ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1. Una viga horizontal de 2l metros de longitud está apoyada en sus

extremos. Determina la ecuación de su curva y su máxima deformación vertical

(flecha) cuando tiene carga uniforme distribuida de w kg/m

Longitud de la barra: 2l metros

El valor de la barra en función de su carga uniforme solo viene dado por medio de:

F = (w kg/m)(2l)m

F = 2wl = 2wx (kg)

Como F es máximo entonces:

F’ = aF/ax = 2w, en los extremos, y se deformará por ser uniforme justo al medio

2. Resolver el problema anterior si actúa, además una carga de W kg en

medio de la viga.

Aplicando una ecuación de equilibrio, tenemos:

2da condición de equilibrio (momentos resultantes)

(R1)(2l) – (W)(l/2) –(2Wl)(l/2) = 0

R1= (W)(2l + 1)/4

Y con la primera condición de equilibrio, hacemos lo siguiente:

R1 + R2 = 2Wl + W

Wl/2 + w/4 +R2 = 2Wl + W

R2 = 3Wl/2 + 3W/4

Para los extremos que son R1 y R2 se obtiene tales valores de fuerza máxima, mientras que

al estar la carga (seguir) concentrada en el medio allí se produce la deflexión o flecha.

3. Una viga horizontal de l metros de longitud esta empotrada en un

extremo y libre en el otro. Determina la ecuación de su curva elástica y la flecha

máxima si la carga uniformemente repartida es w Kg/m.

Tomando los datos generales del problema 01, podemos tener lo siguiente:

R1=R2=Wl

Hacemos M1 = 0 para un extremo empotrado, para lo que la ecuación quedaría como:

𝑑2𝑣(𝑥)

𝑑𝑥2=

1

𝐸𝐼(

𝑀2

𝐿) 𝑥

Donde v(x) es la ecuación de desplazamiento de la flecha en función vertical respecto a la

distancia del extremo empotrado.

M2 = 2W𝐿2, recordemos que los extremos van de x = 0 a x =2L

Para la doble integración será:

V(x) =1

6𝐸𝐼(

𝑀2

𝐿) 𝑥3, reemplazando las condiciones anteriores:

V(x) =8𝑊𝐿4

3𝐸𝐼

4. Una viga horizontal de l metros de longitud esta empotrada en ambos

extremos. Encuentra la ecuación de la curva elástica y la flecha máxima si

tiene una carga uniformemente distribuida de w Kg/m.

La diferencia con el caso anterior es que:

𝑑2𝑣(𝑥)

𝑑𝑥2= 0

Teóricamente no habría desplazamiento vertical, los empotramientos en ambos extremos lo

impiden, y no hacen posible el desarrollo de ninguna flecha.

5. Resolver el problema anterior, si además actúa un peso W kg. En el

punto medio de la viga.

Para el caso anterior, solamente considerando el peso W de kg, entonces la ecuación

quedaría:

R1 + R2 = W

Entonces los momentos quedan como:

(R1)(L) – (W)(L/2) = 0

R1 = W/2, en este caso R1 = R2 = W/2, por tanto: consideramos un M genérico M = WL/2,

y el valor de x=L/2 (punto medio de la barra)

V(x) =1

6𝐸𝐼(

𝑊𝐿/2

𝐿) (

𝐿

2)3

V(x) = 16𝑊𝐿3

6𝐸𝐼

6. Una viga de longitud de 3l esta libremente apoyada en los extremos.

Hay una carga uniforme w por unidad de longitud y carga w aplicada a una

distancia de l de cada extremo. Tome el origen en el punto medio de la viga y

encuentre la ecuación de la curva elástica y la máxima de flexión.

Suponiendo lo siguiente:

F = 2(WL) + w

La distancia total del sistema es: 3L

Pero si consideramos las reacciones en los extremos R1 y R2, entonces hacemos lo

siguiente:

R1=R2=WL + W/2, para el caso del momento será:

M = L(WL + W/2)

En la ecuación de la curva elástica:

V(x) =1

6𝐸𝐼(WL + W/2)𝑙3

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

7. Una barra metálica de 100 cm de longitud tiene los extremos x=0 y x=100

mantenidos a 0ºC Inicialmente, la mitad de la barra está a 60ºC mientras que la

otra mitad está a 40ºC. Asumiendo una difusividad de 0.16 unidades cgs y que

la superficie de la barra está aislada, encuentre la temperatura en toda parte

de la barra al tiempo t.

