UNIDAD 11.- SISTEMA DECIMAL Y SEXAGESIMAL.1.1.- Concepto de grado, minuto y segundo.

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del número diez.

El sistema sexagesimal es un Sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número 60 (sesenta). El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad.

Un grado es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto.

Este se puede presentar en 2 tipos de notaciones, notación decimal y notación sexagesimal.

Notación decimalUna cantidad en grados se puede expresar en forma decimal, separando la parte entera de la fraccionaria con la coma decimal, se divide en 60 en la forma normal de expresar cantidades decimales, lo que se busca es transformar en minuto y el segundo números decimales, por ejemplo.

23,2345°12,32°-50,265°123,696°

Notación sexagesimalPodemos expresar una cantidad en grados minutos y segundos, las partes de grado inferiores al segundo se expresan como parte decimal de segundo, ejemplo:

12°34 34″′13°3 23,8″′124°45 34,70″′-2°34 10″′

Teniendo cuidado como norma de notación, no dejar espacio entre las cifras, es decir:Escribir 12°34 34″ y no 12° 34 34″′ ′Podemos también representar en forma decimal la medida de un ángulo en representación sexagesimal teniendo en cuenta que:1’ = (1/60)° = 0,01666667° (redondeando a ocho dígitos)1” = (1/60) = (1/3600)° = 0,00027778°′Así 12°15 23″ = 12° + 15(1/60)° + 23(1/3600)° ≈ 12,25639°′

1.2. Resolución de Problemas.-

Convertir los siguientes grados en notación decimal a notación sexagesimal.

a) 26.57956o

b) 46.12578o

c) 67.34687o

d) 78.41252o

e) 120.8753o

Convertir los siguientes grados en notación sexagesimal a notación decimal.

a) 30o45’23’’b) 52o21’53’’c) 81o37’42’’d) 97o12’58’’e) 112o58’38’’

2.- SISTEMA CIRCULAR.2.1. El radian.

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio.

Para convertir grados a radianes o radianes a grados solo se usa una regla de 3, con la igualdad siguiente: π=180o

Para hacer las conversiones con esta igualdad es necesario tener los grados en notación decimal

2.2. Resolución de problemas.-

Convertir los siguientes grados a radianes y corroborarlo con calculadora.

a) 31.256o

b) 64.284o

c) 72.587o

d) 215.35o

e) 350.78o

3.- CLASIFICACION DE LOS ANGULOS.3.1.- Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida. (Agudo, recto, obtuso y llano)

Angulo agudo: es un ángulo que mide menos de 90°

Angulo recto: es un ángulo que mide exactamente 90o

Angulo obtuso: es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°

Angulo llano: es un ángulo que mide 180o

3.2. Clasificación de los ángulos de acuerdo a su posición con relación a otros ángulos. (Adyacentes, complementarios, suplementarios, conjugados, opuestos por vértices)

Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice (esquina) en común.

Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados

Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si suman 180 grados.

Ángulos conjugados: Dos ángulos son conjugados si suman 360 grados.

Ángulos opuestos por vértice: Dos ángulos opuestos por el vértice son los ángulos opuestoscuando se cruzan dos líneas

4.- ANGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.

Ángulos correspondientes:

A=D B=C E=H G=F

Ángulos alternos internos:

A=E B=F C=G D=H

Ángulos alternos externos:

C=F D=E

UNIDAD 2.1.- CLASIFICACION Y CONSTRUCCION DE TRIANGULOS.1.1. Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus lados.

TRIANGULO: es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados, es decir: no colineales). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices.

TRIANGULO EQUILATERO: Es el triangulo con 3 lados iguales y 3 ángulos iguales (de 60o).

CONSTRUCCION: Trazamos una línea horizontal de A a B que tenga la longitud deseada, el compas lo paramos en A con abertura AB y trazamos el circulo, luego el compas se para en B con abertura AB y trazamos otro circulo. De la intersección superior de los círculos trazamos una línea a A y otra a B.

TRIANGULO ISOSCELES: Es el triangulo con 2 lados iguales y 2 ángulos iguales.

CONSTRUCCION: Trazamos una línea horizontal de A a B que tenga la longitud deseada de la base, el compas lo paramos en A con abertura de la longitud del lado y trazamos el circulo, luego el compas se para en B con abertura de la longitud del lado y trazamos el otro circulo. De la intersección superior de los círculos trazamos una línea a A y otra a B.

TRIANGULO ESCALENO: Es el triangulo que no tiene ningún lado igual y ningún ángulo igual

CONSTRUCCION: Trazamos una línea horizontal de A a B que tenga la longitud deseada de la base, el compas lo paramos en A con abertura de la longitud del lado izquierdo y trazamos el circulo, luego el compas se para en B con abertura de la longitud del lado derecho y trazamos el otro circulo. De la intersección superior de los círculos trazamos una línea a A y otra a B.

1.2.- Clasificación de los triángulos de acuerdo a la medida de sus ángulos interiores.

TRIANGULO ACUTANGULO: Todos los ángulos miden menos de 90o

TRIANGULO RECTANGULO: Tiene un ángulo recto.

TRIANGULO OBTUSANGULO: Tiene un ángulo mayor a 90o.

2.- PROPIEDADES Y TEOREMAS APLICABLES A TRIANGULOS.2.1. Principales teoremas aplicables en los triángulos.

2.1.1. Teorema de los ángulos interiores.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 2 ángulos rectos (180 grados sexagesimales).

2.1.2. Teorema de los ángulos exteriores.La suma de los ángulos exteriores de un triangulo es igual a 360o

2.1.3. Teorema del ángulo exterior.La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes del triángulo.

Ejercicios:Encuentra los valores de los ángulos interiores y exteriores de los siguientes triángulos.

