ZIOfestan parte hartzera gonbidatu nindutenean baietzesan nuen. Gero, handik aste batzuetara festaren programahartzean ikusi nuen neure hitzaldiaren izenburua: Zertarakomatematika? Neuk hartu nuen lehen sorpresa, inork ez bai-tzidan izenbururik eskatu. Gero ere, inork ez zekien nork as-matu zuen izenburua. Matematika zertarako den galdetzeakzalantzaren bat erakusten du? Matematikariek beren jardue-raren zergatia justifikatzeko beharra dute? Egia da jarduerabatzuei ez zaiela normalean halako galderarik egiten, zerbai-tetarako balioko dutela onartzen delako-edo. Balio izatea zerden, hor egon daiteke onarpenaren gakoa. Edozein modu-tan, matematika zein beste edozein jakintza-arlo zertarakoden hausnartzea ona iruditzen zait, ofiziokoentzat eta kan-pokoentzat. Eta itzuri ibili barik, azken urteotan galderarierantzuteko moduko hausnarketak behin baino gehiagotanegin behar izan ditudanez, nahiago izan nuen ZIOfesta har-tan neure iritzia plazaratzea. Horixe da orain paperera da-kardana.

Zertarako matematika?

JAVIER DUOANDIKOETXEAEHUko Matematika Saileko irakaslea

166maiatza-ekaina

2008

Matematikaren Nazioarteko Elkarteak eskatuta, Matema-tikaren mundu-urtea izendatu zuen Unescok 2000. urtea.Babesa agertzeko adierazpen bat plazaratu zuen eta askozgehiago etorri ziren urte hartan, Parlamentu, Ministerio etabeste hainbat erakunde eta elkartetatik. Dena alde, denakalde. Benetan sortzen du matematikak zalantzarik? Behardu justifikaziorik? Adierazpenetako hitz hanpatuen sina-tzaileetako batek baino gehiagok lasai asko botako zuen ge-ro «nik matematikaz ez dakit ezer», Espainiako unibertsita-te bateko errektoreak kongresu baten hasieran bota zuenmoduan. Oso garrantzitsua omen da matematika, bai, bainagero jende kultuak lotsa handirik gabe aitor dezake ezer ezdakiela hartaz. Seguru nago beste ezjakintasun batzuek lo-tsak isilaraziko zizkiotela errektore jaunari.

Honek bi kulturen eztabaidara eraman gaitzake eta ez dahori nire helburua. Besteak beste, matematikak alderdi askodituelako eta kritika guztiak ez datozelako «letretako» jen-dearen artetik.

Laguntza eske

Gaian sakon sartu aurretik egin dezagun irribarre bat.Matematikaren erabilera bitxi bat irakur dezakegu hurrengopasartean:

Geometria testuak ikustean, irakurtzea benetan merezi zue-nentz galdetzen zion bere buruari, eta liburu horietatikumore txarreko uneetan bota ohi zuen esaldi luze bat gordezuen: ‘Hipotenusa angelu zuzenaren aurreko aldea da trian-gelu errektangeluarrean’. Geroago esaldiak harridura sorta-razten zien El Idilioko biztanleei eta ahokorapilo ergela edoernegu erantzunezina bailitzan hartzen zuten.1

Luis Sepúlveda idazlearen Un viejo que leía novelas de amoreleberriko pertsonaiak erabilera bitxia aurkitu zion «hipote-nusari». Eta egia da matematikarien esaldiek aho-korapiloitxura har dezaketela askotan, baina ez da zaila ekonomianedo biologian, esaterako, El Idilioko biztanleak harrituta uz-teko moduko esaldiak aurkitzea.

ZERTARAKO MATEMATIKA?

56

Hurrengo testu zaharrak egiten duen matematikaren al-deko aldarrikapena hurbilago dago aipatu nahi ditugunarrazoietatik:

De los errores en las Matemáticas

En las matemáticas no ha podido caber depravación porser doctrinas que consisten en verdadera demostración, he-cha al sentido y experiencia, y no capaces de diversidad deopiniones y de pareceres. Pero hales caído otra desventuratan grande como ésta, si ya no es mayor, que por ser doctri-nas que no son para ganar dinero, sino para ennoblecer elentendimiento, como los que estudian tienen más ojo al inte-rés que a la verdadera doctrina, pásanse sin tocar en ellas. Dedonde viene gran daño a la república y particularmente alservicio de V. M., pues de no aprenderse matemáticas viene ahaber gran falta de ingenieros para las cosas de la guerra, depilotos para las navegaciones y de arquitectos para los edifi-cios y fortificaciones, lo cual es en gran perjuicio de la repú-blica y deservicio de la majestad real y afrenta de toda la na-ción, pues en materia de ingenios ha de ir siempre a buscar-los a las extrañas naciones, con daño grave del bien público.

Aunque las Matemáticas no tuvieran en sí, como los tie-nen, tantos y tan grandes bienes y provechos, no hicieranotro bien sino habituar los entendimientos de los hombresen buscar en las cosas la verdad firme y segura y no dejarsebambolear de la inconstancia de las opiniones, que es lo quemás destruye las doctrinas, sólo por este bien no se les habíade permitir a los hombres pasar a ningún género de cienciasin que aprendiesen primero las doctrinas matemáticas, queasí lo sintió Platón cuando puso un rótulo en la puerta de suacademia diciendo que no entrase allí el que no supiese ma-temáticas. Y así también lo sintió Aristóteles, pues en las de-más ciencias trae ejemplos de las matemáticas, lo cual él nohiciera sino presuponiendo que los mancebos deben apren-der ante todas las cosas las disciplinas matemáticas.

Este daño tan grave remediará fácilmente Vuestra Majes-tad mandando que las matemáticas se enseñen en lenguavulgar, como ya lo tiene dispuesto en la escuela que en sucorte tiene hecha para ello y haciendo decreto que en lasuniversidades y escuelas públicas ninguno sea admitido aningún género de grado sin hacer primero demostración decómo ha estudiado muy bien las disciplinas matemáticas.2

Pedro Simón Abril humanistak ikasketak berritzeko pro-posamena egin zion 1589an errege Felipe II.ari (Apunta-

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

57

mientos de cómo se deben reformar las doctrinas y la manerade enseñarlas...) eta matematikaz ari den zatia da hor doana.Alde bi ikusten dizkio interesgarri Simón Abrilek matemati-kari: balio praktikoa (gerran, nabigazioan, arkitekturan) etaburua erabiltzen erakustea. Ez dira arrazoi txikiak.

