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MATEMÁTICAS

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Libro para el maestro

matemáticas I1er Grado Volumen II

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Matemáticas I. Libro para el maestro. Volumen II. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.

AutoresAna Laura Barriendos RodríguezErnesto Manuel Espinosa AsuarDiana Violeta Solares Pineda

Asesoría académicaMaría Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo técnico y pedagógicoMaría Catalina Ortega NúñezMaría Padilla Longoria

ColaboraciónMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña,José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero,Verónica Rosainz Bonilla

Coordinación editorialSandra Hussein Domínguez

Primera edición, 2006Segunda edición, 2007Séptima reimpresión, 2013 (ciclo escolar 2014-2015)

D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.

ISBN: 978-968-01-1200-5 (obra completa)ISBN: 978-968-01-1486-3 (volumen II)

Impreso en MéxicoDistribución gratuita-ProhibiDa su venta

Servicios editorialesDirección de arteRocío Mireles Gavito

DiseñoZona gráfica

DiagramaciónBruno Contreras

IconografíaCynthia Valdespino

IlustraciónImanimastudio, Curro Gómez, Gabriela Podestá, Cecilia Varela

FotografíaAriel Carlomagno, Pablo González de Alba,Pável Ramírez

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Mapa-índiceClave de logos

BLOqUE 3secuencia 17 División de números decimalessecuencia 18 Ecuaciones de primer gradosecuencia 19 Existencia y unicidadsecuencia 20 Áreas y perímetrossecuencia 21 Porcentajessecuencia 22 Tablas de frecuenciasecuencia 23 Gráficas de barras y circularessecuencia 24 Nociones de probabilidad

BLOqUE 4secuencia 25 Números con signosecuencia 26 Raíz cuadrada y potenciassecuencia 27 Relación funcionalsecuencia 28 Construcción de círculos y circunferenciassecuencia 29 El número Pisecuencia 30 El área de los círculossecuencia 31 Relaciones de proporcionalidadsecuencia 32 Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad

BLOqUE 5secuencia 33 Cuentas de números con signosecuencia 34 Áreas de figuras planassecuencia 35 Juegos equitativossecuencia 36 Gráficas, tablas y expresiones algebraicassecuencia 37 Proporcionalidad inversasecuencia 38 Medidas de tendencia central

Propuesta de examen bimestral bloque 3Propuesta de examen bimestral bloque 4Propuesta de examen bimestral bloque 5

Bibliografía

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Índice


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ecim

ales

Lare

cta

num

éric

a:

Frac

cion

esd

ecim

ales

3.

Suce

sion

esd

enú

mer

osy

figu

ras.

•Co

nstr

uir

suce

sion

esd

enú

mer

osa

par

tir

deu

nare

gla

dada

.•

Det

erm

inar

exp

resi

ones

gen

eral

esq

ued

efine

nla

sre

glas

de

suce

sion

es

num

éric

asy

figu

rati

vas.

3.1

Figu

ras

que

crec

enFi

gura

squ

ecr

ecen

Patr

ones

ys

ecue

ncia

s1

3.2

Núm

eros

que

cre

cen

Suce

sion

es3.

2N

úmer

osq

uec

rece

n

(Hoj

a de

cál

culo

)Su

cesi

ón

3.3

Regl

asd

esu

cesi

ones

Patr

ones

ys

ecue

ncia

s1

Patr

ones

ys

ecue

ncia

s2

4.

Geo

met

ríay

exp

resi

ones

alg

ebra

icas

.•

Expl

icar

en

leng

uaje

nat

ural

els

igni

ficad

ode

alg

unas

fór

mul

as

geom

étric

as,i

nter

pret

ando

las

liter

ales

com

onú

mer

osg

ener

ales

con

lo

squ

ees

pos

ible

ope

rar.

4.1

Fórm

ulas

yp

erím

etro

sFó

rmul

asy

per

ímet

ros

Cuad

rado

Hex

ágon

o

4.2

Fórm

ulas

yá

reas

Rect

ángu

lo4.

2Fó

rmul

asy

áre

as

(Hoj

a de

cál

culo

)Cu

adra

do1

Cuad

rado

5.

Sim

etría

.•

Cons

trui

r fig

uras

sim

étric

asre

spec

toa

un

eje,

ana

lizar

las

yex

plic

itar

la

spr

opie

dade

squ

ese

con

serv

ane

nfig

uras

tal

esc

omo:

triá

ngul

os

isós

cele

sy

equi

láte

ros,

rom

bos,

cuad

rado

sy

rect

ángu

los.

5.1

Com

osi

fue

rau

nes

pejo

Sim

etría

de

punt

os

5.2

Pape

l pic

ado

Sim

etría

de

políg

onos

5.2.

Pap

elp

icad

o

(Geo

met

ríad

inám

ica)

Pape

l

Sim

étric

o

5.3

Los

vitr

ales

Vitr

ales

5.4

Algo

más

sob

res

imet

ría5.

4Al

gom

áss

obre

sim

etría

(G

eom

etría

din

ámic

a)Ap

rend

ido

6.

Prop

orci

onal

idad

.•

Iden

tific

ary

reso

lver

sit

uaci

ones

de

prop

orci

onal

idad

dire

cta

delt

ipo

“val

orf

alta

nte”

,uti

lizan

dod

em

aner

afle

xibl

edi

vers

osp

roce

dim

ient

os.

6.1

Las

cant

idad

esd

irect

amen

tep

ropo

rcio

nale

s

6.2

Elv

alor

uni

tario

Esca

las

ym

aque

tas

en

arqu

itec

tura

6.2

Valo

run

itar

io

(Hoj

ade

cál

culo

)Es

cala

s

6.3

Lap

ropo

rcio

nalid

ade

not

ros

cont

exto

sVa

riaci

ónp

ropo

rcio

nal1

7.

Repa

rto

prop

orci

onal

.•

Elab

orar

yu

tiliz

arp

roce

dim

ient

osp

ara

reso

lver

pro

blem

asd

ere

part

opr

opor

cion

al.

7.1

Lak

erm

ésRe

part

opr

opor

cion

alVa

riaci

ónp

ropo

rcio

nal2

7.2

Más

sob

rere

part

opr

opor

cion

al

8.

Prob

lem

asd

eco

nteo

.•

Reso

lver

pro

blem

asd

eco

nteo

util

izan

dod

iver

sosr

ecur

sosy

est

rate

gias

,co

mo

tabl

as,d

iagr

amas

de

árbo

lyo

tros

pro

cedi

mie

ntos

de

enum

erac

ión.

8.1

¿Cuá

ntos

cam

inos

hay

?M

apa

dec

alle

s

8.2

¿De

cuán

tas

form

as?

Dia

gram

ade

árb

ol

8.3

¿Cuá

ntos

via

jes

hay…

?¿S

aben

cuá

ntos

cam

inos

hay

?D

iagr

ama

deá

rbol

8.4

Otr

osc

onte

xtos

Dia

gram

ade

árb

ol

EV

AL

UA

CIÓ

N

Blo

qu

e 1


�

Blo

qu

e 2

SEC

UEN

CIA

SESI

ÓN

REC

UR

SOS

TEC

NO

LÓG

ICO

S

Vid

eos

Inte

ract

ivo

sH

oja

s d

e tr

abaj

o

9.

Prob

lem

asa

diti

vos

con

núm

eros

fra

ccio

nario

sy

deci

mal

es.

•Re

solv

erp

robl

emas

adi

tivo

sco

nnú

mer

os

frac

cion

ario

sy

deci

mal

ese

ndi

stin

tos

cont

exto

s.

9.1

Elf

esti

vald

efin

de

curs

os¿D

ónde

seu

tiliz

anfr

acci

ones

?N

úmer

osf

racc

iona

rios

9.1

Elf

esti

vald

efin

de

curs

os(H

oja

dec

álcu

lo)

9.2

Mar

cas

atlé

tica

s

9.3

Los

prec

ios

dela

caf

eter

ía

10.

Mul

tipl

icac

ión

ydi

visi

ónd

efr

acci

ones

.•

Reso

lver

pro

blem

asq

ueim

pliq

uen

la

mul

tipl

icac

ión

ydi

visi

ónc

onn

úmer

os

frac

cion

ario

sen

dis

tint

osc

onte

xtos

.

10.1

De

com

pras

en

elm

erca

do

10.2

Sup

erfic

ies

yfr

acci

ones

M

ulti

plic

ació

nde

fra

ccio

nes

1

10.3

¿Có

mo

sería

nla

sm

arca

sat

léti

cas

ene

les

paci

o?El

sis

tem

aso

lar

y

laf

uerz

ade

gra

veda

dM

ulti

plic

ació

nde

fra

ccio

nes

1

Mul

tipl

icac

ión

def

racc

ione

s2

10.4

Hay

tel

ade

don

dec

orta

r

10.5

¿Cu

ánta

sbo

tella

sde

jugo

se

nece

sita

n?

11.

Mul

tipl

icac

ión

den

úmer

osd

ecim

ales

.•

Reso

lver

pro

blem

asq

ueim

pliq

uen

la

mul

tipl

icac

ión

den

úmer

osd

ecim

ales

en

dist

into

s co

ntex

tos.

11.1

Tr

esv

eces

ym

edia

Más

de

tres

,per

o m

enos

de

cuat

roM

ultip

licac

ión

den

úmer

osd

ecim

ales

Esca

las

ynú

mer

osd

ecim

ales

11.2

El

pun

toe

sel

asu

nto

Área

sy

núm

eros

dec

imal

es

11.3

¿E

n dó

nde

seu

sala

mul

tiplic

ació

nde

dec

imal

es?

12.

Med

iatr

izy

bis

ectr

iz.

•U

tiliz

arla

spr

opie

dade

sde

lam

edia

triz

de

un

segm

ento

yla

bis

ectr

izd

eun

áng

ulo

para

re

solv

erd

iver

sos

prob

lem

asg

eom

étric

os.

12.1

Ala

mis

ma

dist

anci

aM

edia

triz

12.1

Ala

mis

ma

dist

anci

a(G

eom

etría

din

ámic

a)M

edia

tric

es

12.2

Un

prob

lem

age

omét

rico

Mit

ades

de

ángu

los

Bise

ctriz

12.2

Un

prob

lem

age

omét

rico

(Geo

met

ríad

inám

ica)

Bise

ctric

es

12.3

Apl

ique

mos

nue

stro

sco

noci

mie

ntos

de

med

iatr

ices

yb

isec

tric

es12

.3A

pliq

uem

osn

uest

roc

onoc

imie

nto

dem

edia

tric

es

ybi

sect

rices

(Geo

met

ríad

inám

ica)

13.

Políg

onos

regu

lare

s.•

Cons

trui

rpo

lígon

osre

gula

res

apa

rtir

ded

isti

ntas

info

rmac

ione

s.

13.1

Tar

jeta

sde

fel

icit

ació

nFe

licid

ades

Políg

onos

regu

lare

sán

gulo

cen

tral

13.1

Tar

jeta

sde

fel

icit

ació

n(G

eom

etría

din

ámic

a)

13.2

Mos

aico

sPo

lígon

osre

gula

res

ángu

loin

terio

r13

.2M

osai

cos

(Geo

met

ríad

inám

ica)

13.3

Más

sob

rep

olíg

onos

regu

lare

s13

.3M

áss

obre

pol

ígon

osre

gula

res

(Geo

met

ríad

inám

ica)

14.

Fórm

ulas

par

aca

lcul

are

láre

ade

pol

ígon

os.

•Ju

stifi

car

las

fórm

ulas

par

aca

lcul

are

lpe

rímet

roy

elá

rea

det

riáng

ulos

,cua

drilá

tero

sy

políg

onos

regu

lare

s.

14.1

Rom

peca

beza

s1

14.2

Rom

peca

beza

s 2

14.3

Des

com

posi

ción

de

figur

as

14.3

Des

com

posi

ción

de

figur

as(G

eom

etría

din

ámic

a)

14.4

Otr

asf

orm

asd

eju

stifi

car

las

fórm

ulas

Just

ifica

ción

Fórm

ulas

geo

mét

ricas

14.4

Otr

asf

orm

asd

eju

stifi

car

(Geo

met

ríad

inám

ica)

15.

Lac

onst

ante

de

prop

orci

onal

idad

.•

Iden

tific

ars

itua

cion

esd

epr

opor

cion

alid

ad

dire

cta

end

iver

sos

cont

exto

s,y

reso

lver

las

med

iant

epr

oced

imie

ntos

más

efic

ient

es.

15.1

La

canc

had

ebá

sque

tbol

Varia

ción

pro

porc

iona

l315

.1L

aca

ncha

de

básq

uetb

ol(H

oja

dec

álcu

lo)

15.2

Map

asy

esc

alas

Cent

roH

istó

rico

de

laC

iuda

dde

Méx

ico

15.3

Rut

asy

tra

nspo

rte

16.

Aplic

ació

n su

cesi

vad

eco

nsta

ntes

de

prop

orci

onal

idad

.•

Inte

rpre

tar

ele

fect

ode

laa

plic

ació

nsu

cesi

vad

efa

ctor

esc

onst

ante

sde

pro

porc

iona

lidad

en

dive

rsos

co

ntex

tos.

16.1

Mic

rosc

opio

sco

mpu

esto

sM

icro

scop

ios

com

pues

tos

Varia

ción

pro

porc

iona

l416

.1M

icro

scop

ios

com

pues

tos

(Hoj

ade

cál

culo

)

16.2

Esc

alas

yre

ducc

ione

sVa

riaci

ónp

ropo

rcio

nal5

16.3

Con

som

é ra

nche

ro

EV

AL

UA

CIÓ

N

Au

la d

e m

edio

s

Arc

hiv

os

Frac

cion

es

Segm

ento

Med

iatr

ices

Figu

ra1

Ángu

lo1

Bise

ctric

es

Ejes

Cent

ros

Med

ida

Ángu

lo2

Ángu

lo3

Políg

ono

Cent

ral

Hex

ágon

oAp

otem

aFó

rmul

as

Canc

ha

Mic

rosc

opio

s


�

SEC

UEN

CIA

SESI

ÓN

REC

UR

SOS

TEC

NO

LÓG

ICO

S

Vid

eos

Inte

ract

ivo

sA

ula

de

med

ios

Ho

jas

de

trab

ajo

Arc

hiv

os

17.

Div

isió

nde

núm

eros

dec

imal

es.

(12

- 21

)•

Reso

lver

pro

blem

asq

ueim

pliq

uen

lad

ivis

ión

den

úmer

osd

ecim

ales

en

dis

tint

osc

onte

xtos

.

17.1

Elm

etro

bús

Elm

etro

bús

Divi

sión

den

úmer

osd

ecim

ales

17.2

Cam

bio

ded

iner

o

17.3

Núm

eros

dec

imal

ese

nla

cie

ncia

18.

Ecua

cion

esd

epr

imer

gra

do.

(22

- 31

)•

Reso

lver

pro

blem

asq

ueim

pliq

uen

elp

lant

eam

ient

oy

lare

solu

ción

de

ecu

acio

nes

dep

rimer

gra

dod

ela

sfo

rmas

x+

a=

b;a

x=

b;a

x+

b=

c,u

tiliz

ando

las

prop

ieda

des

dela

igua

ldad

,cua

ndo

a,b

yc

son

nú

mer

osn

atur

ales

yd

ecim

ales

.

18.1

Are

part

irna

ranj

asEc

uaci

ones

118

.1A

repa

rtir

nara

njas

(H

oja

dec

álcu

lo)

Ecua

ción

18.2

El p

aseo

esc

olar

Elt

erre

noy

elr

íoEc

uaci

ones

2

18.3

Res

oluc

ión

dee

cuac

ione

sm

ixta

sEc

uaci

ones

de

prim

erg

rado

19.

Exis

tenc

iay

uni

cida

d.

(32

- 39

)•

Cons

trui

rtr

iáng

ulos

yc

uadr

iláte

ros.

•An

aliz

arla

sco

ndic

ione

sde

exi

sten

cia

yun

icid

ad.

19.1

¿Ex

iste

on

oex

iste

?D

esig

uald

adt

riang

ular

19.2

¿Es

uno

os

onm

ucho

s?¿E

s un

oo

son

muc

hos?

19.2

¿E

sun

oo

son

muc

hos?

(G

eom

etría

din

ámic

a)Ro

mbo

s

Cons

truc

cion

es

20.

Área

s y

perím

etro

s.(4

0 -

49)

•Re

solv

erp

robl

emas

que

impl

ique

nca

lcul

are

lper

ímet

roy

elá

rea

de

triá

ngul

os,r

ombo

ides

yt

rape

cios

,ye

stab

lece

rre

laci

ones

ent

relo

sel

emen

tos

que

seu

tiliz

anp

ara

calc

ular

elá

rea

dec

ada

una

dee

stas

fig

uras

.•

Real

izar

con

vers

ione

sde

med

idas

de

supe

rfici

e.

20.1

Pro

blem

asd

eap

licac

ión

20.2

Rel

acio

nes

impo

rtan

tes

20.3

Med

idas

de

supe

rfici

eM

edid

asd

esu

perfi

cie

21.

Porc

enta

jes.

(50

- 59

)•

Reso

lver

pro

blem

asq

ueim

pliq

uen

elc

álcu

lod

epo

rcen

taje

sut

iliza

ndo

dem

aner

aad

ecua

dala

sex

pres

ione

sfr

acci

onar

ias

ode

cim

ales

.

21.1

Méx

ico

ene

lIN

EGI

Porc

enta

jes

1

21.2

El I

VA21

.2E

lIVA

(Hoj

ade

cál

culo

)IV

A

21.3

Mis

celá

nea

dep

orce

ntaj

esLo

sm

igra

ntes

Porc

enta

jes

2

22.

Tabl

asd

efr

ecue

ncia

.(6

0 -

71)

•In

terp

reta

ry

com

unic

arin

form

ació

nm

edia

nte

lale

ctur

a,d

escr

ipci

ón

yco

nstr

ucci

ónd

eta

blas

de

frec

uenc

iaa

bsol

uta

yre

lati

va.

22.1

¿Q

uién

lleg

ópr

imer

o?U

nre

corr

ido

por

elo

rigen

de

lae

stad

ísti

ca22

.1¿

Qui

énll

egó

prim

ero?

(H

oja

dec

álcu

lo)

Atle

tism

o

Edad

es

22.2

Tab

lad

efr

ecue

ncia

rela

tiva

22.2

Tab

lad

efr

ecue

ncia

re

lativ

a(H

oja

dec

álcu

lo)

Frec

uenc

ias

22.3

La

tabl

are

pres

enta

…22

.3L

ata

bla

repr

esen

ta…

(H

oja

dec

álcu

lo)

Mat

rícul

as

23.

Grá

ficas

de

barr

asy

circ

ular

es.

(72

- 83

)•

Inte

rpre

tar

info

rmac

ión

repr

esen

tada

en

gráfi

cas

deb

arra

sy

circ

ular

esd

efr

ecue

ncia

abs

olut

ay

rela

tiva

,pro

veni

ente

de

diar

ios

ore

vist

asy

de

otra

sfu

ente

s.•

Com

unic

arin

form

ació

npr

oven

ient

ede

est

udio

sse

ncill

os,e

ligie

ndo

laf

orm

ade

repr

esen

taci

ónm

ása

decu

ada.

23.1

Qué

dic

enla

sgr

áfica

s

23.2

Grá

ficas

de

barr

as

23.3

Grá

fica

circ

ular

Elra

ting

en

lat

elev

isió

n

24.

Noc

ione

s de

pro

babi

lidad

.(8

4 -

101)

•En

umer

arlo

spo

sibl

esre

sult

ados

de

una

expe

rienc

iaa

leat

oria

.U

tiliz

arla

esc

ala

dep

roba

bilid

ade

ntre

0y

1y

vin

cula

rdi

fere

ntes

fo

rmas

de

expr

esar

la.

•Es

tabl

ecer

cuá

lde

dos

om

áse

vent

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Clave de logos

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BLOQUE 3


12

secuencia 17

12

EL mEtrOBúsPara empezarEn la Ciudad de México hay un transporte llamado metrobús. Es un autobús más largoque lo normal, que transita por una avenida llamada Insurgentes.

Para subirse al metrobús se usan tarjetas, las cuales se pasan por un aparato que permite el acceso.

En el aparato se marca el dinero disponible en la tarjeta, es decir, el saldo. El costo porviaje en el metrobús es de $3.50.

sEsión 1

División de números decimalesEn esta secuencia resolverás problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos

1

El metrobús Dar sentido a lo que significa dividir entre un número con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de resolver algunas divisiones entre números decimales.

Video El metrobús Interactivo

“División de números decimales”

2Cambio de dinero Conocer y practicar la técnica para dividir entre un número con punto decimal.

3Números decimales en la ciencia Resolver diversos problemas que implican operaciones de números con punto decimal.

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de los números.

Antecedentes

Los alumnos aprendieron en la escuela primaria a resolver divisiones:- en las que dividendo y divisor son

naturales, hallando el cociente hasta centésimos; y

- en las que el dividendo tiene cifras decimales.

En esta secuencia los alumnos aprenderán a resolver divisiones en las que el dividendo o el divisor tengan cifras decimales.

Propósito de la sesión. Dar sentido a lo que significa dividir entre un número con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de resolver algunas divisiones entre números decimales.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas durante toda la sesión, con algunos momentos de confrontación grupal.


13

13

MATEMÁTICAS I

Platiquen con su grupo los resultados y la manera en que llegaron a ellos. Si utilizaronoperaciones digan cuáles y cómo las usaron.

Manos a la obraI. Hallar el número de viajes que se puede hacer con cierta cantidad de dinero, equiva

le a dividir esa cantidad entre el costo de un viaje.

Utilicen los resultados que encontraron en el problema anterior y completen la tabla.

División Cociente (número de viajes) Residuo (lo que sobra)

24.00 ÷ 3.50

37.50 ÷ 3.50

75.00 ÷ 3.50

115.50 ÷ 3.50

Observen que al calcular el número de viajes, están calculando cuántas veces cabe elcosto de cada viaje en el saldo.

Consideremos lo siguienteEn cada caso anoten para cuántos viajes alcanza el saldo de la tarjeta y cuánto sobra.Recuerden que el costo de un viaje es $3.50.

Saldo $24.00

Número de viajes:

Sobra:

Saldo $37.50 Saldo $75.00 Saldo $115.50

Número de viajes:

Sobra:

Número de viajes:

Sobra:

Número de viajes:

Sobra:

Propósito de la actividad. La finalidad es que los alumnos interpreten la división como la operación que permite saber cuántas veces cabe un número en otro. En este caso, deberán calcular “cuántas veces cabe” el número 3.50 en cada una de las cantidades indicadas como saldo. Es importante que en este momento los alumnos no utilicen la calculadora para que puedan hacer uso de otras estrategias.

Posibles procedimientos. - Sumar varias veces 3.50 hasta

llegar al número más cercano al saldo indicado.

- Restar 3.50 al saldo indicado las veces que sea necesario hasta agotarlo o hasta que ya no alcance el dinero para un viaje más.

- Multiplicar 3.50 por diferentes números hasta obtener un producto que se aproxime al saldo indicado.

- Dividir el saldo entre 3.50.

Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, trate de identificar qué procedimientos utilizan para, posteriormente, recuperar algunos de ellos durante la confrontación.

6

$3.00 10

$2.50 21

$1.50

330

3

Sugerencia didáctica. Es importante que el algoritmo de la división sea considerado como una manera más de resolver el problema, no es la única y no siempre la mejor; por ejemplo, si el saldo es $37.50se puede calcular más rápidamente sabiendo que de 10viajes son $35.00 y sobran $2.50.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos identifiquen que la actividad que resolvieron en el apartado Consideremos lo siguiente puede solucionarse mediante una división. Por eso es importante que utilicen los datos que encontraron anteriormente para completar la tabla.


1�

Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, usted puede plantear algunas preguntas para que los alumnos vayan reflexionando sobre aspectos interesantes que revisarán en las siguientes actividades; por ejemplo, para que identifiquen cómo varía el cociente en función del divisor: si el saldo es de $4 ¿a cuál destino se puede ir más veces, a uno cuyo viaje cuesta $0.50 o a otro que cuesta $0.20?

Posibles procedimientos. Los alumnos podrían ir completando cantidades “redondas”: si el costo del viaje es de $2.50, con $5.00 se hacen 2 viajes; si el costo es de $0.20, con $1.00, se hacen 5 viajes.También pueden recurrir al cálculo mental para resolver varias de las divisiones, pues los números que se ponen en juego son relativamente sencillos de manejar.Invite a los alumnos a que completen la tabla utilizando los procedimientos que ellos quieran; en este momento no es necesario que todos usen el algoritmo de la división, aunque sí es importante que sepan que están resolviendo divisiones.

Recuerde que.

46 27 3 Propósito de la actividad. Hay dos

aspectos interesantes que los alumnos trabajan:- Reconocer que al dividir no siempre

el cociente resulta menor que el dividendo; por ejemplo, al dividir 4 entre 0.50 el resultado es 8 (8 > 4).

- Al analizar en qué casos el cociente es mayor o menor que el dividendo, los alumnos podrán desarrollar, gradualmente, estrategias para estimar resultados.

Respuestas. a) Cuando el costo del viaje (divisor)

es mayor que uno.b) Cuando el costo del viaje (divisor)

es menor que uno.

secuencia 17

14

ii. Imaginen ahora un lugar donde el precio de cada viaje varía y hay costos muy bajos.Completen la tabla.

Saldo ($)(dividendo)

Costo del viaje ($)(divisor) División Número de viajes

(cociente)

9 4.50 90 ÷ 4.50

15 2.50

4.50 1.50

4.80 1.20

9 1.80

4 0.50

8.50 0.50

4 0.25

5.25 0.25

4 0.20

4.30 0.10

iii.Analicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas:

a) ¿En cuáles casos el cociente es menor que el dividendo?

b) ¿En cuáles casos el cociente es mayor que el dividendo?

c) Encuentren qué tienen en común aquellas divisiones en las que el cociente esmayor que el dividendo y anoten sus observaciones:

iV. Anoten el resultado al que llegaron al dividir

4 ÷ 0.50 =

Observen que este resultado equivale a multiplicar 4 por un número, ¿por cuál número?

DivisorDividendoResiduo

Cociente


1�

Propósito del interactivo: Mostrar gráficamente la división de decimales por medio de la idea "cuántas veces cabe en".

Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que el resultado de una división también puede obtenerse multiplicando por el inverso del divisor. Por ejemplo, para hallar el resultado de dividir 4 ÷ 0.1 se puede también multiplicar 4 × 10.En algunos casos, una manera es más sencilla que otra, y se espera que los alumnos vayan adquiriendo habilidades para decidir cuál les conviene, dependiendo de las circunstancias. Este tipo de prácticas son muy importantes porque desarrollan el sentido numérico de los alumnos.

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que multipliquen los números de la primera y segunda columnas. Por ejemplo, 0.5 × 2; 0.25 × 4; 0.125 × 8. En todos los casos se obtiene 1. Pregunte: ¿Por qué creen que sucede esto?

Integrar al portafolios. Recupere esta actividad y analice las respuestas de los alumnos. Si lo considera necesario, revisen la secuencia 11, en ella se llena una tabla en la que se observa que dividir una fracción es lo mismo que multiplicarla por su recíproco.

Sugerencia didáctica. El cálculo mental es una herramienta que permite, además de obtener algunos resultados de manera rápida, desarrollar habilidades, como el establecimiento de relaciones entre los datos y la anticipación de resultados. Invite a los alumnos a que resuelvan mentalmente estas operaciones, se darán cuenta de lo eficaz que es este tipo de cálculo y de las múltiples relaciones que pueden darse entre los números.

15

MATEMÁTICAS IAlgunas divisiones entre un número con punto decimal pueden calcularse más fácilmente con una multiplicación. Completen la siguiente tabla.

Dividir entre: Es lo mismo que multiplicar por:

Ejemplo resuelto con división

Ejemplo resuelto con multiplicación

0.50 2 3 ÷ 0.5 = 6 3 × 2 = 6

0.25

0.20

0.10

0.125

0.01

V. Resuelvan mentalmente las siguientes divisiones:

2 ÷ 0.5 = 1 ÷ 0.125 =

3 ÷ 0.01 = 4 ÷ 0.25 =

1.5 ÷ 0.5 = 3 ÷ 0.1 =

12. 5 ÷ 2.5 = 9 ÷ 0.2 =

VI.Platiquen a sus compañeros cómo resolvieron mentalmente alguna de las operaciones de la actividad anterior. Elijan una operación y anoten en el pizarrón varios procedimientos para resolverla mentalmente. Comenten cuál procedimiento es mejor ypor qué.

Dividir una cantidad entre un número equivale a calcular cuántas veces cabe ese número en dicha cantidad.

Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse más rápida-mente con una multiplicación, por ejemplo, 10 ÷ 0.25 puede escribirse como 10 ÷ ,que como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 10 × 4 = 40.

Al dividir una cantidad entre un número menor que la unidad, el resultado será mayor que la cantidad, por ejemplo, 5 ÷ 0.2 = 25, 25 es mayor que 5.

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en su cuaderno 2 ejemplos diferentes a los que se plantean en el recuadro de cada uno de los puntos.

4 3÷0.25=12 3×4=12 5 3÷0.20=15 3×5=15 10 3÷0.10=30 3×10=30 8 3÷0.125=24 3×8=24 100 3÷0.01=3003×100=300


1�

Propósito del video. Observar el planteamiento y la solución de problemas que involucren la división entre un número decimal. Observar qué sucede cuando se divide entre un número menor o mayor que la unidad.

Propósito de la sesión. Conocer y practicar la técnica para dividir entre un número con punto decimal.

Organización del grupo. Inicie la sesión trabajando con el grupo en conjunto; posteriormente organice parejas para resolver el apartado Consideremos lo siguiente.

Sugerencia didáctica. Dé tiempo para que los alumnos lean el apartado Para empezar y después comente con el grupo la información que se presenta. Repasen las divisiones con punto decimal en el dividendo resolviendo algunas en el pizarrón. Es necesario que los alumnos sepan resolver este tipo de divisiones para que puedan continuar con la sesión.

3

Sugerencia didáctica. Anime a los alumnos para que expliquen sus intentos y escuchen los de otros. En caso de que alguna pareja sí haya podido resolver la división, pida a sus integrantes que muestren al grupo cómo lo hicieron. Si nadie logró resolverla, invítelos a que continúen trabajando la sesión.

Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no sepan cómo resolverlas. Invítelos a que lo intenten, recuerde que en estos momentos se trata de crear en los alumnos un conflicto al darse cuenta de que estas divisiones son distintas a las que ya conocen, así como la necesidad de hallar la manera de resolverlas.

secuencia 17

16

El metrobús

Vean el video y realicen lo que ahí se pide. Cuando terminen, reúnanse en parejas y juntos hagan un resumen que se titule “La división con números decimales”. Después lean elresumen ante su grupo.

CamBiO dE dinErOPara empezarSe van a repartir $29.60 entre 4 amigos, ¿cuánto le toca a cada uno? En la primariaaprendiste que este problema se resuelve con la siguiente división:

7.404 29.60 16

00

El resultado es $7.40. Estas divisiones se resuelven igual que con números enteros, peroal momento de bajar el 6 "se sube el punto". ¿Saben por qué se hace así?

a) Cuando se divide 29 entre 4 se están dividiendo 29 enteros, por eso el resultado esentero.

b) Al bajar el 6 junto al 1 ya se están dividiendo 16 décimos entre 4, por eso hay queponer un punto, para indicar que el resultado corresponde a décimos.

Ahora aprenderás cómo se resuelve una división cuando el punto decimal está en eldivisor.

Consideremos lo siguienteAraceli tiene $19.40 y le va a dar a cada uno de sus amigos $2.50. ¿Para cuántos amigosle alcanza y cuánto le sobra?

Esta situación también se resuelve con una división. Encuentren una manera de hallar elresultado de la siguiente división que resuelve el problema.

2.5 19.4

Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicieron así.

sEsión 2

1

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos manejen la técnica para dividir números con punto decimal. Por ello deberán resolver el problema utilizando una división y no mediante otros procedimientos (aunque sean correctos).


1�

Sugerencia didáctica. Los alumnos ya estudiaron esta propiedad en la escuela primaria, por lo que la actividad puede ser considerada como un repaso; no obstante, usted puede enriquecerla comentando al grupo que, si se parte de que una división puede escribirse como fracción, al multiplicar dividendo y divisor por el mismo número, lo que se está haciendo es calcular fracciones equivalentes. Observe:

17

MATEMÁTICAS I

a) ¿Cómo son los resultados entre sí?

b) Observen que el dividendo (8) y el divisor (4) de la primera división se multiplicaron por 10 para obtener la segunda división (80 y 40).

c) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera división

para obtener la tercera división?

d) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera división

para obtener la cuarta división?

II. Consideren que se tiene esta división

2.5 20

Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y resuélvanla.

Esta división es más sencilla que 20 ÷ 2.5 y, por la propiedad que recordaron en laactividad I, saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas.

Manos a la obraI. Resuelvan las siguientes divisiones:

Al multiplicar un

número con punto

decimal por 10, se

recorre el punto un

lugar a la derecha.

Recuerden que:

Si en una división se

multiplica el dividendo

y el divisor por el

mismo número, el

resultado de la

división no cambia.

4 8 40 80

400 800 4 000 8 000

Sugerencia didáctica. Puede pedir a los alumnos que:1. Estimen el resultado antes de que

pasen al inciso a). Por ejemplo, si está entre 1 y 10, entre 10 y 100 o entre 100 y 1000.

2. Calculen mentalmente el resultado antes de que pasen al inciso a).

3. Resuelvan la división y verifiquen su resultado en la calculadora.

4. Una vez resuelta, inventen un problema que se resuelva con esa operación.

Si lo considera necesario, plantee más operaciones de este tipo para que los alumnos las resuelvan en su cuaderno.

24= wR = wR T = qW p P = 10 20Esto implica que:

24=10 20

××


1�

Respuestas. • Se multiplica por 10,

480 ÷ 12 = 40 y no sobra.• Se multiplica por 1000,

3500 ÷ 125 = 28 y no sobra.• Se multiplica por 100,

450 ÷ 32 = 14 y sobra. 2. Si algunos alumnos continúan dividiendo obtendrán 14.0625.

Si lo considera pertinente, comente con sus alumnos lo que sucede con el residuo en esta división. Si bien es cierto que al multiplicar por un mismo número el dividendo y el divisor, el cociente no se altera, no pasa lo mismo con el residuo. Éste aumenta tantas veces como el número por el cual se multiplicó. Por ejemplo, mientras que en la división original (4.5 ÷ 0.32) el residuo es 0.02, en la división transformada (450 ÷ 32) el residuo es 2. El residuo de la división transformada es 100 veces mayor que el de la división original.

Propósito de la actividad. Esta actividad permite que los alumnos validen el resultado que obtuvieron en el problema inicial. Si es necesario pídales que corrijan. Puede haber discrepancia en los resultados si algunos alumnos dejaron el residuo y si otros continuaron la división. Es buen momento para que los anime a terminar la división.

Sugerencia didáctica. Resuelvan en el pizarrón más divisiones y aclare las posibles dudas.

secuencia 17

18

iii.Transformen cada división en una cuyo divisor no tenga punto decimal y resuélvanla;elijan bien el número por el que tienen que multiplicar cada una.

1.2 48

0.125 3.5

0.32 4.5

iV. Resuelvan la división del problema inicial (19.4 2.5) transformándola en una división sin punto en el divisor. Comparen este resultado con el que obtuvieron al principio de la sesión.

Comenten los resultados que han obtenido hasta este momento. Pasen al pizarrón a resolver las 3 divisiones de la actividad III y expliquen por cuál número multiplicaron eldividendo y el divisor de cada una y por qué.

A lo que llegamosPara resolver una división con punto decimal en el divisor:

1. Primero se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor por 10, 1 00, 1 000, ... según el divisor tenga 1, 2, 3, ... cifras decimales.

2. Después se resuelve.

Por ejemplo, para resolver:

0.12 2.4se multiplican por 100 el dividendo y el

divisor para transformar la división en

12 240

Y se resuelve: 20 12 240 000El resultado de dividir 240 ÷ 12 es el mismo que el resultado de dividir 2.4 ÷ 0.12. Compruébenlo con una calculadora.


1�

Respuestas. Araceli tiene 100 monedas (50.00 ÷ 0.50). Necesita 5 monedas para hacer cada montón de $2.50, así que puede hacer 20 montones. Luis tiene 100 monedas (500.00 ÷ 5.00). Necesita 5 monedas para hacer cada montón de $25.00, así que también puede hacer 20 montones. Entonces la respuesta correcta es c).

Respuestas. El número de envases siempre debe ser 14, entonces la cantidad de litros de leche a repartir hay que dividirla entre 14 para obtener la capacidad de cada envase. Si lo que conocemos es la capacidad de cada envase, entonces ese número se multiplica por 14 para hallar la cantidad de litros a repartir.

Respuestas. El resultado es 4.6. Se obtendría el mismo cociente con números como: 92 entre 20,920 entre 200,9 200 entre 2 000,92 000 entre 20 000,920 000 entre 200 000,etcétera.

19

MATEMÁTICAS ILo que aprendimos1. Araceli tiene $50.00 en monedas de $0.50 y quiere hacer montones de $2.50; Luis

tiene $500.00 en monedas de $5.00 y quiere hacer montones de $25.00.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

a) Araceli hará más montones.

b) Luis hará más montones.

c) Ambos harán el mismo número de montones.

d) No puede calcularse quién hará más montones.

Justifica la respuesta que elijas.

2. Don Fernando va a repartir 7 de leche en envases de 0.5 . ¿Cuántos envases ocu

pará?

Completa la tabla de tal manera que el número de envases siempre sea el mismo que losque ocupará don Fernando.

Litros a repartir Capacidad de cada envase( ) Número de envases

14

1.5

28

5

10

3. Resuelve la división 9.2 entre 2 =

Inventa 5 divisiones que, partiendo de los mismos números que la anterior, tengan igualcociente.

1 14

21 14

2 14

70 14

140 14


20

Propósito de la sesión. Resolver diversos problemas que implican operaciones de números con punto decimal.

Organización del grupo. Forme equipos para que resuelvan los problemas.

1

Propósito de la actividad. Aunque la secuencia se refiere a la división de números con punto decimal, en la serie de problemas que aquí se presentan no siempre usarán la división, también harán uso de otras operaciones que ya han estudiado.

Sugerencia didáctica. En algunos problemas puede solicitar a los alumnos que antes de hacer operaciones, den una respuesta aproximada del resultado y la anoten en una hoja. Al término, compararán sus estimaciones con los resultados obtenidos.

Respuestas. El diamante es 4 veces más duro que la plata y 6.6666666… veces más duro que el azufre (se divide 10 entre 2.5 y 10 entre 1.5). La diferencia de temperatura es de 22.5 ˚C. Es la distancia de 4.5 a 18.5˚C bajo cero. Aun cuando el problema involucra números con signo, se espera que los alumnos puedan resolverlo mediante sus conocimientos sobre las temperaturas bajo cero. Si nota dificultades, puede auxiliarlos. La ballena es 22 veces más larga que una salamandra gigante y 117.857 veces más larga que una araña Goliat (se divide 33 entre 1.5 y 33 entre 0.28).

Invite a los alumnos a que lean atentamente la pregunta del problema de la estrella Sirio; no se pide el resultado, sino las operaciones que resuelven el problema. Hay varias maneras de expresar la respuesta, una posible es:- Multiplicar 60 × 60 × 24 × 365 ×

8.8 para saber cuántos segundos hay en 8.8 años y el resultado multiplicarlo por 300 000 para saber la distancia que se pide.

Si surgen varias respuestas será interesante analizarlas en la confrontación y determinar si son o no equivalentes.

secuencia 17

20

sEsión 3

La estrella más brillante que vemos en el cielo es

Sirio, que se ve durante las noches de invierno. ¡La

luz de Sirio tarda 8.8 años en llegar a la Tierra!

Si la luz viaja a 300 000 km/s, ¿qué operaciones

tendríamos que hacer para conocer la distancia a la

que está Sirio?

El animal más grande del mundo es la ballena azul,

llega a medir hasta 33 m de largo. El anfibio más

grande es la salamandra gigante de Japón, con

1.5 m de largo. La araña más grande es la Goliath,

puede medir 0.28 m de longitud. ¿Cuántas veces

es más larga una ballena azul que una salamandra

gigante?

,

¿Y que una araña

Goliath?

El crecimiento de las bacterias a menos de 10 oC

es muy lento, por ello los alimentos en el refrige

rador se conservan más tiempo. La temperatura

del congelador se conserva alrededor de los 18 oC

bajo cero y en el refrigerador puede estar alrede

dor de 4.5 oC. ¿Cuál

es la diferencia entre

la temperatura del

congelador y la del

refrigerador?

La dureza de un mineral puede medirse de acuerdo

con la facilidad para rayarlo. El mineral más duro

es el diamante y su dureza es de 10. La mínima

dureza de la plata es 2.5 y la del azufre es 1.5.

¿Cuántas veces es más duro el diamante que la

plata?

¿Y que el azufre?

númErOs dECimaLEs En La CiEnCiaLo que aprendimosEn esta sesión aplicarán varios de los conocimientos que han adquirido a lo largo detodas las secuencias sobre números con punto decimal. En cada caso, respondan la pregunta planteada.


21

Respuestas. Los porcentajes de los elementos que forman el cuerpo humano suman 97.4, hace falta 2.6%, que es lo que corresponde a otros elementos. La Tierra recorre 1830km en un minuto (60 segundos). Se divide 1830 entre 30.5. Neptuno tarda 165 años, 4 meses y 26 días (porque 0.4 de año son 146 días). Urano tarda 83 años, 8 meses y 12.5 días (porque 0.7 de año son 255.5 días). La persona pesa 65kg (se divide 6.305 entre 0.097); y tendría que caminar durante 79.302 minutos (se divide 500 entre 6.305).

Integrar al portafolios. Seleccione 3 problemas de esta sesión y pida a los alumnos que los resuelvan en una hoja aparte. En caso de haber errores, analice si tienen que ver con las divisiones con decimales, con la comprensión del problema o con ambas.

21

MATEMÁTICAS IAl caminar rápidamente se queman

0.097 calorías por cada kilogramo de

pesoporminuto. Si unapersonacami

nando rápidamente quemó 6.305

calorías en un minuto, ¿cuánto pesa?

¿Cuánto tiempo, aproximadamente,

tendría que caminar rápido esa per

sona para quemar 500 calorías?

Comenten con otros equipos los resultados de estos problemas. Comparen los procedimientos que muestren los diferentes equipos y elijan aquellos que les parezcan másfáciles.

Para saber más

Si el tiempo que tardan los planetas en dar la vuelta al Sol

se mide en años, se tiene que: Neptuno tarda 165.4 años y

Urano 83.7 años. ¿Cuál es la duración en años, meses y días

del tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol?

¿Y Urano?

La Tierra, al viajar alrededor del Sol, re

corre 30.5 kilómetros en un segundo.

¿En cuánto tiempo recorre 1 830 kiló

metros?

El cuerpo humano está formado

por varios elementos: 63% de hi

drógeno, 23.5% de oxígeno, 9.5%

de carbono, 1.4% de nitrógeno

y el resto de otros elementos.

¿Cuál es el porcentaje que corres

ponde en total a esos otros ele

mentos?

Sobre la división de números decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en "Relacionando multiplicación y división".


22

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad,

cuando a, b y c son números naturales y decimales.


1

A repartir naranjas Interpretar la ecuación como una expresión que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.

Interactivo “Ecuaciones”

Aula de medios “A repartir naranjas”

(Hoja de cálculo)

2El paseo escolar Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax = b.

Video “El terreno y el río”

Interactivo “Ecuaciones”

3Resolución de ecuaciones mixtas Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.

Interactivo “Ecuaciones de primer grado”

Eje


Tema

Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes

En las secuencias 3 y 4 los alumnos se iniciaron con la utilización de literales para expresar patrones y fórmulas geométricas. En esta secuencia usarán literales para traducir el texto de un problema al código algebraico y para resolver ecuaciones.

Propósito de la sesión. Interpretar la ecuación como una expresión que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen todas las actividades organizados en parejas.

Propósitos de la actividad. Se trata de un problema sencillo que se resuelve con la suma 24 + 8. Se espera que los alumnos identifiquen cuáles son los datos conocidos y cuál es la operación que resuelve el problema. Es importante que identifiquen como una igualdad la expresión en la que aparece el signo igual. En este momento no es necesario que definan el concepto de igualdad, sino sólo que empiecen a reconocer y a utilizar el término.

Posibles dificultades. Dado que aparecen las palabras “tenía”, “vendió”, algunos alumnos podrían pensar que el problema se resuelve con la resta 24 – 8. Si bien está implícita una resta, el problema se resuelve mediante una suma (cantidad final de naranjas más cantidad de naranjas vendidas).

Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos presenten una respuesta distinta a 32 kg, pídales que comenten cómo lo obtuvieron. Posteriormente invite al grupo a que resuelvan la actividad I del apartado Manos a la obra para verificar si la respuesta que dieron es correcta o no.

secuencia 18

22

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamien-to y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son números naturales o decimales.

A RepARtiR nARAnjAsPara empezarEn la primaria resolviste problemas en los que tenías que encontrar la solución haciendo operaciones aritméticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuencia aprenderás una nueva manera de resolver problemas: usarás expresiones algebraicas para representar y encontrar valores desconocidos.

Consideremos lo siguienteUn comerciante de naranjas quiere saber cuántos kilogramos de naranjas tenía al princi-pio del día si vendió 24 kg y al final se quedó con 8 kg.

a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo:

• Los kilogramos de naranjas que vendió.

• Los kilogramos de naranjas que tenía al principio.

• Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final.

b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?

En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un número que debe estar en el recuadro azul:

− 24 = 8

c) ¿Cuál es el número que debe estar en el recuadro azul?

Comparen sus respuestas y comenten:

a) ¿Qué operación hicieron para encontrar el número que va en el recuadro azul?

b) ¿Cuántos kilogramos tenía el comerciante al principio del día?

sesión 1

Ecuaciones de primer grado

MAT1 B3 S18 maestro.indd 22 8/25/07 3:01:46 PM

23

Propósito de la actividad. Que los alumnos logren expresar mediante una igualdad, un problema que se les presenta de manera verbal. Esto implica identificar cuáles son los datos conocidos y desconocidos, y cómo se relacionan entre ellos:

+ 110 = 221

Posibles procedimientos. Puede hacerse restando 221 – 110 o pensando cuánto le falta a 110 para llegar a 221.

Propósito de la actividad. En secuencias anteriores los alumnos han utilizado letras para expresar fórmulas y patrones numéricos; en esta secuencia se pretende que los alumnos utilicen una letra (en este caso la x) para representar al dato desconocido (incógnita) en una igualdad. Es importante que los alumnos identifiquen a la x no como una letra, sino como un número del que se desconoce su valor.

Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad.

Propósito de la actividad. Que los alumnos continúen identificando los datos conocidos y los desconocidos de un problema, y que resuelvan problemas de suma o resta mediante la operación inversa.