2.2. Principales propiedades de los triángulos.2.2.1. La altura correspondiente a la base de un triangulo isósceles…….2.2.2. en todo triangulo, un lado es menor……. 2.2.3. en todo triangulo, a mayor lado…………..2.2.4. en dos triángulos que tienen dos lados respectivamente congruentes…………

Propiedades de los t r iángu los

1 Un lado de un t r iángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que

su di ferenc ia .

a < b + c

a > b - c

2La suma de los ángu los inter iores de un t r iángu lo es igua l a 180° .

A + B + C =180º

3 E l va lor de un ángu lo exter ior de un t r iángu lo es igua l a la suma de los

dos inter iores no adyacentes .

α = A + B

α = 180º - C

4En un t r iángu lo a mayor lado se opone mayor ángu lo .

5 S i un t r iángu lo t iene dos lados igua les , sus ángu los opuestos también son

igua les .

3. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIANGULO.3.1. Mediatriz y circuncentro.

Mediatriz: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Equivalentemente se puede definir como la recta cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento. También se la llama simetral. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos de un segmento AB

Circuncentro: E l c i rcuncentro es e l punto de corte de las t res mediatr i ces . Además es e l centro de una c i rcunferenc ia c i rcunscr i ta a l t r iángu lo .

3.2. Alturas y ortocentros.

Altura: Altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto o su prolongación formando ángulo recto.

Ortocentro: Es el punto donde se cortan las 3 alturas de un triangulo.

3.3. Bisectrices e incentro.

Bisectriz: La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.

Incentro: es el punto en el que se intersecan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres lados, siendo tangente a dichos lados. El incentro es el punto de corte de las bisectrices interiores de un triángulo.

3.4. Medianas y baricentro.

Medianas: son cada una de las tres semirrectas que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto.

Baricentro: Es e l punto de corte de las t res medianas .

TAREA.- HACER EN UNA CARTULINA UN TRIANGULO Y MARCAR TODAS SUS RECTAS Y PUNTOS NOTABLES

4.- CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.4.1. Construcción de figuras congruentes.

Figuras congruentes: dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas.

4.2. Construcción de figuras semejantes.

Figuras semejantes: 2 triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales entre si.

Razón de semejanza: llamamos así a la constante de proporcionalidad k entre sus lados.

AB

A ' B'= AC

A ' C '= BCB 'C '

Criterios de semejanza de triángulos.

1.- ángulo-ángulo (AA).Si 2 triángulos tienen sus 2 ángulos correspondientes congruentes, los triángulos son semejantes.

2.- lado-ángulo-lado (LAL).Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales.

3.- lado-lado-lado (LLL).Si los lados correspondientes de 2 triángulos son proporcionales, entonces son triángulos semejantes.

4.3. Resolución de problemas que impliquen la congruencia y la semejanza.a) Encuentra los lados y ángulos faltantes en estos 2 triángulos semejantes.

b) los lados de un triangulo son 3cm, 4cm y 5cm, se construye otro semejante a el cuyo lado menor mide 15 cm.- ¿Cuál es la razón de semejanza?- Halla los otros 2 lados del segundo triangulo- El primer triangulo es rectángulo, podríamos asegurar que el segundo también lo es, ¿Por qué?

5. TEOREMA DE PITAGORAS.5.1. Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se establece que:

De la ecuación se deducen fácilmente 3 aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

5.2. Resolución de problemas.1 Calcula la altura de un triángulo equilátero de 14 cm de lado.

2 Calcula la diagonal de un cuadrado de 9 cm de lado.

3 Calcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 6,8 cm y la base 6 cm.

4 Calcula el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm.

5 Una escalera de 6.5 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de laescalera dista 2.5 m de la pared.

a) ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?b) ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma escalera para

que la parte superior se apoye en la pared a una altura de 5.2 m?

6 Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X delas siguientes dimensiones.

La N= la Z= la X=UNIDAD 3.

1.- FUNCIONES TRIGONOMETRICAS1.1.- Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano.

Función trigonométrica: Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria.

Razón: es una relación entre dos magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b.

Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

Para definir las razones trigonométricas del ángulo: , del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:

La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.

El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo . El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo .

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:

2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

1.2. Funciones trigonométricas de ángulos especiales.

Razones t r igonométr icas de 30º y 60º

La a l tura d iv ide a l t r iángu lo equi látero en dos t r iángu los rectángulos

igua les cuyos ángu los miden 90º , 60º y 30º .

S i ap l i camos e l teorema de P i tágoras obtenemos la a l tura en func ión de l

lado:

Razones t r igonométr icas de 45º

La d iagonal d iv ide a l cuadrado en dos t r iángu los rectángulos igua les cuyos

ángu los miden 90º , 45º y 45º .

S i ap l i camos e l teorema de P i tágoras obtenemos la d iagonal en func ión de l

lado:

2.- RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS.

3.- RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUANGULOS.

3.1.- Ley de senos.

La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

Escrita como fórmula, la ley de los senos es la siguiente:

asenA

= bsenB

= csenC

3.2.- Ley de cosenos.

La ley de los cosenos establece que c2 = a2 + b2 - 2ab cos C.Nos permite calcular el tercer lado desconocido cuando se conocen dos lados y el ángulo.Igualmente,

a2 = b2 + c2 - 2bc cos A

3.3.- resolución de problemas diversos.

UNIDAD 4.

1.- CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD.

SUCESO O EVENTO: es un subconjunto de un espacio muestral, es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.

