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Universidad de Colima

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

GENERAClÓN DE CÓDIGO PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES ANÁLOGAS Y DIGITALES MEDIANTE EL TMS320C2X DSP

TESIS PROFESIONAL

QUE PARA OBTERNER EL TITULO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS ÁREA:

COMPUTACIÓN

PRESENTA: JOSE FRANCISCO PEÑA VERDUZCO

ASESOR: MC. GERARDO FUENTES COVARRUBIAS

COQUIMATLÁN, COLIMA; AGOSTO DE 1999.

EXPEDIENTE 242 NUM. 92-5009

C. JOSE FRANCISCO PEÑA VERDUZCO BERNARDO OHIGGINS No. 797 A COL. SAN PABLO COLIMA, COL.

Informo a usted que ha sido aprobado como tema de titulación para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS ÁREA: COMPUTACIÓN. El solicitado por usted bajo el título “GENERACIÓN DE CÓDIGO PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES ANÁLOGAS Y DIGITALES, MEDIANTE EL MICROCONTROLADOR TMS-32OC2X DSP” (DIGITAL SISTEM PROCESSING). Desarrollado bajo los siguientes puntos: I. ESTADO DEL ARTE II. ANALISIS ARMONICO EN EL TIEMPO III. ANALISIS ARMONICO EN LA FRECUENCIA IV. APLICACION V. CODIGO DEL ANALIZADOR DE SEÑALES VI. CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFIA

Al mismo tiempo informo a usted que ha sido designado como asesor de titulación al suscrito C. M.C. ANDRÉS GERARDO FUENTES COVARRUBIAS.

En cada uno de los ejemplares de titulación que presente para examen, deberá aparecer en primer término copia del presente oficio.

c.c.p. EXPEDIENTE ALUMNO AGFC/merv*

Km 9 Carretera Colima-Coquimatlán, AP. 299 . Colima, México . Teléfono 01 (332) 3 01 30.

H. CONSEJO TÉCNICO DEL POSGRADO EN CIENCIAS ÁREA: COMPUTACIÓN P R E S E N T E.

Por medio de este conducto informo que el C. JOSE FRANCISCO PEÑA VERDUZCO

terminó su período de revisión de tesis: “GENERACIÓN DE CÓDIGO PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES ANALOGAS Y DIGITALES, MEDIANTE EL MICROCONTROLADOR TMS-320C2X DSP” (DIGITAL SISTEM PROCESSING). Cuyo contenido es el siguiente: I. ESTADO DEL ARTE II. ANALISIS ARMONICO EN EL TIEMPO III. ANALISIS ARMONICO EN LA FRECUENCIA IV. APLICACION V. CODIGO DEL ANALIZADOR DE SEÑALES VI. CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFIA

El cual cumple con los requisitos necesarios para su aprobación, por lo cual lo autorizo para su impresión.

c.c.p. EXPEDIENTE AGFC/merv*

Exp.No.: 008 Fecha: 12/12/98 Acta No.: 5

C. JOSE FRANCISCO PEÑA VERDUZCO Domicilio: BERNARDO O’HIGGINS No. 797-A Localidad: COL. SAN PABLO COLIMA, COL. Teléfono:

En cumplimiento al artículo: 13 y 14 del reglamento de titulación, a los artículos: 46 y 48 del reglamento de estudios de Posgrado vigente y al artículo: 46 de las normas complementarias al reglamento de Posgrado, correspondientes al Posgrado de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Informamos a usted que ha sido autorizado por este Consejo Técnico del Posgrado su tema de Tesis para obtener el grado de Maestro en Ciencias Computacionales titulado: “GENERACIÓN DE CÓDIGO PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES ANALOGAS Y DIGITALES, MEDIANTE EL MICROCONTROLADOR TMS-320C2X DSP” (DIGITAL SISTEM PROCESSING). para ser desarrollado bajo los siguientes puntos: I. ESTADO DEL ARTE II. ANALISIS ARMONICO EN EL TIEMPO III. ANALISIS ARMONICO EN LA FRECUENCIA IV. APLICACION V. CODIGO DEL ANALIZADOR DE SEÑALES VI. CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFIA

Así mismo hacemos de su conocimiento que de acuerdo con la línea de investigación en la cual se enmarca su Proyecto ha sido autorizado como asesor de tesis el C. M.C. ANDRES GERARDO FUENTES COVARRUBIAS

A partir de la fecha de aprobación tendrá como plazo un año para presentar su examen de grado, en caso contrario tendrá usted derecho a una prórroga única de seis meses so pena de perder el registro de su proyecto.

Una vez concluidos los trámites de revisión de su documento de tesis e

integrado su expediente de titulación deberá recoger el oficio que acompañará a el visto bueno de su asesor de tesis, los cuales encabezarán cada uno de los ejemplares de su tesis.

A t e n t a m e n t e

El Consejo Técnico del Posgrado de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad de Colima.

A G R A D E C I M I E N T O S CON AMOR A DIOS, POR QUE NO ME OLVIDA Y ME AYUDA SIEMPRE QUE LO NECESITO. POR REGALARME IA DICHA DE LA SUPERACION. CON AMOR A MI LINDA ESPOSA DILVA PORQUE EN MIS MOMENTOS DIFÍCILES, SE MANTUVO CONMIGO HASTA EL FINAL. A MIS HIJOS: JOSE FRANCISCO Y DILVA ANGELICA QUE SON LA RAZON Y MOTIVO DE MI VIDA. A MIS PADRES EDUARDO Y ELVIRA POR EL AMOR QUE ME TIENEN, PORQUE CON SU HONESTIDAD Y RESPETO ME ENSEÑARON A CONSEGUIR LO QUE ME PROPONGA. A MI ASESOR GERARDO FUENTES COVARRUBIAS POR SU AMISTAD Y AYUDA, PARA LA REALIZACION DE ESTA TESIS. A MIS MAESTROS Y COMPAÑEROS POR TANTOS MOMENTOS COMPARTIDOS. A MIS HERMANOS: EDUARDO, ELVIRA, ADRIANA Y OSCAR. POR EL CARIÑO QUE SIEMPRE NOS HEMOS TENIDO.

ANÁLISIS DE SEÑALES

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INTRODUCCION

En nuestros días hay un gran avance en la tecnología, considerando que las comunicaciones y en general cualquier campo de la ingeniería tiene un enorme crecimiento y como la tendencia actual es de interactuar con nuestro mundo real avalado en la tecnología digital, relegando de alguna forma los sistemas analógicos es pues necesario investigar las señales eléctricas y los dispositivos que trabajan con ella.

Sabemos que las señales eléctricas pueden ser analizadas a través de dos planos:

1. - En el dominio del tiempo 2. - En el dominio de la frecuencia.

¿Por qué darnos a la tarea de analizar las señales en el dominio de la frecuencia?. Si estamos muy acostumbrados a que todos los análisis los hacemos en el dominio del tiempo; pues bien en el momento del manejo matemático de las señales resulta que es mucho más sencillo estudiarlas en el dominio de la frecuencia y se vuelve más complejo en el dominio del tiempo.

Uno de los medios para analizar estas señales es mediante un proceso matemático conocido como ANÁLISIS DE FOURIER.

La serie de FOURIER es una herramienta matemática muy poderosa que facilita el análisis de las señales eléctricas, ante procesos que tienen que ver con las comunicaciones.

Si este proceso lo implementamos con dispositivos electrónicos tales

como PROCESADORES DE SEÑALES DIGITALES, COMPUTADORAS O ANALIZADORES DE ESPECTROS, podemos hacer muy fácil el análisis de señales, para personas involucradas en este medio.

Pues bien mi trabajo radica principalmente en este análisis, el de la FRECUENCIA. El poder descomponer cualquier señal, conocer su espectro, determinar el valor en magnitud y frecuencia de cada uno de los diferentes armónicos que componen cualquier señal haciendo uso de un procesador digital de señales mejor conocido por sus siglas en ingles como DSP.


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UNIVERSIDAD DE COLIMA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA MAESTRÍA EN CIENCIAS: ÁREA COMPUTACIÓN ANTEPROYECTO

M.C.C. RICARDO FUENTES COVARRUBIAS. Le pido de la manera más atenta, efectúe los trámites para que revise el contenido del tema con el cual pretendo obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS: ÁREA COMPUTACIÓN. Bajo los siguientes puntos:

A).- TEMA DE TITULACION

* ANÁLISIS DE SEÑALES MEDIANTE EL TMS320C26 B).- ÁREA RESPONSABLE

* MAESTRIA EN CIENCIAS de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad de Colima.

C).- ÁREA DE INVESTIGACION

*Procesamiento de señales digitales (DSP) D).- DURACION DEL PROYECTO

*Seis meses. E).- DESCRIPCION DEL PROYECTO

En la licenciatura de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, así como en la Maestría en Ciencias: Área Computación se estudian materias como Modulación analógica, Modulación digital, Procesamiento de señales digitales, etc. (por mencionar algunas)

En estas se analizan señales eléctricas que pueden representarse por medio de expresiones matemáticas que permiten desarrollar un análisis teórico de dichas señales, de esta manera puede entonces predecirse su comportamiento.


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Para esto se hace uso de una herramienta matemática conocida como ANÁLISIS DE FOURIER que facilita el análisis de señales eléctricas ante procesos que tienen que ver con las comunicaciones. Mediante este análisis podremos conocer: 1.- EL ESPECTRO DE FRECUENCIAS (conjunto de armónicas que componen una señal f(t) con periodo T. 2.- LOS COEFICIENTES COMPLEJOS. (Amplitudes) 3.- LA FASE (el ángulo)

Además se estudian lenguajes de alto nivel y de bajo nivel para poder comunicarnos con cualquier computadora.

Si el lenguaje de bajo nivel (ensamblador) se usa como programa

fuente para operar el TMS320C26 (DSP), podremos entonces descomponer cualquier señal análoga o digital y observar mediante un osciloscopio el espectro de frecuencias de esa señal.

F).- RESUMEN DEL PROYECTO

En resumen, la finalidad de este proyecto es conocer el espectro de frecuencias de cualquier señal; haciendo uso de la herramienta matemática de FOURIER, así como de un micro controlador con número de serie TMS320C2X.

Al obtener el espectro se puede conocer el valor de la frecuencia que tiene cada armónica y su amplitud, en relación con las demás componentes que forman la señal. No hay que olvidar que lo que se grafica es la amplitud de cada componente.

G).- METODOLOGIA

El procedimiento a seguir para realizar este proyecto se divide en los siguientes puntos:


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1.- ESTADO DEL ARTE 2.-ANÁLISIS ARMÓNICO EN LA FRECUENCIA 3.- APLICACIÓN 4.- CÓDIGO DEL ANALIZADOR DE SEÑALES 5.-CONCLUSIONES 6.- BIBLIOGRAFÍA H).- JUSTIFICACION

Con este proyecto pretendo dar a conocer a los alumnos del área de Comunicaciones y Electrónica, así como a los de Maestría en Ciencias Área: computación que existen nuevas alternativas de estudio basados en dispositivos como PROCESADORES DE SEÑALES DIGITALES (DSP).

Que contamos con equipo especializado con los micro controladores, que son dispositivos de propósito específico y que los podemos utilizar para nuestro trabajo académico.

I).- ACERVO BIBLIOGRÁFICO l.- INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA Y SISTEMAS DE COMUNICACIÓN autor: B.P. LATHI editorial LIMUSA 2.- TRANSMISION DE INFORMACION, MODULACION Y RUIDO autor: MISCHA SWARTZ editorial MC. GRAW HILL 3.- MANUAL DE USUARIOS TMS 32OC2X STARTER KID autor: TEXAS INSTRUMEN 4.- ENSAMBLADOR BASICO autor: A. ROJAS editorial COMPUTEC 5.- LENGUAJE ENSAMBLADOR PARA MICROCOMPUTADORAS autor: 3. TERRY GODFREY editorial PRENTICE HALL 6.- DIGITAL SIGNAL PROCESSING principios, algoritmos y aplicaciones autor: JOHN G. PROAKIS AND DIMITRIS G. MANOLAKIS editorial MAXMILLAN


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7.- ARQUITECTURA DE COMPUTADORAS autor: E. ALCALDE/F. ORMAECHEA Editorial MC. GRAW HILL DIRECCIONES DE INTERNET http://www.spd.eee.strath.ac.uk/interact/fourier/dft.htm http://www.spd.eee.strath.ac.uk/interact/fourier/dft.ideas.html http://www.spd.eee.strath.ac.uk/interact/fourier/dft/dftprop.html http://www.spd.eee.strath.ac.uk/interact/fourier/dft/leakage.html


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INDICE INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………….. 1 ANTEPROYECTO…………………………………………………………………… 2 UNIDAD 1 ESTADO DEL ARTE 7 1.1.- ANALIZADORES DE ESPECTROS……………………………….……….. 1.2.- PROCESAMIENTOS DE SEÑALES DIGITALES………………………… 1.3.- LOS PRIMEROS DSP……………………………………………………….. 1.4.- QUÉ ES UN DSP……………………………………………………………... 1.5.- ELEMENTOS BÁSICOS DE UN DSP……………………………………… 1.6.- MICROPROCESADORES CONTRA DSP………………………………… 1.7.- ARQUITECTURA DE COMPUTADORAS…………………………………. 1.8.- ARQUITECTURA HARDVARD……………………………………………... 1.9.- LA INDUSTRIA Y EL MERCADO DE LOS DSP…………………..……… 1.10.- GENERACIÓN DE LOS DSP………………………………………………

8 101114161820212223

UNIDAD 2 ANÁLISIS ARMÓNICO EN EL TIEMPO……………………………. 252.1.- ANÁLISIS DE SEÑALES……………………..….……………………………2.2.- CLASIFICACIÓN DE SEÑALES……………………………………………..2.3.- SERIE DE FOURIER…………………………...……………………………..2.4.- SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER….……………………………..2.5.- ESPECTROS DE FRECUENCIA, FILTROS Y VOLTAJES..……………..2.6.- LA ONDA CUADRADA………………………………………………….…….2.7.- COMPONENTES DE FRECUENCIA Y FUENTES DE VOLTAJE……….2.8- DISTORSIÓN ARMÓNICA………………….…………………………………2.9- LA FORMA EXPONENCIAL DE FOURIER………………………………… 2.10.- LA TRANSFORMADA DE FOURIER……………………………………...2.11.- PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER………………

2627303036364142434751

UNIDAD 3 ANÁLISIS ARMÓNICO EN LA FRECUENCIA…………………….. 573.1.- CONCEPTOS DEL DOMINIO DE LA FRECUENCIA...............................3.2- TEORÍA DE LA DFT…................................................................................3.3.- MATEMÁTICA DE LA DFT. ......................................................................3.4. -DESARROLLO DEL ALGORITMO DE LA FFT.........................................3.5. -FACTOR TWIDDLE (FASE). ....................................................................3.6. -MARIPOSA DE LA DFT.............................................................................

