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49 Halla el lugar geomtrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectastrazadas desdeP a los puntos:A (2, 1) yB (2, 1) sea igual a 1. Qu figura obtienes? Represntala.
Si P es el punto de coordenadas (x,y) de los datos del enunciado obtenemos:
La pendiente de la recta que une P conA es:2
1
+
x
y
La pendiente de la recta que une P conB es:2
1
+
x
y
El producto de las pendientes ha de ser igual a 1, es decir: 12
1
2
1=
+
+
x
y
x
y
Efectuando las operaciones en la ecuacin que hemos planteado,
133
30144114
1 222222222
2
===+==
yxyxyxxy
x
y
Es una hiprbola de eje horizontal, en la que a = b = 3 Calculemos el valor de c, en una hiprbola c
2= a
2+ b
2
( ) ( ) 663333 222 ==+=+= cc Los focos son los puntos ).0,6()0,6( FyF
La pendiente de las asntotas ser 13
3===
a
bm
Por lo tanto las asntotas son las rectas y = x e y = - x
La excentricidad es: 41123
6===
a
ce
La representacin grfica es:
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37 Una circunferencia del plano pasa por los puntos (1, 3) y (3, 5) y tiene el centro sobre la recta
x + 2y = 3. Halla su centro y su radio.
Si el centro de la circunferencia C(x,y) est sobre la recta x + 2y = 3 x = 3 2y; entonces es de
la forma C (3 2y,y).
La distancia del centro a los dos puntos dados,A(1, 3) yB(3, 5) es la misma. Adems, esta distancia es
el radio, r, de la circunferencia:
r = dist (C,A) = dist (C,B)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 2510525104525323),(
13145964843223123),(
2222222
2222222
+=++=+=+=
+=+++=+=+=
yyyyyyyyyBCd
yyyyyyyyyyACd
Como las dos distancias deben ser iguales,
963)3(233
124
13251014
2510513145
2510513145
22
22
=+===
=
=+
+=+
+=+
xy
y
yy
yyyy
yyyy
El centro de la circunferencia es C (9, 3).
El radio es,
1010013424513)3(14)3(513145 22 ==++=+=+= yyr
34 Halla la ecuacin de la elipse que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos en (4, 0) y (4, 0).Como los focos de la elipse estn sobre el eje OX y el punto (0,0), que es el punto medio de los dos
focos, es el centro de la elipse, la ecuacin de la elipse es:
12
2
2
2
=+by
ax
Como la elipse pasa por (3, 1)
119
113
222
2
2
2
=+=+baba
Tenemos una ecuacin pero dos incgnitas, a y b, necesitamos otra ecuacin.
En una elipse se cumple a2= b
2+ c
2 y sabemos que c = 4 a
2= b
2+ 16
Por lo tanto el sistema a resolver ser:
+=
=+
+=
=+
+=
=+
16
9
16
19
16
119
22
2222
22
22
22
22
22
ba
baab
ba
ba
ab
ba
ba
Sustituyendo el valor de a2en la primera ecuacin: 9 b
2+ b
2+ 16 = (b
2+ 16) b
2
10 b2+ 16 = b4+ 16 b2
b4+ 6 b
2 16 = 0 que es una ecuacin bicuadrada
vlidaNo
b
82
16
2
106
22
4
2
106
2
106
2
1006
2
64366
2
)16(466 22
=
=
==+
=
=
=+
=
=
Como a2= b
2+ 16 a
2= 2 + 16 a
2= 18
La ecuacin de la elipse ser: 1
218
22
=+yx
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42 Halla la ecuacin de la hiprbola que tiene por focos los puntosF (3, 0) yF' (3, 0) y que pasa por el
puntoP(8, 5 3 ).
Este ejercicio podramos resolverlo siguiendo un proceso similar al utilizado en el ejercicio 34, lo
haremos de otra forma.
Como los focos de la hiprbola estn sobre el eje OX y el punto (0,0) es el punto medio de los dos focos,
la ecuacin de la hiprbola es:
12
2
2
2
= b
y
a
x
Hallamos la constante de la hiprbola: |dist (P, F) dist (P, F' )| = 2a
22421014
101003.2525)35()38(),(
141963.25121)35()38(),(
22
22
===
==+=+=
==+=++=
aaaqueloPor
FPd
FPd
De las coordenadas de los focos sabemos que c = 3.
