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APUNTE 1
CALCULO VECTORIAL
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1.5 Gradiente, Divergencia, Rotacional y Laplaciano en coordenadas
curvilíneas.
En muchos problemas es común usar otras coordenadas además de las cartesianas,
por ejemplo cuando en un problema interviene simetría cilíndrica o esférica. Por esto es
necesario transformar el gradiente, la divergencia y el rotacional en estas nuevas
coordenadas.
1.5.1 Coordenadas curvilíneas generalizadas ortogonales
En muchos problemas es más cómodo determinar la posición de un punto P del espacio
no con tres coordenadas cartesianas (x,y,z) sino que con otros números (u1,u2,u3) que son
mas apropiados para el problema particular examinado.
En general, cualquier terna de familias de superficies puede definir un sistema de
coordenadas:
U1(x,y,z) = u1 U2(x,y,z) = u2 U3(x,y,z) = u3
Estas ecuaciones permiten transformar de coordenadas cartesianas al nuevo sistema.
Despejando x,y,z se realiza el paso inverso.
Supongamos que a cada punto P del espacio le corresponde una terna (u1,u2,u3),
viceversa, a cada terna le corresponde solo un punto P . En este caso las magnitudes
u1,u2,u3 se llaman coordenadas curvilíneas del punto P.
El vector posición se puede obtener a partir de las coordenadas cartesianas:
ˆ ˆ ˆr x x y y z z= + +
1u cte=
2u cte=
3u cte=
1u
2u
3u
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En general las coordenadas no son distancias, un incremento infinitesimal de una
coordenada y el desplazamiento correspondiente se relacionan a través de un factor de
escala
i i i i i ii i
r r ˆ ˆ1 h u dl hu u∂ ∂
≠ ⇒ = ⇒ =∂ ∂
du u
expresión que permite obtener los vectores unitarios y sus factores de escala.
Se llaman superficies coordenadas en el sistema de coordenadas curvilíneas u1,u2,u3 las
superficies u1 = c1, u2 = c2, u3= c3
En las superficies coordenadas una de las coordenadas conserva su valor constante.
Si las superficies son ortogonales el sistema será curvilíneo y ortogonal.
1 2 2 3 3 1
1 2 3 2 3 1 3 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆu u 0 u u 0 u u 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆu u u u u u u u u⋅ = ⋅ = ⋅ =
× = × = × = 2
Las líneas de intersección de dos superficies coordenadas se llaman líneas coordenadas
Un desplazamiento infinitesimal se puede describir como:
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2 3 3 3
22 21 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆdl h du u h du u h du u
dl h du h du h du
= + +
= + +
Todos los coeficientes de transformación de los vectores unitarios de un sistema de
coordenadas ortogonal en otro ortogonal se repiten en la transformación inversa en
posición transpuesta.
Se puede definir una matriz de rotación [ ]R que es ortogonal ([ ] [ ]1 TR R− =
Como ejemplo de las coordenadas curvilíneas examinemos las coordenadas cilíndricas y
esféricas.
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Coordenadas cilíndricas En coordenadas cilíndricas la posición del punto P
se determina por tres coordenadas: , ,zρ ϕ
coordenadas que deberán variar en los márgenes:
00 2
z
ρϕ π
≤ < +∞⎧⎪ ≤ <⎨⎪−∞ < < +∞⎩
Las superficies coordenadas son: 1) ρ = Constante, cilindros circulares con el eje OZ
2) ϕ = Constante, semiplanos adyacentes al eje OZ
3) z = Constante, planos perpendiculares al el eje OZ
Las líneas coordenadas son:
P z
ρ ϕ
ρ
ϕ
X
Y
Z
z
1) líneas ρ , rayos perpendiculares al eje OZ que tienen su origen en este eje.
2) líneas ϕ , circunferencias con el centro en el eje OZ.
3) líneas z , rectas paralelas al eje OZ.
La relación entre las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto y sus coordenadas
cilíndricas ( , ,zρ ϕ ) se determinan por las formulas:
x cos
y senz z
ρ ϕ
ρ ϕ
=⎧⎪
=⎨⎪ =⎩
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Vectores unitarios y factores de escala:
El vector de posición esta dado por: ˆ ˆ ˆr cos x sen y z zρ ϕ ρ ϕ= + +
Derivando con respecto a , ,zρ ϕ :
( )
r ˆ ˆcos x sen y
r ˆ ˆsen x cos y
r zz
ϕ ϕρ
ρ ϕ ϕϕ
∂= +
∂
∂= − +
∂
∂=
∂
Sus factores de escala son:
zr rh 1 h h
zρ ϕ ρρ ϕ∂ ∂
= = = = = =∂ ∂
r 1∂∂
Sus vectores unitarios son:
z
r
ˆ ˆ ˆcos x sen yh
r
ˆ ˆsen x cos yh
rzˆ ˆz z
h
ρ
ϕ
ρρ ϕ
ϕ ˆ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
∂∂
= = +
∂∂
= = − +
∂∂= =
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En forma matricial :
[ ]ˆ xˆ ˆR yˆ ˆz z
ρϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
donde R es una matriz de rotación que es ortogonal.
