Ejercicios Calculo Integral

20
TALLER 1 CÁLCULO INTEGRAL EJERCICIOS 1. Halle las siguientes integrales: a. βˆ’2 () = βˆ’2 + b. 5 () = 6 6 + c. ( 2 βˆ’ 6) () = 2 βˆ’ 6 () = 3 3 βˆ’ 6 + d. 4 βˆ’3 () = 4 βˆ’3 () = 4 βˆ’3 + e. 4 () = 4 4 + f. 7 () = 7 log 7 + g. sec 2 (5) () = tan 5 5 + h. 2 1+ 2 () = ln 2 +1 + i. (1 + sen ) 2 cos =1+

Transcript of Ejercicios Calculo Integral

Page 1: Ejercicios Calculo Integral

TALLER 1 CÁLCULO INTEGRAL

EJERCICIOS

1. Halle las siguientes integrales:

a. βˆ’2 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = βˆ’2π‘₯ + 𝐢

b. π‘₯5 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = π‘₯6

6+ 𝐢

c. (π‘₯2 βˆ’ 6) 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = π‘₯2𝑑π‘₯ βˆ’ 6 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = π‘₯3

3βˆ’ 6π‘₯ + 𝐢

d. 4π‘’βˆ’3 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 4 π‘’βˆ’3 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 4π‘’βˆ’3 + 𝐢

e. 𝑒4π‘₯ 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝑒4π‘₯

4+ 𝐢

f. 7π‘₯ 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 7π‘₯

log 7+ 𝐢

g. sec2(5π‘₯) 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = tan 5π‘₯

5+ 𝐢

h. 2π‘₯

1+π‘₯2 𝑑π‘₯

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = ln π‘₯2 + 1 + 𝐢

i. (1 + sen π‘₯)2 cos π‘₯ 𝑑π‘₯

π‘ˆ = 1 + 𝑠𝑒𝑛 π‘₯

Page 2: Ejercicios Calculo Integral

1

𝑑𝑒

𝑑π‘₯= cos π‘₯

𝑑𝑒 = cos π‘₯ 𝑑π‘₯

𝑒2 𝑑𝑒

𝑓(𝑒) 𝑑𝑒 = 𝑒3

3+ 𝐢

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = (1 + 𝑠𝑒𝑛 π‘₯)3

3+ 𝐢

j. 12𝑋

3𝑋2βˆ’2 𝑑π‘₯

2 6π‘₯

3π‘₯2 βˆ’ 2 12

𝑒 = 3π‘₯2 βˆ’ 2

𝑑𝑒 = 6 π‘₯ 𝑑π‘₯

2 1

𝑒 12

𝑑𝑒

2 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 2.2 𝑒 + 𝑐 = 4 𝑒 + 𝑐

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 4 3π‘₯2 βˆ’ 2 + 𝑐

k. (4𝑑3 βˆ’ 2) 24𝑑 𝑑𝑑

24 (4𝑑3 βˆ’ 2) 𝑑 𝑑𝑑

24 (4𝑑4 βˆ’ 2𝑑) 𝑑𝑑

24 (4𝑑4) βˆ’ 24 (2𝑑) 𝑑𝑑

96 (𝑑4) βˆ’ 48 (𝑑) 𝑑𝑑

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 96𝑑5

5βˆ’ 48

𝑑2

2+ 𝐢

Page 3: Ejercicios Calculo Integral

2

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 96𝑑5

5βˆ’ 24𝑑2 + 𝐢

l. (𝑒3𝑑 βˆ’ 𝑠𝑒𝑛 5𝑑 ) 𝑑𝑑

𝑒3𝑑 βˆ’ (𝑠𝑒𝑛 5𝑑 ) 𝑑𝑑

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 𝑒3𝑑

3+

cos(5𝑑)