EXPERIMENTO: es cualquier proceso que proporciona datos, numéricos o no numéricos.

ESPACIO MUESTRAL: el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

PROBABILIDAD: es la medida cuantitativa por medio de la cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

EVENTO DETERMINISTA: es un experimento o fenómeno que da lugar a un resultado cierto o seguro, es decir, cuando partiendo de unas mismas condiciones iniciales tenemos la certeza de lo que va a suceder.

EVENTO ALEATORIO: todo proceso cuyo resultado no es previsible más que en razón de la intervención del azar. El resultado de todo suceso aleatorio no puede determinarse en ningún caso antes de que este se produzca.

EXPERIMENTO ALEATORIO: es el que puede presentar resultados diferentes bajo el mismo aparente conjunto de condiciones iniciales, por lo que no se puede predecir o reproducir el resultado preciso de cada experiencia particular.Un ejemplo clásico sería el lanzamiento de un dado para registrar resultados.

Conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.

2.- REGLAS Y LEYES BASICAS DE LA PROBABILIDAD.

2.1.- Regla de Laplace.

En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean equiprobables,

Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados

favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados posibles del

experimento.

Por ejemplo:

En un mazo de 52 cartas, cual es la probabilidad de que saques un “AS” y de que saques un “corazón rojo”.

P (AS )= numero deasesnumerode cartas

= 452

=0.0769

P (corazonrojo )=numero decorazones rojosnumerode cartas

=1352

=0.25

Ejercicios:

1. Si escogemos al azar un número de una rifa con 100 números, determina las probabilidades

siguientes:

a) Que las dos cifras sean iguales

b) Que su suma sea 11

c) Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13

Solución.-

a) El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada suceso del enunciado calculamos sus casos favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:

Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales

es:

P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1

Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 y 92.

Por tanto,

b) P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08

c) Deben contarse los números cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un recuento ordenado,

se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:

P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43

2. Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:

a) Hallar la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea

múltiplo de tres.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?

Solución.-

a) El espacio muestral del experimento es:

E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}

y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos

posibles del experimento.

Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:

Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:

A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.

Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3

b) Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que

dos", los casos favorables al suceso B son:

B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6);(6,3)}.

Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3

3. Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:

a) La suma de los números aparecidos sea menor que 8.

b) La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.

Solución.-

Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666.

Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos

las siguientes probabilidades:

a) P(suma de valores menor que 8)=

b) P(suma de valores mayor que 4 y menor que 8)=

2.2.- Ley de los grandes números.

La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso.

X n=X1+X2+X3+.……+Xn

n≈ P(X )

POR EJEMPLO:

Lanzamos una moneda 100 veces y contamos cuantas veces cae águila.

X= número de veces que cae águila en 100 lanzamientos.

Según Laplace la probabilidad de que suceda x es la siguiente.

P ( x )= casos favorablestotal de casos posibles

=12=0.5

Si esto lo multiplicamos por la cantidad de veces que lanzamos la moneda, nos da:

0.5 x 100= 50 veces que caería águila.

Ahora, yo realizo el experimento 1, 2, 3, 4, veces dando los siguientes resultados.

X1=58 veces aguila X2=45 veces aguila X3=47 veces aguila X4=60 veces aguila

La cantidad de veces que realice el experimento fue n=4 veces.

Aplicando la formula tenemos que:

X n=58+45+47+60

4=52.5 vecesque cae aguila en100 tiros≈50veces calculadas

Mientras más veces realicemos el experimento X n se acercara al valor de la probabilidad.

Dicho en otras palabras:

X ntiende aP (X )cuando n tiendea∞

3.- Técnicas básicas de conteo.

3.1.- Teorema fundamental de conteo.

Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si continuo con el procedimiento n2 maneras diferentes y si después de efectuados estos, n3 otro procedimiento de maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de formas o maneras en los que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1·n2 · n3··· nr =nT.

El número total (nT) de formas o maneras en que puede realizarse un evento es

n1·n2 · n3··· nr =nT

Ejemplo:

Hay dos principios básicos en conteo, ilustraremos mediante ejemplos claros.

Una señora compró un pescado fresco para cocinarlo. En su manual de recetas encuentra tres recetas diferentes para hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y cuatro para prepararlo cocido.¿De cuántas maneras diferentes puede cocinar su pescado?

Solución:En este caso los métodos para prepararlo, claramente no pueden realizarse juntos, así que en total, solo hay 3 + 2 + 4 = 9 maneras diferentes de prepararlo.Este ejemplo nos da paso a definir el PRINCIPIO DE LA ADICIÓN y en general se enuncia de lasiguiente manera:Si una operación consiste de n pasos distintos y otra de m pasos distintos, y si ambas operaciones en cuestión no pueden realizarse juntas o ni en sucesión, entonces el número total de maneras enlas que pueden realizarse ambas operaciones es m + n.

Ahora pensemos en la siguiente situación:

Si una persona tiene en su armario 4 camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces ¿Cuantas opciones distintas tiene para escoger cómo vestirse?

Solución:Dado que para vestirse la persona deberá utilizar una camisa, un pantalón, un par de calcetines y un par de zapatos a la vez, podemos contar las formas de vestirse de la siguiente manera:Si escoge un pantalón, un par de calcetines y un par de zapatos, entonces tendrá cuatro formas devestirse, teniendo en cuenta que tiene cuatro camisas. Pero si solo escoge un par de calcetines yun par zapatos, tendrá 24 formas de vestirse ya que tiene seis pantalones y cuatro camisas, y sirazonamos de igual forma para los calcetines y los zapatos concluimos que tiene 4 × 6 × 5 × 2 = 240formas distintas de vestirse. De igual forma que en el caso anterior podemos definir de una manera formal el PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN, en general se enuncia de la siguiente manera:Si una operación consta de n pasos distintos y otra de m pasos distintos, y si las operaciones encuestión tienen que realizarse juntas o en sucesión, entonces el número total de maneras en las que pueden realizarse ambas operaciones es m × n.