ˆ ˆcos sen 0 xˆ ˆsen cos 0 yˆ ˆz 0 0 1
ρ ϕ ϕϕ ϕ ϕ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦z
T
La inversa de R es su traspuesta [ ] [ ]1R R− = entonces :
[ ] 1ˆx
ˆ ˆy Rˆ ˆz z
ρϕ−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆx cos sen 0ˆ ˆy sen cos 0ˆ ˆz 0 0 1 z
ϕ ϕ ρϕ ϕ ϕ
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Entonces podemos volver a escribir el vector de posición ˆ ˆ ˆr cos x sen y z zρ ϕ ρ ϕ= + +
como:
( ) ( )x yˆ ˆx y
ˆ ˆˆ ˆ ˆr cos cos sen sen sen cos z zρ ϕ ϕ ρ ϕϕ ρ ϕ ϕ ρ ϕϕ= − + + +
z
multiplicando y simplificando:
ˆ ˆr zρ ρ= +
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Coordenadas esféricas
En coordenadas esféricas la posición del punto P
se determina por tres coordenadas: r, ,θ ϕ
coordenadas que deberán variar en los márgenes:
0 r00 2
θ πϕ π
≤ < +∞⎧⎪ ≤ ≤⎨⎪ ≤ <⎩
Las superficies coordenadas son: 1) = constante , esferas con centro en el punto O; r2) θ = constante , semiconos circulares con el eje OZ
3) ϕ = constante , semiplanos adyacentes al eje OZ
Las líneas coordenadas son: 1) líneas r , rayos que parten del punto O.
2) líneas θ , meridianas de la esfera.
3) líneas ϕ , paralelos de la esfera.
θ
r
θ
Z
X
Y
ϕ
z
rϕ
θ
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La relación entre las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto y sus coordenadas
esféricas ( r, ,θ ϕ ) se determinan por las formulas:
x r cos sen
y r sen senz r cos
ϕ θ
ϕ θθ
=⎧⎪
=⎨⎪ =⎩
Vectores unitarios y factores de escala:
El vector de posición esta dado por: ˆ ˆ ˆr r sen cos x r sen sen y r cos zθ ϕ θ ϕ θ= + +
Derivando con respecto a r, ,θ ϕ :
( )
( )
r ˆ ˆ ˆsen cos x sen y cos zr
r ˆ ˆ ˆr cos cos x sen y sen z
r ˆ ˆr sen ( sen x cos y )
θ ϕ ϕ θ
θ ϕ ϕ θθ
θ ϕ ϕϕ
∂= + +
∂
∂= + −⎡ ⎤⎣ ⎦∂
∂= − +
∂
Sus factores de escala son:
rr r rh 1 h r h r sr θ ϕ enθ
θ ϕ∂ ∂ ∂
= = = = = =∂ ∂ ∂
Sus vectores unitarios son:
( )
( )
r
rrˆ ˆ ˆ ˆr sen cos x sen y cos z
h
rˆ ˆ ˆ ˆcos cos x sen y sen z
h
r
ˆ ˆ ˆsen x cos yh
θ
ϕ
θ ϕ ϕ θ
θθ θ ϕ ϕ θ
ϕϕ ϕ ϕ
∂∂= = + +
∂∂= = + −
∂∂
= = − +
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En forma matricial :
[ ]r xˆ ˆR yˆ zθϕ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
donde R es una matriz de rotación que es ortogonal.