5+ 𝐢

m. βˆ’π‘‘π‘Žπ‘› π‘Ÿ ) π‘‘π‘Ÿ

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = βˆ’π‘ π‘’π‘2π‘Ÿ + 𝐢

n. (βˆ’π‘ 2 + 𝑒2𝑠 βˆ’ 5𝑠) 𝑑𝑠

βˆ’ 𝑠2 + 𝑒2𝑠 βˆ’ 5𝑠 𝑑𝑑

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = βˆ’π‘ 3

3+

𝑒2𝑠

2+

5π‘₯

log 5+ 𝐢

o. 3βˆ’2 𝑧

𝑧 𝑑𝑧

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 6 βˆ’ 4 𝑧

2 𝑧

𝑒 = 𝑧

𝑑𝑒 =1

2 𝑧

2 (3 βˆ’ 2𝑒) 𝑑𝑒

Page 4: Ejercicios Calculo Integral

3

2 𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 2 3𝑒 βˆ’ 2 𝑒2 + 𝑐 = 6𝑒 βˆ’ 2𝑒2 + 𝑐

𝑓(π‘₯) 𝑑π‘₯ = 6 𝑧 βˆ’ 𝑧 + 𝑐

2. Grafique cada una de las siguientes funciones en el intervalo solicitado:

a. 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 6 [7,11] con n=8

βˆ†π‘₯ =𝑏 βˆ’ π‘Ž

𝑛=

11 βˆ’ 7

8= 0.5

Puntos de evaluaciΓ³n:

X0=7 X5=9+0.5=9.5

X1=7+0.5=7.5 X6=9.5+0.5=10

X2=7.5+0.5=8 X7=10+0.5=10.5

X3=8+0.5=8.5 X8=10.5+0.5=11

X4=8.5+0.5=9

Puntos medios:

𝑋𝑖 =π‘₯π‘–βˆ’1 + π‘₯𝑖

𝑛

𝑋1 =

7+7.5

2= 7.25

𝑋2 =

7.5+8

2= 7.75

𝑋3 =

8+8.5

2= 8.25

Page 5: Ejercicios Calculo Integral

4

𝑋4 =

8.5+9

2= 8.75

𝑋5 =

9+9.5

2= 9.25

𝑋6 =

9.5+10

2= 9.75

𝑋7 =

10+10.5

2= 10.25

𝑋8 =

10.5+11

2= 10.75

Suma de Reimman:

𝑅𝑃 = 𝑓 π‘₯𝑖 βˆ†π‘₯

11

𝑖=7

= 7.25 βˆ’ 6 + 7.75 βˆ’ 6 + 8.25 βˆ’ 6 + 8.75 βˆ’ 6 + 9.25 βˆ’ 6

+ 9.75 βˆ’ 6 + 10.25 βˆ’ 6 + 10.75 βˆ’ 6 . (βˆ†π‘₯)

𝑅𝑃 = 𝑓 π‘₯𝑖 βˆ†π‘₯ = 1.25 + 1.75 + 2.25 + 2.75 + 3.25 + 3.75 + 4.25 + 4.75 =11𝑖=7

20.25(βˆ†π‘₯)=(24).(0.5)=12

El Γ‘rea bajo la curva en el intervalo (7,11) es 12

b. 𝑦 =1π‘₯2

2βˆ’ π‘₯ + 3 [0,4] con n=6

Page 6: Ejercicios Calculo Integral

5

βˆ†π‘₯ =𝑏 βˆ’ π‘Ž

𝑛=

4 βˆ’ 0

6= 0.666

Puntos de evaluaciΓ³n:

X0=0 X5=2.666+0.666=3.333

X1=0+0.666=0.666 X6=3.333+0.666=3.999β‰ˆ4

X2=0.666+0.666=1.333

X3=1.333+0.666=1.999

X4=1.999+0.666=2.666

Puntos medios:

𝑋𝑖 =π‘₯π‘–βˆ’1 + π‘₯𝑖

𝑛

𝑋1 =

0+0.666

2= 0.333

𝑋2 =

1.333+0.666

2= 0.999 β‰ˆ 1

𝑋3 =

1.999+1.333

2= 1.666

𝑋4 =

2.666+1.999

2= 2.333

𝑋5 =

3.333+2.666

2= 2.999 β‰ˆ 3

𝑋6 =

3.999+3.333

2= 3.666

Suma de Reimman:

𝑅𝑃 = 𝑓 π‘₯𝑖 βˆ†π‘₯ = [𝑓(π‘₯1 ) + 𝑓(π‘₯2 ) + 𝑓(π‘₯3 ) + 𝑓(π‘₯4 ) + 𝑓(π‘₯5 ) + 𝑓(π‘₯6 )]

4

𝑖=0

. (βˆ†π‘₯)

𝑅𝑃 = 𝑓 π‘₯𝑖 βˆ†π‘₯ = [2.555 + 2.5 + 2.72 + 3.38 + 4.5 + 6.05](βˆ†π‘₯) = 21.722(βˆ†π‘₯)

11

𝑖=7

= (21.722). (0.666) = 14.466

El Γ‘rea bajo la curva en el intervalo (0,4) es 14.466

3. Demuestre mediante una sumatoria de Reimman con particiΓ³n regular que

el Γ‘rea bajo la curva para la funciΓ³n y= x2 – 3x en el intervalo [3,4] es 11/6

Page 7: Ejercicios Calculo Integral

6

βˆ†π‘₯ =4 βˆ’ 3

𝑛=

1

𝑛

Puntos de evaluaciΓ³n:

X0=3

X1= 3 +1

𝑛=

3𝑛+1

𝑛

X2= 3𝑛+1

𝑛+

1

𝑛=

3𝑛+2

𝑛

X3= 3𝑛+2

𝑛+

1

𝑛=

3𝑛+3

𝑛

X4= 3𝑛+3

𝑛+

1

𝑛=

3𝑛+4

𝑛

π‘₯𝑖 =3𝑛 + 𝑖

𝑛

limπ‘›β†’βˆž

𝑓(π‘₯𝑖)βˆ†π‘₯

𝑛

𝑖=1

𝑓( 3𝑛 + 𝑖

𝑛

2

βˆ’ 3(3𝑛 + 𝑖

𝑛))βˆ†π‘₯

𝑛

𝑖=1

𝑓 3𝑛 + 𝑖 2

𝑛2βˆ’ 3(

3𝑛 + 𝑖

𝑛))βˆ†π‘₯

𝑛

𝑖=1

3𝑛 + 𝑖 2

𝑛2βˆ’ (

9𝑛 + 3𝑖

𝑛)

1

𝑛

𝑛

𝑖=1

9𝑛2 + 6𝑛𝑖 + 𝑖2

𝑛2βˆ’

9𝑛 + 3𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛

9 +6𝑖

𝑛+

𝑖2

𝑛2βˆ’ 9 +

3𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛

9 + 6𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

+ 𝑖2

𝑛2

𝑛

𝑖=1

βˆ’ 9 βˆ’ 3𝑖

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛

9 +6

𝑛 𝑖

𝑛

𝑖=1

+1

𝑛2 𝑖2

𝑛

𝑖=1

βˆ’ 9 βˆ’3

𝑛 𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

1

𝑛

Page 8: Ejercicios Calculo Integral

7

9𝑛 +6

𝑛 𝑛 𝑛 + 1

2 +

1

𝑛2 𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

6 βˆ’ 9𝑛 βˆ’

3

𝑛 𝑛 𝑛 + 1

2

1

𝑛

9𝑛 +6𝑛 𝑛 + 1

2𝑛+

𝑛 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

6𝑛2βˆ’ 9𝑛 βˆ’

3𝑛 𝑛 + 1

2𝑛

1

𝑛

9𝑛 + 3 𝑛 + 1 + 𝑛 + 1 2𝑛 + 1

6π‘›βˆ’ 9𝑛 βˆ’