Recuerde que. Los problemas aditivos son aquellos que implican tanto a la suma como a la resta. Cuando en una suma se desconoce uno de los datos, se puede encontrar el dato faltante mediante una resta, que es la operación inversa de la suma. En este caso, el dato desconocido de la suma se encuentra mediante una resta: 124 – 57 = 67. Los alumnos irán identificando estas relaciones en el transcurso de las actividades de este apartado y podrán formalizarlo al final de esta sesión.

Propósito de la actividad. Que los alumnos analicen la estructura del problema (los datos y la forma en que están relacionados) para identificar cómo está conformada una igualdad. Aproveche diferentes momentos para que los alumnos se vayan familiarizando con el término “igualdad”; insista en que una igualdad comprende las expresiones que están de uno y del otro lado del signo igual.

Sugerencia didáctica. Es importante que se comente cómo se obtiene el resultado. Algunos restarán 124 – 57, otros lo harán pensando cuánto le hace falta a 57 para llegar a 124; ambas formas de resolver implican a la resta.

23

MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Escriban el número que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:

− 24 = 8

II. Hay que encontrar un número que, al sumarle 57, dé como resultado 124.

a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?

En la siguiente igualdad, el número desconocido del problema es un número que debe estar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los números conocidos:

+ =

b) ¿Cuál es el número que va en el recuadro?

c) Comprueben la solución que encontraron:

En lugar del recuadro morado escriban el número que encontraron y hagan las operaciones:

+ =


¿Cuál es el número que al sumarle 57 da como resultado 124?

III. Representen con una igualdad el siguiente problema: ¿Cuál es el número que al su-marle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el número desconocido.

+ =

a) ¿Cuál es el número que debe ir en el recuadro rojo?

b) ¿Qué operación hicieron para encontrarlo?

IV. Generalmente, en las matemáticas se utilizan letras para representar los valores des-conocidos. Si en el problema anterior:

¿Cuál es el número que al sumarle 110 da como resultado 221?

se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarse mediante la siguiente igualdad:

x + 110 = 221

Esta igualdad es la misma que: + 110 = 221

sólo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo


24

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para completar la ecuación, se les puede pedir que completen lo siguiente:x = 221 – x =

Sugerencia didáctica. Si los alumnos muestran facilidad para realizar estos ejercicios, puede proponerles que verifiquen el valor de x sustituyéndolo en la ecuación: x + 110 = 221 111 + 110 = 221 221 = 221

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos. Destaque las siguientes ideas:- Las igualdades que aparecieron en

las actividades anteriores tenían sólo números, ahora se presentan igualdades en las que se utilizan letras para representar un dato desconocido (incógnita).

- Estas igualdades se llaman “ecuaciones”.

Puede pedirles que en su cuaderno respondan a la pregunta “¿Qué es una ecuación?”. Pida a algunos alumnos que lean sus respuestas y, a partir de ellas, usted puede ampliarlas incorporando otros términos que las enriquezcan. Por ejemplo: “Es una igualdad en la que hay una incógnita que se representa con una letra”. “Es una expresión algebraica en la que hay una incógnita”. Una vez que se hayan leído y comentado algunas respuestas, los alumnos pueden hacer correcciones o ampliar lo que inicialmente habían escrito.


secuencia 18

24

a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x?

Complétenla:

221 −

¿Cuánto vale x? x =

b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en la igualdad:

+ 110 = 221

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamosLas igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas enlas que hay un valor desconocido o incógnita que generalmente se representa con una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.

V. En la ecuación m − 1 = 7, ¿cuál es el valor desconocido o incógnita? Subráyenlo:

• 1• m

• 7a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de m?

b) ¿Cuánto vale m? m =c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron:

− 1 = 7

A lo que llegamosPara resolver la ecuación x + 110 = 221, en la que se está sumando, se puede hacer una resta: x = 221 – 110. La solución de esta ecuación es x = 111.

Para resolver la ecuación m – 1 = 7, en la que se está restando, se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La solución de esta ecuación es m = 8.

Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas.

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que, en general, puede utilizarse cualquier letra para representar un valor desconocido o incógnita (no siempre es la letra x ). Para el inciso c), comente que una característica fundamental de toda igualdad es que lo que aparece del lado izquierdo del signo igual, debe tener el mismo valor que lo que está en el lado derecho, por lo que es importante verificar que el valor que se le ha asignado a las incógnitas es correcto.

Sugerencia didáctica. Una forma más de ejemplificar esta información, es “Lo contrario de sumar, es restar: si a un número le sumo 5 y al resultado le resto 5, obtenemos el mismo número”. Puede preguntar a los alumnos lo siguiente:- Si en una adición se desconoce un

sumando ¿qué operación se realiza para calcularlo?

- Si en una sustracción se desconoce el minuendo ¿qué operación se realiza para calcularlo?


25

Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para plantear las ecuaciones, repase con el grupo las actividades III y IV del apartado Manos a la obra y el II del apartado A lo que llegamos, con la finalidad de enfatizar cuáles son las operaciones que permiten encontrar el número buscado una vez que se ha planteado la ecuación.

Respuestas.a) x + 27 = 138

x = 138 – 27 x = 111

b) x – 2.73 = 5.04 x = 5.04 + 2.73 x = 7.77

25

MATEMÁTICAS IVI. El comerciante quiere saber ahora cuántos kilogramos de naranja tenía al principio,

si en esta ocasión vendió primero 13 kg de naranja, después vendió 11 kg y finalmen-te se quedó con 5 kg.

a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema?

• x – 13 – 11 + 5

• x – 13 + 11 = 5

• x – 24 = 5

• x – 13 – 11 = 5b) Resuelvan la ecuación, ¿cuánto vale x? x =

Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten:a) ¿Cuántos kilogramos de naranja tenía el comerciante al principio?

b) Hay dos ecuaciones que representan el problema, ¿por qué creen que la solución de estas dos ecuaciones es la misma?

Comprueben su solución sustituyéndola en las dos ecuaciones:

– 13 – 11 = 5 – 24 = 5

Lo que aprendimos1. Un camión que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Reco-

ge 21 más en otro pueblo, deja 56 en una tienda, después deja 34 en otra tien-da. Al acabar su recorrido se quedó con 15 de leche.

a) En este problema hay 4 valores conocidos, ¿cuáles son?

b) La ecuación x + 21 – 56 – 34 = 15 permite resolver el problema. Resuélvanla en sus cuadernos.

c) ¿Cuántos litros tenía el camión al salir del establo?

d) Comprueben si la solución que encontraron es correcta.

2. Para los siguientes problemas plantea una ecuación y resuélvela. Hazlo en tu cuaderno.

a) ¿Cuál es el número que al sumarle 27 da como resultado 138?

b) ¿Cuál es el número que al restarle 2.73 da como resultado 5.04?

Comprueba tus soluciones.

Propósito de la actividad. A la cantidad inicial, que es la incógnita del problema, se le aplican dos operaciones sucesivas y se obtiene un resultado determinado. A partir de esas transformaciones y del resultado, que son los datos conocidos, debe obtenerse el valor de la incógnita. Respuesta. Las dos últimas ecuaciones representan el problema.

Sugerencia didáctica. Pida que pasen algunos alumnos al pizarrón a resolver cada una de las ecuaciones elegidas y que identifiquen cuáles ecuaciones plantean el problema de manera adecuada. Es importante destacar que en el caso de la primera expresión algebraica no se plantea ninguna igualdad, a diferencia de las otras tres.

Sugerencia didáctica. Subraye el hecho de que con las dos últimas ecuaciones se obtiene la misma solución porque plantean el mismo problema: restar primero 11 kg y después 13 kg, es lo mismo que restar 24 kg en una sola operación.

Posibles procedimientos. Pueden resolver el problema de distintas maneras. Una de ellas es partir de los 15 con los que se quedó, e ir agregando los litros que fue entregando en cada tienda: 15 + 34 + 56 = 105 Y después se restan los 2 que había recogido en otro pueblo: 105 – 21 = 84 Otra forma es sumar las cantidades de litros entregados (56 + 34 = 90), restarles los 21 que se agregaron en otro pueblo (esos litros no salieron del primer establo): 90 – 21 = 69, y sumar después los 15 que sobraron: 69 + 15 = 84

Sugerencia didáctica. Ayúdeles a comprender cómo fueron variando las cantidades haciéndoles preguntas como: ¿Sabemos con cuántos litros de leche salió el camión del primer pueblo? ¿Qué pasó después, entregó o recibió más litros de leche? ¿A qué se refiere el número 21? ¿A qué se refiere el número 56? Posteriormente puede pedir a los alumnos que comenten por qué las ecuaciones x + 21 – 56 – 34 = 15 y x – 69 = 15 tienen la misma solución.


26

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax = b.

Organización del grupo. Forme parejas para que trabajen de esa manera durante toda la sesión.

Propósito de la actividad. El problema que ahora se plantea es de tipo multiplicativo: implica a la división y a la multiplicación. Encontrar el resultado es relativamente sencillo, pues los alumnos pueden identificar rápidamente que el problema se resuelve con una división, y los números que se dividen son enteros y con pocas cifras. La parte central de la actividad es que los alumnos traten de plantear –y resolver– una ecuación que represente el problema; no importa si en este momento no logran hacerlo de manera correcta, lo importante es que exploren distintas posibilidades.

Sugerencia didáctica. Es posible que la mayoría de los alumnos haya logrado encontrar el resultado del problema mediante la división 280 ÷ 8, pero que no todos hayan logrado plantear la ecuación. Pida a estos alumnos que expliquen cómo resolvieron el problema, aunque no hayan podido plantear la ecuación; después pida a quienes sí lo hayan podido hacer, que muestren al grupo sus respuestas. Pregunte al grupo: ¿Cómo podemos saber cuál es la respuesta correcta?

Respuesta. 8y = 280. Esta ecuación representa que en cada camión hay “y” niños; como hay 8 camiones, con 8y se obtiene la cantidad total de niños, que es de 280.

Respuesta. Para encontrar el valor de y se divide 280 ÷ 8.


Sugerencia didáctica. En caso de que algunas parejas hayan elegido ecuaciones que no corresponden con el problema, pida que hagan la comprobación en el pizarrón. Los alumnos pueden comentar por qué esa ecuación no permite obtener el resultado correcto. Asimismo, es importante que se contraste con la ecuación correcta y que se muestre su comprobación. Destaque el hecho de que la ecuación plantea una multiplicación, y la operación con la que se resuelve es una división:

8y = 280

y = 280 ÷ 8

y = 35

secuencia 18

26

eL PAseO esCOLARConsideremos lo siguientePara un paseo al que asistirán 280 niños se van a rentar 8 autobuses. Todos los autobu-ses van a llevar el mismo número de niños. Se quiere saber cuántos niños debe llevar cada autobús.

a) ¿Cuál es el valor desconocido en el problema? Subráyenlo.

• El número de niños que asisten al paseo.

• El número de autobuses que se rentan.

• El número de niños que van en cada autobús.

b) Usando la letra y escriban una ecuación que describa este problema:

c) Encuentren el valor de y

Comparen sus ecuaciones y sus resultados.

Manos a la obraEn esta actividad se usará algo que aprendieron en la secuencia 4. Recuerden que 8y es lo mismo que 8 por y; el símbolo de la multiplicación aquí no se pone para no confun-dirlo con la letra x.

i. Una de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior. Subráyenla:

• 280 y = 8• 280 + y = 8• y + 8 = 280• 8 y = 280

a) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de y?

• 8 ÷ 280• 8 × 280• 280 – 8• 280 ÷ 8

b) Usando la operación que señalaron encuentren el valor de y.

y =

c) Comprueben su solución sustituyendo el valor de y en la ecuación que escogieron. Háganlo en sus cuadernos.


¿Cuántos niños debe llevar cada autobús?

sesión 2


27

2

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Puede pedirles que busquen en esta misma sesión otros ejemplos en los que la ecuación se resuelva mediante una división o una multiplicación. La idea de que la multiplicación y la división son operaciones inversas puede ejemplificarse de la siguiente manera: “Lo contrario de multiplicar es dividir: si un número lo multiplicamos por 6 y el resultado lo dividimos entre 6, obtenemos el mismo número”. Y viceversa.

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos establezcan relaciones entre los distintos momentos por los que han transitado en estas dos sesiones para encontrar el valor de una incógnita: el planteamiento verbal del problema, su expresión algebraica y la resolución aritmética.

Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, reproduzca la tabla en el pizarrón para que puedan comparar sus respuestas. Pida a algunos alumnos que pasen a completar la tabla. Es posible que aparezcan distintas formas correctas

de expresar las ecuaciones, si no es así, es conveniente que usted las proponga, por ejemplo: En el segundo renglón, x ÷ 6 = 48 es lo mismo que y = 48. En el tercer renglón, m × 25 = 165 es lo mismo que 25m = 165 (de hecho, esta última expresión es más adecuada que la anterior, pues el signo de multiplicación podría confundirse con la literal x). En el cuarto renglón, la ecuación puede ser: y ÷ 7 = 12.5 o u = 12.5

Respuesta. Las ecuaciones que corresponden al problema son la segunda y la tercera.

Posibles procedimientos. Algunos alumnos quizá resuelvan el problema sin plantear la ecuación, aun cuando la hayan identificado. Pueden sumar 3 veces 4, o multiplicar 3 × 4, que es una forma correcta de resolver, pues para encontrar el valor de J es necesario realizar la multiplicación 3 × 4. Trate de identificar qué alumnos sí recurren a la ecuación y quiénes no.

Sugerencia didáctica. Pida a dos alumnos que resuelvan en el pizarrón las ecuaciones que corresponden al problema, y que sustituyan la incógnita para hacer la comprobación. Pregunte a los alumnos por qué las expresiones J ÷ 3 = 4 y e = 4 dan el mismo resultado. Aclare que si bien ambas ecuaciones expresan una división, en el lenguaje algebraico se utiliza más la raya ( e = 4) para indicar una división y se usa poco el signo de la división.

27

MATEMÁTICAS III. Se quiere conocer la edad de Julián y se sabe que la tercera parte de su edad es igual

a la edad de Diego, que tiene 4 años.

a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a este problema? Se usa la letra J para representar a la edad de Julián.

• J × 3 = 4• J ÷ 3 = 4• J ÷ 4 = 3• = 4

b) ¿Cuántos años tiene Julián?

c) En sus cuadernos, comprueben su solución sustituyendo el valor de J en la ecua-ción que escogieron.

Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.

a) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que corresponden a este problema?

b) ¿Qué operación hicieron para encontrar la edad de Julián?

c) ¿La edad de Julián que encontraron es la cuarta parte de la edad de Diego?

III. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas, sus ecuaciones correspondien-tes y las operaciones con las que se pueden resolver. Complétenla.

Problema EcuaciónOperación que se hace

para encontrar la incógnita

Valor de la incógnita

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 3 da 57?

¿Cuál es el número que al dividirlo entre 6 da 48?

x ÷ 6 = 48

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por____ da ____? m× 25 = 165 165 ÷ 25

¿Cuál es el número que al dividirlo entre 7 da 12.5? 12.5 × ______ 87.5

Comparen sus tablas.

J

A lo que llegamosEn la ecuación 2y = 16, el número 2 está multiplicando a la incógnita y. Para encontrar el valor de y se puede hacer una división: 16 ÷ 2. La solución de la ecuación es y = 8.En la ecuación s ÷ 5 = 6, el número 5 está dividiendo a la incógnita s. Para encontrar el valor de s se puede hacer una multiplicación: 6 × 5. La solución de la ecuación es s = 30.

Se dice entonces que la multiplicación y la división son operaciones inversas.

x

y

J

J


28

Propósito del video. Observar el planteamiento y la solución de problemas con un valor desconocido.

Propósito de la actividad. Se conoce la medida del largo y la superficie total, la incógnita es la medida del ancho. Pueden resolver el problema dividiendo la superficie entre la medida del largo sin recurrir a una ecuación. Lo relevante es que logren plantear la ecuación y que encuentren el valor de la incógnita resolviendo la ecuación.

Sugerencia didáctica. Pida a uno o dos de los alumnos que resuelvan en el pizarrón la ecuación que plantearon y que hagan la comprobación.

Respuesta.17y = 238y = 238 ÷ 17 (o también y = W q E u I )y = 14

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.

Organización del grupo.Se sugiere resolver todas las actividades en parejas, a excepción del apartado Lo que aprendimos, que puede resolverse de manera individual.

Propósito de la actividad. Este problema implica dos transformaciones sucesivas de la cantidad inicial: primero se multiplica y luego se resta.

Posibles dificultades. Si algunos alumnos siguen utilizando el signo de la multiplicación, usted puede sugerirles que lo cambien por la expresión 3x para evitar confusiones. Podrían tener mayores dificultades para resolver la ecuación en la que se aplican dos operaciones a la cantidad inicial: una multiplicación y una suma. ¿Qué se resuelve primero? Permita que los alumnos exploren la manera de encontrar el valor de la incógnita cuando la ecuación implica una operación aditiva.

Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos resuelven, identifique dos o tres procedimientos que puedan apoyar a los demás alumnos en el planteamiento de la ecuación y en su resolución. Pida a esos alumnos que muestren su solución a todo el grupo. En las actividades del siguiente apartado tendrán oportunidad de encontrar una forma correcta de plantear y resolver la ecuación.

Propósito de las actividades. Los alumnos podrán identificar los datos conocidos y la incógnita, así como las relaciones que se establecen entre ellos; esto les permitirá identificar la ecuación que corresponde al planteamiento del problema. Respuesta. La incógnita es el número que pensó Juan, y la ecuación correcta es 3x – 5 = 10

secuencia 18

28

sesión 3

Lo que aprendimos El terreno y el río

El terreno rectangular que se muestra en la figura de la iz-quierda está atravesado por un río y no es posible medir su ancho. ¿Cómo se puede calcular el ancho si se sabe que el terreno mide de largo 17 m y el área que ocupa es 238m2?

a) Escriban una ecuación para resolver el problema anterior:

b) Encuentren el valor de la incógnita.

c) Comprueben el valor que encontraron para la incógnita.

ResOLUCión De eCUACiOnes MiXTAsConsideremos lo siguienteJuan pensó un número. Lo multiplicó por 3 y a lo que le salió le restó 5. Al final obtuvo 10.

a) Escriban una ecuación para encontrar el número que pensó Juan.

Usen la letra x para representarlo.

b) ¿Cuál es el número que pensó?

Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten:

¿Qué operaciones hicieron para resolver la ecuación?

Manos a la obrai. ¿Cuál es la incógnita en el problema?

• El resultado de multiplicar por 3.

• El resultado que obtuvo Juan al final.

• El número que pensó Juan.

Juan hizo dos operaciones con el número que pensó.

a) ¿Cuál fue la primera operación que hizo?

b) ¿Cuál fue la segunda operación que hizo?

17 m


¿Cuánto mide el ancho del terreno?


29

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos efectivamente hagan la comprobación en sus cuadernos; para ello, deben sustituir la incógnita por el valor que encontraron: 20 ÷ 4 + 6 = 5 + 6 = 11

3

Sugerencia didáctica. Anime a los alumnos para que argumenten por qué esa ecuación no resuelve el problema (una posible respuesta es que ni las operaciones ni los números coinciden con los del problema planteado). Si los argumentos no son suficientes, pueden sustituir la incógnita por el valor que ya encontraron, y ver si obtienen el mismo resultado.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que argumenten por qué esa ecuación no corresponde con el problema. Deben darse cuenta de que en esta ecuación los números no corresponden con las operaciones realizadas. Puede pedir que sustituyan x por el valor encontrado anteriormente, para ver si obtienen el mismo resultado que con la ecuación correcta.

Propósito de la actividad. Para encontrar el valor de la incógnita deben considerar que la operación inversa de la resta es la suma; por lo tanto, para saber cuál fue el número que obtuvo Juan al hacer la operación 3x, es necesario sumar 5 al resultado final: 10 + 5 = 15

Propósito de la actividad. La operación inversa de la multiplicación es la división, por lo tanto, tendrían que dividir 15 ÷ 3 para encontrar el valor de x.

Sugerencia didáctica. Puede pedir a un alumno que haga la comprobación en el pizarrón. Pida a los alumnos que regresen a la solución que dieron al mismo problema al inicio de la sesión, para que comparen la ecuación y la solución que dieron en ese momento con lo que obtuvieron ahora. Pídales que hagan las correcciones necesarias.

Propósito de la actividad. Al igual que en la actividad anterior, se pretende que los alumnos identifiquen que en la ecuación hay dos operaciones, una multiplicativa (en este caso la división y ÷ 4) y otra aditiva (en este caso, la suma + 56), y que primero se resuelve la operación aditiva mediante la operación inversa: al resultado final se debe restar 6, que es lo que se había agregado.

Respuesta. Pueden utilizar y ÷ 4 + 6 = 11 o también r + 6 = 11

29

MATEMÁTICAS Ic) Una de las siguientes ecuaciones sirve para encontrar el número que pensó Juan,

¿cuál es?

• 3x – 5x = 10• 3x + 10 = 5• 3x – 5 = 10

Comparen sus ecuaciones y soluciones.

Comenten: la ecuación 5 x – 3 = 10 no corresponde a este problema, ¿por qué?

II. En la ecuación 3x – 5 = 10 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 3 por x,y después, al resultado se le resta 5.

a) ¿Qué número creen que obtuvo Juan al hacer la operación: 3x?


b) En la ecuación 3x – 5 = 10, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encon-

trar el valor de 3x?

Completen:

3x = 10 + =

c) En la ecuación 3x = 15, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encontrar

el valor de x?

Completen:

x = 15 ÷ =d) En sus cuadernos, comprueben el valor que encontraron para el número que pen-

só Juan, sustituyéndolo en la ecuación.

III. Ana pensó un número. Lo dividió entre 4 y después, a lo que le salió, le sumó 6. Al final obtuvo 11.

a) ¿Cuál es la primera operación que hizo Ana?

b) ¿Cuál es la segunda operación que hizo Ana?

c) Escriban una ecuación para encontrar el número que Ana pensó. Usen la letra ypara representarlo.

y ÷ 4 + =

d) ¿Cuál es el valor de y?y =

e) Comprueben la solución en sus cuadernos.

Comparen sus ecuaciones y soluciones.

Comenten: La ecuación y – (2 ÷ 8) no corresponde al problema, ¿por qué?

Recuerden que:

3x es lo mismo que

3 por x. El símbolo

de la multiplicación

no se pone para no

confundirlo con la

letra x.

y


30

Propósito de la actividad. La incógnita de la ecuación que corresponde a este problema está determinada por dos operaciones. Se espera que, a partir de lo que trabajaron en la actividad anterior, los alumnos puedan identificar la ecuación que corresponde al problema y resolverla.

Respuesta. La segunda ecuación (2a + 1 = 7.2) y la cuarta (a × 2 + 1 = 7.2) permiten encontrar el valor de la altura.

Respuesta. La segunda y la cuarta ecuación son las correctas. Conviene que aclare a los alumnos que la respuesta óptima es la segunda ecuación, pues en la cuarta se está utilizando el signo × para indicar la multiplicación, lo cual podría resultar confuso. En caso de que haya alumnos que hayan elegido otras ecuaciones, puede pedirles que las resuelvan y que después hagan la comprobación, para que de esa manera se percaten del error.

secuencia 18

30

A lo que llegamos

iV. En el rectángulo de la figura 1 la medida de la base es igual al doble de la medida de la altura más 1 cm.

Figura 1

De las siguientes ecuaciones señalen las que sirven para encontrar la altura.

• a × 2 + 7.2 = 1• 2a + 1 = 7.2• (a ÷ 2) + 1 = 7.2• a × 2 + 1 = 7.2

Comparen las ecuaciones que escogieron y comenten:

a) ¿Cuáles son las operaciones que se hacen en este problema?

b) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que permiten resolver el problema?

7.2 cm

a

Para resolver ecuaciones en las que se hacen dos operaciones con la incógnita, como 5x + 1 = 21, hay que respetar el orden de las operaciones. Una manera de resolver estas ecuaciones es la siguiente:

Primero. Encontrar el valor de 5x:

5x = 21 – 15x = 20

Segundo. Encontrar el valor de x:

x = 20 ÷ 5x = 4

En la ecuación (y ÷ 6) – 8 = 4 se pone un paréntesis para indicar que primero se divide entre 6 y después se resta 8. Nuevamente se resuelve la ecuación respetando el orden de las operaciones:

Primero. Se encuentra el valor de y ÷ 6:

y ÷ 6 = 4 + 8y ÷ 6 = 12

Segundo. Se encuentra el valor de y:

y = 12 × 6y = 72


31

Integrar al portafolios. Si identifica dificultades para plantear la ecuación, pida a uno o dos alumnos que lo hayan hecho correctamente que la escriban en el pizarrón. Usted puede preguntar: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cómo fue cambiando el dinero que inicialmente tenía Eugenio? ¿Con cuánto dinero se quedó al final? ¿Cómo podemos plantear la igualdad? Si los alumnos tienen dificultades para resolver la ecuación repase con ellos el apartado A lo que llegamos de las sesiones 2 y 3 de esta secuencia.

Respuestas.3x – 150 = 300(3x – 150) ÷ 3 = 100Con el propósito de apoyar a aquellos alumnos que aún no hayan comprendido el problema, y para revisar una forma más de resolverlo sin plantear la ecuación, usted puede comentar el siguiente procedimiento: Si repartió $100 a cada amigo quiere decir que a Eugenio le quedaban $ 300. Si gastó $150, entonces tenía $450 (considerando los $300); esa fue la cantidad que retiró. Si esa cantidad se obtuvo al triplicarse su dinero, entonces inicialmente había depositado $150.

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos apliquen lo aprendido en las sesiones anteriores para resolver estos problemas. Una particularidad de los problemas que aquí se plantean, es que se hace uso de números decimales.

Sugerencia didáctica. Para cada uno de los siguientes problemas solicite a los alumnos que hagan las comprobaciones en sus cuadernos. Recuérdeles también que pueden usar las literales que quieran.

Respuestas. w + 29 = 44. También (a ÷ 2) + 29 = 44. El número de alumnos es 30 (puede usar cualquier literal).

Respuestas. a) 2x – 3 = 15.8

2x = 18.8 x = 9.4

b) r + 23.5 = 117.7

r = 94.2

x = 376.8

Respuestas.a) x = 3.3b) x = 112c) x = 21.2d) x = 63

31

MATEMÁTICAS IEncuentren el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación.

Lo que aprendimos1. La mitad del número de alumnos que hay en primer año más 29 es igual a 44.

a) Escribe una ecuación para este problema:

b) ¿Cuántos alumnos hay en primer año?

2. En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas. Puedes usar ecuaciones.

a) Si pienso un número, lo multiplico por 2, a lo que me sale le resto 3 y al final obtengo 15.8. ¿Cuál es el número que pensé?

b) Si a la cuarta parte de un número le sumo 23.5 obtengo 117.7. ¿Cuál es el número?

3. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Escribe los procedimientos en tu cuaderno.

a) 3x + 0.1 = 10b) (x ÷ 2) + 44 = 100c) x + 23 − 15 = 29.2d) (x ÷ 3) + 25 = 46

4. Un reto. Resuelve el siguiente problema. Intenta hacerlo solo, pero si tienes dudas, puedes consultar a tu maestro o a otros compañeros.

Eugenio abrió una cuenta en el banco con cierta cantidad inicial de dinero, pero no recuerda cuánto. Después de un tiempo esta cantidad inicial se triplicó. Eugenio re-tiró todo el dinero que tenía y gastó 150 pesos. El resto lo repartió entre tres amigos, de modo que a cada uno le tocaron 100 pesos. Ayúdale a Eugenio a recordar cuánto dinero depositó en el banco.

a) Escribe una ecuación que corresponda a este problema.

b) Resuelve la ecuación en tu cuaderno.

c) ¿Cuánto dinero depositó Eugenio en el banco?

Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:

Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Trad, Basilio Lozada. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rincón, 2005.

a

x

x

Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones mixtas de primer grado respetando el orden de las operaciones.


32

secuencia 19

32

En esta secuencia construirás triángulos y cuadriláteros, y analizarás las condiciones de existencia y unicidad.

¿ExistE o no ExistE?Para empezarCuando se pide construir una figura geométrica con ciertas condiciones, a veces es po-sible hacerlo y a veces no. Por ejemplo, ¿crees que sea posible trazar un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 1 cm y 1 cm?; ¿por qué?

Éste es el tipo de reflexiones que realizarás a lo largo de la secuencia. Es importante que hagas tus suposiciones o hipótesis y luego trates de comprobarlas.

Consideremos lo siguienteRecorten popotes de las siguientes medidas.

Traten de formar triángulos, usando como lados tres de los pedazos de popotes que cor-taron. Completen la siguiente tabla, anoten cuando sea posible formar el triángulo.

Medida de los popotes para formar el triángulo ¿Es posible formar el triángulo?

8 cm, 3 cm, 2 cm

8 cm, 6 cm, 4 cm

8 cm, 4 cm, 2 cm

6 cm, 4 cm, 3 cm

6 cm, 3 cm, 2 cm

sEsión 1

Existenciay unicidad

8 cm6 cm

2 cm 3 cm 4 cm 5 cm

Propósitos de la secuencia Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de existencia y unicidad


1

¿Existe o no existe? Identificar que no siempre es posible construir un triángulo dadas 3 medidas. Conocer la propiedad que deben cumplir 3 medidas para que sea posible trazar un triángulo.

Interactivo “Desigualdad

triangular”

2¿Es uno o son muchos? Analizar y explorar casos sencillos de existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros.

Video ¿Es uno o son

muchos?

Aula de medios “Es uno o son

muchos” (Geometría dinámica)

Eje

Forma, espacio y medida.

Tema

Figuras geométricas.

Antecedentes

A diferencia de las construcciones geométri-cas que se realizan en la escuela primaria, en este grado se espera que con base en procedimientos específicos los alumnos logren anticipar, probar y justificar los datos que son necesarios y suficientes para llevar a cabo una construcción. Para ello se apoyarán en procedimientos que ya conocen:- Trazos con regla y compás de triángulos y

cuadriláteros.- Trazo de ángulos dada su medida.

Propósito de la sesión. Identificar que no siempre es posible construir un triángulo dadas 3 medidas. Conocer la propiedad que deben cumplir 3 medidas para que sea posible trazar un triángulo.

Materiales. Popotes o tiras de cartoncillo, tijeras, regla y compás.

Organización del grupo. Se sugiere que el problema inicial se resuelva en equipos, y el apartado Manos a la obra, en parejas.

Propósito de la actividad. Que los alumnos desarrollen su capacidad para cuestionarse acerca de dos hechos:1) ¿Tiene solución este problema? Es

decir, ¿existe la solución?2) Si existe la solución, ¿es única o son

varias las soluciones correctas?Se espera que los alumnos se den cuenta de que, dadas 3 medidas, no siempre es posible construir un triángulo cuyos lados tengan, precisamente, esas medidas. Es decir, se trabaja en torno de la existencia o no existencia de la solución de un problema.

Posibles procedimientos. Tal vez algunos alumnos no necesiten manipular los popotes para completar la tabla; si es así, pídales que los usen después para comprobar sus hipótesis; esto permitirá que los integrantes del equipo validen los resultados obtenidos.

Respuesta. Sólo es posible formar triángulos con las medidas 8, 6 y 4 cm, y con las medidas 6, 4 y 3 cm.


33

33

MATEMÁTICAS Ia) ¿Siempre fue posible construir triángulos con las tres longitudes?

b) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que crean

que sí es posible construir un triángulo . , ,

c) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que crean

que no es posible construir un triángulo. , ,

Comenten sus hallazgos y resultados con sus compañeros de grupo. Expliquen cuándo creen que dadas tres longitudes es posible construir un triángulo y cuándo no es posible.

Manos a la obraI. Recuerden cómo se construye con regla y compás un triángulo si se conocen las me-

didas de sus lados.

Construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 4 cm y 3 cm.

Paso 1. Se traza un segmento de cualquiera de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.

Paso 2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos medidas y con centro en un extremo del segmento, se traza un arco.

Paso 3. Se abre el compás a la tercera medida y con centro en el otro extremo del segmento, se traza un arco que cruce al anterior.

Paso 4. Se unen los extremos del segmento con el punto donde se cortan los arcos y se obtiene el trián-gulo pedido.

Respuestas. a) No.b) La medida que los alumnos

propongan para cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos lados. Podrán anotar cualquiera de las siguientes opciones: (8, 6, 5); (8, 6, 4); (8, 6, 3); (8, 5, 4); (6, 5, 4); (6, 5, 3); (6, 5, 2); (6, 4, 3); (5, 4, 3); (5, 4, 2); (4, 3, 2).

c) Debe haber un lado que sea mayor o igual que la suma de los otros dos. El alumno podrá contestar cualquiera de las siguientes opciones: (8, 6, 2); (8, 5, 3); (8, 5, 2); (8, 4, 3); (8, 4, 2); (8, 3, 2); (6, 4, 2); (6, 3, 2); (5, 3, 2).

Sugerencia didáctica. Recomiende a los alumnos que para verificar rápidamente si las medidas propuestas permiten formar un triángulo, sumen las medidas de los lados menores. Esa suma debe ser mayor que la longitud del lado más grande. Cuando se comparen las respuestas de los incisos b) y c) invite a los alumnos a que las verifiquen usando los popotes. Pregunte también cómo podrían saber si se puede o no formar el triángulo, pero sin usar los popotes. Esto tiene el propósito de que analicen las ternas de números y traten de encontrar la relación entre ellos para determinar la existencia o no existencia del triángulo.

Sugerencia didáctica. Aunque los alumnos estudiaron el trazo de triángulos en la primaria es probable que ya no lo recuerden, por ello cerciórese de que las parejas sigan de manera correcta los pasos enunciados. Permita que sean ellos quienes interpreten las instrucciones; si nota que tienen dificultades, trate de auxiliarlos.


34

Propósito de la actividad. Con los incisos c), d) y e) se promueve que los alumnos identifiquen que dadas dos magnitudes para los lados de un triángulo, éste no queda completamente definido, lo que da lugar a varias respuestas.

Respuestas.a) y b) El triángulo con las medidas 6,

3 y 2 cm es imposible de trazar.c) El tercer lado puede medir 8, 7, 6,

5 o 4 cm, aunque también puede tener una medida no entera, como 6.5, 7.5 cm; es probable que los alumnos no consideren estas soluciones, pero si alguno lo hace será interesante comentarla en el grupo.

d) Si la tercera medida es un número entero, entonces hay 5 soluciones: 8, 7, 6, 0 y 4.

e) El triángulo que los alumnos tracen deberá cumplir con la condición de las medidas que se dan. El tercer lado deberá medir más de 3 cm y menos de 9 cm.

Propósito del interactivo. Explorar cómo deben ser las medidas de los lados de un triángulo para poder trazarlo.

Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, observe qué medidas son las que propusieron, de tal manera que usted pueda identificar si los alumnos han elaborado ya alguna hipótesis respecto de las condiciones para que sea posible el trazo de un triángulo. Asegúrese de que los alumnos efectivamente construyan el triángulo en sus cuadernos para que puedan verificar sus respuestas.

Sugerencia didáctica. Es importante que para completar esta tabla ya no hagan uso de los popotes ni de los trazos, sino que atiendan a las relaciones entre los lados con el fin de que pongan en juego las conjeturas que fueron construyendo a lo largo de las actividades anteriores. En la puesta en común tendrán oportunidad de validar sus respuestas.

Respuestas. Sólo es posible trazar un triángulo con las siguientes medidas: 8, 9 y 2 cm, y 2.5, 3 y 1.5 cm. En el caso del primer renglón de la tabla, es la primera vez que se presenta un caso en el que la suma de dos lados es igual a la del lado mayor. Pida a los alumnos que comenten por qué no es posible trazar este triángulo.

secuencia 19

34

ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno triángulos cuyos lados midan

a) 8 cm, 9 cm, 7 cm.

b) 9 cm, 5 cm, 6 cm.

c) 6 cm, 3 cm, 2 cm.

iii. Respondan las preguntas:

a) ¿Pudieron trazar los tres triángulos?

b) ¿Cuál fue imposible trazar?

c) Si dos lados de un triángulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitud

para el tercer lado, de manera que se pueda trazar el triángulo.

d) Tracen en su cuaderno triángulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cm

y el tercer lado tenga la longitud que ustedes indiquen.

e) Si se pone la condición de que la medida del tercer lado sea un número entero,

¿cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y

3cm?

iV. Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan trazar un triángulo.

a) ¿Cuáles son esas medidas?

b) Tracen el triángulo en su cuaderno y verifiquen su hipótesis; si no se puede trazar, intenten con otras medidas.

V. Sin hacer trazos, anoten a los triángulos que sí pueden trazarse.

Medida de los lados ¿Existe el triángulo?

10 cm, 5 cm, 5 cm

8 cm, 9 cm, 2 cm

1 cm, 0.5 cm, 2 cm

2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm

4 cm, 3 cm, 9 cm

Comenten sus respuestas con sus compañeros de grupo, traten de concluir qué condi-ción deben cumplir las tres medidas de los lados de un triángulo.


35

Sugerencia didáctica. De manera breve, haga un recordatorio sobre lo que es un cuadrilátero, solicitando a los alumnos que mencionen las características principales de los cuadriláteros que aquí se muestran y de otros que conozcan.

2

Sugerencia didáctica. Además de leer la información, pueden reproducirla con sus propias palabras de manera verbal o por escrito en sus cuadernos; también pueden dar ejemplos diferentes a los mostrados o localizar en el mismo libro alguna actividad que la identifique.

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que realicen el siguiente ejercicio:a) Proponer unas medidas, distintas a

las que se han dado anteriormente, con las cuales sea imposible construir un triángulo. Escribir por qué no es posible construirlo.

b) Proponer unas medidas (distintas a las de los ejercicios anteriores) con las cuales sí sea posible construir un triángulo. Trazar el triángulo.

Si los alumnos muestran dificultades para establecer cuáles son las condiciones para que esta figura exista, revise nuevamente con ellos la información del apartado A lo que llegamos.

Propósito de la sesión. Analizar y explorar casos sencillos de existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en equipos durante toda la sesión, incluyendo momentos de intercambio con todo el grupo.

Materiales. - Popotes o tiras de cartoncillo

cortados en las medidas que se indican.

- Tachuelas o hilo y aguja.- Regla, compás, escuadras y

transportador.

35

MATEMÁTICAS I

¿Es UnO O sOn MUCHOs?Para empezarEn la lección anterior te diste cuenta de que a veces es posible trazar triángulos con cier-tas medidas, y a veces no. En esta lección explorarás los cuadriláteros, ¿los recuerdas? Son figuras de cuatro lados.

Se analizará si, dadas ciertas condiciones, es posible trazar uno o muchos cuadriláteros.

Para que el triángulo exista, cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos.

Por ejemplo, sí existe un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 5 cm, porque:

7 es menor que 4 + 5.4 es menor que 7 + 5.5 es menor que 7 + 4.

sEsión 2

cuadrado rectángulo

trapecio

romboromboide

A lo que llegamosNo siempre es posible construir un trián-gulo cuando se dan tres medidas de los lados, por ejemplo, no existe un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 2 cm.


36

Sugerencia didáctica. La manipulación con material concreto es de gran ayuda para ciertos aprendizajes matemáticos. En este caso, el uso del material que se sugiere ayudará a que los alumnos se den cuenta de que existen rombos que son diferentes aunque sus lados midan lo mismo. Notarán que la medida de los popotes no varía, pero la medida de los ángulos que forman sí. Asegúrese de que se cuente con este material de manera oportuna y que los alumnos efectivamente lo empleen para realizar las actividades que se indican.

Sugerencia didáctica. Para el inciso a) es necesario que los alumnos se cercioren de que, efectivamente, su figura es un cuadrado; para ello pueden usar el ángulo recto de una hoja, de una escuadra o el transportador. Para el inciso b) pueden usar el ángulo de 60º de la escuadra o el transportador.Respecto del inciso d), al jalar los vértices se forman rombos diferentes, debido a que cambia la medida de los ángulos.

secuencia 19

36

Consideremos lo siguienteRecorten 4 popotes de 6 cm y armen con ellos un rombo; unan los popotes cosiéndolos con hilo o poniéndoles una tachuela.

Observen que el rombo va cambiando al jalar dos de sus vértices opuestos.

a) Cambien el rombo hasta formar un cuadrado.

b) Cambien el rombo hasta que formen otro cuyos ángulos midan 120°

y 60°.

c) Cada vez que jalan los vértices ¿se forma un rombo diferente al an-

terior?

d) ¿Qué es lo que varía en estos rombos?

e) Si se te pide que traces un rombo cuyos lados midan 6 cm, ¿hay una

solución o varias? . ¿Por qué?

Comenten y comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En particular, men-cionen:

• ¿Cuántos rombos diferentes que midan 6 cm de lado pueden trazar?

• ¿Qué otro dato es necesario dar para que los rombos que se tracen sean todos iguales en forma y tamaño?

6 cm


37

Sugerencia didáctica. En las actividades 1 y 2 es posible que los alumnos piensen que para hacer el trazo necesitan un dato más (la altura o la base, respectivamente). Mientras los equipos resuelven, hágales ver que lo que deben trazar es un rectángulo que cumpla con la condición pedida y que con ello están resolviendo el problema planteado; se espera que los alumnos se den cuenta de que se pueden trazar muchos rectángulos diferentes, construyendo gradualmente la idea de que para trazar un rectángulo y para que éste quede definido, se requiere, en este caso, saber tanto la medida de la base como de la altura (esto podrán verlo en el ejercicio 3).

37

MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Tracen lo que se pide:

1. Un rectángulo cuya base sea el siguiente segmento:

¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar?

2. Un rectángulo cuya altura sea el siguiente segmento:

¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar?

3. Un rectángulo cuya base y altura sean los siguientes segmentos:

a) ¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar en la actividad 3?

b) ¿Cuántas medidas del rectángulo deben darse para que sólo pueda trazarse un

rectángulo?


38

secuencia 19

38

ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuya base mida 8 cm y su altura 5 cm.

Comparen sus romboides.

a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm?

b) ¿Son iguales todos los romboides que trazaron?

c) ¿En qué varían?

d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cm

de altura?

e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas carac-

terísticas?

f) Tracen un romboide cuya base mida 7 cm, altura 5 cm y con un ángulo de 45°.

g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características?

iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las ca-racterísticas que se piden en cada caso.

Características ¿Existe uno o varios o no existe?

Un rombo cuyo lado mida 9 cm

Un cuadrado cuyo lado mida 6 cm

Un cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm, 5 cm, 2 cm y 1 cm

Un romboide cuya base mida 6 cm y uno de sus ángulos 130°

Un rombo que tenga dos ángulos opuestos que midan 40° y los otros dos 140°

Un trapecio isósceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 4 cm

Un cuadrado cuya diagonal mida 10 cm

Comparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumenten sus respuestas.

Propósito de la actividad. Los alumnos deberán percatarse de que existen ciertas condiciones que dan lugar al trazo de figuras diferentes, y que existen condiciones que permiten determinar a una figura de manera única. En el caso del romboide que se sugiere, los alumnos identificarán que la base y la altura no son datos suficientes para determinarlo, pero que si se da el valor de un ángulo interior, entonces es posible determinarlo de manera única.

Sugerencia didáctica. En la confrontación de resultados procure que los alumnos distingan un caso del otro y que hagan explícitas cuáles son las condiciones para cada uno de ellos.

Propósito de la actividad. Todos los casos propuestos en la tabla permitirán a los alumnos establecer hipótesis y conjeturas acerca de la existencia y unicidad de las figuras, dadas ciertas condiciones, al mismo tiempo que tendrán que explorar posibles soluciones y validar o desechar sus hipótesis iniciales.

3

En el caso del cuadrilátero del tercer renglón, si el tiempo se lo permite, invite a los alumnos a construirlo y a que argumenten por qué no es posible hacerlo. La razón es que la suma de las longitudes de los tres lados más pequeños es menor que la longitud del lado más grande.

Durante la puesta en común, invite a los alumnos a que ellos mismos se hagan cargo de la validación y defiendan sus respuestas, o que reconozcan cuando algún compañero les demuestre que están equivocados. Estas habilidades y actitudes son tan importantes como el contenido que se pretende que ellos construyan.

secuencia 19

38

ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuya base mida 8 cm y su altura 5 cm.

Comparen sus romboides.

a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm?

b) ¿Son iguales todos los romboides que trazaron?

c) ¿En qué varían?

d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cm

de altura?

e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas carac-

terísticas?

f) Tracen un romboide cuya base mida 7 cm, altura 5 cm y con un ángulo de 45°.

g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características?

iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las ca-racterísticas que se piden en cada caso.

Características ¿Existe uno o varios o no existe?

Un rombo cuyo lado mida 9 cm

Un cuadrado cuyo lado mida 6 cm

Un cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm, 5 cm, 2 cm y 1 cm

Un romboide cuya base mida 6 cm y uno de sus ángulos 130°

Un rombo que tenga dos ángulos opuestos que midan 40° y los otros dos 140°

Un trapecio isósceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 4 cm

Un cuadrado cuya diagonal mida 10 cm

Comparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumenten sus respuestas.

Varios (pueden variar los ángulos)

Uno (la medida de los ángulos es de 90°)

No existe (la medida del lado mayor no debe exceder la

suma de los otros 3)Varios

(el otro lado puede tener cualquier longitud)

Varios (puede variar la medida de los lados)

Varios(puede variar la altura)

Uno(es un cuadrado de lado raíz cuadrada de 50)


39

Propósito del video. Plantear y solucionar algunos problemas de trazo de triángulos y cuadriláteros con solución única o varias soluciones diferentes.

Sugerencia didáctica. Para cerrar la sesión, además de comentar lo enunciado puede invitar a los alumnos a que ilustren casos en que las condiciones pedidas no pueden cumplirse para trazar un cuadrilátero, casos en que se cumplen pero hay varias soluciones posibles y casos en que el cuadrilátero queda determinado de manera única.

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que realicen el siguiente ejercicio:a) Proponer las medidas para trazar

un cuadrilátero (el que cada alumno elija), de tal manera que sea posible trazar varios cuadriláteros de distinto tamaño y forma. Trazar dos cuadriláteros.

b) Proponer las medidas para trazar el cuadrilátero que eligieron anteriormente, de tal manera que todos los cuadriláteros que se tracen con esas medidas sean del mismo tamaño y forma. Trazar un cuadrilátero.

Si los alumnos muestran dificultades para establecer cuáles son las características que cumplen con las condiciones anteriores, revise nuevamente con ellos las actividades I y II del apartado Manos a la obra y la información del apartado A lo que llegamos.

39

MATEMÁTICAS IA lo que llegamosSi se pide que se trace un trapecio isósceles cuya base mayor mida 3 cm y su base menor mida 2 cm, puedes observar que existen varias soluciones. Cada trapecio tiene diferente altura, pero cumple con las medidas de las bases.

En cambio, si se pide un trapecio isósceles cuya base mayor mida 5 cm, la base menor 4 cm y la altura 2 cm, todos los trapecios isósce-les que se tracen con estas características serán iguales en forma y tamaño.

¿Es uno o son muchos?