r ˆsen cos sen sen cos xˆ ˆcos cos cos sen sen yˆ ˆsen cos 0 z
θ ϕ θ ϕ θθ θ ϕ θ ϕ θϕ ϕ ϕ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
T
La inversa de R es su traspuesta [ ] [ ]1R R− = entonces :
[ ] 1
rxˆy Rˆzθϕ
−
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
rx sen cos cos cos senˆy sen sen cos sen cosˆz cos sen 0
θ ϕ θ ϕ ϕθ ϕ θ ϕ ϕ θ
θ θ ϕ
⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Entonces podemos volver a escribir el vector de posición
ˆ ˆ ˆr r sen cos x r sen sen y r cos zθ ϕ θ ϕ= + + θ como:
( )r
ˆ ˆ ˆr r sen cos x sen y cos zθ ϕ ϕ θ= + +⎡ ⎤⎣ ⎦
por lo tanto:
ˆr r r=
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1.5.2 Gradiente en coordenadas ortogonales
Curvilíneas 1 21 1 2 2 3 3
U U U1 1 1ˆ ˆU u uh u h u h u
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂ 3u
Cartesianas U U Uˆ ˆ ˆU x y zx y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂ hx= hy= hz= 1
Cilíndricas U U1ˆ ˆ ˆU z
zρ ϕ
ρ ρ ϕ∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
U 1
zh h
hρ
ϕ ρ
= =⎧⎪⎨ =⎪⎩
Esféricas U U U1 1ˆˆ ˆU rr r r sen
θ ϕθ θ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂ϕ
rh 1h rh r senθ
ϕ θ
⎧ =⎪
=⎨⎪ =⎩
1.5.3 Divergencia en coordenadas ortogonales
Curvilíneas 1 2 3 2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3
A h h A h h A h h1Ah h h u u u
⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ ⋅ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Cartesianas yx zAA AA
x y z∂∂ ∂
∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂
hx= hy= hz= 1
Cilíndricas zA A A1 1Az
ρ ϕρρ ρ ρ ϕ∂ ∂ ∂
∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂
1
zh h
hρ
ϕ ρ
= =⎧⎪⎨ =⎪⎩
Esféricas 2
r AA senr A1 1 1Ar2 r r sen r sen
ϕθ θθ θ θ
∂∂∂∇ ⋅ = + +
∂ ∂ ϕ
rh 1h rh r senθ
ϕ∂
θ
⎧ =⎪
=⎪ =⎩
⎨
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1.5.4 Rotacional en coordenadas ortogonales Curvilíneas
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆh u h u h u1A
h h h u u uA h A h A h
∂ ∂ ∂∇ × =
∂ ∂ ∂
Cartesianas
y yx xz z
x y z
ˆ ˆ ˆx y zA AA AA Aˆ ˆ ˆA x y
x y z y z z x x yA A A
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂∇ × = = − + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
z⎞⎟⎠
Cilíndricas
z
ˆ ˆ z1A
zA A Aρ ϕ
ρ ρϕ
ρ ρ ϕρ
∂ ∂ ∂∇ × =
∂ ∂ ∂
Esféricas
2
r
ˆˆ ˆr r r sen1A
rr senA r A r sen Aθ ϕ
θ θ ϕ
θ ϕθθ
∂ ∂ ∂∇ × =
∂ ∂ ∂
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1.5.5 Laplaciano de un escalar en coordenadas ortogonales
Curvilíneas 2 3 3 1 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
h h h h h hU U1Uh h h u h u u h u u h u
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Δ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
U
Cartesianas 2 2 2
2 2U U Uˆ ˆ ˆU x yx y z
∂ ∂ ∂Δ = + +
∂ ∂ ∂ 2 z
Cilíndricas
2 2
2 2
2 2
2 2 2
U U1 1Uz
U U1 1z
ρ ρρ ρ ρ ρ ϕ
ρρ ρ ρ ρ ϕ
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂Δ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
U
U
Esféricas
22
2 2
22
2 2 2
U U1 1U r sen senr r senr sen
U U1 1 1r senr rr r sen r sen
θ θθ θ θθ ϕ
θθ θ 2 2
U
Uθ θ ϕ
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∂Δ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∂
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2. CALCULO INTEGRAL VECTORIAL
2.1 Integrales de línea El concepto de integral de línea es una generalización del concepto de la integral definida.
b
a
f ( x )dx∫
Se integra sobre el eje x de a hasta b y el integrando f es una función definida en todos
los puntos entre a y b. En el caso de una integral de línea se integrara sobre una curva C en el espacio (o en el
plano) y el integrando es una función definida en todos los puntos de C. A la curva C se
le llama la trayectoria de integración.
A la curva C se le llama curva suave si C tiene una representación:
ˆˆ ˆr( t ) x( t ) i y( t ) j z ( t ) k= + + para a t b≤ ≤
Se llama a A: r( el punto inicial y a B: a ) r( b ) el punto terminal de C y se dice que C
esta orientada de A a B siendo la dirección positiva de A a B a lo largo de C. Los puntos
A y B pueden coincidir en este caso se dice que es una curva cerrada.
