Antologia de Matematicas IV

INSTITUTO TECNOLÓGICO

OBJETIVO GENERALConocerá el concepto del número complejo así como sus propiedades y diferencias representaciones y los aplicara a la resolución de problemas.

SISTEMA NUMÉRICO REAL

Matemáticas IV Página 1


El sistema numérico es el resultado de una evolución gradual, tal como lo indica la Sig. Descripción:

1.- Números Naturales… 1, 2,3,…

2.- Los enteros Negativos y el Cero… 0,-1,-2,-3,….

3.- Los Números Racionales…. ½, ¾,11/6, 1/9,-3/2,…

4.- Los Números Racionales.. √2, π,e

SISTEMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

No existen un numero real “X” que satisfaga la ecuación poli nómicax2+ 1=0. Para resolver este tipo de ecuación, es necesaria introducir los números complejos.

Podemos considerar un numero complejo como una expresión de la forma a + bi, donde a y b son números R, ei denominada la unidad imaginaria, con la propiedad de que i2=−1. Si Z=a+bi, a se llama la parte real de Z y b la parte imaginaria de Z y se denota x Re {Z} y Tm {Z}.

El conjugado complejo o conjugado simple de un numero complejo 𝑎+𝑏𝑖 𝑎 es a−bi. El conjugado complejo de un numero complejo Z se indica frecuentemente Z o Z

OPERACIONES FUNDAMENTALES DE NUMEROS COMPLEJOS


1.−adiccion

(a+bi )+ (c+di )=a+bi+c+di=(a+c )+ (b+di )

2.−sustraccion

(a+bi )−(c+di )=a+bi−c−di=(a−c )+(b−d ) i


a¿ (3+2 i )+(−7−i )=3+2 i−7−i=−4+i

b¿ (8−6 i )−(2 i−7 )=8−6 i−2i+7=15−8 i

c ¿ (5+3 i )+ (−1+2i )+(7−5i )=¿


1.−adiccion

(a+bi )+ (c+di )=a+bi+c+di=(a+c )+ (b+di )

2.−sustraccion

(a+bi )−(c+di )=a+bi−c−di=(a−c )+(b−d ) i


(5+3 i−1+2 i )+ (7−5 i )

¿4+5 i+7−5 i=11

d ¿ (2−3 i ) (4+2 i )=8+4 i−12 i−6 i2=¿

8−8 i−6 (−1 )=8+6−8 i=14−8 i

e ¿ (4+2i ) (2−3 i )=8+12 i−4 i−6 i2=¿

8−8 i−6 (−1 )=14−8 i

f ¿ (2 i ) (−3+2i ) (5−4 i )=(2 i ) (−3+2i+5−4 i )=¿

(2 i ) (2−2i )=2 i+2+2i=−2

g¿ 3−2 i−1+i

=3−2i−1+i

=−1−i−1−i

=−3+3i+2 i+2i2

1+ i−i−i2=

−3−i+2 (−1 )1−i2

¿ −3−i−21−(−1 )

=−5−i2

h¿ 5+5 i3−4 i

+ 204+3 i

= 5+5i3−4 i

(3+4 i)(3+4 i)

=15+20 i+15i+20 i2

9−16−i2=−5+35i

25

204+3i

4−3 i4−3 i

=80−60 i

16−9 i2=80−60 i

25

(−525

+ 3525i)+(80

25−60

25i)

¿(−525

8025 )+( 35

25i−60

25i)=3i



i ¿(3 i30−i19)

2 i−1=

3 (i2 )15−(i2 )2

2 i−1i=

3 (1 )−i2i−1

=3−i

2 i−1

3−i2i−1

−(2 i+1 )(2 i+1 )

=6 i+3−3 i2−i4 i−1

=5 i+3−2 (−1 )

4 i−1

−5i−3−24 (−1 )−1

=−5 i+54 (−1)

=−5 i−5−5

=1+i


a¿ (2−i) {(−3+2i ) (5−14 i ) }

(2−i ) (−15+2 i+10i−28 i2 )

(2−i ) ¿

(2−i ) (−15+22 i−28 )

¿ (2−i ) (−13+22 i )


VALOR ABSOLUTO


a¿ (2−i) {(−3+2i ) (5−14 i ) }

(2−i ) (−15+2 i+10i−28 i2 )

(2−i ) ¿

(2−i ) (−15+22 i−28 )

¿ (2−i ) (−13+22 i )


El valor absoluto con modulo de un numero complejo a+bi que está definida como

|a+bi|=√a2+b2

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS


|−4+2 i|=√(−4 )2+¿¿

ejercicio :

z1=2+i , z2=3−2 i y z3=−12

+ √32i

Hallar el numero el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones

a¿|3 z1−3 z2|=3 (2+i )−4 (3−2i )=6+3 i−12=12+8 i=|−6−11 i|

¿|−6−11 i|=√(−6 )2+ (−11)

b¿ z13−3 z1

2+4 z1−8=¿

(8+12i+6 i2+i3 )−3 (4+4 i+i2 )+8+4 i−8

¿8+12 i−6−i−12−12 i+3+8+4 i−8=−7+3 i

c ¿ ( z3 )=(−12

−√32i)

2

a¿|2 z2+z1−5−i2 z1−z2+3−i|

2

=|2 (3−2i )+(2+i )−5−i2 (2+i )−(3−2i )+3−i|

3

| 6−4 i+2+i−5−i4+2 i−3−2 i+3−i|

23−4 i4+3 i

=4−3 i4−3 i

=12−9i−16 i+12 i2

16−9 i3=25 i

25=−i

b¿ z1+z2=z1+z2=2−i+3+2i=5+ i


Efectuar las operaciones indicadas en forma analítica y gráficamente

a¿ (3+4 i )+(5+2 i )=8+6 i

b¿ (6−2 i )−(2−5 i )=4+3 i



c ¿ (−3+5 i )+ (4+2i )+(5−3i )+(−4−6 i)

FORMA POLAR

Si P es un punto en el plano complejo correspondiente al número complejo ( x , y ) ó x+i y, entonces x=r cosθ

, y=r senθ. Entonces:

r=√x2+ y2=|x+i y|.

Se llama el modulo o valor absoluto.

z=x+i y ,

z=x+i y=r (cos θ+i senθ)

Llamada la forma polar del número complejo, y r y θ se llaman coordenadas polares.

Ejemplo: expresar cada una de las siguientes complejos en forma polar

a¿2+2√3i

Modulo del valor absoluto ¿|2+2√3i|=√(2)2+(2√3)2=√4+12=√16=4

senθ=2√34

Argumento θ=sen−1( 2√34 )

θ=60 °=π3

z=r (cosθ+i sen θ)

z=4(cosπ3

+i sen π3

)



b) −5+5 i

r=|−5+5 i|=√(−5)2+(5)2=√25+25=√50

senθ=( 5

√50 ) θ=sen−1( 5

√50 ) θ=45 °= π4

z=r (cosθ+i sen θ) z=√50(cosπ4

+i sen π4

)

c) −√6−√2 i

r=|−√6−√2 i|=√(−√6)2+(−√2i)

2=√6+2=√8

senθ=(−√2√8 ) θ=sen−1(−√2

√8 )=30 °= π6

z=r (cosθ+i sen θ) z=√8(cosπ6

+i sen π6

)



EXPRESAR EN FORMA POLAR

a) −3 i

r=|−3 i|=√−32=√9=3

senθ=−33

=90 °=π2

z=r (cosθ+i sen θ)

z=3(cosπ2+i sen π

2)

b) 2+5 i

r=|2+5 i|=√ (2 )2+ (5 )2=√4+25=√29

senθ= 5

√29=θ sin−1 5

√29=68.19

√29( cos π2.6

+ i sen π2.6

)



Un hombre viajas 12 km en dirección noreste, 20 km en dirección 30° al noroeste y luego, 18 km en dirección 60° al sureste. Determinar:

a) Analíticamenteb) Gráficamente a que distancia y en que dirección esta el de su punto de

partida.

OA=12(cos 45+i sen45) AB=20(cos (30+90 )+i sen (30+90 ))BC=18 (cos (60+180 )+ i sen (60+180 ))

OC=(12cos 45+20 cos120+18 cos240 )+i(12 sen 45+20 sen120+18 sen240)

OC=−10.5147+i10.2173

r=√(−10.5147)2+(10.2173)2=14.6612

∡conrespecto a x ∡conrespecto a y

θ=sen−1( 10.217314.6612 )=44.17 °

θ=cos−1(−10.514714.6612 )=135.82 °

∡=

−135.82 °90 °

45.82 ° ∡=45.82 ° condireccionnoroeste



TEOREMA DE MOIVRE

si z=x1+i y1=r1 ( cosθ1+i senθ1 ) Y z=x2+i y2=r2 (cos θ2+i senθ2 ), demostrar que

1) z=x+i y=r (cosθ+i senθ )

2) z z2=r1r2 {cos (θ1+θ2 )+i sen(θ1+θ2)}

3)z1

z2

=r1

r2{cos (θ1−θ2 )+i sen(θ1−θ2)}

Una generalización de (2) conduce a:

Z1Z2…Zn=Z1Z2…Zn {cos (θ1+θ2+…θn )+i sen (θ1+θ2+…θn )} y si

( z1=zn=…zn=z1 ) la expresión anterior queda.

zn= {r (cos θ+i senθ ) }n=rn (cosnθ+i sen nθ ) se llama teorema de moivre.