Ahora ya sabes que cuando se dan ciertas condiciones para hacer trazos geométricos, es probable que la figura con esas condiciones no pueda trazarse o, en caso de que sí pueda trazarse, es probable que tenga varias respuestas correctas o sólo una.

Para saber más

Sobre las propiedades de los triángulos y cuadriláteros consulten:http://matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trianprop [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].


40

secuencia 20

40

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios, y establece-rás relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras. También realizarás conversiones de medidas de superficie.

Problemas de aPlicaciónPara empezarTanto en la primaria como en las secuencias 4 y 14 has estudiado, conocido y justificado algunas fórmulas para calcular perímetros y áreas. Ahora se trata de que apliques estos conocimientos a la resolución de problemas. ¿Listo?

Lo que aprendimos1. Para cada polígono regular midan lo que sea necesario y calculen su área. Uno de

ustedes utilice el método de sumar las áreas de los triángulos, y el otro la fórmula del área.

sesión 1

Áreas y perímetros

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de

cada una de estas figuras. Realizar conversiones de medidas de superficie.


1Problemas de aplicación Aplicar conocimientos sobre el cálculo de áreas y perímetros en la resolución de problemas.

2Relaciones importantes Resolver problemas de áreas en los que se debe plantear una ecuación o identificar relaciones de variación proporcional.

3Medidas de superficie Resolver problemas que implican conversiones de unidades de superficie.

Video Medidas de superficie

Eje


Tema

Medida.

Antecedentes

Desde primer grado de primaria los alumnos han tenido contacto con las magnitudes de área y longitud. Se espera que en este grado los alumnos ya sepan calcular áreas utilizando diferentes procedimientos; particularmente en la secuencia 14 tuvieron la oportunidad de justificar algunas fórmulas para calcular áreas y perímetros.En esta ocasión continuarán resolviendo problemas de cálculo de áreas vinculando ese conocimiento con otros, por ejemplo, con las ecuaciones y con las situaciones de variación proporcional.

Propósito de la sesión. Aplicar conocimientos sobre el cálculo de áreas y perímetros en la resolución de problemas.

Organización del grupo. Se recomienda que los alumnos resuelvan todos los problemas organizados en parejas y que al final se comparen los resultados. Si lo considera conveniente, pueden resolver un problema e inmediatamente comparar los resultados.

Materiales. Instrumentos geométricos y calculadora.

Propósito de la actividad. Que los alumnos decidan qué medidas deben tomar para calcular el área de una figura determinada.

Posibles dificultades. Es probable que no puedan hacer mediciones exactas y, por lo tanto, que los resultados sean distintos. Proponga que utilicen aproximaciones. Esta es una oportunidad para reflexionar sobre la dificultad de obtener medidas exactas, así como sobre la necesidad de establecer un margen de error aceptable.

Sugerencia didáctica. Pueden revisar la secuencia 14 con el fin de recordar la fórmula para calcular el área de un polígono regular. Es importante que los alumnos decidan qué es lo que tienen que medir para calcular el área de cierta figura, si usted les da todos los datos para que sólo hagan las operaciones, la situación se reduce a cálculos aritméticos. Mientras resuelven, identifique dificultades que usted pueda retomar en la comparación de resultados. Por ejemplo, en los alumnos que apliquen la fórmula usted puede observar cómo determinan la medida del apotema.


41

41

MATEMÁTICAS I2. De los siguientes triángulos, elijan el lado que quieran como base y tracen la altura

correspondiente. Tomen las medidas necesarias y calculen el área y el perímetro.

Área Área

Perímetro Perímetro

En sus cuadernos tracen un triángulo que tenga la misma área que el primer triángulo de este ejercicio.

3. ¿Cuál es el área del siguiente terreno de forma irregular? Tomen las medidas necesa-rias y consideren que la escala es 1:200.

Recuerden que:

En el siguiente

triángulo se ha

trazado una de sus

alturas.

La altura es perpen-

dicular al lado que

se elige como base y

pasa por el vértice

opuesto a ese lado.

Posibles procedimientos. Este problema es de mayor complejidad que los anteriores no sólo porque se trata de una figura irregular y los alumnos tendrán que decidir cómo hacer particiones, sino también porque es una figura hecha a escala. Una forma de resolverlo es dividir el terreno en figuras conocidas, (pueden ser triángulos, rectángulos y romboides), calcular el área de cada una de ellas considerando desde un inicio la escala (1 cm en el dibujo equivale a 200 cm) y después sumar las áreas para obtener el área total. Si los alumnos no consideran la escala

desde un inicio, pueden obtener el área del dibujo y aplicar después la escala, aunque esto es más complejo: el área obtenida en el dibujo es aproximadamente de 24 cm2 , y 1 cm en el dibujo equivale a 200 cm, entonces 1 cm2 equivale a 40 000 cm2. El área es de 96 000 cm2. Seguramente las diferencias en las medidas serán más notorias en este caso, pero siempre dentro de un margen de error en el que los alumnos tendrán que decidir si tales diferencias se deben a las imprecisiones al medir o a un cálculo erróneo.

Sugerencia didáctica. Un aspecto que es interesante observar en los procedimientos de los alumnos es cómo determinan la altura de cada uno de los triángulos; particularmente para el caso del segundo triángulo, si eligen como base el lado de menor longitud necesitarán prolongar este lado para poder trazar la perpendicular que va al vértice opuesto. Sin embargo, es probable que pocos alumnos hagan esto, por lo que usted puede aprovechar la comparación de resultados para plantear esta situación. También es pertinente que los alumnos reflexionen en torno de que aun cuando se hayan considerado distintas alturas en cada uno de los triángulos, el área debe ser la misma.

Sugerencia didáctica. Puede dejar este ejercicio como tarea. Los alumnos tienen dos posibilidades para trazar un triángulo distinto pero con la misma área que el de la lección: pueden utilizar las mismas medidas de la base y la altura, pero deben “mover” la altura (que pase por la mitad de la base, por ejemplo) para que el triángulo resulte distinto al de la lección. Otra forma es variar las medidas de la base y de la altura de tal manera que obtengan la misma área.


42

Sugerencia didáctica. Si los alumnos no recuerdan la fórmula, recomiéndeles que consulten la secuencia 14.

Respuesta. La fórmula es A = D × d , y el resultado es 1 750 cm2.

2

Integrar al portafolios. El reto que tienen los alumnos con este problema es que aun cuando se dan las medidas, deberán decidir cuáles de ellas deben tomar en cuenta para calcular lo que se cobrará en cada caso (el costo de los cimientos, de los castillos y del tabique). Tal vez las dificultades que se presenten tengan que ver precisamente con no poder decidir qué medidas considerar, por ello es importante que durante la comparación de resultados dedique mayor tiempo para analizar cuáles son la medidas que los alumnos deben tomar en cuenta y por qué.

Respuestas.- Costo de los cimientos: se requiere

calcular el perímetro del terreno, que es de 36 m, y se multiplica por el costo de cada metro: 36 × 200 = $7 200.

- Costo de los castillos: son 9 castillos y cada castillo tiene 3 m de altura, es decir que son 27 metros en total. 27 × 80 = $2 160.

- Costo de la barda: quitando el hueco para el zaguán, la barda tiene un perímetro de 33 m. Considerando los 3 m de altura: 33 m × 3 m de altura son 99 m2 de barda: 99 × 50 = $4 950.

- El costo total de la mano de obra es de $14 310.

secuencia 20

42

4. Alejandro va a hacer un papalote en forma de rombo, quiere que las diagonales mi-

dan 50 cm y 70 cm. ¿Qué superficie estará en contacto con el viento?

5. Se va a construir la barda de un terreno con las siguientes medidas:

3 m(hueco para el

zaguán)

10 m

8 m

Los cimientos y los

castillos le dan

fuerza a la barda

para que pueda

sostener el techo y

otros pisos.

Los albañiles cobran lo siguiente:

Metro de cimientos $200

Metro de castillos $80

Metro cuadrado de tabique $50

• La barda será de una altura de 3 m.

• Cada punto negro indica el lugar donde se pondrá un castillo.

• El tabique se cobra parejo, sin descontar el espacio que ocupan los castillos.

• Los cimientos van alrededor de todo el terreno, incluso en la parte del zaguán.

a) ¿Cuánto se pagará de mano de obra a los albañiles?

Castillo

Cimientos


43

Respuesta. Considerando que la servilleta tiene 4 lados iguales y el total del perímetro es de 1.60 m, una forma de plantear y resolver la ecuación es la siguiente: 4x = 1.60x = 1.60 ÷ 4x = 0.40La servilleta mide 40 cm por lado.

Respuesta. El área del rectángulo se obtiene multiplicando largo por ancho. Una forma de plantear y resolver la ecuación es la siguiente:1.5x = 40x = 40 ÷ 1.5x = 26.6666666…Si se redondea la cantidad, el largo de la tela es de 26.67 cm

Sugerencia didáctica. Para hacer más ágil el momento de la confrontación, centre la atención en la medición y en los procedimientos para calcular el área y el perímetro de cada una de las figuras, no en los cálculos. Es decir, si se tienen que hacer cálculos pida sólo los resultados al equipo, o bien, pida a alguien que traiga calculadora, verifique los cálculos; recuerde que el propósito de esta secuencia no es ejercitar las operaciones.

Propósito de la sesión. Resolver problemas de áreas en los que se debe plantear una ecuación o identificar relaciones de variación proporcional.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan en equipo todas las actividades de la sesión.

Propósito de las actividades. Que los alumnos recurran a otros conocimientos que tienen vínculos con el cálculo de áreas y perímetros; en los primeros 4 problemas ponen en juego el planteamiento y la resolución de ecuaciones, y en los siguientes problemas se explora la noción de variación proporcional vinculándola con problemas de áreas y perímetros.

Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que los primeros 4 problemas pueden resolverse por medio de las ecuaciones que ya estudiaron en la secuencia 18, mencione que hay otras formas de resolverlos pero que en este momento se trata de que apliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones. Invítelos a que verifiquen cada una de las ecuaciones que resuelvan. En un primer momento permita que los alumnos determinen cuál es la incógnita en cada problema. Si nota que algún equipo tiene dificultades, apóyelos con las siguientes preguntas:

- ¿Qué les piden?- ¿Qué datos tienen?- ¿Cómo se relacionan los datos?- ¿Conocen alguna fórmula que relacione

los datos?- De la fórmula que conocen, ¿cuáles

datos tienen y cuál o cuáles les faltan?- ¿Cómo pueden calcular los datos que

faltan?

43

MATEMÁTICAS IComparen todos los procedimientos y resultados con los de otras parejas y, además, co-menten:

a) La dificultad de tomar medidas exactas en algunos de los ejercicios anteriores y la manera en que esto se refleja en resultados diferentes, aunque muy cercanos.

b) La manera en que se trazan y miden las alturas de los triángulos.

relaciones imPortantesPara empezarEn sesiones anteriores aprendiste a resolver ecuaciones, recuerda que el dato descono-cido se llama incógnita y que puede representarse con una letra. En varias secuencias has estudiado la proporcionalidad y has elaborado tablas de proporcionalidad. Ahora te invitamos a que apliques tus conocimientos de ecuaciones y proporcionalidad para re-solver problemas relacionados con el perímetro y el área de figuras.

Lo que aprendimos1. Para cada problema deben plantear la ecuación correspondiente y resolverla.

a) Doña Lupita usó 1.60 m de listón que colocó alrededor de una servilleta cuadrada para las tortillas. ¿Cuánto mide de lado la servilleta?

Resultado:

b) ¿Cuánto mide de largo un corte de tela rectangular de ancho 1.5 m y de 40 m2 de superficie?

Resultado:

sesión 2


44

secuencia 20

44

c) Un rectángulo de 28 cm de perímetro mide de ancho 6 cm menos que su largo. ¿Cuál es su área?

Resultado:

d) Escriban y resuelvan la ecuación que permite calcular el valor de x, sabiendo que el área total de la figura es 45 cm2.

2. En cada caso completen la tabla y determinen si se trata de una relación de propor-cionalidad directa y justifiquen por qué.

a) Perímetro de un cuadrado.

Lado del cuadrado (cm) Perímetro

1

2

3

4

¿Es una tabla de variación proporcional?

¿Por qué?

6 cm x

6 cm

Ecuación:

Respuesta. Para calcular el área del rectángulo se necesita encontrar primero la medida del ancho. Una forma de resolver es la siguiente: El largo mide x.El ancho mide x – 6.El perímetro es de 28 cm. El perímetro se calcula de la siguiente manera: 2 veces el largo + 2 veces el ancho; una manera de plantear y resolver la ecuación es:

2x + 2 (x – 6) = 282x + 2x – 12 = 284x – 12 = 284x = 28 + 124x = 40x = 40 ÷ 4x = 10El largo mide 10 cm y el ancho mide 4 cm. El área es de 40 cm2.

Integrar al portafolios. Las siguientes son algunas formas de resolver el problema:a) Calcular primero el área del cuadrado rojo

(6 cm × 6 cm = 36 cm2); si el área total es de 45 cm2, entonces el rectángulo azul tiene un área de 9 cm2. Como el área del rectángulo azul es 6x, entonces:

6x = 9 x = 9 ÷ 6 x = 1.5 cmb) Calcular el área roja y sumarle el área azul: 36 + 6x = 45 6x = 45 – 36 6x = 9 x = 0.25 ÷ 6 x = 1.5 cmSi identifica que los alumnos tienen dificultades para plantear la ecuación, presénteles las 2 formas anteriores de resolver el problema.

- Si la medida del lado aumenta el triple, ¿la medida del perímetro también aumenta el triple?

- ¿Por qué número se multiplica el lado del cuadrado que mide 1 cm para obtener el perímetro?

- ¿Se multiplica por el mismo número en todos los casos para obtener la medida del perímetro? (ese número es la constante de proporcionalidad).

- Si se divide el perímetro entre la medida del lado, ¿se obtiene siempre el mismo cociente en cada uno de los renglones?

Si la respuesta es afirmativa en cada una de las preguntas, entonces se trata de una relación de proporcionalidad directa:1. Cuando crece una de las magnitudes, crece

la otra.2. Si una magnitud crece el doble, el triple,

etc., la otra también.3. A la suma de valores de una magnitud le

corresponde la suma de valores de la otra magnitud, y a diferencias iguales en una magnitud corresponden diferencias iguales en la otra magnitud.

4. El cociente entre las cantidades de un mismo renglón es siempre el mismo.

Sugerencia didáctica. Los alumnos han tenido varias experiencias con problemas de proporcionalidad en distintos contextos, ahora se trata de que vinculen esa experiencia con problemas de área y perímetros. Una vez que hayan resuelto la primera tabla, usted puede hacer un breve recordatorio sobre las características de una relación de proporcionalidad directa, apoyándose en las siguientes preguntas: - Si aumenta la medida del lado ¿aumenta

también el perímetro?- Si la medida del lado aumenta el doble,

¿la medida del perímetro también aumenta el doble?


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Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad es 4 porque todas las medidas de la primera columna se multiplican por 4 para obtener las medidas de la segunda columna.

Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad es 4 porque todas las medidas de la primera columna se multiplican por 4 para obtener las medidas de la segunda columna.

Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad está compuesta por dos operaciones: multiplicar por 3 y dividir entre 2, que es lo mismo que multiplicar por wE o por 1.5. Todas las medidas de la primera columna se multiplican por wE o por 1.5 para obtener las medidas de la segunda, columna.

45

MATEMÁTICAS IEn caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

b) Un rectángulo mantiene una base fija de 4 cm y su altura varía.

Medida de la altura (cm) Área

2

3

4

5

¿Es una situación proporcional?

¿Por qué?

En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

c) Un rombo mantiene la diagonal menor fija de 3 cm y la mayor varía.

Diagonal mayor (cm) Área

4

5

7

9


¿Por qué?



46

Respuesta. No es una situación de proporcionalidad, por lo tanto no hay constante de proporcionalidad: cada medida de la primera columna se multiplica por un número distinto para obtener las medidas de la segunda columna.

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican conversiones de unidades de superficie.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan la sesión organizados en parejas.

secuencia 20

46

d) Área de un cuadrado.

Lado (cm) Área

2

3

4

5


¿Por qué?


Comenten sus conclusiones; recuerden que en los casos anteriores deben justificar si son o no proporcionales.

Medidas de suPerficiePara empezar¿Sabías que el estado más grande de la República Mexicana es Chihuahua? ¿Cuál crees que es su área?

a) 245 962 m2.b) 245 962 cm2.c) 245 962 km2.

sesión 3


47

Propósito de la actividad. Para que los alumnos logren construir la idea de que 1 cm2 no equivale a 10 mm2 sino a 100 mm2, así como 1 dm2 equivale a 100 cm2 o a 10 000 mm2, es importante que cuenten con un referente concreto o gráfico en el que puedan visualizar estas equivalencias. Por ello se les presentan los dibujos de 1 cm2 y de 1 dm2, y se les pide los dividan en otras unidades de superficie para que visualicen la equivalencia correspondiente.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, puede pedir a los alumnos que construyan con papel el cm2 y el dm2 y que superpongan el primero en el segundo las veces que sea necesario para que vean “cuántas veces cabe” uno en el otro, es decir a cuántos cm2 equivale un dm2.

Posibles procedimientos. Algunas formas de calcular el área, son:

1. Cuadricular el mapa.

2. Hacer un polígono que se ajuste lo más posible al contorno del mapa y dividir el polígono en figuras conocidas; calcular el área de cada figura y después sumarlas.

3. Hacer un rectángulo que cubra todo el mapa, calcular el área del rectángulo y después restarle el área de las figuras que quedaron dentro y que no corresponden al mapa.

Una vez que obtengas el área en centímetros cuadrados, deben transformarla a kilómetros cuadrados. Para ello deben considerar que de acuerdo a la escala que se les da en el problema, 1 cm2 equivale 56.25 km2.

Posibles errores. La dificultad está en la conversión que hagan de la escala 1:750 000 a cm2. En general, las conversiones de unidades de superficie es un tema difícil para los alumnos porque transfieren las reglas de cambio de las longitudes a las de la superficie. Por ejemplo, si un metro equivale a 10 decímetros, los estudiantes podrían creer que 1 m cuadrado también equivale a 10 dm, cuadrados. En este caso, la escala se refiere a longitudes y no a superficies, por lo que un error probable es que calculen el área en cm2 y crean que hay que multiplicar este resultado por 750 000 para obtener la medida real.

Sugerencia didáctica. Procure dar mayor énfasis a las unidades de superficie que utilizaron para expresar el resultado, pídales que las comparen para ver si son equivalentes; esto dará lugar a conversiones de medidas de superficie.

47

MATEMÁTICAS IConsideremos lo siguienteEl siguiente es un mapa de Aguascalientes. Calculen aproximadamente su área conside-rando que cada centímetro equivale a 7.5 kilómetros.

Describan a sus compañeros de grupo la estrategia que siguieron para resolver el proble-ma. En particular, comenten la unidad de área más conveniente para expresar el resulta-do y las posibles razones de las diferencias entre resultados.

Manos a la obraI. Realicen lo que se pide.

a) El siguiente es un centímetro cuadrado (1 cm2); imaginen que lo dividen en cua-drados de un milímetro (1 mm) de lado, es decir, en milímetros cuadrados (mm2).

• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un centímetro cuadrado?

ESCALA: 1 cm: 7.5 km

7.5 0 7.5 15 km


48

Propósito de la actividad. Es muy común que aun cuando los alumnos hablan del m² no tengan una idea precisa del tamaño de esta unidad de medida, por ello es importante que construyan 1 m² para que tengan un referente de su tamaño y logren hacer estimaciones sobre resultados correctos o incorrectos.

Respuestas. - Un m2 equivale a 100 dm2.

(10 dm por lado). - Un m2 equivale a 10 000 cm2.

(100 cm por lado).- Un m2 equivale a 1 000 000 mm2.

(1 000 mm por lado).

Sugerencia didáctica. Así como es importante que los alumnos puedan estimar el tamaño de 1 m², también es necesario que lo hagan con una hectárea (ha). Procure que efectivamente se haga la medición del patio de la escuela, pues esta actividad les ayudará a estimar, a partir de un referente cercano, cuál es el tamaño de la hectárea. Además de calcular cuánto le falta al patio para ser 1 ha, pueden también calcular cuántos patios como el de su escuela se necesitan para tener esa superficie.

Respuesta. 1 ha equivale a 10 000 m2 (100 m por lado).

secuencia 20

48

b) El siguiente es un decímetro cuadrado (dm2). Divídanlo en centímetros cuadrados.

• ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un decímetro cuadrado?

• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un decímetro cuadrado?

c) Peguen varias hojas de papel o consigan un pliego de papel grande y tracen y re-corten un metro cuadrado (m ). Luego divídanlo en decímetros cuadrados.

• ¿A cuántos decímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?

• ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?

• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?

Comenten y comparen sus resultados con sus compañeros.

ii. Un hectómetro cuadrado (1 hm2) es el área de un cuadrado que mide 100 metros de cada lado, también se llama hectárea (ha).

a) ¿Cuál es el área en metros cuadrados de una hectárea?


49

Completen la tabla haciendo las conversiones necesarias:

Estados de la República Mexicana

Superficie en km2 Superficie en ha

Sonora 184 934

Morelos 49.41

Oaxaca 95 364

Distrito Federal 14.99

Propósitos del video. Conocer diferentes unidades para medir áreas y visualizar sus equivalencias.

Sugerencia didáctica. Tener un referente concreto del tamaño de 1 km² es más difícil; no obstante, los alumnos podrían calcular cuántos patios como el de la escuela se requieren para formar 1 km². También podrían partir de algún referente (como la distancia de la escuela a algún punto de la comunidad) que les permita formarse una idea de un 1 km lineal e imaginarse un cuadrado que mida 1 km por lado.

Respuesta. 1 km2 equivale a 100 ha.

1 km2 son 1 000 000 m2.1 ha son 10 000 m2.Entonces, en un km2 caben 100 ha.

5

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que elaboren un cartel con esta información para que se cuelgue en alguna parte del salón. Todos los alumnos pueden copiar en el cuaderno esa información e ilustrar algunas medidas, como el cm2 y el dm2. Asimismo, pueden agregar a sus notas las comparaciones que hicieron del patio de la escuela con algunas medidas de superficie (ha y km2).Si lo considera necesario, puede plantear algunas conversiones como las que se sugieren en seguida, para que los alumnos las resuelvan en el cuaderno:

49

MATEMÁTICAS Ib) ¿Creen que en el patio de su escuela se pueda trazar una figura plana cuya super-

ficie mida una hectárea?

c) Organícense en el grupo para que tracen en el patio una superficie de una hectá-rea. Si no se puede en el patio, calculen cuánto falta para la hectárea.

III. Un kilómetro cuadrado es el área de un cuadrado que mide 1 km o 1 000 m por lado.

¿A cuántas hectáreas equivale un kilómetro cuadrado?

IV. Completen la tabla.

El área de: Unidad con la que crees que se debe medir

Un estado km2

Una tela

dm2

ha

Para terminar

Medidas de superficie

Las unidades de superficie y sus conversiones son muy útiles para la resolución de algu-nos problemas prácticos relacionados con el cálculo de áreas de terrenos, extensiones territoriales, etc., de ahí la importancia que tiene conocerlas y comprender su uso.

Para saber másSobre la superficie de los estados consulten: http://cuentame.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.

El área se mide en unidades cuadradas, por ejemplo:

Kilómetros cuadrados (km2)

Hectáreas (ha)

Metros cuadrados (m2)

Centímetros cuadrados (cm2)

Milímetros cuadrados (mm2)

Algunas equivalencias entre las unidades de área son:

1 km2 = 100 ha

1 ha = 10 000 m2

1 m2 = 10 000 cm2


50

secuencia 21

50

En esta secuencia aprenderás a resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

México en el ineGiPara empezarLos porcentajes aparecen en distintos contextos de la vida cotidiana, por ejemplo: se usan para calcular descuentos en la compra de artículos, para saber los intereses que cobra un banco por algún préstamo, para presentar datos estadísticos y para muchas otras cosas más.

En la secuencia 7 de tu libro de Matemáticas I, volumen I conociste algunos datos acerca de la población en México; una de las principales fuentes de información la proporciona el INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática). Este instituto se encarga de obtener datos por medio de los censos que realiza.

Conocer algunas características de la población ayuda a comprender mejor los problemas que tiene el lugar en el que vives.

Consideremos lo siguienteLa población de la República Mexicana es de aproximadamente 110 000 000 habitantes y tiene una extensión territorial de alrededor de 2 000 000 de kilómetros cuadrados.

En los datos del INEGI se encontró que el estado de Chihuahua ocupa 13% del territorio nacional.

¿Cuál es la extensión territorial (en km2) del estado de Chihuahua?


Manos a la obrai. En un equipo de otra escuela dijeron que13% de 2 000 000 es:

2 000 000 km2 × 1.3 = 2 600 000 km2

a) ¿En qué se equivocaron en el equipo de la otra escuela?

b) ¿Por qué número debieron multiplicar en la otra escuela?

sesión 1

Porcentajes

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando de

manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

Sesión Título y propósitos de la sesión Recursos Vínculos

1

México en el INEGI Resolver problemas sencillos de cálculo de porcentajes en los que se deba determinar e interpretar porcentajes menores que 100%. Construir tablas para usar técnicas de proporcio-nalidad directa en la resolución de cálculo de porcentajes.

Interactivo “Porcentajes”

2El IVA Resolver problemas de cálculo de porcentajes mayores que 100%.

Aula de medios “El IVA” (Hoja de

cálculo)

3Miscelánea de porcentajes Resolver problemas que impliquen calcular y comparar porcentajes.

Video Los migrantes

Interactivo “Porcentajes”

Español I secuencia 10 La jaula de

oro

Eje

Manejo de la información.

Tema

Proporcionalidad.

AntecedentesEn la escuela primaria los alumnos resolvieron problemas de porcentaje en los que debían averiguar qué parte es una cantidad de otra; definieron el porcentaje de una cantidad como una fracción de la misma, y exploraron diversas estrategias para calcular porcentajes (por ejemplo, obtener porcentajes a partir de 10% y de 1% de una cantidad). En este grado de la escuela secundaria se continúa con la resolución de problemas de ese tipo haciendo el vínculo, en algunos casos, con el estudio de las ecuaciones de primer grado.

Propósito de la sesión. Resolver problemas sencillos de cálculo de porcentajes en los que se deba determinar e interpretar porcentajes menores al 100%. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad directa en la resolución de cálculo de porcentajes.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas durante toda la sesión.

Materiales. Calculadora.

Sugerencia didáctica. La resolución de este problema implica aplicar un porcentaje a una cantidad para obtener otra cantidad; en este caso, se trata de aplicar el 13% a 2 000 000. Se espera que los alumnos tengan ya una noción de porcentaje y que cuenten al menos con un procedimiento para calcularlo; sin embargo, es probable que algunos no lo recuerden. Aclare que 13% quiere decir “13 de cada 100”, y que en este caso se trata de calcular q Q p E p de 2 000 000.

Posibles procedimientos. Una forma de resolver es aplicar sucesivamente las dos operaciones: primero dividir 2 000 000 entre 100, y después multiplicar ese resultado por 13. Otra forma es mediante el algoritmo de la multiplicación por una fracción que estudiaron en la secuencia 10.

Respuesta. 260 000 km2.

Respuestas. a) El procedimiento no puede ser correcto

porque el territorio de Chihuahua sería mayor que todo el territorio nacional.

b) Multiplicaron por 1.3, y se debe multiplicar por 0.13.


51

51

MATEMÁTICAS IComparen sus respuestas y comenten:

¿Cómo encontraron el número por el cual se deben multiplicar los 2 000 000 de kilómetros cuadrados para obtener 13% de éstos?

II. Completen la siguiente tabla para encontrar la extensión territorial que ocupa el estado de Chihuahua.

Porcentaje de la extensión territorial

Extensión territorial(km2)

100% 2 000 000

1%

13%

Tabla 1

Comparen sus tablas y comenten:

a) ¿Por qué número hay que dividir los 2 000 000 de kilómetros cuadrados para obtener 1% de la extensión territorial del país?

b) ¿Por qué número hay que multiplicar los 2 000 000 de kilómetros cuadrados para obtener 13% de la extensión territorial del país?

III. Completen la siguiente tabla para saber el porcentaje que representan del total de la extensión territorial del país algunos estados de la República Mexicana.

Nombre del estado

Porcentaje que representa deltotal del territorio nacional

Territorio que ocupa(km2)

Aguascalientes 1%

Tamaulipas 9%

Oaxaca 5%

Tabla 2

Sugerencia didáctica. Lea junto con los alumnos la información de la tabla y pregúnteles en qué consiste la actividad. Recuérdeles que la cantidad que representa el 100% del territorio nacional es 2 000 000 km2. De acuerdo con lo que hicieron en la actividad anterior, pregunte al grupo: ¿Por cuánto deben multiplicar en cada uno de los casos para obtener el territorio

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos se percaten de que la respuesta que dio el equipo es equivocada, pero que no puedan identificar por cuál número se debió haber multiplicado. Una vez que hayan expresado sus respuestas enfatice que calcular 13% de 2 000 000 implica multiplicar q Q p E p por 2 000 000, y que esa fracción también puede expresarse como 0.13; por lo tanto, los alumnos de la otra escuela debieron haber multiplicado por 0.13.

Propósito de la actividad. Utilizar tablas para que los alumnos identifiquen y se apoyen en algunas propiedades de la proporcionalidad que les permitan resolver este tipo de problemas.

Respuestas. a) Hay que dividir entre 100.b) Hay que multiplicar por 0.13

o por q Q p E p .

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón y enfatice lo siguiente:

- En la columna que representa el porcentaje, para pasar de 100% a 1% se divide entre 100. Por ello, en la columna correspondiente a la extensión territorial, 2 000 000 también deben dividirse entre 100 para obtener lo que corresponde a 1%.

- En la columna que representa el porcentaje, para pasar de 1% a 13% se multiplica por 13. Por ello, en la columna de la extensión territorial debe multiplicarse 20 000 km (1%) por 13, para obtener lo que corresponde a 13%.

- Dividir entre 100 y luego ultiplicar por 13, es lo mismo que multiplicar por q Q p E p o por 0.13.

20 000

360 000

20 000

180 000

100 000

que ocupa cada estado? Si nota que los alumnos aún tienen dificultades para resolver esta actividad, pueden completar la tabla en grupo. También puede hacerles notar que a partir de la obtención del 1% del territorio nacional (Aguascalientes), puede calcularse lo que corresponde al resto de los estados.


52

2

Sugerencia didáctica. A partir del ejemplo que aquí se da, destaque lo siguiente:- Un porcentaje puede interpretarse

como “x de cada 100” (18 de cada 100, 20 de cada 100, etc.).

- Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica esa cantidad por el porcentaje expresado con una fracción (en la que el denominador es 100) o con un número decimal (centésimos).

- Otra forma de calcular el porcentaje es apoyándose en una tabla en la que se calcula lo que corresponde al 1%; esto se obtiene dividiendo entre 100 la cantidad que corresponde al 100%. Una vez que se ha obtenido el 1%, se multiplica esa cantidad por el porcentaje buscado (en el caso del ejemplo es por 18). Hacer esas 2 operaciones es lo mismo que multiplicar por la fracción decimal o por el número decimal expresados en centésimos.

Propósito de la actividad. Se trata de determinar el porcentaje que representa una cantidad con respecto a otra. Los alumnos deberán averiguar qué porcentaje representan 8 800 000 habitantes si el 100% son 110 000 000 habitantes.

Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos resuelvan, pídales que hagan una estimación: ¿Será 50%? ¿Será más o menos 50%?

Posibles procedimientos. Es probable que los alumnos no conozcan una forma sistemática de resolver este tipo de problemas, por lo que pueden hacer una estimación y luego irse aproximando al resultado poco a poco. Por ejemplo, si suponen que es alrededor de 10% y hacen el cálculo aplicando ese porcentaje, obtendrán la cantidad de 11 000 000, que es cercana a 8 800 000. A partir de ahí pueden probar con otros porcentajes menores hasta llegar a 8%, que es el porcentaje correcto. No es necesario que espere a que todo el grupo termine ni que lo resuelvan correctamente, pues la misma lección ofrece de inmediato un procedimiento de resolución; lo importante es que los alumnos tengan la oportunidad de enfrentarse al problema.

Sugerencia didáctica. Aproveche este momento de comparación de respuestas, para hacer algunas precisiones sobre el procedimiento que se sugiere. Reproduzca en el pizarrón el diagrama y plantee a los alumnos las siguientes preguntas: ¿Cuál es la operación que nos permite encontrar el número buscado? ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación? Una vez que los alumnos hayan identificado esa operación (lo estudiaron en la secuencia 18), señale que en este tipo de problemas, en los que se trata de determinar qué porcentaje representa una cantidad, el número buscado es una fracción con denominador 100 o un número decimal.

secuencia 21

52

Luego hagan la siguiente división

Número buscado = =

Finalmente, escriban el número que obtuvieron como una fracción con denominador 100.

Número buscado =


A lo que llegamosEl porcentaje se puede calcular de varias maneras. Por ejemplo, para calcular 18% de la extensión territorial del país se pueden hacer las siguientes multiplicaciones:

• 2 000 000 km2 × = 360 000 km2, o bien

• 2 000 000 km2 × 0.18 = 360 000 km2

También se puede completar la siguiente tabla:

Porcentaje de laextensión territorial

Extensión territorial(en km2)

100 % 2 000 000

1 % 20 000

18 % 360 000

iV. En los datos del INEGI se encontró que el Distrito Federal tiene aproximadamente 8 800 000 habitantes.

Del total de la población del país, ¿cuál es el porcentaje que representa el Distrito Federal?

Para encontrar el porcentaje de habitantes que tiene el Distrito Federal respecto del total de la población del país, pueden usar un diagrama como el siguiente:

110 000 000 × ____________ = 8 800 000

Número de habitantes Número buscado Número de habitantesdel paîs del Distrito Federal

×

÷ 100

× 18


53

Sugerencia didáctica. En los dos primeros renglones se trata de aplicar un porcentaje a una cantidad para obtener otra cantidad. Puede recomendar a los alumnos que revisen nuevamente el primer apartado A lo que llegamos de la sesión anterior (deben multiplicar el precio del producto sin IVA por q Q p T p o por 0.15).

En los dos renglones siguientes se trata de que a partir de una cantidad que representa un porcentaje (el 15%), se calcule la cantidad que representa el 100%. Es probable que los alumnos tengan mayores dificultades para este último tipo de problemas. Permita que intenten resolverlos aun cuando no logren completar toda la tabla.

Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para resolver este problema, revise nuevamente con ellos el procedimiento que se describe en el último apartado A lo que llegamos de esta sesión. Además, cuando se haga la revisión colectiva de los resultados, usted puede plantear preguntas como las siguientes: ¿Qué número multiplicado por 110 000 000 da 2 200 000? ¿Qué número multiplicado por 110 000 000 da 6 600 000? Los alumnos deben concluir que ese número es el porcentaje que encontraron pero expresado con una fracción o con un número decimal.

Propósito de la sesión. Resolver problemas de cálculo de porcentajes mayores al 100%.

Organización de grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesión.

53

MATEMÁTICAS IA lo que llegamos

Para saber el porcentaje que representan los 8 800 000 habitantes que hay en el Distrito Federal respecto del total de la población,

se puede hacer lo siguiente:

Dividir 8 800 000 entre 110 000 000= 0.08 =

Entonces 8 800 000 habitantes representan 8% de los 110 000 000 de habitantes que hay en el país.

V. Completen la siguiente tabla para saber qué porcentaje representa el número de habitantes de los estados que en ella aparecen:

Nombre del estado

Número de habitantes que tiene

Porcentaje que representa respecto del total de la población

Sonora 2 200 000

Distrito Federal 8 800 000 8%

Jalisco 6 600 000

Tabla 3

el iVAPara empezarEn México se deben pagar impuestos al gobierno por algunos de los servicios y productos que se consumen. Por ejemplo, por el teléfono y la gasolina se paga el Impuesto al Valor Agregado (IVA), que es 15% del valor del producto o servicio.

El total a pagar por un producto con IVA es: el precio del producto más 15% del precio. Completen la siguiente tabla para calcular el total a pagar por algunos productos.

Producto Precio del producto sin IVA(en pesos)

IVA a cobrarse(en pesos)

Cantidad total a pagar por el producto con IVA(en pesos)

2100

500

15

45

Tabla 1

sesión 2

315 2 415

75 575

100 115

300 345

2%

6%

Propósito del interactivo. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes.


54

4

Sugerencia didáctica. Antes de que las parejas resuelvan el problema inicial, invite a los alumnos a leer el recibo que se les presenta. Pueden comentar a qué se refieren algunos de los conceptos que aparecen en el recibo, como renta, larga distancia internacional, etcétera. Esto les permitirá tener una idea más clara sobre el contexto del problema que se está trabajando, lo que a su vez les ayudará a tener un mayor control sobre sus procedimientos y resultados.

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón para hacer el siguiente análisis con los alumnos:- En la primera columna, para pasar

de 15% a 1%, dividimos entre 15; por lo tanto, en la segunda columna también debemos dividir $45 entre 15. Obtenemos $3.

- Para pasar de 1% a 100% en la primera columna, multiplicamos por 100. De la misma manera, en la segunda columna multiplicamos $3 por 100, y obtenemos $300, que es el precio del taladro sin IVA.

Propósito de la pregunta. Que los alumnos se familiaricen con el hecho de que una cantidad representa el 100% de sí misma, esto les permitirá darle sentido a los porcentajes mayores de 100.

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan comparado y corregido sus respuestas, haga un análisis similar al que se sugiere para el caso del taladro:

Cantidad correspondiente

al porcentaje

15% $15

1% $1

100% $100

- Para pasar de 15% a 1% en la primera columna, se divide entre 15; de la misma manera, en la segunda columna se divide $15 entre 15, y se obtiene $1.

- Para pasar de 1% a 100%, se multiplica por 100 en la primera columna. Por lo tanto, en la segunda columna también se multiplica $1 por 100.

- Enfatice que el 100% de una cantidad puede interpretarse como 100 partes de 100.

secuencia 21

54

a) Completen la siguiente tabla para encontrar el precio del taladro:

Porcentaje Cantidad correspondiente al porcentaje

15% $45

1%

100%

Tabla 2

Comparen sus resultados y comenten:

¿Por qué el 100% del precio del taladro es el precio del taladro?

b) En su cuaderno hagan una tabla como la anterior para encontrar el precio de la licuadora.

Cuando se conoce un porcentaje del precio de un producto, se puede encontrar el precio o el 100% usando tablas. Por ejemplo, si se sabe que 17% del precio de una radiograba-dora son $85.00, se completa la siguiente tabla:

Porcentaje Cantidad correspondiente al porcentaje

17 % $ 85.00

1 % $ 5.00

100 % $ 500.00

Entonces, el precio de la radiograbadora es de $500.00. Éste es 100% del precio.

Consideremos lo siguienteLa ilustración que se muestra es una copia de un recibo telefónico en la que faltan algunas de las cantidades que se cobraron.

$3$300


55

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón para que alguna pareja pueda registrar en ella sus respuestas; pida a esa pareja que explique cómo encontraron los resultados. Una vez que todo el grupo esté de acuerdo con las respuestas, comenten los incisos a) y b). Es importante que a los alumnos les quede claro que efectivamente el total a pagar es igual que 115% del subtotal del mes, porque ese porcentaje resulta de sumar 100% del precio más 15% del IVA.

Posibles procedimientos. Es muy probable que los alumnos tengan dificultades al resolver este problema, pues es la primera vez que enfrentan una situación en la que el total representa más de 100%. Una forma de determinar el subtotal del mes es por ensayo y error: estimar una cantidad, obtener el 15% de ella, sumar la cantidad más su 15% y ver si se obtiene 2 300. Si no es así, pueden ir aumentando o disminuyendo la cantidad que estimaron inicialmente hasta dar con la correcta. Un posible error es que calculen el 15% de 2 300, que es el total a pagar. Permita que exploren el problema y que lo resuelvan con los procedimientos que ellos decidan; posteriormente, en el apartado Manos a la obra podrán conocer formas correctas de resolver el problema.

Respuesta.a) $300.b) $2 000 (restando el subtotal

a 2 300 se encuentra el IVA).

Propósito de la actividad. Que los alumnos conozcan un procedimiento de solución que se basa en la elaboración de tablas y en algunas propiedades de la proporcionalidad.

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a resolver el problema utilizando la tabla de la manera en que se mostró en el problema anterior.

55

MATEMÁTICAS IEl subtotal del mes es el costo del servicio telefónico. En el recibo telefónico de la ilustración anterior aparece la cantidad total a pagar, pero no cuánto se está pagando de IVA. Respondan las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto dinero se está cobrando por el IVA en el recibo telefónico de la ilustración?

b) ¿Cuánto es el subtotal del mes?


Manos a la obraI. Un equipo de otra escuela hizo lo siguiente para responder las preguntas anteriores:

Total a pagar con IVA ($2300) = subtotal del mes + 15% del subtotal del mes =

= 115% del subtotal del mes.

Luego hicieron la siguiente tabla para encontrar el subtotal del mes y el IVA. Complétenla ustedes:

Porcentaje Cantidad correspondiente al porcentaje (en pesos)

115% 2 300

1% 20

100%

15%

Comenten en grupo lo siguiente

a) ¿Ustedes usaron algún procedimiento parecido?

b) ¿Es cierto que el total a pagar es igual a 115% del subtotal del mes?

Verifiquen los resultados de la tabla con los que ustedes obtuvieron.

II. Si de larga distancia nacional se está cobrando en total $230.00 incluyendo el IVA,

¿cuánto es de larga distancia nacional sin IVA?

Éste es el subtotal del mes

Éste es el IVA que se pagó


56

Respuestas.a) $500. Se divide 575 entre 115

para obtener el 1%, luego se multiplica por 100.

b) $250.

Integrar al portafolios. Si advierte que los alumnos tienen dificultades para completar la tabla, analice junto con ellos cada uno de los casos para que identifiquen cuál es el dato que se desconoce y qué es lo que tienen que hacer: aplicar un porcentaje a una cantidad (primer renglón de la tabla), determinar qué porcentaje representa una cantidad con respecto a otra (segundo renglón) y determinar la base de un porcentaje (tercer renglón). Según sea la manera en que se utiliza el porcentaje en cada caso, revise con ellos nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión y de la sesión 1. Sugiérales también que elaboren tablas para resolver aquellos casos que les resulten más difíciles.

Respuestas.- Para el caso de la plancha, 10% de

150 son $15. Se resta 150 – 15, el precio es $135.

- Para el tostador, la diferencia entre el precio original y el precio con descuento es de $45, y 45 es el 15% de 300.

- Para la lavadora, el precio original es de $423.07. El precio con el descuento es el 78% del precio original.

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen calcular y comparar porcentajes.

Organización del grupo. Se sugiere que entre todos analicen la información que se presenta al principio de la sesión, y que posteriormente resuelvan organizados en parejas.

secuencia 21

56

Producto Precio original del producto(pesos) Descuento Precio con el descuento

(pesos)

150 10%

300 255

22% 330

sesión 3

A lo que llegamosComo habrás notado en los problemas de esta sesión, no todos los porcentajes son menores a 100. En la vida diaria encontramos porcen-tajes mayores que 100%. Por ejemplo, cuando se paga un producto o servicio que tiene el impuesto del IVA, en realidad se está pagando el 115% del precio original del producto.

Lo que aprendimos1. En su cuaderno resuelvan los siguientes problemas.

a) Pedro compró una chamarra y le cobraron $575.00. Este precio ya tiene el IVA incluido. ¿Cuál es el precio de la chamarra sin el IVA?

b) El precio de un pantalón es de $287.50 ya con el IVA incluido. ¿Cuál es el precio del pantalón sin el IVA?

2. Los productos de la siguiente tabla tienen distintos porcentajes de descuento. Completen la tabla.

MisceláneA de porcentAjesPara empezarLos migrantes

Una fuente importante de dinero que ingresa a México son las remesas. Las remesas son el dinero que envían los migrantes mexicanos a sus familiares o amigos y provienen principalmente de los Estados Unidos de América.

En la secuencia 10, La jaula de oro, del libro de Español I, volumen II estudiarás algunos de los aspectos de los migrantes mexicanos que viven en los Estados Unidos de América.

Propósito del video. Practicar el cálculo de porcentajes en la solución de problemas.


57

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan leído la información que se presenta en el cartel y antes de que resuelvan el problema, motívelos para que comenten si tienen algún familiar que envíe dinero desde los Estados Unidos a México, o si saben algo sobre los servicios de las compañías que se mencionan o de otras.

57

MATEMÁTICAS ILo que aprendimos1. Pedro es un migrante mexicano que vive en los Estados Unidos. Quiere mandar dine

ro a sus familiares y encontró la siguiente información en un cartel:

Existe una gran cantidad de opciones para realizar envíos de dinero de Estados Unidos a México. Como el costo y las características del envío varían según la empresa que utilices, es muy importante comparar opciones antes de enviar tu dinero.

Es común que los envíos de dinero se hagan por cantidades fijas de 300 dólares. En la tabla de abajo se compara la cantidad de dinero que entregan en México algunas de las principales empresas al enviar 300 dólares desde Estados Unidos.

Envíos de 300 dólares

Nombre de la empresaPesos entregados en México por 300 dólares enviados desde EUA

Northwestern Union 3 299.40

Cash Gram 3 291.32

Commission Express 3 290.84

Cashcheck 3 213.52

Notas:

1. La cotización de referencia, al 25 de octubre de 2004, es de $11.70, es decir, 1 dólar equivale a $11.70.

2. Como las condiciones y costos de cada empresa varían, se recomienda consultar directamente con las instituciones de su preferencia.

3. Los envíos están estandarizados en 300 usd por envío, es decir, hay que enviar exactamente esta cantidad de dinero en cada envío.

Para calcular cuánto le cobra Northwestern Union por el envío, Pedro hizo lo siguiente:

300 dólares × $11.70 = $3510 $3 510 – $3 299.40 = $2 10.60

Contesten:

a) ¿Qué porcentaje del dinero enviado cobra esta empresa?

Sugerencia didáctica. Solicite a los alumnos que traten de resolver el problema en sus cuadernos; anímelos para que algunos de ellos comenten sus procedimientos y resultados con todo el grupo. Invite a los demás alumnos a que participen dando opiniones o sugerencias sobre los procedimientos y resultados que presenten sus compañeros a todo el grupo.

Respuesta. Se divide la comisión entre el total de dinero: 210.60 entre 3 510. Obtenemos 0.06, que es el 6%.


58

secuencia 21

58

b) Completen la siguiente tabla para determinar el porcentaje del dinero enviado que cobran estas empresas.

Nombre de la empresa Pesos recibidos por300 dólares

Porcentaje que cobra la empresa

Northwestern Union 3 299.40

Cash Gram 3 291.32

Commission Express 3 290.84

Cash-check 3 213.52

c) ¿Cuál es la empresa que cobra menor porcentaje?