3 𝑛 + 1

2

1

𝑛

9𝑛 + 3𝑛 + 3 +2𝑛2 + 3𝑛 + 1

6π‘›βˆ’ 9𝑛 βˆ’

3𝑛 + 3

2

1

𝑛

9𝑛 + 3𝑛 + 3 +𝑛

3+

1

2+

1

6π‘›βˆ’ 9𝑛 βˆ’

3𝑛

2βˆ’

3

2

1

𝑛

9 + 3 +3

𝑛+

1

3+

1

2𝑛+

1

6𝑛2βˆ’ 9 βˆ’

3

2βˆ’

3

2𝑛

limπ‘›β†’βˆž

3 +3

𝑛+

1

3+

1

2𝑛+

1

6𝑛2βˆ’

3

2βˆ’

3

2𝑛

3 +1

3βˆ’

3

2=

18 + 2 βˆ’ 9

6=

𝟏𝟏

πŸ”

4. Evaluar cada una de las siguientes integrales mediante la aplicaciΓ³n directa

el teorema fundamental y compare los resultados obtenidos con los del punto 2

a. π‘₯ βˆ’ 6 𝑑π‘₯11

7

𝑓 π‘₯ = 𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃(π‘Ž)𝑏

π‘Ž

π‘₯ βˆ’ 6 11

7

𝑑π‘₯

Page 9: Ejercicios Calculo Integral

8

π‘₯2

2βˆ’ 6π‘₯

7

11

112

2βˆ’ 6 11 = 60.5 βˆ’ 66 = βˆ’5.5

72

2βˆ’ 6 7 = 24.5 βˆ’ 42 = βˆ’17.5

βˆ’5.5 βˆ’ βˆ’17.5 = 𝟏𝟐

SegΓΊn las sumas de Reimman el Γ‘rea bajo la curva en el intervalo (7,11) es 12,

mismo resultado obtenido por teorema fundamental del cΓ‘lculo.

b. 1

2π‘₯2 βˆ’ π‘₯ + 3 𝑑π‘₯

4

0

1

2π‘₯2 βˆ’ π‘₯ + 3 𝑑π‘₯

4

0

π‘₯3

6βˆ’

π‘₯2

2+ 3π‘₯

0

4

𝑃 π‘Ž =03

6βˆ’

02

2+ 3(0) = 0

𝑃 𝑏 =43

6βˆ’

42

2+ 3 4 =

44

3= 14.6666

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž = 14.6666 βˆ’ 0 = πŸπŸ’. πŸ”πŸ”πŸ”πŸ”

La integral por Teorema Fundamental es 14.66, y por sumas de Reimman

obtuvimos 14.466, la diferencia se debe a que la integral considera particiones

cercanas al infinito mientas en las sumas de Reimman usamos solo 6

particiones, como es una curva de funciΓ³n parabΓ³lica la figura geomΓ©trica no

estΓ‘n fΓ‘cil de calcular como los triΓ‘ngulos del punto anterior asΓ­ que a mas

particiones mayor exactitud.

Page 10: Ejercicios Calculo Integral

9

5. Evaluar cada una de las siguientes integrales mediante la aplicaciΓ³n del

teorema fundamental del cΓ‘lculo.

a. π‘‘βˆ’3 + 2𝑑 βˆ’ 5 𝑑𝑑2

βˆ’2

π‘‘βˆ’3 + 2𝑑 βˆ’ 5 𝑑𝑑2

βˆ’2

π‘‘βˆ’2

βˆ’2+ 𝑑2 βˆ’ 5𝑑

βˆ’2

2

βˆ’ 1

2𝑑2+ 𝑑2 βˆ’ 5𝑑

βˆ’2

2

𝑃 π‘Ž = βˆ’1

2(βˆ’2)2+ (βˆ’2)2 βˆ’ 5 βˆ’2 = 13.875

𝑃 𝑏 = βˆ’1

2(2)2+ (2)2 βˆ’ 5 2 = βˆ’5.875

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž = βˆ’5.875 βˆ’ 13.875 = βˆ’πŸπŸ—. πŸ•πŸ“