586267737576

UNIDAD4 APLICACIONES............................................................................... 814.1.- COMUNICACIONES.................................................................................4.2.- SONAR......................................................................................................4.3.- FILTROS ...................................................................................................4.4.- ÓPTICA......................................................................................................

82848586

UNIDAD 5 CÓDIGO DEL ANALIZADOR DE SEÑALES………………………. 875.1 CÓDIGO DEL ANÁLISIS DEL ESPECTRO DE FRECUENCIA……………. 88 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………… 96 CONCLUSIONES……………………………………………………………………. 98


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UNIDAD 1 ESTADO DEL ARTE

1.1 ANALIZADORES DE ESPECTROS

1.2 PROCESAMIENTO DE SEÑALES DIGITALES

1.3 LOS PRIMEROS DSP

1.4 QUE ES UN DSP?

1.5 ELEMENTOS BASICOS DE UN DSP

1.6 MICROPROCESADORES CONTRA DSP

1.7 ARQUITECTURA DE COMPUTADORAS

1.8 ARQUITECTURA HARDVARD

1.9 INDUSTRIA Y MERCADO DE LOS DSP

1.10 GENERACION DE LOS DSP


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1.1 ANALIZADORES DE ESPECTROS

Los analizadores de espectros han sido largamente desarrollados y han evolucionado junto con la tecnología, es así que en sus inicios se tenían analizadores implementados puramente con dispositivos analógicos, eran analizadores basados en bancos de filtros pasa bandas con detectores a la salida y un graficador que presentara los resultados. Ahora con el desarrollo de la tecnología digital y la aparición de microprocesadores cada vez más potentes, se tienen analizadores de espectros íntegramente digitales.

Estos se implementan usando técnicas modernas como son la Transformada Rápida de FOURIER (FFT) y los Filtros Digitales; En realidad estas técnicas han sido investigadas y desarrolladas con mucha más anterioridad, solo que su aplicación no era en forma optima debido al estado de la electrónica en los tiempos que estas técnicas aparecieron. Hoy en día se habla de analizadores de espectros en tiempo real, los cuales pueden procesar y mostrar información espectral de la señal que se esta procesando conforme esta varia; Todo esto es factible, gracias al desarrollo alcanzado en la velocidad de operación de los componentes micro electrónicos.

En realidad, los analizadores de espectros actuales son micro

controladores con una arquitectura y diseño específico, orientado a realizar tareas de procesamiento digital de señales, y que han sido desarrollados por grandes compañías transnacionales, ejemplo Hewlet Packard & Kjaer, y por lo tanto, el uso de estos equipos presupone una preparación y conocimientos de técnicas de procesamiento digital de señales, así como de las características propias que cada fabricante da a su equipo.

El advenimiento y popularidad de las computadoras personales PC, cuyo costo cada día es menor y su velocidad de procesamiento mayor, dio sustento y apoyo a la idea de poder implementar un analizador de espectros cuyas características de operación y precisión se acerquen a los analizadores de espectros comerciales y sea implementado en una PC, aprovechando las características y potencialidad de la misma.

En la siguiente figura se muestra un diagrama a bloques simplificado del analizador de espectros.

Una tensión en diente de sierra que se deriva del circuito barredor del osciloscopio que hace que el analizador se desplace en forma lineal a través de las frecuencias de interés, mientras la traza del osciloscopio se mueve en forma horizontal. Cualquier componente espectral distinto de cero que este presente provoca un desplazamiento vertical de la traza del osciloscopio al pasar su frecuencia. Esto puede dar una buena aproximación del espectro de magnitud de la señal de entrada. La aproximación depende de cuan angosta sea la banda de frecuencia que usa el analizador para hacer las mediciones y de cuan lento sea el barrido sobre el intervalo de frecuencias deseado.


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1.2 PROCESAMIENTO DE SEÑALES DIGITALES (DIGITAL SIGNAL PROCESSING)

Es un área de la ciencia e ingeniería que se ha desarrollado

rápidamente desde los pasados 20 años. Este rápido desenvolvimiento es un resultado de los significantes avances en la tecnología de la computación digital y la fabricación de los circuitos integrados.

El rápido desenvolvimiento en la tecnología de circuitos integrados,

iniciando con integración a media escala (MSI), después a larga escala de integración (LSI) y ahora a muy alta escala de integración (VLSI) de circuitos electrónicos ha apuntalado el desarrollo de potentes, rápidas pequeñas y baratas computadoras digitales y el hardware digital de propósitos especiales.

Estos económicos y relativamente rápidos circuitos digitales han hecho posible la construcción de altos y sofisticados sistemas digitales que son capaces de ejecutar complejas funciones de procesamiento de señales digitales y tareas las cuales son muy difíciles o extensas a ser ejecutadas por circuiteria análoga o sistemas de proceso de señales análogas.

Por lo tanto muchas de las tareas de procesamiento de señales que fueron convencionalmente desarrollados por medios análogos son realizadas hoy en día por menos precio y más confiable hardware digital.

El procesamiento de señales digitales nos permite tener operaciones

programables fáciles de modificar al desarrollar funciones para señales. Por tanto el hardware asociado con el software proporciona un grado de flexibilidad en el diseño de sistemas.

Existe un alto orden de precisión en el hardware y el software de los

DSP comparado con otros dispositivos electrónicos.

No quiero decir que los DSP es la solución a todos los problemas de procesamiento. Sin embargo en los circuitos digitales donde sean necesario altas velocidades de ejecución de procesamiento de señales deberán ser usualmente preferentes.

Por todas estas razones existe un gran crecimiento en la teoría y la aplicación de los DSP.


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1.3 LOS PRIMEROS DSP * 1981

Se estabiliza el primer programa universitario para apoyar universidades interesadas en la tecnología de los procesadores digitales, Texas Instruments aporta ayuda para la creación de doctorados y de maestrías en muchas universidades a lo largo de todo los Estados Unidos de América. Hoy mas de 200 universidades a todo lo largo y ancho del mundo enseñan cursos en todos los niveles de procesadores digitales. * 1982

Se introduce el primer procesador programable de señales digitales (DSP). EL TMS32010 operando a 5 millones de instrucciones por segundo. Diseñado para Modems y aplicaciones militares.

* 1984

La primera fabricación de la segunda generación de DSP, la aparición del TMS32XX.

* 1985

Se manufactura el primer DSP usando tecnología CMOS. Se estabiliza la primer industria y las primeras consultas Módem,

teléfono, ofreciendo mas soporte técnico. Se desarrollan las primeras herramientas en DSP usando una

computadora como anfitrión. * 1987

Primer Juguete consumidor de DSP, el juguete llamado JULIE DOLL, usando el TMS320C17 para reconocimiento de voz.

Se publica el primer libro de Texto, titulado “DIGITAL SIGNAL PROCESSING APPLICATIONS WITH THE TMS320 FAMILY”.

* 1988

Se introduce el primer DSP que maneja punto flotante, el TMS320C3X con un alto desarrollo en aplicaciones incluidas Fax, Gráficas en tres dimensiones, buscadores vídeo conferencias, audio y sistemas visuales. * 1989

Se introduce la primera generación con el más alto desarrollo con punto flotante en la industria.

El TMS320C5X operando a 28 millones de instrucciones por segundo. El C5X ejecutada de 2 a 4 veces más rápido las instrucciones que cualquier otro DSP de punto flotante orientado hacia la industria de las comunicaciones, computadoras y sistemas automotores.

El C5X se usa principalmente en celulares y teléfonos inalámbricos módem de alta velocidad. , Impresoras y copiadoras.

* 1990

Se ofrece el primer DSP con un DEBUGUER incorporado en lenguaje C y optimizado con herramientas ANSI C.


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Aparece la segunda generación de procesadores con punto flotante, el

TMS320C4X. El primer DSP con arquitectura diseñada para la construcción del más alto desarrollo de sistemas usando DSP paralelos con gráficos en tres dimensiones, estaciones digitales para aplicaciones que requieren alta velocidad como realidad virtual, simuladores, procesamiento de imágenes, etc. * 1991

Se anuncia el primer DSP con un costo de 5 dólares en cantidades singulares, el preció para el C1X es comparable al micro controlador de 16 bits. * 1992

Los DSP se convierten en uno de los más rápidos crecimientos de circuitos integrados de la intensiva matemática, el tiempo real, la capacidad de calcular de los DSP proveen futuras soluciones para suspensiones activas, lazos cerrados para el control de motores y sistemas, control inteligente sistemas de radar, y sistemas de entretenimiento. * 1993

Se publica el segundo texto de DSP titulado “A SIMPLE APPROACH TO DIGITAL SIGNAL PROCESSING” escrita en inglés. Se crea la cooperativa TMS320 SOFTWARE COPERATIVE la primera industria en comprender y desarrollar paquetes de Software conteniendo más de la tercera parte de algoritmos para aplicaciones, incluyendo tratamiento de imágenes, control de motores, software de telecomunicaciones. Provee rápidamente acceso a los diseñadores de algoritmos necesitados para evaluar los productos usando un procesador de señales digitales.

* 1994

Se desarrolla el más veloz procesador de señales digitales con dos millones de instrucciones por segundo, desarrollándose 10 veces más que cualquier otro DSP. El TMS320C80 es conocido como procesador de multimedia, es el primer procesador comercial disponible en una cápsula, combina procesamiento paralelo y arquitectura RISK.

El C80 es capaz de manejar tiempo real, comunicaciones FULL DUPLEX, más de 65 patentes americanas usan el C80.

Se crea él más alto desarrollo en tarjetas STARTER KID el C5X DSK a 99 dólares cada uno para nuevos diseñadores que experimentan con tecnología de procesamiento de señales usando tiempo real.

Se introduce el primer chip de vídeo el cual provee a los manufactureros

de productos caseros sistemas de entretenimiento tales como CD BASED, vídeo juegos, sistemas caroke y aplicaciones de CD. * 1995

Se desarrolla la primer selección de programas de laboratorio para el TMS 320C32 con un precio menor de 10 dólares.


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Se introduce la primera generación de TMS320XX para alto desarrollo a bajo costo por menos de 5 dólares en alto volumen y corriendo a cuatro millones de instrucciones por segundo para aplicaciones tales como sistemas de seguridad, teléfonos, monitores, modems, etc.

Se lanzan dos procesadores de señales digitales diferentes, el

TMS320C545 y el TMS320C546 que provee las más singulares soluciones, para las siguientes generaciones de teléfonos celulares, comunicación GMS y CODE DIVISION MULTIPLE (CDMA).

Se introduce en la industria el integrado DSP TMS320C82

desarrollándose a más de 1.5 billones de instrucciones por segundo a $82.00 dólares. El C82 utilizado en celulares, control de motores digitales, y reproductores de DVD sistemas de satélite DSD y modems.

* 1996

Se libera la primera generación en masa para el mercado desarrollando 66-80 y 100 millones de instrucciones por segundo. Este Procesador de señales es conocido como TMS320C54X.

Se incrementa la capacidad de fabricación con el anuncio de un nuevo DMS06.

Se introduce la primer maquina contestador DTAD. Este es también uno

de los primeros desarrollos del DTAD que ofrecen avanzada comprensión del mensaje.

Se crea el primer STARTER KID que maneja punto flotante, es el TMS

320C3X DSK. Se introduce la primera industria de TMS320C24X específicamente

diseñada para improvisar sistemas a bajo costo y reducir componentes. El C24X proporciona optimizadas configuraciones para el control de motores con la integración de un chip manejado para aplicaciones tales como HVAC. * 1997

Se introduce el TMS320C6X DSP, la más poderosa generación de DSP desarrollando 1600 millones de instrucciones por segundo y entregando 10 veces el desarrollo de cualquier típico DSP.

El C6X es el primer DSP en la industria en adoptar arquitectura VLIW. El

C6X debuta con el más eficiente compilador C.

Se anuncia la demostración del primer DSP programable que opera a un volt y desarrolla todas las funciones de un DSP comercial.

Primer DSP en introducir un BIOS standard, una (API) aplicaciones de interfaces, haciendo a la familia TMS320 DSP más fácil de programar y de manejar.


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1.4 ¿ QUÉ ES UN DSP?

La increíble velocidad del procesamiento de señales digitales con la versatilidad del mundo real de mezcla de señales analógicas dio paso a la creación de los DSP.

