TALLER 1 CÁLCULO INTEGRAL

EJERCICIOS

1. Halle las siguientes integrales:

a. −2 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −2𝑥 + 𝐶

b. 𝑥5 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥6

6+ 𝐶

c. (𝑥2 − 6) 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑑𝑥 − 6 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥3

3− 6𝑥 + 𝐶

d. 4𝑒−3 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 4 𝑒−3 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 4𝑒−3 + 𝐶

e. 𝑒4𝑥 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒4𝑥

4+ 𝐶

f. 7𝑥 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 7𝑥

log 7+ 𝐶

g. sec2(5𝑥) 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = tan 5𝑥

5+ 𝐶

h. 2𝑥

1+𝑥2 𝑑𝑥

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln 𝑥2 + 1 + 𝐶

i. (1 + sen 𝑥)2 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑈 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥

1

𝑑𝑢

𝑑𝑥= cos 𝑥

𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑢2 𝑑𝑢

𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑢3

3+ 𝐶

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = (1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)3

3+ 𝐶

j. 12𝑋

3𝑋2−2 𝑑𝑥

2 6𝑥

3𝑥2 − 2 12

𝑢 = 3𝑥2 − 2

𝑑𝑢 = 6 𝑥 𝑑𝑥

2 1

𝑢 12

𝑑𝑢

2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2.2 𝑢 + 𝑐 = 4 𝑢 + 𝑐

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 4 3𝑥2 − 2 + 𝑐

k. (4𝑡3 − 2) 24𝑡 𝑑𝑡

24 (4𝑡3 − 2) 𝑡 𝑑𝑡

24 (4𝑡4 − 2𝑡) 𝑑𝑡

24 (4𝑡4) − 24 (2𝑡) 𝑑𝑡

96 (𝑡4) − 48 (𝑡) 𝑑𝑡

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 96𝑡5

5− 48

𝑡2

2+ 𝐶

2

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 96𝑡5

5− 24𝑡2 + 𝐶

l. (𝑒3𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 ) 𝑑𝑡

𝑒3𝑡 − (𝑠𝑒𝑛 5𝑡 ) 𝑑𝑡

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒3𝑡

3+

cos(5𝑡)

5+ 𝐶

m. −𝑡𝑎𝑛 𝑟 ) 𝑑𝑟

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑐2𝑟 + 𝐶

n. (−𝑠2 + 𝑒2𝑠 − 5𝑠) 𝑑𝑠

− 𝑠2 + 𝑒2𝑠 − 5𝑠 𝑑𝑡

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑠3

3+

𝑒2𝑠

2+

5𝑥

log 5+ 𝐶

o. 3−2 𝑧

𝑧 𝑑𝑧

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 6 − 4 𝑧

2 𝑧

𝑢 = 𝑧

𝑑𝑢 =1

2 𝑧

2 (3 − 2𝑢) 𝑑𝑢

3

2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 2 3𝑢 − 2 𝑢2 + 𝑐 = 6𝑢 − 2𝑢2 + 𝑐

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 6 𝑧 − 𝑧 + 𝑐

2. Grafique cada una de las siguientes funciones en el intervalo solicitado:

a. 𝑦 = 𝑥 − 6 [7,11] con n=8

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛=

11 − 7

8= 0.5

Puntos de evaluación:

X0=7 X5=9+0.5=9.5

X1=7+0.5=7.5 X6=9.5+0.5=10

X2=7.5+0.5=8 X7=10+0.5=10.5

X3=8+0.5=8.5 X8=10.5+0.5=11

X4=8.5+0.5=9

Puntos medios:

𝑋𝑖 =𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖

𝑛

𝑋1 =

7+7.5

2= 7.25

𝑋2 =

7.5+8

2= 7.75

𝑋3 =

8+8.5

2= 8.25

4

𝑋4 =

8.5+9

2= 8.75

𝑋5 =

9+9.5

2= 9.25

𝑋6 =

9.5+10

2= 9.75

𝑋7 =

10+10.5

2= 10.25

𝑋8 =

10.5+11

2= 10.75

Suma de Reimman:

