quitanieves quita la

nieve a una tasa constante de K metros cúbicos por hora.

Luego t será el tiempo medido en horas a partir del medio dia, y x

denotará la profundidad en mm de nieve en un tiempo t.

Además y denotará la distancia que se mueve el quitanieves con

respecto al tiempo.

Luego

es la velocidad del quitanieves y nuestra asunción será:



Donde w es la anchura que da el quitanieves.

Para encontrar como x depende del tiempo, `to´ será el numero de

horas antes del medio día cuando comenzó a nevar, y S será la tasa

constante en mm en la cual la profundidad de la nieve se incrementa.

Luego usando t> -to,

X=S(t+to)

Y obtenemos la ecuación diferencial:

Esta ecuación diferencial tiene la forma:

Y vemos que:

Donde C es una constante.

Se puede sospechar o especular que el conocimiento de muchos

pares de valores de Y y t deben permitirnos determinar to y así

obtener una solución para el problema.

En Y=0 cuando t=0 encontramos que en la ecuación anterior

C=-Log to

Entonces:



Luego usamos el hecho de que Y=2 cuando t=1, y Y=3 cuando t=2

para obtener:

Expandiendo los exponentes y simplificando la ecuación:

Donde to>0, obtenemos

to=(-1+ )/2 = 0,618 horas =37min

LA HORA EN QUE EMPEZÓ A NEVAR FUE A LAS 11:23AM

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