El mercado global para los DSP ha crecido en una tasa de más del 30%

desde 1988. De hecho el mercado para estos procesadores esta actualmente desarrollándose más rápido que los microprocesadores entre la década de 1980 y 1990.

Este crecimiento ha sido más rápido por el hecho de que los DSP están

orientados a un rango diverso de productos tanto como los microprocesadores. Los DSP no están siendo utilizados exactamente en computadoras personales, pero si en otra clase de productos tales como dispositivos de teléfonos, equipos, controles industriales y componentes automotrices.

La velocidad del procesamiento, la habilidad para computar grandes

cantidades de números y la carrera contra la increíble demanda de velocidad del reloj, está en el corazón del valor que los DSP traen al mercado de la electrónica.

Los procesadores de señales digitales son en mucho mas rápidos

(frecuentemente 10 veces mas) que un microprocesador de propósito general y particularmente maneja y procesa información de diferentes partes de nuestro mundo trabajando en tiempo real.

Un método para entender como un procesador de señales digitales

trabaja es similar a como trabajan en cada momento nuestros sentidos. Estos capturan una multitud de señales que están a nuestro alrededor,

señales tales como calor, luz, sonido, presión, etc.

Los dispositivos digitales usan las señales del mundo real para transmitir fotografías, sonidos, controles de calor, ajustes de presiones, etc. Pero a diferencia nuestra, estos dispositivos son precisos, ellos pueden procesar información que viene en unos o ceros. Esto significa que necesitan ser digitales.

Claro cuando los dispositivos digitales se convierten en los cerebros de la electrónica y se aventuran dentro del mundo, ellos van a encontrar el mismo ambiente en la información así como tu encuentras señales analógicas tales como presión, luz, sonido y calor.

Antes de que cualquier dispositivo pueda hacer cualquier cosa con éstas

señales, necesitan ser trasladadas, en un lenguaje que el dispositivo entienda, un lenguaje digital. Esta traslación de análogo a digital es manejada por una mezcla de señales y productos análogos. Estos productos trasladan señales digitales al mundo real de información.


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Cuando se combina la increíble velocidad de un procesador de señales digitales con el mundo real, la versatilidad de los dispositivos análogos crea una interesante posibilidad, en un DSP, una señal analógica tal como tu voz es digitalizada por un convertidor de análogo a digital. El DSP procesa la señal digital. Entonces cuando este proceso termina, dicha señal es convertida de digital a análogo, o en otras palabras cambia la señal de regreso de digital a analógica.

En total un procesador de señales digitales, es un procesador dedicado

que incorpora y mezcla los convertidores, las funciones, memoria y software necesarios para manipular y trabajar con casi cualquier señal análoga. Claro esta esto no implica algún tipo de restricciones tales como las frecuencias de la señal que va a manejar el DSP.

Los fabricantes de los DSP han considerado que los DSP son los lideres

del mercado, ya que nuestro mundo sé esta moviendo hacia un mundo digital.


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1.5 ELEMENTOS BASICOS DE UN DSP

La mayoría de las señales estudiadas en las ciencias de Ingeniería son análogas, las cuales son funciones de una variable continua tales como el tiempo o el espacio y usualmente toman valores en un rango continuo.

Estas señales pueden ser procesadas directamente por sistemas análogos apropiados tales como filtros, analizadores de frecuencia, o multiplicadores de frecuencia.

En tal caso la señal se procesa directamente en forma análoga como se

muestra en la siguiente figura.

El DSP proporciona un método alterno para procesar señales análogas

como se muestra en la siguiente figura:

Al llevar a cabo el proceso de digitalización es necesario una interface

entre la señal análoga y el procesador digital. Esta es llamada CONVERTIDOR ANALOGO DIGITAL.

La salida del convertidor A/D es una señal digital que es apropiada como

entrada al procesador digital. El DSP puede ser una computadora grande o un pequeño

microprocesador que es programado para desarrollar operaciones deseadas a la señal de entrada.


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En aplicaciones donde la señal de salida del DSP se requiera análoga, como por ejemplo en el caso de las comunicaciones, deberemos proporcionar otra interface desde el DSP, que se encuentra en el dominio digital al dominio análogo, tal es llamada convertidor D/A.

ELEMENTOS BASICOS DE UN MICRONTROLADOR


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1.6 LOS MICROPROCESADORES VS DSP

Los procesadores de señales digitales tienen aproximadamente el mismo nivel de integración que los microprocesadores de propósito general. Usualmente los microprocesadores de propósito general tienen ciertas ventajas en esos campos, pero un procesador de señales digitales sobrepasa en 2 o 3 veces la velocidad de un microprocesador, esto es debido a la arquitectura que existe entre ambos.

Los procesadores de señales digitales requieren una gran cantidad de

tiempo real en cálculos. Por ejemplo se necesita alrededor de .3 seg. para completar una TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER. Para N=1024 usando un turbo lab. programa en una computadora personal IBM PC/AT386 con la ayuda del TMS320C30 que es aproximadamente de la misma generación del 386, tal transformación puede ser hecha en 1.5 ms.

Los procesadores de señales digitales tienen más o menos la misma

escala de integración, pueden manejar la misma frecuencia que un microprocesador de propósito general. Pero usualmente los microprocesadores tienen ventajas en estos campos, en otros los procesadores digitales de señales toman alrededor de 2 o 3 veces menos, el tiempo en manipular una señal.

Deberíamos decir que algunas características de los DSP en algún tiempo son incluidas en los más recientes microprocesadores universales pero no viceversa, en todos los casos porque esas son tareas más complejas.

La operación más común en los procesadores de señales digitales es él

calculo de productos, entre tales operaciones son bien conocidas la convulsión y la transformada discreta de FOURIER.

La operación más compleja es la multiplicación, por ejemplo un

microprocesador universal 8086 para la adición toma 3 señales de reloj preferentemente que la multiplicación que toma 134-160 ciclos de reloj, por esta razón tales complejos dispositivos aritméticos como multiplicadores no son incluidos en un microprocesador universal. Pero para un procesador de señales digitales esa es su mejor tarea y cualquier multiplicador es un componente esencial de todo DSP.

Todos los DSP tienen un multiplicador y un acumulador y dos operaciones de multiplicación y suma que pueden ser implementadas en un ciclo, algunos DSP pueden calcular simultáneamente el algoritmo de la FFT usando el método de la mariposa.

En comparación los microprocesadores tienen una larga variedad de

comandos y ciclos de duración, en el microprocesador 8086 la adición toma 3 ciclos de reloj y la multiplicación mas de 100. Los procesadores digitales de señales son diseñados para trabajar en tiempo real, haciendo un muestreo.


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ARQUITECTURA DEL BUS

Los microprocesadores universales fueron diseñados simples y baratos en las computadoras personales, tiene la arquitectura de bus simple conocida como VON NEUMAN, donde los datos y los comandos son comunes cuando el microprocesador desarrolla cualquier instrucción, esto toma demasiado tiempo.

Los DSP tienen arquitectura HARDVAR con diferentes buses de programa y de datos. Un DSP puede leer instrucciones y el dato de la memoria simultáneamente e improvisar la velocidad de cálculo. Así los DSP han modificado la arquitectura HARVAR con tres buses uno de programa y dos de datos, ello permite al DSP leer una palabra de instrucción y dos operandos simultáneamente.

Los procesadores de señales digitales son diseñados para procesar

arreglos de datos demasiados largos. En algunos casos el calculo de direcciones toma más tiempo que el mismo calculo que necesitan las operaciones aritméticas. Los DSP como regla tiene hardware de soporte y arreglos de cálculo, ellos contiene especializadas unidades aritméticas, generadores de direcciones, debido a esto el cálculo de direcciones no necesita tomar más tiempo.


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1.7 ARQUITECTURA DE COMPUTADORAS

El nombre de Arquitectura de computadora se refiere al arreglo funcional de los elementos de proceso en una computadora digital. En otras palabras, de la forma como se encuentre organizada la arquitectura interna de una computadora, depende en gran medida el desempeño de la misma. Las arquitecturas que se presentan en esta sección tienen características propias, que las hace tener ventajas de una con respecto de la otra para aplicaciones determinadas.

ARQUITECTURA DE VON NEUMAN

La mayoría de las computadoras actuales funcionan de acuerdo a la arquitectura de procesador secuencial, propuesta por el matemático y químico húngaro John Louis Von Neuman (Electronic Numeral Integrator And Calculator) en 1945 en el Instituto para Estudios Avanzados (IAS) de Princeton, propuso el concepto de computadora de programa almacenado con su computadora EDVAC (Electrónic Discretee Variable Automatic Computer) en 1946. La estructura principal de esta arquitectura se basa en la necesidad de agrupar las siguientes unidades de entrada, memoria A.L.U., control y salida.

Al resultado de la interrelación de los elementos que componen estas

estructuras se le conoce con el nombre de “Arquitectura de Von Neumann“, también llamada ”Arquitectura Princeton“.

Figura 1.1 Arquitectura Von Neumann y sus unidades funcionales.


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1.8 ARQUITECTURA HARVARD

Esta arquitectura tiene como características principal, que los datos se encuentran claramente diferenciados de las instrucciones y emplean canales de comunicación y localidades de memoria separadas para cada propósito.

Otra característica importante es que todas sus instrucciones se

codifican en palabras de longitud fija, lo que permite que los resultados obtenidos, en términos de velocidad de ejecución, sean impresionantes.

Diagrama de bloques de una computadora de Arquitectura Harvard

Esta arquitectura fue diseñada principalmente para optimizar el tiempo de proceso y contrarrestar el efecto de cuello de botella de un solo canal de comunicaciones compartido.


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1.9 INDUSTRIA Y MERCADO DE LOS DSP

TEXAS INSTRUMENT ha sido el líder en procesadores digitales de señales desde 1982 con la introducción del TMS32010 DSP, TI es llamado a ser uno de los más grandes manufactureros, de programable DSP.

Tres factores han contribuido ha ello:

- DSP SOLUCIONES. - DESARROLLO DE SOPORTE. - TECNOLOGIA DSP CONSUMIBLE.

TI ha sido capaz construir más productos mejorándolos y ajustándolos a

específicas aplicaciones necesitadas. Con más de 100 DSP de los cuales se puede seleccionar.

TI tiene dispositivos que dan un desarrollo bueno a un precio justo, a lo

largo de esta extensa línea de DSP TI ofrece un completo sistema de soluciones incluyendo productos de memoria, dependiendo de los requerimientos encontrados en dicha aplicación.

TI ayuda a conseguir mercado para tus productos más rápido por que

ello es parte de su desarrollo de programa. Este soporte es también disponible en más de 250 TMS320.

TI también provee la habilidad de integrar lógica a los DSP en una pieza de silicio, cuando una aplicación requiere él último grado de integración. Cuando los algoritmos se conviertan sólidos, TI tiene la habilidad para producir aplicaciones específicas DSP con un ahorro máximo de costos cuando la flexibilidad es no necesaria.

TI continuó ganando mercado dividido en este expansivo mercado, este

crecimiento es completamente dado en comunicaciones, computadoras, consumo de productos, controles industriales, instrumentación, militares. TI es el líder en este mercado.


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1.10 GENERACIONES DE DSP

El TMS320C2X fue introducido en 1995 hecho con tres niveles de triple metal complementado con tecnología CMOS ESTATIC LOGIC. El C2XX provee una ejecución de entre 20 y 40 millones de instrucciones por segundo. La generación del TMS32OC2XX es una generación de alta velocidad con una unidad central de proceso permitiendo usar en avanzados algoritmos y consiguiendo un mejor desarrollo reduciendo así los componentes del sistema. TMS320CX

El TMS320CX es fácil, usa aritmética de 32 bits con punto flotante, la arquitectura del TMS320C3X es específicamente diseñada para ser una eficiente plataforma de compilador el altamente optimizado compilador C, el set de instrucciones paralelo y el propósito general de este DSP asegura un corto tiempo en el mercado.

TMS320C4X Es una generación que ejecuta procesamiento paralelo con 488 M bytes

de datos, este acepta código fuente del c3x desarrollando herramientas que son disponibles para el c4x.


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TMS320C5X Este DSP es de alta ejecución que ejecuta operaciones a 20-50 millones

de instrucciones por segundo y acepta código fuente de las generaciones anteriores tales como C1X, C2X y C2XX.

La arquitectura del c5x incluye flexibles características, el C5X, es disponible en versiones de bajo voltaje. TMS320C54X

El TMS320C54X provee una combinación de efectividad, bajo costo, alta ejecución y bajo alimentación.

El c54x ejecuta arriba de 66 millones de instrucciones por segundo y puede operar a 3, 3.3, o 5 volts.

La arquitectura es optimizada encontrando una variedad de aplicaciones en comunicaciones, y aplicaciones inalámbricas. TMS3206X

Esta generación ofrece soluciones efectivas a bajo costo, los dispositivos CX6 son los primeros con característica VELOClTI, la cual permite una ejecución de instrucciones arriba de 1600 millones de instrucciones por segundo. TMS320C8X

El TMS320C8X integra cuatro avanzados DSP a 32 bits con arquitectura

RISC, maneja una unidad de punto flotante, un controlador de transferencia arriba de los 400 M bytes posee 50 k bytes de memoria RAM, en una sola pieza de silicio, el C80 incluye dos relojes.

TMS320AVXXX

Este DSP es de muy alta velocidad con aplicaciones específicas tales como compresión de datos, compresión de audio, playback tales como conferencias, transmisiones digitales, televisión de alta definición, estaciones gráficas y otros estándares internacionales de compresión.