Ejemplo: hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones.

a) [3(cos40 °+i sen40 ° )]¿

¿ (3 )(4)¿



¿12¿

¿−6+6√3 i

b)(2cos15 ° )7

(4cos 45 ° )3=

27 cos7 (15 )43 cos3 ( 45 )

=128cos10564 cos135

=12864

[cos (105−135 )+i sen (105−135 ) ]

2 [cos (−30 )+i sen (−30 ) ]¿√3−i

c) ( 1+√3 i1−√3 i )

10

Z1=1+√3 i Z2=1−√3 i

Modulo: |1+√3|=√(1)2+(√3)2=2

|1−√3|=√(1)2+(−√3)2=2

∡=θ=sen−1(√32 )=60 ° ∡=θ=sen−1(√3

2 )=60 °

Z1=2(cos60 °+i sen60 °) Z2=2(cos60 °+i sen60 ° )



Z1

Z2

=22= [cos(60−(−60 ))+i sen(60−(−60 )) ]

¿ {1 [cos (120 )+i sen(120)] }10

¿110 [cos 10 (120 )+ i sen(10 (120 ))]

¿1(cos1200+ i sen120)

¿−12+ √3

2i



ECUACIONES POLINÓMICAS

A menudo en la práctica necesitamos resolver ecuaciones polinómicas de la forma:

a0 zn+a1 z

n+a2 zn−2+…+an−1 z+an=0

Donde: a0≠0 , a1 ,…,an

Son números complejos dados y n es un entero positivo llamado el grado de la ecuación. Tales soluciones se llaman ceros del polinomio de la izquierda de (9) o raíces de la ecuación.

Un teorema muy importante llamado el teorema fundamental del algebra (que será probado en el capitulo 5) establece que cada ecuación polinómica de la forma (9) tiene por lo menos una raíz compleja. Según esto podemos demostrar que tienen realidad n raíces complejas, algunas de las cuales o todas podrían ser idénticas.

Si Z1Z2…Zn son las raíces, (9)

Se pueden escribir como.

a0 ( z−z1 ) ( z−z2 ) ... ( z−zn)=0

Llamado la forma factorizado de la ecuación polinómica.



I

Objetivo: conocerá y aplicara métodos más generales para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Se considera un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x, y.

sistema{a11 x a12 y=¿b1

a21 x a22 y=¿b2}

Donde:

a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2 Son números dados.

Cada una de estas expresiones es la ecuación de una línea recta. Una solución al sistema es un par de números, denotados por (x, y).

Hecho A si a=b y c=d, entonces a+c=b+d

Hecho B si a=b y ces cualquier número real entonces ca = cb

El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correcta.

El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una constante se obtiene una segunda ecuación valida.



Ejemplo:

Sistema con una única solución:

Considere el sistema:

Ejemplo 2:

Sistema con un número infinito de soluciones.

Es claro que estas dos ecuaciones son equivalentes esto es. Cualesquiera dos números x, y que satisfacen la primera ecuación también satisfacen la segunda y viceversa.

Ejemplo 3:Un sistema sin solución. Considere el siguiente sistema:


X - Y=7X+Y=52x =12

X=122

=6X+Y=5

Y=5-X=5-6=-1

2(X-Y=7)2X-2Y=14

2X-2Y +142X-2Y=14


Y=mx+b

Sus pendientes deben ser iguales

Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente.

Solución única

a11x+a12 y+b1

a21 x+a22 y+b2

a) rectas no paralelas un punto de intersección

Sin solución


X-Y=72X-2Y=13


a11x+a12 y+b1

a21 x+a22 y+b2

b) rectas paralelas, sin puntos de intersección

a11x+a12 y+b1

a21 x+a22 y+b2

d) rectas que coinciden, número infinito de puntos de intersección

Método de ecuaciones con n incógnitas. Eliminación de Gauss – Jordán y gaussiana.

Ejemplo. Solución de un sistema de ecuación con 3 incógnitas; solución única.


2 x1+4 x2+6 x3=18

4 x1+5 x2+6 x3=24

3 x1+x2−2 x3=4

Se multiplica ecu 1 por 12

.

12

(2 x1+4 x2+6 x3=18 )

x1+2x2+3 x3=9

4 x1+5 x2+6 x3=24

3 x1+x2−2 x3=4

Se multiplica ecu. 1 x (-4) y se suma ecu.2

−4 x1−8 x2−12x3=−36

4 x1+5 x2+6 x3=24

x1+2x2+3 x3=9

x2+2x3=4

3 x1+x2−2 x3=4

Se multiplica la ecu. 1x (-3) y se suma a la ecu. 3

−3 x1−6 x2−9 x3=−27

3 x1+x2−2 x3=4

−5 x2−11 x3=−23

x1+2x2+3 x3=9

x2+2x3=4

−5 x2−11 x3=−23

Se multiplica ecu. 2 x (-2) y se suma con ecu 1.



Se multiplica ecu 1 por 12

.

12

(2 x1+4 x2+6 x3=18 )

x1+2x2+3 x3=9

4 x1+5 x2+6 x3=24

3 x1+x2−2 x3=4

Se multiplica ecu. 1 x (-4) y se suma ecu.2

−4 x1−8 x2−12x3=−36

4 x1+5 x2+6 x3=24

x1+2x2+3 x3=9

x2+2x3=4

3 x1+x2−2 x3=4

Se multiplica la ecu. 1x (-3) y se suma a la ecu. 3

−3 x1−6 x2−9 x3=−27

3 x1+x2−2 x3=4

−5 x2−11 x3=−23

x1+2x2+3 x3=9

x2+2x3=4

−5 x2−11 x3=−23

Se multiplica ecu. 2 x (-2) y se suma con ecu 1.

Se multiplica ecu. 2 (5) y se suma a ecu. 3

5 x1+10 x3=20

−5 x2−11 x3=−23

−x3=−3

x1−x3=1

x2+2x3=4

−x3=−3

Se multiplica la ecu. 3x (-3)

−1(−x3=3)

x3=3

x1−x3=1

x2+2x3=4

x3=3

x1=4

x2+2x3=4

x3=3

La ecu. 3 se multiplica con (-2) y se le suma ala ecu. 2

−2 x3=−6

x2+2x3=4

x1=4

x2=−2

x3=3


MATRIZ

Una matriz es un arreglo rectangular de números.

A=[ 2 4 64 5 6

3 1−2]Matriz acumulada

A=[2 4 6 184 56 243 1 6 4 ]

Resuelva el sistema

2 x1+4 x2+6 x3=18

4 x1+5 x2+6 x3=24

2 x1+7 x2+12x3=30

[2 4 64 5 62 7 12

182430 ]R1¿R1 [1 2 3

4 5 62 7 12

92430] R2=−4 R1+R2

R3=−2 R1+R3 [1 2 30 −3 −60 3 6

91212]R2=

−13R2

[1 2 30 1 20 3 6

94

12] R1=−2R2+R1

R3=−3 R2+R3 [1 0 −1

0 1 20 0 0

140 ]

X1−X3=1


Se multiplica ecu. 2 (5) y se suma a ecu. 3

5 x1+10 x3=20

−5 x2−11 x3=−23

−x3=−3

x1−x3=1

x2+2x3=4

−x3=−3

Se multiplica la ecu. 3x (-3)

−1(−x3=3)

x3=3

x1−x3=1

x2+2x3=4

x3=3


X2+2 X3=4

Se despeja X1

X1=1+X3

Se despeja X2

X2=4−2 X3

X1=4 (4,-2,3)

X2=−2

X3=3 (1+X3 ,4−2 X3 , X3 ¿

Resuelva el sistema

2 x2+3 x3=4

2 x1−6 x2+7 x3=15

x1−2 x2+5 x3=10

[0 2 32 −6 71 −2 5

41510 ]R1R3 [1 −2 5

2 1 70 2 3

10154 ]R1=−2 R1 +R2

[1 −2 50 −2 −30 3 3

10−55 ]R2=

12R2[1 −2 5

0 132

0 2 3

10524

] R1=2 R2+R1

R3=−2R2+R3 [1 0 8

0 132

0 0 0

1552

−1]

0 X1+0 X 2+0 X3=−1

X3=0≠−1



Use el metodo de Gauss – Jordán para encontrar todas las soluciones si existen para los sistemas dadas

x1−2 x2+3 x3=11

4 x1+x2−x3=4

2 x1−x2+3 x3=10

[1 −2 34 1 −12 −1 3

1140 ] R2=−4 R1+R2

R3=−2R1+R3 [1 −2 30 9 −130 3 −3

11−40−12 ]R2=

19R3

[1 −2 3

0 1−13

90 3 −3

11−40

9−12

] R1=2 R2+R1

R3=−3 R2+R3 [1 019

0 0−13

9

0 143

199

−40943

]R3=34R3



[1 019

0 0−13

90 1 1

199

−4091

] R1=−19R

3

+R1

R2=139R3+R2

[1 0 00 1 00 0 1

2−31 ]

X1=¿ 2

X2=−3 (2,-3,1)

X3

3 x1+6x2−6x3=9

2 x1−5x2+4 x3=6

−x1+16 x2−14 x3=−3

[ 3 6 −62 −5 4

−1 16 −14

96

−3]R1 R3[−1 16 −142 −5 43 6 −6

−369 ] R2=2R1+R2

R3=3 R1 +R3 [−1 16 −140 27 −240 54 −48

−300 ]

R2=−127R2 [−1 16 −14

0 1−8

90 54 −48

−300 ] R1=−16 R2+R1

R3=−54 R2+R3 [−1 0

29

0 1−89

0 0 0

−300 ]

−X1+29X3=−3−(−X1=−3−2

9X3)

X2+89X3=¿0 X2=

89X3

(3+ 29X3 ,

89X3 , X3 ¿

Las matrices 1 y 2 tienen 3 pivotes; las otras tres matrices tienen 2 pivotes.