Unescoren adierazpenak matematikaren aldeko aldarrika-pena egiteko aipatzen zituen lau puntuak ere ondo etorrikozaizkigu:

• Matematikak eta haren aplikazioek funtsezko garrantziadute gaur egungo munduan zientzian, teknologian, ko-munikazioetan, ekonomian eta beste hainbat arlotan.

• Matematikak sustrai sakonak ditu kultura askotan etamilaka urtez pentsalari bikainenen garrantzi handikoekarpenek garatu dute.

• Matematikaren hizkuntza eta balioak unibertsalak dira,ezin egokiagoak nazioarteko elkarlana bultzatzeko.

• Prestakuntza matematikoa funtsezkoa da, batez ere le-hen eta bigarren mailako hezkuntzan, bai matematika-ren oinarrizko kontzeptuen ulermenerako, bai pentsae-ra razionalaren garapenerako.

Matematika bakoitzaren beharretarako

Gaur egun ez dugu geure inguruan inor aurkituko irakur-tzen eta idazten ez dakienik. Baina ezagutu ditugu gure ai-tita-amamen garaikoak, beste batek idatzitakoaren azpianhatz-marka jartzen zutenak sinadura modura. Eta entzunditugu eskutitza idazteko lagun batengana jo behar zuensoldaduarena eta abadeari eskutitza irakurtzeko eskatu be-har zion amarena. Batari idazten eta besteari irakurtzen la-guntzen ziotenek beren esku zuten hitzak hartu zituzten be-zala ematea edo nahi zuten eran aldatzea. Norberak irakur-tzen eta idazten ez jakiteak besteenganako menpetasunasortzen zuen.

Aspaldi ulertu zuen hori gizarteak mundu aurreratuan,eta aspaldiko helburua da ume guztiak eskolatik pasatu eta

ZERTARAKO MATEMATIKA?

58

alfabetatzea. Eta eskolak bertatik pasatzen denari utzi behardion ondare minimoan matematikaren oinarriak datoz le-trekin batera, eta hori, Unescoren adierazpenak zioen mo-duan, «bai matematikaren oinarrizko kontzeptuen ulerme-nerako, bai pentsaera razionalaren garapenerako». Ez da lanmakala eskolari eskatzen zaiona.

Irakurtzen jakitea ez da letrak elkarrekin josten ikasi etahitzak ondo ematea bakarrik. Hori baino gehiago ere bada:irakurritakoa ulertu egin behar da. Azken aldian, PISAtxostenaren haritik, kezka hori zabaldu da: ikasle askok ezdute ulertzen irakurritakoa. Zenbakiak ezagutu eta gero, es-kolako matematikaren lehen lana «lau erregelak» irakasteaizan da. Letrekin bezala, zenbakiekin ere, horien arteko era-giketak egiten jakiteaz gain, noiz zer egin eta zertarako ja-kin behar da. Hau da, ulertu egin behar da. Jesus Altunakbere ume garaiko Berastegiko eskolaz hauxe kontatzen digu:

Hartaz arduratzen zen maisua kanpora bidali zuten eta kan-potik euskararik batere ez zekien beste bat iritsi zitzaigun. Lauerregelak, orduan ohi zenez, kantatzen ikasi genituen, bainamatematikako problemetan sartzean hasi ziren arazoak.

Ulertzen ez genuen testu batean, bi zenbaki ikusten geni-tuen. Lehenbizi batu egiten genituen. Maisuaren mahairahurbildu eta hark «bien» edo «mal» esaten zigun. Bietarikolehena bazen, kontent itzultzen ginen, ongi egin bagenu be-zala, hura asmatze hutsa besterik ez zelarik. «Mal» esaten ba-zigun, negarrez itzultzen ginen, gure artean esaten genuela:«Erresta in beharko yu». Zenbaki handiari txikia kentzen ge-nion, eta berriro zoria aldekoa ote genuen probatzera. «Mal»hura, hala bazegokion, gogorragoa zen. «Multiplicar izangodek», eta oroitzen naiz «multiplicar» hitza astiro esaten ge-nuela, berria baitzen guretzat, eta hura ahoskatzeko kontuzibili beharra zegoen. Horrela ere ez izatera, haserre itzultzenginen esaten genuela: «Maixu bizar aundi onekin etzeok as-matzeik. Dibidir dek». Batzuetan aurrenekoan asmatzen ge-nuen, bestetan bigarrenean edo are laugarrenean ere.3

Berastegiko eskolako ume euskaldunek testua ulertu ezeta bi zenbaki ikusita eragiketak egiten hasten ziren mai-suaren onespena izan arte. «Lau erregelak» jakin arren, zen-bat ikasle ez da orain ere gelditzen zer egin ez dakiela pro-

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

59

blema baten aurrean? Ulertzeko arazoak ez baitatoz hizkun-tza aldetik bakarrik... Baten batek uste izango du eskoladenborara mugatzen den arazoa dela, irakasleak eskatzendituen ariketa horiek nola edo hala gainditu eta gero, bizi-tzak ez diola berriro halakorik eskatuko.

Desagertu dira gure kaleetatik kontuak eskuz eta papermuturretan egiten zituzten dendariak. Tabernariek ere gu-txitan esaten digute zenbat ordaindu behar dugun makina-ri kontua egiteko eskatu gabe. Eta makinak zintzo erantzu-ten die, bueltarako zenbat eman behar diguten ere. Gainera,denok sinesten omen dugu makinak dioena; ikusi duzuenorbait supermerkatuko kontua berregiten eta egiaztatzen?Baten batek lau erregelen beharra bera ere zalantzan jarrikodu agian.

Bai, makina batek egin ditzake kalkuluak gure ordez,okertu barik eta arinago, baina esan behar diogu zer nahidugun egin dezan. Bizitzan baditugu kalkuluak eskatzen di-tuzten egoerak, onerako edo txarrerako diruari lotuta gehien-bat. Telefonoaren, uraren eta argiaren fakturak, prezio batiBEZa gehitzea edo kentzea, komisioen kalkulua, eta abar,izan daitezke errazenetakoak. Errenta-aitorpena egitea apurbat zailagoa da. Beste kasu batzuetan hainbat faktore kon-tuan hartuz konparazioak egin behar dira. Adibidez, telefo-no-konpainiek eskaintzen dituzten produktuen artean edobankuek hipoteketarako jartzen dituzten baldintzen artean.Guztiz ezjakinak bagara eta beste bati laguntza eskatu beharbadiogu, hor dago menpetasuna berriro, oharkabean pasa-tzen bazaigu ere. Ez dut esaten aholkua eskatzea txarra de-nik, baizik eta aholkuaren zergatia ulertzeko eta eztabaida-tzeko gauza izan beharko genukeela, eta horretarako zen-baki artean moldatzen jakin beharko dugula.