En realidad en este intervalo (-2,2) la funciΓ³n no es integrable ya que la funciΓ³n

no es continua en este intervalo y no es acotada al acercarse a 0 por la

izquierda tiende a -∞ y por la derecha tiende a ∞

b. 6π‘₯

π‘₯2+1𝑑π‘₯

1

0

Page 11: Ejercicios Calculo Integral

10

6π‘₯

π‘₯2 + 1𝑑π‘₯

1

0

3 2π‘₯

π‘₯2 + 1𝑑π‘₯

1

0

𝑒 = π‘₯2 + 1

𝑑𝑒 = 2π‘₯ + 0 𝑑π‘₯ = 2π‘₯𝑑π‘₯

3 𝑑𝑒

𝑒

1

0

3 1

𝑒𝑑𝑒

1

0

3 ln(𝑒) 0

4

3 ln(π‘₯2 + 1) 0

4

𝑃 π‘Ž = 3 ln(02 + 1) = 0

𝑃 𝑏 = 3 ln(12 + 1) = 2.079

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž = 2.079 βˆ’ 0 = 𝟐. πŸŽπŸ•πŸ—

c. 1+ π‘₯

π‘₯𝑑π‘₯

4

0

1 + π‘₯

π‘₯𝑑π‘₯

4

0

1

π‘₯𝑑π‘₯ +

4

0

π‘₯

π‘₯𝑑π‘₯

4

0

𝑒 = π‘₯ , 𝑒2 = π‘₯

2𝑒𝑑𝑒 = 𝑑π‘₯

𝑒

𝑒22𝑒𝑑𝑒

4

0

= 2𝑒2

𝑒2𝑑𝑒

4

0

= 2𝑑𝑒4

0

2𝑒 = 2 π‘₯

Page 12: Ejercicios Calculo Integral

11

ln(π‘₯) 04 + 2 π‘₯

0

4

𝑃 π‘Ž = ln 0 + 2 0 = 0

𝑃 𝑏 = ln 4 + 2 4 = 5.386

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž = 5.386 βˆ’ 0 = 5.386

Esta funciΓ³n no es acotada en este intervalo (0,4) por tanto no es integrable.

Tiende a infinito cuando se acerca a cero.

d. 10

3 1+2π‘₯𝑑π‘₯

13

0

10

3 1 + 2π‘₯𝑑π‘₯

13

0

π‘ˆ = 1 + 2π‘₯

π‘ˆ2 = 1 + 2π‘₯

2π‘ˆπ‘‘π‘’ = 2𝑑π‘₯

Page 13: Ejercicios Calculo Integral

12

5 2

3 1 + 2π‘₯𝑑π‘₯

13

0

5 2π‘ˆ

3π‘ˆπ‘‘π‘’ =

13

0

5 2

3𝑑𝑒 =

13

0

10

3π‘ˆ

10 1 + 2π‘₯

3

13

0

𝑃 π‘Ž =10 1 + 2(0)

3=

10

3

𝑃 𝑏 =10 1 + 2(13)

