Catenaria Del Conductor (1)

CATENARIA DEL CONDUCTOR

CATENARIA DEL CONDUCTOR

T.cosθ = To

y = C cosh( x/C)

ECUACION DE LONGITUD DEL CONDUCTOR

• En Líneas deTransmisión dePotencia, es necesarioconocer la longitud delconductor suspendidoentre dos puntos, porcuanto la longitud totalse empleará paraestimar el costo inicialdel proyecto.

• Sea:

dl =√ (dx)2 + (dy)2

• Ahora:

y = C cosh( x/C)

dy = senh( x/C) dx

Entonces:

dl =√ (dx)2 + (senh( x/C) dx)2

dl =√ (dx)2 + (senh( x/C) dx)2

dl =√ (1)2 + (senh( x/C) )2 dx


• Como:

cosh 2 (φ ) - senh 2 (φ ) =1

Si sustituimos:

dl = √ cosh 2 (x/C ) - senh 2 (x/C ) + (senh( x/C) )2 dx

dl = cosh (x/C ) dx


Sea "a“ el vano o distancia horizontal entre los dos puntos de suspensión.

Integremos la ecuación

anterior:

• dl= cosh( x/C) dx

dl= 2 cosh( x/C) dx

a

+a/2

-a/2

0

+a/2


l= 2 C senh ( a /2C)

Que representa la longitud total del conductor

instalado con sus extremos al mismo nivel.

ECUACION DE FLECHA

Denominamos flecha a la máxima distancia verticalentre el segmento que une los extremos delconductor y éste.

En el caso de conductores a nivel, la flecha se ubicaa medio vano y sobre el eje de ordenadas.

Este concepto es muy importante, ya que losconductores son instalados en el campo teniendodisponible la “Tabla de Flechas” para el tendido.

La flecha es la diferencia de Ordenadas entre lospuntos de suspensión y la ordenada del vérticedel conductor

ECUACION DE FLECHA

• f= yB – C

• f = C cosh(a/2 C ) – C ò

• f = C [cosh(a/2 C ) – 1]

Fíjense que como lastorres están a nivel el vanose ubica en ele medio de lacatenaria

flecha

C

ECUACION DE FLECHAPodemos encontrar una fórmula aproximada que calcule la

flecha, si tenemos en cuenta la expansión de Taylor para el

coseno hiperbólico:

Entonces f = C[1 + (a/2 C )2/2 ! – 1]= a2/8 C

f = a2W/8 To

Si consideramos que el peso unitario W es constante, entonces

deducimos que si el tiro To (en KG) aumenta, entonces la

flecha disminuye; esto también se dice que a mayor tensión

entonces menor flecha, de la misma forma que a mayor

parámetro.

TENSION o TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR

La expresión y.w es el producto de la ordenada del punto de

abscisa x del conductor por el peso por unidad de longitud

cuyo valor resulta en Kg y representa el tiro en el punto de

abscisa x; es decir:

TIRO Y ESFUERZO EN EL CONDUCTOR

ESFUERZO EN EL CONDUCTOR

• Otro concepto que es necesario definir es elesfuerzo, el cual frecuentemente es utilizadoen reemplazo del Tiro, en razón que susvalores son más pequeños. El esfuerzo delconductor, lo definimos como el cociente dedividir el tiro por la sección.

• σ= T/A Siendo A la sección transversal delconductor en mm2 y T el tiro en Kg encualquier punto del conductor.


• Y como la tensión en un punto x es:

l

l l


• Conocer el valor del tiro o tensión en elextremo del conductor, es necesario porque permite conocer el máximo valor deKilogramos a que se verá sometido elsoporte y como se sabe, la componentehorizontal de este Tiro es To, valoresindispensables para realizar el diseño deestructuras. Para conductores a nivel, eltiro en los extremos del conductor soniguales, por que se encuentran ubicadosen la misma ordenada. Por lo que esdeseable que las estructuras esténinstaladas a la misma “cota” paraaprovechar este efecto. El tiro en unpunto cualquiera está dado por laecuación y para:

• x = xb = +a/2

• Entonces:


mm2 del conductor

PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO

como dato el tiro en el extremo:

Tb= Tmax

PARAMETRO EN FUNCION DEL TIRO MAXIMO

CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO

b h

Vano virtualA’


• En el perfil topográfico de una línea de transmisión de potencia,

los vanos no necesariamente son a nivel, incluso por las

características geográficas (por ejemplo en zonas andinas o la

costa) , pueden diseñarse líneas que obligan a calcular por

separado vanos contiguos con marcados desniveles.