3.2.- Diagrama de árbol.

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de estas ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Ejemplo:

El helado puede venir en cono o taza y los sabores son fresa chocolate y vainilla.

tipode helado{ fresa{conode fresataza de fresa

¿chocolate {cono dechocolatetaza de chocolate

¿ vainilla{cono devainillataza de vainilla

tipode helado{cono { fresachocolatevainilla

¿ taza{ fresachocolatevainilla

PROBLEMA

El otro día tenia antojo de un elote, pero nunca me imagine que tan complicado seria el saciarlo, ya que el señor que los vende me dio una infinidad de opciones que les voy a platicar.

Llegue y le dije “me da un elote” a lo que el me contesto, “claro que si joven, ¿en vaso o entero?, ¿chico, mediano o grande?, ¿con chile o sin chile? Y si era con chile me dijo. ¿del picoso o del que no pica?

Generar el diagrama de árbol y determinar la cantidad de tipos de elote que pude comprar.

tipode elote {envaso { chico{conchile { picososin picar

sin chile

mediano {con chile { picososin picar

sin chile

grande {conchile { picososin picar

sin chile

entero{ chico {conchile { picososin picar

sin chile

mediano {conchile { picososin picar

sin chile

grande {conchile { picososin picar

sin chile

Realmente yo nada mas quería un elote y tuve que hacer una selección de entre 18 formas posibles.

3.3.- Tablas de doble entrada.

También llamadas tablas de contingencias, son aquellas tablas de datos referentes a dos variables, formada, en las cabeceras de las filas, por las categorías o valores de una variable y en las de las columnas por los de la otra, y en las casillas de la tabla, por las frecuencias o numero de elementos que reúnen a la vez las dos categorías o valores de las dos variables que se cruzan en cada casilla. Para la tabulación de un material agrupado de observaciones simultáneas de dos variables aleatorias necesitaremos una tabla descrita como anteriormente lo describimos, las reglas para agrupar son las mismas que en el caso de una sola variable.Este tipo de tablas brindan información estadística de dos eventos relacionados entre sí, es útil en casos en los cuales los experimentos son dependientes de otro experimento.

Ejemplo:

Ejercicio:

Realizar una tabla de doble entrada con las siguientes variables.Variable 1.- programa de televisiónVariable 2.- tipo de comercial

Navegar en la televisión entre 10 programas distintos y observar 5 comerciales en cada programa de entre las 5 p.m. y las 7 p.m. y llenar la tabla con esa información para analizarla y hacer conclusiones.

3.4. Permutaciones.

Con repetición.- Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

Por ejemplo:De cuantas formas distintas puedo escoger una “combinación de una caja fuerte de 3 dígitos”

Sin repetición.-Llamamos permutación a una variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto.Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".Como bien sabemos los anagramas son palabras o frases que se forman por la reorganización o transposición de letras de otra palabra o frase, para construir otra u otras de distinto significado. Por ejemplo los anagramas de la palabra ROMA, son AMOR, OMAR, RAMO, MORA, puedes encontrar mas… si le asignáramos a la letras A el número 1, a la letra M el 2, a la letra R el 3 y a la letra O el 4, entonces los anagramas se convertirían en (4 3 2 1)(1 2 3 4)(3 2 1 4)(4 1 2 3) y (2 3 4 1), si ahora nos olvidamos de su significado y de lo que puedan representar; estos reordenamientos de los números 1, 2, 3 y 4 se denominan PERMUTACIONES en el conjunto {1,2,3,4}. Las preguntas que surgen enseguida son:

¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con este conjunto? ¿Y si sólo permutáramos algunos elementos del conjunto cuantas serían?

La respuesta a la primera pregunta la podemos contestar de la siguiente manera:Utilicemos el principio de la multiplicación, es decir, la primera operación es escoger cualquiera de los cuatro números para ubicar en la primera posición, luego la segunda operación es escoger uno de los tres restantes para que ocupe la segunda posición, ahora solo nos quedan dos números para ubicar en la tercera posición y por ultimo tendremos una única opción para la cuarta posición, esto es:

4posibilidades×3posibilidades×2posibilidades×1posibilidad

o lo que es lo mismo 4! = 24 formas distintas para organizar los cuatro números. Ahora bien, si nuestra intención es solo permutar dos de esos cuatro números, entonces los restantes van a estar fijos por tanto no los tendremos en cuenta a la hora de hacer el conteo, esto es:

4 x 3x 2 x12 x1

= 4 !(4−2 ) !

Esto es como si dispusiéramos de dos sillas para ser ocupadas por cuatro personas, en una de ellasPodemos ubicar cualquiera de las cuatro personas y en la otra cualquiera de las tres restantes, por lo que en total hay doce formas distintas de ocupar las dos sillas vacías.Y en general lo denotáremos por el símbolo nPk y se lee n permutados de a k

3.5. Combinación.

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

1. Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)2. Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)

1. Combinaciones con repetición

En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.

2. Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!

La manera más fácil de explicarlo es:

imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe.

Por ejemplo las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importa El orden no importa

1 2 31 3 22 1 32 3 13 1 23 2 1

1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden no importa)

Y se la llama "coeficiente binomial".

Notación

Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

16!

=

16!