UNIDAD 2 ANÁLISIS ARMÓNICO EN EL TIEMPO

FOURIER Y EL DOMINIO DEL TIEMPO

2.1 ANÁLISIS DE SEÑALES

2.2 CLASIFICACION DE LAS SEÑALES

2.3 SERIE DE FOURIER

2.4 SERIE TRIGONOMETRICA DE FOURIER

2.5 ESPECTROS DE FRECUENCIA, FILTROS Y VOLTAJES

2.6 LA ONDA CUADRADA

2.7 COMPONENTES DE FRECUENCIA Y FUENTES DE VOLTAJE

2.8 DISTORSION ARMONICA

2.9 LA FORMA EXPONENECIAL DE FOURIER

2.10 TRANSFORMADA DE FOURIER

2.11 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

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2.1 ANÁLISIS DE SEÑALES

Una señal esta definida como una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio, o cualquier otra variable o variables independientes. Matemáticamente, nosotros describimos una señal como una función de una o más variables independientes. Por ejemplo las funciones

S1(t) = 5t S2(t) = 20t2 1

Describen dos señales, una que varía linealmente con la variable independiente t(tiempo) y una segunda que varía cuadráticamente con t. Como otro ejemplo considere a la función

S(x,y) = 3x+2xy+10y2 2

Esta función describe a una señal de dos variables independientes X y Y los cuales representan los dos espacios coordenados en un plano.

Las señales descritas por 1 y 2 pertenecen a una clase de señales que

son precisamente definidas específicamente por la dependencia funcional que existe con la variable independiente. Sin embargo hay casos donde tal relación funcional es desconocida o altamente complicada para ser prácticamente usada.

Por ejemplo una palabra o una frase no puede ser descrita por expresiones tales como 1 o 2. En general un segmento de palabras puede ser representado por una suma de varias sinusoides de diferentes amplitudes y frecuencias, tales como


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2.2 CLASIFICACIÓN DE SEÑALES

Como se analizó en la sección anterior, una señal es descrita por una función de una o más variables independientes. El valor de la función puede ser una cantidad escalar real, cantidad compleja o quizás un vector. Por ejemplo, la señal

S1(t) = A sen [3tπ]

Es una señal de valor real, por tanto la señal

S2(t) = Ae j3tπ Acos3tπ + jAsen3tπ Es una señal de valor complejo.

En algunas aplicaciones, las señales son generadas por múltiples fuentes o múltiples sensores. Tales señales pueden ser escalares y representadas en forma de vector.

S3(t) = [S1(t), S2(t), S3(t)]


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Una señal puede ser clasificada en dos diferentes categorías: SEÑAL CONTINUA EN TIEMPO SEÑAL DISCRETA EN TIEMPO

Señal continua está definida para todos los valores de tiempo y sus valores que puede tomar en el intervalo continuo (a,b), donde a puede tener el valor de -∞ y b puede tener el valor de +∞.

Señal discreta esta definida solo para valores discretos de tiempo. Estos

instantes de tiempo no necesariamente son equidistantes, pero en la práctica estos toman espacios iguales.

La señal

X (t n) = e- tn Donde

n = 0 ± 1 ± 2...

Proporciona un ejemplo de una señal discreta en tiempo. Si usamos el índice n de los instantes discretos en tiempo como la variable independiente la señal evalúa a una función de una variable entera.

Entonces una señal discreta en tiempo puede ser representada

matemáticamente por una secuencia de números reales o complejos.

Representación de una señal discreta en tiempo


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Una señal puede ser vista desde dos planos diferentes: 1.- EL DOMINIO DEL TIEMPO 2.- EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

El que nosotros más usamos el dominio del tiempo. Este es como el trazo de un osciloscopio donde la deflexión vertical es la amplitud de la señal y la deflexión horizontal es la variable tiempo.

La segunda representación es el dominio de la frecuencia. Este es como

el trazo de un analizador de espectros, donde la deflexión horizontal es la frecuencia variable y la deflexión vertical es la amplitud de la señala a esa frecuencia.

Dependiendo de qué necesitamos hacer con la señal un dominio tiende a ser más simple que otro.

En el momento del manejo matemático de la señal tomaremos más

fuerza en el dominio de la frecuencia ya que tiende a ser más simple que el dominio del tiempo.

Cualquier señal puede ser expresada como una suma de sinusoides de

diferentes frecuencias, por lo tanto cada una de estas señales se puede describir como función del tiempo o mediante su espectro de frecuencias.

Uno de los medios para analizar señales es mediante un proceso

matemático conocido como SERIE DE FOURIER.


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∫τ/2

τ/2-

τ t dt0Cos nf(t)/2=an ω

2.3 SERIE DE FOURIER

La mayoría de las señales eléctricas pueden representarse o modelarse, y en el peor de los casos aproximarse, a través de expresiones matemáticas que permitan desarrollar un análisis teórico del comportamiento de dichas señales ante situaciones particulares; de esta manera puede predecirse su comportamiento real, práctico, sin necesidad de haberlo experimentado.

En ese tema se presentan diversas herramientas matemáticas,

alrededor del análisis de FOURIER, que facilita el análisis de señales eléctricas ante procesos que tiene que ver las comunicaciones: filtros, mezclado de frecuencias, modulación, etc.

2.4 SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER

Una señal periódica cualquiera f(t) en el periodo τ puede ser representada por señales más sencillas que faciliten su análisis siempre que la señal f(t) cumpla con las siguientes condiciones:

- f(t) tiene un número finito de discontinuidad en un período. - f(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un período. - La integral del valor absoluto de f(t) en un período es finita:

τ/2 ∫ | f(t) | dt = ∞ (finita) -τ/2

Su representación se realiza a través de una serie de senos y cosenos,

llamada serie de FOURIER, cuya expresión es la siguiente:

∫τ/2

τ/2

dt f(t) τ/1=Co

∫τ/2

τ/2

τ t dt0Sen nωf(t)/2=bn


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Ejemplo: Desarrollar la serie de FOURIER de una onda cuadrada con amplitud de

dos unidades pico -pico.

f(t+ τ) =f(t) La serie de Fourier para la onda está dada por:


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entonces:

Con lo que se tienen ya definidos los valores de los coeficientes Co, an y de manera que la serie de FOURIER de la onda cuadrada toma la siguiente expresión:

Este resultado indica que la onda cuadrada se compone de la suma de señales senoidales que se diferencian en su amplitud y frecuencia.


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La componente que posee la mayor amplitud es la que tiene la misma

frecuencia que la onda cuadrada, llamada también frecuencia fundamental o primer armónica, mientras que las siguientes senoidales poseen frecuencias que son múltiplos de la frecuencia fundamental llamadas también frecuencias armónicas, y conforme estas frecuencias son mayores, la amplitud correspondiente disminuye. Lo anterior puede verse gráficamente en el diagrama de componentes de la señal, representado en la siguiente figura. En él se observa que cada componente se representa como una línea con una cierta amplitud y sobre una frecuencia, valores que corresponden a los de la componente que representa. Este tipo de esquemas es muy conveniente para conocer de una manera rápida la forma como se comportan las componentes de frecuencia de una señal. En este ejemplo solo se obtuvieron componentes senoidales, los cuales pueden graficarse en un solo diagrama; si se tuviera una señal con componentes senoidales y cosenoidales, o incluso desfasados, la construcción del diagrama se realizaría con un tercer eje por medio del cual pudiera indicarse el desfase existente entre componentes.

Fig 2 COMPONENTES DE FRECUENCIA DE UNA ONDA CUADRADA

La onda cuadrada que se ha analizado no contiene, eléctricamente, una componente directa. Esta componente es precisamente la que corresponde a una frecuencia de cero y es calculada a través del coeficiente “c”, que en el ejemplo anterior tuvo un valor de cero.

4/π 4π/3

4π/5

4π/7

4π/9

4/π

Amplitud

W 3W 5W 7W 9W


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Si a esta onda cuadrada se le suma una componente de directa con un valor de una unidad se tendrá que dicha señal se desplaza hacia arriba en la gráfica, teniendo un valor mínimo de 0 unidades y un valor máximo de dos. Aunque el cálculo de los coeficientes es diferente al anterior, se tiene que los valores de an y bn son iguales y únicamente el coeficiente es el que cambia, indicando precisamente que ahora se tiene una componente de directa. A continuación se presenta dicho análisis, en forma resumida.

Fig. 3 SEÑAL PERIODICA CUADRADA CON COMPONENTE DIRECTA.


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pues ω = 2π / τ, y utilizando Sen 0 = Sen nπ = 0 se tiene: an = 0

y este último resultado es precisamente igual al obtenido para el coeficiente del ejemplo anterior, que da como resultado final: bn = 4/ π, 4/3 π, 4/5 π, 4/7 π, ... con lo que la señal completa queda representada por:

En donde la única diferencia con respecto a la onda cuadrada del desarrollo anterior es precisamente el valor de la componente directa.


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2.5 ESPECTROS DE FRECUENCIA, FILTROS Y VOLTAJES.

Los elementos del análisis de FOURIER permiten darle un sentido diferente la interpretación del comportamiento de diversos fenómenos físicos, como es el caso de los siguientes ejemplos, vistos a través de esta herramienta matemática.

2.6 LA ONDA CUADRADA Y LOS FILTROS

Ya se observó anteriormente que una onda cuadrada tiene sus componentes de frecuencia esparcidos en todo el espectro. Si esta onda cuadrada se forma paso a paso, añadiendo de uno a uno cada componente, se obtienen las gráficas correspondientes de la siguiente figura, que muestran la adición de los primeros dos y cuatro componentes y también la adición de solamente los últimos Componentes, es decir, el complemento de las primeras gráficas.

En otras palabras, en las dos primeras gráficas se tienen los componentes de baja frecuencia de la onda cuadrada y en la última los componentes de alta frecuencia.

A) PRIMEROS DOS COMPONENTES


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B) PRIMEROS CUATRO COMPONENTES

C) ÚLTIMOS COMPONENTES SOLAMENTE.

Fig. 4 FORMACIÓN DE UNA ONDA CUADRADA

Podría decirse que la obtención de estas señales se realiza a través de filtros que actúan sobre el espectro de frecuencias de una onda cuadrada: filtros que mantienen las componentes de baja frecuencia y eliminan las de alta frecuencia (pasa baja) y filtros que mantienen las altas frecuencias y eliminan las bajas (pasa altas). Esto se muestra en la siguiente figura.


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La función de transferencia que define a estos filtros puede expresarse sencillamente como:

Filtros pasa baja: So Filtros pasa altas: So en donde Si es la señal que entra al filtro, So es la señal de salida del filtro y Wo es la frecuencia de corte que define la actuación del filtro.

La realización física de estos filtros es imposible, pero eléctricamente se tiene una aproximación a través de circuitos con capacitores y bobinas, elementos que poseen una impedancia que varían con la frecuencia de la señal eléctrica que pasa por ellos:

ZC = 1 / iWC ZL = iWL


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Los filtros más sencillos que pueden construirse con tales elementos son

por medio de un circuito divisor de voltaje con dos impedancias, una de ellas fija ante el cambio de frecuencia y la otra de ellas variable, como se muestran en la siguiente figura, junto con sus funciones de transferencia. El circuito con capacitor se comporta como filtro pasa bajas porque:

Si W → 0 ZC → ∞ y So → Si Si W → ∞ ZC → 0 y So → 0

mientras que el circuito con la bobina actúa como filtro pasa altas al considerar que:

CIRCUITOS DE FILTROS. a) PASA BAJAS. b) PASA ALTAS

Si W → 0 ZL → 0 y So → 0 Si W → ∞ ZL → ∞ y So → Si

De acuerdo con lo anterior, si a estos circuitos se les proporciona como señal de entrada un voltaje como forma de onda cuadrada deberán tenerse como resultados voltajes con formas de onda parecidas a las de la figura 4. Se sabe, sin embargo, que al haber utilizado alguna vez estos circuitos los voltajes obtenidos difieren bastante de los esperados, son en cambio parecidos a los de la figura 7.


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Esto es debido a que en el análisis anterior no se trató adecuadamente la representación de las funciones de transferencia, ignorando que son cantidades complejas. Esto significa que el efecto de la función no es únicamente sobre la amplitud de la señal, sino que dependiendo de su frecuencia sufre un cierto desfase con respecto a su fase original; dando como resultado que al sumar las componentes se encuentren desfasados entre sí.

Analizando adecuadamente las funciones de transferencia anteriores se llega a los siguientes resultados:

Filtro pasa bajas: | So | = 1 / [ √ 1 + (WCR) ] Si So = tan -1 (-WRC) Filtro pasa altas: | So | = WL / [√ R + (WL) ] Si So = tan -1 (R / WL) Y con ellos, aplicando el análisis de FOURIER, se puede demostrar fácilmente que las formas de onda son el resultado de aplicar a los Circuitos propuestos un voltaje con forma de onda cuadrada.

Fig 7 EFECTOS DE FILTROS REALES EN UNA ONDA CUADRADA

a) COMPONENTE DE BA.IA FRECUENCIA

b ) COMPONENTES DE ALTA FRECUENCIA


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2.7 COMPONENTES DE FRECUENCIA Y FUENTES DE VOLTAJE

Una fuente de voltaje de directa puede construirse a partir de una onda senoidal por medio de dos procesos, uno en el tiempo y el otro en la frecuencia. El proceso en el tiempo se basa en hacer cargar un capacitor con el valor del voltaje pico de la onda senoidal, con la cual se obtiene una fuente de directa de valor igual al del voltaje pico de la senoidal. El proceso en la frecuencia se basa en que la senoidal rectificada posee varias armónicas, entre ellas una componente de directa, y por lo tanto a partir de un filtro puede obtenerse dicha componente.