2. Un productor de piñas vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se venden en $4.50 el kilogramo.

a) Si el kilogramo de piña se hubiera vendido en el super

mercado al doble de su precio original (es decir, a

$1.50), ¿en qué porcentaje se habría incrementado el

precio del kilogramo de piñas?

b) Si el kilogramo de piña se hubiera vendido en el super

mercado al triple de su precio original (es decir, a

$2.25), ¿en qué porcentaje se habría incrementado el

precio del kilogramo de piñas?

Sugerencia didáctica. Una vez que haya acuerdos sobre el resultado del problema anterior y que se haya compartido al menos un procedimiento de resolución con todo el grupo, solicite a los alumnos que completen la tabla. Posteriormente puede preguntar: ¿Cuál es la opción que mejor conviene a Pedro? ¿Por qué?

Respuesta.Northwestern Union: 6% (primero se resta 3 510 menos los pesos recibidos, y la cantidad obtenida se divide entre 3 510).

Propósito del interactivo. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes.

Respuestas.

a) Se incrementaría el 100%.

b) Se incrementaría el 200%.

Posibles errores. Algunos alumnos podrían responder que en el inciso a) aumenta 200% y que en el inciso b) aumenta 300%.

Usted puede ayudarles aclarando lo siguiente:

- En el inciso a), la diferencia entre el precio original (0.75) y el precio final (1.50) es de 0.75. Esta diferencia representa el 100% del precio original, por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 100%.

- En el inciso b), la diferencia entre el precio original (0.75) y el precio final (2.25) es de 1.50. Esta diferencia es el 200% del precio original, por lo tanto, el porcentaje es de 200%.

6%

6.23%

6.24%

8.44%


59

59

MATEMÁTICAS ICompleten la siguiente tabla para encontrar el porcentaje en que se incrementará el precio de las piñas.

Precio al que el supermercado vende el

kilogramo de piña

Porcentaje de incremento en el preciorespecto al precio original

$1.50

$3.00

$4.50

3. Un productor de melones vendió su cosecha al distribuidor en $1.40 el kilo

gramo. El distribuidor vendió el kilogramo de melón en $350% de su precio

original. ¿En cuánto se vendió el kilogramo?

a) Si 11% del precio de un aparato telefónico es $27.50, ¿cuál es el precio

del aparato telefónico?

b) Si 25% del precio de un libro es $37.50, ¿cuál es el precio del libro?

Para saber másSobre la población, las extensiones territoriales y algunas otras características de los estados de la República consulta:http://www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 28 de julio de 2006].Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.

Sobre los envíos de dinero de los Estados Unidos de América a la República Mexicana consulta:http://www.condusef.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Ruta: Información sobre otros sectores centros cambiarios.Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros.(Condusef).

Debes tomar en cuenta la comisión y el tipo de cambio que cada compañía te ofrece; mientras más elevada sea la comisión y más bajo el tipo de cambio, menor será la cantidad de dinero que reciban los beneficiarios.

100%

300%

500%Respuestas.

$4.90. Porque el 350% de 1.40 es 4.90.

a) $250. Porque si 27.50 es el 11%, el 1% es 2.50. El 100% es 250.

b) $150. Porque 37.50 es el 25%, el 1% es 1.5. El 100% es 150.


60

Propósitos de la secuencia Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas

de frecuencia absoluta y relativa.


1¿Quién llegó primero? Reconocer las ventajas de presentar información en tablas.

Video Un recorrido por el origen de

la estadística Aula de medios

“¿Quién llegó primero?” (Hoja de cálculo)

2Tabla de frecuencia relativa Elaborar e interpretar tablas de frecuencia relativa.

Aula de medios “Tabla de frecuencia

relativa” (Hoja de cálculo)

3

La tabla representa… Resolver problemas mediante la elaboración e interpretación de tablas de frecuencia absoluta y relativa, expresada como fracción, decimal o porcentaje.

Aula de medios “La tabla representa…”

(Hoja de cálculo)

Geografía I Secuencia

7

Eje


Tema

Representación de la información.

Antecedentes

Durante la escuela primaria los alumnos han organizado y analizado la información contenida en tablas, ahora se espera que aborden otros aspectos, como la frecuencia relativa y absoluta expresada de distintas maneras.

Propósito de la sesión. Reconocer las ventajas de presentar información en tablas.

Organización del grupo. Trabajar en parejas durante toda la sesión intercalando momentos para comparar resultados y comentar conclusiones de manera grupal.

Material. Calculadora.

Propósito del video. Conocer el origen y la importancia de la estadística. Identificar situaciones en las cuales es necesario organizar y representar la información.

Propósito de la actividad. La intención es hacer sentir a los alumnos la conveniencia de organizar los datos para analizarlos. Aunque desde la escuela primaria los alumnos han utilizado, elaborado y completado tablas, quizá no recurran a ellas para responder las preguntas de los incisos a), b) y c). Acérquese a las parejas mientras trabajan para conocer qué estrategias utilizan.

Respuestas.a) Hubo tres alumnos empatados

en el primer lugar que hicieron la carrera en 300 segundos.

b) 60 segundos.c) 340 segundos; 9 alumnos hicieron

ese tiempo.d) En 1º A. Hay 6 alumnos que

terminaron antes de 340 segundos (hubo 5 en 1º B y 4 en 1º C).

secuencia 22

60

En esta secuencia interpretarán y comunicarán información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

¿Quién llegó primero? Para empezarUn recorrido por el origen de la estadística

Para presentar un número pequeño de datos basta con enunciarlos o enumerarlos orde-nadamente. Por ejemplo, las calificaciones de un alumno en los 5 bimestres de Matemá-ticas son: 10.0, 9.0, 9.0, 8.0, 8.0.

Sin embargo, cuando el número de datos es grande, conviene recurrir a una tabla de frecuencias para poder hacer un análisis más completo o para tener una idea más clara de la información obtenida.

Consideremos lo siguienteLos alumnos de primer grado de una escuela secundaria participaron en una competen-cia de atletismo.

A continuación se presentan los tiempos, en segundos, que hicieron 30 alumnos en la carrera de 1 000 metros y el grupo al que pertenece cada uno.

320 (1°C) 350 (1°B) 330 (1°A) 300 (1°C) 340 (1°B)330 (1°A) 340 (1°C) 360 (1°B) 320 (1°A) 330 (1°C) 300 (1°B) 320 (1°A) 350 (1°C) 330 (1°B) 340 (1°C)340 (1°B) 330 (1°B) 340 (1°A) 340 (1°C) 320 (1°A)320 (1°A) 340 (1°A) 320 (1°C) 360 (1°A) 300 (1°B)330 (1°B) 360 (1°C) 340 (1°B) 350 (1°C) 340 (1°A)

a) ¿Cuánto tiempo registró el ganador de la carrera?

b) ¿Qué diferencia de tiempo hay entre el primero y el último lugar de la carrera?

c) ¿Cuál es el tiempo en el que se registró el mayor número de alumnos que termi-

naron la competencia?

d) Considerando los resultados por grupo, ¿en cuál hubo más alumnos que termina-

ron antes de 340 segundos?

sesión 1

Tablas de frecuencia


61

61

MATEMÁTICAS IComenten qué grupo consideran que tuvo mejor desempeño en la competencia y por qué. Además, digan cómo organizaron los datos para responder las preguntas.

¿A cuántos minutos equivale el tiempo registrado por el primer lugar?

Manos a la obraI. Una forma de organizar y presentar los resultados de la competencia es mediante

una tabla de frecuencias. Contesten las siguientes preguntas para construirla.

a) ¿A qué se refieren los datos que aparecen en el listado anterior?

b) ¿Cuántos grupos participaron en la competencia?

c) ¿Cuáles fueron esos grupos?

d) ¿Cuántos tiempos diferentes se registraron en la competencia?

e) ¿Cuáles fueron esos tiempos?

f) Completen la siguiente tabla de frecuencias.

Recuerden que:

La frecuencia es el

número de veces

que aparece cada

valor.

Tabla de frecuencias del tiempo realizado en la carrera de 1 000 metros por grupo

Tiempos

Grupos

Total1° A 1° B 1° C

Conteo Frecuencia Conteo Frecuencia Conteo Frecuencia

300 0

II 2

340 Ill 3 9

350

3

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen los datos para valorar qué grupo tuvo un mejor desempeño, lo cual puede variar dependiendo de qué criterios utilicen. Por ejemplo, en 1º B hay 2 alumnos que quedaron en primer lugar, sin embargo, en 1º A hay más alumnos que terminaron la competencia antes de 340 segundos. Invite a los alumnos a que justifiquen sus respuestas.

Propósito de la actividad. Con estas preguntas se pretende que el alumno vaya identificando los elementos que entran en juego en la elaboración de la tabla (qué tipo de datos se están organizando, cuántos son, etc.).


62

Sugerencia didáctica. Comenten las respuestas del inciso e). Es importante que se den cuenta de que un conjunto de datos se puede analizar mirándolo desde distintos ángulos, por ejemplo, ver los resultados por grupo o ver los de todos los grupos.

Respuestas.a) Fue de 320 segundos, que son 5

minutos y 20 segundos.b) 6 alumnos.c) 2 alumnos.d) 3 del 1º B y 1 del 1º C.e) Fue 340 segundos (9 alumnos

llegaron en ese tiempo). Sólo en 1º A es más frecuente otro tiempo: 320 segundos.

secuencia 22

62

ii. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál fue el mejor tiempo que se registró en el grupo 1° A en la carrera?

¿A cuántos minutos corresponde ese tiempo?

b) ¿Cuántos alumnos de 1° A hicieron menos de 340 segundos?

c) ¿Cuántos alumnos de 1° A llegaron a la meta en 330 segundos?

d) ¿Cuántos del 1° B? ¿Y cuántos del 1° C?

e) Considerando los resultados de los tres grupos, ¿cuál es el tiempo registrado en

que más alumnos llegaron juntos a la meta? Compara ese

tiempo con el más frecuente por grupo, ¿en qué caso o casos fue diferente?

iii. Consideren las siguientes afirmaciones y marquen el cuadro de la “V” si es verdadera o el de la “F” si es falsa, a partir de la información que proporciona la tabla de fre-cuencias.

V F

• En el grupo de 1° B hubo más alumnos que hicieron 330que 340 segundos.

• Hay más alumnos de 1° C que de 1° A que hicieron menos de 320 segundos.

• En total, hay más alumnos que lograron llegar en pri-mer lugar que en último lugar.

A lo que llegamosUna tabla de frecuencias es una forma de resumir datos. En ella se presentan en orden creciente los valores observados, así como sus respectivas frecuencias.

El organizar los datos en una tabla de frecuencias permite contar con una visión global e inmediata del comportamiento de la situación que se analiza.

Por ejemplo, en la tabla se observa fácilmente cuántos alumnos logra-ron el primer lugar y a qué grupo pertenecen, lo cual no ocurre con el listado de números.

La suma de las frecuencias absolutas siempre es igual que el total de los datos considerados, es decir, que la población, en este caso los 30alumnos que participaron en la competencia.

F

V

F


63

Sugerencia didáctica. Es posible organizar los datos de diferentes maneras (en la secuencia 8 los alumnos aprendieron esto) y encontrar las distintas relaciones que se dan entre ellos. En esta situación los alumnos están organizando datos cualitativos (de cualidad): si la persona es hombre o mujer; y cuantitativos (de cantidad): qué edad tiene. Sugiera a los alumnos que lean las preguntas de los incisos a) al f) para decidir de qué manera les conviene organizar la información.

Respuestas. b) 50 personas.c) Igual, 25 hombres y 25 mujeres.d) 45 años. Hay 6 personas con esa

edad.e) 11 personas de 20 a 29 años, 6

mujeres y 5 hombres. f) 18 personas eran mujeres y tenían

menos de 40 años.

63

MATEMÁTICAS ILo que aprendimosLa edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son los siguientes:

38 (M) 8 (M) 68 (H) 17 (H) 11 (M) 33 (H)

15 (M) 45 (H) 10 (H) 57 (H) 27 (M) 23 (M)

20 (H) 45 (H) 20 (M) 25 (M) 40 (H) 8 (M)

23 (H) 49 (M) 33 (H) 27 (H) 48 (H) 10 (H)

28 (M) 31 (M) 36 (M) 5 (H) 39 (H) 45 (M)

45 (H) 23 (H) 45 (M) 8 (H) 48 (M) 20 (M)

33 (M) 22 (H) 55 (M) 33 (H) 45 (H) 40 (H)

52 (M) 15 (M) 5 (H) 65 (M) 3 (M) 15 (H)

15 (M) 8 (M)

a) En su cuaderno, organicen los datos en una tabla de frecuencias. Decidan cuál información va en las columnas y cuál en los renglones. Pónganle el título a la tabla y a cada una de las columnas.

b) ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?

c) ¿Qué hubo más, hombres o mujeres?

d) De las personas que asistieron, ¿cuál fue la edad más frecuente?

e) ¿Cuántas personas del grupo tenían de 20 a 29 años? Y de ese gru-

po de edades, ¿qué hubo más, hombres o mujeres?

f) ¿Cuántas personas eran mujeres y tenían menos de 40 años?


64

Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar tablas de frecuencia relativa.

Organización del grupo. Forme parejas de alumnos para las dos primeras partes de la sesión y equipos para la tercera. La última se sugiere que la resuelvan de manera individual.

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos la información de las tablas. Los datos están organizados por género y por intervalos de edad: se cuenta a todas los hombres (o mujeres) que tienen de 0 a 9 años y el resultado se pone en la columna de frecuencia. Se va haciendo lo mismo con las que tienen de 10 a 19, de 20 a 29, etcétera. La columna de “frecuencia relativa” está dividida en 2 para expresarla con una fracción y con un número decimal. La fracción puede leerse así: “3 de cada 25 hombres tienen entre 0 y 9 años”. Diga a los alumnos que pueden utilizar la calculadora para encontrar la expresión decimal de la frecuencia relativa. La columna de “porcentaje” puede interpretarse como: “del total de hombres, el 12% tienen entre 0 y 9 años”. Puede preguntar a los alumnos: si el total de hombres fuera 100 y el 12% tuvieran entre 0 y 9 años ¿cuál sería la frecuencia?, ¿cuál sería la frecuencia relativa?

secuencia 22

64

Tabla de frecuencias relaTivasPara empezarEn la sesión anterior construiste la tabla de frecuencias de la siguiente situación.

La edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son las siguientes:

38 (M) 8 (M) 68 (H) 17 (H) 11 (M) 33 (H)

15 (M) 45 (H) 10 (H) 57 (H) 27 (M) 23 (M)

20 (H) 45 (H) 20 (M) 25 (M) 40 (H) 8 (M)

23 (H) 49 (M) 33 (H) 27 (H) 48 (H) 10 (H)

28 (M) 31 (M) 36 (M) 5 (H) 39 (H) 45 (M)

45 (H) 23 (H) 45 (M) 8 (H) 48 (M) 20 (M)

33 (M) 22 (H) 55 (M) 33 (H) 45 (H) 40 (H)

52 (M) 15 (M) 5 (H) 65 (M) 3 (M) 15 (H)

15 (M) 8 (M)

Sin embargo, esta información se puede presentar de otra manera, en la que las edades se agrupan en intervalos y se dan las frecuencias absoluta y relativa y el porcentaje de cada intervalo.

Consideremos lo siguienteEn las siguientes tablas faltan algunos datos, realicen los cálculos necesarios y completen:

edad(años)

Hombres

frecuenciafrecuencia relativa

Porcentajefracción decimal

0-9 3 12%

10-19 4 16%

20-29 5 0.20 20%

30-39 4 16%

40-49 7 28%

50-59 1 0.04 4%

60-69 1 4%

Total 25 1 100%

sesión 2


65

Propósito de la actividad. Con las preguntas de los incisos a) al j) se pretende que los alumnos le den sentido a la frecuencia relativa (su significado y obtención), así como a las diferentes formas en que se puede expresar (como porcentaje, fracción o decimal).

Respuestas.a) 7 intervalos.b) 25 hombres y 25 mujeres.c) Hay 7 hombres.d) 7 de 25 o w U t .e) El 5 es el número de personas

cuyas edades se encuentran en cierto intervalo, y el 25 es el número del total de personas.

2

Sugerencia didáctica. Es conveniente hacer notar a los alumnos la relación entre la columna de “Frecuencia relativa” y la de “Porcentaje”. Puede hacerles preguntas como: ¿De qué manera obtuvieron los datos de la columna “Porcentaje”?, ¿en qué se parecen a los de la columna “Frecuencia relativa”?

Integrar al portafolios. Cuando terminen de resolver la sesión 2 pida a los alumnos una copia de esta tabla llena y de las respuestas a las preguntas de los incisos a) al d). Analícelas para ver si han comprendido la diferencia entre la frecuencia absoluta y la relativa, y sobre su expresión como porcentaje. Si lo considera necesario, repasen la sesión.

65

MATEMÁTICAS IEdad

(años)

Mujeres

FrecuenciaFrecuencia relativa

PorcentajeFracción Decimal

0-9 4

10-19 16 %

20-29 6

30-39

40-49 0.16

50-59 8 %

60-69

Total 100 %

a) ¿Cuántas personas son menores de 20 años?

b) ¿Qué significa que la frecuencia relativa de hombres entre 20 y 29 años sea ?

c) De las mujeres que asistieron a la reunión, ¿qué porcentaje tiene entre 30 y 39

años de edad?

d) ¿Qué porcentaje de hombres y mujeres tiene 50 años o más?


Manos a la obraI. Usen la información que proporcionan las tablas para contestar

las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos intervalos de edades se formaron?

b) ¿Cuántos hombres hay en la reunión? ¿Y cuántas mujeres?

c) ¿Cuántos de los hombres que están en la reunión tienen entre 40 y 49 años

de edad?

d) ¿Qué parte del total de hombres tiene entre 40 y 49 años de edad?

e) Uno de los valores de la tabla es , ¿qué representa el número 5?

¿Y el 25?

Recuerden que:

Si divides la frecuencia entre el

número total de observaciones,

obtienes la frecuencia relativa.

w R t 0.16 16%

4 w R t 0.16 w Y t 0.24 24%

4 w R t 0.16 16%

4 16% 2 w W t 0.08

25 W t 1

1 0.04 4%


66

secuencia 22

66

A lo que llegamosA la fracción se le llama frecuencia relativa e indica la parte del total de la población que tiene un mismo atributo o característica.

f) De las mujeres que había en la reunión, ¿cuál es la frecuencia relativa de las que

tienen entre 30 y 39 años de edad?

g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 años es . Esta frac-

ción expresada como decimal es 0.16, ¿qué significa este decimal en esta si-

tuación?

h) ¿De qué manera expresarían como porcentaje la frecuencia relativa 0.16?

i) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asis-

tieron a la reunión?

j) ¿En dónde hay más mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 años o en las 4

mujeres de 40 a 49?

A lo que llegamosLa frecuencia relativa también puede expresarse en forma de número decimal y porcentaje.

ii. Utilicen la información que presentan las dos tablas anteriores para completar la si-guiente tabla que agrupa todos los resultados.

Edad(años)

Total hombres y mujeres



0-9

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

Total 50 100%

Respuestas.

f) w R t g) Es también la frecuencia relativa.

Quiere decir que del total (que es igual a 1), hay 0.16 mujeres que tienen entre 40 y 49 años.

h) Cuando las relaciones entre los datos se expresan en forma de porcentaje, el total es igual a 100%. El porcentaje de mujeres que tienen entre 40 y 49 años de edad es 16%.

i) Suman 1.j) En las 4 mujeres de 40 a 49 años,

porque el número 4 en ese caso es la frecuencia; en cambio, en el otro caso se refiere al porcentaje, y en este ejemplo (el de las personas que asistieron a una reunión) 4% equivale a una sola mujer.

Sugerencia didáctica. Cuando revisen sus respuestas deténgase un poco en el inciso g). Para algunos alumnos no es evidente que w R t y 0.16 son el mismo número.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta de los diferentes tipos de análisis que pueden hacerse al reorganizar la información.

secuencia 22

66

A lo que llegamosA la fracción se le llama frecuencia relativa e indica la parte del total de la población que tiene un mismo atributo o característica.

f) De las mujeres que había en la reunión, ¿cuál es la frecuencia relativa de las que

tienen entre 30 y 39 años de edad?

g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 años es . Esta frac-

ción expresada como decimal es 0.16, ¿qué significa este decimal en esta si-

tuación?

h) ¿De qué manera expresarían como porcentaje la frecuencia relativa 0.16?

i) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asis-

tieron a la reunión?

j) ¿En dónde hay más mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 años o en las 4

mujeres de 40 a 49?

A lo que llegamosLa frecuencia relativa también puede expresarse en forma de número decimal y porcentaje.

ii. Utilicen la información que presentan las dos tablas anteriores para completar la si-guiente tabla que agrupa todos los resultados.

Edad(años)

Total hombres y mujeres



0-9

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

Total 50 100%

7 t U p 0.14 14%

8 t I p 0.16 16%

11 tQ pQ 0.22 22%

8 t I p 0.16 16%

11 tQ pQ 0.22 22%

3 t E p 0.06 6%

2 t W p 0.04 4%

t pP 1


67

Respuestas.

a) 16% en total.

b) Es igual, 4 hombres y 4 mujeres. Esta información la buscamos en las tablas anteriores, en las que se separó a hombres y mujeres.

c) 1

d) 15 personas, que representan 30%.

Sugerencia didáctica. Lean juntos esta información y pida a los alumnos que la copien en sus cuadernos.

67

MATEMÁTICAS Ia) ¿Qué porcentaje de personas que tienen entre 30 y 39 años de edad fueron a la

reunión?

b) De las personas de entre 30 y 39 años de edad que había en la reunión, ¿son más

hombres o más mujeres? ¿En qué tablas encuentran esta

información?

c) ¿Cuál es la suma de frecuencias relativas de hombres y mujeres que asistieron a la

reunión?

d) En total, ¿cuántas personas menores de 20 años asistieron a la reunión?

¿Qué porcentaje representan?

A lo llegamosCuando se trata de presentar información estadística, las tablas que generalmente se utilizan son de frecuencias relativas con porcentaje. La frecuencia relativa de un valor observado es el cociente entre su frecuencia y el total de observaciones realizadas. El porcentaje de veces que aparece un determinado valor observado se obtiene multi-plicando su frecuencia relativa por 100.

La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de los datos u observaciones.

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.

La suma de los porcentajes es igual a 100.

Lo que aprendimosCompleta la tabla de frecuencias relativas y de porcentaje para los datos de la carrera de 1 000 metros, presentada en la sesión 1 de esta secuencia.

Tiempo registrado en segundos Frecuencia

Frecuencia relativa Porcentaje%Fracción Decimal

300 3320 6330 6340 9350 3360 3Total 30

e E p 0.1 10% e Y p 0.2 20% e Y p 0.2 20% e O p 0.3 30% e E p 0.1 10% e E p 0.1 10% eE pP 1 100%


68

secuencia 22

68

a) ¿A qué tiempo registrado corresponden cada una de las siguientes frecuencias relativas?

30% 0.30.1

b) ¿Cuál es la frecuencia relativa de alumnos que llegaron a la meta antes de 330

segundos?

c) ¿Qué porcentaje de alumnos que participaron en la carrera hicieron menos de 320

segundos?

la Tabla represenTa…Para empezarComo habrás observado, en tu clase de Geografía de México y del mundo, es frecuente que se presente información en tablas; por ejemplo, en la secuencia 7 ¿cómo es y dón-de está la población?

sesión 3

Matrícula en Educación Básica por nivel educativo y por sexo en los años 1992 y 2002

Año 1992 2002

Nivel educativo ysexo Total Porcentaje Total Porcentaje

Preescolar 2 858 890 100% 3 635 903 100%Hombres 1 439 632 50.35% 1 836 121 51%Mujeres 1 419 258 1 799 782 49%Primaria 14 425 669 100% 14 857 191 100%Hombres 7 429 429 51.50% 7 604 635 51.18%Mujeres 6 996 240 48.50% 7 252 556 48.82%

Secundaria 4 203 098 100% 5 660 070 100%Hombres 2 152 648 51.22% 2 862 463Mujeres 2 050 450 2 797 607 49.43%

Fuente: SEP, Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993.SEP, DGPPP, Subdirección de Análisis Estadístico y Presupuestal 2003.

Lo que aprendimos1. La matrícula en educación básica se refiere al

número de alumnos inscritos en institucioneseducativas de preescolar, primaria y secundaria en un ciclo escolar determinado.

Analicen la información que presenta la siguiente ta-bla y complétenla. Pueden utilizar una calculadora.

Respuestas.a)El 30% sería equivalente a 9 corredores, por lo tanto, corresponde a 340 segundos. 0.1 como frecuencia relativa quiere decir que una décima parte de los corredores registró cierto tiempo (o 10%). La décima parte del total de corredores (30) es 3, así que corresponde a los que hicieron 300, 350 y 360 segundos. 0.3 como frecuencia relativa puede expresarse también como 30%, lo que equivale a 9 corredores (340 segundos).

E p significa que 3 de los 30 corredores registraron cierto tiempo, así que corresponde a 300, 350 y 360 segundos. Puede expresarse también como 0.1 o como 10%.b) O p c) 10% (10 de 30)

1

Propósito de la sesión. Resolver problemas mediante la elaboración e interpretación de tablas de frecuencia absoluta y relativa, expresada como fracción, decimal o porcentaje.

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, con momentos de intercambio grupal. Propósito de la actividad. Que

los alumnos analicen la información de la tabla para completarla y para contestar las preguntas que aparecen en seguida.

Respuesta. Una forma de resolver es completando el porcentaje, es decir, teniendo en cuenta que el porcentaje de hombres y el de mujeres en cada nivel escolar, debe sumar 100.

49.65%

50.47%48.78%


69

69

MATEMÁTICAS Ia) ¿Qué información les muestra la tabla?

b) ¿A qué años corresponde la información que presenta la tabla?

c) En el renglón que corresponde al nivel de Preescolar aparece dos veces la expre-

sión “100%”, ¿qué significa en cada caso?

d) ¿En cuál de los tres niveles es mayor la matrícula?

e) De 1992 a 2002 aumentó la matrícula en todos los niveles educativos. ¿Cuáles fueron los incrementos en cada uno de los tres niveles educativos? Escríbelos en tu cuaderno.

f) ¿En cuál de los tres niveles hubo un menor aumento?

g) ¿Y en cuál hubo un mayor aumento?

2. Con la información que presenta la tabla anterior, completen la siguiente tabla para que muestre la matrícula de la educación básica por sexo en los años 1992 y 2002.

Año 1992 2002

Nivel educativo y sexo Total Porcentaje Total Porcentaje

EducaciónBásica

Hombres

Mujeres

a) ¿Cómo obtienen el total de la matrícula para el año

1992?

b) ¿Y para el año 2002?

c) De 1992 a 2002, ¿cuál de los porcentajes de matrícula

aumentó, el de los hombres o el de las mujeres?

Respuestas. a) Número y porcentaje de alumnos

en 1992 y 2002, por nivel educativo y por género.

b) 1992 y 2002.c) El total de estudiantes en ese nivel

en 1992 y el de 2002.d) En primaria.e) Preescolar: 777 013.

Primaria: 431 52. Secundaria: 1 456 972.

f) En primaria.g) En secundaria.

Respuestas. Hay que calcular los porcentajes, no deben sumarse o promediarse.

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que la educación básica, como se señala en la tabla anterior, comprende el preescolar, la primaria y la secundaria, por lo tanto, en esta segunda tabla deben sumar las matrículas de los tres niveles.

Puede dar indicaciones a los alumnos para que redondeen los porcentajes y la suma sea 100%.

21,487,657 100% 24,153,164 100%

11,021,709 51.29% 12,303,219 50.94%

10,465,948 48.71% 11,849,945 49.06%


70

secuencia 22

70

3. En el examen que se aplicó en una escuela aprobaron 90 alumnos.

De acuerdo con esta información, sólo una de las siguientes afirmaciones es válida. Márquenla con una

El examen se aplicó a 100 alumnos.

La mayoría de los alumnos aprobó el examen.

El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos.

El número de alumnos reprobados fue 10.

4. En el examen que se aplicó en una escuela la frecuencia relativa de los alumnos apro-bados es .

De acuerdo con esta información, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son válidas? Márquenlas con

El examen se aplicó a 100 alumnos.

La mayoría de los alumnos aprobó el examen.

El examen lo presentaron cuando menos 90 alumnos.

El número de alumnos reprobados fue 10.

5. Completen la siguiente tabla.

Intervalo FrecuenciaFrecuencia relativa


0-9

10-19 8

20-29 6

30-39 8

40-49 4

50-59 7

60-69 3

70-79 10

80-89 5

90-99 5

Total 60

2

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen si con la información que les da el enunciado es posible hacer alguna de las afirmaciones.

Analizar la información es un aspecto muy importante en clase, y para fomentarlo es útil presentar actividades o problemas:

- en los que haya información innecesaria para resolverlo, o

- en los que falten datos.

Así, los alumnos no se acostumbrarán a que todo problema tiene solución o a que siempre deben utilizar todos los datos presentados.

Sugerencia didáctica. Discutan cada una de las afirmaciones del punto 3. Cuando digan que una de ellas es válida, pregunte por qué y cómo pueden estar seguros. Pregunte al resto del grupo si están o no de acuerdo. Pasen al número 4 cuando todos estén seguros de cuál es la afirmación válida.

Luego analicen con detenimiento la nueva información. Pregunte: ¿Qué significa que la frecuencia relativa de los alumnos aprobados sea q O p P p ?, ¿en qué cambia esta nueva información lo que sabíamos en el punto 3?

Respuestas.

3. Con la información que proporciona el enunciado no se puede saber:

- a cuántos alumnos se aplicó el examen,

- cuántos fueron los reprobados,

- si los 90 que aprobaron eran la mayoría de los alumnos que presentaron el examen.

La única afirmación que es válida es la tercera (el examen lo presentaron al menos 90 alumnos).

4. Todas las afirmaciones son válidas. El conocer la frecuencia relativa de los que aprobaron permite saber:

- a cuántos alumnos se les aplicó el examen,

- que la mayoría aprobó,

- que al menos lo presentaron 90 alumnos, y

- que los reprobados fueron 10.

6 0.1 0

y I p 0.133... 13.33

y Y p 0.1 10 y I p 0.133... 13.33

y R p 0.0666… 6.67

y U p 0.116… 1.67

y E p 0.05 5

yQ Pp 0.1666… 16.673 y E p 0.05

y p 0.08333… 8.3

yY pP 1 100


71

71

MATEMÁTICAS Ia) ¿A cuál de las siguientes tres situaciones puede corresponder esta tabla? Márquenla

con una

Número de saltos que pueden dar en 10 segundos un conjunto de 60 personas.

Número de pulsaciones por minuto que registró un conjunto de personas.

Número de clientes que llegan a una tienda en ciertos intervalos de tiempo.

De acuerdo con el contexto de la situación que eligieron, respondan las siguientes preguntas

b) ¿Qué representa el intervalo 40-49?

c) ¿Y el valor 10 de la columna de frecuencias?

d) ¿Tiene sentido el valor 15.5? ¿Por qué?

e) ¿Qué representa la fracción de la columna de frecuencia relativa?

f) ¿Qué significa el número 5 de la columna de porcentajes?

Para saber másSobre información que ofrece el INEGI para la utilización de tablas de frecuencia consulten: www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos puedan relacionar los datos que están representados en una tabla con la situación que los genera.Cada pareja debe decidir cuál es la situación que más le parece y responder en función de su elección.

Integrar al portafolios. Pida a cada pareja de alumnos una copia de la actividad 5.


72

Eje


Tema


Antecedentes

Durante la escuela primaria los alumnos han interpretado la información representada en gráficas circulares, ahora se espera que también las construyan y analicen.

Propósito de la sesión. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa.

Organización del grupo. Para esta sesión es conveniente que los alumnos trabajen en parejas, excepto en el apartado Lo que aprendimos, que es individual.

Sugerencia didáctica. Esta información puede aprovecharse para hablar sobre los censos, qué son y para qué sirven.

Propósito de la actividad. La intención con la que se hacen las preguntas del inciso a) es que los alumnos analicen la gráfica y sepan qué tipo de información es la que proporciona y qué cosas no pueden saberse por la manera en que se organiza dicha información. Permítales contestarlas sin darles aún explicaciones.

Respuestas. a) La primera pregunta no puede contestarse porque en el eje vertical dice “número de personas”, pero no se sabe cuántas de esas personas son niños. La segunda sí se puede contestar: hay 300 000 personas con discapacidad auditiva.

secuencia 23

72

En esta secuencia aprenderás a interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencias absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. También verás cómo comunicar información proporcionada por estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Qué dicen las gráficasPara empezarDos de las maneras más utilizadas para presentar información son la gráfica de barras y la gráfica circular. Debido a su forma sencilla, resultan muy útiles para representar los datos obtenidos en encuestas y estudios sobre diversos temas.

Consideremos lo siguienteSegún el XII Censo General de Población y Vivienda, la población de México en el año 2000 era de 99 722 200 habitantes, de los cuales 1 795 000 presentaban al menos un tipo de discapacidad. Dicho censo consideró 5 tipos de discapacidad.

La siguiente gráfica muestra la cantidad de personas que padecen cada tipo de discapacidad.

a) ¿Cuál de las siguientes preguntas puede contestarse a partir de la información que proporciona la gráfica? Márquenla con una

¿Cuántos niños padecen la discapacidad motriz?

¿Cuántas personas tienen discapacidad auditiva?

sesión 1

Gráficas de barras y circulares

Fuente: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000.

Población de discapacitados en México

Nú

mer

o d

e p

erso

nas

dis

cap

acit

adas

(en

mile

s)

1000

800

600

400

200

0Motriz Visual Lenguaje Auditiva Mental

Tipo de discapacidad

Propósitos de la secuencia Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicar información provenien-

te de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.


1Qué dicen las gráficas Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa.

2Gráficas de barras Elaborar e interpretar una gráfica de barras de frecuencia relativa.

Español I Secuencia 10

3 Gráfica circular Elaborar e interpretar una gráfica circular.

Video “El rating en la

televisión”



73

Respuestas. a) Son 5: motriz, visual, lenguaje,

auditiva, mental.b) La más frecuente es la motriz (es

la barra más alta en la gráfica). La menos frecuente es la de lenguaje (es la barra más corta en la gráfica).

c) Es importante comentar esta pregunta porque los alumnos suelen cometer errores como el que se plantea al analizar la información contenida en gráficas y tablas. En el eje vertical de la gráfica dice “número de personas” y también “en miles”. Esto quiere decir que el número al que llega la altura de cada barra en la gráfica debe multiplicarse por mil. Los datos se escriben así para no tener que poner muchos ceros en los números de los ejes, lo cual dificulta la lectura. Por lo tanto, no hay 800 personas con discapacidad motriz, sino 800 000.

d) Motriz, visual, auditiva y mental.e) Hay 800 000 con discapacidad

motriz, y aproximadamente 450 000 con discapacidad visual, 85 000 con discapacidad de lenguaje, 300 000 auditiva y 300 000 mental. El cálculo del número de personas se hace por la altura de la barra. Si es necesario hay que medirlas.

f) No, la suma de los datos anteriores excede los 1 795 000, aunque el número total de personas con alguna discapacidad no cambia, lo que sucede es que hay personas con más de una discapacidad.

g) Una persona puede tener más de un tipo de discapacidad.

73

MATEMÁTICAS Ib) Escriban tres preguntas que se puedan contestar con la información que proporciona

la gráfica.

Pregunta 1:

Pregunta 2:

Pregunta 3:Lean al grupo una de las preguntas que escribieron y pidan que se las respondan.

Manos a la obraI. Observen la gráfica anterior y contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuáles son los tipos de discapacidad que reporta el XII Censo General de Pobla-

ción y Vivienda?

b) ¿Cuál es la discapacidad más frecuente en México? ¿Y la

menos frecuente?

c) Un alumno dice que en México hay 800 personas con discapacidad motriz. ¿Es

esto cierto? ¿Por qué?

d) En la gráfica hay cuatro tipos de discapacidades con al menos 300 000 personas,

¿cuáles son?

e) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la información que presenta la gráfica de barras.

Tipo de discapacidad Número de personas

Total


74

2

Propósito de la actividad. Interpretar la información presentada en una gráfica circular. Cada sector representa un porcentaje, y a diferencia de la gráfica anterior, aquí sólo se consideran los datos correspondientes a una de las discapacidades (la motriz) y se presenta información nueva: el grupo de edad en el que se encuentran quienes padecen tal discapacidad.Respuestas. a) 800 000b) Adultos mayores, adultos,

jóvenes, niños.c) Sí, de las personas con

discapacidad motriz, 10% son niños y 10% son jóvenes, es decir que hay la misma cantidad de personas en cada grupo de edad (80 000).

secuencia 23

74

f) ¿El número total de personas discapacitadas que obtuvieron en la tabla es igual al

que señala el INEGI de 1 795 000 personas?

g) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones justifica esta situación? Subráyenla.

• Existe un error en los datos que se recolectaron.

• El número de personas con discapacidad aumenta conforme a la edad.

• Una persona puede tener más de un tipo de discapacidad.

ii. La siguiente gráfica muestra, según el grupo de edad, los porcentajes de personas en México que tienen discapacidad motriz.

a) ¿Cuántas personas tienen discapacidad motriz en México?

b) ¿En cuáles grupos de edad se manifiesta más esta discapacidad?

Un alumno planteó la siguiente pregunta: ¿Habrá la misma cantidad de niños que de jóvenes con discapacidad motriz?

c) ¿Podrán contestar esta pregunta con la información que proporciona la gráfica?

¿Cómo podrían saberlo?

Distribución de la población con discapacidad motrizpor grupo de edad en porcentaje

Niños10 %

Adultos30 %

Jóvenes10 %

Adultos mayores50 %

Número total de personas con discapacidad motriz: 800 000Fuente: INEGI, XII Censo General de Población y Vivienda 2000.


75

3

Sugerencia didáctica. Comenten lo que aprendieron en la secuencia anterior sobre la frecuencia absoluta y relativa.

75

MATEMÁTICAS Id) Completen la tabla de frecuencias que corresponde a la información que presenta

la gráfica circular.

Grupo de edad Número de personas Porcentaje

Total 800 000 100%

A lo que llegamosLas gráficas de barras y las gráficas circulares nos permiten compa-rar la forma en que se distribuyen los atributos o características en una cierta población o muestra, ya sea que los datos se expresen mediante frecuencias absolutas o relativas.

En el caso de que los datos de la gráfica estén expresados como frecuencias relativas y se conozca el total de la población, como es el caso de la gráfica circular anterior, es posible determinar con exacti-tud la frecuencia con que se observa cada uno de los atributos en la población.

Lo que aprendimosLa siguiente gráfica presenta el resultado de una encuesta realizada a un grupo de 200 personas sobre su nivel máximo de estudios.

Porc

enta

je

Nivel máximo de estudios

Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura

50

40

30

20

10

0

Adultos Mayores 400 000 50%

Adultos 240 000 30%

Jóvenes 80 000 10%

Niños 80 000 10%


76

Respuestas.a) Sugiérales que calculen el

porcentaje representado por cada barra, si es necesario, midiendo cada una. La suma de los porcentajes debe ser 100%.

Las frecuencias relativas se obtienen de la siguiente manera: sabemos que la encuesta se realizó a 200 personas. Los que cursaron hasta primaria son el 45% de esos 200, es decir, 90 personas ( w O p P p ), y así con los demás valores. La tabla debe mostrar los siguientes datos:

Frecuencia Frecuencia/relativa Porcentaje

Prim. 90 w O p P p = 0.45 45%

Sec. 50 w T p P p = 0.25 25%

Bach. 40 w R p P p = 0.2 20%

Lic. 20 w W p P p = 0.1 10%

b) La primera es incorrecta, sin embargo, algunos alumnos podrían pensar lo contrario porque en la tabla se muestra que quienes terminaron la licenciatura son 10%, pero ese porcentaje está referido al total de personas encuestadas, que son 200, por lo tanto, 10% de 200 es 20.

La segunda también es incorrecta. La suma de los porcentajes de quienes tienen como nivel máximo de estudios la secundaria y los que tienen el bachillerato es 45%, lo que equivale a 90 personas.

La tercera es correcta. El 45% de las personas encuestadas estudiaron hasta la primaria.

La cuarta es incorrecta. De las personas encuestadas, exactamente 20% cursaron el bachillerato.

secuencia 23

76

a) En tu cuaderno, elabora la tabla de frecuencias a partir de la información que proporciona la gráfica.

b) Según los datos registrados en la gráfica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Subráyala con una línea roja.

• Un total de 10 personas tienen licenciatura como nivel máximo de estudios.

• De las personas encuestadas 30 tenían, como nivel máximo de estudios, secun-daria o bachillerato.

• El 45% de las personas entrevistadas sólo terminaron la primaria.

• Menos de 20% de las personas encuestadas estudiaron hasta bachillerato.

Gráficas de barrasPara empezarExisten diversas situaciones en las que se requiere comparar valores, por ejemplo, cuando se trata de definir a un ganador o establecer el valor más frecuente.

Consideremos lo siguienteUna agencia de automóviles da un bono mensual al vendedor que logre hacer mayores ventas. Para motivar a los vendedores, se les muestra el número de autos que llevan vendidos y el monto de sus ventas. En cierto mes se presentó la siguiente gráfica:

El gerente le dijo a Gustavo que el importe de las ventas de otro vendedor es el doble de las que hizo él.

a) ¿En qué creen que se basa el gerente para hacer esa afirmación?

b) ¿Es correcta? ¿Por qué?


sesión 2

1 200

800

400Ricardo Fernando Gustavo Antonio

Vendedores

Total de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembreV

enta

s(m

iles

de

pes

os)

Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar una gráfica de barras de frecuencia relativa.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, excepto en el apartado Lo que aprendimos, que es individual.

Respuestas. a) En la gráfica podría parecer que

Ricardo vendió el doble que Gustavo, porque la barra que representa las ventas de Gustavo tiene la mitad del tamaño de la de Ricardo.

b) No, debido a que el eje vertical no empieza en 0 sino en 400 000. Observando con cuidado los datos podemos ver que 1 200 000 no es el doble de 800 000.


77

Propósito de la actividad. Además de reconocer que el eje vertical empieza desde 0, se espera que los alumnos se percaten de que lo importante no es cuántas divisiones haya sino lo que representa cada una. Por ejemplo, para representar cierta información, el eje de una gráfica puede:

- Empezar en 0, terminar en 120 y tener 12 divisiones (cada una representa 10 segundos).

- Empezar en 0, terminar en 120 y tener 4 divisiones (cada una representa 30 segundos).

En ambos casos la información representada no cambiará, pero una de las opciones puede ser más cómoda que la otra, dependiendo de los datos con los que se esté trabajando.

Sugerencia didáctica. En esta gráfica, como en otras anteriores, hay que multiplicar por mil los valores del eje vertical. Si algunos alumnos no lo han notado podrían responder que Gustavo ha vendido $800. Hágales ver que ese monto no corresponde a los precios de los autos e invítelos a leer con cuidado la información de la gráfica.

Respuestas. a) $800 000.b) $1 200 000.c) Es 1.5 veces más grande (una vez y

media).d) La de Ricardo es el doble de alta

que la de Gustavo.e) Hay que agregar la casilla del otro

vendedor en el eje horizontal y hacer que el eje vertical comience al menos en 200.

77

MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Con la información que proporciona la gráfica, respondan las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el importe de las ventas de autos que hizo Gustavo?

b) ¿Y las de Ricardo?

c) ¿Cuántas veces más grande es el importe de las ventas de Ricardo que el importe

de las ventas de Gustavo?

d) ¿Cuántas veces más alta es la barra que representa las ventas de Ricardo que la

barra que representa las ventas de Gustavo?

e) Si el importe de las ventas de un quinto vendedor fuera de $200 000, ¿qué cam-

bios habría que hacer en la gráfica para representarla?

A lo que llegamosEn una gráfica de barras, la altura de cada barra debe ser proporcional a la cantidad que representa.

Observa que en la gráfica anterior esto no ocurre. Para corregirla hay que considerar el eje de las ventas como una recta numérica que va de 0 a un valor máximo adecuado a la situación, y dividirla en un número conveniente de partes iguales.

II. Completen la siguiente gráfica de modo que incluya la venta del quinto vendedor.

1 400

400

0Ricardo Fernando Gustavo Antonio

Vendedores

Total de ventas, en miles de pesos, correspondientes al mes de noviembre

Ven

ta(m

iles

de

pes

os)

1 200

1 000

800

600

200

Otro vendedor


78

Respuestas. a) De cero.b) $1 400 000.c) Está dividida en 7 partes y cada

una representa $200 000.d) No, para que la barra que

representa las ventas de Ricardo fuera del doble de tamaño que la de Gustavo tendría que haber vendido el doble que Gustavo, es decir $1 600 000.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en sus cuadernos.

secuencia 23

78

a) ¿A partir de qué valor empieza la escala que representa el importe de las ventas?

b) ¿Cuál es el máximo valor que está representado en esa escala?

c) ¿En cuántas partes está dividida? ¿Qué valor representa cada

parte?

d) ¿La altura que representa la barra de Ricardo mide el doble de la de Gustavo?

¿Cuánto debió haber vendido Ricardo para que esto sucediera?

A lo que llegamosLa gráfica de barras o diagrama de barras facilita la comparación de datos, al interpretar la altura o la longitud de las barras.

Cómo trazar una gráfica de barras:

• Determinen el número de barras que necesitarán en el eje x (horizontal) para representar los datos, de acuerdo con el número de atributos o cualidades que se observan.

• A partir del origen, definan la escala en el eje y (vertical) considerando los valores mínimo y máximo que se proporcionan. Marquen la escala y anoten las unidades.

• Definan el ancho de las barras y el espacio que se dejará entre ellas. Marquen los anchos y rotulen las barras. Con la escala del eje y como referencia, tracen la altura de las barras.

• Asignen un título a la gráfica.

Lo que aprendimos1. Se le preguntó a un grupo de personas a cuál de los siguientes personajes les gustaría

más haber conocido. La siguiente tabla muestra los resultados de la encuesta:

PersonajeNúmero de votos

Adultos Niños

Benito Juárez 16 7

Miguel Hidalgo 22 18

Emiliano Zapata 24 31

Francisco I. Madero 9 15


79

Respuesta. En los recuadros de la izquierda van los números 0 y 30 (cada división representa 10 votos).

El título debe corresponder a la información presentada en la tabla. Podría ser algo como “Personaje al que más le hubiera gustado conocer”.

Hay que escribir al lado del cuadrito de abajo que las barras moradas representan los votos de los niños.

Propósitos de la actividad. En las actividades 2 y 3 se pretende que los alumnos:

- Representen la información de diversas formas (en una tabla, gráfica de barras, circular, etc.) y que comprendan que ésta no cambia.

- Aprendan a utilizar escalas apropiadas a los datos que estén manejando.

- Representen tanto la frecuencia absoluta como la relativa.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de la gráfica que elaboren y analícela para ver si han comprendido lo trabajado en la sesión.

79

MATEMÁTICAS IUtiliza la información que presenta la tabla anterior para completar la siguiente gráfica de barras.