=

20,922,789,888,000

= 560

3!(16-3)! 3!×13! 6×6,227,020,800

O lo puedes hacer así:

16×15×14

=

3360

= 560

3×2×1 6

Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"

... o mejor todavía...

¡Recuerda la fórmula!

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.

16!

=

16!

=

16!

= 560

3!(16-3)! 13!(16-13)! 3!×13!

1. Combinaciones con repetición

Digamos que tenemos cinco sabores de helado: banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 paladas. ¿Cuántas variaciones hay?

Vamos a usar letras para los sabores: {b, c, l, f, v}. Algunos ejemplos son

{c, c, c} (3 de chocolate) {b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla) {b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla)

(Y para dejarlo claro: hay n=5 cosas para elegir, y eliges r=3 de ellas.El orden no importa, ¡y sí puedes repetir!)

Bien, no puedo decirte directamente cómo se calcula, pero te voy a enseñar una técnica especial para que lo averigües tú mismo.

Imagina que el helado está en contenedores, podrías decir "sáltate el primero, después 3 paladas, después sáltate los 3 contenedores siguientes" ¡y acabarás con 3 paladas de chocolate!

Entonces es como si ordenaras a un robot que te trajera helado, pero no cambia nada, tendrás lo que quieres.

Ahora puedes escribirlo como (la flecha es saltar, el círculo es tomar)

Entonces los tres ejemplos de arriba se pueden escribir así:

{c, c, c} (3 de chocolate):

{b, l, v} (uno de banana, uno de limón y uno de vainilla):

{b, v, v} (uno de banana, dos de vainilla):

OK, entonces ya no nos tenemos que preocupar por diferentes sabores, ahora tenemos un problema más simple para resolver: "de cuántas maneras puedes ordenar flechas y círculos"

Fíjate en que siempre hay 3 círculos (3 paladas de helado) y 4 flechas (tenemos que movernos 4 veces para ir del contenedor 1º al 5º).

Así que (en general) hay r + (n-1) posiciones, y queremos que r de ellas tengan círculos.

Esto es como decir "tenemos r + (n-1) bolas de billar y queremos elegir r de ellas". Es decir, es como el problema de elegir bolas de billar, pero con números un poco distintos. Lo podrías escribir así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden no importa)

Es interesante pensar que podríamos habernos fijado en flechas en vez de círculos, y entonces habríamos dicho "tenemos r + (n-1) posiciones y queremos que (n-1) tengan flechas", y la respuesta sería la misma...

¿Qué pasa con nuestro ejemplo, cuál es la respuesta?

(5+3-1)! = 7! = 5040 = 35

3!(5-1)! 3!×4! 6×24

Ejercicios: Resuelva los siguientes problemas Utilizando los resultados anteriores.

1. Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra. Para hacerlo puede optar por viajar en avión,Camión ó tren. Y en cada uno de estos transportes puede elegir en primera o en clase turista. ¿DeCuántas maneras distintas puede realizar el viaje ?

2. En una fiesta se encuentran 10 hombres y ocho mujeres. ¿De cuántas formas pueden integrarse en parejas para bailar una pieza?

3. ¿De cuántas maneras se pueden elegir tres números enteros distintos, entre los números delUno al quince, de modo que su suma sea un múltiplo de 3? (El orden no importa).

4. Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.

5. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?

6. ¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción dePersonas ?

7. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 3, 4, 5 y 6?

8. ¿De cuántos modos distintos pueden presentarse diez cartas de una baraja, sabiendo que son 4 ases, 3 reyes, 2 caballos y una sota?

9. Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. ¿En cuántas formas pueden sentarse 7 personas?

10. Un estudiante para aprobar un examen que consta de 10 preguntas, debe contestar 7 de ellas.¿De cuántas maneras puede hacer la selección para aprobar el examen?

11. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 5 personas de un total de 12?

12. ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 4 personas, de un total de 8, si una de ellas debe estar siempre incluida?

13. ¿Cuántos boletos distintos es posible llenar, si la condición del juego es sellar un tiquete con seis números distintos, de cuarenta y cinco posibles números distintos?

4.- Probabilidad de sucesos compuestos.

4.1. Suceso:

Elemental.- Es cada uno de los e lementos que forman parte de l espac io

muestra l . Por e jemplo a l t i rar un dado un suceso e lementa l es sacar 5 .

Seguro. - está formado por todos los pos ib les resu l tados (es dec i r , por e l

espac io muestra l ) . Por e jemplo a l t i rar un dado obtener una puntuac ión

que sea menor que 7 .

Impos ib le . - es e l que no t iene n ingún e lemento. Por e jemplo a l t i rar un

dado obtener una puntuac ión igua l a 7 .

Compuesto . - es cua lqu ier subconjunto de l espac io muestra l . Por e jemplo a l

t i rar un dado un suceso ser ía que sa l iera par , ot ro , obtener múl t ip lo de 3 .

4 .2 . Sucesos compat ib les e incompat ib les .

Dos sucesos , A y B , son compat ib les cuando t ienen

a lgún suceso e lementa l común .

S i A es sacar puntuac ión par a l t i rar un dado y B es

obtener múl t ip lo de 3 , A y B son compat ib les porque

e l 6 es un suceso e lementa l común.

Dos sucesos , A y B , son incompat ib les cuando no

t ienen ningún e lemento en común .

S i A es sacar puntuac ión par a l t i rar un dado y B es

obtener múl t ip lo de 5 , A y B son incompat ib les .

UNIDAD 5.-

1.- Caracterización estadística

Conceptos básicos de estadística:

Estadística: Es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional.