La onda senoidal tiene como componente de frecuencia solo su propia frecuencia, de la que es imposible obtener una componente de directa. Al pasar la senoidal por el rectificador de media onda se producen un sin número de frecuencias armónicas, como se muestra en la figura 8, y lo cual puede obtenerse haciendo el análisis correspondiente.

Uno de los nuevos componentes producidos es precisamente uno con frecuencia igual a cero, una componente de directa. Lo que resta entonces es eliminar todos los componentes adicionales y dejar únicamente la de directa, para lo que se utiliza un filtro pasa bajas.

Fig. 8 PROCESO DE RECTIFICAClÓN DE UNA ONDA SENOIDAL

La aparición en ocasiones de variaciones que se tienen en la señal de directa resultante, conocidas también como RIPPLE, no es más que el resultado de un mal filtraje que permitió el paso de algunas componentes de otras frecuencias. Por esto se trata de utilizar capacitares de valores grandes para los filtros, pues la capacitancia es también, al igual que la frecuencia, un parámetro que hace variar la impedancia del capacitor.


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Por otra parte, al utilizar un rectificador de onda completa, lo que se logra es una componente de directa de mayor amplitud relativa con respecto a las demás componentes, por lo que se logra un mayor efecto del filtro utilizado. 2.8 DISTORSIÓN ARMÓNICA

En los amplificadores de señal con elementos semiconductores se hace lo posible por que se trabaje de manera lineal en su función de transferencia, objetivo que no siempre se consigue. La operación no lineal de un elemento semiconductor produce un efecto en el espectro de frecuencias de la señal con la que se trabaja, resultando en la creación de una serie de frecuencias armónicas. Estas nuevas componentes, al sumarse, producen en la señal de salida una distorsión con respecto a la señal de entrada. Por esto a este tipo de distorsión se le denomina distorsión armónica.

Cuando la señal de entrada a un amplificador no lineal es una señal senoidal, a la salida se obtiene la señal distorsionada, cuya gráfica se muestra en la figura 9. Esta señal se forma por la adición de la frecuencia fundamental o primer armónica con la segunda armónica, como lo sugiere el espectro de frecuencias de la señal distorsionada.

Por esto la distorsión ”se elimina” si a la salida del amplificador se coloca

un filtro pasa bajas; lo que realmente sé esta haciendo es eliminando precisamente la segunda armónica, con lo que la señal de salida es únicamente la fundamental.

Fig 9 ONDA SENOIDAL DISTORSIONADA Y SUS COMPONENTES DE FRECUENCIA

a) GRÁFICA EN EL TIEMPO. b) ESPECTRO DE FRECUENCIAS.


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2.9 LA FORMA EXPONENCIAL DE LA SERIE DE FOURIER

La serie de FOURIER en senos y cosenos es llamada “SERIES TRIGONOMÉTRICAS” y como se ha visto es una herramienta importante; el problema que presenta es que su manejo matemático se vuelve complejo al trabajar con otro tipo de señales, por esto a partir de esta serie se trata de obtener una expresión más sencilla que facilite el análisis matemático. Esta nueva forma de la serie de FOURIER es a través de funciones exponenciales.

Para obtener la forma exponencial de la serie de FOURIER es necesario

considerar las siguientes identidades:

las cuales al ser sumadas y restadas mutuamente dan como resultado:

con lo que al ser sustituidos en la serie trigonométrica de FOURIER ésta toma la forma:

y generalizando los coeficientes:

en donde

de la cual se desprende que: para n = 0, Cn= Co para n > 0, Cn = an - i bn / 2 para n < 0, Cn = an + i bn / 2


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Con esto se obtiene una forma mas compacta y general de la serie de FOURIER, cuya utilización se vuelve más fácil en cualquier análisis en comparación con la forma trigonométrica. En el siguiente ejemplo se desarrolla una aplicación de esta serie de FOURIER.

La señal que se quiere representar a través de su serie de FOURIER en forma exponencial es una onda diente de sierra, cuya gráfica y definición funcional son:

Fig 10 SEÑAL PERIODICA DIENTE DE SIERRA Su representación es:


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desarrollando la integral:

como w = 2p / t, entonces e -inwt = e -in2p = 1, por lo tanto:

y con n =0 se tiene que:

y finalmente, la serie de FOURIER exponencial de la onda triangular queda como:

Esta forma de expresar la serie de FOURIER tiene el mismo sentido que

la forma trigonométrica. En este caso también se tienen componentes en distintas frecuencias y con distintas amplitudes. Las componentes son de la forma e iwt con amplitud A y frecuencia W. En el ejemplo desarrollado se obtuvo una componente de directa (1/2 A), y una suma de componentes en distintas frecuencias y con amplitudes A /2n π. En la figura 11 se muestra la representación del diagrama de componentes o espectro de frecuencias del ejemplo analizado.

En el ejemplo desarrollado se obtuvo una componente de directa (1/2A), y una suma de componentes en distintas frecuencias y con amplitudes A/2 π.


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En la figura se muestra la representación del diagrama de componentes

o espectro de frecuencia del ejemplo analizado.

Fig. 11 ESPECTRO DE FRECUENCIAS DE UNA ONDA DIENTE DE SIERRA

Lo importante de este espectro es que en el se obtiene la frecuencia a la que se sitúa cada componente y su amplitud relativa con respecto a las demás componentes, pues no hay que olvidar que lo que se graficó es la amplitud y frecuencia de componentes exponenciales complejos. La existencia de frecuencias negativas no tiene sentido físico, solo es la representación de una expresión matemática, la cual toma sentido hasta que los diferentes componentes que se tienen se suman para forjar la función que se esta representando. Esto puede aclararse recordando por ejemplo la siguiente expresión:

Cos nx =[ e inx + e -inx ] / 2 en donde se observa que la suma de los exponentes complejos (uno de ellos con frecuencia negativa) forma una función real, Cos nx en este caso.


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2.10 TRANSFORMADA DE FOURIER SERIE DE FOURIER DE UNA SEÑAL APERIODICA

El análisis de FOURIER desarrollado con anterioridad es valido para el caso en que las señales que se van a representar sean periódicas, de acuerdo a las condiciones establecidas al principio del capitulo. Cuando se tiene una señal no periódica esta puede representarse, suponiéndola periódica, a través de sus series de FOURIER pero solo en un intervalo bien definido, pues fuera de él la serie vuelve a repetir la señal en forma periódica. Si el periodo supuesto se hace más y más largo, el intervalo en donde es válida la representación se hace igualmente mayor, lo que implica que la frecuencia fundamental disminuye, como se ilustra en la figura 12.

Fig 12 SEÑAL APERIODICA APKOXIMADA POR PERIODICIDA


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Considérese nuevamente la forma exponencial de la serie de FOURIER:

Si fo(t) es la función no periódica y f(t) es su repetición, es decir, su conversión en periódica, se tiene que:

en donde

La última expresión de fo(t) es la representación en serie de FOURIER de una función no periódica y F(ω) indica las magnitudes de los coeficientes de la representación. F(ω) se denomina, en general, la transformada de FOURIER de la señal f(t), mientras que esta es la transformada de FOURIER inversa de F(ω); indicándose de la siguiente , manera: F(ω)=f [ f(t) ] y f(t) = f -1 [ F(ω) ]

F(ω) es la representación de f(t) en el dominio de la frecuencia, indica las amplitudes relativas de las componentes de la función, mientras que f(t) específica el valor de la función en cada instante de tiempo.


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En general F(ω) es una cantidad compleja y por lo tanto posee una magnitud y fase. Además, se puede observar en la expresión para F(ω) que esta es una función continua, a diferencia de la serie de FOURIER para funciones periódicas, en donde las componentes son discretas: Existen valores específicos y discretos de frecuencia.

Como ejemplo de esto se calculará a continuación la transformada de

FOURIER de un impulso, recordando primero su definición a partir de la función escalón, en la siguiente figura.

La función impulso o delta se define como:

a) b)

Fig 13 a) FUNClÓN ESCALON b) FUNCIÓN IMPULSO Su transformada de FOURIER está dada por:


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En resumen puede decirse que la transformada de FOURIER es una

Operación que muestra el espectro de frecuencia de señales en el tiempo, sean estas periódicas o no periódicas y de las operaciones que se realicen en ellas.

En la tabla se muestran las gráficas y los valores correspondientes de la transformada de FOURIER de algunas señales periódicas.


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1.- f(t) e –at u(t) 2.- f(t) t e –at u (t) 3.- f(t) e –a/t/ 4.- f(t) e –at sen (ωt) u(t)

2.11 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER

El análisis de ciertas propiedades de la transformada de FOURIER permite trabajar con ella en forma sencilla y rápida. Las propiedades que se listan a continuación se consideran como las más importantes y se les trata de dar un significado más concreto que la simple expresión matemática. Simetría

Si f(t) F(ω)

Entonces F(t) 2πf(-ω)

Significa que existe una correspondencia casi perfecta entre la función en el tiempo y su transformada de FOURIER. Por ejemplo, la transformada de FOURIER de un pulso es una constante y la transformada de FOURIER de una constante es un pulso. Linealidad

Si f(t) F(ω) y f(t) F(ω)

y a1 y a2 = constantes

entonces a1f1(t) + a2f2(t) a1F1(ω) + a2F2(ω) Este resultado es obvio pues F1(ω) y F2(ω) son integrales y se comportan como tales en el desarrollo.


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Esta propiedad se ilustra en la figura 15, en donde se tienen dos funciones senoidales de diferentes frecuencias; se muestra la suma en el tiempo y sus correspondientes espectros de frecuencia.

Figura 15. Gráficas que muestran la propiedad de la linealidad de la transformada de FOURIER


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Si f(t) F(ω) y a = constante entonces f(at) 1/(a) F(ω/a)

Este resultado es también de fácil demostración por la misma característica de integral de F(ω) y significa que al expandir o comprimir en el tiempo a f(t) en un factor a se consigue la subsecuente compresión o expansión en la frecuencia respectivamente. Resultado válido también en forma inversa.

Traslación en la frecuencia

Si f(t) F(ω) Entonces f(t) e –iωot F(ω – ωo)

Esta es una expresión muy importante para la teoría de las comunicaciones electrónicas y significa que la multiplicación de una función por una exponencial de cómo resultado únicamente el desplazamiento en frecuencia de la función en una frecuencia igual a la de la exponencial. De este resultado se deducen dos más de mayor significado físico:

f(t) cos ωot 1/2 [F (ω + ωo) + F(ω - ωo)] f(t) sen ωot 1/2 [F (ω + ωo) - F (ω - ωo)]

En donde la función es trasladada en ± ωo. Uno de estos últimos

resultados se puede apreciar en la figura 16.


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GRÁFICAS QUE MUESTRAN LA PROPIEDAD DE TRASLACIÓN EN LA FRECUENCIA EN LA TRANSFORMADA DE FOURIER.

Traslación en el tiempo

Entonces Lo que significa que un desplazo de la función en el tiempo no afecta la magnitud de su espectro de frecuencia, sino únicamente su fase.


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Derivación en el tiempo

Si f(t) F(ω)

entonces df(t) / dt (iω) F(ω) Derivación en la frecuencia

Sí f(t) F(ω)

entonces -it f(t) dF(ω) / dω Convolción en el tiempo

Si f(t) F(ω) y f(t) F(ω) y

en donde * es un operador especial y no un signo de multiplicación, entonces

f1(t) * f2(t) F1(ω) F2(ω)

En este resultado a f1(t) * f2(t) se le denomina como la convulsión en el

tiempo de las funciones f1(t) y f2(t), cuya transformada de FOURIER está dada por la multiplicación de las transformadas de FOURIER de cada función.

Ciertamente que la integral que representa f1(t) * f2(t) podría parecer un tanto rebuscada, pero no es así; su aplicación está ligada con la teoría de los sistemas lineales, como se mostrará brevemente a continuación.


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Un sistema lineal con cierta función de transferencia responde a una entrada cualquiera f(t) con una salida g(t) que depende de la entrada. Si la entrada es una función impulso δ(t) la salida del sistema es la función h(t) y tomando en cuenta que un impulso esta compuesto por todas las frecuencias del espectro, se puede considerar que en la respuesta h(t) está incluida de alguna manera la respuesta a cualquier función f(t). Esto es cierto y precisamente la respuesta g(t) de un sistema lineal a una función cualquiera f(t) se puede conocer por:

o, en el dominio de la frecuencia por: G(ω) = H(ω) F(ω) Convolsión en la frecuencia

Si f1(t) F1(ω) y f2(t) F2(ω)

entonces f1(t) f2(t)

o sea f1(t) f2(t) = Con esta expresión se generaliza el resultado de la traslación en frecuencia, es decir, el contenido de frecuencia de la multiplicación de dos funciones cualesquiera está dado por la convulsión de sus transformadas de FOURIER. Sin embargo, la evaluación de la integral no es siempre sencilla, pero cuando una de las funciones que se convulsionan tiene componentes de frecuencia discretos la convulsión se puede encontrar gráficamente, pues como se indicó en la propiedad de la translación en la Frecuencia, lo que sucede es que el espectro de una función se ve trasladado a cada una de las frecuencias discretas componentes de la otra función. Esto se ejemplifica en la figura 17, en donde una función cualquiera se multiplica por una onda cuadrada.

Es conveniente hacer notar que si bien el análisis de FOURIER es poderoso, no es estrictamente general, contiene excepciones que son cubiertas por algún otro tipo de análisis.


