Examen:

DISEÑO DE CONTROLADORES PARA UN SISTEMA MULTIVARIABLE DE CUATRO TANQUES.

AJUSTE, CONFIGURACIÓN Y CONTROL DE CUATRO TANQUES ACOPLADOS

RESUMEN

En este trabajo se estudia el sistema de cuatro tanques de agua acoplados. Éste es un proceso multivariable 2x2 en el que se intenta controlar el nivel de dos depósitos mediante la tensión de dos bombas que alimentan a los tanques bajo control y a dos tanques superiores que producen el acoplamiento entre las entradas y salidas del sistema. La planta se implementa físicamente y tras su identificación se lleva a cabo el diseño de un control multivariable descentralizado con dos PI. Los resultados de dicha estrategia tanto experimentales como en simulación son comparados, comprobándose que ambos presentan una respuesta muy similar y que se ajustan a las especificaciones deseadas.

1 INTRODUCCIÓN

El control de nivel de líquidos en depósitos y el flujo entre ellos es un problema básico en los sistemas industriales. Muchos procesos requieren que un determinado fluido sea bombeado de un tanque a otro. En ocasiones este líquido es procesado por tratamientos químicos en tanques, en los cuales el nivel ha de ser controlado adecuadamente para el correcto funcionamiento de la planta. Con frecuencia los tanques son acomodados tan juntos que los niveles interactúan, dificultando su regulación [4]. Algunos tipos de industrias donde el control de nivel y flujo son esenciales son:

♦ Industrias de petroquímica.

♦ Industrias de fabricación de papel.

♦ Industrias de tratamientos de agua.

El presente informe tiene como objetivo ilustrar la importancia de la identificación y del control multivariable (MIMO) a nivel industrial con aplicación directa en el control de nivel de tanques acoplados. Para ello se utiliza la planta de cuatro tanques acoplados de la figura 1, ya que tiene unas características que la hacen especialmente interesante como plataforma didáctica y de experimentación [8].

Figura 1: Esquema del proceso.

El sistema consta de cuatro tanques interconectados, que se encuentran en dos niveles, uno arriba de otro. Se suministra agua hacia los dos niveles mediante dos bombas centrífugas que toman el agua de un depósito pulmón mayor. El flujo de agua puede ser manipulado actuando sobre los variadores de frecuencia de las bombas. El sistema cuenta con diez válvulas de acople rápido que permiten fijar los flujos de agua hacia los dos niveles de tanques. Los tanques del nivel inferior cuentan con un medidor de presión diferencial para medir el nivel de cada uno. Se utiliza una tarjeta de adquisición de datos que permite el flujo de señales desde y hacia Matlab, en donde los datos pueden ser almacenados y representados en tiempo real. Además, Matlab es usado para fijar la tensión de control de los variadores de las bombas, permitiendo así cerrar los lazos de control de nivel de los tanques inferiores [1].

El informe se ha estructurado de la siguiente manera: en la siguiente sección se analiza el modelo matemático del proceso, en el apartado 3 se discute la implementación física de la planta. Luego se describe su identificación en el apartado 4 y el diseño de la estrategia de control en el 5. Por último, en las secciones 6 y 7 se recogen los resultados y conclusiones, respectivamente.

2 MODELO MATEMÁTICO DEL PROCESO

El modelo matemático del sistema de cuatro tanques descrito en la figura 1 está dado por el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias:

donde:

Ai área transversal del tanque i.

ai área transversal del orificio de salida del tanque i.

hi nivel del tanque i.

La tensión aplicada a la bomba i es vi y los flujos correspondientes son kivi.

Los parámetros γ1 y γ2 representan la fracción del flujo total kivi que se suministra a los tanques superiores, por lo tanto, están entre 0 y 1, y son determinados por la posición de las válvulas al iniciar el experimento. El flujo al tanque 1 es γ1k1v1 y al tanque 4 es (1- γ1) k1v1, y de manera similar para el tanque 2 y 3. Las salidas del sistema son los niveles denotados por h1 y h2.