C
AB
A C
B
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Teorema 1: La integral de línea como integral definida
Sea f continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está
dado por , para ˆ ˆr( t ) x( t ) i y( t ) j= + a t b≤ ≤ , entonces:
b 2 2, ,
C a
f ( x, y )ds f ( x( t ), y( t )) x ( t ) y ( t ) dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
Si C esta dada por ˆˆ ˆr( t ) x( t ) i y( t ) j z( t ) k= + + para a t ,
entonces:
b≤ ≤
b 2 2, , ,
C a
2f ( x, y,z )ds f ( x( t ), y( t ),z( t )) x ( t ) y ( t ) z ( t ) dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ +
Si la trayectoria de integración de C es una curva cerrada, entonces en
lugar de se escribe también C∫
C∫
Ejemplo 1: Calcular la masa de un resorte de densidad ρ(x,y,z) = 2 y y tiene forma de
espiral definida paramétricamente por x = 2cos t, y = t , z = 2 sen t, para
0 t 6π≤ ≤
Solución :
La densidad es ρ(x,y,z) = 2 y = 2 t
2 2, , ,
ds x ( t ) y ( t ) z ( t ) dt⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
[ ] [ ] [ ]2 2 22 sent 1 2 cos t dt
5 dt
= − + +
=
( )26 6
C 0 0
2
6masa = ( x, y,z ) ds 2 t 5 dt 2 5 t dt 2 5
2
36 5
π π πρ
π
= = =
=
∫ ∫ ∫
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Teorema 2: C C
f ( x, y,z ) ds f ( x, y,z ) ds−
=∫ ∫
Ejemplo 2: Evaluar la integral de línea donde C esta dado por: 2
C
2x y ds∫
a) Parte de la parábola y = x2 desde (-1,1) hasta (2,4)
b) Parte de la parábola y = x2 desde (2,4) hasta (-1,1)
Solución :
a) C: x = t, y = t 2, 1 t 2− ≤ ≤ , 2ds 1 4 t dt= +
2
2 4 2
C 1
2x y ds 2t 1 4t dt 45,391−
= + ≈∫ ∫
b) C: x =- t, y = t 2, 2 t 1− ≤ ≤ , 2ds 1 4 t dt= +
1
2 4 2
C 2
2x y ds 2t 1 4t dt 45,391−
= + ≈∫ ∫
Teorema 3: Si C es suave a trozos, con 1 2 3C C C C Cn= ∪ ∪ ∪ ∪…… , donde
son todas suaves, se tiene: 1 2 3 nC ,C ,C , , C……
C C C C1 2 n
f ( x, y,z )ds f ( x, y,z )ds f ( x, y,z )ds f ( x, y,z )ds= + +∫ ∫ ∫ ∫……
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Ejemplo 3: Evaluar la integral de línea alrededor del triangulo con vértices (0,0),(1,0) y
(0,1), en sentido antihorario.
Solución :
C1: x = t, y = 0, 0 t 1≤ ≤ , ds 1 0 dt dt= + =
C2: x = 1 - t, y = t, 0 t 1≤ ≤ , ds 1 1 dt 2 dt= + =
C3: x = 0, y = 1 - t, 0 t 1≤ ≤ , ds 1 0 dt dt= + =
Entonces:
( ) ( ) ( )
( ) (
(0,1)
(1,0) (0,0)
y
x C1
C2 C3
)
( )
2 22 2 2 2
C C C C1 2 31 1 1
2 2
0 0 0
2
x y ds t dt 1 t t 2 dt 1 t dt
t dt 2 1 2t 2t dt 1 2t t dt
2 1 23
⎡ ⎤+ = + − + + −⎣ ⎦
= + − + + − +
= +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
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Teorema 4: Si f ( x es continua en una región D que contiene la curva C y que C
se describe paramétricamente por
, y,z )
x( t ), y( t ) y z( t ) , para a t ,
donde tienen primeras derivadas continuas.
b≤ ≤
b ,
C a
b ,
C a
b ,
C a
f ( x, y,z )dx f ( x( t ), y( t ),z( t )) x ( t ) dt
f ( x, y,z )dy f ( x( t ), y( t ),z( t )) y ( t ) dt
f ( x, y,z )dz f ( x( t ), y( t ),z( t )) z ( t ) dt
=
=
=
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Ejemplo 4: Evaluar la integral de línea ( )C
4xz 2y dx+∫ donde C esta dado por la recta
a) desde (2,1,0) hasta (4,0,2) y b) desde (4,0,2) hasta (2,1,0).
Solución:
a) C: x = 2+ 2 t, y =1- t, z = 2 t 1 t 2− ≤ ≤ , dx 2 dt=
( ) ( ) ( )1
2
C 0
864xz 2y dx 16 t 14 t 2 2 dt3
+ = + + =∫ ∫
b) C: x = 2+ 2 t, y =1- t, z = 2 t 1 t 2− ≤ ≤ , dx 2 dt=
( ) ( ) ( )0
2
C 1
864xz 2y dx 16 t 14 t 2 2 dt3
+ = + + =−∫ ∫
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Teorema 5: Si f ( x, y,z ) es continua en una región D que contiene la curva C.