Ejemplo: solución de un sistema mediante eliminación gaussiana

[2 4 6 184 5 6 243 1 −24]R1=1

2R1

→[1 2 3 94 5 6243 2 −2 4 ]R2=−4 R1+R2

→

R3=−3 R1−R3[1 2 390 −3 −6−120 −5 −11−23]R2=−1

3R2

→

[1 2 3 90 1 240 −5 −11−23]R3=5 R2+R3

→ [1 2 3 90 1 2 40 0 −1−3]R3=−R3

→ [1 2 3 90 1 2 40 0 1 3 ]

Solución de un sistema de 2 ecuaciones con 4 incógnitas. Resuelve el sistema

x1+ x2−5x3+x4=4

2 x1+5 x2−2 x3+4 x4=6

[1 3 −52 5 −2

1 44 6 ]R2=−2 R1+R2

→ [1 3 −50 −1 8

1 42 −2]R2=−R2

→ [1 3 −50 1 −8

1 4−2 2]

R1=−3 R2+R2→ [1 0 19

0 1 −87 −2

−2 2 ]X1+19 X3+7 X4=−2

X2−8 X3−2 x4=2

x1=−2−19 x3−7 x4


X1+2 (−2 )+3 (3 )=9

X1−4+9=9

X1=4

X3=3

X2+2 X3=4

X1+2 X2+3 X3=9

X2+2 (3 )=4

X2+6=4

X2=4−6

X2=−2


x2=2+8 x3+2x4

APLICACIONES

Un departamento de pesca caza del estado proporciona 3 tipos de comida a un lago que alberga a 3 especies de pesca.

Cada vez que la especie X1consume un promedio de 1 unidad de alimento tipo 1, 1 unidad de alimento tipo 2 y 2 unidades del alimento tipo 3.

Cada pez de la especie X2consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento tipo 1, 4 unidades del alimento tipo 2 y 5 unidades del alimento tipo 3.

Cada pez de la especie X3el promedio semanal es de 2 unidades del alimento tipo 1, 1 unidad del alimento tipo 2 y 5 unidades del alimento tipo 3.

Cada semana se proporcionan al lago:

25,000 unidades de alimento tipo 1



Si se supone que los peces comen todo el alimento ¿Cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

A1A2A3

¿

R1R2R3 [1 3 2

1 4 12 5 5 |25000

2000055000 ] R2→−R1+R2

→

R3→−2 R1+R3[1 3 20 1 −10 −1 1 |25000

−50005000 ]

R1→−3R2+R1→

R3→R2+R3 [1 0 50 1 −10 0 0 |40000

−50000 ]

x1+5x3=40000

x2−x3=−5000

x1=40000−5 x3



x2=−5000+x3

(x1 , x2 , x3 )=(40000−5 x3 ,−5000+x3 , x3)

Un viajero que acaba de regresar de Europa gasto $30.00 diarios en Inglaterra, $20.00 diarios en Francia y $20.00 en España por concepto de hospedaje.

En comida gasto $20.00 en Inglaterra, $30.00 diarios en Francia y $20.00 diarios en España.

Sus gastos adicionales fueron de $10.00 diarios en cada país.

Los registros del viajero indican que gasto un total de $340.00 en hospedaje, $320.00 en comida y $140.00 en gastos adicionales durante un viaje por esos 3 países.

Calcule el numero de días que paso el viajero en cada país o muestra que los registros deben estar incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles unos con los otros.

[10 10 1020 30 2030 20 20 |140

320340 ]R2→−2R1+R2

→

R3→−3R1+R3 [10 10 100 10 00 −10 −10 |140

40−30 ]

R3→R2+R3→ [10 10 10

0 10 00 0 −10 |140

40−40 ]R3→−R3

→ [1 1 10 1 00 0 1 |14

44 ]

x3=4 x2=4

x1+ x2+x3=14

x1=14−8

x1=6

x2=4

x3=4

Por lo tanto x1 representa Inglaterra el calculo indica que el viajero paso 6 dias

ahí, x2 representa a Francia y el viajero paso 4 dias ahí y por ultimo x3



representa a España donde paso 4 dias. No existió inconsistencia debido a las cantidades gastadas. Son compatibles.

UNIDAD III MATRICES Y DETERMINANTES

OBJETIVO:

Utilizará las matrices para organizar datos numéricos y resolverá problemas.

DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ:



Una matriz A de m xn es un arreglo rectangular de mn, números dispuestos en m reglones y n columnas.

A=[a11 a12⋯ a1 j⋯ a1n

a21a22⋯ a2 j⋯ a2n

⋮ ⋮ ¿a i1ai2⋯ aij⋯ a¿

⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1am2⋯ amj⋯ amn

]El símbolo m xn se lee m por n.

m=¿ Numero de reglones.

n=¿ Numero de columnas.

El vector reglón (a i1 , ai2 ,⋯ a¿) se llama reglón j.

Y el vector columna [a1 j

a2 j

⋮amj

] se llama columna j.

La componente o elemento ij de A, denotado por a ij, es el numero que aparece en el reglón i y la columna j de A. En ocasiones se escribirá la matriz A como A=(aij ) .

Por lo general, las matrices se denotarán con letras mayúsculas.

Si A es una matriz m xn con m=n, entonces A se llama matriz cuadrada. Una matriz m xn con todos los elementos iguales a cero se llama matriz cero de m xn. Se dice que una matriz m xn tiene tamaño m xn.

LOCALIZACIÓN DE LOS COMPONENTES DE UNA MATRIZ

Encuentre los componentes 1,2 ;3,1 y 2,2 de la matriz.



A=[1 6 42 −3 57 4 0] 1,2=6

3,1=72,2=−3

IGUALDAD DE MATRICES

Dos matrices A=(ai j) y B=(b i j) son iguales si son del mismo tamaño y las componentes correspondientes son iguales:

1) [4 1 52 −3 0] y [1+3 1 2+3

1+1 1−4 6−6] si

2) [−2 01 3 ] y [0 −2

1 3 ] no

3) [1 00 1] y [1 0 0

0 1 0 ]

SUMA DE MATRICES

Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices m xn. Entonces la suma de A y B es la matriz de m xn, A+B dada por.

A+B= (aij+bij )=[ a11+b11

a21+b21

a12+b12⋯ a1n+b1n

a22+b22⋯ a2n+b2n

⋮ ⋮ ⋮am1+bm2 am2+bm2⋯ amn+bmn

] Es decir, A+B es la matriz m xn que se obtiene al sumarlas componentes correspondientes de A y B. “la suma de dos matrices esta definida solo cuando las matrices son del mismo tamaño.



MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR:

∝=Escalar o número.

Si A=(aij ) es una matriz dem xn y si α es un escalar, entonces la matriz mxn ,α A, esta dada por:

En otras palabras α A=(α aij) es la matriz obtenida al multiplicar cada componente de A por α .si α A=B=(bij) entonces bij=α aij para i=1,2….m y j=1,2….n

MÚLTIPLES ESCALARES DE MATRICES


α=(α aij )=|α a11 α 12 α 1n

α a21 α a22 α a2n

α am1 α am2 α amn|

sea A=[1 −3 43 1 42 −3 5

267]Entonces 2 A=[ 2 −6 8

6 2 8−4 6 10

41214 ] 1

3A=[

−13

1−43

−1−13

−43

−23

−1−53

−23

−2−23 ]

OA=[0 0 00 0 00 0 0

000]


SUMA MULTILPLE ESCALARES DE 2 VECTORES

TEOREMA:

Sean A, B, y C tres matrices de m xn y sean α y β dos escalares. Entonces

NOTA: El cero en la parte 1) del teorema es la matriz cero dem xn .

En la parte 2) el cero a la izquierda es un escalar mientras que el cero a la derecha es la matriz cero de m xn

Ejemplo. Ley asignativa


Seaa=[4613] yb=[−2

430

] calcule 2a−3b

2a−3b=2 [4613]−3[−2

430

]=[ 81236

]+[ 6−12−90

]=[ 140

−76

]

1) A+0=A2) 0 A=03) A+B=B+A4) ( A+B )+C=A+ (B+C )5) α (A+B )=αA+αB6) 1 A=A7) (α+β ) A=αA+βA


PRODUCTOS VECTORIALES Y MATRICIAL

Ejemplo: Producto de un escalar de demanda y un vector de precios. Supóngase que un fabricante produce 4 artículos. Su demanda está dada por el vector de demanda d= [30 20 4010 ] (una matriz de 1×4 ¿ . El precio por unidad que recibe el fabricante por los artículos está dada por el vector de precios

p=[$ 20$15$18$ 40

](Una matriz de 4×1¿ . Si se cumple la demanda, ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?


([1 4 −23 −1 0 ]+[2 −2 3

1 −1 5])+[3 −1 20 1 4 ]=¿

[3 2 14 −2 5]+[3 −1 2

0 1 4 ]=[6 1 34 −1 9]

[1 4 23 −1 0]+([2 −2 3

1 −1 5]+[3 −1 20 1 4])=¿

[1 4 23 −1 0]+[5 −3 5

1 0 9]=[ 6 1 34 1 −9]

[ 302040 10 ] [$ 20$15$18$ 40

](30 ) ($ 20 )+(20 ) ($ 15 )+(40 ) ($18 )+(10 ) ($ 40 )=$2020.00

[ 302040 10 ] [$ 20$15$18$ 40

]=[ 2020 ]


PRODUCTO DE DOS MATRICES.

Sea A=(aij) una matriz de mxn, y sea B=(bij ) una matriz de nxp. Entonces el

producto de A y B es una matriz mxp, C=(cij ) ,en donde:

Cij=(renglon de i de A ) . (columnaj deB )

Es decir el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A y la columna j de B si esto se extiende se obtiene:

Cij=ai1b1 j+ai2b2 j+⋯+a¿bnj

Si el numero de columnas de A= al número de renglones de B, entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación.

Ejemplo:

Si A=[ 1 3−2 4 ]Y B=[3 −2

5 6 ], calcule AB y BA .

AB=[ 1 3−2 4 ][3 −2

5 6 ]=[18 1614 28]

C11=(1 ) (3 )+(3 ) (5 )=18

C12=(1 ) (−2 )+(3 ) (6 )=16

C21=(−2 ) (3 )+ (4 ) (5 )=14

C22=(−2 ) (−2 )+ (4 ) (6 )=28

BA=[3 −25 6 ] [ 1 3

−2 4]=[ 7 1−7 39]



Calcule AB y BA.