Bestalde, garai modernoek informazio-gizartera sartu gai-tuzte. Zenbakiek inguratzen gaituzte, behar denean eta be-har ez denean. Kirola, politika, zer esanik ez ekonomia, zen-bakien bidez ematen digute dena. Egunkaria zabaldu etaerraz topatuko ditugu zenbakiak dakartzaten berriak, noi-

ZERTARAKO MATEMATIKA?

60

zean behin taulak eta grafikoak lagun dituztela. Ez dirudipertsona eskolatuari asko eskatzea denik prestatuta egoteaegunkaria irakurtzen duenean deseroso ez sentitzeko. Lauerregela soiletik harantzago, informazioan estatistika etaprobabilitatea sar daitezke datuen tratamendurako. Gehie-netan horien erabilera arruntak oztopo matematiko gutxidu eta eskarmentua eta sen ona aski izan daitezke.

Hauteskunde batzuk joan berri dira eta ez da asko faltakobeste batzuk etortzeko. Politikariek beren mezuetan, txoste-netan, kanpainetan, zenbakiak dantzan jartzen dituzte,haiek dena argitzen dutelakoan. Edo iluntzen, batek daki.Hauteskunde aurretik iritzi-azterketak, ondoren emaitzeninterpretazioa, galdu duena irabazle, irabazi duena galtzaileagerrarazi nahi, zenbakien dantza interesatuak ezin dirabesterik gabe sinetsi, interpretatu egin behar ditugu, bainageuk, ez beste batek.

«Zenbakiek eta estatistikek interpretazioa eskatzen dutebeti» da, hain zuzen ere, John Allen Paulos-ek dioena ZIObildumak euskaraz argitaratu duen Zenbakirik gabe bizi li-buruan4. Haren moduan beste batzuk ere saiatu dira mezubera ailegarazten, hau da, analfabetismo matematikoa ozto-poa dela informazioaren munduan eroso sentitzeko. Mate-matikaren erabilera okerretik ondorio faltsuak atera daitez-ke, edo informazio okerra helarazi hartzaileari. Batzuetanintentzio txarrik gabe, beste batzuetan engainatzeko asmoz.

Kirola ezin hobea da zenbakiak dantzan jartzeko. Adibidez,futbol-liga amaitzear denean behin eta berriro agertzen da«matematikoki» hitza kirol-informazioan. Halako taldea«matematikoki bigarren mailara jaitsi da», beste hura «ez daoraindik txapeldun matematikoki». Matematika da epaileeta berak erabakitzen du talde bat bigarren mailara doanedo ez (nahiko lukete askok matematikari errua bota eta eztaldeko jokalariei!). Matematika gutxi —batuketak eta ken-ketak gehienez ere— daude «matematikoki» horren atzeaneta terminoa halabeharrarekin lotzen da: gertatzen denagertatzen dela ere, taldea jaistearena edo txapeldun izateare-

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

61

na erabakita dagoela. Beste kontu larriago bat da —mate-matikatik ikusita— partida gutxiren faltan egunkariek aur-keztu ohi dituzten probabilitate-kalkuluak: A taldeak biga-rren mailara jaisteko edo B taldeak txapeldun izateko dituz-ten probabilitateak ematen dizkigute, itxura matematikozeta zenbaki ugarien ondotik. Kalkulu horiek jatorrizko be-katu bat dute: partida bakoitzerako hiru gertaera onartu(irabazi-berdindu-galdu) eta bakoitzari 1/3 probabilitateaesleitzen zaio. Ez da asko pentsatu behar ulertzeko hiru ger-taera horiek ez direla probabilitate berekoak5, baina kazeta-riari orrialdea betetzeko balio dion bitartean...

Azken probabilitate-kalkulu horren antzera, komunikabi-deetan erabiltzen den matematika aipatzean akatsak erakus-ten ditugu askotan adibide gisa. Eman dezake kazetariaktxarto ezkontzen direla matematikarekin eta zenbakien mun-duan sartzean beti oker dabiltzala. Egia da begi kritikoaren-tzat notizia ez dagoela ondo emandako informazioan, txartoemandakoan baino (ez zen horren antzekoa kazetaritzarenlege bat?), baina okerrak nahi baino gehiagotan ageri dira.Eta ez da seinale ona, izan ere, Joxerra Garziak bere ikasleeiburuz kontatzen duena6, kontuan izanda ikasle horiek EHUkoGizarte eta Komunikazio Zientzien Fakultatekoak direla:

Aiton-amona gehienak ordenagailuarekin nola, halatsu mol-datzen dira unibertsitateko nire ikasleak zenbaki eta eragike-ta matematikoekin.

Egia esan, ehunekoak ateratzera mugatzen da nik ematendudan ikasgaian erabili beharreko matematika, baina halaere. Beren burua zuritzeko, honako aitzakia hau erabiltzendute:

— Letrazkoak gara gu.Behin, bi kopuru elkarrekin alderatzen ari ginela, bata

bestearen %300a zela jakinarazi nien. Barrez hasi zitzaizki-dan ikasleak:

— Hori ez da posible. Ehunekoak ezin du ehun bainohandiago izan.

«Letrazkoa» izatea ehunekoekin okerrak egiteko aitzakiabada, alferrik etorkizuneko berri-emaileek zenbakiekin zo-rrotzago jokatuko dutelako esperantza.

ZERTARAKO MATEMATIKA?

62

Joan den abenduan Espainiako ekonomia-egunkari batekburtsako zenbait balorek urtean zehar izandako galerak az-tertu zituen. Ez dakit Joxerraren ikasle ohia izango zen ka-zetaria baina bistan da ondo ikasi zuela ehunekoa 100 bai-no handiago izan daitekeela: galerarik handiena %1315ekoazen, bigarren galerarik handiena %639koa, eta beste hamai-ru baloreren galerak ziren %100etik gorakoak. Irakurleakegin dezala bere kontua: 75 euroko maximotik hasita %1315galdu omen zuen balore hura, zenbatean gelditu zen? Kaze-tariak ez omen zekien 20tik 100era igotzea %400 irabazteadela, baina 100etik 20ra jaistean %80 galtzen dela eta ez%400. Galeran bai, ehunekoa ezin da 100 baino handiagoizan!