C C
1 2 3 n 1 2 3 n
C C C C1 2 n
a ) f ( x, y,z )dx f ( x, y,z )dx
b ) Si C C C C C , donde C ,C ,C , , C
f ( x, y,z )dx f ( x, y,z )dx f ( x, y,z )dx f ( x, y,z )dx
−
= −
= ∪ ∪ ∪ ∪
= + + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
…… ……
……
Este teorema también se enuncia para las integrales de línea respecto de y
o z
Ejemplo 5: Evaluar la integral de línea ( ) ( )C
2x y dx x 3y dy− + +∫ a lo largo de la
trayectoria parabólica x = t, y =2 t2 de (0,0) a (2,8)
Solución:
La trayectoria de C esta dada por : x = t, y =2 t2 con ,
por lo tanto:
0 t 2≤ ≤
dx dt y dy 4t dt= =
( ) ( ) ( ) ( )
( )
22 2
C 02
2 3
0
2x y dx x 3 y dy 2t 2 t dt t 6 t 4tdt
2t 2 t 24 t dt
3163
− + + = − + +
= + +
=
∫ ∫
∫
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Integral de línea de campos vectoriales
Definición 1 : Una integral de línea de una función vectorial F( r ) en una curva C esta
definida por
b
C a
drF( r ) dr F( r( t )) dtdt
⋅ = ⋅∫ ∫
En términos de componentes
( )
( )C C
b , , ,
a
F( r ) dr P dx Q dy R dz
P x Q y R z dt
⋅ = + +
= + +
∫ ∫
∫
Propiedades de la integral de línea:
( )
C C
C C C
C C C1 2
C C
1) k F dr k F dr k cons tante
2 ) F G dr F dr G dr
3 ) F dr F dr F dr
4 ) F dr F dr−
⋅ = ⋅
+ ⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ = ⋅ + ⋅
⋅ = − ⋅
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
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Ejemplo 6: Evaluar la integral de línea si ˆF( r ) y i xy j=− + ˆ alrededor del arco C
mostrado en la figura desde A a B. Solución :
B
A
C
x
y
ˆ ˆr( t ) cos t i sent j= + 0 t2π
≤ ≤
ˆ ˆ ˆF( r( t )) y( t )i x( t )y( t ) j sent i cos t sen t j= − + = − + ˆ
)
, ˆ ˆr ( t ) sen t i cos t j= − +
( ) (
( )
2
C 0
22 2
0
ˆ ˆ ˆF( r ) dr sent i cos t sen t j sent i cos t j dt
sen t cos t sen t dt
14 3
π
π
π
⋅ = − + ⋅ − +
= +
= +
∫ ∫
∫
ˆ
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2 ˆˆ ˆF( r ) 5zy i xy j x zk= + +Ejemplo 7: Evaluar la integral de línea si a lo largo de dos
trayectorias diferentes C1: segmento de recta dado por
con 0 t1ˆˆ ˆr ( t ) t i t j t k= + + 1≤ ≤ y C2: el arco parabólico
con 0 t22
ˆˆ ˆr ( t ) t i t j t k= + + 1≤ ≤ , con el mismo punto inicial A (0,0,0)
y el mismo punto terminal B (1,1,1)
Solución:
C2
z
y
x
B
A C1
Para C1
2 3
1ˆˆ ˆF( r ( t )) 5t i t j t k= + +
,
1ˆˆ ˆr ( t ) i j k= + +
( ) (
( )
)1
2 3
C 011
2 3
0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆF( r ) dr 5t i t j t k i j k dt
5t t t dt
5 1 1 132 3 4 12
⋅ = + + ⋅ + +
= + +
= + + =
∫ ∫
∫
Elaborado por Marina Salamé S. Página 22 de 32
Para C2
2 2 4
2ˆˆ ˆF( r ( t )) 5t i t j t k= + +
,
2ˆˆ ˆr ( t ) i j 2t k= + +
( ) (
( )
)1
2 2 4
C 021
2 2 5
0
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆF( r ) dr 5t i t j t k i j 2t k dt
5 t t 2t dt
5 1 2 123 3 6 3
⋅ = + + ⋅ + +
= + +
= + + =
∫ ∫
∫
Este ejemplo nos muestra que depende de la trayectoria a lo largo de la
que se integre de A a B
2.2 Integrales de líneas independientes de la trayectoria Teorema 1: Teorema fundamental de las integrales de línea.
Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta D y dada por
,ˆˆ ˆr( t ) x( t )i y( t ) j z ( t )k= + + a t b≤ ≤ .