Universo: Es la totalidad de elementos o características que conforman el ámbito de un estudio o investigación.

Población:Es un conjunto finito o infinito de personas, animales o cosas que presentan características comunes, sobre los cuales se quiere efectuar un estudio determinado. En otras palabras, la población se define como la totalidad de los valores posibles (mediciones o conteos) de una característica particular de un grupo especificado de personas, animales o cosas que se desean estudiar en un momento determinado.

Muestra:La muestra es un subconjunto de la población, seleccionado de tal forma, que sea representativo de la población en estudio, obteniéndose con el fin de investigar alguna o algunas de las propiedades de la población de la cual procede. En otras palabras es una parte de la población que sirve para representarla.

Variable:Es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores.

1.1.1.- Variables y tipos de variables.

Cualitativas.-

Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:

Variable cualitativa ordinal o variable cuasi cuantitativa: La variable puede tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve, moderado, grave.

Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores.

Cuantitativas.-

Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser:

Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre los distintos valores específicos que la variable pueda asumir. Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).

Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato medidor, en teoría permiten que siempre exista un valor entre dos variables.

1.1.2.- Escala nominal, ordinal, de razón y de intervalo.

Nominal:

Son variables numéricas cuyos valores representan una categoría o identifican un grupo de pertenencia. Este tipo de variables sólo nos permite establecer relaciones de igualdad/desigualdad entre los elementos de la variable. La asignación de los valores se realiza en forma aleatoria por lo que NO cuenta con un orden lógico. Un ejemplo de este tipo de variables es el Género ya que nosotros podemos asignarle un valor a los hombres y otro diferente a las mujeres y por más machistas o feministas que seamos no podríamos establecer que uno es mayor que el otro.

Ordinal:

Son variables numéricas cuyos valores representan una categoría o identifican un grupo de pertenencia contando con un orden lógico. Este tipo de variables nos permite establecer relaciones de igualdad/desigualdad y a su vez, podemos identificar si una categoría es mayor o menor que otra. Un ejemplo de variable ordinal es el nivel de educación, ya que se puede establecer que una persona con título de Postgrado tiene un nivel de educación superior al de una persona con título de bachiller. En las variables ordinales no se puede determinar la distancia entre sus categorías, ya que no es cuantificable o medible.

Intervalo:

Son variables numéricas cuyos valores representan magnitudes y la distancia entre los números de su escala es igual. Con este tipo de variables podemos realizar comparaciones de igualdad/desigualdad, establecer un orden dentro de sus valores y medir la distancia existente entre cada valor de la escala. Las variables de intervalo carecen de un cero absoluto, por lo que operaciones como la multiplicación y la división no son realizables. Un ejemplo de este tipo de variables es la temperatura, ya que podemos decir que la distancia entre 10 y 12 grados es la misma que la existente entre 15 y 17 grados. Lo que no podemos establecer es que una temperatura de 10 grados equivale a la mitad de una temperatura de 20 grados.

Razón:

Las variables de razón poseen las mismas características de las variables de intervalo, con la diferencia que cuentan con un cero absoluto; es decir, el valor cero (0) representa la ausencia total de medida, por lo que se puede realizar cualquier operación Aritmética (Suma, Resta, Multiplicación y División) y Lógica (Comparación y ordenamiento). Este tipo de variables permiten el nivel más alto de medición. Las variables altura, peso, distancia o el salario, son algunos ejemplos de este tipo de escala de medida.

1.2. Tablas de frecuencia.

La d i s t r ibuc ión de f recuenc ias o tab la de f recuenc ias es una ordenac ión en forma de tab la de los datos estad ís t i cos , asignando a cada dato su f recuenc ia correspondiente .

Frecuencia absoluta:La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega Σ (sigma mayúscula) que se lee suma o sumatoria.

Frecuencia relativa:La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento y se representa por ni.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

Frecuencia acumulada:La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.

Se representa por Fi.

Ejemplo

Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:

32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor, en la segunda hacemos el recuento y en la tercera anotamos la frecuencia absoluta.

2.- REPRESENTACIONES GRAFICAS.

2.1. Polígonos de frecuencia, Graficas de barras, Graficas de pastel, Pictogramas, Ojivas e Histogramas.

Polígono de frecuencias:Un pol ígono de f recuenc ias se forma uniendo los ext remos de las barras de un d iagrama de barras mediante segmentos .

También se puede realizar trazando los puntos que representan las f recuenc ias y uniéndolos mediante segmentos .

Ejemplo

Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Grafica de barras:

Un diagrama de barras, también conocido como diagrama de columnas, es una forma de representar gráficamente un conjunto de datos o valores y está conformado por barras rectangulares de longitudes proporcionales a los valores representados. Los gráficos de barras son usados para comparar dos o más valores. Las barras pueden orientarse vertical u horizontalmente.

Grafica de pastel:

Los gráficos circulares, también llamados gráficos de pastel o gráficas de 360 grados, son recursos estadísticos que se utilizan para representar porcentajes y proporciones. El número de elementos comparados dentro de un gráfico circular puede ser de más de 5, y los segmentos se ordenan de mayor a menor, iniciando con el más amplio a partir de las 12, como en un reloj.Una manera fácil de identificar los segmentos es sombreando de claro a oscuro, donde el de mayor tamaño es el más claro y el de menor tamaño, el más oscuro.Al igual que en la gráfica de barras, el empleo de tonalidades o colores facilita la diferenciación de los porcentajes o proporciones.A diferencia de otros tipos de gráficos, el grafico circular no tiene ejes x o y.Se utilizan en aquellos casos donde interesa no sólo mostrar el número de veces que se da una característica o atributo de manera tabular sino más bien de manera gráfica, de tal manera que se pueda visualizar mejor la proporción en que aparece esa característica respecto del total.