𝑅𝑃 = 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥

11

𝑖=7

= 7.25 − 6 + 7.75 − 6 + 8.25 − 6 + 8.75 − 6 + 9.25 − 6

+ 9.75 − 6 + 10.25 − 6 + 10.75 − 6 . (∆𝑥)

𝑅𝑃 = 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥 = 1.25 + 1.75 + 2.25 + 2.75 + 3.25 + 3.75 + 4.25 + 4.75 =11𝑖=7

20.25(∆𝑥)=(24).(0.5)=12

El área bajo la curva en el intervalo (7,11) es 12

b. 𝑦 =1𝑥2

2− 𝑥 + 3 [0,4] con n=6

5

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛=

4 − 0

6= 0.666

Puntos de evaluación:

X0=0 X5=2.666+0.666=3.333

X1=0+0.666=0.666 X6=3.333+0.666=3.999≈4

X2=0.666+0.666=1.333

X3=1.333+0.666=1.999

X4=1.999+0.666=2.666

Puntos medios:

𝑋𝑖 =𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖

𝑛

𝑋1 =

0+0.666

2= 0.333

𝑋2 =

1.333+0.666

2= 0.999 ≈ 1

𝑋3 =

1.999+1.333

2= 1.666

𝑋4 =

2.666+1.999

2= 2.333

𝑋5 =

3.333+2.666

2= 2.999 ≈ 3

𝑋6 =

3.999+3.333

2= 3.666

Suma de Reimman:

𝑅𝑃 = 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥 = [𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 ) + 𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥4 ) + 𝑓(𝑥5 ) + 𝑓(𝑥6 )]

4

𝑖=0

. (∆𝑥)

𝑅𝑃 = 𝑓 𝑥𝑖 ∆𝑥 = [2.555 + 2.5 + 2.72 + 3.38 + 4.5 + 6.05](∆𝑥) = 21.722(∆𝑥)

11

𝑖=7

= (21.722). (0.666) = 14.466

El área bajo la curva en el intervalo (0,4) es 14.466

3. Demuestre mediante una sumatoria de Reimman con partición regular que

el área bajo la curva para la función y= x2 – 3x en el intervalo [3,4] es 11/6

6

∆𝑥 =4 − 3

𝑛=

1

𝑛

Puntos de evaluación:

X0=3

X1= 3 +1

𝑛=

3𝑛+1

𝑛

X2= 3𝑛+1

𝑛+

1

𝑛=

3𝑛+2

𝑛

X3= 3𝑛+2

𝑛+

1

𝑛=

3𝑛+3

𝑛

X4= 3𝑛+3

𝑛+

1

𝑛=

3𝑛+4

𝑛

𝑥𝑖 =3𝑛 + 𝑖

𝑛

lim𝑛→∞

𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥

𝑛

𝑖=1

𝑓( 3𝑛 + 𝑖

𝑛

2

− 3(3𝑛 + 𝑖

𝑛))∆𝑥

𝑛

𝑖=1

𝑓 3𝑛 + 𝑖 2

𝑛2− 3(

3𝑛 + 𝑖

𝑛))∆𝑥

𝑛

𝑖=1

3𝑛 + 𝑖 2

𝑛2− (

9𝑛 + 3𝑖

𝑛)