Adibideekin luzatzen ibili gabe, beste bat bakarrik ekarri-ko dut hona, duela gutxi egunkarian irakurria. Titularrakhonela zioen: «Katalan gehienek bozkatuko lukete Espainia-tik bereiztearen alde». Inkesta baten emaitzatik ateratakoondorioa zen eta testua irakurrita jakingo genuen galdetuta-koen %36,5 egongo liratekeela independentziarekin ados.Aurka gutxiago ziren, egia da, baina ez du horrek katalanenheren bat «katalan gehienak» bihurtzen.

Simón Abrilen iritziz, matematikak dakartzan onuren ar-tean «habituar los entendimientos de los hombres en buscaren las cosas la verdad firme y segura» dago. Honela itzul de-zakegu gaurko egoerara: zorroztasunez jokatzen jakin eta,Allen Paulosen aholkuari jarraituz, zenbakiak interpretatueta norberaren ondorioak ateratzeko gauza izan. Bide batez,jarrera hori jendearen artean zabalduko balitz, ez lukete sa-sizientziek arrakasta handirik izango.

Matematika denon onerako

Baliteke irakurleak ez behar izatea horren azalpen luzeaoinarrizko matematikaren probetxua onartzeko. Jakingo duziur aski matematikak hori baino askoz eremu zabalagoahartzen duela eta gogoratuko ditu, haietatik pasatu bada,

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

63

polinomio, deribatu, integral, eta batek daki beste zenbattermino, matematikarien jostailu, ikasleen buruhauste,mundu errealarekin zerikusirik ez dutenak. Edo bai?

Greziarrek matematika baliatu zuten zeruak eta Lurradeskribatzeko. Keopsen piramide handiaren garaiera ezagu-tzeko edo planeten ibilbideak emateko, matematika izan zu-ten lagun. Lehen problemak arazo gutxi du, baina bigarre-nerako oso sistema sofistikatua landu zuen Ptolomeok bereunibertso geozentrikoak behartuta. Matematikaren erabile-ra praktikoaren adibide bi baino ez dira, askoren artean.

Hamalau mende geroago, zientzia modernoaren sortzaileizan zen Galileo Galileik matematika ezinbestekoa ikusizuen unibertsoa ulertzeko:

Filosofia gure begien aurrean beti zabalik dagoen liburu ho-rretan dago idatzita —unibertsoan, alegia—; ezin da ulertu,ordea, aurretik haren hizkuntza ikasi eta idatzita dagoen al-fabetoa ezagutzen ez bada. Eta matematikaren hizkeran da-go idatzita, karaktereak triangeluak, zirkuluak eta beste iru-di geometrikoak izanik, horiek barik berba bat bera ere uler-tzea ezinezkoa gertatzen da; horiek barik labirinto ilun bate-tik noraezean ibiltzea baino ez da lortzen.7

Galileo hil zen urte berean (1642) jaio zen Isaac Newton,eta Galileok amestu ere ezin zezakeen zentzua eman zienNewtonek haren hitzei. Galileok matematika unibertsoa des-kribatzeko behar bazuen, Newtonek unibertsoa azaltzekoeginkizuna eman zion. Ez da alde txikia. Hori ahalbidetze-ko mekanikaren eta grabitazio unibertsalaren legeak emanzituen eta ekuazio diferentzial bihurtu zituen higiduren des-kripzioak. Ekuazioak eta horiek ebazteko metodoak ez zeu-den artean matematikaren eskura eta hor ere Newtonen ekar-pena dugu: kalkulu infinitesimala sortu zuen, Leibnizekinkonpartitu behar duen ohorea. Hazia jarrita, hurrengo men-deetan etengabeko garapena etorri zen eta gaur egun nekezuler daitezke fisika eta beste zientzia esperimentalak eredumatematikorik gabe.

Horra non mundu errealaren estudioa ez izan arren mate-matikaren helburua, ezinbesteko laguntza suertatu zen har-

ZERTARAKO MATEMATIKA?

64

taz ari diren zientzietarako. Eugene Wigner fisikariak azal-du zuenez,

matematikak naturaren zientzietan duen izugarrizko erabil-garritasuna misterioaren mugan dago eta ez du azalpen ra-zionalik. [...] Matematikaren hizkera fisikaren legeen formu-lazioetara egokitzearen miraria opari liluragarria da, ez du-gu ulertzen eta ez dugu merezi.8

Matematika fenomenoak deskribatzetik aurresatera pasa-tu zen. Gertaera baten eboluzioaren eredu matematikoa daekuazioa eta hura ebaztean dakigu zer gertatuko den. Ho-rrela erabaki zezaketen adituek, esate baterako, zein bideegin behar zuen Galileo zundak Lurretik irten eta handiksei urtera Jupiterrera ailegatzeko. Eta ez ziren okertu, esan-dako egunean han zegoen, Jupiterren alboan.

Ikuspegi berri hark unibertsoa eta natura ulertzeko alda-keta sakona ekarri zuen. Fenomenoa gobernatzen duen ekua-zioa edo ekuazio-sistema aurkitu eta matematikaren bidezaztertzeak ez zuen eztabaida filosofikoarekin zerikusirik.Elektrizitateari eta magnetismoari buruzko berba merkeakalferrekoak ziren Maxwellen ekuazioen alboan. Metodo al-daketa horretan kokatzen dute batzuek «bi kulturen» artekoaldentzea, filosofoek arlo teknikoan sartzeari uko egin bai-tzioten.

Zientzia esperimentalen arloan analisi matematikoarenbeharra ukaezina da apur bat arakatuz gero. Baina gauregungo mundu teknologikoan matematikaren beste zenbaitataletara hedatu da erabilgarritasuna, ez dira bakarrik ekua-zio diferentzialak agertzen. Adibide asko ekar daitezkeenarren, bereziki gustukoa dudan bat aipatuko dut hemen.