Si se consideran como salidas los niveles de agua en los tanques intermedios (h1 y h2) y como entradas las tensiones suministradas a las bombas (v1 y v2), el sistema multivariable puede ser linealizado y expresado en términos de una matriz de funciones de transferencia como se muestra a continuación:

Es importante notar que los parámetros γ1 y γ2 están presentes en todos los numeradores de las funciones de transferencia y definen los ceros del sistema multivariable. Los ceros de la matriz de transferencia se obtienen a partir de la siguiente expresión:

Un sistema se considera de fase mínima si todos sus ceros son negativos y de fase no-mínima si, al menos, uno de sus ceros es positivo. Si asumimos que los flujos a los tanques intermedios q1 y q2 son iguales, el sistema es de fase no-mínima si 0<γ1+γ2<1 que representaría el hecho de que el flujo total que alimenta a los tanques intermedios es menor que el de los tanques superiores. El sistema es de fase mínima si 1<γ1+γ2<2, donde nos encontraríamos en la situación contraria [2].

3 PLANTA REAL

En el sistema en cuestión, las relaciones que existen entre los dispositivos son de transferencia de fluido y de señales de control, por lo tanto podemos dividir a los dispositivos que integran la planta en dos grupos, circuito hidráulico y circuito de control.

El circuito hidráulico está formado por:

- Dos electro-bombas

- Cinco depósitos de metacrilato: uno de ellos, el de mayor volumen, funciona como depósito pulmón, siendo la fuente y sumidero del agua que circula por la planta. Los otros cuatro depósitos de menor tamaño están dispuestos como muestra la figura 1.

- Válvulas: se usan para ajustar los flujos de agua tanto el de salida del tanque pulmón, como los de entrada a los demás tanques, con el fin de lograr ajustar de forma correcta los flujos directos de control así como los de las perturbaciones.

- Tubos de poliuretano: de 10/8 mm (exterior/interior) para el conexionado de los distintos elementos del circuito hidráulico.

Los elementos físicos utilizados en el circuito de control son un ordenador, dos variadores de frecuencia, dos sensores de presión diferencial, una placa de adquisición de datos (NI-DAQ 6035E), placas de interfaz, fuente de alimentación de los sensores, fuente estabilizada para las placas de interfaz y módulos de conversión corriente-tensión y de tensión-corriente. En la figura 2 se muestra una fotografía de la planta real completa.

Figura 2: Planta real

El proceso comienza cuando el usuario genera en el ordenador una consigna de velocidad (valores de tensión) o una referencia. Esto se hace a través de un software y es interpretado por la placa de adquisición y decodificado en valores de corriente, que por medio de las placas de interfaz son transmitidos a los variadores de velocidad. Los variadores provocan un incremento o decremento en la velocidad según corresponda, lo que afecta a la velocidad de las electrobombas. Esto provoca una variación en el nivel de la columna de agua. Dicha variación es devuelta al ordenador por medio de los sensores de presión diferencial que registran los cambios de altura de la columna de agua. La señal viaja por el conexionado que llega hasta las placas de interfaz y de ésta a la placa de adquisición para luego ser codificada e interpretada por el software utilizado.

En este sistema de tanques acoplados tenemos la necesidad de controlar el nivel de la columna de agua de los depósitos. Para medir los niveles de agua de los tanques se utilizan dos sensores de presión diferencial. Éstos se encargan de medir la diferencia de presión en los tanques, que luego se traduce en una medición del nivel de la columna de agua.

Una vez montado el sistema, se deben configurar cada una de las partes para que éste funcione de forma adecuada. Lo primero en configurar es la placa de adquisición de datos para lograr una correcta comunicación entre el ordenador y el sistema real. El software utilizado en este caso ha sido Matlab y dentro del mismo se ha trabajado con la herramienta Real Time Window Target. Es aquí donde se realizan los ajustes necesarios para la sincronización entre el ordenador y el sistema real. Se usa el diagrama de bloques en Simulink de la figura 3 para tomar las señales de los sensores y enviar las correspondientes señales de control hacia el sistema.

Figura 3: Diagrama de bloques del sistema real en Simulink.

Las dos salidas (niveles de los depósitos intermedios) varían de 0 a 100 %, mientras que el rango de las entradas (señales de control de los variadores) es de 0 a 50 Hz.