A=[ 2 0 −34 1 5 ] y B=[ 7 −1 4

2 5 0−3 1 2

7−43 ]=[23 −5 2

15 6 265

39]

(2x7) + (0x2) + (-3x3) = 23

(2x-1) + (0x5) + (-3x1) = -5

(2x4) + (0x0) + (-3x2) = 2

(2x7) + (0x-4) + (-3x3) = 5

(4x7) + (1x2) + (5x-3) = 15

(4x-1) + (1x5) + (5x1) = 6

(4x4) + (1x0) + (5x2) =26

(4x7) + (1x-4) + (5x3) =39

Ejercicio

[ 2 3−1 2] [4 1

0 6]=[ 8 2−4 1]

(2x4) + (3x0) = 8

(2x1) + (3x6) = 2

(-1x4) + (2x0) = -4

(-1x1) + (2x6) = 1

Ejercicio

[ 1 60 4

−2 3] [7 1 42 −3 5 ]=[ 19 −17 34

8 −12 20−8 −11 7 ]



[ 1 4 0 2 ] [3−62410

−23]=[ 7 16 ]

Encuentre una matriz A=[a bc a] tal que:

A=[2 31 2]=[1 0

0 1 ]

[ 2 −3−1 2 ] [2 3

1 2]=[1 00 1]

(2x2) + (-3x1) = 1

(2x3) + (-3x2) = 0

(-1x2) + (2x1) = 0

(-1x3) + (2x2) = 1



INVERSA DE UNA MATRIZ

Sea A una matriz de n x n si se puede encontrar una matriz B tal que AB=BA=In entonces se dice que A es invertible, y AB se le llama la inversa de A. si no existe esta matriz B entonces A no tiene inversa. Ejemplo demuestre

que la matriz A=[1 23 4 ] tiene como inversa la matriz B=[−2 1

32

−12 ]

AB=[1 23 4 ][−2 1

32

−12 ]=[1 0

0 1]=I 2

BA=[−2 13/2 −1 /2] [1 2

3 4]=[1 00 1]

Sea A una matriz invertible su inversa esta denotada por A-1

Eliminación de gauss-Jordán para encontrar una inversa de una matriz.

Sea A una matriz de n x n:

1.- se adjunta a A la matriz de identidad de n x n, para formar la matriz [A: In].

2.- se calcula de forma escalonada reducida de [A: In].

- si la forma escalonada reducida es de la forma [In: B] entonces B es la forma inversa de A.

- si la forma escalonada reducida no es de la forma [In: B], debido a que la primera submatriz de n x n no es In, entonces A no tiene inversa.



Ejemplo:

Determine la inversa de la matriz.

A=[ 1 −1 −22 −3 −5

−1 3 5 ]=[a : I 3 ][ 1 −2 −22 −3 −5

−1 3 5

1 0 00 1 00 0 1]=¿

(R2→R1+R2 )(R3→R1+R3 )

=[1 −1 20 −1 −90 2 7

1 0 0−2 1 01 0 1]=¿

(R2→−R2 )=[1 −1 20 1 90 2 7

1 0 02 −1 01 0 1]= (R1→R2+R1 ) ,

(R3→2 R+R3 )=¿

[1 0 110 1 90 0 −11

3 −1 02 −1 0

−3 2 1]=(R3→1

−11)R3

[1 0 110 1 90 0 1

3 −1 12 −1 0311

−211

−111

]= (R1→−11R3+R1 )(R 2→−9R3+R2 )

,

[1 0 00 1 00 0 1

0 1 1−5 /11 7 /11 9/113 /11 −2 /11 −1/11]

A−1=[ 0 1 1−5/11 7/11 9/113/11 −2/11 −1/11]

A-1=[ 0 1 1−5/11 7/11 9/113/11 −2/11 −1/11 ][ 1 −1 2

2 −3 −5−1 3 5 ]=[1 0 0

0 1 00 0 1]



TEOREMA

Una matriz de A de n x n invertible si y solo si su forma escalonada reducido es In

TEOREMA

Sea AX=B un sistema de n ecuaciones lineales con n variables. Si A-1 existe, la solución es única y esta dado por X=A-1B.

Demostración: primero se prueba que X=A-1B es una solución.

Sustituyo X=A-1B en la ecuación matricial. Al usar las propiedades de las matrices se obtiene.

AX = A (A-1 B) = (AA-1) B = InB = B

X=A-1B satisface la ecuación, por lo que es una solución.

Ahora se prueba la unidad de la solución. Sea X, una solución. Por lo tanto AX1=B multiplicando ambos lados de esta ecuación por A-1 se obtiene

A-1AX1=A-1B

InX1=A-1B

X1=A-1B

De manera que hay una única solución X1=A-1B

Resuelva el sistema de ecuaciones

X1 -X2 +2X3=1

2X1 -3X2 -5X3=3

-X1 +3X2+5X3=-2



[ 1 −1 22 −3 −5

−1 3 5 ] [X1

X2

X 3]=[ 1

3−2]

[ 0 1 1−511

711

911

311

−211

−111

] [ 1 −1 22 −3 −5

−1 3 5 ][X 1

X 2

X 3]=[ 0 1 1

−5 /11 7 /11 9 /113 /11 −2 /11 −1/11] [

13

−2]

[1 0 00 1 00 0 1 ][X1

X2

X3]=[ 0 1 1

−5/11 7/11 9/113/11 −2/11 −1/11][

13

−2]

[X1

X2

X3]=[ 0 1 1

−5/11 7/11 9/113/11 −2/11 −1/11][

13

−2] X1=0+3−2=1

X2=−511

+ 2111

−1811

=−211

X3=3

11− 6

11+ 2

11=−1

11

COMPROBACION:

X1−X2+2 X3=1

1−(−211 )+2(−1

11 )=1∨¿

1=1

2 X1−3 X 2−5 X3=3

2 (1 )−3(−211 )−5(−1

11 )=3

2+ 1111

=3

3=3



TEOREMA DE CRAMER

Es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación Gasussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Si Ax=bes un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, x=(x1 ,……………, xn )es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

x j=det ( A j )

(A )

Donde A j es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.


http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema

http://es.wikipedia.org/wiki/SIMD

http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_gaussiana


EJEMPLO:

Solución de un sistema de 3x3 usando la regla de cramer.

Resuelva el siguiente sistema usando la regla de cramer.

2 x1+4 x2+6 x3=18

4 x1+5 x2+6 x3=24

3 x1+x2−2 x3=4

D=|2 4 64 5 63 1 −2|=(20+24 ¡32 )−(90+12−32 )=6≠0

D1=|18 4 624 5 64 1 −2|=(−180+144+96 )− (120+108−192 )=24 X1=

246

=4

D2=|2 18 64 24 63 4 −2|=(−96+96+324 )−( 432+48−144 )=−12 X2=

−126

=−2



D3=|2 4 184 5 243 1 4 |=(40+72+288 )−(270+64+48 )=18 X3=

186

=3

x1=Dx1

D=24

6=4

x2=Dx2

D=−12

6=−2

x3=Dx3

D=18

6=3

AUTOEVALUACION

1.- ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es cierta para la matriz (1 2 37 −1 0) ?

a) es una matriz cuadrada.

b) Si se multiplica por el escalar -1, el producto es. (−1 −2 −3−7 1 0 )

c) Es una matriz de 3x2.

d) Es la suma de (3 1 47 2 0) y (−2 1 1

0 1 0)e) 2.- ¿Cuál de los dos incisos es 2 A−4 Bsi A= (2 00 ) y B=(31)?a) (−8−4 )b) (50 1)c) (16−4 0)d) Esta operación no se puede realizar.

3.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta cuando se encuentra la diferencia de dos matrices?

a) Las matrices deben ser del mismo tamaño b) Las matrices deben ser cuadradas.c) Las matrices deben ser ambas vectores reglón o vectores columna.d) Una matriz debe ser un vector reglón y la otra un vector columna.

4.- ¿Cuáles serian los elementos de la segunda columna de la matriz B si.

(3 −4 02 8 −1)+B=(0 0 0

0 0 0) ?a) −2 ,−8 ,1b) 4 ,−¿8



c) 2 ,8 ,−1d) −4 ,8

5.- ¿Cuál de las siguientes debe ser el segundo reglón de la matriz

Bsi3 A−B=2C para A=(1 −1 10 0 34 2 0)+C=(1 0 0

0 1 00 0 1)?

a) −3 ,2 ,6b) 0 ,−2 ,9c) 3 ,−2,6d) 0 ,2 ,−9

UNIDAD IV

Objetivo:

Conocerá y aplicara las definiciones de espacio y subes pació vectorial en la solución de problemas.

Definición:

Un espacio vectorial es un conjunto V de elementos llamados vectores, cuyas operaciones de adición y multiplicación por un escalar se encuentran definidas en él y satisfacen las siguientes condiciones:(U ,V Y W ) son elementos cualesquiera de v , c y d son escalares.

Axiomas de cerradura.


ESPACIOS VECTORIALES.


1.-La suma U+V existe y es un elemento V (V es cerrado bajo la adicion).

2.-CU es un elemento de V (V es cerrado bajo la multiplicación por un escalar).

AXIOMAS DE LA ADICIÓN.

3.-U+V=V +U (propiedad conmutativa).

4.-U+(V +W )=(U+V )+W (propiedad asociativa).

5.-Existe un elemento de V , denominado vector cero, que se denota cero, tal que U+O=U .

6.-Para todo elemento UdeV , existe un elemento llamado el negativo de U , que se denota –U , tal que U+(−U )=O.

7.-C (U+U )=CU+CV .

8.-(c+d )U=C U+d U .

9.-c (dU )=(cd )U .