1

𝑛

𝑛

𝑖=1

9𝑛2 + 6𝑛𝑖 + 𝑖2

𝑛2−

9𝑛 + 3𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛

9 +6𝑖

𝑛+

𝑖2

𝑛2− 9 +

3𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛

9 + 6𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

+ 𝑖2

𝑛2

𝑛

𝑖=1

− 9 − 3𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛

9 +6

𝑛 𝑖

𝑛

𝑖=1

+1

𝑛2 𝑖2

𝑛

𝑖=1

− 9 −3

𝑛 𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛

7

9𝑛 +6

𝑛 𝑛 𝑛 + 1

2 +

1

𝑛2 𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

6 − 9𝑛 −

3

𝑛 𝑛 𝑛 + 1

2

1

𝑛

9𝑛 +6𝑛 𝑛 + 1

2𝑛+

𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

6𝑛2− 9𝑛 −

3𝑛 𝑛 + 1

2𝑛

1

𝑛

9𝑛 + 3 𝑛 + 1 + 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

6𝑛− 9𝑛 −

3 𝑛 + 1

2

1

𝑛

9𝑛 + 3𝑛 + 3 +2𝑛2 + 3𝑛 + 1

6𝑛− 9𝑛 −

3𝑛 + 3

2

1

𝑛

9𝑛 + 3𝑛 + 3 +𝑛

3+

1

2+

1

6𝑛− 9𝑛 −

3𝑛

2−

3

2

1

𝑛

9 + 3 +3

𝑛+

1

3+

1

2𝑛+

1

6𝑛2− 9 −

3

2−

3

2𝑛

lim𝑛→∞

3 +3

𝑛+

1

3+

1

2𝑛+

1

6𝑛2−

3

2−

3

2𝑛

3 +1

3−

3

2=

18 + 2 − 9

6=

𝟏𝟏

𝟔

4. Evaluar cada una de las siguientes integrales mediante la aplicación directa

el teorema fundamental y compare los resultados obtenidos con los del punto 2

a. 𝑥 − 6 𝑑𝑥11

7

𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑏 − 𝑃(𝑎)𝑏

𝑎

𝑥 − 6 11

7

𝑑𝑥

8

𝑥2

2− 6𝑥

7

11

112

2− 6 11 = 60.5 − 66 = −5.5

72

2− 6 7 = 24.5 − 42 = −17.5

−5.5 − −17.5 = 𝟏𝟐

Según las sumas de Reimman el área bajo la curva en el intervalo (7,11) es 12,

mismo resultado obtenido por teorema fundamental del cálculo.

b. 1

2𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑑𝑥

4

0

1

2𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑑𝑥

4

0

𝑥3

6−

𝑥2

2+ 3𝑥

0

4

𝑃 𝑎 =03

6−

02

2+ 3(0) = 0

𝑃 𝑏 =43

6−

42

2+ 3 4 =

44

3= 14.6666

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 = 14.6666 − 0 = 𝟏𝟒. 𝟔𝟔𝟔𝟔

La integral por Teorema Fundamental es 14.66, y por sumas de Reimman

obtuvimos 14.466, la diferencia se debe a que la integral considera particiones

cercanas al infinito mientas en las sumas de Reimman usamos solo 6

particiones, como es una curva de función parabólica la figura geométrica no

están fácil de calcular como los triángulos del punto anterior así que a mas

particiones mayor exactitud.

9

5. Evaluar cada una de las siguientes integrales mediante la aplicación del

teorema fundamental del cálculo.

a. 𝑡−3 + 2𝑡 − 5 𝑑𝑡2

−2

𝑡−3 + 2𝑡 − 5 𝑑𝑡2

−2

𝑡−2

−2+ 𝑡2 − 5𝑡

−2

2

− 1

2𝑡2+ 𝑡2 − 5𝑡

−2

2

𝑃 𝑎 = −1

2(−2)2+ (−2)2 − 5 −2 = 13.875

𝑃 𝑏 = −1

2(2)2+ (2)2 − 5 2 = −5.875

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 = −5.875 − 13.875 = −𝟏𝟗. 𝟕𝟓