Por último, las válvulas se ajustan de manera que la planta pueda llegar a un régimen estacionario, o sea encontrar un punto de trabajo. Para comenzar con su ajuste, lo primero que se hace es darle a los variadores una consigna de frecuencia de trabajo de 25 Hz. Cuando el sistema llega al régimen estacionario se ajustan las válvulas para dejar el sistema en un punto de trabajo en el que el nivel de agua sea de un 50% de la altura.

4 IDENTIFICACIÓN DE LA PLANTA

Para realizar la identificación del proceso 2x2 se ha utilizado como señal de excitación una señal PRBS.

(Pseudo Randon Binary Secuence). Tras llevar el sistema al punto de trabajo comentado anteriormente (50% del nivel en los depósitos y 50% en las señales de control) se le aplica esta

señal a una de las entradas dejando la otra constante. Una vez terminado este proceso se lleva al sistema de nuevo a su punto de operación y se le aplica la señal de excitación a la otra entrada dejando constante la anterior. Las curvas de estos dos ensayos se muestran en las figuras 4 y 5.

Figura 4: Curvas obtenidas del primer ensayo de identificación.

Figura 5: Curvas obtenidas del segundo ensayo de identificación

Tanto en la figura 4 como en la figura 5 podemos observar en la parte superior la señal de excitación, que es igual para ambas entradas. En la curva central se muestra cómo se modifica el nivel de la columna de agua dentro del depósito correspondiente a la entrada excitada (excitación directa) y por último cómo se modifica el nivel de agua del otro depósito (perturbado) debido al acoplamiento existente en el sistema.

Con las curvas obtenidas anteriormente se realiza el pre-procesamiento de los datos y la obtención del modelo matemático que representa el sistema real. Para ello se ha utilizado la toolbox de identificación de Matlab. La obtención del modelo matemático se realiza basándose en la teoría de identificación de sistemas, utilizando el método de error de predicción (PEM) y haciendo un cálculo con sucesivas iteraciones a fin de obtener el modelo mas próximo al sistema real utilizando los datos reales de entradas y salidas.

A continuación se muestra la matriz 2x2 de funciones de transferencia del proceso G(s) obtenida de la identificación.

Dicha matriz relaciona los niveles 1 y 2 (en %) de los depósitos a controlar con las frecuencias de los variadores (en Hz). Todas estas medidas son relativas al punto de operación usado en la identificación.

En la tabla 1 se muestra el porcentaje de similitud entre el modelo obtenido y el sistema real que suministra matlab.

Tabla 1: Ajuste del modelo obtenido en Matlab

5 ESTRATEGIA DE CONTROL

La estrategia de control utilizada para regular este sistema es un control descentralizado. Esta clase de controlador trata a un sistema de múltiples entradas y múltiples salidas SiSO (sistemas de una sola variable).

El modelo identificado para esta planta es un modelo multivariable de dos entradas (velocidades de las bombas) y dos salidas (nivel de los depósitos); por lo tanto el sistema de control descentralizado se basa en dos subsistemas de control que deben tener en cuenta las interacciones del proceso, pero que son independientes entre sí, interconectando un subconjunto de variables de salidas con otro subconjunto de variables de entrada. Los dos lazos de control son:

• Lazo que relaciona la salida del nivel del depósito 1 con la entrada de velocidad de la bomba 1.

• Lazo que relaciona la salida del nivel del depósito 2 con la entrada de velocidad de la depósito 2

La matriz de ganancia relativa (RGA) nos da información sobre el grado de interacción que tiene nuestro sistema [3]. La RGA que se obtiene para el proceso es

en donde los valores de 1.22 nos indican un grado de interacción medio-bajo. Esto nos confirma que un control descentralizado puede ser suficiente para la regulación del sistema y también que el emparejamiento entre entradas y salidas es el adecuado.

La estructura escogida para cada lazo es la de un controlador PI debido a que es un controlador simple de implementar y muy versátil. Además, la dinámica de la planta es muy lenta con lo que este controlador es suficiente para realizar la tarea de control.