1917an Johann Radon-ek, Vienan lan egiten zuen matema-tikari bohemiarrak, teorema hau frogatu zuen: planoan defi-nituriko funtzio bat erabat berreskuratzen da lerro zuzen guz-tien gainean egindako integralen bitartez. Eta berreskuratze-ko formula (bat) eman zuen. Iluna izango da Radonen baiez-tapen hori kontzeptuak ulertzen ez dituen irakurlearentzat.Adibide batekin saiatuko naiz azaltzen zer esan nahi duen.

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

65

Eman dezagun multzo bat dugula planoan eta zenbait zu-lo dituela barrualdean, irudian ikusten den bezala. Guk pa-perari kanpotik begiratzen diogunez, zuloak non dauden etazelakoak diren ikusten ditugu. Paperetik irten ezin den inu-rri batek, kanpoko muga zeharkatu ezean, zelan jakin deza-ke zuloak daudela? Zelan haien forma eta kokalekua? Egindezagun lerro zuzen bat eta neurtu dezagun multzoa ebaki-tzean ematen duen luzera (ez ahaztu zuloetan ebakitakoa ezdela kontuan hartzen); gero gauza bera egingo dugu bestezuzen guztiekin. Radonen teoremaren arabera, luzera horienguztien zerrenda ezagutuz gero, barruko zuloen forma etakokalekua erabat zehaztuta daude. Radonen emaitza teori-koa da eta ez zion berak aplikazio praktikorik ikusi —ez di-rudi inurriek arazo horiekin kezkatuta egon behar dutenikbehintzat—.

Berrogei urte geroago Allan Cormack fisikari hegoafrika-rra Lurmutur Hiriko ospitale batean ari zen lanean, erra-diologia sailean. Han konturatu zen X izpiek ibilbide bategiterakoan zeharkatutako materialaren dentsitatearen ara-bera galtzen dutela intentsitatea eta ibilbideko puntu birenarteko intentsitate-galerak dentsitatearen integrala ematenduela formula erraz baten bidez. Izan zezakeen horrek apli-kaziorik erradiologian? Cormackek bide bat ikusi zuen.

ZERTARAKO MATEMATIKA?

66

Eman dezagun pertsona baten bekokitik pasatzen denplano birtual batek burua ebakitzen diola. Burua benetanebaki ezean —eta ahal dela hobe ez egin—, guk sekzioarenmuga ikusten dugu, inguruan duen lerroa, lehenago aipatudugun inurri haren moduan. Eta medikuari barrukoa inte-resatzen zaio. Cormacken ideia ederra hau izan zen: X iz-piak norabide askotatik pasarazi, sarreran eta irteeran in-tentsitatea neurtu, datu horiekin dentsitatearen integralaklortu hainbat lerro zuzenen gainean eta integralekin dentsi-tatea ematen duen funtzioa berreskuratu. Radonen teore-mak bermatzen zuen bidea baina Cormackek askoz beran-duago ezagutu zuen teorema hori eta bere kabuz aritu zenproblema matematikoa ebazten. Radonen teorema munduerrealean aplikatzeko bide bat amestu zuen Cormackek bai-na artean teoria besterik ez zen.

Godfrey Hounsfield ingeniari ingelesak EMI (Electrical andMusical Instruments) etxean egiten zuen lan. Cormacken la-na ezagutu gabe, berari ere bururatu zitzaion antzeko apli-kazio bat eta, teoriatik harantzago joanez, 1968an ordena-dore bidezko tomografia (eskanerra) burutzeko gauza izan-go zen lehen makinaren patentea aurkeztu zuen. Tresna ho-rrek posible egin zuen Cormackek amestutako aplikazioa.Lehen makina EMI enpresan eraiki zuten 1971n eta askoetorri dira haren ondotik. Orain, halako batean sartu eta ba-rrutik «ikusten» gaituzte. Zuzenago esateko, gure barrualdea-ren irudi bat eraikitzen dute9. Medikuntza eta FisiologiakoNobel saria irabazi zuten Cormackek eta Hounsfieldek1979an.

Matematika, fisika eta teknologia, denak behar dira ho-rrelako tresna bat asmatzeko. Ipuina horrela kontatuta ema-ten du matematikariak ideia abstraktu bat duela, mundutikhurbilago bizi den fisikariak aplikazioa asmatzen diola etabenetako munduan bizi den ingeniariak horrekin guztiare-kin makina bat sortzen duela. Hori izan daiteke gertaerenordena, edo beste bat. Batzuetan aplikazioak inori bururatuez zaion problema batekin egiten du topo eta horren ondo-

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

67

rioz sortzen da azterketa matematikoa. Hau da, ikerketa eli-katzen duen bideetako bat aplikazioa da.

Aurreko mendeko 70eko hamarkadan lehen eskanerraegin eta gero, bidea amaitu ordez hasi egin zen. Ordutik ho-na izugarri hedatu da irudi medikoak lortzeko ahalegina,eskanerrak aldatu egin dira eta metodo berriak sortu10. Etaahalegin horretan berriro behar da matematikaren ekarpe-na. Oso argi adierazten du ideia hori hurrengo testuak:

Matematikari puru batzuen uste okerra da Radonen inber-tsio-formula dela erantzun osoa berreraiketa tomografikoa-ren problemarako, eta ezer gutxi gelditzen dela egiteko. Ai-tzitik, lana hasi baino ez dela egin esaten badugu ez da ezus-tekorik izango matematikari aplikatu gehienentzat.11

Besteak beste, matematika abstraktuak mundu errealerajaisteko egokitze bat behar duelako. Radonen teoremak infi-nitu datu behar ditu eta mundu errealak datu kopuru finitubat eman diezaioke. Matematikak asmatu beharko du datufinituekin lan egiten, emaitza hurbilduak lortzen eta bizitzaerrealerako balio duen informazioa ematen. Wigner fisika-riaren hitzak parafraseatuz, miraria da zer ondo egokitu den.

Newtonekin iraultza bat etorri bazen matematika aplika-tura, beste iraultza bat ordenadoreak ekarri zuen, duela be-rrogeita hamar urte inguru. Mundu errealeko matematikakbehar dituen kalkulu hurbilduak izugarri handiak izan dai-tezke eta ezin daiteke pentsatu ere hori guztia eskuz buru-tzea. Eskanerra egiteko makina ezinezkoa izango zen orde-nadorerik gabe. Arazoa ez da bakarrik milioika kalkulu egi-tearena, horretarako behar den denbora ere funtsezkoa ger-ta daiteke. Esate baterako, eguraldia iragartzeko erabiltzenden datu-kopurua itzel handia da eta eboluzioa aztertzekoerabiltzen diren eredu matematikoek lan ikaragarria eska-tzen dute. Garrantzitsua da ordenadoreek lan hori oso arinegitea, alferrik izango baitzen biharko eguraldiaren pronos-tikoa etzi etorriko balitz.