2. En la sesión 2 de la secuencia 22, aprendiste a construir las tablas de frecuencia. Uti-liza la información de la tabla que presenta los resultados de la carrera de 1 000 m para construir, en tu cuaderno, la gráfica de barras que le corresponde.

a) Compárala con las que elaboren tus compañeros. ¿Eligieron el mismo tipo de escala?

¿Por qué?

b) ¿Qué título y etiquetas le pusieron?

3. En la secuencia 10 La jaula de oro, de tu libro de Español I, volumen II estudiaste la migración a los Estados Unidos. Además, realizaste una encuesta.

a) Elabora una gráfica de barras con los datos que obtuviste en la pregunta: ¿Cuál es la actividad que desempeñan en los Estados Unidos?

b) ¿Qué escala utilizarás?

20

Nú

mer

o d

e vo

tos

10

Benito Juárez Miguel Hidalgo Emiliano Zapata Francisco I. Madero

Adultos

0

30

Niños

Personaje al que más le hubiera gustado conocer

10

8

6

4

2

0 300 320 330 340 350 360

Tiempo registrado en segundos

Frec

uen

cia

Resultados de la carrera de 1 000 metros


80

secuencia 23

80

Gráfica circularPara empezarDurante el mes de septiembre de 2005, se llevó a cabo en Perú el Campeonato Mundial Juvenil Sub 17 de la FIFA, y el equipo mexicano resultó campeón. En esta sesión analiza-rás y presentarás estadísticamente algunas cifras relacionadas con este tema.

Consideremos lo siguienteUna revista deportiva presentó la siguiente información sobre los jóvenes futbolistas que se preparan para el próximo campeonato mundial Sub 17:

a) De los 740 jugadores registrados, ¿cuántos

son delanteros?

b) ¿Y cuántos son porteros?

c) Hay 37 jugadores delanteros zurdos. Si se requiere que en la gráfica se distingan los delanteros diestros de los zurdos, ¿qué cambio debe hacerse en la gráfica? Con-testen en su cuaderno.

sesión 3

Manos a la obrai. Observen la gráfica circular anterior y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué información proporciona?

b) ¿Cuál es la posición en la que hay más jugadores?

c) ¿Qué fracción de la gráfica representa el porcentaje de defensas?

d) ¿Cuántos jugadores defensas hay? ¿Qué fracción representan

del total de jugadores registrados?

e) ¿Qué porcentaje representan los delanteros zurdos del total de jugadores registra-

dos?

f) ¿Qué porcentaje le correspondería a los delanteros diestros?

g) ¿Cuánto es la suma de los porcentajes de delanteros zurdos y delanteros diestros?

h) ¿Cómo representarían el porcentaje de delanteros zurdos y el de delanteros dies-

tros en la gráfica?

Tercera divisiónprofesional de futbol.Relación de menoresnacidos en 1990 o más, por posiciones, al 7 de octubre de 2005.

740 jugadoresregistrados.

Fuente: Revista Futbol Total, 2005.

Medios 35%

Delanteros 30%

Defensas 25%

Porteros 10%


Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar una gráfica circular.

Organización del grupo. En esta sesión se sugieren actividades que se resuelven en equipo, en parejas e individualmente.

Respuestas. a) El 30% de 740 es igual a 222.

b) El 10% de 740 es igual a 74.

Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no sepan cómo modificar la gráfica circular, en cuyo caso conviene que comenten cuáles son sus dudas y continúen resolviendo la sesión, ya que más adelante aprenderán cómo hacerlo.

Posibles procedimientos. Para conocer qué porcentaje representan los 37 delanteros zurdos podrían: - Calcular qué porcentaje representan

del total de jugadores registrados (740), con lo cual obtendrían 5%.

- Calcular qué porcentaje representan del total de delanteros (222), con lo cual obtendrían 17% (redondeando).

Ambos datos son correctos, sin embargo, para hacer el trazo que se pide en la gráfica se deben seguir distintos procedimientos, dependiendo de con cuál de ellos se trabaje.Para trazar la “rebanada” correspondiente a los 37 delanteros zurdos podrían:- Partir la “rebanada” de los delanteros

“a ojo”, dividiéndola en 25% de los derechos y 5% de los zurdos. La idea es acertada pero puede ser inexacta la división, por lo que se le considera un procedimiento incorrecto.

- Partir la “rebanada” de los delanteros (30% del total de jugadores) restándole 17% y trazando “a ojo” 13% resultante. Este procedimiento es incorrecto, porque los delanteros representan el 30% del total de jugadores, y el 17% son los delanteros zurdos del total de delanteros. Para hacer un trazo correcto tendrían que calcular 17% de 108º (es la medida del ángulo central que representa 30%), obteniendo 18º. Esa sería la medida del ángulo central que representa a los 37 delanteros zurdos.

- Trazar el 5% en la “rebanada” de los delanteros. Los delanteros son u W r W p W , ese número se multiplica por 360º (son los grados que mide todo el círculo). La “rebanada” de 5% tendría 18º. También puede calcularse así: hay que dividir los 360º del círculo entre 100 (el porcentaje) para saber cuántos grados tendría 1%, y el resultado multiplicarlo por 5. Los 18º resultantes se trazan en el 30% correspondiente a los delanteros. Estos son procedimientos correctos.

- “Acomodar” una rebanada que represente aproximadamente 5% quitando un poquito a todas las demás. Este procedimiento es incorrecto.

Respuestas. a) Número de jugadores menores nacidos

en 1990 o más, por posición, en la tercera división profesional.

b) Medios.c) Es la cuarta parte de la gráfica.d) Hay 185 defensas y representan la

cuarta parte del total.e) Es 5% (37 de 740).f) 25% (30% menos el 5%).g) 30%.h) Se debe dividir la parte

correspondiente a los delanteros. Ahora el 5% será para los delanteros zurdos (37 es el 5% de 740) y el 25% para los delanteros derechos.


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81

MATEMÁTICAS IA lo que llegamosA la gráfica circular se le llama también de pastel o diagrama de sectores.

Cómo trazar una gráfica circular:

Deporte favorito Frecuencia

Basquetbol 10

Futbol 20

Natación 4

Volibol 6

Total de alumnos 40

• Se calcula la fracción que corresponde a cada una de las preferencias por cada depor-te. Por ejemplo, el basquetbol representa , o sea de los votos totales.

• Se multiplica la fracción por los 360° que corresponden a todo el círculo. Por ejemplo, × 360° = 90°. Ésta es la medida del ángulo central que corresponde a la preferencia de basquetbol. Con este ángulo (90°) se traza el sector circular que representa la cantidad de personas a las que les gusta practicar el basquetbol.

Así, se obtiene el ángulo para cada uno de los demás datos, como se muestra en la tabla:

DeporteCantidad de personas

que lo prefierenFrecuencia relativa

(fracción del círculo)Ángulo central de:

Basquetbol 10 = × 360° = 90°

Futbol 20 = × 360° = 180°

Natación 4 = × 360° = 36°

Volibol 6 = × 360° = 54°

Total 40 = 1 1 × 360° = 360°

• Se traza el círculo y se marcan los ángulos centrales.

• Se nombran las partes de la gráfica.

• Se anota el título de la gráfica circular.

Preferencias de deporte que les gusta practicar

a los alumnos de 1º

Basquetbol 25%

Futbol 50%Natación 10%

Volibol 15%

Sugerencia didáctica. Es conveniente vincular esta actividad con los conocimientos de la secuencia 13 Polígonos regulares para trabajar con los ángulos a los que equivale el porcentaje. Hagan una o dos gráficas circulares con datos de esta misma secuencia para practicar.


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secuencia 23

82

El rating en la televisión

La medida que se utiliza para conocer la aceptación de un programa de televisión por parte de los televidentes se llama rating, y existen diferentes formas de medirlo. Con esta medida las televisoras definen, entre otras cosas, el horario de transmisión de los progra-mas y su duración.

Lo que aprendimos1. En la sesión 3 de la secuencia 22, Tablas de frecuencia absoluta y relativa, comple-

taste la siguiente tabla.

Matrícula en Educación Básica por nivel educativo y por sexo (1992 y 2002)

Año 1992 2002

Nivel educativo Total Porcentaje Total Porcentaje

Preescolar 2 858 890 3 635 903

Primaria 14 425 669 14 857 191

Secundaria 4 203 098 5 660 070

Fuente: SEP, Estadística Básica del Sistema Educativo Nacional. Inicio de cursos 1992-1993.SEP, DGPPP, Subdirección de Análisis Estadístico y Presupuestal 2003.

Balada

Rock

Ranchera

Cumbia

Clásica

ii. Se aplicó una encuesta a un grupo de alumnos, y con los datos obtenidos se elaboró la siguiente gráfica.

a) ¿Qué tipo de música es el que más le gusta a los alumnos?

b) ¿Qué fracción de la gráfica representa?

c) Expresado en porcentaje, ¿cuánto le corresponde?

d) ¿A qué porcentaje de los alumnos de primero les gusta el rock?

e) ¿Qué relación encuentran entre los alumnos a los que les gusta

escuchar la música ranchera y a los que les gusta la cumbia?

f) ¿Qué fracción de la gráfica representa a los que prefieren músi-

ca clásica, si se sabe que es la mitad de los que prefieren música

ranchera?

a) Anota en la tabla los porcentajes que corresponden a cada año.

b) Construye en tu cuaderno las gráficas circulares que representan la información de la tabla.

Tipo de música que prefieren los alumnos de primero.

Respuestas. a) La balada.b) Es wQ .c) Al 50%.d) Al 25%.e) Los sectores son del mismo

tamaño, por lo tanto, la música ranchera y la cumbia les gustan a la misma cantidad de alumnos.

f) Es 5%. Entre la balada y el rock llevamos 75%, el 25% restante se reparte con 10% ranchera, 10% cumbia y 5% clásica.

Propósito del video. Visualizar la construcción de una gráfica circular.

Sugerencia didáctica. Si se suman los porcentajes no se obtiene 100% debido a que se quitan cifras decimales (por ejemplo, el porcentaje que representa la matrícula de preescolar en 1992 es 13.304800984118… pero para manejar con facilidad los datos se suelen anotar sólo las primeras cifras decimales). Coméntelo con los alumnos.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que le entreguen al menos una de las dos gráficas circulares que hagan. Si no son correctas, resuelvan juntos todo este apartado (Lo que aprendimos) para aclarar dudas y hacer correcciones.b) Redondeando, en la gráfica de

1992 pueden tomarse ángulos de 50º, 240º y 70º. En la de 2002 de 54º, 216º y 90º para preescolar, primaria y secundaria, respectivamente.

13.3% 15.05% 67.13% 61.51% 19.56% 23.43%

Matrícula en Educación Básica por nivel

educativo (1992)

20 %13 %

67 %

Preescolar Primaria Secundaria

23 %15 %

62 %

Preescolar Primaria Secundaria

Matrícula en Educación Básica por nivel

educativo (2002)


83

83

MATEMÁTICAS I2. En la secuencia 14, La TV ¿Ventana al mundo o “caja idiota"?, de su libro de Español I,

volumen II realizaron una encuesta sobre el impacto de la televisión en su familia; posteriormente, registraron los datos que reunieron todos los alumnos del grupo en una tabla. Ahora, en su cuaderno deberán utilizar esa información para presentarla en gráficas de barras o circulares, según sea conveniente para dar respuesta a las si-guientes preguntas.

a) ¿Cuántas horas permanece encendido el televisor durante el día?

b) ¿En qué tipo de gráfico es más conveniente presentar esta información?

c) ¿Qué opinan otros compañeros? Si representaron de manera diferente la informa-ción, anoten por qué.

3. Una forma de recolectar datos es apli-cando una encuesta.

a) Utilicen las siguientes preguntas pa-ra encuestar a un grupo de personas (pueden ser sus compañeros de gru-po, todos los estudiantes de su es-cuela o algunas de las personas de su comunidad).

b) Una vez que hayan recopilado los datos, cada equipo deberá presen-tar en una gráfica de barras o circu-lar los resultados de una de las pre-guntas de la encuesta. Si hay más de cuatro equipos en el grupo, no importa que se presenten más de dos gráficas de la misma pregunta. Compárenlas y determinen qué grá-fica es mejor y está más completa.

Para saber más

Consulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Sobre información para conocer otras estadísticas de los jugadores de futbol, consulten: http://www.terceradivision.com.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

Queremos conocer tus intereses

Encuesta de entretenimientoContesten marcando una opción en cada pregunta.

1 ¿Cuál es el tipo de música que te gusta escuchar?a. gruperab. rockc. cumbiad. clásicae. balada

2 ¿Cuál es el tipo de programa que te gusta ver en la televisión?a. noticiasb. comediasc. caricaturasd. musicalese. concursos

3 ¿Cuál es el deporte que te gusta practicar?a. basquetbolb. futbolc. nataciónd. volibol

4 ¿Cuál es el tipo de película que te gusta ver?a. suspensob. terrorc. comediad. dramae. infantil

2

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que organicen los datos obtenidos en una tabla, en la que señalarán la frecuencia relativa y el porcentaje para facilitar la elaboración de la gráfica.


84

secuencia 24

84

En esta secuencia enumerarás los posibles resultados de una expe-riencia aleatoria y utilizarás la escala de la probabilidad entre 0 y 1expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje. Además, esta-blecerás cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificarán su respuesta.

Probabilidad frecuencial Para empezarLa mayoría de las personas nos hemos enfrentado a situaciones en las que hay más de una alternativa y, sin tener preferencia por alguna, hemos dejado que la “suerte” lo decida. En matemáticas, decimos que es una situación de azar o aleatoria, y aunque no podemos asegurar cuál será su resultado, sí podemos determinar los posibles resultados.

Consideremos lo siguienteSi lanzas 10 veces una moneda al aire, ¿qué crees que suceda? ¿Caerán más águilas o más

soles?

Manos a la obrai. Cada integrante del equipo, por turno, lanza una moneda 10 veces al aire. Registren

en la siguiente tabla los resultados de los tres integrantes. Tachen a si cae águila y ssi cae sol.

sesión 1

JugadorNúmero de volado Total por

resultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°

Jugador 1A A A A A A A A A A

S S S S S S S S S S


S S S S S S S S S S


S S S S S S S S S S

Primer juego

Nociones de probabilidad

Propósitos de la secuencia Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y

1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.


1Probabilidad frecuencial Obtener la probabilidad frecuencial expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje.

Interactivos “Lanza monedas”

“La ruleta” Aula de medios

“Probabilidad frecuencial” (Hoja de cálculo)

2Probabilidad clásica Calcular la probabilidad clásica de eventos simples e interpretar la escala de la probabilidad.

Interactivo “Bolsa con canicas”

3Comparación de probabilidades I Explorar y analizar la relación entre la probabilidad frecuencial y la clásica.

Video ¿Qué es más probable?

4

Comparación de probabilidades II Calcular las probabilidades de diversos eventos y distinguir entre ellos cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Eje


Tema

Análisis de la información.

Antecedentes

Durante la escuela primaria los alumnos han realizado experimentos aleatorios, definido el espacio muestral y registrado la frecuencia con la cual se presenta un resultado. Ahora aprenderán a obtener la probabilidad frecuencial y la clásica, y explorarán la relación entre ellas.

Propósito de la sesión. Obtener la probabilidad frecuencial expresada en forma de fracción, decimal y porcentaje.

Organización del grupo. La mayoría de las actividades las resolverán en parejas o en equipos de tres.

3

Propósito de la pregunta. En este punto se busca que los alumnos expresen sus ideas basándose en su experiencia, más adelante trabajarán situaciones que les permitirán conocer algunos aspectos de la probabilidad y el azar.

1

Sugerencia didáctica. En esta sesión, y en general en todas las que tratan temas de probabilidad frecuencial, es muy importante que los alumnos realicen todos los experimentos.

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar posibles resultados de lanzar una moneda.


85

85

MATEMÁTICAS IContesten las siguientes preguntas

a) ¿Cuántas águilas cayeron por jugador?

b) ¿Cuántos soles por jugador?

c) Si vuelven a jugar, ¿creen que obtendrán los mismos resultados?

d) Realicen el juego dos veces más y marquen los resultados de cada torneo.


resultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°


S S S S S S S S S S


S S S S S S S S S S


S S S S S S S S S S


resultado1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°


S S S S S S S S S S


S S S S S S S S S S


S S S S S S S S S S

e) De los tres juegos que realizaron, ¿en cuál obtuvieron más águilas?

f) ¿En cuál obtuvieron más águilas los otros jugadores?

Segundo juego

Tercer juego

3

Propósito de las preguntas. Aunque es posible obtener los mismos resultados, es poco probable que suceda, sin embargo, una vez más la intención es que los alumnos expresen sus ideas sobre la probabilidad en situaciones aleatorias.


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Sugerencia didáctica. Si lo considera útil, recuerde a los alumnos que:- La suma de las frecuencias debe

ser 90 (en este caso). - La suma de las frecuencias

relativas debe ser 1 (en cualquier caso).

- La suma de los porcentajes debe ser 100% (en cualquier caso).

Sugerencia didáctica. Es importante analizar con los alumnos la tabla que llenaron. Hágales notar que en una situación aleatoria la frecuencia relativa es la probabilidad frecuencial.

Propósito de la actividad. Que los alumnos se percaten de lo que sucede cuando se efectúa un experimento o juego de azar (como lanzar una moneda) cuando la cantidad de ensayos o registros (número de lanzamientos) es mayor que en un experimento anterior.

Posibles dificultades. Algunas de las estrategias erróneas más comunes y sistemáticas que presentan los alumnos surgen de situaciones como las siguientes:- Desconocer los efectos de

considerar pocos resultados sobre la precisión de las estimaciones. Por ejemplo, considerar suficientes diez lanzamientos.

- Confiar, sin fundamento, en una predicción basada en información no válida (supersticiones). Por ejemplo, creer que se le puede pasar “buena vibra” a la moneda para que caiga un cierto resultado.

- Creer que la aparición de una racha a favor de un resultado aumenta la probabilidad del contrario. Por ejemplo, creer que si la serie de lanzamientos de una moneda ha sido AAASSSSAAA, en el siguiente lanzamiento debe caer sol.

- Creer que SASASASASA es una serie de volados más probable que la anterior.

secuencia 24

86

h) Calculen la probabilidad frecuencial del evento “caer sol” que obtuvieron en sus primeros 10 lanzamientos.

P (caer sol en el grupo) =Número de veces que cae sol

=Número total de lazamientos 10

g) Consideren los resultados de los tres jugadores y completen la siguiente tabla.

Resultados en el equipo Frecuencia

Frecuenta relativaPorcentaje

Fracción Decimal

Total de lanzamientos 90 1 100%

Caer águila

Caer sol

Recuerda que:

Un experimento ofenómeno es aleato-rio si su ocurrenciapresenta variosresultados posibles yno se puede asegurarcuál de ellos seobtendrá.

Al cociente entre el número de veces que ocurre el evento y el número de veces que se realizó el experimento se le llama probabilidad frecuencial de un evento. Con los resul-tados obtenidos en tu equipo pueden calcular la probabilidad frecuencial de obtener águila o de obtener sol. Se calcula así:P (caer águila en el equipo) = Número de veces que cae águila

Número de lanzamientosP (caer águila en el equipo) se lee: probabilidad de caer águila en el equipo.

P (caer sol en el equipo) = Número de veces que cae sol Número de lanzamientos

ii. Ahora consideren los resultados de todo el grupo.

a) Calculen la probabilidad frecuencial del evento "caer águila" que se obtuvo en todo el grupo.

Resultadosen el grupo Frecuencia

Total delanzamientos

Caer águila

Caer sol

P (caer águila en el grupo) = Número de veces que cae águila =Número total de lanzamientos


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Recuerde que. Si se repite muchas veces un experimento aleatorio en condiciones idénticas, la probabilidad frecuencial se va acercando a la clásica. En el caso de los volados, tenderá a wQ o 0.5 porque en una moneda que no esté “cargada” es igualmente probable que caiga sol o que caiga águila. Sin embargo, la probabilidad frecuencial del evento caer águila en el grupo no necesariamente será igual a wQ .

Respuestas. No necesariamente se obtendrá la misma probabilidad frecuencial, aunque es posible. Además, hay que considerar que se puede obtener la misma probabilidad frecuencial pero quizá la serie de lanzamientos tenga otro comportamiento, es decir, puede ser AAASSSSSAA o SASSSAASAA, por ejemplo.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien en sus cuadernos la información del recuadro.

87

MATEMÁTICAS Ib) Completen la siguiente tabla, escribiendo en forma de fracción, número decimal y

porcentaje la probabilidad frecuencial de los eventos “caer águila en el equipo” y "caer águila en el grupo". Comparen estas probabilidades.

EventoProbabilidad frecuencial

Fracción Decimal Porcentaje

Caer águila en el equipo

Caer águila en el grupo

¿Es mayor la del equipo? ¿Es menor? ¿Es igual?

c) ¿Creen que si repiten el experimento de lanzar 10 veces una moneda obtendrán

la misma probabilidad frecuencial? ¿Por qué?

A lo que llegamosLa probabilidad frecuencial es una medida obtenida de la experiencia de algún fenómeno o experimento aleatorio que permite estimar a futuro un comportamiento. Sin embargo, no es definitiva, por lo que es importante saber interpretar los resultados que se obtienen.

La probabilidad frecuencial de un evento A, que se denotará P(A), se obtiene dividiendo el número de veces que ocurre el evento entre el número total de veces que se realizó el experimento.

P (A) = Número de veces que ocurre el eventoNúmero total de veces que se realiza el experimento

Como el valor de la probabilidad es el de la frecuencia relativa, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que puede expresarse en forma de fracción, número decimal y porcentaje.


88

Respuestas. a) 300 volados.b) 120 veces (300 – 180).c) En el experimento realizado se

lanzaron 300 volados y cayó águila el 60% de las veces, por lo tanto, en 100 volados se esperaría que 60 fueran águila, pero no se puede saber con certeza porque es un experimento aleatorio.

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar los posibles resultados de girar una ruleta.

Sugerencia didáctica. Si resulta difícil construir la ruleta,, pueden hacer el experimento con 6 papeles pintados con los colores de la misma o marcados con el nombre del color. Se ponen los papeles en una bolsa que no sea transparente. En vez de girar la ruleta, se saca un papel y cuando hayan visto el color lo regresan a la bolsa hasta completar 50 extracciones.

secuencia 24

88

Lo que aprendimos1. La siguiente tabla muestra los resultados que se obtuvieron en un grupo al lanzar

una moneda. Con estos datos, contesten las siguientes preguntas.

EventoProbabilidad frecuencial


Caer águila en el grupo = 0.60 60 %

a) ¿En total, cuántos volados se realizaron en el grupo?

b) ¿En total, cuántas veces cayó sol?

c) De acuerdo con la probabilidad frecuencial del evento caer águila obtenida por el

grupo, si se realizan 100 volados, ¿en cuántos caerá águila?

Resultados en el equipo

Evento Conteo FrecuenciaProbabilidad frecuencial


Cae el color azul

Cae el color morado

Cae el color verde

Total 50 100%

2. Elaboren una ruleta como la que se muestra en el dibujo. Pueden ayudarse con el procedimiento para trazar un hexágono de la segunda sesión de la secuencia 13 Polígonos regulares.

Cada integrante del equipo, por turnos, hace girar la ruleta. Para ello pueden desdoblar un clip y colocar un extremo en el centro de la ruleta. Anoten en la siguiente tabla en qué color se detiene. Giren la ruleta 50 veces y completen la siguiente tabla.

Integrar al portafolios. Una vez que los alumnos hayan hecho el experimento, pídales que le den una copia de la tabla. Cada equipo obtendrá frecuencias distintas dependiendo de los resultados del experimento, pero revise que hayan escrito correctamente la probabilidad frecuencial expresada como fracción, como decimal y como porcentaje. Si después de analizar las respuestas de los alumnos considera necesario hacer un repaso, resuelvan juntos el apartado Manos a la obra.


89

Propósito de la sesión. Calcular la probabilidad clásica de eventos simples e interpretar la escala de la probabilidad.

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas y de manera individual.

89

MATEMÁTICAS IPRobabilidad clásicaPara empezarEn la sesión 4 de la secuencia 8, Problemas de conteo, trabajaste con un diagrama de árbol para contar los resultados posibles al lanzar dos dados.

Consideremos lo siguienteEl siguiente diagrama de árbol muestra todos los resultados posibles que pueden obte-nerse al lanzar dos dados.

sesión 2

a) ¿Cuántos resultados diferentes en total puede haber al lanzar dos dados?

Dado B Dado A Dado B

123456

111111

1

Dado A

123456

222222

2

123456

123456

333333

3

123455

444444

4

123456

555555

5

666666

6

123456

123456

123456

123456

123456

123456

Resultados posibles

Respuesta. a) Son todos los resultados que

pueden verse en el diagrama, es decir, 36.

Esos 36 resultados constituyen el “espacio muestral”, o sea, el conjunto de todos los resultados posibles al realizar un experimento aleatorio.


90

Respuesta. b) Es el 7, porque puede obtenerse de

6 maneras distintas: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1).

c) 2 y 12, ya que cada 1 puede obtenerse de 1 sola manera: (1,1) y (6,6), respectivamente.

Propósito de la pregunta. Lo importante aquí es que los alumnos lean y analicen el diagrama, las probabilidades las calcularán después.

Respuesta. Una vez que hayan expresado sus opiniones, puede hacerles notar que un resultado mayor que 7 se obtiene de 15 distintas maneras, y que uno menor o igual que 7 se obtiene de 21 distintas maneras, por lo que no conviene apostar.Conviene apostar a obtener 7. No conviene apostar a obtener 2 o 12.

Respuestas. a) Faltan 13: (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),

(6,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (4,4), (4,5), (4,6), (3,6).

b) Son 15. c) e Q y T d) Hay un solo resultado mediante el

cual se obtiene 12, (6,6).e) 1f) e Q y g) Son 6 resultados: (1,6), (2,5), (3,4),

(4,3), (5,2), (6,1).h) Son 6.i) e Y y

secuencia 24

90

b) Si se hace referencia al evento “la suma de los puntos obtenidos en el lanzamien-

to de dos dados”, ¿qué suma es más probable de obtener?

c) ¿Qué suma tiene menos probabilidades de salir?

d) Si en un juego con dos dados te ofrecen la siguiente apuesta: “Si obtienes de tus dados una suma mayor que 7, ganas; si no, pierdes”, ¿te arriesgarías a jugar?

¿Por qué? ¿A qué suma le apostarías para

tener más seguridad de ganar? ¿A qué suma no le apostarías?


Manos a la obrai. Dos resultados posibles para obtener una suma mayor que 7 son: (2, 6) y (3, 5).

a) Anoten los resultados favorables que faltan

b) ¿Cuántos resultados favorables son?

c) Busquen determinar qué fracción del total de resultados posibles representan.

d) ¿Cuáles son los resultados favorables del evento: “obtener una suma igual que 12al lanzar dos dados”?

e) ¿Cuántos resultados favorables son?

f) ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles?

g) Marquen en el siguiente diagrama rectangular los resultados favorables del even-to: “obtener una suma igual que 7 al lanzar dos dados”.

Sumas que se obtienen al lanzar dos dados

6 7 8 9 10 11 12

5 6 7 8 9 10 11

4 5 6 7 8 9 10

3 4 5 6 7 8 9

2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6Caras del dado A

h) ¿Cuántos resultados favorables son?

i) ¿Qué fracción representan del total de resultados posibles?

Car

as d

el d

ado

B


91

91

MATEMÁTICAS IA lo que llegamosCuando se realiza un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados sencillos posibles recibe el nombre de espacio de eventos o espacio muestral.

Por ejemplo, en el caso de lanzar dos dados, uno azul y otro rojo se lanzan una vez y se anota el número de puntos que aparecen en cada uno. El espacio muestral son todos los resultados sencillos posibles que se presentan en forma de diagrama de árbol.

Si ahora se lanzan dos dados y se obtiene la suma de los puntos que aparecen en cada uno, el espacio muestral es el que se observa en el diagrama rectangular.

Evento(e)

Resultados(dado A, dado B)

Número de resultados favorablesal evento

Probabilidad clásica del eventoP (e)

La suma de las caras de dos dados al caer es mayor que 7

(2, 6), (3, 5) número de resultados favorables =número total de resultados posibles

La suma de las caras de dos dados al caer es igual que 12

número de resultados favorables =número total de resultados posibles

La suma de las caras de dos dados al caer es igual que 7


La suma de las caras de dos dados al caer es menor que 12


La suma de la cara de dos dados al caer es menor que 7


j) Marquen en el mismo diagrama rectangular los resultados favorables del evento: “obtener una suma menor que 7”.

k) ¿Cuántos resultados favorables son?

A lo que llegamosSe llama probabilidad clásica de un evento al número P(e) que se obtiene por medio del cociente:

P (e) = Número de resultados favorables

Número total de resultados posibles

II. Completen la siguiente tabla

Respuestas.j) Son 15 resultados favorables: (1,5),

(1,4), (1,3), (1,2), (1,1), (2,4), (2,3), (2,2), (2,1), (3,3), (3,2), (3,1), (4,2), (4,1), (5,1).

k) e Q y T

Sugerencia didáctica. Si es posible, pida a los alumnos que también expresen la probabilidad con número decimal y mediante un porcentaje.


92

Integrar al portafolios. Revise las respuestas de los alumnos a los incisos del a) al f). Si nota dificultades, copie en el pizarrón la tabla del número II de esta sección y resuélvanla juntos.

Respuestas. a) Hay seis casos favorables para que

el evento “obtener una suma igual a 7” ocurra, mientras que sólo hay un caso favorable para “obtener una suma igual a 12”.

b) Son igualmente probables porque hay 15 posibilidades en cada caso.

c) Obtener una suma igual a 1 no está en el espacio muestral porque no hay casos favorables para tal evento, así que su probabilidad es e P y . La probabilidad de obtener

una suma igual a 6 es e T y .

d) La suma es igual a 13: e P y La suma es número par: e Q y

La suma es igual a 7: e Y y La suma es menor que 13: e E y Y e) 36

f) Cero.

secuencia 24

92

a) Consideren la probabilidad de los siguientes eventos:

¿Qué evento es más probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una suma

igual que 12 o una igual a 7?

b) ¿Qué evento es más probable que ocurra al lanzar dos dados: obtener una suma

mayor que 7 o una menor a 7?

c) Calculen las siguientes probabilidades:

P (la suma es igual que 1) =

P (la suma es igual que 6) =

¿A qué suma no le apostarían?

d) Completen la siguiente tabla calculando la probabilidad clásica de cada evento que se pide.

Evento La suma es igual que 13

La suma es un número par

La suma es igual que 7

La suma es menor que 13

Probabilidad clásica

número de resultados favorablesnúmero total de resultados posibles

e) ¿Cuántos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma sea

menor que 13?

f) ¿Cuántos resultados favorables existen al lanzar dos dados en los que la suma sea

igual que 13?

A lo que llegamosPara obtener la probabilidad clásica de un evento no se requiere de la realización de experimentos, como en la probabilidad frecuencial, sino de conocer dos datos:

El de todos los resultados posibles que se pueden dar en una situa-ción de azar, y el de los resultados favorables de un evento de esa situación:

P (e)= Número de resultados favorables del evento

Número total de resultados posibles

Sugerencia didáctica. Es importante señalar la diferencia entre la probabilidad frecuencial y la clásica. Ambas se refieren a la probabilidad de que un evento ocurra en situaciones aleatorias, pero la frecuencial se obtiene a partir de los resultados de un experimento, y la clásica a partir del análisis de la situación sin realizar el experimento. Sin embargo, se espera que cuando un experimento se repita una gran cantidad de veces, el valor de la

probabilidad frecuencial de un evento se aproxime al valor de su probabilidad clásica. Por ejemplo, el valor de la probabilidad clásica de “obtener una suma igual a 7” es e Y y debido a que hay 6 de 36 formas de obtenerla. Si lanzamos muchas veces 2 dados y reunimos los resultados, el valor de probabilidad frecuencial de obtener una suma igual a 7 debe de aproximarse a e Y y . La notación utilizada es la misma en ambos casos: p(e).


93

Propósito del interactivo. Desarrollar una noción de probabilidad frecuencial al enumerar los posibles resultados de extraer canicas de una bolsa. Comparar las probabilidades clásicas con los datos experimentales.

Respuestas.

a) wQ

b) rW

c) rQ

Propósito de la sesión. Explorar y analizar la relación entre la probabilidad frecuencial y la clásica.

93

MATEMÁTICAS I

Lo que aprendimosEn una urna hay dos canicas blancas y dos negras. Extrae una canica de la urna, anota el color, y devuélvela a la urna; de nuevo extrae una canica y anota su color. De esta forma, dos extracciones sucesivas conducen a uno de estos cuatro resultados:

¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos?

a) Extraer dos canicas negras.

b) Extraer dos canicas de diferente color.

c) Extraer dos canicas blancas.

comParación de Probabilidades iPara empezar¿Qué es más probable?

La comparación de probabilidades permite determinar cuál es la mejor opción que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones de azar.

Consideremos lo siguienteEn una caja hay 10 tarjetas numeradas del 1 al 10.

Si sacas una tarjeta al azar, ¿cuántos resultados posibles hay?

¿Qué probabilidad existe de obtener un número par?


sesión 3

A la probabilidad clásica se le llama también probabilidad teórica.

Cuando el número de resultados favorables de un evento es el mismo que los resultados posibles (espacio muestral), se trata de un evento seguro, y la probabilidad de ese even-to es igual a 1.

Cuando el número de resultados favorables de un evento es 0, es decir, no hay casos favorables, entonces se trata de un evento imposible y la probabilidad de ese evento es 0.

Si el valor de la probabilidad de un evento es un número muy cercano a 0, se dice que ese evento es poco probable, pero si el valor de la probabilidad de ese evento es un número muy cercano a 1, entonces el evento es muy probable.

Propósito del video. Identificar y visualizar situaciones en las que obtienen la probabilidad frecuencial y situaciones en las cuales obtienen la probabilidad clásica.

Propósito de las preguntas. La intención es que los alumnos se vayan familiarizando con el análisis de resultados posibles y con el cálculo de la probabilidad clásica y frecuencial.


94

secuencia 24

94

Recuerden que:

La probabilidad puede expresarse en

forma de fracción, decimal y porcentaje.

Manos a la obrai. Formen equipos de tres integrantes y coloquen tarjetas de papel numeradas del 1 al

10 en una caja o bolsa.

a) ¿Cuáles son las tarjetas que tienen un número par?

b) ¿Cuántas formas existen de obtener un número par?

c) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener un número par?

P (obtener un número par) = resultados favorables de obtener un número par

resultados posibles al extraer una tarjeta

ii. Ahora, cada integrante del equipo saca de la caja una tarjeta numerada y anota el resultado en la siguiente tabla. Luego regresa la tarjeta y repite el experimento otro integrante del equipo hasta que cada quien haya hecho 10 extracciones.

JugadorExtracciones Número de veces

que obtuvieron una tarjeta par 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10°

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

a) En total, ¿cuántas veces obtuvieron una tarjeta con un número par?

b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de este evento?

c) Comparen la probabilidad clásica de obtener un número par y la probabilidad

frecuencial que obtuvieron al realizar el experimento. ¿Son iguales?

¿Cuál es mayor?

Respuestas. a) 2, 4, 6, 8, 10.b) Hay 5 formas (sacando 2, 4, 6…).c) Es q T p .

Sugerencia didáctica. Recuerde que es indispensable que los alumnos realicen todos los experimentos para poder lograr los propósitos de la sesión.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen las diferencias y coincidencias entre la probabilidad clásica y la frecuencial. En general, la probabilidad frecuencial y la clásica en este experimento no van a ser iguales (porque 10 extracciones son muy pocas para que la probabilidad frecuencial se acerque a la clásica). Cuando terminen de contestar las preguntas pídales que expliquen los resultados que obtuvieron y que expresen sus dudas (si las tienen), más adelante podrán aclararlas.


95

95

MATEMÁTICAS IIII. Reúnan los resultados que obtuvieron en su equipo con los de los demás equipos y

completen la tabla.

Equipo Número de veces que se obtuvo una tarjeta con un número par

Número total de extracciones

Total

a) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un número par en

su equipo?

b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de obtener una tarjeta con un número par en

su grupo?

c) Ahora, comparen esta probabilidad con la probabilidad clásica de este evento. ¿Se aproxima la probabilidad frecuencial de este evento a la probabilidad clásica?

d) ¿Cuál de las dos probabilidades frecuenciales, la que obtuvo su equipo o la del

grupo, es más cercana a la de la probabilidad clásica?

IV. Consideren que la urna tiene 20 tarjetas numeradas del 1 al 20 y contesten las si-guientes preguntas.

a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 0?

b) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 10?

c) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número par?

d) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener una tarjeta con un número mayor que 20?

Respuestas. a) Es 1, un evento seguro.

b) w Q p P = wQ c) w Q p P = wQ d) 0, es un resultado imposible.e) No, un resultado favorable

debe “caber” en el número de resultados posibles.


96

secuencia 24

96

e) ¿Se podría dar el caso de que el número de resultados favorables sea mayor que el

número de resultados posibles?

A lo que llegamosLa probabilidad clásica es diferente de la probabilidad frecuencial. Para obtener la probabilidad clásica se consideran las condiciones del experimento. Por ejemplo, en una urna hay veinte tarjetas numeradas del 1 al 20 y se quiere elegir una tarjeta con número impar, entonces la probabilidad clásica es ; y la probabilidad frecuencial se calcula a partir de los resultados que se obtienen al efectuar el experimento. En este caso, si se realizó el experimento 100 veces y 38 veces se sacó una tarjeta con número impar, la probabilidad frecuencial de este evento es:

P (sacar número impar) = = 0.38 = 38%Después de realizar muchos experimentos, la probabilidad frecuencial de un evento se parece a la probabilidad clásica.

Tanto la probabilidad clásica como la frecuencial se pueden expresar utilizando fracciones, decimales y porcentaje.

Lo que aprendimos 1. Indiquen en cada caso si se trata de probabilidad frecuencial o probabilidad clásica:

a) Una bolsa contiene 5 canicas rojas y 7 azules. La probabilidad de sacar una canica

roja es .

b) Se les hace una encuesta a 600 personas para conocer qué bebida prefieren tomar para acompañar su comida; se sabe que 450 prefieren refresco. Se determina que

la probabilidad del evento es .

c) En una feria hay una ruleta como la siguiente:

La probabilidad de caer en el área B es

2

Sugerencia didáctica. Lean esta información. Después revisen sus respuestas a los números II y III del apartado Manos a la obra y aclaren dudas.

Respuestas. a) Clásica, no se realiza el

experimento.b) Frecuencial, sí se lleva a cabo el

experimento.c) Clásica, no se llevó a cabo.


97

97

MATEMÁTICAS I2. En un restaurante hay una rockola que tiene 40 diferentes melodías, las cuales están

clasificadas y distribuidas equitativamente en cuatro diferentes tipos de música:

a) Grupera b) Rock c) Cumbia d) Balada

a) Calculen la probabilidad clásica de que sea seleccionada una melodía de rock.

P (rock) = opciones de elegir música rock

total de opciones de elegir una melodía

En la siguiente tabla se muestra la preferencia con la cual se han seleccionado las melodías a partir del tipo de música al que pertenece.

Tipo de música Grupera Rock Cumbia Balada

Núm. de veces que se tocó 15 24 11 30

Total 80

b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de seleccionar una melodía de música grupera?

P (grupera) = veces que se tocó música gruperanúmero total de melodías que se tocaron

c) Comparen la probabilidad clásica de que sea seleccionada una melodía que perte-nece al género de la música grupera y la probabilidad frecuencial del mismo evento.

¿Son iguales? ¿Cuál es mayor?

d) Calculen las probabilidades que se indican:

Tipo de música Probabilidad clásica Probabilidad frecuencial

Cumbia P (cumbia) = P (cumbia) =

Rock P (rock) = P (rock) =

Balada P (balada) = P (balada) =

Grupera P (grupera) = P (grupera) =

Propósito de la actividad. A diferencia de los anteriores, este experimento no es aleatorio porque no depende del azar sino de la preferencia de cada persona. Por ello, aunque muchas personas elijan en la rockola su música favorita, la probabilidad frecuencial no necesariamente tenderá a la clásica, que en este caso es r Q p P o rQ. .

En esta actividad la intención es que el alumno identifique situaciones relacionadas con la preferencia (de música, candidatos, deportes, etc.) y la probabilidad; es decir, introducir la probabilidad y la estadística de un modo experimental, además de confrontar creencias personales o de carácter determinista con la importancia y utilidad de la estadística para la toma de decisiones con una base racional y objetiva.

Respuestas. a) Como están distribuidas

equitativamente es r Q p P .

b) r Q p T

c) No son iguales. Es mayor la probabilidad clásica ( r Q p P > i Q p T ).

r Q pP iQ pQ

r Q pP iW pR

r Q pP i E pP

r Q pP i Q pT


98

secuencia 24

98

sesión 4 comParación de Probabilidades iiPara empezarCuando has participado en un juego de azar, ¿alguna vez te ha tocado elegir las reglas que rigen el juego? En esta sesión calcularás las probabilidades de diversos eventos y distinguirás cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Consideremos lo siguientePara realizar el siguiente juego se necesitan 4 bolsas no transparentes, 6 canicas rojas y 6 canicas verdes. Hay que distribuir las canicas en las cuatro bolsas como se indica en la figura.

El juego se realiza de la siguiente manera: cada integrante elige una de las cuatro bolsas y extrae, sin mirar, una canica; anota el color que sale. Después regresa la canica a la bolsa y repite hasta tener 20 extracciones. Gana quien haya sacado más veces una cani-ca roja de la bolsa que eligió. Antes de empezar a jugar contesten:

¿Qué creen que sea más probable, extraer una canica roja de la bolsa 1 o de la bolsa 3?

¿Qué bolsas elegirían?

¿Por qué?


Bolsa 1

Bolsa 2

Bolsa 3

Bolsa 4

Propósito de la sesión. Calcular las probabilidades de diversos eventos y distinguir entre ellos cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Organización del grupo. Se sugieren actividades individuales, en parejas y en equipos.

Sugerencia didáctica. Si no tienen a la mano canicas pueden sustituirlas por papeles de colores o blancos con el nombre del color escrito.

3

Propósito de las preguntas. Es muy importante que los alumnos contesten las preguntas antes de realizar el experimento. Se pretende que al responderlas hagan uso de lo que han aprendido sobre la probabilidad clásica, sin embargo, puede ser que en un primer momento no se den cuenta de que es igualmente probable obtener una canica roja en la bolsa 1 y en la 3.

Respuestas. En la bolsa 1 la probabilidad es wQ , y en la 3 es rW , es decir, de ambas es igualmente probable extraer una canica roja. Es mejor elegir la bolsa 2 porque ahí la probabilidad es eW y es mayor que en cualquiera de los otros casos.


99

99

MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Realicen el juego. Usen el siguiente casillero para anotar la letra r si sale roja y la v si

sale verde. Repitan el experimento 20 veces para llenar los casilleros. Recuerden, gana quien haya sacado más veces una canica roja.

Bolsa núm._____________Resultado en cada extracción

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª 20ª

a) Utilicen la siguiente tabla para registrar los resultados que obtuvieron al realizar este juego.

Resultados de 20 extracciones en la bolsa ____________

Color de la canica FrecuenciaNúmero de veces que sale una canica Probabilidad frecuencial

Roja

(r)P (r) = _____________________

Verde

(v)P (v) = _____________________

b) Analicen los resultados obtenidos por todos los integrantes de su equipo. ¿Quién

ganó?

c) ¿Qué número de bolsa utilizó?

d) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de sacar una canica roja en esa bolsa?

e) Consideren los resultados del equipo, ¿qué color de canica salió más veces?

II. Reúnan los resultados del grupo en la siguiente tabla y después marquen con “X” si es verdadero (V) o falso (F) en el cuadrito correspondiente.


100

secuencia 24

100

Total de canicas de color rojo

Equipo Bolsa 1 Bolsa 2 Bolsa 3 Bolsa 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Total de canicas de color rojo

(Frecuencia)

Pro

bab

ilid

adfr

ecu

enci

al d

e sa

car

un

a ca

nic

a ro

ja

Fracción

Decimal

%

a) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 2.

b) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 4.

c) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 4.

d) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 3.

e) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 3.

V F

Sugerencia didáctica. Para responder estos incisos los alumnos deben considerar los resultados de los experimentos que reunieron en la tabla anterior. Cuando hayan terminado, anote en el pizarrón los incisos y contéstenlos considerando ahora la probabilidad clásica. Comparen ambas respuestas y comenten sus diferencias y coincidencias (si las hubo).

Respuestas. Considerando la probabilidad clásica:

a) F, en la 2 la probabilidad es eW , mientras que en la 1 es wQ..

b) V, en la 1 la probabilidad es wQ y en la 4 es eQ .

c) V, porque eW > eQ .

d) F, son igualmente probables.

e) V, porque eW > wQ. .


101

101

MATEMÁTICAS IIII. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa?

Bolsa 1 P (sacar una canica roja) = número total de canicas rojas en la bolsa 1 =

número de canicas en la bolsa 1

Bolsa 2P (sacar una canica roja) =

número total de canicas rojas en la bolsa 2=


Bolsa 3P (sacar una canica roja) = número total de canicas rojas en la bolsa 3 =


Bolsa 4P (sacar una canica roja) = número total de canicas rojas en la bolsa 4 = número de canicas en la bolsa 4

b) De acuerdo con estos cálculos, para ganar el juego, ¿qué bolsa debes elegir?

c) ¿Por qué?

d) Pregúntale a alguno de tus compañeros qué bolsa eligió.

e) ¿En qué bolsas existe la misma probabilidad de sacar una canica roja?

f) ¿Por qué?

A lo que llegamosLa comparación de probabilidades permite determinar cuál es la mejor opción que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones. Así, por ejemplo, en el juego anterior podemos determinar la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa y elegir la bolsa que más nos convenga.

La probabilidad clásica proporciona una información de lo que puede suceder, mientras que la probabilidad frecuencial indica lo que sucedió al realizar el juego.

Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Sobre información para conocer otros juegos de azar consulta:http://www.acanomas.com/Biblioteca.php [Fecha de consulta: 23 de agosto 2007].

Respuestas. La probabilidad clásica en cada bolsa es:

Bolsa 1 y bolsa 3: wQ.

Bolsa 2: eW.

Bolsa 4: eQ.

Sugerencia didáctica. Es posible que en la bolsa 3 algunos alumnos escriban rW . Señale que, como wQ y rW son equivalentes, la probabilidad en ambas bolsas es la misma.

Sugerencia didáctica. Cuando contesten estas preguntas, pida a los alumnos que revisen lo que respondieron en el apartado Consideremos lo siguiente y que corrijan si es necesario.


BLOQUE 4


104

Propósito de la sesión. Conocer e identificar los números con signo.

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, con algunos momentos de intercambio grupal.