UNIDAD 3 ANÁLISIS ARMONICO EN LA FRECUENCIA

FOURIER Y EL DOMINIO DE LA FRECUENC IA

3.1 CONCEPTOS DEL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

3.2 TEORÍA DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT)

3.3 MATEMÁTICA DE LA DFT

3.4 DESARROLLO DEL ALGORITMO DE LA FFT

3.5 FACTOR TWIDDLE (FASE)

3.6 MARIPOSA DE LA DFT

57


58

3.1 CONCEPTOS DE DOMINIO DE LA FRECUENCIA

La transformada de FOURIER es una de las herramientas que es usada en el análisis de las señales. Estas señales se pueden descomponer en términos de componentes de senos y cosenos. Con tal descomposición, las señales son representadas en el dominio de la frecuencia.

Para las señales periódicas la descomposición es analizada por la SERIE DE FOUIRER. Para las señales no periódicas la descomposición es analizada por la TRANSFORMADA DE FOURIER. Estas descomposiciones son demasiado importantes en el análisis de sistemas, porque la respuesta de un sistema a una señal senoidal de entrada es una senoide de la misma frecuencia pero de diferente amplitud y fase.

La transformada de FOURIER tiene muchas aplicaciones, de hecho en

cualquiera de las ciencias que utilicen señales analógicas o digitales y apliquen las matemáticas hacen uso de la teoría de FOURIER.

Dependiendo de que queramos hacer con la señal, un dominio tiende a ser más simple que otro. En el momento del manejo matemático de una señal, el dominio de la frecuencia es más simple que el dominio del tiempo.

Ahora que conocemos el dominio de la frecuencia y sabemos que el

análisis de FOURIER es la herramienta que nos conduce a este plano tenemos por que estar interesados en este trabajo extra.


59

Si se tiene una señal continua en el rango -w<t<w como se muestra en la figura.

tomamos la transformada de FOURIER para encontrar el contenido de sus frecuencias,

Tendremos dos impulsos en el dominio de la frecuencia de la onda seno.

La figura muestra la respuesta en frecuencia de una onda seno.


60

La figura representa un pulso rectangular mejor conocido como función ventana.

La respuesta en frecuencia de la función ventana es


61

Si tomamos un periodo de la señal x(t)=A Sen(wt). Esto equivale a multiplicar la onda seno por una función ventana. Que existe solo parta un tiempo t.

La figura muestra el resultado de la multiplicación de dos funciones

La multiplicación de X(t) W(t) como señales en el tiempo producirá una nueva frecuencia que puede ser trabaja por convolución de la respuesta de frecuencia de X(t) y W(t). Recuerda que la multiplicación en el dominio del tiempo es convolución en el dominio de la frecuencia y viceversa.


62

Así la convolución en el dominio de la frecuencia es:

Esto es solo una aproximación a la respuesta de frecuencia ideal 3.2 TEORÍA DE LA DFT SEÑALES DISCRETAS Son señales donde existen solo para puntos discretos del tiempo.

Para convertir una señal continua en el tiempo en una señal discreta, deberemos HACER UN MUESTREO. Esto equivalente a multiplicar la señal por una serie de impulsos C(t).


63

Tomando muestras de la onda seno finita nos da la señal X(t), w(t), C(t)

que tiene la respuesta de frecuencia X(w), W(w), C(w).


64

Si observamos la respuesta de frecuencia de la señal muestreada veremos que es periódica en la frecuencia de muestreo.

Todavía hay un problema, la respuesta de frecuencia es todavía continua aun cuando la señal original de tiempo es discreta. Necesitamos que una respuesta de frecuencia discreta sea usada en una computadora, así que simplemente la multiplicamos en el dominio de la frecuencia por una secuencia de impulsos y así obtendremos la respuesta de la señal muestreada.

En este último paso donde multiplicamos en el dominio de la frecuencia

requiere que convolvamos la secuencia de tiempo discreto con la secuencia de impulsos en el dominio del tiempo.

Qué pasa si la secuencia muestreada se hace periódica a la longitud de

la secuencia muestreada. Por ejemplo si la señal de entrada es:


65

Entonces la secuencia discreta muestreada para la DFT es:

El TEOREMA DE MUESTREO

La forma en que una computadora puede manejar una señal continua (análoga) es tomando muestras de ella. La frecuencia de muestreo es: dos veces la frecuencia máxima absoluta. Más formalmente

fmuestreo ≥ 2 fmax

La frecuencia de muestreo es así llamada FRECUENCIA DE NYQUIST, también se puede decir que la frecuencia máxima es la mitad de la frecuencia de NYQUIST.

Muestreando a esta razón no resultará información perdida, pero si

muestreamos a una frecuencia menor que ésta, entonces no se podrá reconstruir la señal como primeramente aparece. La razón para esto es que muestrear una señal es equivalente a multiplicar por una serie de funciones delta.


66

Bien ahora multiplicando dos señales juntas en el dominio del tiempo es equivalente a la convolucion de su respuesta, en el dominio de la frecuencia.

Si la frecuencia de muestreo fue lo bastante alta (más que dos veces f(max) entonces las bandas laterales se mantienen lejos una de otra. Pero si no tienes una frecuencia de muestreo lo suficiente alta entonces las bandas se sobre montan. Un ejemplo de cuando la frecuencia de muestreo es

Otro ejemplo cuando la frecuencia de muestreo fue tan baja, y resulta

una perdida de información


67

En la vida real las señales continuas tienen frecuencias que están atrás de cualquier frecuencia de muestreo posible, esto forja a contener infinitas frecuencias arriba de la mitad de la frecuencia de muestreo. Esto todavía no es perfecto pero es un método práctico. FRECUENCIAS DISCRETAS

Una secuencia de impulsos en el dominio de la frecuencia es equivalente a una serie de FOURIER, a una infinita suma de ondas seno. 3.3 MATEMÁTICAS DE LA DFT La forma continua de la transformada de Fourier

Si discretizamos la señal continua f(t), tendremos,

Que en giro nos dará

Entonces


68

Lo que nosotros tenemos ahora es equivalente a una señal f(n) discreta en tiempo. Substituyendo dentro de la forma continua de la transformada de FOURIER, nos dará:

Si observas la última ecuación verás que la integral ha sido remplazada por una sumatoria

La sumatoria es ahora el equivalente discreto de una integración continua. Esta es la TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT).

LA ECUACIÓN DE LA DFT

TWIDDLE FACTOR

En la definición de la DFT hay un factor llamado el TWIDDLE FACTOR o factor de regreso

donde N=NÚMERO DE MUESTRAS


69

Si tomamos una secuencia de muestras de 8 bit, nosotros podremos representar el factor TWIDDLE o de regreso como un vector en el círculo unitario.

Note que: 1. Los vectores son periódicos 2. Los vectores son simétricos 3. Los vectores son igualmente espaciados

alrededor del círculo con espacios iguales a

donde

y

Es la frecuencia de muestreo y N es el número de muestras

es llamado la frecuencia de resolución o los espacios de salida de la DFT


70

EL FACTOR TWIDDLE MAPEO EN EL CIRCULO UNITARIO ES PERIODICO.

La frecuencia normalizada de muestreo es 2π si una vuelta toma la frecuencia de muestreo, dos vueltas es el resultado de dos giros en el circulo, entonces la DFT resulta periódica acerca de la frecuencia de muestreo.

El factor TWIDDLE es inversamente simétrico acerca del origen.

Esto quiere decir que sólo la primer mitad del factor TWIDDLE contiene toda la información necesaria.

Si observas la ecuación DFT, veras que para N secuencia de muestras,

produce N muestras de salida en el dominio de la frecuencia. Pero porque del factor TWIDDLE, nosotros solo necesitamos la primera mitad (arriba de la mitad de la frecuencia de muestreo, esto es comúnmente llamado la 42 de la frecuencia de NYQUIST). Recuerda el teorema de muestreo donde cualquier frecuencia arriba de la mitad de la frecuencia de muestreo son pérdidas.

LA RESPUESTA DE LA DFT ES FRECUENTEMENTE COMPLEJA

La respuesta de frecuencia obtenida de la DFT es frecuentemente compleja, sin embargo, nuestra señal original puede ser completamente Real. ¿Cómo esta esto? ¿De dónde viene la parte compleja?

Si observamos el factor TWIDDLE encontraras que la exponencial tiene

un término j. A menos que nuestra señal de entrada pueda cancelar la salida, nuestra respuesta de frecuencia contendrá este término j y será complejo.


71

PERIODICIDAD

Si observamos la explicación de la DFT, verás que la entrada finita viene a ser periódica, como la respuesta de frecuencia. Esto es algo que tiene que ser considerado siempre que interprete el resultado de la DFT. Esto se representa matemáticamente como:

x(n) = x(n+iN) i=0,1,2,..... x(k) = x(k+iN) LINEALIDAD

Si tomamos la DFT secuencias de dos y obtienes su respuesta de frecuencia entonces la combinación DFT de estas secuencias es la suma de sus respuestas individuales de frecuencia. Mas matemáticamente esto es: Sí x1 (n) x1 (k) y x2 (n) x2 (k) entonces a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 x1 (k) + a2 x2 (k) DESPLAZAMIENTO CICULAR DE DFT DE ENTRADA

Para una secuencia para toda N entonces esto puede ser movido a x(n-n0). Cuando trabajamos con la DFT las secuencias son solo definidas para 0 a (n-1), por eso cuando la secuencia es de interés, parte de esto quedará fuera del área de interés. Sin embargo la DFT es periódica antes y después de ésta área. Así cuando la secuencia es cambiada fuera si la ventana (0 a n-1), esto puede ser pensada como enrollando la parte que caiga de la parte final y regresa a la secuencia original. Mas bien como que la secuencia esta sobre una rueda con un punto de referencia fijo, y la rueda gira cuando uno cambia la función.


72

Regresando a las propiedades del factor TWIDDLE podemos, representar esta idea como DFT

Sí x (n) x (k) entonces

CAMBIO CIRCULAR DE LA DFT DE SALIDA

Esta misma propiedad cambio se aplica el dominio de la frecuencia igual que al dominio del tiempo, usando la misma notación nosotros tenemos: Sí x1(n) x1(k) Entonces

Esta vez es la señal del dominio del tiempo que es multiplicada por el factor TWIDDLE debe notarse que porque el factor TWIDDLE es complejo que un cambio en el dominio de la frecuencia usualmente resultara en una forma compleja de secuencia del dominio del tiempo aunque esto sea originalmente real.


73

3.4 DESARROLLO DEL ALGORITMO DE LA DFT

La transformada de FOURIER convierte información del dominio del tiempo en dominio de la frecuencia. Es una importante herramienta analítica en esos campos tan diversos como acústica, óptica, sismología, telecomunicaciones, habla procesado de señales y procesado de imágenes. En sistemas de tiempo discreto, la transformada discreta de FOURIER (DFT) es la contraparte de la transformada de FOURIER del tiempo continuo.

LA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT) es el nombre

genérico para una clase de algoritmos computacionalmente eficientes que implementan el DFT y son ampliamente usados en el campo del procesado digital de señales (DSP).

Recientes avances en dispositivos VLSI tales como la familia de

procesadores digitales de señales TM320 de Texas Instruments, han elevado aún más la popularidad del FFT. Las técnicas de implementación descritas son aplicables a todos los algoritmos FFT en general.

La transformada discreta de FOURIER (DFT) es la versión de la

transformada de FOURIER en tiempo continuo. La transformada de FOURIER en tiempo continuo o espectro de frecuencia de la señal análoga x(t) es:

Donde en general ambas x(t) y X(ω) son funciones complejas de la variable t del tiempo continuo y la variable ω de frecuencia respectivamente. La señal x(t) tiempo continuo es convertida a señal x(nt) tiempo discreto por muestreo cada T segundo. Cuando no haya ambigüedad, el periodo de muestreo τ es bajado y la señal discreta es representada por x(n). La transformada de FOURIER de la señal discreta esta dada por:


74

Donde ω representa frecuencias normalizadas y adopta valores entre 0 y 2π. X(ω) es periódica con periodo 2π y como resultado es suficiente considerar sus valores únicamente entre 0 y 2π la periodicidad de X(ω) es un resultado directo de la naturaleza mostrada de x(n). En general, muestreo de dominio del tiempo es asociado con periodicidad en el dominio de la frecuencia e inversamente, muestreo en el dominio de la frecuencia es asociado con periodicidad en el dominio del tiempo. Esta propiedad es un resultado básico en la teoría de FOURIER, y forma la cimentación de la DFT.

Asumiendo que una señal x(n) consiste de N muestras, es conveniente considerar que la señal es periódicamente repetida. Bajo este concepto y porque de la anterior correspondencia de muestreo y periodicidad, la transformada de FOURIER se hace discreta con la distancia de muestras sucesivas iguales a las frecuencias fundamentales de la señal en el dominio del tiempo. El resultado de la DFT es dado por:

ωn = e-j2π/N, y ωN es conocido como la fase 0 factor de regreso. La Ecuación de arriba es generalmente como referida como un punto N DFT.

Porque el número de complejas multiplicaciones y sumas requeridas es

aproximadamente N2 para N grande, el número total de operaciones aritméticas requeridas para un N dado, aumenta rápidamente con el valor de N.

De hecho, las cantidades excesivamente grandes de computación requeridas para computar el DFT directamente han urgido métodos alternos para computar el DFT eficientemente. La mayoría de esos métodos hacen uso de la aritmética inherente y periodicidad del anterior factor de regreso, como es mostrado en la figura 1 para el caso donde N = 8.


75

La figura 1 muestra que las siguientes relaciones de simetría y periodicidad son verdaderas:

Propiedad de la simetría ωN

k = -ωNk+(N/2)

Propiedad de la periodicidad ωN

k = ωNN+k

En la siguiente sección esas relaciones son utilizadas en la derivación del radix-2 FFT algoritmo.