Pictogramas:

Es un gráfico con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyo tamaño es proporcional a la frecuencia que representan; dicha frecuencia se suele indicar.

Ojivas:

Una distribución de frecuencia acumulativa nos permite ver cuantas observaciones se hallan por arriba o por debajo de ciertos valores, en lugar de limitarnos a anotar los números de elementos dentro de los intervalos. Por ejemplo, si queremos saber cuantos galones contienen menos de 17.0 ppm, podemos servirnos de una tabla que incluya frecuencias acumulativas “menores que” en nuestra muestra como se observa en la tabla 8.

TABLA 8: Distribución de frecuencia acumulativa “menor que” de las concentraciones de cloro en ppm

Se llama ojiva a la gráfica de una distribución de frecuencia acumulativa. La ojiva de una distribución de este tipo se muestra en la figura 4. Los puntos graficados representan la cantidad de galones que tienen menos cloro que las partes por millón indicadas sobre el eje horizontal.

FIG. 4 Ojiva “menor que” de la distribución de las concentraciones de cloro en ppm para 30 galones de agua tratada.

En ocasiones la información que se utiliza se presenta a partir de frecuencias “mayores que”. La ojiva apropiada para tal información tendrá una pendiente hacia abajo y hacia la derecha.

También es posible construir una ojiva de una distribución de frecuencia relativa, de la misma manera que una absoluta.

Histograma:

Es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos.Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores. Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.

2.1. Lectura e interpretación de gráficos.

3.- Estadígrafos de atracción.

3.1. Media, mediana y moda.

1. Media aritmética

La media aritmética también se llama “media” o “promedio aritmético” y es lo que siempre has ocupado para calcular el promedio de notas.

La media aritmética se calcula dependiendo de cómo vengan los datos, pero en general es la suma de los datos dividida por el número de datos.

Media aritmética de datos no agrupados

La media de n datos corresponde al resultado de la expresión:

Ejemplo:

Pedrito ha obtenido las siguientes notas en Ciencias:

6,0 – 5,8 – 7 – 6,8 – 5,6

Su media aritmética o promedio es:

, lo que se redondea al décimo como 6,2.

Media de datos dados en una tabla de frecuencia

En este caso se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos, esto es:

Ejemplo:

Se ha lanzado un dado 40 veces obteniéndose los siguientes resultados:

Por lo tanto su media es:

Media de datos agrupados en intervalos

Se define la marca de clase de un intervalo como la media aritmética entre los extremos de él.

Si llamamos a la marca de clase de un intervalo: , entonces la media de un conjunto de datos agrupados en intervalos es:

Ejemplo:

La distribución de edades de un conjunto de 50 personas está representada en el siguiente gráfico:

La media de este conjunto de datos es:

años, aproximadamente.

Media ponderada de datos

En algunas oportunidades los datos no tienen la misma importancia, de modo que cada dato se multiplica por un factor, el cual indica el grado de importancia que tiene en la muestra; en este caso la media se calcula con la expresión:

donde pi es un factor del dato xi, el cual viene dado en la situación planteada en el problema.

Ejemplo:

Un alumno tiene nota 5,0 como promedio de controles que vale un 80% de la nota final y obtiene un 6,0 en el examen. ¿Cuál es su promedio final?

En este caso el dato 5,0 tiene un factor de 0,8 (80%) y el dato 6,0 tiene un factor de 0,2 (20%), por lo tanto su media es:

Propiedades de la media

Sean los n datos: x1, x2, x3, x4,...xn, con media . Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. La suma de los datos corresponde al producto: . Es decir, la suma de los datos se puede determinar multiplicando la media con el número de datos.

2. Si a cada uno de los datos se le suma (o resta) una cantidad “a”, la media aritmética será

. 3. Si a cada uno de los datos se le multiplica por una cantidad “a”, la media aritmética será

.

Ejemplo:

Un colegio tiene tres cuartos medios que en el último ensayo de Lenguaje obtuvieron los siguientes puntajes promedio:

Ocupando la propiedad 1: la suma de los puntajes del 4° A es la multiplicación del promedio con el número de alumnos, esto es:

Suma = 20 . 650 = 13.000

Por lo tanto, la suma de todos los puntajes de los alumnos es:

20 . 650 + 30 . 600 + 25 . 580 = 45.500

Así, la media aritmética de los tres cursos es:

Ejemplo:

La media aritmética de las edades de tres hermanos es 25 años. ¿Cuál será su media en tres años?

Dada la propiedad 2, la media aritmética será 28 años.

2. Mediana

Si los datos se ordenan en sentido creciente o decreciente, la mediana indica el dato que se ubica al centro de ellos.

Si el número de datos “n” es un número impar, entonces la mediana es el dato:

Si el número de datos “n” es un número par, entonces la mediana es la media aritmética entre

los datos: y .

Las fórmulas anteriores las puedes obviar si tienes en cuenta que la mediana es el término central en el caso que este sea uno, o bien la media de los términos centrales en el caso que sean dos.

Ejemplo 1:

Las alturas de 6 integrantes de un equipo de básquetbol (en cm) son las siguientes: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183. ¿Cuál es la mediana?

Primero ordenemos los datos de menor a mayor (o al revés):

175 – 178 – 181 – 182 – 182 – 183.