En realidad en este intervalo (-2,2) la función no es integrable ya que la función

no es continua en este intervalo y no es acotada al acercarse a 0 por la

izquierda tiende a -∞ y por la derecha tiende a ∞

b. 6𝑥

𝑥2+1𝑑𝑥

1

0

10

6𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥

1

0

3 2𝑥

𝑥2 + 1𝑑𝑥

1

0

𝑢 = 𝑥2 + 1

𝑑𝑢 = 2𝑥 + 0 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑥

3 𝑑𝑢

𝑢

1

0

3 1

𝑢𝑑𝑢

1

0

3 ln(𝑢) 0

4

3 ln(𝑥2 + 1) 0

4

𝑃 𝑎 = 3 ln(02 + 1) = 0

𝑃 𝑏 = 3 ln(12 + 1) = 2.079

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 = 2.079 − 0 = 𝟐. 𝟎𝟕𝟗

c. 1+ 𝑥

𝑥𝑑𝑥

4

0

1 + 𝑥

𝑥𝑑𝑥

4

0

1

𝑥𝑑𝑥 +

4

0

𝑥

𝑥𝑑𝑥

4

0

𝑢 = 𝑥 , 𝑢2 = 𝑥

2𝑢𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑢

𝑢22𝑢𝑑𝑢

4

0

= 2𝑢2

𝑢2𝑑𝑢

4

0

= 2𝑑𝑢4

0

2𝑢 = 2 𝑥

11

ln(𝑥) 04 + 2 𝑥

0

4

𝑃 𝑎 = ln 0 + 2 0 = 0

𝑃 𝑏 = ln 4 + 2 4 = 5.386

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 = 5.386 − 0 = 5.386

Esta función no es acotada en este intervalo (0,4) por tanto no es integrable.

Tiende a infinito cuando se acerca a cero.

d. 10

3 1+2𝑥𝑑𝑥

13

0

10

3 1 + 2𝑥𝑑𝑥

13

0

𝑈 = 1 + 2𝑥

𝑈2 = 1 + 2𝑥

2𝑈𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥

12

5 2

3 1 + 2𝑥𝑑𝑥

13

0

5 2𝑈

3𝑈𝑑𝑢 =

13

0

5 2

3𝑑𝑢 =

13

0

10

3𝑈

10 1 + 2𝑥

3

13

0

𝑃 𝑎 =10 1 + 2(0)

3=

10

3

𝑃 𝑏 =10 1 + 2(13)

3=

10 27

3= 10 3

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 = 10 3 −10

3= 𝟏𝟑. 𝟗𝟖𝟕𝟏

e. sec 𝑥 tan 𝑥

(4+sec 𝑥)𝑑𝑥

𝜋

40

sec 𝑥 tan 𝑥

(4 + sec 𝑥)𝑑𝑥

𝜋4

0

𝑈 = 4 + sec 𝑥

𝑑𝑢 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥

1

𝑈𝑑𝑢 = ln 𝑈

𝜋4

0

ln(4 + sec 𝑥) 0

𝜋4

𝑃 𝑎 = ln 4 + sec 0 = ln 5 = 1.609437

𝑃 𝑏 = ln 4 + sec𝜋

4 = ln 5.41 = 1.688249

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 = 0.088

13

f. −14 7𝑚 + 2 𝑑𝑚1

0

−14 7𝑚 + 2 𝑑𝑚1

0

𝑈 = 7𝑚 + 2

𝑈2 = 7𝑚 + 2

2𝑈𝑑𝑢 = 7𝑑𝑚

−2 7 7𝑚 + 2 𝑑𝑚1

0

−2 𝑈2𝑈𝑑𝑢 =1

0

− 2 2𝑈2𝑑𝑢1

0

−2. 2𝑢3

3

0

1

= −4 7𝑚 + 2

3

3

0

1

𝑃 𝑎 =−4 7(0) + 2

3

3= −3.7712

𝑃 𝑏 =−4 7(1) + 2

3

3= −36

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 = −36 − 3.7712 = −32.222 = 𝟑𝟐. 𝟐𝟐𝟐

6. Halle el valor medio de las siguientes funciones en el intervalo dado:

a. 𝑓 𝑧 = 2𝑧−3 − 3𝑧−2 en el intervalo [-2,3]