3.5 FACTOR TWIDDLE

Figura 1 Simetría y Periodicidad del giro factor de N =8


76

3.6 MARIPOSA DE LA DFT

Un método más eficiente de computar el DFT que significantemente reduce el número de operaciones aritméticas requeridas es el así llamado algoritmo decimación- en tiempo (DIT) FFT2. Con la FFT, N es un número favorable que permite el punto N DFT completo a ser descompuesto en transformadas sucesivamente más y más pequeñas. El tamaño de la transformada más pequeña de esa forma derivada es conocido como el radix del algoritmo FFT.

De esa manera para un algoritmo FFT radix-2, la transformada más pequeña o “mariposa” (unidad básica computacional) usando el DFT 2 puntos generalmente, para un punto N FFT, hay N ejemplos de frecuencias resultantes, correspondiendo a muestras en el tiempo N de la señal impuesta x(n). Para un FFT radix-2, N es potencia de dos.

El número de operaciones aritméticas puede ser reducido inicialmente

descomponiendo el punto N DFT en dos N/2 puntos DFTS. Esto significa que la frecuencia de tiempo impuesta x(n) es descompuesta en dos N/2 puntos (origina el nombre decimación en tiempo) el cual consiste de sus muestras numeradas pares o numeradas nones con índices de tiempo expresadas matemáticamente como 2n y 2n+1, respectivamente.

Substituyendo esos índices de tiempo dentro de la ecuación original DFT

tenemos.


77

Ecuación (6) puede ser escrita como:

k= 0,1,…,N-1

Y(k) es el primer termino de respuesta y z(k) es el segundo término de respuesta.

Y(k) y Z(k) es más adelante vistos a ser el N/2 puntos DFTS, o las

muestras numeradas pares y numeradas nones respectivamente. En este caso el número de complejas multiplicaciones y sumas es aproximadamente N+2 (N/2)2 porque, de acuerdo a (7) el N punto DFT es separado en dos N/2 puntos DFTS, los cuales son entonces combinados por N complejas multiplicaciones y sumas.

De esa manera el separar el N punto DFT original en dos N/2 punto

DFTS, el número total de operaciones aritméticas ha sido reducido. Esta reducción es ilustrada en figura 2.

Implícita en la derivación anterior es la periodicidad de X(k), Y(k) y Z(k).

X(k) es periódica en k con un periodo N, mientras que Y( k) y Z(k) son ambos periódicos en k con un N/2. Consecuentemente, a pesar del hecho de que el índice k alcanza sobre N valores de 0 a N-1 para X(k), ambos Y(k) y Z(k) deben ser computados para k entre 0 y (N/2)-1 únicamente.

Sin embargo (7) puede ser usado para evaluar X(k) para 0≤k≤N-1,

posteriores reducciones en la cantidad de computación es posible cuando la propiedad simetría (4) y periodicidad (5) del factor de regreso son utilizada para computar X(k) separadamente sobre los siguientes alcances.

1er mitad de espectro de frecuencia 0≤k≤N-1 2da mitad de espectro de frecuencia (N/2) ≤k≤(N-1)


78

Figura 2

desde

y


79

Por lo tanto, (7) puede ser usado para computar la primer mitad del espectro de frecuencia X(k) para el alcance indica 0≤k≤ (N/2)-1, mientras que la ecuación (9) puede ser usada para computar la segunda mitad del espectro de frecuencia X(k+N/2).

La figura 3 muestra la situación cuando la propiedad simetría del factor de regreso es usada para computar X(k). El proceso anterior de decimación y la explotación de simetría pueden reducir la computación DFT tremendamente. Decimando posteriormente las muestras de tiempo numeradas pares y numeradas nones de una forma similar, cuatro N/4 punto DFTS pueden ser obtenidos, resultando en una reducción posterior en la computación DFT. Consecuentemente para llegar al algoritmo final radix-2 DIT FFT, este proceso de decimación es repetidamente llevada a cabo hasta que eventualmente el N-point DFT pueda ser evaluada como una colección de 2-punto DFTS o mariposa.

FIGURA 3 RADIX-2 DECIMACION EN TIEMPO (DIT) FFT MARIPOSA

En el algoritmo Radix-2 DIT FFT, el proceso de decimación de tiempo pasa a través de un total de M etapas donde N = 2m con N/2 2- punto FFTS o mariposa por etapa, dando un total de (N/2)log2N mariposa por N-punto FFT.


80

Para el caso de un 8-punto DFT implementado usando algoritmo radix-2 DIT FFT discutido anteriormente, las muestras impuestas son procesadas a través de tres etapas. Cuatro mariposas son requeridas por etapa, dando un total de doce mariposas en la implementación radix-2. Cada mariposa es un 2-punto DFT de la forma mostrada en figura 4. P y Q son las entradas para la mariposa radix-2 DIT FFT En general, las entradas para cada mariposa son complejas como también lo es el factor de regreso.

P

Q

FIGURA 4

Como es mostrado en figura 4, las salidas P’ y Q’ de la mariposa radix-2 son dadas por:

P

Q


UNIDAD 4 APLICACIONES

APLICACIONES DE LOS DSP

4.1 COMUNICACIONES

4.2 SONAR

4.3 FILTROS

4 .4 ÓPTICA

81


82

APLICACIONES

El uso de la transformada de FOURIER tiene muchas aplicaciones, de hecho en cualquier campo de las ciencias que utilicen señales senusoidales como en ingeniería física matemáticas aplicadas y química, hacen uso de la teoría de FOURIER y sus transformadas.

Las aplicaciones relacionadas a la ingeniería y al procesamiento de

señales son las siguientes: Comunicaciones

* Radar

* Filtros

* Sismos

* Óptica

* Acústica

4.1 COMUNICACIONES

En la teoría de las comunicaciones, las señales manejan usualmente un voltaje o una corriente. Y la teoría de FOURIER es esencial para entender cómo la señal se comporta cuando esta pasa a través de filtros, amplificadores y canales de comunicación.


83

En el campo de las comunicaciones hay un vasto rango de aplicaciones.

Si nosotros tomamos un pulso digital y lo enviamos a través de una línea telefónica, idealmente se verá como esta figura

Si a esta señal le aplicamos la transformada de FOURIER, entonces

tendremos qué número de frecuencias componen a ésta, quedando representado en la siguiente figura.

Esto quiere decir que el pulso cuadrado es una suma infinita de frecuencias. Si la línea telefónica tiene sólo un ancho de banda de 10Mhz.


84

Entonces sólo las frecuencias debajo de 10Mhz tendremos a través de este canal.

Este hecho tiene que ser considerado cuando tratemos de enviar largas y grandes cantidades de datos a un canal, de no ser así, entonces los datos se corrompen haciendo el canal contaminado.

Extendiendo el ejemplo a la línea telefónica siempre que marcamos un

número escucharemos una serie de diferentes tonos. Cada uno de estos está compuesto de dos frecuencias diferentes que sumadas todas juntas producen el sonido que escuchamos.

La transformada de FOURIER es un método ideal que ilustra esto y su espectro de frecuencias.

4.2 SONAR Otro uso de las técnicas de DSP es en el sonar.

Un pulso de sonido a 6.5kg es transmitido dentro del océano hacia el fondo del mar a un ángulo oblicuo. El reflejo de la señal proporciona información acerca del fondo de rugosidad de la superficie de la inclinación y de la impedancia acústica del fondo del piso así como también pequeñas estructuras en el fondo del mar, asperezas y defectos que pueden ser presentados.


85

4.3 FILTROS

Los filtros son diseñados para dejar pasar componentes de una señal y son:

FILTROS PASA BAJAS

FILTROS PASA ALTAS

FILTROS PASA BANDA

La transformada de FOURIER proporciona una valiosa herramienta para

analizar señales dentro del dominio de la frecuencia, nos muestra sus características antes y después de los filtros.

La transformada de FOURIER y en particular la transformada rápida juega un papel importante por que ayuda al diseño de filtros. Algunos tipos de filtros activos requieren de una respuesta de pulso larga. De hecho esto no es muy frecuente para filtros prácticos que tenga 200 FIR (Finite Impulse Response). Una solución es usar IIR (Infinite Response Filter) con relativos pocos coeficientes.

Una alternativa aproximada a reducir la complejidad de los filtros FIR es

incorporando un bloque de estrategias donde la FFT use un filtro convolución. Esto salva la complejidad de acumular un gran bloque de datos antes de efectuar cualquier cálculo.

La operación básica que yace en un filtro es la transformación de la

señal de entrada en una forma más deseable antes de adoptar un proceso, esto es hecho usando uno o más DFT para transformar la señal al dominio de la frecuencia. Si la DFT es usado para implementar estos filtros se logra gran ahorro en el costo computacional.


86

4.4 ÓPTICA

En la teoría de la óptica. La señal es a menudo el campo oscilatorio eléctrico el cual existe en cualquier punto del espacio, cuando la luz pasa (la luz es parte del espectro electromagnético). La transformada de FOURIER de la señal es el equivalente de el descomposición de la luz en sus partes componentes del espectro, un ordenamiento del prisma matemático.

En este simple ejemplo la aplicación de la transformada de FOURIER en

la óptica es la difracción de la luz cuando esta pasa a través del espacio. Las ideas representadas aquí pueden ser igualmente aplicada a la acústica, los rayos X y las difracciones de microondas, o cualquier otra forma de difracción de onda.

Supongamos que tenemos la configuración mostrada en la figura

siguiente en donde tenemos los espacios en una pantalla opaca.

Si la gráfica es del lado W entonces la función transmisión puede ser

La transmisión de la función es una equivalente de una respuesta del

filtro el cual es como una banda de paso de filtro ideal. Esto deja la luz a través del espacio pero no en ninguna otra parte.

La transformada de FOURIER de esta nos da el contenido de la

frecuencia.


UNIDAD 5 CÓDIGO DEL ANALIZADOR DE SEÑALES

5.1 CÓDIGO DEL ANALIZADOR DE SEÑALES

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88

5.1 CÓDIGO DEL ANÁLISIS DEL ESPECTRO DE FRECUENCIA DE SEÑALES ;---------------------------------------------------------------------; ; DSK_SPEC.ASM ; ; (C) 1992-93 ; ; Texas Instruments Inc. ; ; By: Keith Larson ; ; TMS320Cxx DSP Aplicaciones ; ; ; ; UN ANALIZADOR DE ESPECTROS USANDO EL DSK. ; ; Mediante un osciloscopio en la salida análoga veremos el ; ; espectro de la señal de entrada análoga ; ; ; ; Al usar este código, iniciamos el enlazador DSKD. Entonces cargamos ; ; DSK_SPEC.DSK (comando de carga), y oprimimos F5. ; ; Necesitaras ajustar tu osciloscopio para obtener ; ; una forma de onda estable. Use AUTO triggering con DC coupling ; ; para tomar mas confiable el pulso de sincronía al comienzo ; ; de cada arreglo! ; ; ; ; NOTA: ; ; Observe el programa HOSTSPEC en el directorio DSKL para un ; ; analizador que no necesite un osciloscopio ; ; Este programa corre desde el interior de DSKL, no de DSKD! ; ; asegúrese al leer este documento, Y .ASM Comienza con ; ; las declaraciones de código. ; ;--------------------------------------------------------------; ; Use WTRFALL .set si ;al poner en tiempo el pivote ‘Z’ ; ;--------------------------------------------------------------; YES .set 1 ; NO .set 0 ; FFT256 .set YES ; NOTE: WTRFALL puede ser puestot via DSKA opciones ; FFT128 .set NO ; WTRFALL .set NO ; DSKA DSKSPEC asm”WTRFALL .set 1” .if FFT256 ; FFT_S .set 256 ; FFT_S-1 .set 255 ; FFT_S/2 .set 128 ; (FFT_S/2)-1 .set 127 ; .endif ;


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.if FFT128 ; FFT_S .set 128 ; FFT_S- 1 .set 27 ; FFT_S/2 .set 64 ; (FFT_S/2)-1 .set 63 ; .endif ; ;------------------------------------------------------------------; AIC_1 .set 00C18h ;TB =TA = 6 0000110000011000 = 00C18h AIC_2 .set 00205h ;TA’=TA’= 1 0000001000000101 = 00205h AIC_3 .set 0264eh ;RB =TB =13h 0010011001001110 = 0264ch 44khz AIC_CMD .set 00003h ; COMMAND 0000000000000011 = 00083h .if WTRFALL d_loops .set 010h ; pulso de sincronia lazo de retardo .else d_loops .set 03Fh ; pulso de sincronia lazo de retardo .endif TEMPX .set 060h ; estado de almacenamiento STAT1 .set 061h ; estado de almacenamiento ACCU_lo .set 062h ; ACCU_hi .set 063h ; TEMP .set 064h ; colocacion del almacenamiento temporal WIDTH .set 065h ; HEIGHT .set 066h ; .---------------------------------------------------------------- ; tabla vector secundario localizado en B0 programa RAM ;----------------------------------------------------------------

.include “mmregs.asm” ; > USERCODE SHOULD NOT OVERWRITE DSKD <

.ps 0fa00h ; > VECTORS. ON LOAD, INT2 IS RESTORED <

B start ;RS > BY DSKD, BUTTRAP IS NOT < B start ;INT0 B start ;INT1 B start ;INT2 > DSKD LOAD IGNORES INT2 VECTOR B start ;TINT B RINT ;RINT brincar al recibir rutina interrupt eint ;XINT XINT es solo para tiempos, asi just return ret ; ;Begin TRAP/DSKD Kernal ;DSKD load does not restore this code!