Como hay dos datos centrales, se calcula la media de ambos datos:

Ejemplo 2:

Se ha consultado la edad a treinta trabajadores de una empresa,

Obteniendo los siguientes resultados:

La suma de las frecuencias es 30, por lo tanto, es un número par de datos; la mediana es la media entre el dato de lugar 15 y el de lugar 16; el dato de lugar 15 es 23 y el de lugar 16 es 27, por lo tanto:

3. Moda

La moda es el dato que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia.

Volviendo al ejemplo 1:

Las alturas eran: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183; por lo tanto la moda es 182, ya que es el dato que más se repite.

En el ejemplo 2:

La moda es 23, ya que tiene mayor frecuencia.

Hay veces que los datos no tienen moda. Por ejemplo, si los datos fueran:

185 – 188 – 183 – 178 – 177, no hay un dato que tenga mayor frecuencia que los otros.

Hay otras distribuciones que pueden tener más de una moda:

Por ejemplo:

La moda es 16 y 20; y en este caso se habla de una distribución bimodal.

3.2. Lectura e interpretación de datos.

Checar y aplicar los conocimientos por medios electrónicos, recomendación.

http://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1285583725/contido/ma025_oa06_es/index.html

4.- Estadígrafos de posición

4.1.- cuartiles, deciles y percentiles.

Cuartil:

Los cuart i les son los t res va lores de la variable que d iv iden a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes igua les .Q 1 , Q 2 y Q 3 determinan los valores correspondientes al 25%, a l 50% y a l 75% de los datos .Q 2 coincide con la mediana .

Cálculo de los cuartiles1 Ordenamos los datos de menor a mayor . 2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuart i l mediante la expresión .

Número impar de datos

2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

Número par de datos

2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la c lase donde se encuentra, en la tabla de las f recuenc ias acumuladas .

L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

F i - 1 es la f recuenc ia acumulada anterior a la clase de l cuarti l .

a i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de cuartiles

Calcu lar los cuart i les de la distribución de la tabla:

fi Fi

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del segundo cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Deciles:

son los nueve va lores que div iden la serie de datos en diez partes igua les .Los dec i les dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.D 5 co inc ide con la mediana .

Cálculo de los deciles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.N es la suma de las frecuencias absolutas.F i - 1 es la f recuenc ia acumulada anterior a la clase e l dec i l . .a i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de deciles

Calcu lar los dec i les de la distribución de la tabla:

fi Fi

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

Cálculo del tercer decil

Cálculo del cuarto decil

Cálculo del quinto decil

Cálculo del sexto decil

Cálculo del séptimo decil

Cálculo del octavo decil

Cálculo del noveno decil

Percentil:

Los percent i les son los 99 va lores que div iden la serie de datos en 100 partes igua les .Los percent i les dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.P 5 0 co inc ide con la mediana .Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

L i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.N es la suma de las frecuencias absolutas.F i - 1 es la f recuenc ia acumulada anterior a la clase de l percentil .a i es la amplitud de la clase.

Ejercicio de percentiles

Calcu lar e l percent i l 35 y 60 de la distribución de la tabla:

fi Fi

[50, 60) 8 8

[60, 70) 10 18

[70, 80) 16 34

[80, 90) 14 48

[90, 100) 10 58

[100, 110) 5 63

[110, 120) 2 65

65

Percentil 35

Percentil 60

5.- Estadígrafos de dispersión.

5.1.- Rango, desviación, varianza, coeficiente de variación.

Rango:Es el intervalo a la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más dispersos están los datos de un conjunto.

Por ejemplo, para una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en centímetros, tendríamos:

es posible ordenar los datos como sigue:

donde la notación x(i) indica que se trata del elemento i-ésimo de la serie de datos. De este modo, el rango sería la diferencia entre el valor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:

En nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.

Desviación:

Desviación respecto a la mediaLa desv iac ión respecto a la media es la di ferenc ia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media ar i tmét ica .

D i = |x - x|

Desviación mediaLa desv iac ión media es la media ar i tmét ica de los valores absolutos de las desv iac iones respecto a la media .

La desv iac ión media se representa por

EjemploCalcular la desv iac ión media de la distribución:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupadosSi los datos vienen agrupados en una tabla de f recuenc ias , la expresión de la desv iac ión media es:

EjemploCalcular la desv iac ión media de la distribución:

xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · fi

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856

[30, 35) 32.5 2 65 10.714 21.428

21 457.5 98.57

Varianza:La var ianza es la media ar i tmét ica de l cuadrado de las desv iac iones respecto a la media de una distribución estadística. La varianza se representa por .

Varianza para datos agrupados

Para simplificar el cá lcu lo de la var ianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Varianza para datos agrupados

Ejercicios de varianzaCalcu lar la var ianza de la distribución:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Calcu lar la var ianza de la distribución de la tabla:

xi fi xi · fi xi2 · fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la varianza1 La var ianza será siempre un valor pos i t ivo o cero , en el caso de que las puntuaciones sean iguales.2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la var ianza no var ía .3 Si todos los valores de la variable se mult ip l i can por un número la var ianza queda mult ip l i cada por el cuadrado de dicho número .4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas var ianzas se puede calcular la var ianza tota l .Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la varianza1 La var ianza , al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.2 En los casos que no se pueda ha l lar la media tampoco será posible hallar la var ianza .3 La var ianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

Coeficiente de variación:El coef ic iente de var iac ión es la relación entre la desv iac ión t íp ica de una muestra y su media .

El coef ic iente de var iac ión se suele expresar en porcenta jes :

El coef ic iente de var iac ión permite comparar las dispers iones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean pos i t ivas .Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.La mayor d ispers ión corresponderá al valor del coef ic iente de var iac ión mayor .EjercicioUna distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

La primera distribución presenta mayor dispersión.