Gaurko mundu teknologikoak oinarri matematikoak ditu.Eskuko telefonoa, CDen erroreak zuzentzeko kodeak, GPSa,

ZERTARAKO MATEMATIKA?

68

MP4a, interneten bidezko erosketa segurua, Googleren bila-keta, denek dute matematika atzean. Produktu teknologikoaingeniariekin lotzen badugu ere, hura asmatzeko, diseinatze-ko, hobetzeko, oinarri zientifiko batzuk behar dira, matema-tika barne.

Guztion onurarako, batzuek prestakuntza matematiko sa-kona behar dute, zientzia eta teknologiaren eremuetan aritze-ko. Simón Abrilek Felipe II.ari esaten zizkionak gogoratuz,hemen ez badugu matematika (zientzia) dakien jendea pres-tatzen, behar dugunean kanpora joan beharko dugu bila.

Matematika espirituaren ohorerako

Greziarrek sortu zuten matematika etengabe handituz joanda, astiroago garai batzuetan, askoz arinago azken hiru men-deetan. Jende askoren ustearen aurka, matematika ez da egin-da dagoen zerbait, egiten ari den zerbait baizik. Egia da, ha-la ere, baduela «betikotasun» bat eta zirkuluaren koadratu-ra ezinezkoa bazen duela ehun urte, ezinezkoa izango delabeti. Baina kontzeptuak sortu egiten dira, erlazioak asmatu,egiturak egokitu, eta arrazoibide berriak ekarri. Horrek guz-tiak kultur ondare handia utzi du, egunetik egunera handi-tuz doana.

Asko da aplikazioetan erabiltzen den matematika, baina as-koz gehiago oraindik matematikaren baitan mantentzen de-na, inolako aplikazio praktikorik gabe. 1830ean Jacobi mate-matikari alemaniarrak hau idatzi zion Legendre frantsesari:

Egia da Fourier jaunak uste zuela matematikaren helburunagusia erabilera publikoa eta naturaren fenomenoen azal-pena dela, baina haren moduko filosofo batek jakin beharkozuen zientziaren helburu bakarra giza espirituaren ohoreadela eta, horren izenean, zenbakiei buruzko gai batek mun-duaren sistemari buruzko beste batek adina balio duela.

Giza espirituaren ohore horrek laburbildu du matematikapuruaren helburua. Zientziaren aurrerapena galderak egi-tetik eta erantzutetik dator. Aplikazioen beharrak galderak

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

69

ekartzen dizkio matematikari, aipatu dugunez, baina asko-tan galderak bere baitatik sortzen ditu matematikak etaerantzunek ez dute inolako helburu praktikorik. Galdetumatematikari askori zergatik ebatzi nahi duten esku arteandarabilten problema eta «hor dagoelako» erantzungo dute,George Mallory mendizaleak erantzun omen zuen moduan1920ko hamarkadan Everest mendiaren igoerarekin zerga-tik tematu zen galdetu ziotenean.

Matematikaren objektuak abstraktuak direnez, kanpotikikusten duenarentzat ulertezina da askotan ahalegin hori.Ez dut uste beste ikerlari batzuen motibaziotik asko alden-tzen den jarrera denik, egia esateko. Jakin-mina dago galde-ra zientifiko askoren atzean, matematikakoak izan zein bes-te zientzietakoak, eta zientzialariak ez du beste arrazoi batenbeharrik buruan bueltaka darabilkion galderari erantzunabilatu nahi hori justifikatzeko. Beste gauza bat da kalekojendeari, artikulu honen irakurleari, kasurako, hori nahikoairuditzen zaion.

Mendeetan zehar matematikak kulturari atal handi batgehitu dio. Eta kultura deitu ohi dugun beste edozein arlokadina balio du. Egia da matematikaren irakaskuntzak berakahazten duela askotan matematikaren izaera dinamiko ho-ri, eta betidanik hor dagoen eta betiko hor egongo den al-txor modura aurkezten dela. Horregatik agian Arkimedes,Fermat, Newton, Euler, Gauss, Cauchy, Riemann, Poincaréedo Hilbert, izen ezezagunak dira askorentzat, nahiz etaBrahmsek, Bachek, Mozartek eta Beethovenek bezainbeste-ko ekarpena egin dioten gizateriari. Horiek eta beste askoagertzen dira ZIO bildumako Loroaren teorema eleberrian.Bertan Denis Guedj matematikari frantsesak istorio bat as-matu du, matematikaren kultur ibilbidea —emaitzak etapertsonaiak— agertarazteko.

Zaila zaio gaurko matematika puruari komunikabideenarreta bereganatzea. Gailurra Fermaten azken teoremarenfrogapenak lortu zuen, 1994an. Egunkarien lehen orrialdee-tan agertu zen eta irrati eta telebistetan ere egin zioten le-

ZERTARAKO MATEMATIKA?

70

kua. Gero liburuak agertu ziren, dokumental bat telebistara-ko, bai eta musikal bat ere (Fermat’s last tango). Enuntziatuaerraza da azaltzen, baina hortik aurrerakoa oso teknikoa da.Alderdi tekniko guztia adituentzat utzi eta teorema osoafrogatzeraino heldu zen 350 urteko ibilbidea azaldu zengehienbat. Ez da gutxi, hor ikusten baita hainbat pertsonenborroka, giza espirituaren ohorearen alde. Hori bakarrikdugu, beraz? Ez du gehiagorako balio? Aplikazio praktikoezari bagara, ez, eta baliteke inoiz ez erabiltzea matematikatikkanpo, baina artelan ederra da, zinez.

Etengabe sortzen dira emaitzak matematikan, eta gerozeta orrialde gehiago betetzen dituzte aldizkari espezializa-tuetan. Horietatik gutxi izango dira «historiarako» gelditu-ko direnak, Fermaten teoremaren froga hori geldituko denmoduan. Egon badaude, hala ere.