;-----------------------------------------------------------------


90

; APPLICATION CODE IS LOCATED ABOVE DSKD KERNAL ;------------------------------------------------------------------------ .ps 0FB00h ;

.entry ; start: Idpk 0 ; All direct addressing is to MMRs and B2

fort 0 ; Serial port : 16 bit rtxm ; : ext. FSX sfsm ; ; burst mode lack 080h ; AIC reset by pulsing /BR (Global Data)

sach DXR ; send 0 to DXR (AIC) sacl GREG ; 256 * 100 nS /BR pulse Irlk AR0, 0FFFFh ; Rptk 255 ; read junk from address 0xFFFF Lac *,0,AR0 ; conf 1 ; B1,B3 as DRAM if direct bootload sovm ; catch accumulator overflows

;------------------------------------- AIC_RS lack 024h ; Turn on XINT

sacl IMR ; idle ; lalk AIC_1 ; Load each AIC configuration word call AIC_2nd ; and load it into the AIC lalk AIC_2 ; call AIC_2nd ; lalk AIC_3 ; call AIC_2nd ; lalk AIC_CMD ; call AIC_2nd ;

;---------------------------------------------------------------- lark AR7,0 ; Buffer initialy filled ssxm ; lack 014h ; AIC RINT sacl IMR ; where INTO indicates EOC (End Of Conv) ;---------------------------------------------------------------- lark AR7,0 ; Buffer initialy filled

FFT: Irlk AR0,FFT_S/2 ; larp AR0 ; start FFT with AR0=FFTSize


91

new_stg Irlk AR1,_D_base ; AR1 is the TOP BFLY address

Irlk AR2,_D_base ; AR2 is the BOT BFLY address Irlk AR3,_T_base+ 1 ; AR3 is the TWiddle pointer Irlk AR4,FFT_S/2 ; AR4 counts DFT blocks bn_DFT2,*,AR1 ;

DFT: mar *BR0+,AR5 ; complete circular buffer for TW’s

lark AR5,1 ;set up DFT loop with *BR0+/BANZ mar *BR0 +,AR1 ; using 1 cuts *BR0+ loop in half! ;---------------------------------------------- ; AR1=Top AR2=Bottom AR3=Twiddle ;----------------------------------------------

BFLY: lac *, 14,AR2 ;(imag1+imag2)/4 add *,14,AR1 ; sach *+,1,AR2 ;store TOP imag sub *,15 ;(imag1-imag2)/2 sach *+,1 ,AR1 ;store BOT imag lac *,14,AR2 ;(real1+real2)/4 add *,14,AR1 ; sach *+,1,AR2 ;store TOP real sub *15 ;(real1-real2)/2 sach *,1,AR5 ;store BOT real banz OK,*BRO+,AR3 ;If at DFT end quit early ;------------------------ , mar *+,AR2 ;clean up TW base (xxx0000+1) mar *+ ;modify BOTom DATA pointer mar *0+ ; mar *0+,AR1 ;

n_DFT2: mar *0+ ;modify the TOP pointer mar *0+,AR4 ; banz DFT,*0-,AR3 ;dec DFT block count AR4 by OFFset larp AR0 ; mar *BR0+ ; banz new_stg,* ; if OFFset was 1, now cleared b endFFT ; ;------------------------------------

OK lt *-,AR2 ;TREG=TWR *NOTE* Twiddles are Q15 mpy *- ;PREG=REAL*TWR Itp *+,AR3 ;TREG=IMAG ACCU=REAL*TWR mpy * ;PREG=IMAG*TWI AR2=R AR3=I Its *+,AR2 ;TREG=TWI ACCU=REAL*TWR-IMAG*TWI


92

mpy * ;PREG=REAL*TWI

sach *-,1,AR2 ;< < < < < ; ltP *,AR3 ;TREG=IMAG ACCU=REAL*TWI mpy *BR0+,AR2 ;PREG=IMAG*TWR apac ; ACCU=IMAG*TWR+REAL*TWI sach *+,1,AR2 ; < < < < < ; b BFLY,*+,AR1 ; ;------------------------------------------------------------

endFFT: larp AR2 ;Transform REAL & IMAG to log magnitude

Irlk AR2,_D_base ;AR3=FFT data pointer Irlk AR3,FFT_S-1 ;AR5=FFT loop counter

more_MAG sqra *+ ;PREG=IMAG^2 Itp * ;TREG=REAL ACCU=IMAG^2 mpy *,AR1 ;PREG=REAL^2 apac ;ACCU=REAL^2+IMAG^2 lark AR1,31 ;NORMalize the accumulator rptk 30 ;use for other types of conversion norm *- ; bnz sig_NZ,*,AR2 ;if zero must return 0 lark AR1,0 ;

sig_NZ sach *,2,AR2 ;< < < < <;clear explicit 1.0 from mantissa zals * ;load into accumulator and andk 0FF80h ;; clear LSB’s for AIC sar AR1,* ;append the exponent (AR5) addh * ; xork 020h,15 ;change to 2’s compliment rptk 3 ;jam result to top of ACCU sfl ; sach *+,7,AR3 ; banz more-MAG,*-,AR2 ;keep going until all done ;---------------------------------------------------------

BITREV: Irlk AR0,FFT_S ;Now perform Output bit reversal Irlk AR1,_D_base ;by moving the magnitude, which Irlk AR2,_D_base+1 ;is in the REAL slots, into the Irlk AR3,FFT-S-1 ;IMAG slots of the FFT data array

more_BR lac *+ ;load the magnitude mar *+,AR1 ; sacl *BR0+,0,AR3 ;move it to an open IMAG slot banz more_BR,*-,AR2 ;more data to move? ;--------------------------------------------------------------


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MOVE_IO larp AR7 ;wait until buffer is full

banz MOVE_IO,*,AR2 ;(AR7 is decremented by ISR) Irlk AR3,_D_base ;AR3=FFT data pointer Irlk AR4,_B_base ;AR4=BUFF data pointer Irlk AR5,(FFT_S/2)-1 ;AR5=FFT loop counter Irlk AR6,_B_base ;AR6=ISR BUFF data pointer lalk 08000h ;send synch when BUFF is full sacl DXR ;

.if WTRFALL ; lac WIDTH ;Adjust X&Z-axis for Waterfall display addk 010h ;Height and Width adjust 0-15 (x8)

andk 0FFh ;

sacl WIDTH ; sacl HEIGHT,6 ;

.endif ; lark AR2,d_loops ;

delay: ; .if WTRFALL ;

rpt WIDTH ;2,18,34,50,66... cycle delay nop ;

.endif ; rptk 060h ; nop ; banz delay,*- ; Irlk AR2,_T_base+ 1 ;AR2=WIN data pointer Irlk AR7,FFT_S-1 ;AR7=ISR BUFF loop counter ;------------------------------ Lrlk AR0,FFT_S/2 ; Use twiddle table for raised

more_IO lalk 04000h,1 ; cosine window add *BR0+,0,AR4 ; sfr ; sacl TEMP ; It TEMP ;TREG=WIN mpy *,AR3 ;PREG=IN*WIN


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zals *,AR4 ;ACCU=magnitude (put in Buffer)

sacl *+,0,AR3 ; sach *+,0,AR3 ;< < < < <;IMAG=O . I sach *+,1,AR5 ;REAL=IN (windowed buffer) eint ;1st BUFF posn clr so enable INT’s banz more_IO,*-,AR2 ; Irlk AR5,(FFT_S/2)-1 ;AR5=FFT loop counter

more_IO2 lalk 04000h,1 ; cosine window Add *BR0-,0,AR4 ; sfr ; sacl TEMP ; It TEMP ;TREG=IN mpy *,AR3 ;PREG=IN*WIN zals *,AR4 ;ACCU=magnitude (put in Buffer)

sacl *+,0,AR3 ;

sach *+,0,AR3 ; < < < < <;IMAG=0 pac ;

sach *+,1,AR5 ;REAL=IN (windowed buffer) banz more_IO2,*-,AR2 ; b FFT ;

;--------------------------------------------------------------------------------; RINT: sst1 STAT1 ;Recover ARP from ARB by LST1 last

larp AR7 ;AR6 = current buffer position banz more_buf,*-,AR6 ;if buffer is full RET w/o EINT lark AR7,0 ; Ist1 STAT1 ; ret ;

more-buf ; sacl ACCU_lo ; sach ACCU_hi ; zalh * ; ACCU = FREQ + OFFSET + HEIGHT adlk 06000h,15 ; using ACCU_hi for OVFLW protection

.if WTRFALL ; addh HEIGHT ; add HEIGHT

.endif ; sach * ; lac * ; andk 0FFFCh ;clear LSB’s


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sacl DXR ;

;------------------------------ lac DRR ; bit TEMPX,15 ;Inverting every other input aliases the bbz NO-NVRT ;frequency domain, swapping DC and

Nyquist! neg ;

NO-NVRT ; sacl *+ ;< < < store DRR, and point to next lac TEMPX ; xork 1 ; sacl TEMPX ; zalh ACCU_hi ; adds ACCU_lo ; Ist1 STAT1 ; eint ; ret ;

**************************************************************************************** AIC_2nd adlk 6,15 ;set ACCU_hi = 3 for secondary XMIT

Idle ;Wait for a XINT sach DXR ; idle ;ACCU_hi requests 2nd XMIT

sacl DXR ; idle ;ACCU_lo sets up registers

sacl DXR,2 ;close command with LSB = OO idle ; eint ; ret ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

.listoff ;

.ds 00400h ;NOTE: Twiddles are relocated to

.include “dsk_twid.asm”; 0400h (B2) using CONF 1

.liston


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BIBLIOGRAFÍA 1.- SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALES

DIGITALES Y ANALOGOS. AUTOR: LEON W. COUCH ll EDITORIAL PRENTICE HALL.

2.- INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN AUTOR: F.G STREMLER. EDITORIAL ADDISON WESLEY.

3.- INTRODUCCION A LA TEORIA Y SISTEMAS DE COMUNICACION AUTOR: B.P. LATHI EDITORIAL LIMUSA

4.- PRINCIPIOS DE LAS TELECOMUNICACIONES J.J.O REILLI EDITORIAL ADDISON WESLEY

5.- DIGITAL SIGNAL PROCESSING principios, algoritmos y aplicaciones JOHN G. PROAKIS AND DIMITRIS G. MANOLAKIS EDIT MAXMILLAN

6.- ARQUITECTURA DE COMPUTADORAS E. ALCALDE/F ORMAECHEA J. PORTILLO/F. GARCIA MERAYO EDIT. MC. GRAW-HILL

7.- LENGUAJE ENSAMBLADOR Y PROGRAMACIÓN PARA PC IBM Y COMPATIBLES PETER ABEL EDIT PREANTICE-HALL


97

8.- LENGUAJE ENSAMBLADOR PARA MICROCOMPUTADORAS IBM J. TERRY GODFREY EDlT PENTICE HALL

9.- LENGUAJES ENSAMBLADORES JUAN FUSTER CABAÑERO Y FRANCISCO J. PEREZ ALIAGA EDIT MC. GRAW-HILL

10.- INTRODUCCIÓN AL MICROPROCESADOR 8086/8088 CHRISTOPHER L. MORGAN-MITCHELL WAITE EDIT MC. GRAW-HILL

11.- MICROPROCESADORES PROGRAMACIÓN E INTERCONEXIÓN. JOSE MARIA URUÑUELA MARTINEZ EDIT MC. GRAW-HILL

12.- WAVELETS AND FILTER BANKS GILBERT STRANG/TROUNG NGUYEN WELLESLEY-CAMBRIDGE PRESS

DIRECCIONES DE INTERNET.

http://www.spd.eee.strath.ac.uk/-interact/fourier/dft.htm

http://www.spd.eee.strath.ac.uk./-interact/fourier/dft.ideas.html

http://www.spd.eee.strath.ac.uk/-interact/fourier/dft/dftmaths.html

http://www.spd.eee.strath.ac.uk/-interact/fourier/dft/dftprop.html

http://www.spd.eee.strath.ac.uk/-interact/fourier/dff/leakage

http://www.spd.eee.strath.ac.uk/~interact/fourier/dft/hemlwindow.html


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CONCLUSIONES La finalidad de este proyecto es la de mostrar diversas herramientas matemáticas alrededor del análisis de FOURIER que faciliten el análisis de señales eléctricas. Presentar otra alternativa para conocer las señales eléctricas. Las armónicas que lo forman, su magnitud y su frecuencia y así poder predecir su comportamiento. Haciendo uso de un dispositivo electrónico Micro controlador TMS320C2X de la Texas Instrument con un lenguaje de bajo nivel usado por el micro controlador, podremos analizar el espectro de frecuencia de cualquier señal análoga o digital. Lo interesante de este proyecto es que a partir de un proceso matemático como lo es el ANÁLISIS DE FOURIER se pudo desarrollar un algoritmo que es conocido como algoritmo de la FFT. Base para la creación de los dispositivos DSP. Estos dispositivos con la increíble velocidad de procesamiento, con la versatilidad de mezcla de señales, dieron paso al desarrollo de los analizadores de espectros. Estos han evolucionado con la tecnología, pueden procesar y mostrar información espectral de la señal que se está procesando conforme esta varía. En realidad los analizadores de espectros actuales son micro controladores con una arquitectura y diseño específico orientados a realizar tareas de procesamiento de señales digitales. Para finalizar quiero dejar constancia de que este trabajo es solo un punto en todo un universo en los que se desarrollan los DSP. Para mi este trabajo representa el inicio de una nueva área de investigación donde muchos se encuentran trabajando y donde falta mucho por hacer.

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