Si es conservativo en D, y P y Q
son continuas en M, entonces:
ˆˆ ˆF P( x, y,z )i Q( x, y,z ) j R( x, y,z )k= + +
( )b
c C a
F dr f dr P dx Q dy R dz f ( b ) f ( a )⋅ = ∇ ⋅ = + + = −∫ ∫ ∫
F f= ∇ siendo f una función potencial de. Esto es,
Elaborado por Marina Salamé S. Página 23 de 32
Recuerde que afirmar que un campo vectorial es
conservativo es equivalente a decir que la forma diferencial
es exacta. Podemos concluir del teorema 1 que
la integral de línea es independiente de la
trayectoria C si el integrando es una diferencial exacta.
ˆˆ ˆP( x, y,z )i Q( x, y,z ) j R( x, y,z )k+ +
P( x, y,z )dx Q( x, y,z )dy R( x, y,z )dz+ +
c
P( x, y,z )dx Q( x, y,z )dy R( x, y,z )dz+ +∫
Definición 1: Una región del plano (o del espacio) es conexa si dos puntos arbitrarios de
la región pueden unirse mediante una curva suave a trozos, toda ella
situada en el interior de la región.
AC
B
•
•
Region conexa Region no conexa
FTeorema 2: Si el campo vectorial es continuo en una región conexa y abierta D.
Entonces, la integral de línea, es independiente de la trayectoria si y solo si
el campo vectorial F es conservativo.
Decimos que una curva que tiene el mismo punto inicial y final es cerrada. Por el teorema
fundamental podemos concluir que si F es continuo y conservativo en una región abierta
D, entonces la integral de línea sobre toda la curva cerrada en D es 0.
FTeorema 3: Si es continuo en una región conexa y abierta D. Entonces F es
conservativo si y solo si, para cualquier curva cerrada suave a trozos C
situada en D.
Elaborado por Marina Salamé S. Página 24 de 32
x x ˆˆ ˆF e cos y i e sen y j 2k= − +Ejemplo 1: Dado el campo de fuerzas , probar que
es independiente del camino, y calcular el trabajo realizado por FC
F dr⋅∫
sobre un objeto que se mueve por una curva de ( )0, ,1 a 1, ,32π π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Solución :
Las funciones componentes son , y y xP e cos y= xQ e sen y= R = 2
x
R Q 0y zR P 0x zQ P e sen yx y
∂ ∂= =
∂ ∂∂ ∂
= =∂ ∂∂ ∂
= =−∂ ∂
Entonces F es conservativo.
F , entonces: Si f es una función potencial de
( )( )( )
xx
xy
z
f x, y,z e cos y
f x, y,z e sen y
f x, y,z 2
=
=−
=
Integrando con respecto a x,y y z separadamente, obtenemos:
( ) xf x, y,z e cos y 2z K= + +
F a lo largo de C de Por lo tanto el trabajo realizado por
( )0, ,1 a 1, ,32π π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
es:
( )1, ,3x0, ,1
2C
W F dr e cos y 2z ( e 6 ) (0 2 ) 4 eππ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤= ⋅ = + = − + − + = −⎣ ⎦∫
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2.3 Teorema de Green en el plano. Teorema 1: Teorema de Green
Sea C una curva del plano cerrada, simple, suave a trozos y con
orientación positiva, y sea D la región encerrada por C, junto con C.
Supongamos que P (x,y) y Q (x,y) son continuas y tienen primeras
derivadas parciales continuas en alguna región abierta M, con D ⊂ M.
Entonces:
C R
Q PP( x, y )dx Q( x, y )dy dAx y
⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∫ ∫∫
Teorema 2: Área de una región.
Si C es una curva cerrada simple que acota una región para la cual se
aplica el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por
C es :
C
1A x dy y dx2
= −∫
Teorema 3: Forma vectorial del teorema de Green
Sea D ⊂ una región para la cual se aplica el teorema de Green, sea C
su frontera (orientada en sentido contrario al que giran las manecillas del
reloj), y sea un campo vectorial C en D. Entonces
2
ˆ ˆF Pi Q j= +
( ) ( )D DC
ˆ ˆF ds rot F k dA F k dA⋅ = ⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫ ∫∫
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Teorema 4: Teorema de la divergencia en el plano.
Sea D ⊂ una región para la cual se aplica el teorema de Green, sea C
su frontera. Sea n la normal unitaria exterior a C, n esta dada por :
2
( ), ,
2 2, ,
y ( t ) , x ( t )n
x ( t ) y ( t )
−=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Sea un campo vectorial C sobre D. Entonces ˆ ˆF Pi Q j= +
D
C
F n ds div F dA⋅ =∫ ∫∫
2.4 Integrales de superficies Representaciones de superficies en el espacio xyz son z = f (x,y) o g(x,y,z) = 0.
Para las curvas C en las integrales de línea se uso una representación paramétrica
r r ( t )=
De manera similar usaremos una representación paramétrica, para superficies S en
integrales de superficies.