Gustatuko litzaidake emaitza moderno garrantzitsu bataurkeztea. Zaila da, ur sakonetan sartu gabe, eta zenbaki le-henen laguntzarekin saiatuko naiz, oinarrizko kontzeptuadelakoan. Gogora ekarriko dut zenbaki bat lehena dela txi-kiagoen biderkadura modura lortu ezin bada (adibidez, 13lehena da, baina ez 28, hau 4 bider 7 eginez lortzen baita).Duela hogeita lau mendetik hona ezagutzen da zenbaki le-henen zerrenda infinitua dela. Euklidesen Elementuak libu-ruak dakar hori, zenbaki lehenen beste hainbat propietate-rekin batera, baina gaur arte aurreratu den guztiarekin ereurrun gaude zerrendaren propietate guztiak ulertzetik. PaulErdös matematikari hungariarrak honela adierazi zuen:«Milioi bat urte joango dira, gutxienez, zenbaki lehenakulertu baino lehen».

Joko bat dirudien galdera egingo diot irakurleari: aurkituzenbaki lehenen progresio aritmetikoak. (Zenbaki segidabat progresio aritmetikoa da bakoitzetik hurrengora dagoenaldea beti berdina bada.) Hiru gaiko progresioak erraz aur-kitzen dira: 3, 5 eta 7, adibidez; bost gaiko bat ere badagozenbaki txikien artean: 5, 11, 17, 23 eta 29. Pazientzia beharda, eta agian zerbait gehiago, seiko bat aurkitzeko. Matema-

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

71

tikariarentzat galdera konturatu gabe dator: nahi bezain lu-zeak izan daitezke zenbaki lehenen progresio aritmetikoak?Hots, aukeratu zenbaki bat, 65, adibidez; egon daitezke 65zenbaki lehen progresio aritmetikoan?

Zenbaki lehenen taula, pazientzia asko eta ordenadore bathartuta beharbada, halako zerrenda bat aurkituko duzulauste izango duzu agian. Bada, gal dezakezu esperantza,inork ez baitu horren progresio luzerik ezagutzen. Badaki-gu, hala ere, egon badaudela. Ordenadoreen nahitaezko la-guntzaz hogeita lau gaiko progresioak lortu dira zenbaki le-henen artean, hamasei zifrako zenbaki batean hasita! Luzea-goak ere egon badaudela esan dut, zergatik? Duela lau urtebi matematikari gaztek, Ben Green britainiarrak eta TerryTao australiarrak, hala dela erakutsi zutelako: zenbaki lehe-nen artean nahi ditugun besteko luzera duten progresioaritmetikoak daude. Haien frogak existentzia ematen dubaina ez eraikibiderik. Badakigu beraz 65 gaiko progresioakdaudela zenbaki lehenen zerrendan, baina ez dugu bat ereezagutzen. Oso teorema ederra iruditzen zait neuri. Balite-ke irakurlearengan ez sortzea aparteko zirrararik, noski.

Zertarako balio du Green eta Taoren teoremak? Berriroere «giza espirituaren ohorerako» esan beharko dugu, Jaco-birekin batera. Etorkizunak ekar diezaioke aplikazioren bat?Teoremak duen alderik ederrenari ez dut uste. Orain imaji-natu ezin dugun zirrikituren batetik zenbaki lehenen pro-gresioei aplikazioak aurkitzen bazaizkie ere, progresio zeha-tzei emango lieke eta ez existentziazko teorema bati. Aplika-zio faltak ez dio artelanari inongo baliorik kentzen, jakina.

Matematikak ez du denetarako balio

Zenbait zientziatan matematikak izan zuen arrakasta kon-tuan izanik, beste batzuek ere hara jo zuten. Orain edozeinprodukturen onurak edo merituak aldarrikatzeko erabiltzenden «zientifikoki frogatua» leloaren antzera, «matematikokibermatua» labela nahi izaten dute batzuek beren lanetarako,

ZERTARAKO MATEMATIKA?

72

horrek automatikoki onespena dakarrelakoan. Baina bistanda ezin daitekeela gauza bera izan eguraldiaren pronostikoaegitea edo burtsarena. Euria egingo duela esateak ez du at-mosferan eraginik; burtsa jaitsiko dela esateak bai eraginliezaioke bilakaerari, inbertsoreek horren arabera estrategiaberriak planteatuko lituzketelako. Pertsonek hartu behar di-tuzten erabakiak tarteko izanik, gizarte zientzietan matema-tika erabiltzen bada, «interpretazioa behar du beti», AllenPaulosen abisua errepikatuz.

Aspaldi hasi zen matematika ekonomian agertzen. XIX.mendeko Stanley Jevons ekonomilariak hau idatzi zuen:«argi dago ekonomiak, benetan zientzia izango bada, zien-tzia matematikoa izan behar duela». Eta XX. mendearen bi-garren zatiko garapenaren ondoren, gaur egun asko erabil-tzen da matematika ekonomian, goi-mailako matematikabarne. (Esan dezadan, bidenabar, ez dagoela MatematikakoNobel saririk, baina badaudela zenbait matematikari Nobelsaridunen artean, Ekonomiako saria irabazita gehienak.)Tentuz ibili behar bada ez da eredu matematikoak emaitzaokerrak eman ditzakeelako, ereduari esanarazi nahi zaionaoker egon daitekeelako baizik. Esate baterako, estatistikaerabiltzen badugu bizi-kalitatea neurtzeko, horretarako di-seinatzen dugun estudioaren arabera izango dira emaitzakesanguratsuak edo ez, matematikaren ardura kalkuluak on-do egitera mugatzen da. Ekonomialarien artean ere aurkidezakegu zuhurtasun eske dabilenik:

Fama handiko ekonomialari eta nazioarteko analista PaulKrugman estatubatuarrak dioen bezala, ekonomiari buruz-ko aldizkarietan gehiegizko matematika saioa dago, izan ereelaborazio matematikoa «ideia hutsal bat mozorrotzeko mo-du tradizional bat da»; are gehiago, «izen oneko ekonomia-laria izanik, erabat gai naiz inork uler ez ditzakeen gauzakidazteko», dio bere ohiko ironiaz.12

Ez dezala inork ulertu giza- eta gizarte-zientzietan mate-matika ezin erabil daitekeenik. Asko erabiltzen da, geroz etagehiago, bai eta ondo erabili ere sarritan. Ez beti, ordea, etahori da Krugmanekin salatzen duguna.