1

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos empleen cualquier recurso que les parezca útil para comunicar las ubicaciones de los objetos. La dificultad radica en que hay objetos que están bajo el nivel del mar a la misma distancia de otros que están sobre el nivel del mar (por ejemplo, el buzo y la gaviota), por lo que escribir en el mensaje sólo el número no es suficiente para diferenciarlos. Los alumnos se verán en la necesidad de escribir alguna marca que logre diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y lo que está bajo el mismo. Acepte cualquier tipo de mensaje que cumpla con las condiciones planteadas (no usar palabras, dibujos ni flechas), incluso aquellos en los que aparecieran los signos + y –, pero no los exija.

Sugerencia didáctica. Oriente la discusión hacia la comparación de los recursos empleados para comunicar la ubicación de los objetos. Aunque varios tipos de mensaje hayan podido ser interpretados correctamente, pregunte al grupo cuál les parece más claro, cuál podría crear confusiones y por qué.

104

secuencia 25

En esta secuencia plantearás y resolverás problemas que impliquen la utilización de números con signo.

NivEL dEL marPara empezarExisten situaciones donde además de utilizar los números naturales se requieren otros números, por ejemplo: al calcular los gastos y las ganancias de una tienda, en un termó-metro ambiental, en la línea del tiempo, en metros sobre y bajo el nivel del mar, etcétera.

Consideremos lo siguientePara jugar necesitan organizarse en parejas:

• Todos observen con cuidado la siguiente ilustración.

• Cada pareja escoge cuatro objetos de los que ahí aparecen.

• Cada pareja envía un mensaje por escrito a otra pareja indicando la ubicación de los

cuatro objetos que eligieron. Pero hay una condición: en el mensaje NO SE VALE ES-

CRIBIR PALABRAS NI HACER DIBUJOS O FLECHAS.

• La pareja que recibe el mensaje debe interpretarlo para saber cuáles fueron los obje-

tos que sus compañeros eligieron. Cuando los hayan encontrado, los anotan en el

mensaje y lo regresan a la pareja que lo envió.

• Cuando terminen, revisen si la otra pareja interpretó correctamente. Si hubo equivo-

caciones, deben encontrar en dónde estuvo la falla y corregirla.

Anoten en el pizarrón las distintas maneras que utilizaron para identificar los objetos, decidan cuáles fueron las más adecuadas, o aquellas que les gustaron más, y escriban por qué.

sEsióN 1

Números con signo

Propósitos de la secuencia Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.


1Nivel del mar Conocer e identificar los números con signo.

2Distancia y orden Obtener la distancia entre dos números con signo, ordenarlos y compararlos.

Video Temperaturas ambientales

Interactivo “Temperaturas”

Geografía de México y el

mundo Secuencia 4

3Valor absoluto y simétricos Ubicar números con signo en la recta numérica, obtener su valor absoluto e identificar sus simétricos.

Eje


Tema

Significado y uso de los números.

Antecedentes

En la escuela primaria los alumnos conocieron los números naturales, los fraccionarios y los decimales. En esta secuencia se introducen los números enteros, que por sus características permiten resolver problemas que no tendrían solución con los naturales.


105

105

MATEMÁTICAS I

80 m

600 m

2 m

700 m

50 m

2 m

80 m50 m

700 m

50 m2 m

80 m

600 m

2 m50 m

700 m

60 m

700 m


106

Propósito de la actividad. Los alumnos utilizarán signos no convencionales para diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y bajo éste.

secuencia 25

106

Manos a la obrai. En otra telesecundaria, una de las parejas elaboró un mensaje que fue correctamente

interpretado por otra pareja. Fíjense cómo hicieron:

Objetos que elegimos: Creemos que es el:

700 m Avión

600 m Nubes

0 m Barco

**2 m Pez amarillo

**50 m Buzo

a) Utilicen ese mismo sistema y completen la siguiente tabla.

Ubicación Dibujo

Gaviotas

80 m

Barco

2 m

Peces

**700 m

b) El barco está ubicado al nivel del mar. También hay objetos sobre el nivel del mar (como las nubes) y bajo el nivel del mar (como el submarino).

• ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados sobre el nivel

del mar?

• ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados bajo el nivel del

mar?

• ¿A cuántos metros ubicaron el barco?

Comparen estos mensajes con los mensajes que ustedes elaboraron. ¿Cuáles le parecen más claros y por qué?

Como vieron, hay distintas maneras de comunicar la ubicación de los objetos, sin embar-go, es posible que algunas personas no sepan qué es lo que se quiere decir en un mensaje. Por ello, en matemáticas se representa el nivel del mar con el cero, lo que está sobre el nivel del mar con signo positivo “+” y lo que está bajo el nivel del mar con signo negativo “– “.

Pareja que elaboró el mensaje.

Pareja que recibió el mensaje.

Respuestas. - Los que están sobre el nivel del

mar con una carita.- Los que están bajo el nivel del mar

con dos asteriscos.- El barco lo ubicó a 0 m, es decir, al

nivel del mar.


107

2

Propósito de la actividad. Ahora se pretende que los alumnos empleen los signos convencionales (+ y –) para diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y bajo éste.

Posibles dificultades. Anteriormente, los alumnos utilizaron los signos + y – para denotar una operación (la suma o la resta), y ahora adquieren otro significado que se añade al que ellos ya sabían. Cuando en esta secuencia se escribe +20 no significa que hay que hacer una suma, sino que el 20 es un número positivo (que está del lado derecho de la recta con respecto al 0, o en este ejemplo, que está sobre el nivel del mar). Comente con los alumnos esta cuestión.

Respuestas. Lancha 0 m. Delfín +5 m. Tiburón –5 m.

Propósito de la actividad. Los alumnos han trabajado hasta ahora con la recta numérica para ubicar números naturales, fracciones y decimales. En esta actividad, en la que la recta considera también los números negativos, se espera que utilicen lo que han aprendido con los naturales para ubicar estos nuevos números.

Sugerencia didáctica. Dibuje la recta en el pizarrón y pida a los alumnos que comenten cómo ubicaron los objetos. Haga notar que, a la derecha del cero están los números positivos, y que mientras más a la derecha se encuentre un número, será mayor. Los números negativos están a la izquierda del cero, y mientras más a la izquierda se encuentre un número, será menor. Por eso –22 < –5.

MATEMÁTICAS I

107

II. Completen la siguiente tabla usando los signos + y –, según corresponda:

Objeto Ubicación

Algas marinas a 20 m bajo el nivel del mar − 20 m

Una lancha sobre el nivel del mar

Un delfín que salta 5 m sobre el nivel del mar

Un tiburón que nada a 5 m bajo el nivel del mar

Una roca que sobresale 20 m sobre el nivel del mar + 20 m

III. En matemáticas se usa la recta numérica para ubicar a los números positivos, nega-tivos y al cero. Primero, determinen el lugar del cero (como lo hicieron en la secuen-cia 2), después los números con signo + se ubican a la derecha del cero y los números con signo - se ubican a la izquierda del cero.

Localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la tabla del inciso c). Fíjense que cada división vale 5 unidades.

A lo que llegamosLos números que has utilizado en esta sesión se llaman: números con signo. Pueden ser positivos o negativos, y para diferenciarlos se representan de la siguiente manera:

Números positivos: se ubican a la derecha del cero en la recta numéri-ca y se escriben anteponiéndoles un signo +; por ejemplo, el 5 positi-vo se escribe +5. En el caso de los objetos de la ilustración, los números positivos se utilizan para designar a todo lo que se encuentra arriba del nivel del mar.

−10 m 0 +15 m

+1000 +1 200 +1 300

3

Sugerencia didáctica. Lean la información del recuadro en voz alta. Cuando terminen, pregunte a los alumnos si conocen algún otro caso en el que se utilicen los números con signo. Comente con los alumnos que el signo + se pone para resaltar que el número es positivo y diferenciarlo de uno negativo, pero que dependiendo del contexto, los números positivos también se escriben sin el signo.


108

Propósito de la sesión. Obtener la distancia entre 2 números con signo, ordenarlos y compararlos.

Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, el trabajo es en parejas, con espacios para comentarios grupales.

secuencia 25

108

Números negativos: se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y se escriben anteponiéndoles un signo −, por ejemplo, el 7 negativo se escribe −7. En el caso de los objetos de la ilustración, los números negativos se utilizan para designar a todo lo que se encuen-tra por debajo del nivel del mar.

El cero se escribe sin signo (no se le pone + ni –). En la ilustración, todo lo que se encuentra en el nivel del mar se dice que está a 0 metros.

distaNcia y OrdENPara empezarTemperaturas ambientales

Los termómetros ambientales, como el de la ilustración, miden tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o temperaturas negati-vas. Las temperaturas bajo cero se distinguen porque se escriben anteponiéndoles el signo “–“.

En la secuencia 4 La Tierra: un planeta con vida de tu libro de Geografía de México y del mundo, volumen I estudiaste las diversas características que definen el clima, como la variación de la temperatura. En el desierto, la variación de la temperatura determina las condiciones climáticas extremas que lo caracterizan: en un mismo día puede haber temperaturas máximas de 40 °C y temperaturas mínimas de 2 °C. En este caso hay una variación de 38 °C.

En contraste, las zonas tropicales tienen variaciones de temperatura muy pequeñas: en promedio, las temperaturas máximas pueden ser de 20 °C y las mínimas de 10 °C. La varia-ción de la temperatura es entonces de 10 °C, porque hay 10 grados entre 20 °C y 10 °C.

La variación de la temperatura es un factor que influye tanto en la conservación del equilibrio biológico como en la salud y el bienestar de los seres humanos. Grandes varia-ciones de temperatura pueden ocasionar la extinción de plantas y animales o la pérdida de las cosechas en el campo.

Consideremos lo siguienteEl 4 de noviembre del 2005, el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de hela-das que se esperaban en distintas ciudades para ese día.

sEsióN 2

Ciudad Estado Temperatura máxima (ºC) Temperatura mínima (ºC)

Las Vigas de Ramírez Puebla 26.5 1.0El Saladillo Zacatecas 22.0 -5.0Tepatitlán México 23.5 -4.0

Balcón del Diablo Puebla 26.5 2.5

Tabla 1

+1000 +1 200 +1 300−1 500 −1 200 −100−300−500


109

Propósito del interactivo. Introducir la idea de resta de números con signo, como la variación de la temperatura.

Posibles dificultades. En la comparación de temperaturas negativas y positivas los signos pueden ser motivo de confusión. - Podría ocurrir que los alumnos

dijeran que entre 22 °C y −5 °C hay una variación de 17 °C (porque 22 – 5 = 17).

- También es posible que algunos alumnos piensen que −3 °C es menor que −12 °C porque los comparan como si fueran números naturales (3 < 12).

Permítales utilizar los procedimientos que les parezcan convenientes para responder las preguntas y cerciórese de que más adelante expliquen lo que hicieron, pero si se equivocan no los corrija en este punto, más adelante tendrán oportunidad de rectificar sus errores.

Respuestas.a) La máxima es de 26.5, la mínima es

de 1. La variación es de 25.5 °C.b) La máxima es de 23.5 °C, la

mínima es de −4. La variación es de 27.5 °C.

c) La temperatura de Las Vigas de Ramírez (26.5 °C) es mayor que la de Tepatitlán (23.5 °C).

d) La temperatura de Tepatitlán es menor, porque −4 < 1 (hace más frío a −4 °C que a 1 °C).

MATEMÁTICAS I

109

Con estos datos, contesten las siguientes preguntas (si lo necesitan, se pueden auxiliar del termómetro de la derecha):

a) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Las Vigas de Ramírez?

b) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Tepatitlán?

c) ¿Cuál de las temperaturas máximas que se esperaban en Las Vigas de Ra-

mírez y Tepatitlán es mayor?

d) ¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Tepatitlán y Las

Vigas de Ramírez es menor?

Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.

Manos a la obra I. En una escuela obtuvieron los siguientes resultados:

• En el equipo 1 dijeron que la variación que se esperaba en Tepatitlán es de 19.5 °C, porque 23.5 − 4 = 19.5.

• En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las tem-peraturas y dijeron que la variación es de 27.5 °C, porque es el número de grados que hay entre ambas temperaturas.

a) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 23 °C y −4 °C.

b) Cuenten los grados que hay de −4 °C a 0 °C. Hay grados.

c) Cuenten los grados que hay de 0 °C a 23.5 °C. Hay grados.

d) ¿Cuántos grados hay de −4 ºC hasta 23.5 ºC?

e) ¿De cuánto es la variación de temperatura que se esperaba en Tepatitlán?

f) ¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación correcta?

II. Usando el mismo termómetro, contesten las siguientes preguntas:

a) La temperatura máxima de una ciudad es de 18 °C y la temperatura mí-

nima de −2 °C. ¿De cuánto es la variación de temperatura en esa ciudad?

b) La temperatura mínima de otra ciudad es de −8 °C. Si se sabe que la va-

riación de temperatura es de 12 °C, ¿cuál es la temperatura máxima de

dicha ciudad?

Propósito de las preguntas. Se pretende que los alumnos calculen la variación entre dos temperaturas, una positiva y una negativa, como el número de grados que hay que recorrer para llegar de una a la otra. Para corregir un error que muchos alumnos cometen (que consiste en restarle a una de las temperaturas la otra), se les pide que primero calculen cuántos grados hay desde una de las temperaturas hasta el cero, y del cero a la otra temperatura.

Respuestas. b) 4 °C.c) 23.5 °C.d) 27.5 °C.e) De 27.5 °C.f) El equipo 2.

Respuestas. a) 20 °C. De −2 a 0 hay 2 °C, y de 0 a

18 hay 18 °C. Se suma 2 + 18.b) 4 °C. Sabemos que la variación es

de 12 °C y que hay 8 grados de −8 a 0.


110

Posibles dificultades. En esta actividad las 2 temperaturas que se comparan son negativas, lo que puede hacer pensar a algunos alumnos que la diferencia entre ellas será también un número negativo (por ejemplo, que la variación entre la máxima y la mínima en Anchorage es de −7 °C). Comente con los alumnos que en estas actividades sólo se pregunta cuántos grados hay entre las 2 temperaturas, no se pregunta si la segunda temperatura subió o bajó con respecto a la primera.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos se den cuenta de que para hallar la variación entre 2 temperaturas se deben contar todos los grados que hay entre ellas. Si las temperaturas que se comparan son una positiva y otra negativa, el conteo va a pasar por el cero.Si cree que los alumnos lo necesitan, ponga ejercicios similares, por ejemplo:Encontrar la variación de temperatura entre: 6 °C y −2 °C −12 °C y −4 °C −9 °C y 1 °C 28 °C y 0 °C 24 °C y 7 °CPídales que ubiquen las temperaturas en un termómetro ambiental o en una recta numérica para encontrar el segmento que representa la distancia entre ambas.

secuencia 25

110

iii. En otros países se han registrado las siguientes temperaturas:

Ciudad Estado Temperatura máxima (ºC)

Temperatura mínima (ºC)

Anchorage Alaska (Estados Unidos de América) −6.0 −13.0

Armstrong Ontario (Canadá) −1.0 −9.0

a) En el termómetro de la izquierda, localicen las temperaturas máxima y mínima de Anchorage.

b) ¿Cuántos grados hay de −6 °C a −13 °C?

c) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Anchorage?

d) En el mismo termómetro, localicen las temperaturas máxima y mínima de Armstrong.

e) ¿Cuántos grados hay de −1 °C a −9 °C?

f) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Armstrong?

A lo que llegamos• La variación de temperatura es el número de grados que hay entre

ambas temperaturas.

Por ejemplo, en el termómetro de la izquierda:

Máxima Mínima Diferencia

Ajocucar 29.0 −2.5 31.5

• La variación de temperatura también la podemos ver como la distancia que hay entre dos números en una recta numérica horizontal.

Por ejemplo: entre el −4 y el 8 hay una distancia de 12, como lo mues-tra la ilustración.

Es decir, la distancia entre dos números es la longitud del segmento que los une.

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

12


111

MATEMÁTICAS I

111

IV. De las temperaturas mínimas de Tepatitlán y Las Vigas de Ramírez dos alumnos dicen lo siguiente:

• Dulce dice que Las Vigas de Ramírez tiene la menor temperatura, porque 1es menor que 4.

• Consuelo dice que Tepatitlán tiene la menor temperatura, porque −4 °C está abajo de 1°C.

a) ¿Quién creen que tiene la razón?

b) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 12 °C y 2 °C.

c) ¿Cuál de las dos es menor?

La temperatura 2 °C está debajo de 12 °C y es la menor de ellas.

d) En el mismo termómetro, ubiquen las temperaturas mínimas de Las Vigas de Ramírez y Tepatitlán.

e) ¿Cuál de las dos temperaturas está debajo de la otra?

f) ¿Cuál de las dos es menor?


A lo que llegamos• Al comparar dos temperaturas en un termómetro, siempre es mayor aquella que está

más arriba.

Por ejemplo:

a) 22 °C es mayor que 3 °C. b) 2 °C es mayor que −10 °C. c) −5 °C es mayor que −35 °C.

• Al comparar dos temperaturas en la recta numérica, siempre es mayor aquella que está más a la derecha.

Por ejemplo:

a) +9 es mayor que +2. b) +5 es mayor que −10. c) −3 es mayor que −15.

−10 0 +9+5+2−15 −3

Respuestas.a) Consuelo tiene razón. Otra manera

de verlo es preguntarse a qué temperatura hace más frío: a 1 °C o a −4 °C.

c) 2 °Ce) −4 °C está por debajo.f) −4 °C es menor.


112

Propósito de la pregunta. Ahora ya no se habla de comparar temperaturas sino números. Se pretende que el alumno pueda aplicar los conocimientos que adquirió con los termómetros y las rectas para comparar cualquier par de números con signo.

Integrar al portafolios. Que los alumnos le entreguen en una hoja aparte los resultados que obtuvieron en los números 1 y 2.

Respuestas.1.

a) 16b) 16c) 8d) 18

2.a) 6b) 8c) 4

3.a) Mayor que >b) Menor que <c) Mayor que >

secuencia 25

112

Lo que aprendimos1. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números?

2. ¿Que distancias hay entre...

3. Escriban mayor que (>) o menor que (<) según corresponda. Ayúdense con la recta numérica.

VaLOr aBsOLUtO y simétricOsPara empezar

La distancia de un número al cero es la longitud del segmento que va del cero al número. A esta longitud se le llama valor absoluto, y se representa por medio de dos barras paralelas

Por ejemplo: Entre el –8 y el 0 hay un segmento de longitud 8.

Entre +9 y el 0 hay un segmento de longitud 9.

El valor absoluto de –8, se escribe –8 = 8. El valor absoluto de +9, se escribe +9 = 9

Consideremos lo siguienteEn la siguiente recta numérica se han ubicado algunos números.

a) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −6.5?

b) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que + ?

c) ¿Cuáles números tienen valor absoluto 5?

Comparen sus respuestas y comenten sus procedimientos.

sEsióN 3

−10 0−16 −14 −12 −8 −6 −4 −2 +8+2 +4 +6 +10 +12 +14

a) −6 y +10 b) +10 y +26 c) −9 y −1 d) −15 y +3

a) −6 y 0? b) 0 y +8? c) −4 y 0?

a) +14 +6 b) −9 +5 c) −4 −15

+9−8 0

8 9

−5 0−8 −7 −6 −4 −3 −2 −1 +4+1 +2 +3 +5 +6 +7+6.5−6.5 − +

Propósito de la sesión. Ubicar números con signo en la recta numérica, obtener su valor absoluto e identificar sus simétricos.

Organización del grupo. Pida a los alumnos que trabajen en parejas.

Respuestas.a) Si el valor absoluto es la

distancia de un número al cero, entonces es el +6.5.

b) − wQ c) +5 y −5


113

MATEMÁTICAS I

113

A lo que llegamos• El valor absoluto de números positivos y negativos siempre es un número positivo.

Por ejemplo: –12.5 = 12.5 y +12.5 = 12.5• Dos números que están a la misma distancia del cero

se llaman números simétricos entre sí.

Por ejemplo: +2 y –2 son números simétricos entre sí.

Manos a la obraI. Sobre el anterior inciso c):

• Pablo dice que el único número cuyo valor absoluto es 5 es el número +5• Delia dice que son dos números: el +5 y el −5

a) ¿Con quién de los dos están de acuerdo? ¿Por qué?

b) ¿Cuál es la distancia del −5 al cero?, ¿y del +5 al cero?

c) ¿Qué números tienen como valor absoluto 5?

II. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que +20?

b) ¿Qué valor absoluto tienen los números +13 y −13?

c) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −9.5?

Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. "Nú-meros enteros" en Una ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

Luz María Marván. "Números simétricos", "Números con signo", "¿Mayor o menor?" y “El valor absoluto” en Representación numérica. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

III. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el número simétrico del +6?

b) ¿Cuál es el número simétrico del −35?

c) ¿Cuál es el número simétrico del −13.9?

d) ¿Cuál es el número simétrico del +26.1?

e) ¿El número + y el − , son simétricos?

f) ¿Cuál es el número simétrico del − ?


+20

2

−2

2

Sugerencia didáctica. Lean juntos esta información y comente a los alumnos que, como el valor absoluto es la distancia a la que está un número con respecto al cero, y no en qué dirección está, el valor absoluto nunca puede ser un número negativo. Pregunte a los alumnos: ¿Cuál es el valor absoluto del cero, es decir, a qué distancia está el cero del cero? La respuesta es “a cero unidades”, por lo tanto, su valor absoluto es cero.


114

Propósitos de la sesión. Explorar la segunda potencia o el cuadrado de un número a partir de la obtención de la medida del lado de un cuadrado que mide un área determinada. Identificar la raíz cuadrada de un número A como el número que multiplicado por sí mismo da A. Identificar el cuadrado de un número y la raíz cuadrada como operaciones inversas.

Organización del grupo. Se recomienda trabajar en parejas, a excepción del apartado Lo que aprendimos, que puede resolverse de manera individual.

Materiales. Una calculadora por alumno o por pareja.

Propósito de la actividad. Se les plantea el reto: ¿cuál será la medida del lado de un cuadrado cuya área es igual a 18 cm2? Dado que esa medida no es exacta, la tarea consiste en encontrar un número que multiplicado por sí mismo dé 18.

Sugerencia didáctica. Respecto al inciso e), algunos alumnos podrían afirmar que no existe un cuadrado con esa área, pues con 4 cm obtienen 16 cm2 y con 5 cm, obtienen 25 cm2. Invítelos a probar utilizando también números decimales. Lo más probable es que prueben con varios números buscando aquel que más se aproxime a 18 cm2. Durante la comparación de resultados pida a los alumnos que identifiquen qué medida se acerca más al número buscado.

Respuestas a) 4 cm2 (lado por lado = 2 × 2).b) 9 cm2. c) 4 cm.d) 5 cm.e) Sí existe, y la medida de sus lados es de

4.2426 cm aproximadamente.

Propósito de la actividad. Que los alumnos constaten que sí existe un cuadrado con esa superficie y que verifiquen la longitud de los lados midiendo.

Respuestas. a) El cuadrado blanco tiene 6 cm por lado. Su área es de

36 cm2. Al trazar los cuatro triángulos azules pueden darse cuenta de que son triángulos rectángulos isósceles, y de que su base y su altura miden 3 cm. También podrían considerar como base a la hipotenusa y medir la altura.

b) El área de cada triángulo es de 4.5 cm2.c) El cuadrado azul está formado por los cuatro

triángulos. Su área es de 18 cm2.d) La medida está entre 4.2 o 4.3 cm. Es importante

que consideren que se trata de una aproximación. e) Si utilizan la medida de 4.2, el área es de

17.64 cm2, y si utilizan la medida de 4.3, el área es de 18.49 cm2. En el primer caso nos falta, en el segundo caso nos pasamos. Es decir que la medida real de cada lado debe ser un valor entre 4.2 y 4.3.

114

secuencia 26

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural, ambas de números naturales y decimales.

Cuadros y más CuadrosPara empezarEn la secuencia 4 de Matemáticas I encontraste la expresión algebraica de la fórmula del cuadrado. Si el lado del cuadrado mide , entonces su área a se calcula con la expresión: a = × . En esta sesión, estudiarás cómo encontrar la medida del lado del cuadrado a partir de su área.

Consideremos lo siguienteCalculen:

a) ¿Cuál es el área de un cuadrado que tiene lados que miden 2 cm?

b) ¿Cuál es el área de un cuadrado que tiene lados que miden 3 cm?

c) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene 16 cm2 de área?

d) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene 25 cm2 de área?

e) ¿Creen que exista algún cuadrado de 18 cm2 de área? ¿Cuánto medi-

rían sus lados?

Expliquen y comprueben sus respuestas en su cuaderno.


Manos a la obrai. En la ilustración hay un cuadrado blanco

cuyos lados miden 6 cm; dentro del cua-drado blanco hay un cuadrado azul.

a) Calculen el área del cuadrado blanco

sesión 1

Raíz cuadraday potencias

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente

natural, ambas de números naturales y decimales.


1

Cuadros y más cuadros Explorar la segunda potencia o el cuadrado de un número a partir de la obtención de la medida del lado de un cuadrado que mide un área determinada. Identificar la raíz cuadrada de un número A como el número que multiplicado por sí mismo da A. Identificar el cuadrado de un número y la raíz cuadrada como operaciones inversas.

Aula de medios “Cuadros y más

cuadros” (Hoja de cálculo)

2Cálculo de raíces cuadradas Calcular mediante aproximaciones la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto.

Video Los babilonios y la raíz

cuadrada Interactivo

“Método babilónico”

3

¿Cuántos tatarabuelos? Resolver problemas que impliquen el cálculo de las potencias de exponentes naturales de números naturales. Identificar la raíz cúbica de un número A como el número que tiene tercera potencia igual a A, y la raíz cuarta de un número A como el número que tiene cuarta potencia igual a A.

Interactivo “Diagrama de árbol”

Eje


Tema


Antecedentes

Es la primera vez que los alumnos estudian estas operaciones; sin embargo, el contexto en el que se abordan (cálculo del área de cuadrados) es bastante conocido por ellos, lo que les permitirá hacer uso de sus conocimientos previos para iniciar el estudio de este tema.


115

115

MATEMÁTICAS ITracen las diagonales del cuadrado azul. Van a obtener cuatro triángulos azules iguales.

b) Calculen el área de cada triángulo azul.

c) Calculen el área del cuadrado azul.

d) ¿Cuánto miden los lados del cuadrado azul?

Midan con su regla.

e) En sus cuadernos, comprueben la medida que obtuvieron para el lado del cuadra-do azul aplicando la fórmula del área: A = ×

¿Qué valor del área encontraron usando la fórmula?


a) De los valores del área que encontraron usando la fórmula, ¿cuál es el que más se aproxima a 18 cm2?

b) ¿Cuál es la mejor aproximación que encontraron para la medida del lado del cuadrado?

II. Llenen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida del lado del cuadrado de área 18 cm2:

Medida del lado (cm)

Área (cm2)

1 1

2

3

16

5

36

4.5

4.2

4.3

4.25

a) ¿Cuál es el valor más aproximado que encontraron para la medida del lado del

cuadrado?

b) ¿Podrían encontrar un valor más aproximado? ¿Cuál?


Recuerden que:

El área de un

triángulo con

medida de la altura

a y medida de la

base b se calcula:

A = b × a

2

Sugerencia didáctica. El área del cuadrado azul es de 18 cm2; por lo tanto, sí existe un cuadrado con esa área. Pida a los alumnos que revisen lo que respondieron en el inciso e) del apartado Consideremos lo siguiente. Solicite a las parejas que registren en el pizarrón la medida que encontraron para los lados del cuadrado azul y el área que obtienen con esa medida (esto puede hacerse en una tabla que usted previamente puede trazar en el pizarrón). Pídales que identifiquen cuál es la medida que se aproxima más a la longitud del lado del cuadrado para que el área sea de 18 cm2.

Propósito de la actividad. La tabla sirve para ir encontrando los valores del lado del cuadrado que hacen que el área se vaya aproximando a 18 cm2.

Respuestas. El valor de la tabla que más se aproxima es 18.0625, que corresponde a 4.25 cm por lado. Sin embargo, es posible hallar valores que se aproximen más a la medida buscada.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que, con la ayuda de la calculadora, encuentren uno o dos valores que se aproximen más a la medida del lado. Usted puede hacerles notar que el valor debe estar entre 4.2 y 4.25; asimismo, puede comentarles que el valor exacto tiene una cantidad infinita de cifras decimales, por lo que siempre se toma una cantidad aproximada.

4 9 4 25 6 20.25 17.64 18.49 18.0625


116

Sugerencia didáctica. Antes de que las parejas busquen la medida del lado del cuadrado, pida al grupo que estimen una respuesta. Algunas de esas estimaciones pueden ser registradas en el pizarrón para que después verifiquen qué tanto se acercaron a la respuesta.

116

secuencia 26iii. ¿Creen que exista algún cuadrado de 32 cm2 de área? ¿Cuánto medi-

rían sus lados?

a) Completen la siguiente tabla para encontrar valores aproximados a la medida de sus lados.

Medida del lado (cm)

Área(cm2)

5 25

5.5

5.6

5.7

6

b) La medida del lado de este cuadrado está entre 5.6 cm y 5.7 cm. ¿Con qué valor

continuarían la tabla para encontrar un valor que se aproxime más a la medida del

lado de este cuadrado?

c) Hagan la comprobación. ¿Qué valor del área encontraron?

Comparen sus respuestas y hagan la comprobación.

A lo que llegamos• Para calcular el área de un cuadrado, conociendo la medida de su

lado , se multiplica la medida del lado por ella misma: ×

En general, cuando se multiplica un número por él mismo, por ejemplo y × y, se dice que se calcula la segunda potencia o el cuadrado del número. Esto se escribe: y2

Por ejemplo, al calcular 5 × 5, se dice que se está calculando 5 a la segunda potencia o el cuadrado de 5, y se escribe 52. O sea:

5 × 5 = 52 = 25• Al calcular el lado de un cuadrado a partir de su área se dice que se

calcula la raíz cuadrada del área. En general, la raíz cuadrada de un número A es el número que multiplicado por él mismo da A.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 16 es 4, porque 4 × 4 = 16. La raíz cuadrada de 16 se escribe: 16

Sugerencia didáctica. Se puede continuar la exploración hasta con tres cifras decimales. Los valores más aproximados son 5.65 y 5.66. Usted puede preguntar a todo el grupo si pueden decirle algunos números entre estos dos y cuáles de ellos son mejores opciones para la medida del lado. Los más aproximados son 5.656 y 5.657.

2

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que lean la información y que respondan en sus cuadernos las siguientes preguntas:- ¿Cómo se calcula la segunda

potencia o el cuadrado de un número?

- ¿Cómo se representa el cuadrado de un número? Dar algunos ejemplos.

- ¿Qué es la raíz cuadrada de un número? Dar ejemplos.


117

Sugerencia didáctica. Esta tabla puede servir para que los alumnos utilicen la tecla de la raíz cuadrada en la calculadora. También pueden ubicar la tecla que sirve para elevar al cuadrado y no sólo multiplicar a cada número por sí mismo.

117

MATEMÁTICAS IIV. Llenen la siguiente tabla:

Número Cuadrado del número2

7

64

9

100

11

132.25

12

169

196

15

240.25

16

A partir de la información de la tabla anterior, relacionen las dos columnas:

(a) ¿Cuál es el área del cuadrado cuyos lados miden 13 cm? ( ) 144

(b) ¿A cuánto es igual 240.25? ( ) 225 cm2

(c) ¿A cuánto es igual 122? ( ) 15.5

(d) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 169? ( ) 15

(e) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 15 cm? ( ) 169 cm2

(f) ¿A cuánto es igual 225? ( ) 13

Comparen sus respuestas y hagan las comprobaciones.

Pueden usar calcula-

dora para hacer y

verificar sus cálculos.

A lo que llegamosEl cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas. Esto quiere decir que si a un número se le aplica una operación y después la otra, se obtendrá el número original.

Por ejemplo, el cuadrado del número 15 es: 152 = 15 × 15 = 225Y la raíz cuadrada del número 225 es: 225 = 15

49 8 81 10 121 11.5 144 13 14 225 15.5 256

cebfad

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien la información en sus cuadernos y que presenten ejemplos distintos a los que ahí se ofrecen. Además, usted puede recordarles las operaciones inversas que ya conocen: suma y resta, multiplicación y división.


118

Integrar al portafolios. Respuesta.1. Si consideran hasta con dos cifras

decimales, es 1.41, si consideran cuatro cifras decimales, es 1.4142; pida a los alumnos que registren las distintas operaciones que efectuaron, ya sea que las hayan hecho con calculadora o con lápiz y papel.

Propósito de la sesión. Calcular mediante aproximaciones la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto.


Propósito de la actividad. Presentar a los alumnos un procedimiento para calcular la raíz cuadrada de un número, en el contexto del área de un cuadrado: al calcular la raíz cuadrada de un número estamos buscando la medida del lado de un cuadrado del que se conoce el área.

Propósito del video. Visualizar la aplicación del método babilónico en el cálculo de raíces cuadradas de distintos números.

118

secuencia 26

Lo que aprendimos1. En tu cuaderno encuentra una aproximación para la medida del lado de un cuadrado

de área 2 cm2.

2. Relaciona las dos columnas.

(a) ¿Cuál es el área del cuadrado cuyos lados miden 10 cm? ( ) 196

(b) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 196? ( ) 100 cm2

(c) ¿Cuánto es 142? ( ) 11.5

(d) ¿Cuánto es 256? ( ) 16

(e) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyos lados miden 7 cm? ( ) 49 cm2

(f) ¿Cuánto es 132.25? ( ) 14

CálCulo de raíCes CuadradasPara empezarLos babilonios y la raíz cuadrada

Existen varios métodos para calcular la raíz cuadrada de un número. En esta sesión aprenderán un método que fue inventado por los antiguos babilonios.

Para obtener la raíz cuadrada de 32 con el método babilónico, se siguen los siguientes pasos:

sesión 2

1. Se escogen dos números que multiplicados den 32. Por ejemplo, 8 y 4.

2. Se construye un rectángulo de área 32 cm2

y lados 8 cm y 4 cm (rectángulo rojo).

A partir de ahora se encuentran rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado de área 32 cm2 . Vean cómo se hace esto:

3. Se promedian las medidas de los lados del rectángulo:

8 cm + 4 cm = 6 cm 2

4 cm

8 cm

c

a

f

d

e

b

Sugerencia didáctica. Antes de revisar cada uno de los pasos del método babilónico, comente al grupo que se va a buscar la medida del lado de un cuadrado cuya área es de 32 cm2. Pida al grupo que haga una estimación de la posible medida del lado del cuadrado (la respuesta es entre 5 y 6 cm). Posteriormente, una vez que hayan revisado el método babilónico, tendrán oportunidad de verificar su respuesta.

Propósito de la actividad. El método de los babilonios considera un rectángulo con un área determinada, al cual gradualmente se modifican las medidas de sus lados –conservando el área–, de manera tal que cada vez se acerca más a un cuadrado.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, recuerde a los alumnos que el procedimiento para encontrar un promedio (paso número 3) consiste en sumar los valores y luego dividir esa suma entre el número de valores que se están promediando.


119

Respuesta. Se divide 32 entre 6. Es igual a 5.333333… Si se toman sólo dos cifras decimales, es 5.33.

Sugerencia didáctica. Usted puede pedir a los alumnos que resuelvan la ecuación que se les plantea:6x = 32x = 32 ÷ 6x = 5.333

Respuestas. Se obtiene:5.6652 = 32.0922255.6482 = 31.899904El primer número es el que más se acerca a la raíz cuadrada de 32.

119

MATEMÁTICAS I 4. Se construye otro rectángulo (más parecido a un cua-

drado) que tenga un lado que mida 6 cm, ¿cuánto debe medir el otro lado para que el área del rectángulo sea 32 cm2? . Con estas medidas se construyó el rectángulo azul.

Observen que:

El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la me-dida de sus lados. Entonces, si conocen el área (32 cm2)y la medida de uno de los lados (6 cm) la medida del otro lado (x cm) se puede obtener resolviendo la ecua-ción: 6x = 32

5. Se vuelven a promediar las medidas de los lados del rec-tángulo:

6 cm + 5.33 cm = 5.665 cm 26. Se construye otro nuevo rectángulo (rectángulo anaran-

jado) que tenga un lado que mida 5.665 cm y otro que mida 32 entre 5.665, es decir 5.648 cm.

Se puede seguir con esta construcción y acercarse cada vez más al valor exacto de la raíz de 32. Por el momento, se deten-drá aquí el proceso para observar que el rectángulo anaranjado es casi un cuadrado. Sus lados miden: 5.665 cm y 5.648 cm.

Calculen (pueden usar una calculadora):

5.6652 =

5.6482 =

¿Cuál de los dos números es una mejor

aproximación a 32 ?

Los lados del rectángulo azul midieron 6 cm y 5.33 cm. Calcu-len (pueden usar calculadora):

62 =

5.332 =

Comenten:

¿Qué rectángulo da mejores aproximaciones a 32 , el azul o

el anaranjado?

Recuerden que:

Para hacer sus cálculos pueden

usar aproximaciones.

Por ejemplo, al hacer la división

32 ÷ 6 pueden usar el número

decimal 5.33 o 5.333

6 cm

Área 32 cm2

5.665 cm

Área 32 cm2

X

x

Respuesta. El rectángulo anaranjado es el que más se aproxima.

Sugerencia didáctica. Entre todo el grupo pueden realizar una aproximación más si se promedia 5.665 y 5.648


120

Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, procure estar pendiente de cómo lo hacen y apóyelos si tienen dificultades. Particularmente, sugiérales que revisen nuevamente cada uno de los pasos que se describen en el caso anterior.

Respuesta. Aproximadamente 2.701.

Sugerencia didáctica. Usted puede pedir a algunas parejas que vayan indicando las medidas de los lados de cada uno de los rectángulos que encontraron.

Propósito de la actividad. Que de manera individual, los alumnos ejerciten el método babilónico para obtener la raíz cuadrada de un número. Los alumnos pueden recurrir a los ejercicios anteriores en caso de que tengan dudas o dificultades para resolver este ejercicio.

Propósito del interactivo. Obtener la aproximación de la raíz cuadrada de un número por medio del método babilónico.

120

secuencia 26

Consideremos lo siguienteCon el método babilónico se puede calcular la raíz cuadrada de cualquier número. Si-guiendo los pasos de este método, calculen la raíz cuadrada de 7.3Pueden usar su calculadora para hacer las operaciones que se indican y una regla para hacer los dibujos de los rectángulos.

1. Se escogen dos números que multiplicados den 7.3Háganlo con 1 y 7.3

2. Dibujen en sus cuadernos un rectángulo de lados 1 cm y 7.3 cm.Ahora van a encontrar rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado.

3. Obtengan el promedio de 1 cm y 7.3 cm, ¿cuánto es?

Éste es uno de los lados del nuevo rectángulo.

4. ¿Cuánto mide el otro lado del rectángulo?

Para encontrar esta medida pueden resolver la ecuación: 4.15x = 7.3Dibujen en sus cuadernos un rectángulo que tenga las medidas que acaban de encontrar.

Pueden seguir con el método para encontrar rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado de área 7.3 cm2

5. Obtengan el promedio de 4.15 cm y 1.759 cm, ¿cuánto es?

Éste es uno de los lados del otro rectángulo.

6. Si saben que 7.3 ÷ 2.95 es aproximadamente 2.474, ¿cuánto mide el otro lado del nuevo rectángulo?

Dibujen en sus cuadernos un rectángulo que tenga las medidas que acaban de encontrar.

7. Encuentren el siguiente rectángulo y dibújenlo en sus cuadernos.

Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del método babilónico. Co-menten:

¿Cuánto es 7.3 ?

Manos a la obrai. Calcula por pasos la raíz cuadrada de 10 con el método babilónico.

1. Se escogen dos números cuya diferencia sea la menor posible y cuyo producto sea igual a 10, es decir, el 2 y el 5.

Observa que:

Podrías escoger el 1 y el 10, pero los lados del rectángulo serían muy distintos: medirían 1 cm y 10 cm. En cambio, si escoges 2 y 5, el rec-tángulo que obtienes se parece más a un cuadrado.

2. Se construye un rectángulo de área 10 cm2 y lados 2 cm y 5 cm(rectángulo morado).

2 cm

5 cm

Área 10 cm2


121

121

MATEMÁTICAS ISe construye otro rectángulo de área 10 cm, pero más parecido a un cuadrado.

3. Se obtiene el promedio entre 2 y 5, sumando 2 más 5 y dividiendo entre 2.

El promedio es: . Éste es uno de los lados del

nuevo rectángulo (rectángulo azul).

4. Si sabes que 10 ÷ 3.5 es aproximadamente 2.86, ¿cuánto mide el otro

lado del nuevo rectángulo?

El método se puede continuar para aproximar mejor 10 , encontrando rectángulos de área 10 cm2 cada vez más parecidos a un cuadrado.

Calcula:

2.862 =

3.52 =

¿Qué número usarías para una mejor aproximación de 10 ?

Comparen sus aproximaciones. ¿Cuál es la mejor?

Lo que aprendimos1. En tu cuaderno, calcula la raíz cuadrada de 18. Obtén 3 rectángulos de área 18 cm2

siguiendo los pasos del método babilónico.

2. Completa la siguiente tabla para calcular la raíz cuadrada de números enteros y de-cimales. Si el resultado es un número decimal, utiliza sólo dos cifras decimales para tus respuestas. Puedes usar una calculadora.

Número Raíz cuadrada

25

1

0.1

0.25

a) ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo lado tiene 0.1 cm de longitud?

b) ¿Cuál es la longitud del lado de una figura de 0.25 cm2 de área?

Área 10 cm2

Sugerencia didáctica. En cada uno de los pasos siguientes usted puede pedirles que dibujen los rectángulos en sus cuadernos.

Respuestas. 2.862 = 8.17963.52 = 12.25

Respuesta. Una buena aproximación con cuatro cifras decimales es 3.1622.

Sugerencia didáctica. Puede pedir a algunos alumnos que encuentren todavía una o dos aproximaciones mejores. Esto debe hacerse utilizando más cifras decimales en los resultados.

Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos aún tienen dificultades para encontrar la raíz cuadrada de un número con el método babilónico, revise con ellos cada uno de los pasos tomando este caso como ejemplo. Recuerde que no se trata de que los alumnos sean expertos en el manejo de este método, pues hay otros recursos, como la calculadora, que en ciertas circunstancias permiten obtener resultados de manera más rápida y segura; el propósito es que comprendan qué implica buscar la raíz cuadrada de un número.

Respuesta. El primer rectángulo puede ser de 3 × 6. Una buena aproximación es 4.2426.

Respuestas.a) 0.01 cm2. b) 0.5 cm.Recomiende a los alumnos que utilicen la calculadora para verificar sus resultados.

5

1

0.01

0.5


122

Propósitos de la sesión. Resolver problemas que impliquen el cálculo de las potencias de exponentes naturales de números naturales. Identificar la raíz cúbica de un número A como el número que tiene la tercera potencia igual a A, y la raíz cuarta de un número A como el número que tiene cuarta potencia igual a A.

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan de manera individual.


Respuesta. Una persona tiene 2 papás, 4 abuelos, 8 bisabuelos y 16 tatarabuelos.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que registren en sus cuadernos la forma en que encontraron la respuesta. Pueden apoyarse con operaciones o con elementos gráficos.

Respuestas.a) 32b) 64c) 128d) La segunda multiplicación (el 2

se multiplica 7 veces). Puede pedir a los alumnos que realicen las multiplicaciones para comprobar el resultado.

122

secuencia 26

¿Cuántos tatarabuelos?Para empezarUn árbol genealógico es una representación gráfica de la historia familiar de una persona. En un árbol genealógico aparecen los antepasados de cada persona, es decir, sus pa-dres, abuelos, bisabuelos (padres de los abuelos), tatarabuelos (padres de los bisabuelos), etc. Diremos que los padres son la primera generación de antepasados, que los abuelos son la se-gunda generación de antepasados, etcétera.

Consideremos lo siguienteEn una familia, los bisabuelos son los papás de los abuelos, y los tatarabuelos son los papás de los bisabuelos. ¿Cuántos tatarabuelos hay en el árbol genealógico de una persona?

Manos a la obrai. El siguiente árbol genealógico puede servir para encontrar cuántos tatarabuelos

tiene una persona. Copien el árbol en sus cuadernos y dibujen a los tatarabuelos.

¿Cuántos son?

Bisabuelos

Abuelos

Padres

Persona

a) Si quieren continuar con el árbol genealógico, ¿cuántos antepasados habría en la

siguiente rama hacia arriba? Es decir, ¿cuántos antepasados hay en la quinta ge-

neración? . Dibújenlos en sus cuadernos.

b) ¿Cuántos antepasados de la sexta generación tiene una persona?

c) ¿Y cuántos antepasados tiene en la séptima generación?

d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones les permite encontrar el número de ante-pasados de la séptima generación?

• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Comparen sus respuestas y expliquen cómo las encontraron.

sesión 3


123

Respuestas.a) De cada uno de los nietos deben

salir tres ramas, cada rama representa a un bisnieto.

b) 27c) 759d) La segunda multiplicación

(el 3 se multiplica 9 veces).e) 625f) 390 625g) La segunda multiplicación

(el 5 se multiplica 12 veces).

123

MATEMÁTICAS III. Los descendientes de una persona son sus hijos, nietos, bisnietos, tataranietos, etc.

Supongan que Rogelio tiene 3 hijos (primera generación de descendientes) y cada uno de sus hijos tiene a su vez 3 hijos (segunda generación de descendientes), de los cuales cada uno tiene 3 hijos (tercera generación de descendientes) y así sucesiva-mente. Es decir, cada miembro de la familia tendrá exactamente 3 hijos.

a) Completen el siguiente diagrama de árbol hasta la tercera generación de descen-dientes:

Rogelio

Hijos (primera generación)

Nietos (segunda generación)

b) ¿Cuántos descendientes tendrá Rogelio en la tercera generación?

c) ¿Cuántos descendientes tendrá Rogelio en la sexta?

d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite calcular el número de descen-

dientes de la novena generación?:

• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

e) Si en lugar de tener 3 hijos, cada quien tuviera 5 hijos, ¿cuántos descendientes

tendría Rogelio en la cuarta generación?

f) ¿Y en la octava?

g) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite encontrar el número de descen-

dientes en la duodécima generación?

• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5

Propósito del interactivo. Utilizar el diagrama de árbol como técnica de conteo en la resolución de problemas con potencias.


124

124

secuencia 26

Númeron

Cuadradon2

Tercera potencia n3

Cuarta potencian4

3 81

4 64

10 10 000

0.25 0.125

1.5

144 20 736

Una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo varias veces.

Por ejemplo, en el problema de los árboles genealógicos:

210 es la multiplicación 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

210 se llama la décima potencia de 2 y se lee 2 elevado a la 10 o 2 a la 10.

2 es la base y 10 es el exponente.

59 es la multiplicación 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5.

59 se llama la novena potencia de 5 y se lee 5 elevado a la 9 o 5 a la 9.

5 es la base y 9 es el exponente.

A lo que llegamos

A lo que llegamos• La raíz cúbica de 64 es 4, porque 43 = 64. La raíz cúbica de 64 se

escribe así: 3 64En general, la raíz cúbica de un número k es otro número que tiene tercera potencia igual a k.

