CATENARIA DEL CONDUCTOR
CATENARIA DEL CONDUCTOR
T.cosθ = To
y = C cosh( x/C)
ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR
• En Líneas deTransmisión dePotencia, es necesarioconocer la longitud delconductor suspendidoentre dos puntos, porcuanto la longitud totalse empleará paraestimar el costo inicialdel proyecto.
• Sea:
dl =√ (dx)2 + (dy)2
• Ahora:
y = C cosh( x/C)
dy = senh( x/C) dx
Entonces:
dl =√ (dx)2 + (senh( x/C) dx)2
dl =√ (dx)2 + (senh( x/C) dx)2
dl =√ (1)2 + (senh( x/C) )2 dx
ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR
• Como:
cosh 2 (φ ) - senh 2 (φ ) =1
Si sustituimos:
dl = √ cosh 2 (x/C ) - senh 2 (x/C ) + (senh( x/C) )2 dx
dl = cosh (x/C ) dx
ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR
Sea "a“ el vano o distancia horizontal entre los dos puntos de suspensión.
Integremos la ecuación
anterior:
• dl= cosh( x/C) dx
dl= 2 cosh( x/C) dx
a
+a/2
-a/2
0
+a/2
ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR
l= 2 C senh ( a /2C)
Que representa la longitud total del conductor
instalado con sus extremos al mismo nivel.
ECUACION DE FLECHA
Denominamos flecha a la máxima distancia verticalentre el segmento que une los extremos delconductor y éste.
En el caso de conductores a nivel, la flecha se ubicaa medio vano y sobre el eje de ordenadas.
Este concepto es muy importante, ya que losconductores son instalados en el campo teniendodisponible la “Tabla de Flechas” para el tendido.
La flecha es la diferencia de Ordenadas entre lospuntos de suspensión y la ordenada del vérticedel conductor
ECUACION DE FLECHA
• f= yB – C
• f = C cosh(a/2 C ) – C ò
• f = C [cosh(a/2 C ) – 1]
Fíjense que como lastorres están a nivel el vanose ubica en ele medio de lacatenaria
flecha
C
ECUACION DE FLECHAPodemos encontrar una fórmula aproximada que calcule la
flecha, si tenemos en cuenta la expansión de Taylor para el
coseno hiperbólico:
Entonces f = C[1 + (a/2 C )2/2 ! – 1]= a2/8 C
f = a2W/8 To
Si consideramos que el peso unitario W es constante, entonces
deducimos que si el tiro To (en KG) aumenta, entonces la
flecha disminuye; esto también se dice que a mayor tensión
entonces menor flecha, de la misma forma que a mayor
parámetro.
TENSION o TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
La expresión y.w es el producto de la ordenada del punto de
abscisa x del conductor por el peso por unidad de longitud
cuyo valor resulta en Kg y representa el tiro en el punto de
abscisa x; es decir:
TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
• Otro concepto que es necesario definir es elesfuerzo, el cual frecuentemente es utilizadoen reemplazo del Tiro, en razón que susvalores son más pequeños. El esfuerzo delconductor, lo definimos como el cociente dedividir el tiro por la sección.
• σ= T/A Siendo A la sección transversal delconductor en mm2 y T el tiro en Kg encualquier punto del conductor.
ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
• Y como la tensión en un punto x es:
l
l l
ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
• Conocer el valor del tiro o tensión en elextremo del conductor, es necesario porque permite conocer el máximo valor deKilogramos a que se verá sometido elsoporte y como se sabe, la componentehorizontal de este Tiro es To, valoresindispensables para realizar el diseño deestructuras. Para conductores a nivel, eltiro en los extremos del conductor soniguales, por que se encuentran ubicadosen la misma ordenada. Por lo que esdeseable que las estructuras esténinstaladas a la misma “cota” paraaprovechar este efecto. El tiro en unpunto cualquiera está dado por laecuación y para:
• x = xb = +a/2
• Entonces:
ESFUERZO EN EL CONDUCTOR
mm2 del conductor
PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO
como dato el tiro en el extremo:
Tb= Tmax
PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO
PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO
PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO
CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
b h
Vano virtualA’
CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
• En el perfil topográfico de una línea de transmisión de potencia,
los vanos no necesariamente son a nivel, incluso por las
características geográficas (por ejemplo en zonas andinas o la
costa) , pueden diseñarse líneas que obligan a calcular por
separado vanos contiguos con marcados desniveles.