10.-1U=U

Considere el conjunto de matrices reales de 2 x2. Denote que este conjunto con M 22. Este conjunto forma un espacio vectorial.

U=[a bc d ] V=[ e f

g h]U+V=[ a+e b+ f

c+g d+h]

U+V=¿ Es una matriz de 2 x2 por consiguiente M 22 es cerrada bajo la adición.

U=[a bc d ] U=[0 0

0 0] U+0=[a bc d ]=U


Axiomas de cerradura.


U=[a bc d ] −U=[−a −b

−c −d ] U+(−U )=[a−a b−bc−c d−d ]=[0 0

0 0]=0

El conjunto de matrices de M 22 de 2 x2 constituye un espacio vectorial. Las

propiedades algebraicas de M 22 son similares a la Rn. Asimismo se tiene que Mmn, el conjunto de matrices de mxn es un conjunto espacio vectorial.

TEOREMA

Sea V es un espacio vectorial V es u vector V , 0 el vector 0 de V , c un escalar y 0 es un escalar 0, entonces.

a) 0V=0b) c 0=0

c) (−1 )V=−Vd) Si c V=0, entonces c=0 a V=0.

DEMOSTRACIÓN

a) 0V +0V=(0+0)V (axioma 8)¿0V (Propiedad del escalar)

Sume el negativo de 0V , es decir −0V a ambos lados de ese ecuación.

b) (0V +0V )+(−0V )=0V +(−0V ) 0V +[(0V+(0V )) ]=0 (Axioma 4y 6)

0V +0=0 (Axioma 6) 0V=0 (Axioma 5)

c) (−1 )V +V=(−1 )V +1V (Axioma 10)

¿ [ (−1 )+1 ]V (Axioma 8)¿0V (Propiedad del escalar)¿0

Por lo tanto, (−1)V es el negativo de V (axioma 6)



SUBESPACIOS

Ciertos subconjuntos de espacios vectoriales forman espacios vectoriales ellos

mismos. Para motivar los conceptos, observe de nuevo el espacio vectorial Rn .

El espacio Rn es un conjunto de vectores en el que se han definido las

operaciones de adicion y multiplicación por un escalar Rn es cerrado bajo

estas operaciones. Si se suma dos vectores en Rn obtiene un elemento de Rn

por un escalar obtiene un elemento de Rn , por ejemplo en Rn

(1,2,5 )+(3,1,7 )=(4,3,12 ) y 3 (1,−2 ,5 )(3 ,−6,15)


Elemento de R3

Elemento de R3

Elemento de R3

Elemento de R3

Elemento de R3


Considere ahora a ciertos subconjuntos de Rn que tienen las mismas características de cerradura.

Considere el sub conjunto V de R3 ,

que consta de los vectores de la forma (a, a, b).V consta de todos los elementos de R3 que tienen las primeras dos componentes iguales. Por ejemplo(2,2,3) y (1,2,3) no pertenece a V observe que si multiplica un elemento de V por

un escalar , obtiene un elemento de V. sean (a,a,b) y (c,c,d) elementos de V y sea K un escalar. Así

(a ,a ,b )+ (c , c , d )=(a+c ,a+c ,b+d )∑V

K (a ,a ,b )=¿

En V se definen las operaciones de adicción y multiplicación por un escalar V también es cerrado bajo estas operaciones y posee las características algebraicas del espacio vectorial R3 ,



BASES Y DIMENSIONES

DEFINICION: UN Conjunto finito de vectores {v1 ,…. , vm } recibe el nombre de bases de un

espacio vectorial V si el conjunto genera V y es linealmente independiente.

Una base es un conjunto eficiente para representar un espacio vectorial, en el sentido de cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de la base; además los vectores de la base son independientes unos de otros.



Definición: el conjunto de n vectores ¿ es una base para Rn . esta base recibe el nombre de

base canonica para Rn .

Se tiene que demostrar que el conjunto genera a Rn . y que es linealmente independiente.

Sea (x1 , x2 ,…. , xn) un elemento cualquiera de Rn . puede escribir

(x1 , x2 ,…., xn )=x1 (1,0 ,…0 ) , x2( 0,1..0 ) xn(0 ,.. ,1)

Entonces el conjunto genera a Rn además, cuando se analiza este conjunto para establecer la independencia lineal se obtiene que

C1 ( (1,0 ,…0 ) )+C2 ( (0,1..0 ) )+…Cn¿

(C ¿¿1 ,0 ,…,0)+(0 ,C2…,0 )+….+ (0 ,…,Cn )=(0,0 ,…0)¿

C1,C2…,Cn=(0,0 ,…,0 )

Por lo que C1=0 ,C2=0 ,….. ,Cn =0. El conjunto es linealmente independiente:

Por lo tanto, el conjunto ¿ es una base para Rn .encontara que hay muchas bases para Rn . sin embargo, la base canonica es la mas importante.

Demuestre que el conjunto{(1,0 ,−1 ) , (1,1,1 ) , (1,2,4 ) } es una base para R3.

Sea (x1 , x2 , x3 ) un elemento cualquiera en R3 .

Seaa1 , a2 , a3 escalares en R3 .



(x1 , x2 , x3 )={a1 (1,0 ,−1 ) , a2 (1,1,1 ) , a3 (1,2,4 ) }

a1+a2+a3=x1

a2+a3=x2

−a1+a2+a3=x3

| 1 1 10 1 2

−1 1 4|=(4−2 )— (1+2 )=4−2+1−2=1

|x1 1 1x2 1 2x3 1 4|=( 4 x1+x2+2 x3 )−(x3+2 x1+x2 )=¿

4 x1+x2+2x3−x3−2x1−x2=a1=2 x1−3x2+x3

| 1 x1 10 x1 2

−1 x1 4|=( 4 x2−x1 )−(−x2+2 x3 )=¿

4 x2−2x2+x2−2 x3=a2=−2x1+5 x2−2x3

| 1 1 x1

0 1 x2

−1 1 x3|=(x3+x2 )−(−x1+x2 )=¿

x3−x2+ x1−x2=a3=x1−2 x2+ x3



Demuestre que los conjuntos son bases para R3


a¿ . {(1,1,1 , ) , (0,1,2 ) , (3,0,1 ) }

|1 0 31 1 01 2 1|=(1+6 )−(3 )?7−3=4

|x1 0 3x2 1 0x3 2 1|=(x1+6 x2 )−(3x¿¿3)=x1+6 x2−3 x3 ¿

¿ x1+6 x2−3x2

|1 x1 31 x2 01 x3 1|=(x2+3 x3 )−(3 x¿¿2+ x1)¿

x2+3x3−3x2+x1

¿−x−3 x2+3 x3

|1 0 x1

1 1 x2

1 2 x3|=(x3+2x1 )−(x¿¿1+2x2)¿

¿ x3+2x1−x1−2 x2

¿ x1−2 x2+x3


D E M O G R A F I A Y P R E D I C C I O N D E L T I E M P O

La población que podría describir mediante una sucesión de vectores

x0 , x1(¿ px¿¿0), x2 (¿ px1 ) , x3( px¿¿2) ,…. , p¿¿es la matriz de probabilidad de

transición que nos lleva de un vector a otro de la sucesión. A estas sucesiones

(o cadenas) de vectores se les llama cadena de Markov. Las cadenas de

Markov son de interés especial en las que la sucesión x0 , x1 , x2 ,… converge

algún vector fijo x . Para el que Px=x . El movimiento de población estaría en un

estado estable en el que según esto las poblaciones de la ciudad y de los

alrededores permanecerían constantes. Se escribe x0 , x1 , x2 ,…..→x como este

vector x satisface px=x ,esta seria un vector propio de P correspondiente al

valor propio 1.

DEFINICIÓN

Se dice que la matriz de transición P y una cadena de Markov es regular si

existe alguna potencia de P en la que todos sus componentes son positivos. En

este caso se dice que la cadena de Markov es una cadena de Markov regular.

Ejemplo



Determine si las siguientes matrices de transición son regulares.

Teorema


a¿ A=[0.3 0.60.7 0.4 ] La matriz es regular por que todos los elementos son positivos

B=[0.7 10.3 0]B2=[0.79 0.7

0.21 0.3] [0.7 10.3 0 ][0.7 1

0.3 0]=[0.79 0.70.21 0.3]

C=[0.4 00.6 1]B2=[0.16 0

0.84 1] [0.4 00.6 1] [0.4 0

0.6 1][0.16 00.84 1]


Considere con una cadena de Markov regular que tiene vector inicial x0 y una

matriz de transición P entonces.

Determine la tendencia, a largo plazo en los movimientos de población que hay entre las ciudades y los alrededores en estados unidos.

Se estima que el número de personas que vivían en las ciudades de estados unidos en el año 2000 era 58 millones y el número de personas que vivían en los alrededores de las ciudades era 142 millones. Durante el año 2000, la probabilidad de que una persona se quedara en la cuidad era 0.96, por lo que la probabilidad de quede se desplazara en los alrededores era 0.04 la probabilidad de que una persona se cambiara a la cuidad era de 0.01, la probabilidad de que se quedara a los alrededores 0.99.


1. x0 x1 x2 ,……→x ,donde x satisface Px=x

2. P ,P2 ,P3,…→Q ,donde esunamatriz estadistica : todas las columnasdeQ sonidenticas

y cadaunaesun vector propiode Pcorrespondiente aγ=1

x0=[ 58142]

Población en la cuidad para el año 2001 ¿ (96×58 )+(0.01×142 )=57.1

Población en la alrededores para el año 2001 ¿ (0.04×58 )+(0.99×142 )=142.9

Cuidad alrededores

P=[0.96 0.010.04 0.99]

P2=[0.96 0.010.04 0.99][0.96 0.01

0.04 0.99 ]=[0.922 0.01950.078 0.9805 ]

P2 X1=[0.922 0.01950.078 0.9805]

POB. (2002 )CUIDAD=55.43275


Por los vectores propios de P correspondiente a γ=1 son vectores distintos de cero de la forma.