Una representación paramétrica de una superficie S en el espacio es de la forma:
ˆˆ ˆr( u,v ) x( u,v )i y( u,v ) j z ( u,v )k= + + (u,v) en R . R es una región del plano uv.
Para definir una integral de superficie, se toma una superficie S, dada por una
representación paramétrica (u,v) en R, S es
suave por secciones, por lo que S tiene un vector normal:
ˆˆ ˆr( u,v ) x( u,v )i y( u,v ) j z ( u,v )k= + +
uN r rv= × y el vector unitario
normal 1n NN
=
FEntonces la integral de superficie de una función vectorial sobre S esta dada por:
[ ]S R
F n dA F r( u,v ) N( u,v )du dv⋅ = ⋅∫∫ ∫∫
La integral de superficie puede llamarse la integral de flujo.
Elaborado por Marina Salamé S. Página 27 de 32
Si hacemos , ˆˆ ˆF Pi Q j R k= + + ˆˆ ˆn cos i cos j cos kα β γ= + + 1 2 3ˆˆ ˆN N i N j N k= + + y
Podemos escribir
( ) ( )1 2 3S S R
F n dA P cos Q cos R cos dA PN QN R N du dvα β γ⋅ = + + = + +∫∫ ∫∫ ∫∫
2.5 Teorema de Gauss de la divergencia Sea T una región cerrada y acotada en el espacio cuya frontera es una superficie S suave
por secciones y orientable. Sea F( x, y,z ) una función vectorial que es continua y tiene
primeras derivadas parciales continuas en algún dominio que contiene a T. Entonces:
T S
div F dV F n dA= ⋅∫∫∫ ∫∫
donde es el vector unitario normal exterior a S. n
Si hacemos , ˆˆ ˆF Pi Q j R k= + + ˆˆ ˆn cos i cos j cos kα β= + + γ donde α, β, y γ son los
ángulos entre n y los ejes x,y y z n
Podemos escribir :
( )T T S
P Q Rdiv F dV dx dy dz P cos Q cos R cos dAx y z
α β γ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
Elaborado por Marina Salamé S. Página 28 de 32
2.6 Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada y suave por secciones en el espacio y sea la frontera de S
una curva cerrada simple y suave por secciones C. Sea F( x, y,z ) una función vectorial
que es continua y tiene primeras derivadas parciales continuas en algún dominio que
contiene a S. Entonces:
( ) Cˆrot F n dA F r( s )ds⋅ = ⋅∫∫ ∫
Donde es el vector unitario normal a S y, dependiendo de , la integración alrededor
de C se toma en el sentido indicado, además
n n
, drrds
= es el vector tangente unitario y s la
longitud de arco de C.
Elaborado por Marina Salamé S. Página 29 de 32
Ejercicios Propuestos
1-. Dibuje un mapa de contorno de la función dada mostrando varias curvas de nivel.
x y+ a) f (x, y) =
b) f (x, y) = − −2 2x yec) f (x, y) = x2 - y3
d) f (x, y) = x2 - 3x2
e) f (x, y) = x2 + 3y7
xy
f) f (x, y) =
2-. Una placa metálica delgada, localizada en plano xy, tiene una temperatura T(x,y) en
el punto (x,y). Dibuje algunas isotermas si la función de temperatura esta dada por :
2 2100T
1 x 2y=
+ +
3-. Si V(x,y) es el potencial eléctrico en un punto (x,y) del plano xy. Dibuje algunas
curvas equipotenciales sí V(x,y) = c
x y+
4-. Dibuje varias superficies de nivel de la función dada.
a) f (x, y,z) = x + y + z
b) f (x, y,z) = x2 + y2 - z
2 2+x y c) f (x, y,z) = z -
5-. El campo de presión en el espacio dado por f (x, y,z) = x2 + y2 – z.
a) Dibujar las superficies de nivel.
b) Dibujar las curvas de nivel en el plano z= 2
Elaborado por Marina Salamé S. Página 30 de 32
6-. Determinar la derivada direccional del campo escalar f en el punto dado en la
dirección indicada por el Angulo θ proporcionado.
3π
θ=1.- f (x,y) = x2 y3 + 2 x4 y, (1,-2),
2π
θ=x2.- f (x,y) = y , (1,2),
7-. Dado los campos escalares:
a) Determinar el gradiente de f.
b) Evaluar el gradiente en el punto dado P.
c) Encontrar la razón de cambio de f en P en la dirección del vector dado . u
=3 4u ,5 5
1) f(x,y)= x3 - 4x2 y + y2, P(0,-1),
−=
1 1 1u , ,3 3 3
2) ) f(x,y,z)= x y2 3 z , P(1, -2, 1),
8-. Dado los campos escalares determinar la derivada direccional en el punto
v indicado en la dirección del vector proporcionado.
