UIII_3_11

3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica 246

3.11 Trasformada de Laplace de una función periódica Definición 3.11.1 Una función f es llamada periódica si y solo si, existe un número no nulo f tal que siempre y cuando x esté en el dominio de f , también lo esté x p+ , y

( ) ( )f x p f x+ = El menor de tales valores positivos de p (si existe) se llama el período de f . Cada una de las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo y las otras dos funciones trigonométricas (tangente y cotangente) tienen período

2LL π= .

Ya que las funciones seno, coseno, secante, cosecante tienen período , una vez que conocemos sus valores para

2L0 2x L< < , tenemos todos sus valores; de manera análoga,

puesto que las funciones tangente y cotangente tienen período , una vez que conocemos sus valores para

L0 x L< < , tenemos todos sus valores.

Las funciones periódicas tienen ciertas propiedades, tales como

( )( 2 )sen x kL sen x+ = ( )cos( 2 ) cosx kL x+ =

( )sec( 2 ) secx kL x+ = ( )csc( 2 ) cscx kL x+ =

( )tan( ) tanx kL x+ = ( )cot( ) cot xx kL+ = Donde k es cualquier número entero. En las figuras 3.11.1 a), b), c) se muestran las gráficas de funciones trigonométricas básicas

10 6 2 2 6 10

10

10

tan x( )

x

10 0 10

10

10

cot x( )

x

Instituto Tecnológico de Chihuahua / C. Básicas Amalia C. Aguirre Parres


Figura 3.11.1 a) ( ), cot( )tan x x

10 5 0 5 10

2

2

sin x( )

x

10 5 0 5 10

2

2

cos x( )

x

Figura 3.11.1 b) ( ), cos( )sen x x

10 5 0 5 10

10

10

sec x( )

x

10 6 2 2 6 10

10

10

csc x( )

x

Figura 3.11.1 c) sec( ),csc( )x x

Figura 3.11.1 Funciones trigonométricas básicas

En la gráficas de las figuras 3.11.1 se puede apreciar la periodicidad de las funciones, con período , así el que las funciones sean pares o impares, por su simetría con el eje , o con el origen.

2L y



Extender periódicamente una función es tomar el segmento de la gráfica que se quiere extender e ir repitiéndolo de acuerdo al período de dicho segmento de la gráfica. Transformada de Laplace de una función periódica Si el período de una función periódica es T , entonces ( ) ( )f t T f t+ = . Se puede determinar la transformada de Laplace de una función periódica mediante la integración de un período. Teorema 3.11.1 Si ( )f t es continua por tramos en (0, )∞ , de orden exponencial y periódica con periodo T ,

{ } ( )1( ) ( )

1T st

sT of t e

e−

−=

− ∫L f t dt (1)

Ejemplos 3.11.1 Determine la transformada de Laplace de la función 0 1

( )0 1 2t t

f tt

≤ <= ≤ <

de período T , cuya gráfica es 2=

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

t

f(t)

Figura 3.11.2 Diente de Sierra

Utilizando (1) del teorema 3.11.1 Por propiedades de integral tenemos que



{ } ( )1 2

2 0 1

1( ) ( ) (0)1

st stsf t e t dt e

e− −

−= +− ∫ ∫L dt (2)

O bien { }1

2 0

1( )1

stsf t t

e−

−=− ∫L e dt

t

Haciendo u y =1 ( )ste s dts

−= − −∫dv , entonces du dt= y 1 st

s−= −v e

Por lo que su integral sería

{ } ( )2

1 1 1( )1

st sts

f t t es se

−−

= − − − − ∫L e dt−

(3)

Después de integrar (3), tenemos { } ( )1

220

1 1( )1

st sts

tf t e es se

− −−

= − − − L

Sustituyendo los límites

{ } ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 0

2 22

1 1 1 0 1( )1

s s s ss

f t e e e es ss se

− − − −

−

= − − − − − − L 0

Simplificando { } ( ) 2 22

1 1 1 1( )1

s ss

f t e es s se

− −−

= − − − − −

L

{ } ( ) 22

1 1 1( )1

s ss

f t e es s se

− −−

= − − + − L 2

1 , finalmente

{ } ( ) 22

1 1( )1

s s

s

e ef ts se

− −

−

−= − +

− L (4)

Ejemplo 3.11.2 Encontrar la transformada de Laplace de la función diente de sierra que se muestra en la figura.3.11.3



t

f(t) a

b 2b

Figura 3.11.3 Diente de sierra con periodo T b=

En la gráfica de la figura 3.11.3 podemos observar que ( ) af tb

= t , dado que 00

amb−

=−

, el

periodo T , por lo tanto aplicando la fórmula (1) b=

{ } ( ) 0

1( )1

b stbs

af t ebe

−−

= − ∫L t dt (5)

Integrando { } ( ) 20

1( )1

bst st

bs

a tf t e eb s se

− −−

= − − − 1

L , sustituyendo límites

{ } ( )( ) ( )0

2

1 1 0( )1

s sbs bsbs

a bf t e e e eb s ss se

− −− −−

= − − − − − − L 0

2

1 (6)