• El presente se analizará el comportamiento de un cable en

condiciones de desnivel y deducir los parámetros adicionales

que

• deberán tomarse en cuenta para un análisis exacto.

• La ecuación de la catenaria evidentemente es la misma, pero en

este caso los puntos de suspensión (extremos del cable A y B) se

encuentran desplazados verticalmente dentro de la misma curva.


• Por tanto la ecuación del cable será siempre: y =C cosh (x/C)

• Siendo el parámetro: C =To/w

• A fin de establecer uniformidad en cuanto a la simbología a utilizar, la

figura anterior nos indica los parámetros necesarios y sus ubicaciones, los

cuales emplearemos.

• En la figura, xA representa la abscisa en donde se encuentra el punto de

suspensión izquierdo del cable; en forma análoga xB representa la abscisa

del extremo derecho, respecto al sistema de ejes coordenados cartesianos.

• Así mismo, h es el desnivel (en metros) y b el vano real

• Llamaremos vano virtual al segmento A'B que es el vano si el soporte en A

estaría en la posición A„ a nivel con el soporte en B.

ECUACION DE CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO

Un Pequeño trozo de cable (dl)

desnivelado con proyecciones dx

y dy sobre los ejes coordenados.

Tomando un diferencial de

longitud (dl) del cable, la longitud

del mismo será :

dl =√ (dx)2 + (dy)2

Como:

y = C cosh( x/C)

dy = senh( x/C) dx

Entonces al igual que el caso

anterior:

dl = cosh (x/C ) dx

ECUACION DE CATENARIA EN CABLE DESNIVELADO

La integral será ahora

dl= cosh( x/C) dx

donde se obtiene que:

l= C [ senh (xB/C) - senh (xA/C) ]

xB

xA

ECUACION DE LA LONGITUD DELCONDUCTOR

Para hallar la longitud tenemos:

dl= 2 cosh( x/C) dx

De donde se obtiene

l= C [senh ( xB /C) - senh ( xA /C) ]

Al observar la ecuación anterior ,

se verifica que para encontrar la

longitud del cable es necesario

conocer las abscisas de los

extremos y el par metro C (o tiro

en el vértice).

xB

xA

ECUACION DE DESNIVEL

En la figura adjunta, se muestra el desnivel h en un cable suspendido de los extremos A y B y en las

condiciones dadas de instalación, dicho desnivel h resulta ser la diferencia de ordenadas:

h = y B - y ADe donde se obtiene, a partir de la ecuación general y =C cosh (x/C) que:

h= C cosh (xB/C) - C cosh (xA/C)

Al observar la ecuación anterior , severifica que h puede ser positivo,negativo o cero

ECUACION DE DESNIVEL

LONGITUD EN FUNCION DEL DESNIVEL

anteriores


desnivel

Lo=

Lo2 + h2


L = √ ( lo2 + h2)

L= lo secδ


lo=

L= lo secδ = lo

FLECHA EN FUNCION DEL DESNIVEL

M

N

FLECHA EN FUNCION DEL DESNIVEL

N

Como f o= C [cosh(a/2 C ) – 1]

f = f o [cosh(Xm/ C ) – 1]

SAETA

La saeta se define

como la distancia

vertical entre el

punto de

suspensión más

bajo del cable y

su vértice. Su

ubicación física es

mostrada en la

figura adjunta.

SAETA

s = ya -C

s = xa2 / 2C como c= To/w entonces:

S = xa2 w / 2To

SAETA

s = ya -C

CALCULAR EL PAR METRO DE LA CATENARIA Y EL VERTICE ( C )

Si disponemos de los datos físicos de vanos y desnivel, así como el dato adicional de longitud del

cable; es posible calcular el par por unidad de longitud de la catenaria y el vértice del cable.Sea , la ya definida lo = √ ( L2 - h2) = 2Csenh(a/2C)

•continuara

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