3=

10 27

3= 10 3

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž = 10 3 βˆ’10

3= πŸπŸ‘. πŸ—πŸ–πŸ•πŸ

e. sec π‘₯ tan π‘₯

(4+sec π‘₯)𝑑π‘₯

πœ‹

40

sec π‘₯ tan π‘₯

(4 + sec π‘₯)𝑑π‘₯

πœ‹4

0

π‘ˆ = 4 + sec π‘₯

𝑑𝑒 = sec π‘₯ tan π‘₯ 𝑑π‘₯

1

π‘ˆπ‘‘π‘’ = ln π‘ˆ

πœ‹4

0

ln(4 + sec π‘₯) 0

πœ‹4

𝑃 π‘Ž = ln 4 + sec 0 = ln 5 = 1.609437

𝑃 𝑏 = ln 4 + secπœ‹

4 = ln 5.41 = 1.688249

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž = 0.088

Page 14: Ejercicios Calculo Integral

13

f. βˆ’14 7π‘š + 2 π‘‘π‘š1

0

βˆ’14 7π‘š + 2 π‘‘π‘š1

0

π‘ˆ = 7π‘š + 2

π‘ˆ2 = 7π‘š + 2

2π‘ˆπ‘‘π‘’ = 7π‘‘π‘š

βˆ’2 7 7π‘š + 2 π‘‘π‘š1

0

βˆ’2 π‘ˆ2π‘ˆπ‘‘π‘’ =1

0

βˆ’ 2 2π‘ˆ2𝑑𝑒1

0

βˆ’2. 2𝑒3

3

0

1

= βˆ’4 7π‘š + 2

3

3

0

1

𝑃 π‘Ž =βˆ’4 7(0) + 2

3

3= βˆ’3.7712

𝑃 𝑏 =βˆ’4 7(1) + 2

3

3= βˆ’36

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž = βˆ’36 βˆ’ 3.7712 = βˆ’32.222 = πŸ‘πŸ. 𝟐𝟐𝟐

6. Halle el valor medio de las siguientes funciones en el intervalo dado:

a. 𝑓 𝑧 = 2π‘§βˆ’3 βˆ’ 3π‘§βˆ’2 en el intervalo [-2,3]

1

3 βˆ’ (βˆ’2) 2π‘§βˆ’3 βˆ’ 3π‘§βˆ’2

3

βˆ’2

𝑑𝑧

1

5 2π‘§βˆ’3 βˆ’ 3π‘§βˆ’2

3

βˆ’2

3

βˆ’2

1

5 2π‘§βˆ’2

βˆ’2 βˆ’2

3

βˆ’ 3π‘§βˆ’1

βˆ’1 βˆ’2

3

1

5 βˆ’ 1

𝑧2 βˆ’2

3

+ 3

𝑧 βˆ’2

3

Page 15: Ejercicios Calculo Integral

14

𝑃 π‘Ž =1

5 βˆ’

1

(βˆ’2)2+

3

βˆ’2 =

1

5 βˆ’

1

4βˆ’

3

2 =

1

5 βˆ’

7

4

𝑃 𝑏 =1

5 βˆ’

1

(3)2+

3

3 =

1

5 βˆ’

1

9+ 1 =

1

5 8

9

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž =1

5 8

9βˆ’ (βˆ’

7

4) =

1

5 95

36 =

19

36

En realidad esta funciΓ³n no es integrable en este intervalo por que no es

continua ni acotada en el mismo.

b. 𝑓 π‘Ÿ = (1 + 2π‘Ÿ)π‘Ÿ2 en el intervalo [1.4]

1

4 βˆ’ 1 (1 + 2π‘Ÿ)π‘Ÿ2

4

1

π‘‘π‘Ÿ

1

3 (1 + 2π‘Ÿ)π‘Ÿ2

4

1

π‘‘π‘Ÿ

1

3 π‘Ÿ2 + 2π‘Ÿ3

4

1

π‘‘π‘Ÿ

1

3 π‘Ÿ2π‘‘π‘Ÿ + 2π‘Ÿ3π‘‘π‘Ÿ

4

1

4

1

1

3 π‘Ÿ3

3

1

4

+ 2π‘Ÿ4

4

1

4

=1

3 π‘Ÿ3

3

1

4

+ π‘Ÿ4

2

1

4

Page 16: Ejercicios Calculo Integral

15

𝑃 π‘Ž =1

3 13

3+

14

2 =

1

3 5

6

𝑃 𝑏 =1

3 43

3+

44

2 =

1

3 64

3+

256

2 =

1

3 896

6

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž =1

3 896

6βˆ’