• La raíz cuarta de 81 es 3, porque 34 = 81. La raíz cuarta de 81 se escribe así: 4 81

En general, la raíz cuarta de un número k es otro número que tiene cuarta potencia igual a k.

iii. Completen la siguiente tabla de potencias y contesten:

a) ¿Qué número multiplicado 3 veces por

él mismo da 27?

b) ¿Qué número tiene tercera potencia

igual a 1 000?

c) ¿Qué número tiene segunda potencia

igual a 0.25?

d) ¿Qué número tiene raíz cuadrada igual

a 144?

e) ¿Qué número tiene cuarta potencia

igual a 256?

Respuestas.a) 3b) 10c) 0.5d) 20 736. Algunos podrán pensar

que es el 12. Pídales que verifiquen con la calculadora.

e) 4

Sugerencia didáctica. Después de leer y comentar esta información, pida a los alumnos que escriban en sus cuadernos otros ejemplos de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuartas.

9 27

16 256

100 1 000

0.5 0.0625

2.25 3.375 5.0625

12 1728

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que elijan un número como base para ejemplificar en sus cuadernos cada una de las potencias, desde la potencia 1 hasta la décima potencia. Es recomendable que para esto utilicen la notación con el exponente y con las multiplicaciones.


125

125

MATEMÁTICAS If) ¿Cuál es la raíz cúbica de 1 000?

g) ¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000?

h) La raíz de 2.25 es 1.5

Lo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla de potencias y contesta:

Númeron

Cuadradon2

Tercera potencian3

Cuarta potencian4

0.2 0.0016

0 0 0

1

1.1 1.21 1.4641

4 8

11 1 331

a) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0.008?

b) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0?

c) ¿Cuál es la raíz cuarta de 1.4641?

d) ¿Cuál es la raíz cuarta de 1?

2. Si la raíz cúbica de 8 es 2 y la de 27 es 3, encuentra una aproximación con dos cifras decimales de la raíz cúbica de 20.

3. Completa.

a) En la potencia 76, la base es y el exponente es .

b) En la potencia , la base es 8 y el exponente es 13.

c) Al escribir 6 × 6 × 6 × 6 como potencia, la base es y el exponente es .

Para saber másSobre el árbol genealógico consulta:http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/historia/histdeltiempo/pasado/famili/p_arbol.htm [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Red Escolar, Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa.

Respuestas.f) 10g) 10h) Es la raíz cuadrada.

Integrar al portafolios. Si advierte que los alumnos tienen dificultades para calcular las potencias que se indican, revise nuevamente con ellos el primer apartado A lo que llegamos de esta sesión. Si tienen dificultades para identificar las raíces cúbicas o las raíces cuartas, revise nuevamente con ellos el segundo apartado A lo que llegamos de esta misma sesión. En los casos de estas raíces, no se trata de que los alumnos las calculen, sino que a partir de la información que se proporciona en la tabla puedan establecer relaciones y las identifiquen.

Respuestas.a) 0.2b) 0c) 1.1d) 1

Respuesta. Es 2.71.

Respuestas.a) La base es 7 y el exponente es 6.

b) 813

c) La base es 6 y el exponente es 4.

0.04 0.008

0

1 1 1

1.331

2 16

121 14 641


126

Propósito de la sesión. Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = ax.Organización del grupo. Se sugiere trabajar la sesión en parejas, excepto en el apartado Lo que aprendimos y en momentos de discusión grupal.

Propósito del video. Introducir las ideas generales de la ley de Hubble: Velocidad de alejamiento de una galaxia y Constante de Hubble.

1

Propósito de la actividad. En otras secuencias los alumnos han trabajado con cantidades directamente proporcionales. Lo que aprendieron les permitirá contestar con relativa facilidad los incisos a) y b); sin embargo, lo que pretende constituirse en un reto en esta sesión es el inciso c), que es expresar algebraicamente la relación entre las cantidades. Quizá los alumnos tengan dificultades para lograr una expresión correcta. Si es el caso, no los corrija ni les dé la solución, permítales continuar resolviendo.Respuestas.a) A 150 km/s (se multiplica 3

por 50).b) A 300 km/s.c) v = 50d

También podrían escribir v = 50 × d, aunque en esta expresión se puede confundir el signo de multiplicación con la letra x.

126

secuencia 27

En esta secuencia analizarás en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representarás esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.

La Expansión dEL UnivErsoPara empezarLa expansión del Universo.

Hasta principios del siglo XX los astrónomos pensaron que el Universo había sido siempre del mismo tamaño. Sin embargo, en 1929, el astrónomo Edwin Hubble observó que las galaxias se están alejando unas de otras. Este descubrimiento confirmó una teoría de extraordinaria importancia para la ciencia: la teoría de la Expansión del Universo.

A la velocidad con la que una galaxia se aleja de la Tierra se le llama velocidad de alejamiento y, de acuerdo con el descubrimiento de Hubble, las galaxias que están más lejos de la Tierra son también las que se alejan a mayor velocidad.

Consideremos lo siguienteUna galaxia que está a 1 megaparsec de distancia se aleja de la Tierra a una velocidad de 50 km/s; otra galaxia que está a 2megaparsecs se aleja de la Tierra a una velocidad de 100 km/s, y así sucesivamente.

A partir de esta información, contesten las siguientes preguntas:

a) ¿A qué velocidad se aleja una galaxia que está a 3 megaparsecs de distancia?

b) ¿A qué velocidad se aleja una galaxia que está a 6 megaparsecs de distancia?

c) Representen con la letra d la distancia en megaparsecs a la que se encuentra una

galaxia, y con v a la velocidad de alejamiento, ¿qué expresión algebraica usarían

para encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia?


sEsión 1

El megaparsec es una

unidad que se usa

para medir distancias

astronómicas.

1 megaparsec es igual a

3.082 × 1018 km que

equivale a 3.26 millo-

nes de años luz.

Relación funcional

Propósitos de la secuencia Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar

esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.


1La expansión del universo Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = ax.

Video La expansión del

Universo

2Los husos horarios Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = x + ab.

3Cocina navideña Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = ax + b.

Aula de medios “Cocina

navideña” (Hoja de cálculo)

4El recibo de teléfono Identificar la expresión algebraica correspondiente a una relación funcional de la forma y = a(x − b) + c.

Eje


Tema

Significado y uso de las literales.

Antecedentes

En secuencias anteriores los alumnos han expresado algebraicamente reglas de sucesiones numéricas y fórmulas geométricas. En esta secuencia van a expresar algebraica-mente relaciones entre dos cantidades que varían.


127

127

MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Completen la siguiente tabla para encontrar la velocidad con la que se alejan algunas

galaxias a partir de las distancias a las que se encuentran.

Distancia(en megaparsecs)

Velocidad de alejamiento(en km/s)

1 50

2 100

3

4

5

6

7

8

9

10

15

1000

25

1500

a) Para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por un nú

mero, ¿cuál es ese número?

b) Completen la siguiente expresión algebraica para encontrar la velocidad de alejamiento v a partir de la distancia d:

v = × d

Comparen sus expresiones algebraicas y comenten:

La velocidad de alejamiento es directamente proporcional a la distancia a la que está la galaxia, ¿cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia?

II. Usen la expresión algebraica que encontraron para hacer los siguientes cálculos:

a) Si la distancia es igual a 50 megaparsecs, ¿cuál es la velocidad de alejamiento v

(en km/s)?

b) Si d = 600 megaparsecs, ¿cuál es la v (en km/s)?

c) Si d = 100 megaparsecs, ¿cuál es la v (en km/s)?

Respuestas. Para hallar los datos faltantes se multiplica la distancia por 50. Si se conoce la velocidad, se divide ésta entre 50.a) 50

b) v = 50 × d También se puede poner v = 50d

150 200 250 300 350 400 450 500 750 20 1250 30

3

Sugerencia didáctica. En este momento puede ser útil recordar el concepto de constante de proporcionalidad que los alumnos trabajaron en la secuencia 15.

Respuestas. La constante de proporcionalidad que se busca permite encontrar la velocidad de alejamiento a partir de la distancia. Por ejemplo, para obtener la velocidad de alejamiento de una galaxia que está a 3 megaparsecs se multiplica por el número 50 y se obtiene que la velocidad es 150 km/s. El número 50 corresponde a la constante de proporcionalidad.

Respuestas.v = 50 × d a) v = 50 × 50 v = 2 500 km/sb) v = 50 × 600 v = 30 000 km/sc) v = 50 × 100 v = 5 000 km/s


128

Respuestas.a) Centauro, porque está más lejos

de la Tierra.b) A 0.1 megaparsecs (también puede

decirse: a q Q p megaparsecs).c) A 0.02 megaparsecs

(también puede decirse: a t Q p megaparsecs).

d) La expresión es d = 50 ÷ v.

Posibles dificultades. Es común que los alumnos vean las fórmulas v = 50d y d = v ÷ 50 como expresiones que no están relacionadas, y por consiguiente, se las aprendan de manera separada. Analice con ellos ambas fórmulas para que puedan relacionarlas.

Sugerencia didáctica. Escriba en el pizarrón la expresión que permite encontrar la velocidad conociendo la distancia (v = 50d ) y la que permite hallar la distancia conociendo la velocidad de alejamiento (d = v ÷ 50) y analícenlas. Propongan distintas variables (tanto velocidades de alejamiento como distancia) y utilicen las expresiones algebraicas para hallar la otra variable. Pregunte a los alumnos en qué se parecen y en qué son distintas las 2 expresiones y si creen que están relacionadas o no.

128

secuencia 27

A lo que llegamosEn la expresión algebraica v = 50d, conocida como Ley de Hubble, la velocidad de alejamiento depende o está en función de la distancia. Según dicha fórmula, para encontrar la velocidad de alejamiento se multiplica la distancia por 50. Se dice entonces que entre la velocidad y la distancia hay una relación funcional. En este caso, la relación funcional es una relación de proporcionalidad.

iii. Contesten las siguientes preguntas:

a) Si la galaxia Centauro se encuentra a 1.31 megaparsecs y la galaxia Andrómeda a 0.7 megaparsecs, ¿cuál de las dos se aleja más rápidamente de la Tierra?

b) Si una galaxia se aleja a 5 km/s, ¿a qué distancia estará?

c) ¿A qué distancia estará una galaxia que se aleja a 1 km/s?

d) ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite encontrar la distancia (d)a partir de la velocidad de alejamiento (v)? Subráyenla.

d = 50v d = 50 ÷ v d ÷ 50 = v d = v ÷ 50

Comparen sus respuestas. Usen la expresión algebraica para verificarlas.

A lo que llegamos

Recuerden que:

Por convención,

v = 50 × d

se escribe

v = 50d

En las relaciones funcionales hay cantidades que varían y otras que no varían. En la rela-ción funcional dada por la Ley de Hubble: • La distancia d a la que se encuentra cada galaxia varía.• La velocidad v con la que se aleja una galaxia varía, dependiendo de la distancia.• El número 50 por el que se multiplica la distancia para encontrar la velocidad no varía.


129

129

MATEMÁTICAS I

Lo que aprendimos1. Un atleta corre la tercera parte de un kilómetro por minuto.

a) Completen la siguiente tabla para calcular la distancia que recorre el atleta en diferentes momentos de una carrera.

Tiempo(en minutos)

Distancia recorrida(en kilómetros)

1

3

5

2

10

11

60

b) Si d es la distancia que recorre el atleta y t el tiempo transcurrido, escriban una expresión algebraica para calcular la distancia que recorre el atleta al variar el tiempo.

c) Utilicen la expresión algebraica para responder las siguientes preguntas:

• Si t = 10 minutos, ¿cuánto es d en kilómetros?



En esta relación funcional:

d) ¿Cuáles son las variables? y

e) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la distancia a

partir del tiempo?

A las cantidades que varían se les llama variables, y a las que no varían se les llama constantes. En este caso:• 50 es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable v a partir

de la variable d.• es la constante de proporcionalidad que permite encontrar la variable d a partir

de la variable v.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a las actividades de esta sección.

Respuestas. b) d = eQ t (podrían escribirlo como d = eQ × t ).

Hay que fijarse en la tabla, la distancia siempre es una tercera parte del tiempo.

c) Q e P Q e W W e W

Puede pedirles que las escriban como números mixtos.d) El tiempo ( t ) y la distancia ( d ).

e) La distancia que recorre en un minuto, eQ km.

2 1

4 tE

6 Q e P = 3 Qe Q e Q = 3 We 20


130

Propósito de la sesión. Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = x + ab.

Organización del grupo. En la sesión hay trabajo individual, en parejas y en equipo.

3

Sugerencia didáctica. Puede aprovechar esta actividad para comentar con los alumnos sobre las distintas maneras de escribir la hora. Por ejemplo:- Después de la medianoche viene

la 1 de la mañana, las 2, 3, etc. Después del mediodía viene la 1 de la tarde, las 2, 3… hasta llegar nuevamente a la medianoche.

- En vez de decir “1 de la mañana” también suele decirse “1 a.m.”. Las letras “a.m.” significan “antes del meridiano”, es decir, antes del mediodía. Después del mediodía se dice “p.m.” que significa “pasado meridiano”.

- También se cuentan las horas empezando por las 0:00 h (medianoche). Se va aumentando de una en una hasta las 23:00 h, y la que sigue es otra vez las 0:00 h. Por eso, después de las 12 de la tarde siguen las 13:00 h (la 1 de la tarde), las 14:00 h (las 2 de la tarde), y así sucesivamente.

130

secuencia 27

Hora en Chihuahua Hora en Nueva York

6 77 889

10111213141516

Los hUsos horariosPara empezar

Debido al movimiento de rotación de la Tierra, hay diferencias de horario. ¡Esto quiere decir que mientras en un lugar del mundo son las 12 del día, en otro son las 12 de la noche!

Por ejemplo, cuando en la ciudad de Nueva York en EEUU son las 7:00 h (7 de la mañana), en la ciudad de Chihuahua en México son las 6:00 h (6 de la mañana).

Para calcular las horas, el planeta Tierra se ha dividido en 24franjas llamadas husos horarios. A cada uno de los husos horarios le corresponde una hora distinta, de manera que en el planeta hay 24 horas distintas al mismo tiempo. Así, cuando en Nueva York son las 00:00 h (12 de la noche) en Chihuahua son las 23:00 h (11 de la noche).

Es importante notar que es común decir 24:00 h o 12 de la noche en lugar de 0:00 h. En el momento en que se completan 24 horas de un día se reinicia el conteo a 0:00 h (un minuto después de las 23 h con 59 min vienen otra vez las 0:00 h), por lo tanto, las 0:00h y las 24:00 h son dos formas de escribir la misma hora.

Consideremos lo siguienteComenten el siguiente problema:

María vive en la ciudad de Chihuahua y su papá en la ciudad de Nueva York. Si el papá de María trabaja de 7 de la mañana (7:00 h) a 3 de la tarde (15:00 h), ¿creen que María encontrará a su papá en casa si lo llama a las 6 de la mañana (hora de Chihuahua)?

Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para calcular la hora en la ciudad de Nueva York a par

tir de la hora en Chihuaha.

sEsión 2

a) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 15:00 h?

b) Si el papá de María hace una hora cuarenta y cinco minutos en el trayecto del trabajo a su casa, ¿a partir de qué hora (de Chihuahua) puede hablarle María para encontrarlo de regreso en casa?

c) ¿De qué hora a qué hora de Chihuahua, María no va a encontrar a su papá? ¡Cuidado: la respuesta no es de 7 de la mañana a 3 de la tarde!

Propósito de la actividad. La intención es que al llegar al inciso c) los alumnos expresen algebraicamente la relación entre la hora de Chihuahua y la hora de Nueva York. Déles tiempo para trabajar la situación y no les proporcione la respuesta.

Respuestas. Para conocer la hora de Nueva York hay que aumentar una hora a la de Chihuahua.a) Las 16:00 h.b) A partir de las 15:45 de Chihuahua.

El papá sale a las 15:00 h (hora de Nueva York), y tras 1 hora y 45 minutos de trayecto, llega a su casa a las 16:45 (de Nueva York), que son las 15:45 de Chihuahua.

c) De las 4:15 de la mañana a las 15:45 (hora de Chihuahua), tomando en cuenta los trayectos de ida y vuelta.


131

Posibles dificultades. Los estudiantes podrían sentirse confundidos porque la expresión y = x + 1 no permite encontrar la hora de Nueva York. Explíqueles que cuando se usa esta expresión se pasa de las 24:00 h y que, pasadas las 24:00 h se reinicia el conteo de horas. Por ejemplo, en lugar de ser las 24:30, en Nueva York son las 00:30. En el inciso a) es posible que digan que la operación que se hace es sumar 1 y quitarle el 24. Eso es correcto, pero no es una operación algebraica. No los corrija, y permítales pasar al inciso b). En el inciso b) necesitarán interpretar el “quitarle el 24” como un resto 24. Si no surge en el grupo, dígaselos. Al final, los alumnos deberán conjugar esta última observación con el sumar 1 y así obtener: y = x – 23

131

MATEMÁTICAS III. Llamen x a la hora en Chihuahua y y a la hora en Nueva York. Si la hora en Chihuahua

está entre las 00:00 h y las 23:00 h, ¿cuál de las siguientes expresiones permite calcular la hora de Nueva York a partir de la hora de Chihuahua? Subráyenla.

a) x = y + 1 b) y = x – 1 c) y = x + 1 d) x = y – 1

Comparen sus expresiones algebraicas.

III. Si la hora en Chihuahua está entre 23:00 h y 24:00 h, por ejemplo las 23:30 h, la expresión algebraica y = x + 1 NO permite encontrar la hora en Nueva York (y) a partir de la hora en Chihuahua (x), pues se pasa de las 24:00 h.

a) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 23:00 h y las 24:00 h, ¿qué cálculos hay que hacer para obtener la hora en Nueva York a partir de la hora en Chihuahua?

b) Escriban una expresión que nos permita encontrar la hora de Nueva York (y) a partirde la hora en Chihuahua (x), cuando la hora en Chihuahua está entre las

23:00 h y las 24:00 h.

Comparen sus expresiones.

IV. Para obtener la hora de Nueva York a partir de la hora de Chihuahua, cuando en Chihuahua pasan de las 23:00 horas, se resta 23 a la hora de Chihuahua. Por ello, la expresión es y = x – 23. Usando la expresión algebraica y = x + 1 (o bien, la expresión y = x – 23), contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 23:45 h?

b) ¿Qué hora es en Chihuahua si en Nueva York son las 0:30 h?

c) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 22:59 h?

d) ¿Qué hora es en Nueva York si en Chihuahua son las 0:00 h?

A lo que llegamosEn la expresión algebraica y = x + 1, la variable y depende o está en función de la variable x. Al número 1, que siempre hay que sumar a la x para obtener la y, se le llama constante.

V. Cuando en Los Ángeles son las 4:00 h, en Chihuahua son las 6:00 h y en Tokio (la capital de Japón) son las 21:00 h. Completen la siguiente tabla para calcular las horas en Los Ángeles y Tokio a partir de la hora en Chihuahua.

0:45 h23:30 h23:59 h

1:00 h


132

Respuestas. La hora de Los Ángeles es igual a la hora de Chihuahua menos 2. La hora de Tokio es igual a la hora en Chihuahua más 15.a) Las 18:00 h.b) Las 17:00 h.c) y = x – 2d) i) z = x + 15 ii) z = x – 9

132

secuencia 27

Hora en Los Ángeles Hora en Chihuahua Hora en Tokio

4 6 21

5 7 22

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

a) ¿Qué hora es en Los Ángeles cuando son las 20 h en Chihuahua?

b) ¿Qué hora es en Tokio cuando son las 0 h en Los Ángeles?

c) Escriban una expresión algebraica para encontrar la hora en Los Ángeles a partir

de la hora en Chihuahua, cuando la hora en Chihuahua está entre las 02:00 h y

las 24:00 h. Llámenle x a la hora en Chihuahua y y a la hora en Los Ángeles.

d) Llamen x a la hora en Chihuahua y z a la hora en Tokio. Escriban una expresión

algebraica para encontrar la hora en Tokio a partir de la hora en Chihuahua en

cada caso:

i) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 00:00 h y las 9:00 h.

ii) Cuando la hora en Chihuahua está entre las 09:00 h y las 24:00 h.



133

133

MATEMÁTICAS IVI. Contesten las siguientes preguntas, usando las expresiones algebraicas que encontraron.

a) Si en Chihuahua son las 24:00 h, ¿qué hora es en Los Ángeles?

b) Si en Chihuahua son las 3:00 h, ¿qué hora es en Los Ángeles?

c) Si en Chihuahua son las 9:00 h, ¿qué hora es en Tokio?

d) Si en Tokio son las 24:00 h, ¿qué hora es en Chihuahua?

A lo que llegamosEn la expresión algebraica y = x – 2, la variable y depende o está en función de la variable x. El número 2, que siempre hay que restar a la x para obtener la y, es la constante de la relación funcional.

VII. La expresión algebraica z = x + 15 describe una relación funcional entre la hora en Chihuahua (x) y la hora en Tokio (z).

a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional?

b) ¿Cuál es la constante en esta relación funcional?

Lo que aprendimos1. Luis tiene tres hermanos: Rocío, Juan y Fernanda. Completen la siguiente tabla con

las edades de los hermanos de Luis.

Edad de Luis(años)

Edad de Rocío (años)

Edad de Juan(años)

Edad de Fernanda (años)

6 10 8 1

7 11 9 2

8 12 10 3

10 12 5

12 16 14

13 15 8

14 18

20

25 27

a) Cada integrante del equipo escoja a uno de los hermanos de Luis y escriba en su cuaderno una expresión algebraica para calcular la edad del hermano que escogió a partir de la edad de Luis.

b) Verifiquen entre todos si las tres expresiones algebraicas (una para cada hermano) son correctas.

Respuestas.a) 22:00 h.b) 1:00 h.c) 0:00 h.d) 9:00 h.

Respuestas. a) z (la hora de Tokio) y x (la hora de

Chihuahua).b) 15 (las horas de diferencia entre

Chihuahua y Tokio).

Propósito de la actividad. Se espera que completar la tabla no sea difícil para los alumnos, el reto consiste en la escritura de las expresiones algebraicas.

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a las actividades del número 1.

Posibles dificultades. Es común que los alumnos piensen que si se cambia la letra que representa a una variable la expresión será incorrecta. Es importante que sepan que se pueden poner letras distintas, siempre y cuando esté claro qué representa cada una. Usted puede escribir en el pizarrón las expresiones que hayan elaborado y cambiarles las letras para que ellos digan si es correcto o no.

Respuestas. a) (r es Rocío, j es Juan, f es Fernanda

y l es Luis). Rocío: r = l + 4 Juan: j = l +2 Fernanda: f = l – 5

c) r, j, f y l (o las letras que ellos hayan usado).

d) 4, 2 y 5.


134

134

secuencia 27c) En conjunto, en las expresiones que encontraron hay cuatro variables distintas,

¿cuáles son?

, , y

d) ¿Cuáles son las constantes en estas relaciones funcionales?

, y

2. La longitud de la base de un rectángulo es 3 cm más grande que su altura.

a) ¿Cuánto medirá la base si la altura mide 2 cm?

b) Y si la base midiera 6 cm, ¿cuánto mediría la altura?

c) Encuentra una expresión algebraica para calcular la medida de la altura a partir de

la medida de la base.

d) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional?

e) ¿Cuál es la constante?

CoCina navidEña Para empezarExisten muchos problemas prácticos en los que interviene una relación funcional. En esta sesión abordaremos algunos de ellos.

Consideremos lo siguienteEn un libro de cocina aparece la siguiente receta para cocinar un pavo:

a) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo de 5 kg?

b) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa

8 kg?

c) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa

6.5 kg?

d) Escriban una expresión algebraica para calcular el tiempo de horneado de un pavo de cualquier peso.


sEsión 3

PAVO AL HORNO

Envuelva el pavo en papel aluminio;

hornee el pavo 15 minutos

por cada kilogramo de pavo y

sume a esto 90 minutos extras.

Respuestas. a) 5 cm. b) 9 cm. c) a = b – 3d) a y b.e) 3

Posibles dificultades. Los alumnos podrían pensar que la expresión algebraica es a = b – 3, porque saben que la base es 3 cm mayor que la altura. Revise sus respuestas y si cometieron ese error pídales que la utilicen con los valores de los incisos a) y b) para que comprueben si es correcta.

Propósito de la sesión. Analizar y representar algebraicamente la relación de dependencia en una relación funcional de la forma y = ax + b.

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, habiendo momentos de discusión grupal.

Propósito de la actividad. Al igual que en la sesión anterior, lo que se pretende es que los alumnos escriban expresiones algebraicas que les permitan modelar la situación y encontrar los valores de las variables.

Respuestas. a) 165 minutos.b) 210 minutos.c) 187.5 minutos.d) Siendo t el tiempo de

horneado (en minutos) y p el peso del pavo (en kilos), t = 15p + 90 Se leería “tiempo de horneado es igual a peso por 15 más 90”.

Posibles respuestas. Para responder el inciso d) los alumnos podrían escribir cosas como “Se multiplica el peso por 15 y al resultado se le suma 90”, que si bien son correctas, no son expresiones algebraicas. Permítales esas respuestas siempre y cuando sean correctas, y cuando terminen de resolver el apartado Manos a la obra dígales que las expresen algebraicamente.


135

135

MATEMÁTICAS IManos a la obraI. Completen la siguiente tabla para calcular el tiempo de horneado que requiere un

pavo con diferentes pesos:

Peso del pavo(kg)

Tiempo de horneado(min)

1 105

2

2.5

3

4

157.5

6

6.5

195

10

a) En esta relación funcional hay un número por el cual se multiplica cada kilogramo

de pavo, ¿cuál es ese número?

b) ¿Cuál es el número que hay que sumar siempre para obtener el tiempo total de

horneado?

c) Completen la siguiente expresión algebraica para encontrar el tiempo t a partir del peso p:

t = × p +

II. Comparen sus expresiones algebraicas y comenten.

a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional?

b) ¿Cuáles son las constantes en esta relación funcional?

III. Usen la expresión algebraica que encontraron para calcular los tiempos de horneado de pavos con los siguientes pesos:

a) Si el pavo pesa 2.5 kg, ¿cuántos minutos debe hornearse?

b) Si p = 3.75 kg, ¿cuánto vale t (en minutos)?

c) Si p = 8.4 kg, ¿cuánto vale t (en minutos)?

Respuestas. Cuando se conoce el peso, se multiplica éste por 15 y se le suma 90. Cuando se conoce el tiempo de horneado, se le resta 90 y se divide entre 15.

Posibles dificultades. La expresión (algebraica o no) que los alumnos escribieron en la sección anterior funciona para cuando se quiere hallar el tiempo de horneado conociendo el peso del pavo. Sin embargo, en la tabla se les plantea también el caso inverso: averiguar el peso del pavo conociendo el tiempo de horneado.

120 127.5 135 150 4.5 180 187.5 7 240 Respuestas.

a) 15b) 90c) t = 15p + 90

Respuestas.a) El tiempo de horneado t

y el peso del pavo p.b) 15 y 90.

Integrar al portafolios. Guarde las respuestas de los alumnos a la actividad III y valórelas para ver si han comprendido.

Si lo cree conveniente, repasen juntos la expresión original t = 15p + 90 (o equivalentes), y analicen de qué manera podrían averiguar el peso. Puede preguntarles: “Si sabemos que el tiempo de horneado es de 105 minutos, ¿cómo pueden estar seguros de que el pavo pesa 1 kg?”. Trabajar con valores que ya conocen para las variables puede ser de ayuda para resolver la cuestión. Otra dificultad que está asociada a lo anterior es la de desconocer en qué orden deben hacerse las operaciones.

Saben que el tiempo de horneado es igual al peso por 15 más 90, pero conociendo el tiempo de horneado ¿qué debe hacerse primero, restar los 90 minutos o dividir entre 15? Si los alumnos tuvieran esa duda, repasen juntos la expresión que escribieron antes.

Sugerencia didáctica. Cuando terminen de llenar la tabla, pida a los alumnos que expresen los tiempos de horneado en horas, minutos y segundos, especialmente en los casos en que el resultado es un número como 157.5 minutos.


136

136

secuencia 27iV. Comparen sus respuestas y contesten las siguientes preguntas:

a) Si un pavo pesa 9 kg y otro pesa 3 kg, ¿cuánto tiempo de horneado más necesita

el pavo de 9 kg?

b) Si un pavo pesa el triple que otro, ¿será cierto que el tiempo de horneado que

requiere el más chico es la tercera parte de lo que requiere el mayor?

¿Por qué?

A lo que llegamosLa expresión algebraica t = 15 p + 90 es una relación funcional: el valor de la variable t depende del valor de la variable p.

La variable p se multiplica por 15 y al resultado se le suma 90. Ambos números, el 15 y el 90, son constantes.

V. En otra receta se sugiere hornear 16 minutos por cada kilogramo de pavo y agregar 80 minutos extras. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas permitiría encontrar el tiempo total de horneado (t)para cualquier cantidad de kilogramos de pavo (p)?

• t = 80 p +16• t = 16 p + 80

a) ¿Cuáles son las variables en esta relación funcional? y

b) ¿Cuáles son las constantes? y

Lo que aprendimosx y

1

1.5

2

5

10

11.6

20

76

Recuerden que:

Se acostumbra

suprimir el símbolo ×

(por) para no confun-

dirlo con la x (equis).

En la expresión algebraica y = 3 x + 1

a) ¿Cuáles son las variables?

y

b) ¿Cuáles son las constantes?

y

c) Completen la tabla de la derecha usando la

expresión algebraica:

Respuestas.a) Necesita 90 minutos más, porque

la diferencia es de 6 kg, entonces 6 × 15 = 90.

b) No es cierto, hay que tener en cuenta la otra constante: añadir 90 minutos al tiempo de horneado. Esto puede verse en el ejemplo anterior, mientras que para el pavo de 3 kg el tiempo de horneado es de 135 minutos, para el de 9 kg es de 225 minutos; 9 es el triple de 3, pero el tiempo de horneado no es el triple.

Posibles dificultades. Es un error común confundir una constante (multiplicativa) con una constante aditiva. Sugiera a los alumnos que lean con cuidado las 2 expresiones algebraicas para que analicen qué es lo que hacen el 80 y el 16 en cada caso. En la primera el tiempo de horneado se obtiene así: cada kilo de pavo se multiplica por 80 minutos y luego se añaden 16 minutos. Aquí el 80 es una constante (se multiplica) y el 16 es una constante aditiva (se suma). En la segunda el tiempo de horneado se obtiene de esta manera: cada kilo de pavo se multiplica por 16 y luego se añaden 80 minutos. Aquí el 16 es una constante (se multiplica) y el 80 es una constante aditiva (se suma). Ésta es la expresión correcta. Si los alumnos no notan la diferencia o tienen dificultades para elegir la expresión correcta, pídales que primero calculen el tiempo de horneado de un pavo de 7 kg a partir de la receta y luego, utilizando cada una de las expresiones algebraicas.

4 5.5 7 16 31 35.8 61 21

Respuestas.a) y, x.b) 3, 1.c) x se multiplica por 3 y se suma 1.

Para hallar el valor de x cuando y es igual a 76 deben realizarse las operaciones inversas y en orden contrario: primero restar 1 y luego dividir entre 3, o bien, plantear la ecuación 3 x + 1 = 76 y resolverla.


137

137

MATEMÁTICAS IEL rECibo dE tELéfonoPara empezarEn esta sesión continuarás con el estudio de las relaciones funcionales. Estudiarás un problema práctico: el costo mensual del servicio telefónico. El costo del servicio telefónico depende de la renta fija y de la cantidad de llamadas que se realicen en el mes.

Consideremos lo siguienteLa renta mensual del servicio telefónico es de $167.00. Esta renta incluye 100 llamadas. Por ejemplo, si en el recibo aparecen 125 llamadas realizadas, se paga: la renta mensual más el costo de las 25 llamadas adicionales. El costo de cada llamada adicional es de $1.50.

a) ¿Cuál es el costo mensual del servicio si se hacen 125llamadas?

b) Completen la siguiente tabla para calcular el costo mensual del servicio telefónico a partir del número de llamadas.

Total de llamadas realizadas Costo mensual (en pesos)

100 o menos 167

101 168.50

110

119

120

121

125

150

168

175

180

c) ¿Cuál es el mayor número de llamadas que se pueden hacer con $200.00?

Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.

¿Qué operaciones hicieron para encontrar los costos a partir del número de llamadas?

sEsion 4

Propósito de la sesión. Identificar la expresión algebraica correspondiente a una relación funcional de la forma y = a (x − b) + c.

Organización del grupo. La sesión se resuelve en parejas, con momentos para comentarios grupales, a excepción del último apartado, que es individual.

182195.50197198.50204242269279.50287

Propósito de la pregunta. Se espera que los alumnos describan el procedimiento que utilizaron para llenar la tabla con la intención de que esa descripción les sirva para escribir posteriormente una expresión algebraica. Por ello es muy importante que comenten varios procedimientos (qué operaciones hicieron, con cuáles cantidades y en qué orden) y que revisen si son equivalentes o no.

Respuesta. 122 llamadas. Quitando la renta quedan $33, con los que se pueden pagar 22 llamadas adicionales.

Respuesta. a) $ 204.50. Se hicieron 25 llamadas

adicionales y cada una cuesta $1.50, así que son $ 37.50 de las llamadas más los $167 de la renta.


138

138

secuencia 27

Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas:

a) Si sólo se pagan $167.00 (la renta mensual), ¿cuántas llamadas se han hecho?

b) ¿Cuánto hay que pagar de costo mensual por 1 llamada adicional? .

c) ¿Cuánto hay que pagar por 2 llamadas adicionales? .

d) Si se hacen 181 llamadas en total, ¿cuántas llamadas adicionales se han hecho?

¿Cuánto hay que pagar de costo mensual? .

ii. ¿Con cuál de las siguientes expresiones algebraicas se puede calcular el costo mensual del servicio telefónico cuando se hacen más de 100 llamadas? En estas expresiones se usa la letra xpara representar el total de llamadas y la letra y para representar el costo mensual del servicio telefónico.

y = 1.50 x + 167y = 167 x + 1.50y = 1.50 (x – 100) + 167

a) Comparen las expresiones algebraicas que escogieron y comenten por qué creen que son correctas.

b) Con la expresión que escogieron calculen el costo mensual del teléfono, si en el recibo estuvieran registrados los siguientes números totales de llamadas:

x = 100, y =

x = 121, y =

x = 125, y =

x = 175, y =

x = 200, y =

x = 250, y =

c) Comparen sus resultados con los que obtuvieron en la tabla, y comenten:

Si el número de llamadas aumenta al doble, ¿también aumentará al doble el costo mensual?

El paréntesis de la expresión

y = 1.50 (x – 100) + 167

indica que primero hay que

restar 100 al número x y,

después, multiplicar el

resultado por 1.50

Respuestas. a) Entre 0 y 100 llamadas.b) $1.50 por una llamada,

$168.50 en total.c) $3.00 por las 2 llamadas,

$170 en total.d) 81 llamadas adicionales y hay que

pagar $ 288.50 de costo mensual.

Sugerencia didáctica. La frase que los alumnos escribieron sobre las operaciones realizadas para llenar la tabla les será de utilidad para elegir la opción correcta, pero si eligen otra no los corrija. Las actividades que se les proponen más adelante les ayudarán a darse cuenta del error.

Respuestas. La primera opción es incorrecta porque se multiplican todas las llamadas realizadas por $1.50, pero hay que recordar que ese es el costo de las llamadas adicionales, es decir de aquellas llamadas que excedan las 100 incluidas en la renta mensual. La segunda también es incorrecta porque se cambia de lugar a las 2 constantes. Considera a 167 como una constante (que se multiplica), cuando en realidad es una constante aditiva (se suma), y viceversa. La tercera opción es correcta porque es la que considera que al número total de llamadas (x ) hay que restarle 100 (las que incluye la renta mensual) y al resto multiplicarlo por 1.50 y sumarle 167.

Posibles dificultades. Para algunos alumnos la tercera opción puede resultar difícil de interpretar por el uso del paréntesis. Explíqueles que el paréntesis sirve para no confundir el orden en el que deben efectuarse las operaciones en la expresión (en este caso, la multiplicación y la resta). Lo que va dentro del paréntesis debe resolverse primero, así que la expresión puede leerse como “el costo mensual es igual al número total de llamadas menos 100, el resultado se multiplica por 1.50 y a eso se le suman 167”.

Sugerencia didáctica. Permita que los alumnos utilicen la expresión algebraica que hayan elegido, aunque sea incorrecta. Después comparen los resultados, si hubo alumnos que eligieron una expresión algebraica incorrecta se toparán con respuestas distintas. Ayúdelos a analizar las expresiones algebraicas para encontrar la correcta y corrijan los resultados de esta parte.

Respuesta. La relación funcional entre el costo mensual y el número total de llamadas realizadas no es de proporcionalidad directa. Sugiera a los alumnos que analicen los siguientes ejemplos con los costos que acaban de calcular, en los que al doble de llamadas no corresponde el doble de costo mensual: - Por hacer 100 llamadas

se pagan $ 167; por hacer 200 se pagan $317.

- Por hacer 125 llamadas se pagan $204; por hacer 250 se pagan $392.

167198.50204279.50317392


139

139

MATEMÁTICAS IIII. El costo mensual del teléfono depende del número total de llamadas que se realizan.

Ésta es una relación funcional. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuáles son las variables?

b) En esta relación funcional hay tres constantes, ¿cuáles son?

Lo que aprendimosUn bebé nació pesando 3 kg. Durante su primer año de vida su peso aumentó 0.5 kg cada mes.

Completa la siguiente tabla para calcular el peso del bebé.

Edad del bebé (meses)

Peso del bebé (kilogramos)

Al nacer 3123456 67 6.58 79 7.5

a) Si se representa con la letra y el peso del bebé y con x la edad del bebé (en meses), escribe una expresión algebraica para calcular el peso del bebé durante su pri

mer año de vida.

b) Utiliza la expresión algebraica para calcular el peso del bebé a partir de las siguientes edades:

x = 7 (meses), y = kilogramos




Para saber másSobre la expansión del Universo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Con-cepción Ruiz y Sergio de Régules. Crónicas algebraicas. México: SEP/ Santillana, Li-bros del Rincón, 2002, pp. 44-45.

También puedes consultar: http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/01/html/sec_11.html [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

Respuestas.a) x (cantidad total de llamadas) y

y (costo mensual).b) 1.50 (costo por cada llamada

adicional), 167 (renta mensual) y 100 (las llamadas que se incluyen en la renta mensual).

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de todo el apartado Lo que aprendimos y dígales que también anoten cuáles son las constantes en este caso y de qué tipo son, y cuáles son las variables.

Sugerencia didáctica. Aunque en este caso los datos sobre el peso del bebé muestran un aumento constante de 0.5 kg por mes, regularmente no sucede así. Coméntelo con los alumnos.

Respuestas. El bebé aumenta cada mes 0.5 kg, entonces tendríamos que su peso es igual a su edad en meses por 0.5; pero hay que agregar los 3 kg que pesó al nacer, por lo tanto la expresión sería: y = 0.5x + 3

3.544.555.5

6.577.59


140

Propósito de la sesión. Trazar un círculo, dados 2 puntos. Identificar cuántos círculos se pueden trazar bajo esas condiciones.Organización del grupo. Se sugiere que la sesión se trabaje en parejas.Materiales. Regla y compás.

Propósito de la actividad. Hay dos aspectos centrales en la resolución de este problema:- Que los alumnos tracen 2

circunferencias distintas y verifiquen que cumplan con la condición de que cada una de ellas pase por ambos puntos (A y B).

- Que describan el procedimiento que siguieron para encontrar el centro de ambas circunferencias.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, aclare a los alumnos que el pasar por los 2 puntos no significa tomar uno como centro y el otro como radio, sino que ambos puntos deben ser parte de la circunferencia.Posibles procedimientos. Una forma de resolver es por ensayo y error, esto es, abrir el compás haciendo una estimación del radio, probar si con ese radio es posible trazar una circunferencia que pase por los 2 puntos. Si no es así, cerrar o abrir más el compás, según lo requieran, hasta aproximarse lo más posible a la circunferencia buscada. El trazo de la segunda circunferencia podría llevarse a cabo de la misma manera. Una forma más sistemática de trazar la primera circunferencia es la que se presenta en la actividad II del apartado Manos a la obra. La segunda circunferencia puede resultarles más complicada de encontrar, pues necesitan situar un punto que esté a la misma distancia de los puntos A y B. Esto puede hacerse trazando la mediatriz que ya estudiaron en la secuencia 12, pero es poco probable que los alumnos recurran a ello.

140

secuencia 28

sesión 1

B

A

Construcción de círculos y circunferencias

En esta secuencia construirás círculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos.

Las circunferencias que pasan

por dos puntosPara empezarUna circunferencia está formada por todos los puntos que están a la misma distancia, llamada radio, de un punto fijo llamado centro.

Consideremos lo siguienteTracen dos circunferencias que cumplan la siguiente condición: pasar por los dos puntos siguientes.

Escriban en su cuaderno cómo encontraron los puntos que utilizaron como centro de cada circunferencia.

Comenten en grupo sus procedimientos.

Radio

Propósitos de la secuencia Construir círculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos.


1

Las circunferencias que pasan por dos puntos Trazar un círculo, dados dos puntos. Identificar cuántos círculos se pueden trazar bajo esas condiciones.

Video Las circunferencias que pasan por dos

puntos

2Cuerdas y circunferencias Identificar en qué casos es posible trazar un círculo dadas dos cuerdas.

Interactivo “Construcción de circunferencias”

3Tres puntos y una circunferencia Identificar en qué casos es posible trazar un círculo dados tres puntos.

Interactivo “Construcción de circunferencias con

la mediatriz” Aula de medios

“Tres puntos y una circunferencia” (Geometría dinámica)

Eje


Tema

Formas geométricas.

AntecedentesEn la escuela primaria los alumnos aprendie-ron a construir círculos a partir de la medida del radio. Asimismo, aprendieron a ubicar el centro de una circunferencia utilizando 2 recursos: por medio del punto en el que se cruzan los ejes de simetría, y mediante el trazo de perpendiculares de cuerdas no paralelas. En esta secuencia aprenderán otras formas de construir círculos, y para ello requerirán apoyarse en el trazo de mediatrices que trabajaron en la secuencia 12.


141

I

141

MATEMÁTICAS

Manos a la obra I. Rosa consideró los dos puntos de la siguiente manera:

• Tomó como centro el punto B y trazó la circunferencia tomando como radio la distancia del punto A al punto B.

¿Por qué esta circunferencia no cumple la condición pedida?

II. Para hallar las dos circunferencias, Guillermo hizo lo siguiente.Para la primera circunferencia:

• Trazó el segmento que une los dos puntos, obtuvo el punto medio del AB (punto C) y trazó la circunferencia tomando como radio la distancia del punto C al punto A.

Comenten en equipo, ¿por qué esta circunferencia sí cumple la condición pedida?

Para hallar el centro de la segunda circunferencia, Guillermo tomó un punto C’ muy cerca de C.

a) Midan la distancia del punto A al punto C’:

b) Midan la distancia del punto B al punto C’:

Comenten en equipo, ¿por qué el punto C’ no es el centro de la circunferencia?

B

A

B

A

C

C,

Respuesta. Porque no pasa por el punto B, pues se tomó a éste como centro.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan los mismos trazos que hizo "Guillermo", una vez que hayan obtenido la circunferencia, invítelos a comentar por qué esta circunferencia sí cumple con la condición dada.Enfatice las ideas que se sugieren en seguida para enriquecer los argumentos de los alumnos:- Los segmentos AC y BC son radios

de la circunferencia.- AC = BC, es decir, ambos radios

miden lo mismo.- Dado que los dos radios son

iguales, entonces los puntos A y B son parte de la circunferencia, y ésta cumple la condición de pasar por los puntos A y B.

Respuestas. Las medidas de las distancias en ambos incisos no son las mismas: AC’ ≠ BC’.

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan expresado sus argumentos, enfatice lo siguiente:- El punto C’ se colocó de manera

arbitraria.- Los segmentos AC’ y BC’ tienen

medidas distintas.- Dado que son segmentos

desiguales, no son radios de la circunferencia (todos los radios miden lo mismo), por lo tanto el punto C’ no es centro de la circunferencia que pasa por los puntos A y B.


142

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos:- Utilicen la propiedad de la

mediatriz que consiste en que todos los puntos que la conforman equidistan de los extremos del segmento.

- Identifiquen que el segmento que une el punto A con cualquiera de los centros (puntos sobre la mediatriz),es igual al segmento que une al punto B con cualquiera de los centros (puntos sobre la mediatriz); por lo tanto, la circunferencia sí cumple la condición de pasar por los puntos A y B.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, pida a los alumnos que revisen la secuencia 12 para que recuerden el procedimiento para trazar la mediatriz.

Respuesta. Las distancias de A y B al punto E son las mismas: AE = BE. Las distancias de A y B al punto F son las mismas: AF = BF.

Respuesta. La distancia de los nuevos puntos sobre la mediatriz hacia A y B es la misma (aunque diferente a las del inciso f).

142

secuencia 28iii. A continuación se explica una manera de trazar las circunferencias que pasan por A y B.

Tracen primero el segmento que une los puntos A y B:

a) En la secuencia 12 estudiaron cómo trazar la mediatriz de un segmento. Tracen la mediatriz del AB.

b) Ubiquen un punto sobre la mediatriz, llámenlo D.

c) Midan lo siguiente:

Distancia del punto A al punto D.

Distancia del punto B al punto D.

d) Tracen una circunferencia con centro en D y que pase por A y por B.

e) Ubiquen otros dos puntos sobre la mediatriz (llámenlos E, F) y tracen las circunferencias con esos puntos como centro, y que pasen por A y por B.

f) En las dos circunferencias que acaban de trazar midan las siguientes distancias:

Distancia de A a E . Distancia de B a E.

Distancia de A a F. Distancia de B a F.

g) Tomen otro punto sobre la mediatriz, ¿cómo son las distancias de ese punto a los

puntos A y B?

Comenten en grupo la siguiente pregunta:

¿Habrá algún otro punto de la mediatriz del AB que no sea centro de una circunferencia que pase por A y por B?

iV. En la siguiente circunferencia que pasa por los puntos A y B está marcado su centro (punto E).

a) Tracen el AB y su mediatriz.

b) ¿Cómo son las distancias del punto E al punto A y del punto E al punto B?

Recuerden que: El

conjunto de puntos

que equidistan de los

extremos de un

segmento forma una

recta llamada mediatriz del segmento.

B

A

B

A

E

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que cualquier punto de la mediatriz es el centro de una circunferencia que pasa por los puntos A y B; por lo tanto, pueden trazarse distintas circunferencias que pasen por los puntos A y B, y el centro de cada una de ellas siempre será un punto de la mediatriz.