1

3 − (−2) 2𝑧−3 − 3𝑧−2

3

−2

𝑑𝑧

1

5 2𝑧−3 − 3𝑧−2

3

−2

3

−2

1

5 2𝑧−2

−2 −2

3

− 3𝑧−1

−1 −2

3

1

5 − 1

𝑧2 −2

3

+ 3

𝑧 −2

3

14

𝑃 𝑎 =1

5 −

1

(−2)2+

3

−2 =

1

5 −

1

4−

3

2 =

1

5 −

7

4

𝑃 𝑏 =1

5 −

1

(3)2+

3

3 =

1

5 −

1

9+ 1 =

1

5 8

9

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 =1

5 8

9− (−

7

4) =

1

5 95

36 =

19

36

En realidad esta función no es integrable en este intervalo por que no es

continua ni acotada en el mismo.

b. 𝑓 𝑟 = (1 + 2𝑟)𝑟2 en el intervalo [1.4]

1

4 − 1 (1 + 2𝑟)𝑟2

4

1

𝑑𝑟

1

3 (1 + 2𝑟)𝑟2

4

1

𝑑𝑟

1

3 𝑟2 + 2𝑟3

4

1

𝑑𝑟

1

3 𝑟2𝑑𝑟 + 2𝑟3𝑑𝑟

4

1

4

1

1

3 𝑟3

3

1

4

+ 2𝑟4

4

1

4

=1

3 𝑟3

3

1

4

+ 𝑟4

2

1

4

15

𝑃 𝑎 =1

3 13

3+

14

2 =

1

3 5

6

𝑃 𝑏 =1

3 43

3+

44

2 =

1

3 64

3+

256

2 =

1

3 896

6

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 =1

3 896

6−

5

6) =

1

3 297

2 =

297

6

c. 𝑓 𝑚 =𝑚2+𝑚+1

𝑚3 en el intervalo [0,8]

1

8 − 0

𝑚2 + 𝑚 + 1

𝑚3

8

0

𝑑𝑚

1

8

𝑚2

𝑚13

+8

0

𝑚

𝑚13

+1

𝑚13

𝑑𝑚

1

8 𝑚

53 +

8

0

𝑚23 +

1

𝑚13

𝑑𝑚

1

8 𝑚

53 +

8

0

𝑚23 + 𝑚−

13𝑑𝑚

1

8 𝑚

53

8

0

+ 𝑚23

8

0

+ 𝑚−13

8

0

1

8 3𝑚

83

8

0

8

+ 3𝑚53

5

0

8

+ 3𝑚23

2

0

8

𝑃 𝑎 =1

8 3 𝑚83

8+

3 𝑚53

5+

3 𝑚23

2 = 0

𝑃 𝑏 =1

8 3 883

8+

3 853

5+

3 823

2 =

1

8 606

5

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 =𝟑𝟎𝟑

𝟐𝟎

d. 𝑓 𝑠 =𝑠2+4

𝑠2 en el intervalo [2,5]

1

5 − 2

𝑠2 + 4

𝑠2

5

2

𝑑𝑠

16

1

3

𝑠2

𝑠2

5

2

𝑑𝑠 + 4

𝑠2

5

2

𝑑𝑠 =1

3 1

5

2

𝑑𝑠 + 4𝑠−25

2

𝑑𝑠

1

3 𝑠 2

5 + 4𝑠−1

−1

2

5

=1

3 𝑆 2

5 − 4

𝑆

2

5

𝑃 𝑎 =1

3 2 −

4

2 = 0

𝑃 𝑏 =1

3 5 −

4

5 =

1

3 21

5 =

21

15

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 =21

15− 2 =

𝟐𝟏

𝟏𝟓

e. 𝑓 𝑤 = (𝑤2 + 3)2 en el intervalo [-1,1]