• El presente se analizará el comportamiento de un cable en
condiciones de desnivel y deducir los parámetros adicionales
que
• deberán tomarse en cuenta para un análisis exacto.
• La ecuación de la catenaria evidentemente es la misma, pero en
este caso los puntos de suspensión (extremos del cable A y B) se
encuentran desplazados verticalmente dentro de la misma curva.
CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
• Por tanto la ecuación del cable será siempre: y =C cosh (x/C)
• Siendo el parámetro: C =To/w
• A fin de establecer uniformidad en cuanto a la simbología a utilizar, la
figura anterior nos indica los parámetros necesarios y sus ubicaciones, los
cuales emplearemos.
• En la figura, xA representa la abscisa en donde se encuentra el punto de
suspensión izquierdo del cable; en forma análoga xB representa la abscisa
del extremo derecho, respecto al sistema de ejes coordenados cartesianos.
• Así mismo, h es el desnivel (en metros) y b el vano real
• Llamaremos vano virtual al segmento A'B que es el vano si el soporte en A
estaría en la posición A„ a nivel con el soporte en B.
ECUACION DE CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
Un Pequeño trozo de cable (dl)
desnivelado con proyecciones dx
y dy sobre los ejes coordenados.
Tomando un diferencial de
longitud (dl) del cable, la longitud
del mismo será :
dl =√ (dx)2 + (dy)2
Como:
y = C cosh( x/C)
dy = senh( x/C) dx
Entonces al igual que el caso
anterior:
dl = cosh (x/C ) dx
ECUACION DE CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO
La integral será ahora
dl= cosh( x/C) dx
donde se obtiene que:
l= C [ senh (xB/C) - senh (xA/C) ]
xB
xA
ECUACION DE LA LONGITUD DELCONDUCTOR
Para hallar la longitud tenemos:
dl= 2 cosh( x/C) dx
De donde se obtiene
l= C [senh ( xB /C) - senh ( xA /C) ]
Al observar la ecuación anterior ,
se verifica que para encontrar la
longitud del cable es necesario
conocer las abscisas de los
extremos y el par metro C (o tiro
en el vértice).
xB
xA
ECUACION DE DESNIVEL
En la figura adjunta, se muestra el desnivel h en un cable suspendido de los extremos A y B y en las
condiciones dadas de instalación, dicho desnivel h resulta ser la diferencia de ordenadas:
h = y B - y ADe donde se obtiene, a partir de la ecuación general y =C cosh (x/C) que:
h= C cosh (xB/C) - C cosh (xA/C)
Al observar la ecuación anterior , severifica que h puede ser positivo,negativo o cero
ECUACION DE DESNIVEL
LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL
anteriores
LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL
desnivel
Lo=
Lo2 + h2
LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL
L = √ ( lo2 + h2)
L= lo secδ
LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL
lo=
L= lo secδ = lo
FLECHA EN FUNCION DEL DESNIVEL
M
N
FLECHA EN FUNCION DEL DESNIVEL
N
Como f o= C [cosh(a/2 C ) – 1]
f = f o [cosh(Xm/ C ) – 1]
SAETA
La saeta se define
como la distancia
vertical entre el
punto de
suspensión más
bajo del cable y
su vértice. Su
ubicación física es
mostrada en la
figura adjunta.
SAETA
s = ya -C
s = xa2 / 2C como c= To/w entonces:
S = xa2 w / 2To
SAETA
s = ya -C
CALCULAR EL PAR METRO DE LA CATENARIA Y EL VERTICE ( C )
Si disponemos de los datos físicos de vanos y desnivel, así como el dato adicional de longitud del
cable; es posible calcular el par por unidad de longitud de la catenaria y el vértice del cable.Sea , la ya definida lo = √ ( L2 - h2) = 2Csenh(a/2C)
•continuara
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