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

73

Egia da matematika-mozorroz janzten direla zenbait lan?Bai, noski. Ez matematikaz bakarrik, beste zientzia batzue-tako kontzeptuak ere erabiltzen dira zientifikoa ez den zer-baiti itxura emateko. Oso ezaguna egin zen Sokal afera etamerezi du haren ondotik etorri zen Impostures intelectuellesliburua irakurtzea, Paul Krugmanen mehatxua («gai naizinork uler ez ditzakeen gauzak idazteko») praktikatu dutenzenbait filosofo agerian uzten baititu. Ez dute horregatikhoriek aitortuko zientziaren ukitua mozorro hutsa denik,noski.

Adibide bat Berria egunkarian agertu zen duela urte ba-tzuk. Danièle Moatti-Gornet filosofo frantsesak Qu’est-cequ’une femme? (L’Harmattan, 1999) liburuan hau egin omenzuen:

teoria ontologikoa garatu du matematikaren laguntzaz, bai-na Lacanen kategorien matematikari kontrajarriz, Cantor-enteoria conjuntista erabili du [...].

Emakumearen numerizitateaz mintzatu zaigu (1 edo desi-ratu, ∞ edo erabaki eta -∞ jakitea erabaki) [...] liburu hone-tan plazera infinitu destotalizatua da (Dedekind-en defini-zioaren arabera) [...] -∞ sinboloa, azkenik, jakituriaren etaarriskuaren sinboloa da [...].13

Zailena ez da hori idaztea —gogoratu Krugmanen meha-txua berriro—, hor zentzuzko zerbait atzematea da benetanzaila, Cantorren multzo-teoria eta Dedekinden infinituareninguruko lanak ezagutu zein ez.

Azken hitza

Matematika zertarako den galderari erantzuten saiatunaiz. Askotarikoa da eta batzuetan beharrak, beste batzue-tan jakin-minak ematen diote zentzua matematikari. Aipa-turiko arrazoiak laburbilduz lau puntu hauek azpimarratu-ko nituzke:

1. Gaurko gizartean bizitzeko oinarrizko matematika nahi-taezkoa da. Esaldiari buelta emanez, oinarrizko mate-

ZERTARAKO MATEMATIKA?

74

matika da gaurko gizartean bizitzeko behar dena. Derri-gorrezko hezkuntza amaitzean ikasle guztiei eskatu be-harko litzaieken maila minimoa da.

2. Maila minimoa izateak ez du esan nahi hortik gorakoprestakuntza eskaini behar ez denik. Ikasle multzo batekaise gainditu beharko luke maila minimo hori eta pres-takuntza sakonagoa hartu, geroz eta arlo gehiagotan era-biltzen baita matematika, zientzia eta teknologian batezere. Gazteen aukeretan beheranzko joera duten karrerakizan arren, beharrezkoak dira gizartearen aurrerapene-rako, eta eskolatik hasten da hori bideratzen.

3. Batzuk ofizioz eta beste batzuk afizioz atseginez aritukodira matematikak eraiki duen mundu abstraktuan, hel-buru praktikoaren ardurarik gabe.

4. Matematika baliatzean zintzotasunez jokatu, ez erabili al-ferrik, eta are gutxiago «ideia hutsal bat mozorrotzeko».¶

ZIENTZIAREN DIBULGAZIOA JAVIER DUOANDIKOETXEA

75

1. Euskarazko edizioa: Luis Sepúlveda, Maitasun elaberriak irakurtzen zi-tuen agurea, Txalaparta, 1997; itzultzailea: Ane Santos Elorza. Edizio ho-rretatik dago hartuta testuko itzulpena.

2. P. Simón Abril, Apuntamientos de cómo se deben reformar las doctrinas yla manera de enseñarlas para reducirlas a su antigua entereza y perfección;de que con la malicia del tiempo y con el demasiado deseo de llegar loshombres presto a tomar las insignias de ellas han caído, hechos al Rey Nues-tro Señor por el doctor Pedro Simón Abril, 1589. Argitalpen berri batera-ko, ikus P. Simón Abril, Textos de Humanismo y Didáctica, Clásicos Alba-cetenses, 6, Diputación de Albacete, 1988. Beste aldaketa batzuen artean,eskolak gaztelaniaz («en lengua vulgar») ematearen alde zegoen; harenustez, irakaskuntza latinez ematea, ikasleek latina ondo jakin gabe, kalte-garria zen.

3. Jesus Altuna, «Historiaurrea», in Euskal Curriculuma. Adituen Ekarpena,Ikastolen Konfederazioa, 2004, 540. or.

4. Jatorrizko izenburua Innumeracy du, analfabetismorako ingelesez erabil-tzen den «illiteracy»-ren erara moldaturiko berba. Horrek letra-gabeziaadierazten badu, hark zenbaki-gabezia adierazi nahi du.

5. Pilota-partidetako apustuetan ondo ulertzen da hori. Bi emaitza daude,irabazi edo galdu, baina ez dira probabilitate berekotzat hartzen. Apus-tuak onartu egiten du (eta nolabait baloratu) pilotari batek irabaztekoprobabilitate gehiago duela.

6. Joserra Garzia, «Kurrin-kurrun vitae», Alberdania, 2004, 151. or.7. Galileo Galilei, Il Saggiatore, Erroma, 1623.8. E. Wigner, «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Nat-

ural Sciences», Comm. Pure Appl. Math. 13 (1960), 1-14.9. Erradiografia arruntak argazki baten moduan funtzionatzen du, X izpiek

egiten dute argiaren lana. Argazkien arazo batzuk ditu, ostean dagoena ezdela agertzen, adibidez. Eskanerrak aldiz, datuak bildu eta horiekin den-tsitatearen funtzioa eraikitzen du. Ez dago X izpien bidezko argazkirik.

10. Ikus X. Artaetxebarria, «Ordenagailu bidezko diagnosia: ordenagailuakmediku?», Elhuyar. Zientzia eta Teknika 241 (2008), dossierra, 26-31.

11. L. A. Shepp eta J. B. Kruskal, «Computerized Tomography: The NewMedical X-Ray Technology», Amer. Math. Monthly 85 (1978), 420-439.

12. Iñaki Heras, Txanponaren bi aldeak, Alberdania, 2003.13. L. Mintegi, «Ustez sinplea den galdera», Berria, 2003-08-21.

ZERTARAKO MATEMATIKA?

76