5

6) =

1

3 297

2 =

297

6

c. 𝑓 π‘š =π‘š2+π‘š+1

π‘š3 en el intervalo [0,8]

1

8 βˆ’ 0

π‘š2 + π‘š + 1

π‘š3

8

0

π‘‘π‘š

1

8

π‘š2

π‘š13

+8

0

π‘š

π‘š13

+1

π‘š13

π‘‘π‘š

1

8 π‘š

53 +

8

0

π‘š23 +

1

π‘š13

π‘‘π‘š

1

8 π‘š

53 +

8

0

π‘š23 + π‘šβˆ’

13π‘‘π‘š

1

8 π‘š

53

8

0

+ π‘š23

8

0

+ π‘šβˆ’13

8

0

1

8 3π‘š

83

8

0

8

+ 3π‘š53

5

0

8

+ 3π‘š23

2

0

8

𝑃 π‘Ž =1

8 3 π‘š83

8+

3 π‘š53

5+

3 π‘š23

2 = 0

𝑃 𝑏 =1

8 3 883

8+

3 853

5+

3 823

2 =

1

8 606

5

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž =πŸ‘πŸŽπŸ‘

𝟐𝟎

d. 𝑓 𝑠 =𝑠2+4

𝑠2 en el intervalo [2,5]

1

5 βˆ’ 2

𝑠2 + 4

𝑠2

5

2

𝑑𝑠

Page 17: Ejercicios Calculo Integral

16

1

3

𝑠2

𝑠2

5

2

𝑑𝑠 + 4

𝑠2

5

2

𝑑𝑠 =1

3 1

5

2

𝑑𝑠 + 4π‘ βˆ’25

2

𝑑𝑠

1

3 𝑠 2

5 + 4π‘ βˆ’1

βˆ’1

2

5

=1

3 𝑆 2

5 βˆ’ 4

𝑆

2

5

𝑃 π‘Ž =1

3 2 βˆ’

4

2 = 0

𝑃 𝑏 =1

3 5 βˆ’

4

5 =

1

3 21

5 =

21

15

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž =21

15βˆ’ 2 =

𝟐𝟏

πŸπŸ“

e. 𝑓 𝑀 = (𝑀2 + 3)2 en el intervalo [-1,1]

𝑓 𝑀 = (𝑀2 + 3)2 = 𝑀4 + 6𝑀2 + 9

1

1 βˆ’ (βˆ’1) 𝑀4 + 6𝑀2 + 9

1

βˆ’1

𝑑𝑀

1

2 𝑀4

1

βˆ’1

𝑑𝑀 + 6𝑀21

βˆ’1

𝑑𝑀 + 91

βˆ’1

𝑑𝑀

1

2 𝑀5

5 βˆ’1

1

+ 6𝑀3

3 βˆ’1

1

+ 9𝑀 βˆ’11

𝑃 π‘Ž =1

2 βˆ’15

5+ 2(βˆ’1)3 + 9(βˆ’1) =

1

2 βˆ’

1

5βˆ’ 2 βˆ’ 9 =

1

2 βˆ’

56

5

𝑃 𝑏 =1

2 15

5+ 2(1)3 + 9(1) =

1

2 1

5+ 2 + 9 =

1

2 56

5

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž =1

2 56

5βˆ’ (βˆ’

56

5) =

1

2 112

5 =

πŸ“πŸ”

πŸ“

7. Resolver las siguientes situaciones:

a. Las ventas de un producto de temporada vienen dadas por el modelo

𝑆 𝑑 = 74.50 + 43.75π‘ π‘’π‘›πœ‹π‘‘

6, donde S se mide en miles de unidades y t es el

tiempo empleado en meses, con t = 1 correspondiendo a enero. Hallar las

ventas promedio durante:

El primer trimestre 0 ≀ t β‰₯ 3

El segundo trimestre 3 ≀ t β‰₯ 6

Page 18: Ejercicios Calculo Integral

17

1

3 βˆ’ 0 74.50 + 43.75𝑠𝑒𝑛

πœ‹π‘‘

6

3

0

𝑑𝑑

1

3 74.50 𝑑𝑑

3

0

+ 43.75 π‘ π‘’π‘›πœ‹π‘‘

6

3

0

𝑑𝑑

1

3 74.5𝑑 0

3 + 43.75 (βˆ’π‘π‘œπ‘ 

πœ‹6 𝑑

πœ‹6

)

0

3

=1

3 74.5𝑑 0

3 + 43.75 (βˆ’6π‘π‘œπ‘ 

πœ‹6 𝑑

πœ‹)

0

3

𝑃 π‘Ž =1

3 74.5 0 + 43.75

βˆ’6π‘π‘œπ‘ πœ‹6 (0)

πœ‹ =

1

3 βˆ’

262.5

πœ‹

𝑃 𝑏 =1

3 74.5 3 + 43.75

βˆ’6π‘π‘œπ‘ πœ‹6 (3)

πœ‹ =

1

3 223.5 + 0

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž =1

3 223.5 βˆ’ (βˆ’83.55) =

1

3 307.05 = 102.35

Las ventas para el primer trimestre en promedio serΓ‘n de 102350 unidades.

1

6 βˆ’ 3 74.50 + 43.75𝑠𝑒𝑛

πœ‹π‘‘

6

6

3

𝑑𝑑

1

3 74.50 𝑑𝑑

6

3

+ 43.75 π‘ π‘’π‘›πœ‹π‘‘

6

6

3

𝑑𝑑

1

3 74.5𝑑 3

6 + 43.75 (βˆ’π‘π‘œπ‘ 

πœ‹6 𝑑

πœ‹6

)

3

6

=1

3 74.5𝑑 3

6 + 43.75 (βˆ’6π‘π‘œπ‘ 

πœ‹6 𝑑

πœ‹)

3

6

Page 19: Ejercicios Calculo Integral

18

𝑃 π‘Ž =1

3 74.5 3 + 43.75

βˆ’6π‘π‘œπ‘ πœ‹6 (3)

πœ‹ =

1

3 223.5

𝑃 𝑏 =1

3 74.5 6 + 43.75

βˆ’6π‘π‘œπ‘ πœ‹6 (6)

πœ‹ =

1

3 447 +

262.5

πœ‹

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 π‘Ž =1

3 530.55 βˆ’ (223.5) =

1

3 307.05 = 102.35

Las ventas para el segundo trimestre en promedio serΓ‘n de 102350 unidades.

8. La siguiente grΓ‘fica lineal representa la fuerza (F) aplicada por una persona

para mover un objeto una distancia (d). Halle el Trabajo (T) realizado por la

persona para mover el objeto desde la distancia 3m hasta la distancia 7m,

teniendo en cuenta que el trabajo realizado se halla mediante la expresiΓ³n

T=F.d.

Nota: Tenga en cuenta que la ecuaciΓ³n que define la grΓ‘fica es F=1/2d + 1

𝑑

2+ 1 𝑑𝑑

7

3

1

2 𝑑 𝑑𝑑

7

3

+ 1 𝑑𝑑

7

3

Fuerza (N)

Distancia (m)

Page 20: Ejercicios Calculo Integral

19

1

2 𝑑2

2 + 𝑑

3

7

𝑃 π‘Ž = 3 2

4+ 3 =

21

4

𝑃 𝑏 = 7 2

4+ 7 =

77

4

𝑃 𝑏 βˆ’ 𝑃 𝑠 =77

4βˆ’

21

4= 14

La fuerza aplicada por la persona para mover el objeto de los 3 a los 7 metros es

de 14 Newton.