Simplificando { } ( ) 2 2

1 1( )1

bs bsbs

a bf t e eb s s se

− −−

= − − − 1

+L

Factorizando { } ( ) ( )2

1 1( ) 11

sb sbbs

a bf t e eb s se

− −−

= − + − − L

Reacomodando { } ( ) 2

1( )1

sb

bs

ae af tb ss e

−

−

− = + − L , finalmente



{ } ( ) 2

1( )1sb

a af tb ss e

− = + − L (7)

Ejemplo 3.11.3 Encontrar la transformada de Laplace de la función onda cuadrada

1 0( )

0 2t a

f ta t a< <

= < < con periodo T a2=

1

2

t

f(t)

a 2a 3a

Figura 3.11.4 Onda Cuadrada con periodo a

De tal manera que la transformada de Laplace sería

{ } ( )( ) ( )2

2 0

1( ) (1) (0)1

a ast sts a a

f t e dt ee

− −

−= +

−∫ ∫L dt (8)

Por lo que { } ( )2 0

1 1( ) ( )1

a stas

f t ese

−−

= − − − ∫L s dt , integrando

{ } ( )20

1 1( )1

ast

asf t e

se−

−

= −− L

, sustituyendo límites



{ } ( )( ) ( )0

2

1 1 1( )1

s a sas

f t e es se

− −

−

= − − − − L

{ } ( )2

1 1( )1

asas

f t es se

−−

= −− L

1 + , simplificando { } ( ) ( )2

1 1( ) 11

asas

f t es e

−−

= − − L

Descomponiendo el denominador ( )21 ase−− en binomios conjugados ( )( )1 1as ase e− −− +

Resulta { } ( )1 1( )

1 asf t

s e−

= + L

Ejemplo 3.11.4 Encontrar la transformada de Laplace de la función meandro que se muestra en la figura 3.11.5

1 0( )

1 2t a

f ta t a< <

= − < < con periodo T a2=

2

1

1

2

t

f(t)

a 2a 3a 4a

Figura 3.11.5 Función meandro

De tal manera que la transformada de Laplace sería



{ } ( )( ) ( )2

2 0

1( ) (1) ( 1)1

a ast sts a a

f t e dt ee

− −

−= +

−∫ ∫L dt−

Por lo que { } ( )( )2

2 0

1 1 1( ) ( ) ( )1

a ast sts a a

f t e s dts se

− −

−

= − − − − − −∫ ∫L e s dt

Resultando { } ( )2

20

1 1 1( )1

a ast st

asa

f t e es se

− −−

= − + −

L

Sustituyendo límites { } ( )2

2

1 1 1 1 1( )1

as as asas

f t e e es s s se

− −−

− = − + + − −

L

Factorizando 1s

y simplificando { } ( ) ( )22

1( ) 2 11

as asas

f t e es e

− −−

= − + +−

L

El segundo factor corresponde a un binomio al cuadrado por lo que

{ } ( ) ( )2

2

1( ) 11

asas

f t es e

−−

= −−

L

Descomponemos en binomios conjugados el denominador

{ } ( )( ) ( )21( ) 11 1

asas as

f t es e e

−− −

= −− +

L

Simplificando { }( )( )1

( )1

as

as

ef t

s e

−

−

−=

+L

Ejemplo 3.11.5 Encontrar la transformada de Laplace de la función

( )( )f t sen t= para 0 t π< < , con periodo T π= , que se muestra en la figura 3.11.5



1

2

t

f(t)

π 2π 3π

Figura 3.11.5 ( )( )f t sen t= para 0 t π< < , con periodo T π=

De tal manera que la transformada de Laplace sería aplicando (1)

{ } ( )( ) ( ){ }0

1( )1

sts

f t e see

π

π−

−=

−∫L n t dt (9)

Aplicando la fórmula de la integral

( ) ( ) ( )2 2 cosau

au ee sen bu du asen bu b bua b

= − +∫ (10)

Por lo que

{ } ( ) ( ) ( )20

1( ) cos11

st

s

ef t s sen t tse

π

π

−

−

= − − +−

L (11)

Sustituyendo límites de la integral en (11)

{ } ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )0

2 2

1( ) cos 0 cos 01 11

ss

s

e ef t s sen s sens se

π

ππ π

−−

−

= − − − − − + +−

L



Simplificando

{ } ( ) [ ] [ ]2 2

1 1( ) 1 11 11

s

s

ef ts se

π

π

−

−

= + − + +− L − (12)

En MathCad la evaluación de la integral (9)

1

1 e π s. 0

πte s t sin t( ). d. 1 exp π s.( )

s2 1 1 exp π s.( )( ).

Reacomodando { } ( ) 2 2

1 1( )1 11

s

s

ef ts se

π

π

−

−

= + + +−

L ,

Simplificando

{ }( )( )2

11( )1 1

s

s

ef t

s e

π

π

−

−

+ =

+ − L (13)


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