En una hiprbola se cumple que c2= a2+ b2, por lo tanto 32= 22+ b2
9 = 4 + b2, b
2= 5
La ecuacin es:
154
22
=yx
44 La parbolay2 4y 6x 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su directriz.
Arreglamos la ecuacin de la parbola para ponerla en su forma reducida,
y2 4y = 6x + 5 y
2 4y + 4 = 6x + 5 + 4 (y 2)
2= 6x + 9
+=
+=
2
36)2(
6
96)2(
22xyxy El vrtice de la parbola es V
2,
2
3
El foco y el vrtice de la parbola tienen la misma ordenada, luego la directriz ser una recta vertical, x= a, de forma que
32
3
22
3
2
0
2=
=
=
+=
+a
aax
axv
F
La directriz esx = 3.
32 Identifica las siguientes cnicas, calcula sus elementos caractersticos y dibjalas:
a) 4x2+ 9y
2= 36 b) 16x
2 9y
2= 144 c) 9x
2+ 9y
2= 25
d)x2 4y2= 16 e)y2= 14x f ) 25x2+ 144y2= 900
a) 4x2+ 9y2= 36Dividimos ambos miembros de la igualdad por 36,
149
136
9
36
4
36
36
36
94 222222=+=+=
+ yxyxyx
Es la ecuacin reducida de una elipse de eje mayor horizontal.
a2= 9 a = 3 ; b
2= 4 b = 2
En una elipse se cumple a2= b
2+ c2, en este caso: 9 = 4 + c
2 c2= 5 c = 5
Los elementos de esta elipse son:
Centro ( 0 , 0 )
Focos ( 5 , 0 ) y ( 5 , 0 )
Semieje mayor a = 3
Semieje menor b = 2
74503
5===
a
ce
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4/6
Pg. 4/6
b) 16x2 9y
2= 144
Dividimos ambos miembros de la igualdad por 144,
1169
1144
9
144
16
144
144
144
916 222222===
yxyxyx
Es la ecuacin reducida de una hiprbola de eje horizontal.
a2= 9 a = 3 ; b2= 16 b = 4
En una hiprbola se cumple c2= a
2+ b
2, en este caso: c
2= 9 + 16 c
2= 25 c = 5
Los elementos de esta hiprbola son:
Centro ( 0 , 0 )
Focos (-5, 0 ) y (5, 0 )
Semieje mayor a = 3
Pendiente de las asntotas3
4
Ecuaciones de las asntotas:
xyexy 3
4
3
4
==
Excentricidad: 66713
5===
a
ce
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Pg. 5/6
c) 9x2+ 9y2= 25Dividimos ambos miembros de la igualdad por 9,
9
25
9
25
9
9
9
9
9
25
9
99 222222
=+=+=+
yxyxyx
Es la ecuacin de una circunferencia de centro ( 0 , 0 ) y radio3
5
9
25=
d)x2 4y2= 16Dividimos ambos miembros de la igualdad por 16,
1416
116
4
1616
16
16
4 222222===
yxyxyx
Es la ecuacin reducida de una hiprbola de eje horizontal.
a2= 16 a = 4 ; b
2= 4 b = 2
En una hiprbola se cumple c2= a
2+ b
2, en este caso: c
2= 16 + 4 c
2= 20 c = 20
Los elementos de esta hiprbola son:
Centro ( 0 , 0 )
Focos (- 20 , 0 ) y ( 20 , 0 )
Semieje mayor a = 4
Pendiente de las asntotas2
1
4
2=
Ecuaciones de las asntotas:
xyexy2
1
2
1 ==
Excentricidad: 11814
20===
a
ce
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e)y2= 14xEs la ecuacin de una parbola,
532
7
27142 ====
ppp
Los elementos de esta parbola son: vrtice ( 0 , 0 ), foco ( 35 , 0 ) y directriz x = - 35
f) 25x2+ 144y
2= 900
Dividimos ambos miembros de la igualdad por 900,
136
125
4
361
900
144
900
25
900
900
900
14425
4
25
22222222
=+=+=+=+ yxyxyxyx
Es la ecuacin reducida de una elipse de eje mayor horizontal.
a2= 36 a = 6 ; b
2= 25/4 b = 5/2
En una elipse se cumple a
2
= b
2
+ c
2
, en este caso:455
2
119
4
119
4
25144
4
2536
4
2536 22 ===
==+= ccc
Los elementos de esta elipse
son:
Centro ( 0 , 0 )
0,
2
1190,
2
119:cos yFo
Semieje mayor a = 6
Semieje menor b = 5/2
909012119 ===
ace