P2=[0.96 0.010.04 0.99][0.96 0.01

0.04 0.99 ]=[0.922 0.01950.078 0.9805 ]

P2 X1=[0.922 0.01950.078 0.9805]

POB. (2002 )CUIDAD=55.43275


UNIDAD V


r [ 14]

r+4 r=58+142

5 r=200

r=2005

r=40

4 r=160

x=[ 40160 ]


5.1 DEFINICIÓN DE TRANSFORMACIÓN LINEAL Y SUS PROPIEDADES.

Transformaciones lineales.

OBJETIVO DE LA UNIDAD

Conocerá el concepto de la transformación lineal para aplicarlo en

problemas geométricos y de física.

En un espacio vectorial se definen dos operaciones: la adicción y la

multiplicación con un escalar las transformaciones lineales entre espacios

vectoriales observase estas estructuras lineales.

Definición

Sea U, V espacios vectoriales. Sean U, V vectores en U y sea C un escalar.

Una transformación T: U→V es lineal si,

T (U+V )=T (U )+T (V )

T (CU )=cT (U )

La primera condición implica que T convierte la suma de los vectores en la

suma de los imágenes de los vectores la segunda condición implica que T

convierte el múltiplo escalar de un vector en el múltiplo escalar de la imagen.

De esta manera, las operaciones de la adición y multiplicación por un escalar

se conserva bajo una transformación lineal.



TRANSFORMACIÓN DE UN VECTOR DE PRODUCCIÓN DE UN VECTOR

DE MATERIA PRIMA

Un fabricante hace 4 tipos diferente de productos, cada uno requiere 3 tipos de

materiales. Se denota los 4 productos por P1 ,P2 , P3 ,P4 ya los materiales por

R1 ,R2 y R3. En la tabla siguiente da el número de unidades de cada materia

prima para fabricar una unidad de cada producto.

P1 P2 P3 P4

R1 2 1 3 4

R2 4 2 2 1

R3 3 3 1 2

Si se produce cierto número de los 4 productos ¿Cuántas unidades de cad

material se necesitan? Sean P1 ,P2 , P3 ,P4 el número de artículos fabricados de

los 4 productos sean R1 ,R2 y R3 el número de unidades del usuario de los 3

artículos.

P=[P1

P2

P3

P4]r=[r1

r2

r3]A=[2 1 3

4 2 23 3 1

412 ]


Necesarios para producir 1 unidad de

Número de unidades de m.p


Definición. Una transformación lineal de un espacio vectorial V en un espacio

vectorial W es una función de V en W, T: V ® W, que es lineal, esto es para

todo u, v Î V y todo a, b Î R verifica: T (a u + b v) = a Tu + b T v.

Es claro que esa condición es equivalente a que se verifiquen, para todo a Î R

y todo u, v Î V, las dos condiciones: T (a u) = a Tu y T (u + v) = Tu + T v.

En algunos textos se llaman transformaciones lineales las funciones lineales

de un espacio vectorial V en sí mismo. Para distinguir el vector cero de V del

vector cero de W y del número 0, se indicará con 0V el vector cero de V, y con

0W el vector cero de W.

Se observa que para toda transformación lineal de V en W, la imagen de 0V es

0W, pues:

T0V = T (00V) = 0T0V = 0W.

Para todo espacio V, la función identidad, I: V ® V, que a todo vector v Î V

le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará

esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la

función identidad en otro espacio vectorial.

Dados dos espacios V y W, la función cero, 0: V ® W, en la que todo vector v

Î V tiene por imagen el vector 0W, también es lineal.

5.2 EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES



Siguen algunos ejemplos de transformaciones lineales.

1. Sea V un espacio de dimensión finita y sea { v1,...,vm } una base de V sobre

R. Se define una función T: V ® R, asignando como imagen a cada vector v

= a1v1 +...+ am vm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si

v¢ = b1v1 +...+ bmvm, entonces:

2. Usando la misma notación del ejemplo anterior, la función T: V ® Rm

definida por:

T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.

3. La derivación de polinomios, D: R [X] ® R [ X], es lineal.

4. Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea w Î V un vector de

norma 1. La función T: V ® V que a cada v Î V le asocia la proyección

ortogonal de v sobre w es lineal, porque la proyección de v es Tv = (v.w)w y

T(au + b v) = [(au + b v). w] w = a (u. w) w + b(v. w) w = a Tu +b Tv.

5. Si V = V1 Å V2, todo v Î V se escribe en la forma v = v1 + v2, con v1 Î V1

y v2 Î V2 únicos. Se define entonces la proyección de V sobre V1 según V2,

como la función T: V ® V dada por Tv = v1 para todo v Î V.

Es simple verificar que con estas operaciones de suma de transformaciones y

producto de números por transformaciones el conjunto de todas las

transformaciones lineales de V en W es un espacio vectorial.


T(av + bv¢) = T[(aa1 + bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm]

= aa1 + bb1 = aTv + bTv¢.


Dadas dos transformaciones lineales, S: V ® U y T: U ® W, tales que el

conjunto de llegada de S coincide con el conjunto de partida de T, está definida

la composición de las transformaciones, que está dada por (TS) v = T (Sv)

para todo v Î V. Es fácil demostrar que si S y T son lineales, la composición

de S con T también es lineal.

En particular, está definida la composición de cualquier par de

transformaciones lineales de un espacio vectorial V en sí mismo. La

composición es en este caso una operación en el espacio vectorial de todas las

transformaciones lineales de V en V. Este es un producto asociativo porque la

composición de funciones siempre lo es.

Un espacio vectorial con un producto asociativo con estas propiedades, se

dice que es un álgebra sobre R.

En la próxima sección se introducirá el álgebra Mn(R) de las matrices de n filas

y n columnas de números reales.

A toda transformación lineal T: V ® W, se le asocian un subespacio del

dominio V y un subespacio del con dominio W.

Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una

transformación lineal de V en W, es una función

tal que:

i)

ii)

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las

operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca

escalares”.



Transformaciones lineales:

Notación standard de la transformada lineal es: V se denomina de T. Si v

pertenece a V y w esta en W, T (v) = w donde w será la imagen de v bajo T, el

conjunto de todas las imágenes se llama contra dominio de T y el conjunto de v

de V tales que T (v) = w se llama pre imagen de w.

La definición de transformación lineal es que todo espacio vectorial en V y W se

puede hacer transformación lineal si cumplen con los axiomas de la distribución

bajo la suma (T(U + V) = T( U ) + T ( v )) y la multiplicación por un escalar (T(c

U)= c T(u)). Cumpliendo con lo anterior la transformada lineal tiene sus

propiedades que son :

T(0) = 0

T(-v) = - T(v)

T(v-u) = T(v)-T(u)

Sí v = c1v1 + c2v2 + .. + cnvn entonces v = c1 T(v1)+ c2 T(v2)+ ...

+ cn T(vn).

Para definir una transformación lineal por una matriz esta se notara así: siendo

a la matriz m x n la función T se definirá T(v) = Av que suma transformación

lineal de Rn en Rm.

El núcleo se puede encontrar definiendo la transformada así. T(v) = 0 esto

también se denomina como Kernel de T y se denota Ker (T) para que sea

núcleo esta debe cumplir que Ax = 0.

La dimensión del núcleo se llama nulidad y la dimensión del contradominio de T

se llama rango (si A = matriz entonces el rango de T va ser = rango de A).

Dimensión del dominio = dimensión del rango + dimensión del núcleo.

Las transformaciones lineales puede ser uno a uno que son aquellas que la

preimagen de W consta de un solo vector, o sea, será uno a uno para toda u y

v en V, T (u) = T (v), también hay que tomar en cuenta que kernel (T) = 0.



También las transformadas lineales puede ser sobre si y solo si el rango de T

es igual a la dimensión de W. Y un transformación lineal es directa si es uno a

uno y sobre.

Existencia de una transformación inversa:

Sea T: Rn! Rn una transformada de una matriz standard. Debe cumplir las

siguientes condiciones:

T es invertible

T es un isomorfismo

A es invertible

Si T es invertible con matriz standard A, entonces la matriz standard de T-1 es

A-1.

Un caso especial seria cuando V 0 W y B = B', don de la matriz A que se

denomina matriz de T con respecto a la base B. En este caso la matriz de la

transformación identidad es simplemente In.



6.3 DEFINICIÓN DEL NÚCLEO O KERNEL, E IMAGEN DE UNA

TRANSFORMACIÓN LINEAL

Definición Sea una transformación lineal. Se define el Kernel o

Núcleo de la transformación lineal , denotado por al conjunto de las

pre imágenes del vector nulo, es decir

Ejemplo Hallar el conjunto de as pre imágenes del vector nulo para la

transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores de tales que:

Luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos


Evaluado t 1¿

Es decir ¿

[2 3 11 −3 −1]→[1 0 0

0 1 1/3]Por lo tanto x=0 y+ 1

3 γ=0

lo cual ( x . y , z )=¿


6.4 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Y

REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Representación matricial de una transformación lineal.

Sea T :V !"! W una T.L con dim V = n, dim W = m si {e1,...,en} es una base de V

y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t (ek) puede expresarse con

unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir

T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t (ek) respecto a la

base ordenada {w1,... ,wm}.

Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una

columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así

una matriz de orden m × n.

Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W

da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de

t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación

matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm},

para w.

Definición Sean U,V dos espacios vectoriales sobre , además B= {U 1 ,U 2 ,… ..U N } , C=V 1 ,V 2 ,… ..V M }

bases ordenadas de U,V respectivamente y Tuna transformación lineal de U en

Se define la matriz asociada a en las bases B,C



Denotada por

Donde

Además si la base C del espacio de partida es igual al del espacio de

llegada, la matriz asociada a la transformación lineal se denota por

6.5 TRANSFORMACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de

un sistema equivalente si:

Se intercambian dos renglones. Símbolo Ri Rj.

Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero.

Símbolo: kRiRi.

Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón.

Símbolo: kRi+Ri

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Resuelve el sistema:

x + 2y + 3z = 9

4x + 5y + 6z = 24



3x + y - 2z = 4

Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra

matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos

símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede

encontrar ahora por sustitución.

La matriz final de la solución es una forma escalonada.

En general, una matriz esta en forma escalonada si satisface estas

condiciones:

El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.

La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.

Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz



Ejemplo:

Sea la matriz:

es "una matriz escalonada"

Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.

Localizar la primera columna que contenga elementos diferentes de

cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener

1 en el primer reglón de esa columna.

Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj

Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en

cada uno de los reglones restantes .

Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que

contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones

elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el

segundo renglón de esa columna.

Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj

Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en

cada uno de los renglones restantes.

Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la

siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir

el procedimiento .

Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones

lineales.



Ejemplo:

Resuelve el sistema:

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de

ecuaciones:

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación

vemos que w = -1; de la tercera ecuación vemos que z = -2 . Sustituimos en

la segunda ecuación, y obtenemos:

y - 2z - w = 6



y - 2(-2) - (-1) = 6

y + 4 + 1 = 6

y = 1

Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:

x + z + 2w = -3

x + (-2) + 2(-1) = -3

x - 2 - 2 = -3

x = 1

Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = -2, w = -1.



5.6 ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Sean F ,G∈L(U ,V ) podemos definir la suma de transformaciones lineales,

dada por:

También podemos definir la multiplicación por escalar.

Sean F ,G∈L (U ,V )σ∈K definamos la multiplicación por escalar de una

transformación lineal, dada por

Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en

el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los

elementos T1, T2, T3 A y F:

T1 (T2+T3)=T1T2+T1T3

(T2+T3)T1=T2T1+T3T1

(T1T2)= (T1) T2=T1(T2)

Si además se cumple que (T1T2)T3=T1 (T2T3) entonces A es un álgebra

asociativa

Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F.

Sean T1: VU y T2: UW dos transformaciones lineales.

Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a

W (T2T1) : VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v))



5.7 APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.

Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número

de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e

imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.

Ejemplo

Dada la transformación lineal

Determinar todos los espacios propios asociados a F, sabiendo que 2,-2

son los únicos valores propios. Solución: Determinemos el espacio propio

asociado al valor propio 2.

V2 = {(x; y) / T(x; y)=2(x; y)}

= {(x; y) / (x+y;3x- y)=2(x; y)}

= {(x; y) / (-x+y;3x-3y)=(0;0)}

= {(x; y) /-x+ y=0

= < (1;1) >

Para el otro valor propio procedemos de manera similar

V-2 = {(x; y) /T(x; y)=-2(x; y)}

= {(x; y) / (x+ y; 3x- y)=-2(x; y)}

= {(x; y) / (3x+y; 3x+y)=(0;0)}

= {(x; y) / 3x+ y= 0} = < (1;-3) >



Ejemplos de Aplicaciones de las Transformaciones Lineales

1. Una casa editora publica un libro en tres ediciones diferentes: cubierta

dura, cubierta blanda y cubierta de lujo. Cada libro requiere cierta

cantidad de papel y de material para la cubierta. Los requisitos están

dados en gramos por la siguiente matriz:

Deja que

represente el vector producción, donde x1, x2, x3 representan el

número de libros con cubierta dura, cubierta blanda y cubierta de lujo

respectivamente, que se publican. La transformación lineal T: R3 → R2 definida

por T(x) = Ax nos da el vector , donde y1 representa la cantidad total de

papel requerido y y2 la cantidad de material para la cubierta. Suponga que

,

Entonces


Cubierta

dura

Cubierta

blanda

Cubierta

de Lujo

Papel 300 500 800

Material para la cubierta 40 50 60


Por lo que se requiere 810,000 gramos en papel y 87,000 gramos en

material para la cubierta.

2. ¿Puede una transformación lineal cambiar un dibujo por otro? Observa

como la transformación T; R2 → R2 definida por T(x, y) = (x, x+ y) cambia

los siguientes dibujos:



UNIDAD VI

6.1.- DEFINICIÓN DE VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA

MATRÍZ CUADRADA.

Sea t: v → v una transformación lineal. en una gran variedad de aplicaciones,

resulta útil encontrar un vector v en v tal que tv y v sean paralelos. esto es,

buscamos un vector v y un escalar λ tal que

T v = λv (1)

Si v ≠ 0 y λ satisface (1) entonces λ se denomina valor característico de t y v se

llama vector característico de t correspondiente al valor característico de λ. si v

es de dimensión finita, entonces t puede representarse por una matriz at. Por

esta razón discutiremos valores y vectores característicos de matrices de n x n.

Definición. Valor característico y vector característico.

Sea a una matriz de n x n con componentes reales. El número λ (real o

complejo) se llama valor característico de a si hay un vector v distinto de cero

en c n tal que

A v = λ v (2)

El vector v ≠ 0 se llama vector característico de a correspondiente al valor

característico λ.

Nota la palabra eigen significa "propio" o "apropiado" en alemán. Los valores

característicos se llaman también valores propios o auto valores, y los vectores

característicos, vectores propios o auto vectores.

Teorema 1. Sea a una matriz de n x n. entonces λ es un valor característico de

a si y sólo si

P (λ) = det (a - λi) = 0



Definición. Ecuación característica y polinomio característico.

La ecuación p (λ) = det (a - λi) = 0 se conoce como la ecuación característica

de a; p(λ) se conoce como el polinomio característico de a.

p(λ) es un polinomio de grado n en λ.

Por el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio de grado n con

coeficientes reales o complejos tiene n raíces exactamente (contando

multiplicidades).con esto queremos decir que, por ejemplo el polinomio (λ -1)5

tiene cinco raíces, todas iguales al número 1. Puesto que todo valor

característico de a es una raíz de la ecuación característica de a, concluimos

que:

Si se consideran multiplicidades, cada matriz de n x n tiene exactamente n

valores característicos.

Teorema 1 sea λ un valor característico de la matriz de a de n x n y sea eλ =

{v:av = λv}. Entonces eλ es un subespacio de cn

Teorema 2 sea a una matriz de n x n y sean λ1, λ2,...,λm valores característicos

diferentes de a con sus correspondientes vectores característicos de v1, v2, ...,

vm. Entonces v1, v2,..., vm son linealmente independientes. Esto es: los vectores

característicos correspondientes a valores característicos diferentes son

linealmente independientes.



6.3 DETERMINACIÓN DE LOS VALORES DE LOS VECTORES DE UNA

MATRIZ

Los valores y vectores característicos también son conocidos como valores y

vectores propios, son valores especiales que se calculan a una matriz en el que

intervine los términos como determinante, polinomio característico y

ecuaciones de infinitas soluciones.

La definición implica que para un vector propio el efecto de aplicarle la

transformación lineal que amplificarlo por el escalar . esto implica que un

vector y el vector transformado son colineales o paralelos y por lo tanto

linealmente dependientes.

Procedimiento para calcular propios y vectores propios

Halle p(λ) = det (a - λi).

Halle las raíces λ1, λ2, ..., λm de p(λ) = 0.

Resuelva el sistema homogéneo (a -λi i) v = 0 correspondiente a cada valor

característico de λi.

Ejemplo.

De esta manera los valores característicos de a son λ1= 1, λ2 = -2 y λ3 = 3. Para

λ1= 1 tenemos



Si resolvemos reduciendo por renglones, obtenemos, sucesivamente,



6.4 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES, POTENCIAS Y RAÍCES DE

MATRICES.

Potencia de una matriz

Si a es una matriz de n x n y si k es un entero positivo, entonces ak denota el

producto de k copias de a:

ak= a·a···a

Ejemplo:

a=

k= 2.

Multiplicación de matrices.

a2 =

Diagonalizar una matriz a es precisamente eso: escribirla de manera simple

encontrando una matriz invertible p y una diagonal d (si se puede) tales que

a = p d p-1

La matriz p se llama matriz de paso.

Puede que esto, al principio, no parezca más simple de lo que ya era a

directamente. Sin embargo, lo es desde muchos puntos de vista. dado que las

matrices suelen usarse para representar aplicaciones lineales, la expresión

anterior puede verse como un cambio de base de la aplicación representada

por a; entonces, esta forma de escribirlo dice: hay una base en la que la

aplicación lineal a tiene una forma muy simple (diagonal).



Esto es útil, por ejemplo, para clasificar una aplicación lineal y estudiar sus

propiedades. Las matrices se usan para representar otras cosas como cónicas,

cuadráticas o formas bilineales, y en estos casos también resulta útil esta forma

de expresarlas.

La relación anterior entre las matrices a y d es importante y aparece en muchos

contextos, así que tiene nombre propio:

Cuando dos matrices cuadradas a y b verifican que a = p b p-1 para cierta

matriz cuadrada p (invertible, claro) decimos que a y b son semejantes.

Una matriz es diagonalizable cuando se puede diagonalizar; es decir, cuando

podemos encontrar una matriz diagonal y una invertible de forma que la matriz

se escriba como dijimos antes. Dicho de otra forma: una matriz es

diagonalizable cuando es semejante a una matriz diagonal. Entonces, más

exactamente: una matriz es diagonalizable cuando es semejante a una matriz

diagonal real.

¿Cuándo y cómo podemos diagonalizar una matriz?

Si conseguimos escribir una matriz a como a = p d p-1 entonces podemos poner

también a p = p d. si d es diagonal y nos fijamos en la columna i de esta última

igualdad lo que tenemos es que a xi = λi xi (donde xi es la columna i de a y λi es

el número en el lugar i de la diagonal de d). Esto nos dice que para diagonalizar

una matriz nos hace falta conocer los vectores a los que les pase algo así.

