3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 246
3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica Definición 3.11.1 Una función f es llamada periódica si y solo si, existe un número no nulo f tal que siempre y cuando x esté en el dominio de f , también lo esté x p+ , y
( ) ( )f x p f x+ = El menor de tales valores positivos de p (si existe) se llama el período de f . Cada una de las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo y las otras dos funciones trigonométricas (tangente y cotangente) tienen período
2LL π= .
Ya que las funciones seno, coseno, secante, cosecante tienen período , una vez que conocemos sus valores para
2L0 2x L< < , tenemos todos sus valores; de manera análoga,
puesto que las funciones tangente y cotangente tienen período , una vez que conocemos sus valores para
L0 x L< < , tenemos todos sus valores.
Las funciones periódicas tienen ciertas propiedades, tales como
( )( 2 )sen x kL sen x+ = ( )cos( 2 ) cosx kL x+ =
( )sec( 2 ) secx kL x+ = ( )csc( 2 ) cscx kL x+ =
( )tan( ) tanx kL x+ = ( )cot( ) cot xx kL+ = Donde k es cualquier número entero. En las figuras 3.11.1 a), b), c) se muestran las gráficas de funciones trigonométricas básicas
10 6 2 2 6 10
10
10
tan x( )
x
10 0 10
10
10
cot x( )
x
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 247
Figura 3.11.1 a) ( ), cot( )tan x x
10 5 0 5 10
2
2
sin x( )
x
10 5 0 5 10
2
2
cos x( )
x
Figura 3.11.1 b) ( ), cos( )sen x x
10 5 0 5 10
10
10
sec x( )
x
10 6 2 2 6 10
10
10
csc x( )
x
Figura 3.11.1 c) sec( ),csc( )x x
Figura 3.11.1 Funciones trigonométricas básicas
En la gráficas de las figuras 3.11.1 se puede apreciar la periodicidad de las funciones, con período , así el que las funciones sean pares o impares, por su simetría con el eje , o con el origen.
2L y
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 248
Extender periódicamente una función es tomar el segmento de la gráfica que se quiere extender e ir repitiéndolo de acuerdo al período de dicho segmento de la gráfica. Transformada de Laplace de una función periódica Si el período de una función periódica es T , entonces ( ) ( )f t T f t+ = . Se puede determinar la transformada de Laplace de una función periódica mediante la integración de un período. Teorema 3.11.1 Si ( )f t es continua por tramos en (0, )∞ , de orden exponencial y periódica con periodo T ,
{ } ( )1( ) ( )
1T st
sT of t e
e−
−=
− ∫L f t dt (1)
Ejemplos 3.11.1 Determine la transformada de Laplace de la función 0 1
( )0 1 2t t
f tt
≤ <= ≤ <
de período T , cuya gráfica es 2=
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
t
f(t)
Figura 3.11.2 Diente de Sierra
Utilizando (1) del teorema 3.11.1 Por propiedades de integral tenemos que
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 249
{ } ( )1 2
2 0 1
1( ) ( ) (0)1
st stsf t e t dt e
e− −
−= +− ∫ ∫L dt (2)
O bien { }1
2 0
1( )1
stsf t t
e−
−=− ∫L e dt
t
Haciendo u y =1 ( )ste s dts
−= − −∫dv , entonces du dt= y 1 st
s−= −v e
Por lo que su integral sería
{ } ( )2
1 1 1( )1
st sts
f t t es se
−−
= − − − − ∫L e dt−
(3)
Después de integrar (3), tenemos { } ( )1
220
1 1( )1
st sts
tf t e es se
− −−
= − − − L
Sustituyendo los límites
{ } ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 0
2 22
1 1 1 0 1( )1
s s s ss
f t e e e es ss se
− − − −
−
= − − − − − − L 0
Simplificando { } ( ) 2 22
1 1 1 1( )1
s ss
f t e es s se
− −−
= − − − − −
L
{ } ( ) 22
1 1 1( )1
s ss
f t e es s se
− −−
= − − + − L 2
1 , finalmente
{ } ( ) 22
1 1( )1
s s
s
e ef ts se
− −
−
−= − +
− L (4)
Ejemplo 3.11.2 Encontrar la transformada de Laplace de la función diente de sierra que se muestra en la figura.3.11.3
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 250
t
f(t) a
b 2b
Figura 3.11.3 Diente de sierra con periodo T b=
En la gráfica de la figura 3.11.3 podemos observar que ( ) af tb
= t , dado que 00