= −ˆ ˆv 3i 4= +2 1) 2f ( x, y ) x y j P (3, 4)
= + − ˆˆ ˆv 2i j k= + +f ( x, y,z ) xy yz xz 2) P (1, 1, 1)
− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 yf ( x, y,z ) x tanz
= + − ˆˆ ˆv i j k 3) P (1, 2, -2)
9-. Hallar la derivada direccional del campo escalar f dado en el punto P en la dirección
de Q.
= +2 1) 2f ( x, y ) x 4 y P (3, 1) Q (1,-1)
= +f ( x, y,z ) x y y z 2) P (2,4,4) Q (6, -4, 8)
= + +3 2 2f ( x, y,z ) x y z 3) P (1,-3, 4) Q (1, -2, 3)
Elaborado por Marina Salamé S. Página 31 de 32
10-. El campo escalar de la temperatura en un punto (x,y,z) esta dada por :
− − −=2 2 2x 3 y 9zT ( x, y,z ) 200 e donde T se mide en y x, y, z en metros. C
a) Encuentre la razón de cambio de la temperatura en el punto P(2, -1, 2) en
dirección hacia el punto (3, -3, 3).
b) ¿ En que dirección aumenta mas rápidamente la temperatura en P ?
c) Encuentre la máxima razón de aumento de T en P.
11-. El campo escalar del potencial eléctrico sobre cierta región del espacio esta dado
por: . = − +2V ( x, y,z ) 5x 3xy xyz
a) Encuentre la razón de cambio del potencial en el punto P(3, 4, 5) en la
dirección del vector = + − ˆˆ ˆv i j k .
b) ¿ En que dirección aumenta mas rápidamente el potencial en P ?
c) ¿ Cuál es la máxima razón de cambio en P?.
12-. El campo escalar de la temperatura en un punto (x,y,z) esta dada por :
donde T se mide en y x, y en metros. Desde el
punto (2,-3), ¿ en qué dirección crece la temperatura mas rápidamente?. ¿ a que
ritmo se produce este crecimiento?
2T ( x, y,z ) 20 4x y= − − 2 C
13-. Graficar los siguientes campos vectoriales:
2 2
ˆ ˆy i xjF( x, y )x y
+=
+ˆF( x, y,z ) y j= a) b) ˆ ˆF( x, y ) y i j= + c)
14-. Determinar el campo vectorial gradiente de f :
5 2 a) 3f ( x, y ) x 4x y= − f ( x, y,z ) x y z= b)
15-. Hallar las líneas vectoriales de los siguientes campos vectoriales:
a) b) ˆF( x, y ) x i 4 y j= + ˆˆF 2 z j 3 y k= +ˆ
Elaborado por Marina Salamé S. Página 32 de 32
2 3 2 ˆˆ ˆF( x, y,z ) x i y j z k= − +16-. Hallar la línea vectorial del campo que pasa por el
punto M1 1, ,12 2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
.
ˆF y i x= − + j17-. Hallar la línea vectorial del campo que pasa por el punto
M ( ) . 3,4, 1−
18-. Encontrar el rotacional y la divergencia de los siguientes campos vectoriales :
a) b) ˆˆ ˆF( x, y,z ) x i y j z k= + + ˆˆ ˆF( x, y,z ) yz i xz j xy k= + +
c) d) ˆˆF( x, y,z ) xy i xyz k= + xyz xy ˆˆ ˆF( x, y,z ) e i sen( x y ) j kz
= + − −
19-. Determinar si el campo vectorial dado es conservativo o no. Si es conservativo,
encuentre una función f tal que.
a) b) ˆˆ ˆF( x, y,z ) y i x j k= + + ˆˆ ˆF( x, y,z ) cos y i senx j tan z k= + +
( )2 ˆˆ ˆF( x, y,z ) yz i y xz j xyk= + + + c) d) 2 2 ˆˆ ˆF( x, y,z ) yz i z j x k= + +
G20-. Determinar si existe un campo vectorial en tal que:
rot =
3
G 2 2 ˆˆ ˆ 2x y i y z j z x k+ + . Explique.
21-. Demuestre que cualquier campo vectorial de la forma
, en donde f, g, h son funciones diferenciables,
es irrotacional.
ˆˆ ˆF( x, y,z ) f ( x )i g( y ) j h( z )k= + +
22-. Demuestre que cualquier campo vectorial de la forma
, en donde f, g, h son funciones
diferenciables, es incompresible.
ˆˆ ˆF( x, y,z ) f ( y,z )i g( x,z ) j h( x, y )k= + +
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