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Estadística Inferencial. Sesión 3. Estimación de parámetros y por intervalos
Contextualización.
Se denomina estadístico a un estimador insesgado de un parámetro poblacional si la media o la esperanza del estadístico es igual al parámetro.
En esta sesión definiremos los conceptos de estimación puntal y por intervalos, veremos las características principales de las estimaciones por intervalos del tipo de la media de una población y la proporción de una población; así como las formulas necesarias para el cálculo de la confiabilidad del estimador.
Fuente: http://www.clasa-anestesia.org/revistas/chile/imagenes/Chi2520501.gif
Introducción.
En la actualidad la palabra confiabilidad no es muy común ya que se tiene una
gran desconfianza en la mayoría de los procesos de trabajo, más si hablamos
en términos de gobierno. Pero esta palabra tiene gran valor y aprecio en
términos de calidad de los productos que adquirimos para nuestras
necesidades y estos productos típicamente están diseñados bajo normas de
calidad, las cuales se apoyan en la estadística inferencial para su mejor
control.
Por ejemplo, en estadística inferencial es muy común casos como este que se
presenta a continuación:
Si se dice que una distancia es de 5.28 pies, se proporciona una estimación
puntual. Si, por otro lado, se dice que la distancia es de 5.28 ± 0.03 pies, esto
es, la distancia se ubica entre 5.25 y 5.31 pies, se da una estimación por
intervalo.
Introducción.
¿Cuál es la verdadera utilidad de conocer el valor de un parámetro
poblacional?
¿Cuándo debemos de utilizar estos métodos de estimación?
Fuente: http://www.zalthen.com/joomla/ESTIMACION_files/image203.jpg
Explicación.
Estimación puntual.
Un estimador puntual es un estadístico muestral que se usa para estimar un
parámetro poblacional. Por ejemplo, la media muestral 𝑥 es un estimador
puntual de la media poblacional µ y la proporción muestral 𝑝 es un estimador
puntual de la proporción poblacional p.
Como no se puede esperar que un estimador puntual suministre el valor exacto
del parámetro poblacional, se suele calcular una estimación por intervalo al
sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error.
La fórmula para la estimación por intervalo es:
Estimación puntal ± Margen de error
Explicación.
El objetivo de la estimación por intervalo es aportar información de que tan
cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del
parámetro poblacional.
Estimación por intervalo para la media poblacional (µ). Su fórmula es:
𝑥 ± Margen de error
Estimación por intervalo para la proporción población (p), su fórmula es:
𝑝 ± Margen de error
Las distribuciones muestrales de 𝑥 y 𝑝 son clave para calcular estas
estimaciones por intervalo.
Explicación.
Intervalo de confianza para la media µ con σ conocido o desconocida
pero n≥30.
Se usa la fórmula: 𝑥 − 𝑧𝑎2
𝜎
𝑁< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝑎
2
𝜎
𝑁
; donde:
= Promedio de la muestra
Z= valor de z que deja un área de α/2 a la derecha
σ= desviación estándar de la población(o estándar de la muestra en el
caso n≥30)
n= tamaño de la muestra
Explicación.
Error estándar es: 𝑧𝑎2
𝜎
𝑁
Ilustración:
En este caso el verdadero valor
para µ estaría ubicado en la región
central, es decir dentro de la
probabilidad de 1-α llamado
también intervalo de confianza.
fuente: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/ap1/estadistica07.gif
Explicación.
Valores de zα/2 para los niveles de confianza más usados:
Nivel de
confianza
α α/2 zα/2
90% .10 .05 1.645
95% .05 .025 1.960
99% .01 .005 2.576
Explicación.
Ejemplo: un fabricante de focos industriales desea conocer la duración
de su producto por experiencia sabe que el tiempo de duración de un
foco es una variable aleatoria normal. Para efectos de estimación toma
una muestra de n= 36 focos, lo cual arrojo una media de 5230 hrs. con
una desviación estándar de 215 hrs. Calcula un intervalo de confianza
de 95% para la verdadera duración promedio de estos focos.
Como sabemos que el tiempo de duración es una variable aleatoria
normal, usaremos la fórmula:
𝑥 − 𝑧𝑎2
𝜎
𝑁< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝑎
2
𝜎
𝑁
Explicación.
Tomando los datos que el problema nos da, tenemos que:
1 – α = 95% = .95, por lo tanto α = 1 - .95 = .05
𝑧𝑎2 = 𝑧.05
2
= 𝑧.0252
= 1.96; 𝑥 = 5230; σ = 215; n= 36
Fuente: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/odontologia/2002890/lecciones/estimacion/estimacion_clip_image030.jpg
Explicación.
Sustituyendo los valores en la formula tenemos que:
5230 − 1.96215
36< 𝜇 < 5230 + 1.96
215
36
Haciendo los cálculos el intervalo de confianza quedara así:
5159.77< µ < 5300.23
Esperaríamos que 95% de las veces el verdadero valor de la media µ
estuviera entre 5159 y 5300.
Explicación.
Intervalo de confianza para la proporción p.
𝑝 − 𝑧𝑎2
𝑝 1−𝑝
𝑛< 𝑝 < 𝑝 + 𝑧𝑎
2
𝑝 1−𝑝
𝑛 ; Donde:
Ejemplo: Un estudio en estados unidos encuesto a 900 golfistas para
conocer su opinión acerca de cómo se les trataba en los cursos de golf.
En el estudio se encontró que 396 golfistas estaban satisfechas con la
disponibilidad de horarios de salida. Por lo tanto, la estimación puntual de
la proporción poblacional de golfistas satisfechas con la disponibilidad de
horario de salida es 396/900 = 0.44. Calcula un intervalo de confianza del
95% de la proporción de golfistas satisfechas con la disponibilidad de
horarios de salida.
Explicación.
Datos:
1 – α = 95% = .95, por lo tanto α = 1 - .95 = .05
𝑧𝑎2 = 𝑧.05
2
= 𝑧.0252
=1.96; 𝑥 = 0.44
Sustituyendo lo datos, tenemos que:
0.44 − 1.960.44 1 − 0.44
900< 𝑝 < 0.44 + 1.96
0.44 1 − 0.44
900
Haciendo los cálculos, tenemos el siguiente intervalo de confianza:
0.4076 < p < 0.4724
Esto permite decir con 95% de confianza que entre 40.76 y 47.24% de las
golfistas están satisfechas con la disponibilidad de horarios de salida.
Conclusión.
En esta sesión se presentaron los métodos para obtener estimaciones
por intervalo de la media poblacional y de la proporción poblacional un
estimador puntual puede o no proporcionar una buena estimación de un
parámetro poblacional. Un intervalo de estimación suministra una medida
de la precisión de una estimación.
Tanto la estimación por intervalo de una media poblacional como la de
una proporción poblacional tienen la forma: Estimación puntal ± Margen
de error.
En la siguiente sesión estaremos trabajando nuevamente las
estimaciones por intervalo pero ahora para la Diferencia entre dos
medias poblacionales, la diferencia de dos proporciones poblacionales y
la Varianza poblacional.
Bibliografía.
Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008). Estadística para
administración y economía. (10ª ed.). México: Editorial Cengage
Learning. ISBN: 970-686-278-1
Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y
Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-
607-15-0270-4