amb−
=−
, el
periodo T , por lo tanto aplicando la fórmula (1) b=
{ } ( ) 0
1( )1
b stbs
af t ebe
−−
= − ∫L t dt (5)
Integrando { } ( ) 20
1( )1
bst st
bs
a tf t e eb s se
− −−
= − − − 1
L , sustituyendo límites
{ } ( )( ) ( )0
2
1 1 0( )1
s sbs bsbs
a bf t e e e eb s ss se
− −− −−
= − − − − − − L 0
2
1 (6)
Simplificando { } ( ) 2 2
1 1( )1
bs bsbs
a bf t e eb s s se
− −−
= − − − 1
+L
Factorizando { } ( ) ( )2
1 1( ) 11
sb sbbs
a bf t e eb s se
− −−
= − + − − L
Reacomodando { } ( ) 2
1( )1
sb
bs
ae af tb ss e
−
−
− = + − L , finalmente
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 251
{ } ( ) 2
1( )1sb
a af tb ss e
− = + − L (7)
Ejemplo 3.11.3 Encontrar la transformada de Laplace de la función onda cuadrada
1 0( )
0 2t a
f ta t a< <
= < < con periodo T a2=
1
2
t
f(t)
a 2a 3a
Figura 3.11.4 Onda Cuadrada con periodo a
De tal manera que la transformada de Laplace sería
{ } ( )( ) ( )2
2 0
1( ) (1) (0)1
a ast sts a a
f t e dt ee
− −
−= +
−∫ ∫L dt (8)
Por lo que { } ( )2 0
1 1( ) ( )1
a stas
f t ese
−−
= − − − ∫L s dt , integrando
{ } ( )20
1 1( )1
ast
asf t e
se−
−
= −− L
, sustituyendo límites
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 252
{ } ( )( ) ( )0
2
1 1 1( )1
s a sas
f t e es se
− −
−
= − − − − L
{ } ( )2
1 1( )1
asas
f t es se
−−
= −− L
1 + , simplificando { } ( ) ( )2
1 1( ) 11
asas
f t es e
−−
= − − L
Descomponiendo el denominador ( )21 ase−− en binomios conjugados ( )( )1 1as ase e− −− +
Resulta { } ( )1 1( )
1 asf t
s e−
= + L
Ejemplo 3.11.4 Encontrar la transformada de Laplace de la función meandro que se muestra en la figura 3.11.5
1 0( )
1 2t a
f ta t a< <
= − < < con periodo T a2=
2
1
1
2
t
f(t)
a 2a 3a 4a
Figura 3.11.5 Función meandro
De tal manera que la transformada de Laplace sería
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 253
{ } ( )( ) ( )2
2 0
1( ) (1) ( 1)1
a ast sts a a
f t e dt ee
− −
−= +
−∫ ∫L dt−
Por lo que { } ( )( )2
2 0
1 1 1( ) ( ) ( )1
a ast sts a a
f t e s dts se
− −
−
= − − − − − −∫ ∫L e s dt
Resultando { } ( )2
20
1 1 1( )1
a ast st
asa
f t e es se
− −−
= − + −
L
Sustituyendo límites { } ( )2
2
1 1 1 1 1( )1
as as asas
f t e e es s s se
− −−
− = − + + − −
L
Factorizando 1s
y simplificando { } ( ) ( )22
1( ) 2 11
as asas
f t e es e
− −−
= − + +−
L
El segundo factor corresponde a un binomio al cuadrado por lo que
{ } ( ) ( )2
2
1( ) 11
asas
f t es e
−−
= −−
L
Descomponemos en binomios conjugados el denominador
{ } ( )( ) ( )21( ) 11 1
asas as
f t es e e
−− −
= −− +
L
Simplificando { }( )( )1
( )1
as
as
ef t
s e
−
−
−=
+L
Ejemplo 3.11.5 Encontrar la transformada de Laplace de la función
( )( )f t sen t= para 0 t π< < , con periodo T π= , que se muestra en la figura 3.11.5
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 254
1
2
t
f(t)
π 2π 3π
Figura 3.11.5 ( )( )f t sen t= para 0 t π< < , con periodo T π=
De tal manera que la transformada de Laplace sería aplicando (1)
{ } ( )( ) ( ){ }0
1( )1
sts
f t e see
π
π−
−=
−∫L n t dt (9)
Aplicando la fórmula de la integral
( ) ( ) ( )2 2 cosau
au ee sen bu du asen bu b bua b
= − +∫ (10)
Por lo que
{ } ( ) ( ) ( )20
1( ) cos11
st
s
ef t s sen t tse
π
π
−
−
= − − +−
L (11)
Sustituyendo límites de la integral en (11)
{ } ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )0
2 2
1( ) cos 0 cos 01 11
ss
s
e ef t s sen s sens se
π
ππ π
−−
−
= − − − − − + +−
L
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3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 255
Simplificando
{ } ( ) [ ] [ ]2 2
1 1( ) 1 11 11
s
s
ef ts se
π
π
−
−
= + − + +− L − (12)
En MathCad la evaluación de la integral (9)
1
1 e π s. 0
πte s t sin t( ). d. 1 exp π s.( )
s2 1 1 exp π s.( )( ).
Reacomodando { } ( ) 2 2
1 1( )1 11
s
s
ef ts se
π
π
−
−
= + + +−
L ,
Simplificando
{ }( )( )2
11( )1 1
s
s
ef t
s e
π
π
−
−
+ =
+ − L (13)
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