Estos vectores también tienen nombre:

Si un número λ y un vector no nulo x verifican la relación a x = λ x diremos que

λ es un valor propio o autovalor de la matriz a y que x es un vector propio o

autovector de a asociado al valor propio λ.

Es fácil ver que diagonalizar una matriz a de tamaño n × n es lo mismo que

encontrar n vectores propios linealmente independientes asociados a valores

propios reales, ya que entonces podemos ponerlos por columnas y conseguir

así la matriz p (puedes comprobar que entonces se cumple la relación que

buscamos).



Entonces, para diagonalizar una matriz lo que tenemos que hacer es

buscar n vectores propios suyos linealmente independientes asociados a

valores propios reales.

¿Cómo encontrar valores y vectores propios de una matriz?

Es fundamental, pues, hallar los valores propios de a y los vectores propios

asociados. Como un vector propio l hace que el sistema ax = λx tenga solución

x distinta de cero, la matriz de coeficientes a −λi (donde i denota la matriz

identidad de orden n) debe tener determinante no nulo. Este determinante det

(a−λi) es un polinomio en λ de grado n y se denomina polinomio

característico de a.

Por otro lado, el conjunto de vectores propios de a asociados a un mismo valor

propio λ forman un subespacio vectorial de rn que se llama subespacio propio

asociado al valor propio λ, y es el núcleo de la matriz a −λi. Para concluir si

una matriz a es o no diagonalizable bastará pues averiguar si hay "suficientes"

valores propios reales para construir d y si hay “suficientes" vectores propios

linealmente independientes asociados; esta información nos la dará la

dimensión de los subespacios propios y queda recogida en el siguiente

resultado:

Una matriz real cuadrada de orden n es diagonalizable si y sólo si tiene n

vectores propios linealmente independientes asociados a valores propios

reales.

Además, el teorema espectral nos confirma un caso en el que siempre es

posible diagonalizar:

Toda matriz real simétrica es diagonalizable.

En este caso, se puede conseguir además que las columnas de la matriz de

paso p sean una base orto normal y por lo tanto que p sea una matriz

ortogonal.



6.5 DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS, DIAGONALIZACIÓN

ORTOGONAL

Teorema 1. Sea a una matriz simétrica real de n x n. entonces los valores

característicos de a son reales.

Teorema 2. Sea a una matriz simétrica real de n x n. si λ1 y λ2 son valores

característicos distintos con correspondientes vectores característicos reales v1

y v2, entonces v1 y v2 son ortogonales.

Teorema 3. Sea a una matriz simétrica real de n x n. resulta entonces que a

tiene n vectores característicos reales ortonormales.

Observación. Se concluye de este teorema que la multiplicidad geométrica de

cada valor característico de a es igual a su multiplicidad algebraica.

El teorema 3 nos dice que si a es simétrica entonces rn tiene una base b = {u1,

u2, ... un} que consiste de vectores característicos ortonormales de a. sea q la

matriz cuyas columnas u1, u2, ... un. Entonces q es una matriz ortogonal. Esto

nos conduce hacia la siguiente definición.

Definición. Matriz ortogonalmente diagonizable.

Una matriz a de n x n se dice que es diagonalizable ortogonalmente si existe

una matriz ortogonal q tal que

q'aq = d (1)

Donde d = diag. (λ1, λ2,..., λn) y λ1, λ2,..., λn son los valores característicos de a.

Nota. Recuerde que q es ortogonal si q' = q-1; por lo tanto (1) podría ser escrita

como q-1aq = d.

Teorema 4. Sea a una matriz real de n x n. entonces a es diagonalizable

ortogonalmente si y sólo si a es simétrica.



Procedimiento para encontrar una matriz diagonalizante q:

Encuentre una base para cada espacio característico de a.

Encuentre una base ortonormal para cada espacio característico de a, usando

el procedimiento gram- schmidt.

Establezca a q como la matriz cuyas columnas son los vectores característicos

ortonormales obtenidos en el paso (ii).

Ejemplo



6.6 FORMAS CUADRÁTICAS

La expresión algebraica

ax2 + bxy + cy2

En donde a, b y c son constantes es una forma cuadrática. Las formas

cuadráticas juegan un papel importante en la geometría. Mediante la

multiplicación de las matrices siguientes, esta forma cuadrática se escribe

como

A la matriz simétrica A asociada a esta forma cuadrática se le llama matriz de

la forma cuadrática.

Ejemplo Escriba la siguiente forma cuadrática en términos de matrices.

5x2 + 6xy - 4y2

Solución. Por comparación con la forma estándar ax2 + bxy + cy2, se tiene

a = 5, b = 6, c = -4

Entonces, la forma matricial de la forma cuadrática es



6.7.- TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON

En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de

los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo

endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo

cualquiera anula su propio polinomio característico.

En términos matriciales, eso significa que :

Si A es una matriz cuadrada de orden n y si

Es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X), entonces al

sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz

nula:

El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de

coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.

Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el

polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio

característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores

irreducibles que el polinomio característico.

Demostración.

Efectuamos la demostración sobre la matriz A. Definamos la matriz B(X) = tcom(XI − A). Sabemos que

Podemos interpretar los miembros y factores de esta igualdad como polinomios

en X con coeficientes en el anillo de las matrices cuadradas n x n con

coeficientes en K y esa igualdad implica que P(X).



I es divisible por la izquierda por XI − A. Esto implica entonces que el valor a la

derecha (igual en realidad aquí también a su valor a la izquierda, ya que se

obtiene B(X).(XI − A) = det(XI − A). I) del polinomio P(X).I para X = A es nula.

Este valor sólo es P(A), lo que termina la demostración.

Ejemplo

Consideremos por ejemplo la matriz

El polinomio característico se escribe

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que

A2 − 5A − 2I2 = 0

Y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el

teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de

modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior

A2 − 5A − 2I2 = 0

A2 = 5A + 2I2

Así, por ejemplo, para calcular A4, podemos escribir

A3 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2



y llegamos a

A4 = A3A = (27A + 10I2)A = 27A2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A

A4 = 145A + 54I2.

Podemos utilizar también la relación polinomio inicial A2 − 5A − 2I2 = 0 para

probar la invisibilidad de A y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar

una potencia de A donde sea posible y

A(A − 5I) = 2I2

Lo que demuestra que A admite como inverso



6.8 APLICACIONES

En este capítulo se mostrará cómo se pueden usar la teoría de los valores y

vectores característicos para analizar ciertos modelos de crecimiento de

población.

Supóngase que para cierta especie, la población en un periodo (que puede ser

de una hora, una semana, un año, etc.) es un múltiplo constante de la

población en el periodo anterior. Esto podría suceder, por ejemplo, si las

generaciones son distintas y cada organismo produce μ descendientes y

después muere.

Un ejemplo son las bacterias, que se dividen en dos a intervalos regulares.

Entonces μ = 2. Sea pn la población al final del periodo n-ésimo. Entonces, bajo

las suposiciones anteriores, tenemos que

pn = μpn-1.

Así, si p0 denota la población inicial, se tiene que p1= μp0, p2= μp1 = μ(μp0) =

μ2p0, etcétera, por lo que

pn = μnp0. (1)

Si μ = 1, la población permanece constante. Si μ < 1, la población disminuye, y

si μ > 1, aumenta.

Este modelo es obviamente demasiado simplista para que sea de mucha

utilidad. El número de descendientes producidos no es sólo función del número

de adultos sino también de la edad de los adultos. Por ejemplo, una población

humana en la que todas las mujeres tuvieran más de 50 años de edad, tendría

una tasa de multiplicación muy distinta que otra población en la que las mujeres

tuvieran todas edades entre 20 y 30 años. Para desarrollar una descripción

más exacta de la realidad, usamos un modelo matricial que permite aplicar

distintas tasas de multiplicación a los grupos de distintas edades.



Observamos ahora un modelo de crecimiento de la población para una cierta

especie de aves. En esta población de aves, suponemos que el número de

hembras es igual al número de machos. Sea pj,n-1 la población de hembras

jóvenes (inmaduras) en el año n -1, y sea pa,n-1 el número de hembras adultas

en el año n-1. Algunos de los pájaros jóvenes sobreviven para llegar a ser

adultos en la primavera del año n. Cada pájaro hembra sobreviviente produce

huevos más tarde en la primavera, que empollados, producen en promedio, k

hembras jóvenes en la siguiente estación primaveral. Los adultos también

mueren, y la proporción de adultos que sobreviven de una primavera a la otra

es β.

Es un hecho interesante y notable que no resulta demasiado simplista suponer

que la proporción de los animales que sobreviven es constante. Esto se

observa como el caso más natural en las poblaciones naturales de las aves

que han sido estudiadas. La tasa de supervivencia de los adultos de muchas

especies de aves es independiente de la edad. Tal vez pocos pájaros en

libertad sobrevivan lo suficiente como para exhibir los efectos de la vejez.

Además, para muchas de las especies, el número de descendientes parece

que no recibe la influencia de la edad de la madre.

En la notación introducida anteriormente, pj,n-1 y pa,n-1 representan,

respectivamente, las poblaciones de hembras jóvenes y adultas en el año n.

Juntando toda la información dada, llegamos al siguiente sistema 2 x 2:

pj,n = kpa,n-1 (2)

pa,n = αpj,n-1 + βpa,n-1

o

pn = Apn-1 (3)

Donde



Está claro de (3) que p1 = Ap0, p2 = Ap1 = A(Ap0) = A2p0, ..., y así

sucesivamente, por lo que

pn = Anp0 (4)

Donde p0 es el vector de las poblaciones iniciales de hembras jóvenes y

adultas

La Ecuación (4) es como la Ecuación (1), excepto que se ha podido distinguir

entre las tasas de supervivencia de los pájaros jóvenes y adultos.


Antologia de Matematicas IV

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