La variación de temperatura en los extremos será:

Extremo 1: ∆T1=60ºC y ∆T2=40ºC

La ecuación tridimensional y temporal general es:

Los ejes “y” y “z” no son considerados en el ejercicio, por tanto:

𝜕𝑇

𝜕𝑡− 𝛼

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2= 0

Ya sabemos por dato: 𝛼 = 0.16

La variación total es de 20ºC

Hacemos la integración:

x(t) = 3.2𝑡2-20 (cm)

8. Resuelva el ejercicio 7 si los extremos están aislados

Se considera los extremos solamente sin límites de integración para el eje “x”,

entonces:

x(t) = 3.2𝑡2+C (cm)

Donde el valor de “C” es una constante.

9. Una barra metálica de 100 cm de longitud tiene los extremos x=0 y

x=100 mantenidos a 0ºC Inicialmente, la mitad de la barra está a 0ºC mientras

que la otra mitad está a 80ºC. Asumiendo una difusividad de 0.20 unidades cgs

y que la superficie de la barra está aislada, encuentre la temperatura en toda

parte de la barra al tiempo t.

La variación de temperatura en los extremos será:

Extremo 1: ∆T1=0ºC y ∆T2=80ºC

La ecuación tridimensional y temporal general es:

Los ejes “y” y “z” no son considerados en el ejercicio, por tanto:

𝜕𝑇

𝜕𝑡− 𝛼

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2= 0

Y sabemos por dato: 𝛼 = 0.20

La variación total es de 80ºC

Hacemos la integración:

x(t) = 1.6𝑡2 (cm)

10. Si la barra de los ejercicios anteriores tiene temperatura inicial dada por

f(x):

𝒇(𝒙) = {𝟎, 𝟎 < 𝒙 < 𝟒𝟎

𝟏𝟎𝟎, 𝟒𝟎 < 𝒙 < 𝟔𝟎𝟎, 𝟔𝟎 < 𝒙 < 𝟏𝟎𝟎

Tanto para los valores extremos (subfunciones 1 y 3) del problema, no se considera

un valor de transferencia de calor neto puesto que sus funciones son cero (0).

Solo hacemos el análisis para el caso medio, con lo siguiente:

∆T = 20ºC

T: 𝜕𝑇

𝜕𝑡− 𝛼

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2=0

El valor del coeficiente de difusividad térmica queda expresado:

T(x) = 𝛼𝑥2 + 𝐶

11. Una barra metalica de 40 cm de longitud con una difusividad de 0.20

unidades cgs tiene su superficie aislada. Si los extremos se mantienen a 20ºC

y la inicial es de 100ºC, encuentre la temperatura de la barra en cualquier

tiempo (sugerencia: disminuya todas las temperaturas en 20ºC)

La variación de temperatura en los extremos será:

Extremo 1: ∆T1=20ºC y ∆T2=100ºC

La ecuación tridimensional y temporal general es:

Los ejes “y” y “z” no son considerados en el ejercicio, por tanto:

𝜕𝑇

𝜕𝑡− 𝛼

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2= 0

Y sabemos por dato: 𝛼 = 0.20

La variación total es de 80ºC, pero con la temperatura ambiente, la diferencia será

de: ∆T=60ºC

Hacemos la integración:

x(t) = 12𝑡2 + 𝐶 (cm), donde C es una constante

12. (a) Una barra de difusividad k cuya superficie está aislada y cuyos

extremos están localizados en x=0 y x=L tiene una distribución de temperatura

inicial f(x). Asumiendo que los extremos de la barra están aislados, determine

la temperatura de la barra en cualquier tiempo. (b) Encuentre la temperatura de

la barra si:

𝑓(𝑥) = {

2𝑈0𝑥

𝐿, 0 < 𝑥 ≤

𝐿

22𝑈0

𝐿(𝐿 − 𝑥),

𝐿

2< 𝑥 ≤ 𝐿

(a) Con la ecuación de difusividad térmica, solo aplicamos la ecuación,

entonces:

𝑓(𝑥) = {

𝑈0𝑥2

𝐿, 0 < 𝑥 ≤

𝐿

2𝑈0

𝐿(2𝐿𝑥 − 𝑥2),

𝐿

2< 𝑥 ≤ 𝐿

(b) Entonces la temperatura se hace:

𝑓(𝑥) = {

𝑈0𝐿

4, 0 < 𝑥 ≤

𝐿

2

𝑈0(𝐿 − 𝐿/2),𝐿

2< 𝑥 ≤ 𝐿