El diseño se ha realizado con la herramienta TITO [5], [6] y [7], la cual nos permite introducir la matriz 2x2 correspondiente a nuestro sistema y realizar el cálculo del controlador especificando parámetros, como por ejemplo el margen de fase, el margen de ganancia o ambos de manera combinada. En el presente trabajo el controlador se obtuvo utilizando un ajuste combinado entre margen de fase y margen de ganancia. Los márgenes para los cuales se calcularon los PI en ambos lazos son: un margen de fase de 75º y un margen de ganancia de 6. Para estas especificaciones los parámetros de los PI obtenidos aparecen recogidos en la tabla 2.

Tabla 2: Parámetros de s dos controladores PI

En la figura 6 se muestra la respuesta del sistema en lazo cerrado con el controlador PI para cada lazo y en la figura 7 sus respectivas señales de control.

Figura 6: Salidas del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario.

Figura 7: Señales de control del sistema en lazo cerrado ante un escalón unitario

Los controladores PI se implementan en Matlab a través de funciones transferencias continuas, las cuales están enmascaradas en bloques en los que se permite configurar sus parámetros (en nuestro caso los recogidos en la tabla 2). El diagrama de bloques del sistema real con los controladores es el que se muestra en la figura 8, en donde se establecen los valores de referencia para la altura de los depósitos intermedios.

Figura 8: Diagrama de bloques planta-controlador

6 RESULTADOS

Una vez implementados los controladores, se realizaron varios ensayos con el fin de ver si los controladores cumplen de forma adecuada su función. A continuación se muestran tres de estos ensayos.

Ensayo 1: se lleva al sistema real a su punto de operación en torno al 50% del nivel de líquido en ambos depósitos, luego se provoca un salto escalón de +10% en una de las referencias y se deja evolucionar el sistema. Pasado un cierto tiempo se quita el escalón y se vuelve a la condición de trabajo (figura 9).

Figura 9: Ensayo 1, respuesta del sistema a un salto escalón en la referencia 1.

Ensayo 2: se lleva al sistema a su punto de operación como en el ensayo anterior, se procede de la misma manera solo que el salto escalón se realiza en la referencia 2, que en el ensayo 1 se encontraba constante. La respuesta se observa en la figura 10.

Figura 10: Ensayo 2, respuesta del sistema a un salto escalón en la referencia 2.

Ensayo 3: se comprueba como responde el controlador cuando se realizan dos cambios de referencia sucesivos. Se incrementa el valor de la referencia 1 en un 10% de su punto de operación (50% de nivel de líquido) y en la otra, se marca una consigna para que el nivel descienda en un 10% del punto de trabajo. Luego se realiza lo mismo, pero permutando las consignas. Los resultados de los ensayos que se acaban de comentar se pueden observar en la figura 11.

Figura 11: Ensayo 3, respuesta del sistema a dos escalones sucesivos en las referencias.

En los tres ensayos anteriores se comprueba como el controlador diseñado consigue alcanzar las referencias de nivel de los depósitos a controlar.

Por último, se comparan las repuestas del sistema real y las del modelo de la planta, ambos con los controladores incluidos. Para ello se utiliza el esquema de la figura 8 (planta real con controlador) y el de la figura 12 (modelo con controlador).

Figura 12: Diagrama de bloques del modelo matemático con controlador.

Se excita el modelo con los mismos escalones que en los ensayos 1 y 2 y se compara la salida con las curvas obtenidas con el sistema real. En las figuras 13 y 14 se muestran estas curvas, las cuales tienen un grado de similitud considerablemente bueno, lo cual nos indica que el modelo responde de la misma manera que el sistema real.

Figura 13: Comparación entre salida real y salida simulada h1 (Ensayo 1)

Figura 14: Comparación entre salida real y salida simulada h2 (Ensayo 2)

7 CONCLUSIONES

En este trabajo se ha realizado el análisis de un proceso de cuatro tanques acoplados y se ha llevado a cabo su implementación física. Tras configurar adecuadamente la planta y llegar a un punto de trabajo estacionario, se ha identificado el proceso 2x2. Sobre dicho proceso, que muestra un cierto grado de interacción, se ha desarrollado una estrategia de control descentralizada con dos PI. Se han realizado varios ensayos experimentales que muestran como con dicho controlador se consigue un buen seguimiento de referencias y se reducen en gran medida las interacciones entre lazos. Además, el modelo es validado comparando las respuestas del modelo y las del sistema real, ambos con los controladores PI, ante un mismo experimento y comprobando su gran similitud.