𝑓 𝑤 = (𝑤2 + 3)2 = 𝑤4 + 6𝑤2 + 9

1

1 − (−1) 𝑤4 + 6𝑤2 + 9

1

−1

𝑑𝑤

1

2 𝑤4

1

−1

𝑑𝑤 + 6𝑤21

−1

𝑑𝑤 + 91

−1

𝑑𝑤

1

2 𝑤5

5 −1

1

+ 6𝑤3

3 −1

1

+ 9𝑤 −11

𝑃 𝑎 =1

2 −15

5+ 2(−1)3 + 9(−1) =

1

2 −

1

5− 2 − 9 =

1

2 −

56

5

𝑃 𝑏 =1

2 15

5+ 2(1)3 + 9(1) =

1

2 1

5+ 2 + 9 =

1

2 56

5

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 =1

2 56

5− (−

56

5) =

1

2 112

5 =

𝟓𝟔

𝟓

7. Resolver las siguientes situaciones:

a. Las ventas de un producto de temporada vienen dadas por el modelo

𝑆 𝑡 = 74.50 + 43.75𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡

6, donde S se mide en miles de unidades y t es el

tiempo empleado en meses, con t = 1 correspondiendo a enero. Hallar las

ventas promedio durante:

El primer trimestre 0 ≤ t ≥ 3

El segundo trimestre 3 ≤ t ≥ 6

17

1

3 − 0 74.50 + 43.75𝑠𝑒𝑛

𝜋𝑡

6

3

0

𝑑𝑡

1

3 74.50 𝑑𝑡

3

0

+ 43.75 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡

6

3

0

𝑑𝑡

1

3 74.5𝑡 0

3 + 43.75 (−𝑐𝑜𝑠

𝜋6 𝑡

𝜋6

)

0

3

=1

3 74.5𝑡 0

3 + 43.75 (−6𝑐𝑜𝑠

𝜋6 𝑡

𝜋)

0

3

𝑃 𝑎 =1

3 74.5 0 + 43.75

−6𝑐𝑜𝑠𝜋6 (0)

𝜋 =

1

3 −

262.5

𝜋

𝑃 𝑏 =1

3 74.5 3 + 43.75

−6𝑐𝑜𝑠𝜋6 (3)

𝜋 =

1

3 223.5 + 0

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 =1

3 223.5 − (−83.55) =

1

3 307.05 = 102.35

Las ventas para el primer trimestre en promedio serán de 102350 unidades.

1

6 − 3 74.50 + 43.75𝑠𝑒𝑛

𝜋𝑡

6

6

3

𝑑𝑡

1

3 74.50 𝑑𝑡

6

3

+ 43.75 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡

6

6

3

𝑑𝑡

1

3 74.5𝑡 3

6 + 43.75 (−𝑐𝑜𝑠

𝜋6 𝑡

𝜋6

)

3

6

=1

3 74.5𝑡 3

6 + 43.75 (−6𝑐𝑜𝑠

𝜋6 𝑡

𝜋)

3

6

18

𝑃 𝑎 =1

3 74.5 3 + 43.75

−6𝑐𝑜𝑠𝜋6 (3)

𝜋 =

1

3 223.5

𝑃 𝑏 =1

3 74.5 6 + 43.75

−6𝑐𝑜𝑠𝜋6 (6)

𝜋 =

1

3 447 +

262.5

𝜋

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑎 =1

3 530.55 − (223.5) =

1

3 307.05 = 102.35

Las ventas para el segundo trimestre en promedio serán de 102350 unidades.

8. La siguiente gráfica lineal representa la fuerza (F) aplicada por una persona

para mover un objeto una distancia (d). Halle el Trabajo (T) realizado por la

persona para mover el objeto desde la distancia 3m hasta la distancia 7m,

teniendo en cuenta que el trabajo realizado se halla mediante la expresión

T=F.d.

Nota: Tenga en cuenta que la ecuación que define la gráfica es F=1/2d + 1

𝑑

2+ 1 𝑑𝑑

7

3

1

2 𝑑 𝑑𝑑

7

3

+ 1 𝑑𝑑

7

3

Fuerza (N)

Distancia (m)

19

1

2 𝑑2

2 + 𝑑

3

7

𝑃 𝑎 = 3 2

4+ 3 =

21

4

𝑃 𝑏 = 7 2

4+ 7 =

77

4

𝑃 𝑏 − 𝑃 𝑠 =77

4−

21

4= 14

La fuerza aplicada por la persona para mover el objeto de los 3 a los 7 metros es

de 14 Newton.