143

143

MATEMÁTICAS IComo el punto E equidista de los puntos A y B, entonces está sobre la mediatriz del AB.

c) Observen que al trazar la mediatriz del AB, el centro está sobre dicha mediatriz.

d) ¿Cuántas circunferencias pasan por los puntos A y B?

A lo que llegamosCada punto de la mediatriz de un segmento CDes el centro de una circunferencia que pasa por C y D, y cada circunferencia que pasa por C y D tiene su centro sobre la mediatriz del segmento CD.

Vean el video Las circunferencias que pasan por dos puntos y al término del mismo escriban en su cuaderno, con sus propias palabras, cuántas circunferencias se pueden trazar que pasen por dos puntos dados: C y D.

cuerdas y circunferenciasPara empezarLos segmentos de recta que unen a dos puntos de una circunferencia se llaman cuerdas.En la ilustración 1 los puntos A y B están unidos por la cuerda AB.

El diámetro de una circunferencia es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

sesión 2

Recuerden que: Si

un punto cual-

quiera equidista

de los extremos del

segmento, enton-

ces pertenece a la

mediatriz del segmento.

B

ACuerda AB

Diámetro

Mediatriz

C

D

Conjunto de puntos que son centros de las

circunferencias que pasan por C y por D.

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que tracen dos puntos cualesquiera (puntos P y Q), y que tracen dos circunferencias que pasen por esos dos puntos. Si identifica que los alumnos tienen dificultades, repase con ellos la actividad III del apartado Manos a la obra.

Propósito del video. Visualizar la construcción de la familia de circunferencias que pasan por los extremos de un segmento dado.

Propósito de la sesión. Identificar en qué casos es posible trazar un círculo dadas 2 cuerdas.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesión y que luego, en grupo, comparen resultados.

Materiales. Regla y compás.

Sugerencia didáctica. Es importante que lea y comente esta información con los alumnos, pues se les presenta un nuevo término que deberán incorporar a su vocabulario matemático. Puede pedir a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información para que esté a la vista de todo el grupo.


144

Posibles procedimientos. Algunos alumnos podrían tratar de ubicar el centro de la circunferencia “a ojo”, trazando dos “diámetros” que se corten perpendicularmente. Si es así, pregunte a esos alumnos cómo pueden estar seguros de que ese es el centro, y pregúnteles si las 2 cuerdas que se indican en el dibujo podrían servirles de algo para encontrar el centro de la circunferencia. Otra forma más sistemática de resolver, es trazar la mediatriz de cada una de las cuerdas; el punto en el que se cruzan las mediatrices es el centro de la circunferencia, y es donde debe colocarse el remache.

144

secuencia 28

Consideremos lo siguienteUna maquiladora de latas de refresco debe colocar la “lengüeta” exactamente en el centro de la tapa. En el dibujo se muestra una tapa sin la lengüeta, las líneas sirven de guía para poner la lengüeta y son dos cuerdas de la circunferencia.

Encuentren el punto de la tapa donde debe colocarse el remache de la lengüeta.

Manos a la obra

i. Veamos dos procedimientos:

Procedimiento 1• En el equipo 1 unieron los extremos de las cuerdas y tomaron como centro de la

tapa el punto de intersección C’. Dijeron que el remache de la lengüeta debería colocarse en el punto C’.

B

E

A

D

C´


145

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan expresado sus argumentos, subraye lo siguiente:- En el caso del procedimiento 1, si

el punto C’ fuera el centro de la circunferencia, los segmentos BC’, AC’, DC’ y EC’ tendrían la misma medida, y serían radios de la circunferencia.

- El punto C’ no es el centro de la circunferencia dado que las distancias BC’, AC’, DC’ y EC’ no miden lo mismo.

Los alumnos pueden comprobar lo anterior si trazan una circunferencia con centro en C’ y como radio cualquiera de los cuatro puntos (A, B, D, E); podrán ver que esa circunferencia no pasa por los cuatro puntos. En cambio, en el procedimiento 2, cualquier punto de cada mediatriz equidista de los extremos del segmento correspondiente, y el punto de intersección de las mediatrices equidista de los cuatro extremos; por lo tanto, los segmentos AC, BC, DC y EC, son radios de la circunferencia. Los alumnos pueden comprobarlo trazando la circunferencia tomando como centro el punto C y como radio cualquiera de los 4 puntos (A, B, D, E).

145

MATEMÁTICAS IProcedimiento 2

• En el equipo 2 trazaron las mediatrices de la cuerdas y dicen que el punto de intersección de las mediatrices es donde debe ponerse el remache de la lengüeta.

a) ¿Cuánto miden las distancias del punto C’ a los extremos de cada cuerda? Mídanlas y completen:

Distancia de C’ a A. Distancia de C’ a B.

Distancia de C’ a D. Distancia de C’ a E.

b) ¿Cuánto miden las distancias del punto C a los extremos de cada cuerda?

Completen:

Distancia de C a A. Distancia de C a B.

Distancia de C a D. Distancia de C a E.


• ¿Por qué el punto C’ no es el centro de la circunferencia?

• ¿Por qué el punto de intersección C de las dos mediatrices sí es el centro de la circunferencia?

II. En las siguientes circunferencias:

a) Encuentren su centro.

Circunferencia 1 Circunferencia 2 Circunferencia 3

B

E

A

D

C

Propósito del interactivo. Mostrar los casos posibles para construir una circunferencia.


146

5

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información y que lo pegue en el salón de clases. Los alumnos pueden copiar esta información en sus cuadernos e ilustrarla con ejemplos.

146

secuencia 28b) Encuentren su centro.

c) En la circunferencia 5 la cuerda dada es un diámetro, ¿cómo obtuvieron su centro?

d) En las circunferencias 4 y 6, ¿las mediatrices de las cuerdas se intersectan en un

punto, son la misma recta o son rectas paralelas?

e) La mediatriz que trazaron corta a la circunferencia 4 en dos puntos, llámenlos A y B; obtengan el punto medio de la cuerda AB y llámenlo D.

f) ¿Cómo son las distancias del punto D a cada extremo de la cuerda AB? Mídanlas y completen:

Distancia de D a A. Distancia de D a B.


• ¿Por qué la cuerda AB es un diámetro de la circunferencia 4?

• ¿Por qué el punto D es el centro de la circunferencia 4?

• ¿Con este procedimiento podrán encontrar el centro de la circunferencia 6? Háganlo.

A lo que llegamosPara encontrar el centro de las circunferencias:

Circunferencia 4 Circunferencia 5

a) Dadas dos cuerdas no paralelas, se traza la mediatriz a cada cuerda y el punto de intersección de las mediatri-ces trazadas es el centro de la circunferencia.

CMediatrices

Cuerdas

CMediatrices

Cuerdas

Centro

Mediatriz

Cuerda

Cuerda

Diámetro

b) Dadas dos paralelas, se traza la media-triz a una de las cuerdas, se identifica el diámetro que está sobre la mediatriz, se obtiene el punto medio del diámetro, el cual es el centro de la circunferencia.


147

147

MATEMÁTICAS Itres puntos y una circunferenciaPara empezarEn la primera sesión de esta secuencia estudiaste cómo trazar circunferencias que pasen por dos puntos dados. En la segunda sesión estudiaron cómo obtener el centro de una circunferencia dadas dos cuerdas. En esta sesión aprenderás cómo trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados.

Consideremos lo siguienteLa siguiente ilustración indica los lugares en que se ubican las comunidades de Pochitlán, Mipachán y Sisiján.

Se quiere construir un centro de salud que esté a la misma distancia de todas ellas. Encuentren el sitio donde se debería construir ese centro de salud.

Manos a la obra I. A continuación se explica una manera de encontrar un punto que equidiste de los

tres pueblos.

a) En el siguiente dibujo los pueblos se representan con puntos. Ya se trazó la mediatriz del MP. La distancia del punto M al punto C (cualquier punto de la mediatriz) es la misma que la distancia del punto P al mismo punto C.

b) Tracen la mediatriz de MS y PS.

c) Localicen el punto de intersección de las mediatrices y llámenlo D. Midan la distancia de D a cada uno de los pueblos:

Distancia de D a M.

Distancia de D a P.

Distancia de D a S.

pachitlán

Mipachán sisiján

sesión 3

p

M s

2 cm

2 cm

Recuerden que:

El conjunto de puntos que

equidistan de los extremos de

un segmento forman una recta

llamada mediatriz del segmento.

Propósito de la sesión. Identificar en qué casos es posible trazar un círculo dados 3 puntos.

Organización del grupo. Se recomienda trabajar la sesión en parejas; si lo considera conveniente, el apartado Lo que aprendimos puede resolverse de manera individual.


Posibles procedimientos. Los alumnos resolvieron un problema similar en la sesión 3 de la secuencia 12, por lo que es posible que utilicen el mismo procedimiento que usaron en aquel problema: unir los 3 puntos mediante segmentos, trazar la mediatriz de cada segmento y ubicar al punto en el que se cortan las mediatrices como el lugar donde debe construirse el Centro de Salud. Otra forma en que los alumnos podrían plantear el problema, aunque también utilicen las mediatrices para resolverlo, es trazando segmentos que representan las cuerdas de una circunferencia. Lo que deben buscar es el centro de esa circunferencia.

Respuesta. La distancia es la misma en los tres casos.


148

Respuesta. Es suficiente el trazo de dos mediatrices.

148

secuencia 28Comparen sus resultados y comenten:

a) ¿Es conveniente construir el centro de salud en el punto D?

b) ¿Para encontrar un punto que equidiste de los puntos M, P y S será necesario trazar las tres mediatrices o será suficiente con trazar dos de ellas?

En el siguiente dibujo tracen dos de las tres mediatrices

a) Llamen F al punto de intersección de las dos mediatrices.

b) ¿Cuáles son las distancias del punto F a los puntos A, B y C?

Distancia de F a A.

Distancia de F a B.

Distancia de F a C.

ii. En la siguiente ilustración se muestran los lugares en donde se ubican otras tres comunidades: D, E y F. Encuentren un punto que esté a la misma distancia de los tres pueblos.

a) Unan los puntos mediante segmentos.

b) Tracen las mediatrices de los segmentos.

c) Encuentren la intersección de las mediatrices.

Comenten:

a) Estos tres puntos están en una misma recta, ¿por qué creen que no se intersectan las mediatrices de los segmentos que los unen?

b) ¿En qué lugar creen que sería más conveniente construir un centro de salud?

Cuando tres puntos están en una misma recta se dice que son colineales.

A C

D E F

B

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen en qué casos no es posible trazar una circunferencia dados 3 puntos, y esto es cuando los puntos no son colineales. Es importante que los alumnos logren expresar las razones por las cuales no puede trazarse la circunferencia en ese caso.

Respuesta. No hay intersección porque las mediatrices son líneas paralelas.

Respuestas.a) No se intersecan porque son

paralelas.b) Dado que las mediatrices no se

intersecan, no es posible ubicar un punto que esté a la misma distancia de los 3 pueblos. En todo caso, el lugar más conveniente para establecer el centro de salud sería a la mitad del segmento DF.


149

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información y que hagan trazos que ilustren cada uno de los casos.

Integrar al portafolios. Sólo en el caso 2 no es posible trazar la circunferencia, pues los 3 puntos son colineales. En los casos 1 y 3 se le muestran a usted las 3 mediatrices, pero los alumnos podrían trazar sólo 2 de ellas, lo cual es correcto. Si identifica que los alumnos tienen algunas dificultades con el caso 2 (por ejemplo, considerar erróneamente el punto E como el centro de la circunferencia), revise nuevamente con ellos la actividad II del apartado Manos a la obra y comente con ellos el apartado A lo que llegamos de esta sesión. Si identifica que tienen dificultades con los casos 1 y 3, revise con los alumnos nuevamente la actividad I de ese mismo apartado.

Propósito del interactivo. Mostrar la construcción de la circunferencia.

149

MATEMÁTICAS IIII. En sus cuadernos dibujen tres puntos, los que quieran, pero que no sean colineales.

Tracen una circunferencia que pase por los tres puntos que dibujaron.

Comparen los puntos que dibujaron y las circunferencias que trazaron. Comenten:

Dados tres puntos, ¿se podrá siempre trazar una circunferencia que pase por ellos?

A lo que llegamos• Dados tres puntos que no son colineales siempre se puede trazar una circunferen-

cia que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto de intersección de las mediatrices de MP, PS y MS.

• Cuando los tres puntos son colineales (están sobre la misma recta), no se puede trazar la circunferencia.

Lo que aprendimos1. En los siguientes casos, tracen una circunferencia que pase por los tres puntos.

2. ¿En cuáles de los tres casos pudieron trazar una circunferencia?

¿Por qué?

A

B

C

Caso 1

D

E

FCaso 2 Caso 3

G

H

I

Para saber másSobre círculo y circunferencia consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Peña, José Antonio. Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.Hernández, Carlos. La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rin-cón, 2002.

A

B

C

Caso 1

E

F

DNo se puede trazar la circunferencia

Caso 2

Caso 3

H

G I


150

Propósitos de la sesión. Determinar el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Resolver problemas de proporcionalidad que implican el cálculo del perímetro del círculo.

Organización del grupo. Los alumnos pueden trabajar en parejas, a excepción del apartado Lo que aprendimos, que puede resolverse de manera individual.

Materiales. Calculadora, regla, compás, tijeras y hojas blancas.

Propósitos de la actividad. Que los alumnos obtengan el perímetro de los círculos haciendo uso de recursos distintos a la utilización de la fórmula. Que identifiquen cuántas veces cabe el diámetro en la circunferencia.

Sugerencia didáctica. Es posible que al girar los círculos sobre la regla haya algunas dificultades para medir su perímetro de manera exacta; por ello, pida a los alumnos que lo hagan lo más cuidadosamente posible y que utilicen medidas aproximadas.

Propósito del interactivo. Justificar el valor de π. 150

secuencia 29

12

34

56

78

910

1112

1314

1516

1718

1920

0

En esta secuencia determinarás el número pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificarás y usarás la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.

La reLación entre circunferencia y diámetroPara empezarEl diámetro de un círculo es una cuerda que pasa por su centro.

Consideremos lo siguientei. En una hoja blanca tracen cinco círculos de distintos tamaños.

a) Recorten los círculos. En cada círculo dibujen una flecha del centro a uno de los puntos de la orilla del círculo, como se muestra en el dibujo.

b) Coloquen uno de los círculos sobre la regla graduada de esta página, haciendo coincidir la punta de la flecha con el cero de la regla.

c) Midan el perímetro del círculo rodándolo sobre la regla. Marquen cuando elcírculo dé una vuelta completa.

d) Midan los perímetros de los otros cuatro círculos.

sesión 1

Diámetro

Recuerden que:

El perímetro del

círculo es igual

a la longitud de la

circunferencia.

0 1

El número Pi

Propósitos de la secuencia Determinar el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Justificar y usar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.


1

La relación entre circunferencia y diámetro Determinar el número π como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Resolver problemas de proporcionalidad que implican el cálculo del perímetro del círculo.

Video Relación entre

circunferencia y diámetro

Interactivo “¿De dónde salió pi?”

“El número pi”

2

Perímetro del círculo Obtener una fórmula para calcular el perímetro del círculo. Resolver problemas de proporcionalidad que implican al número π y a la fórmula del perímetro de un círculo.

Video Temperaturas ambientales Interactivo

“Temperaturas"

Eje


Tema

Medida.

Antecedentes

En la escuela primaria los alumnos identifica-ron el número π como el número de veces que el diámetro cabe en la circunferencia; asimismo, aprendieron a calcular el perímetro de un círculo aplicando la fórmula. En este grado de la educación secundaria profundizarán en el estudio de la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro en diversas situaciones problemáticas.


151

I

151

MATEMÁTICASe) Completen la siguiente tabla:

Perímetro del círculo (cm)

Diámetro del círculo(cm) Perímetro entre diámetro

Comenten:

De acuerdo con la tabla que llenaron, ¿cuántas veces cabe la medida del diámetro en la medida del perímetro de cada uno de los círculos que recortaron?

A lo que llegamosEl número que se obtiene al dividir el perímetro de un círculo entre la longitud de su diámetro siempre es el mismo, se llama pi y se simboliza

con la letra griega π. Una aproximación a ese número es 3.1416

Vean el video Relación entre circunferencia y diámetro, y al término del mismo mi-dan cinco objetos circulares que encuentren en su salón, su diámetro y su perímetro (ya sea con un hilo o bien rodándolos sobre una regla). Verifiquen lo mostrado en el video.

II. Usando una calculadora, completen la siguiente tabla:

Diámetro del círculo(cm)

Perímetro del círculo(cm) Perímetro entre diámetro

10 3.1416

6.2832 3.1416

5 3.1416

12.5664 3.1416

20 3.1416

18.8496 3.1416

Propósito del interactivo. Mostrar que la relación entre el perímetro y el diámetro de un círculo es siempre igual al valor de π, independientemente del tamaño del círculo.

Sugerencia didáctica. Se espera que al dividir el perímetro entre el diámetro los alumnos interpreten el cociente como el número de veces que cabe una medida en la otra; en este caso, el diámetro en el perímetro. Apoye a sus alumnos con preguntas como las siguientes: ¿Cuál es el dividendo? ¿Cuál es el divisor? ¿Qué representa el resultado de la división o cociente?

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que copien esta información en el cuaderno, pueden ilustrarla pegando algunos de los círculos que recortaron y con los datos de la tabla anterior.

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos profundicen en la relación entre el diámetro y el perímetro: para conocer el perímetro se debe multiplicar 3.1416 por el diámetro, y dividir el perímetro entre 3.1416 para conocer el diámetro.

31.416 2

15.708 4

62.832 6

Propósito del video. Mostrar la obtención del número π como el cociente de la división del perímetro de cualquier círculo entra la longitud de su diámetro.


152

Sugerencia didáctica. Además de comparar los resultados, enfatice las relaciones entre el diámetro y el perímetro planteando las siguientes preguntas: Si conocemos el diámetro, ¿cómo obtenemos el perímetro? Si conocemos el perímetro, ¿cómo obtenemos el diámetro?

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen cómo varía el perímetro en función del diámetro, y que utilicen esa relación para resolver problemas; por ejemplo, si el diámetro disminuye a la mitad, el perímetro varía en la misma proporción.

Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, antes de que los alumnos resuelvan los incisos b) y c), puede pedirles que hagan una estimación sobre cuántas vueltas tendría que dar la rueda delantera para recorrer 94 m. La finalidad de esa estimación es que se percaten de que la distancia es en metros, no en centímetros. Recomiéndeles que cada uno de ellos elija la unidad con la que quieren trabajar (metros o centímetros), para que antes de que empiecen a resolver, hagan las conversiones necesarias.

Respuestas.b) 100 vueltas. c) 200 vueltas.

152

secuencia 29Comenten en grupo cómo completaron la tabla.

Lo que aprendimosiii. En la mayoría de los triciclos, la rueda delantera es más grande que las dos traseras.

En un triciclo, el diámetro de la rueda delantera mide 30 cm y la rueda trasera mide la mitad del diámetro de la rueda delantera. Para simplificar sus cálculos, usen 3.14 como valor aproximado de .

a) Completen la siguiente tabla:

Rueda Diámetro del círculo (cm)

Perímetro del círculo (cm)

Perímetro entre diámetro

Delantera 30 3.14

Trasera 3.14

b) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que el triciclo

avance 94 m?

c) ¿Cuántas vueltas completas tienen que dar las ruedas traseras para que el triciclo

avance 94 m?

94.2

15 47.1


153

I

153

MATEMÁTICAS

Perímetro deL círcuLoPara empezarEn esta sesión veremos cómo calcular el perímetro del círculo, o sea la longitud de la circunferencia, mediante una fórmula.

Consideremos lo siguientea) Completen en la tabla 1 las medidas del diámetro y del perímetro de algunos

círculos.

Diámetro (cm) Perímetro (cm)

4 12.56

8

12 37.69

3

314

15

1

50

Tabla 1

b) ¿Cuánto aumenta el perímetro de un círculo cuando el diámetro aumenta al

triple?

c) ¿Cuánto disminuye el diámetro de un círculo cuando el perímetro disminuye a la

mitad?

d) La tabla 1 es una tabla de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcio-

nalidad?

sesión 2

Para simplificar

los cálculos

pueden utilizar

3.14 como valor

aproximado de .

Propósitos de la sesión. Obtener una fórmula para calcular el perímetro del círculo. Resolver problemas de proporcionalidad que implican al número π y a la fórmula del perímetro de un círculo.

Organización del grupo. Se sugiere que la sesión se trabaje en parejas. Si lo considera conveniente, el apartado Lo que aprendimos puede resolverse de manera individual, o en parejas, como se indica.


Posibles procedimientos. Se espera que los alumnos identifiquen la tabla 1 como una tabla de proporcionalidad y la resuelvan como tal, sin necesidad de utilizar la fórmula P = π × d. No obstante, es posible que algunos alumnos apliquen directamente la fórmula, lo cual es correcto, sin atender las relaciones de proporcionalidad (por ejemplo, si el diámetro aumenta al doble o al triple, el perímetro aumenta en la misma proporción). También puede suceder que en los casos en los que la variación proporcional es evidente, se apoyen en algunas propiedades de la proporcionalidad (por ejemplo, al doble corresponde el doble), y que en otros apliquen la fórmula.

25.12

9.45

100

47.1

3.14

157

Respuestas.b) Aumenta el triple. Puede verse en

la tabla con los diámetros de 4 y 12 y con los de 1 y 3.

c) Disminuye a la mitad. Puede verse con los perímetros de 25.12 y 12.56, y con los de 314 y 157.

d) La constante de proporcionalidad es π.

e) Perímetro = Diámetro × π

Sugerencia didáctica. Tal vez algunos alumnos utilicen los números 3.14 o 3.1416 para expresar la fórmula para calcular el perímetro, sin embargo, lo correcto es que lleguen a la conclusión

de que el perímetro es diámetro por π y no diámetro por 3.14 o 3.1416. Es importante que en distintos momentos de la clase usted haga esa aclaración, para que no se queden con la idea de que la constante de proporcionalidad es la cantidad 3.1416 o 3.14. Lo correcto es que la constante de proporcionalidad es π, y por eso el perímetro se calcula multiplicando el diámetro por π (sin importar el valor aproximado que se tome de π).


154

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón para que algunas parejas pasen a poner sus respuestas. Aproveche el momento para enfatizar algunas de las propiedades de la proporcionalidad apoyándose en la tabla. Por ejemplo: si el diámetro aumenta al doble o al triple, ¿qué sucede con el perímetro?, ¿en qué casos a la suma de los diámetros le corresponde la suma de los perímetros?, ¿por cuánto debe multiplicarse cada una de las medidas del diámetro para obtener el perímetro que le corresponde?

Respuestas. a) El equipo 1 expresó la relación

que hay entre el perímetro y el diámetro mediante una aproximación del valor de π. El equipo 2 expresó una fórmula para encontrar el perímetro. Es importante subrayar con los alumnos que lo correcto es decir Perímetro = diámetro por la constante de proporcionalidad, o bien, Perímetro = diámetro por π, y que como fórmula no es correcto decir Perímetro = diámetro por 3.14 o 3.1416, dado que estas cantidades son aproximaciones de π.

b) La constante de proporcionalidad en la tabla 1 es π (sin importar la aproximación de su valor que se tome).

c) Porque el equipo 1 utilizó la relación que hay del perímetro entre el diámetro y una de las aproximaciones del valor de π, y el equipo 2 utilizó la fórmula para calcular el perímetro de un círculo.

154

secuencia 29e) Encuentren una fórmula para obtener el perímetro de un círculo.

Comparen sus tablas y sus fórmulas. Comenten cómo llenaron la tabla y cómo obtuvie-ron sus fórmulas.

Manos a la obrai. En otra escuela, dos equipos propusieron las siguientes fórmulas para obtener el pe-

rímetro de un círculo.

• En el equipo 1 dicen que la fórmula es:

Perímetro = 3.14Diámetro

• En el equipo 2 dicen que la fórmula es:

Perímetro = diámetro por la constante de proporcionalidad

Comenten:

a) ¿Están de acuerdo con alguna de las dos fórmulas?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad a la que se refiere el equipo 2?

c) Los equipos 1 y 2 obtuvieron los mismos resultados en la tabla 1, ¿por qué?

d) Entre todos obtengan una fórmula para calcular el perímetro de un círculo.

A lo que llegamosEl diámetro es directamente proporcional al perímetro del círculo, es decir, en la misma proporción en que aumenta o disminuye el diáme-tro, aumenta o disminuye el perímetro del círculo. La constante de proporcionalidad es el número . Una aproximación de este número es 3.14

ii. Utilicen la fórmula que encontraron para completar la siguiente tabla:

Diámetro(cm)

Perímetro (cm)

1

2.5

25

50

Para simplificar

los cálculos

pueden utilizar

3.14 como valor

aproximado de .

El valor aproximado

de que utilizó el

equipo 2 fue 3.14

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta información, enfatice que la constante de proporcionalidad es el número π y no el valor aproximado de π, el cual podría ser 3.14, 3.1416, 3.141598, o cualquier otra aproximación. Pida a los alumnos que copien esta información en el cuaderno y que den algunos ejemplos en los que se muestre cómo el diámetro y el perímetro del círculo varían proporcionalmente.


155

5

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información, para que se cuelgue o se pegue en una de las paredes del salón de clases.

Posibles procedimientos. Los alumnos no necesitan realizar los cálculos en cada una de las circunferencias, bastará con que una vez obtenidas todas las medidas de los diámetros calculen el perímetro de una de ellas y, por medio de la proporcionalidad, obtengan las demás. Esto es posible porque los diámetros son proporcionales, miden 1, 2, 4, 6, 7 y 3.5 cm respectivamente. Si los alumnos se sienten inseguros con el uso de la proporcionalidad, pueden comprobar sus resultados haciendo las operaciones directas para cada circunferencia.

Respuestas. La medidas aproximadas de los perímetros, son: 3.14, 6.28, 10.99, 12.56, 18.84 y 21.98 (de menor a mayor).

I

155

MATEMÁTICAS

A lo que llegamos• El perímetro de un círculo se calcula multiplicando la medida de su

diámetro por el número .

Por ejemplo: para calcular el perímetro de un círculo de diámetro 3.2 cm y tomando 3.1416 como valor aproximado de , entonces

• Es decir, podemos obtener el perímetro de cualquier círculo con la fórmula:

Perímetro = por diámetro

Si se llama P al perímetro y d al diámetro, entonces puede escribirse:

P = × d o P = d

Lo que aprendimos1. Midan la longitud de los diámetros y obtengan los perímetros de los siguientes círculos:

Perímetro = 3.2 cm × 3.1416 = 10.05 cm

3.2 cm


156

Integrar al portafolios. Igual que en el ejercicio anterior, es suficiente con que los alumnos obtengan el perímetro de 28” y 24,” y a partir de ellos, el de 14” (es la mitad de 28”) y el de 12” (es la mitad de 24”).

Respuestas. - Para encontrar el diámetro se

multiplica la rodada por 2.54. - Para encontrar el perímetro se

multiplica el diámetro por 3.14.- Para encontrar el número de

vueltas es necesario considerar que 100 m equivale a 10 000 cm, entonces hay que dividir 10 000 entre el perímetro. Para que sean vueltas completas, las cantidades pueden redondearse al entero siguiente: 45, 90, 53 y 105, respectivamente.

Si los alumnos muestran dificultades en el cálculo de los perímetros, revise nuevamente con ellos el último apartado A lo que llegamos de esta sesión. Si nota que tienen dificultades para identificar la relación proporcional que existe entre las bicicletas de adulto y de niño, y entre las bicicletas de montaña y la infantil, haga preguntas similares a las que se le sugieren para el apartado Consideremos lo siguiente de esta sesión.

156

secuencia 292. Se tienen cuatro bicicletas: una de adulto rodada 28, una de niño rodada 14, una de

montaña rodada 24 y una infantil rodada 12. La rodada significa la medida en pul-gadas del diámetro de las ruedas; es decir, que las ruedas de una bicicleta rodada 28tienen un diámetro de 71.12 cm.

a) Completen la siguiente tabla:

Bicicleta Rodada Diámetro del círculo (cm)

Perímetro del círculo(cm)

Número de vueltas en 100 m

Adulto 28” 71.12

Niño 14”

Montaña 24”

Infantil 12”

b) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta

de adulto avance 100 m?

c) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta

de niño avance 100 m?

d) ¿Cuántas vueltas completas tiene que dar la rueda delantera para que la bicicleta

de montaña avance 100? ¿Y cuántas vueltas

tiene que dar la infantil?

Recuerden que:

1 pulgada equivale

aproximadamente

a 2.54 cm.

Para simplificar

los cálculos

pueden utilizar

3.14 como valor

aproximado de .

223.3168 44.77

35.56 111.6584 89.55

60.96 191.4144 52.24

30.48 95.7072 104.48


157

I

157

MATEMÁTICAS3. En el quiosco de una plaza se va a construir un barandal para que puedan jugar los

niños. El quiosco es de forma circular y su radio mide 2 m. El barandal se desea poner en distintos niveles, como se muestra en la imagen. Cada metro de barandal cuesta $150.00a) ¿Cuánto costará el primer nivel del barandal?

b) ¿Cuántos niveles se pueden pagar con $9 500.00?

c) Al final del trabajo se pagaron $7 539.84, ¿cuántos niveles se pusieron?

d) Todos los niveles están a la misma distancia uno del otro, ¿cuánto costará poner un barandal del doble de altura que el del inciso c)?

Para saber másConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: De la Peña, José Antonio. “¿De dónde sale el famoso número ?”, en Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

Marván, Luz María. “Números de cuento y de película”, en Representación numérica.México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

Hernández, Carlos. "Perímetro del círculo", en La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.

Sobre el número consulten:

http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta 23 de agosto de 2007].Ruta: Secundaria Cuadratura del círculo (dar clic en el dibujo de un círculo y un cuadrado) Avanzar tres páginas y llegar a "Definición de "

Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora, UNAM.

Para simplificar los cálculos

pueden utilizar 3.14 como

valor aproximado de .

Respuestas. a) El primer nivel costará $1 884.00.

Este resultado se obtuvo de la siguiente manera: el perímetro es de 12.56 m (tomando a π como 3.14), se multiplica eso por el costo por metro y se obtiene el precio total del primer nivel.

b) Se pueden pagar 5 niveles. Esto es, se divide 9 500 entre 1 884.

c) Se pusieron 4 niveles. Esto es, se divide 7 539.84 entre 1 884.

d) Costará $15 079.68. Esto es, se multiplica 7 539.84 por 2.


158

Propósito de la sesión. Identificar la fórmula del área de un círculo a través de la fórmula del área de un polígono regular y calcular algunas áreas.

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas durante toda la sesión.

Materiales. Calculadora y regla.

Posibles procedimientos. No se espera que los alumnos resuelvan correctamente el problema, sino que hagan uso de sus propios recursos para diseñar una estrategia que les permita aproximarse a la solución. Una posibilidad es que dividan el círculo en figuras que ya conocen, por ejemplo, que lo dividan en varios triángulos iguales, que calculen el área de cada uno de ellos y después las sumen. De manera similar, pueden formar un polígono regular con un número de lados que ellos decidan, aunque entre mayor número de lados tenga el polígono, más se aproximará a la medida real del área del círculo. Si observa que tienen dificultades para establecer una estrategia de solución, usted puede sugerirles que dividan al círculo en figuras que ya conocen.

Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, observe qué procedimientos utilizan para que en el momento de la comparación de resultados usted pueda elegir a 2 o 3 parejas que hayan empleado procedimientos distintos que se aproximen al área del círculo (por ejemplo, alguna que haya utilizado la triangulación, otra que haya trazado un pentágono y otra que haya trazado un polígono con un mayor número de lados). Pregunte al grupo qué procedimiento consideran que permite obtener un resultado más aproximado al área del círculo y por qué.

158

secuencia 30

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen calcular el área y el perímetro de un círculo.

Área del círculoPara empezarEn la secuencia 14 de Matemáticas I, vieste que el área de un triángulo se obtiene mul-tiplicando la base del triángulo por su altura y el resultado se divide entre 2. El área de un paralelogramo se calcula multiplicando su base por su altura.

En la vida cotidiana se encuentran diversos objetos circulares, de los cuales a menudo se necesita calcular su área, por ejemplo: la superficie de una mesa para hacerle un mantel, la superficie del asiento de una silla para tapizarla, el área de un piso para saber la can-tidad de losetas necesarias para cubrirlo, entre otras cosas.

Consideremos lo siguienteEn pareja, planeen una estrategia para calcular el área del siguiente círculo y llévenla a

cabo. ¿Cuál es el área del círculo?

Comenten con otros equipos su procedimiento y resultado.

sesión 1

3 cm

El área de los círculos

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.


1

Área del círculo Identificar la fórmula del área de un círculo a través de la fórmula del área de un polígono regular y calcular algunas áreas.

Video Área del círculo

Interactivo “Cálculo del área del círculo de

Arquímedes“ “Área del círculo”

Aula de medios “Área del círculo”

(Geometría dinámica)

2Áreas y perímetros Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Eje


Tema

Medida.

Antecedentes

En la escuela primaria los alumnos aproximaron áreas de círculos y de figuras curvas mediante el conteo de cuadrículas. En este grado de la educación secundaria los alumnos aprenderán a calcular el área del círculo mediante el uso de la fórmula. Para ello, se apoyarán en el cálculo de áreas de paralelogramos y de polígonos regulares que estudiaron en la secuencia 14.


159

I

159

MATEMÁTICAS

Manos a la obraI. En una escuela encontraron el área de las siguientes maneras:

Procedimiento 1. Un equipo recortó el círculo en 18 partes y las colocó como se mues-tra a continuación.

¿Observaron que la figura se parece a un paralelogramo?

Supongan que esta figura es un paralelogramo y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide su altura?

b) ¿Cuánto mide su base?

Observen que la altura del paralelogramo es aproximadamente igual a la medida del radio del círculo y que su base es aproximadamente igual a la mitad de la longitud de la circunferencia.

c) ¿Cuál es el área aproximada del paralelogramo?

Procedimiento 2. Otro equipo notó que, si hacía polígonos regulares inscritos en una circunferencia, entre más lados tuviera el polígono más se parecía al círculo.

Propósito de las actividades. Ofrecer a los alumnos 2 procedimientos que les permitan aproximarse al área del círculo haciendo uso de los conocimientos que ya tienen para calcular el área de paralelogramos y de polígonos regulares.

Propósito del interactivo. Mostrar una justificación de la fórmula para calcular el área del círculo.

Respuestas.a) Base × altura.

(Si no lo recuerdan, los alumnos pueden repasar la secuencia 14.)

b) 3 cm aproximadamente. c) 9.4 cm aproximadamente.d) 28.3 cm2 aproximadamente.

NOTA: Para los incisos c) y d) se utilizó π = 3.14.

Propósito del interactivo. Mostrar 2 procedimientos de aproximación al área de un círculo. Uno es numérico y el otro es simbólico.


160

Propósito de la actividad. Es importante que los alumnos concluyan que entre mayor sea el número de lados del polígono inscrito:a) Su área es más cercana al área del

círculo. b) La apotema coincide con el radio

del círculo.c) Por lo tanto, si sustituimos los

datos en la fórmula del área de un polígono y se hacen algunas simplificaciones, tenemos que el área del círculo se puede calcular como si fuera un polígono regular: Área del círculo = π × radio × radio

Respuestas.a) El perímetro del polígono se

acerca más al perímetro de la circunferencia. Haga notar a los alumnos que mientras más lados tenga el polígono su perímetro será mayor.

b) La longitud del apotema se acerca más a la longitud del radio. También, mientras más lados tenga el polígono, su apotema será mayor. Recuerde a los alumnos que la apotema va del centro del polígono al punto medio de uno de los lados.

c) Área = perímetro × apotema 2

d) π por diámetro.

e) 28.26 cm2

Es posible que no todos los alumnos puedan elaborar conclusiones a partir de las preguntas anteriores; no obstante, es importante que intenten establecer relaciones y elaborar argumentos. Si tienen dificultades no se preocupe, este procedimiento se detalla en el apartado A lo que llegamos. Una forma de establecer relaciones entre las preguntas anteriores, es la siguiente:

- Cuando aumenta el número de lados del polígono, su área se parece más a la del círculo y la

160

secuencia 30Con ayuda del profesor, comenten con sus compañeros:

a) ¿Qué pasa con el perímetro del polígono y el perímetro de la circunferencia cuando aumenta el número de lados del polígono regular?

b) ¿Qué pasa con la apotema del polígono regular y el radio de la circunferencia cuando aumenta el número de lados del polígono regular?

c) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un polígono regular?

d) ¿Cuál es la fórmula para calcular el perímetro del círculo?

e) Calcula el área del círculo usando la discusión anterior. El área del círculo es:

Recuerda que: Apotema se le llama a la altura de los triángulos iguales en los que se

divide un polígono regular.

Observaste que el área de un círculo puede ser aproximada con la fórmula del área de un polígono regular.

Área de un polígono regular =perímetro × apotema

2Como el perímetro del círculo es por diámetro y la apotema, cuando el número de lados aumenta, coincide con el radio, entonces:

Área de un círculo = × diámetro × radio

2

Y como el diámetro es 2 veces el radio: área de un círculo = × 2 × radio × radio

2Simplificando: Área del círculo = × radio × radio

Si se llama A al área y r al radio, entonces puede escribirse: A = r2

Vean el video Área del círculo y, al término del mismo, en su cuaderno dibujen un círculo cuyo diámetro mida 15 cm y realicen el procedimiento mostrado en el video.

A lo que llegamos

3 cm

3.6 cm 3.4 cm

5 cm

Apotema

apotema se parece más al radio. El área del polígono es:

Área = perímetro × apotema 2

- En el caso del círculo, el perímetro es igual a π × diámetro, o π × 2 veces el radio, o 2 π × radio. (las tres fórmulas son equivalentes).

- Entonces,

perímetro × apotema = 2 2 π × radio × radio = π × radio × radio 2

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta información y posteriormente pídales que vuelvan al problema inicial del apartado Consideremos lo siguiente y que verifiquen, aplicando la fórmula, el área del círculo.

Propósito del video. Mostrar la obtención de la fórmula del área del círculo mediante una aproximación por triangulaciones.


161

I

161

MATEMÁTICAS

Lo que aprendimos: En sus cuadernos obtengan el área del vidrio que cubre las siguientes brújulas.

Áreas y perímetros Para empezarAhora ya sabes calcular el área y el perímetro de un círculo. En esta sesión tendrás la oportunidad de aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas diversos.

Consideremos lo siguienteEl vidrio para una mesa cuadrada de un metro por lado cuesta $300. El vidrio para una mesa circular cuesta $150.00¿Cuál es la medida aproximada del radio de la mesa circular si los costos son proporcio-

nales a la cantidad de vidrio, sin importar si el vidrio es rectangular o circular?

Pueden usar calculadora.

Comparen sus procedimientos y resultados con sus compañeros.

Manos a la obraI. Completen los siguientes procedimientos cuando haga falta y discutan con su pareja

cuál es el correcto.

Procedimiento 1.

Como $150 es la mitad de $300, entonces la mesa circular tiene por radio la mitad de 1 m, es decir, m.

• ¿Cuál es el área de la mesa cuadrada?

• ¿Cuál es el área de una mesa circular cuyo radio mide m?

• Compara las áreas de ambas mesas.

• ¿Consideras correcto este resultado?

• ¿Por qué?

sesión 2

Recuerden que:

Un valor

aproximado de

es 3.14

Respuesta. En cada caso se debe medir el radio. El área se obtiene con la fórmula: π × r 2

Aproximadamente: Radio Área 0.4 cm 0.5 cm2

0.75 cm 1.77 cm2

0.85 cm 2.29 cm2

1.25 cm 4.91 cm2

1.5 cm 7.07 cm2

1.5 cm 7.07 cm2

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas, y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva de manera individual.


Propósito de la actividad. Utilizar sus conocimientos sobre proporcionalidad, áreas y perímetros para resolver un problema que implica el cálculo del área de un círculo.

Respuesta. La mesa cuadrada tiene 1 m2 de área; si la mesa circular cuesta la mitad, entonces tiene la mitad del área de la mesa cuadrada; es decir, tiene medio metro cuadrado de área (0.5 m2). Por lo tanto, hay que encontrar un radio para el que se cumpla π × r 2 = 0.5. Esa medida es de 0.4 m aproximadamente.

Posibles procedimientos. Dado que la mesa circular es la mitad del área de la mesa cuadrada y ésta tiene 1 m por lado, algunos alumnos podrían pensar, erróneamente, que el radio de la mesa circular es de 0.5 m. Otros alumnos podrían establecer la relación de manera correcta, pero es poco probable que tengan una forma sistemática de encontrar la medida del radio, por lo que seguramente probarán con una medida y se irán aproximando poco a poco, a través de varios intentos, hasta encontrar el número que multiplicado por sí mismo y por π, dé 0.5 m2 o una medida cercana.


162

Respuestas.Procedimiento 1. El resultado no es correcto. Si el radio mide 0.5 m, su área es: π x 0.5 x 0.5 = 0.7854 m2. Pero el área debe ser la mitad del área de la mesa cuadrada, esto es 0.5m2. Procedimiento 2. El área de la mesa cuadrada es de 100 cm x 100 cm = 10 000 cm2. Entonces la mesa redonda tiene un área de 5 000 cm2. Este procedimiento es correcto porque el área de la mesa circular sí es la mitad del área de la mesa cuadrada. El área se calcula con la fórmula π × r2. Una buena aproximación para el número que buscamos es 40 cm: 3.1416 × 40 × 40 = 5 024. Los alumnos pueden continuar buscando con números decimales, una mejor aproximación es 39.9 cm o 39.89 cm. En metros el resultado es 0.4 m o 0.39 m.

162

secuencia 30

Procedimiento 2. Calculamos en centímetros cuadrados el área de la mesa cuadrada, esto es:

cm x cm = cm 2

Como el vidrio para la mesa redonda costó la mitad, entonces el área de la mesa redon-da es la mitad del área de la mesa cuadrada, es decir:

Área de la mesa circular = Área mesa cuadrada= cm 22

Como el área de un círculo se calcula con la fórmula:

buscamos, con ayuda de la calculadora, un número que multiplicado por sí mismo y después por 3.14 nos dé el área de la mesa circular. Ese número es: • ¿Cuál es el área, en centímetros cuadrados, de una mesa circular cuyo radio tiene

esta última medida? • Compara las áreas de ambas mesas.

• ¿Consideras correcto este resultado?

• ¿Por qué?

Comparen y comenten sus respuestas con sus compañeros de grupo.

ii. La siguiente figura es un disco compacto. Las áreas anaranjada y blanca se llaman coronas circulares.

5.95 cm

1.9 cm 0.75 cm


163

Respuestas.a) El área de la corona anaranjada es

aproximadamente de 99.83 cm2. Una manera de resolver es la siguiente: se calcula el área total del círculo delimitado por la circunferencia roja y se le resta el área delimitada por la circunferencia azul. La primera circunferencia tiene un área de 11.16 cm2, y la segunda circunferencia tiene un área de 11.33 cm2, entonces al hacer la resta nos da el área de la corona circular anaranjada: 99.83 cm2. Todos los resultados son aproximados, porque estamos tomando un valor aproximado para π igual a 3.14.

b) El área de la corona circular blanca es aproximadamente de 9.56 cm2. Se resta el área delimitada por la circunferencia azul, menos el área delimitada por la circunferencia verde: 11.33 – 1.77 = 9.56 cm2.

Sugerencia didáctica. Una vez que el grupo haya llegado a un acuerdo sobre los procedimientos correctos, pida a los alumnos que intenten describir uno de esos procedimientos en su cuaderno. En general, el procedimiento consiste en calcular el área del círculo mayor y restarle el área del círculo menor.

I

163

MATEMÁTICASa) El área de la corona circular anaranjada, que es la parte del disco compacto donde

se graba la información, mide:

b) El área de la corona circular blanca, que es la protección del disco compacto, mide:

c) En su cuaderno escriban cómo obtuvieron el área de ambas coronas circulares.

Comparen en grupo los procedimientos de cada equipo y escriban en sus cuadernos un procedimiento general para obtener el área de una corona circular.

Lo que aprendimos1. ¿Cuánto medirá, aproximadamente, el radio de una ventana circular si el área del vi-

drio mide 2 827.44 cm2?

2. ¿Cuánto medirá el diámetro de un carrete, como el de la ilustración, si su perímetro es

igual a 11 cm?

3. Obtengan el área de la corona circular azul.

4. Calculen el área de la parte sombreada de co-lor verde. El punto verde es el centro del cír-culo verde y el punto negro es el centro del círculo blanco.

5. Calcula el área de la parte sombreada en color gris de la siguiente figura. El punto negro es el centro de los círculos.

Para saber másSobre el área del círculo consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Hernández, Carlos. La geometría en el deporte. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2002.Sobre el área del círculo consulta: http://www.interactiva.matem.unam.mx[Fecha de consulta 23 de agosto de 2007]. RUTA: Secundaria Cuadratura del círculo dar clic en el dibujo de un círculo y un cuadrado.Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora, UNAM.

1.9 cm1.3 cm

0.6 cm

1.25 cm0.9 cm

2.5 cm

0.9 cm

Respuestas.1. El radio mide 30 cm

aproximadamente. Se debe buscar un radio que al aplicar la fórmula π × r2, se obtenga 2 827.44 cm2.

2. El diámetro mide 3.5 cm aproximadamente. La fórmula para el perímetro es π × diámetro, entonces debe buscarse el número que multiplicado por π dé 11.

3. El círculo mayor tiene un área aproximada de 4.9 cm2, el círculo menor tiene un área aproximada de 2.54 cm2. Se calcula la diferencia entre ambas áreas para obtener el área de la corona circular azul, que es aproximadamente de 2.36 cm2.

4. El procedimiento es el mismo que el anterior: se debe restar el área del círculo mayor, menos el área del círculo menor. El resultado es: 2.36 cm2.

5. Se necesita calcular el área del círculo de radio 1.3 cm y el área del círculo de radio 0.6 cm. Se restan ambas áreas y el resultado es de 4.17 cm2. Es importante que los alumnos lleguen a establecer que el hecho de mover el círculo interno en las figuras no altera el procedimiento para obtener el área de una corona circular.

Integrar al portafolios. Considere los ejercicios 4 y 5 para el portafolios de los alumnos. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para establecer una estrategia que les permita resolver el problema, revise nuevamente con ellos el problema que resolvieron en la actividad II del apartado Manos a la obra de esta sesión, y comente con ellos cuál es la estrategia general para hallar el área de coronas circulares.


164

Propósitos de la sesión. Solucionar problemas sencillos de conversión entre dos tipos de moneda para determinar e interpretar la expresión algebraica o relación funcional asociada al problema. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad directa en la búsqueda de la expresión algebraica.

Organización del grupo. Hay momentos de trabajo en grupo, de parejas e individual.

Propósito del video. Contextualizar a lo largo de la historia el problema del cambio de monedas mediante el establecimiento del “tipo de cambio”.

164

secuencia 31

En esta secuencia aprenderás a formular la expresión algebraica que corresponde a la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales. También aprenderás a asociar los significados de las variables en la expresión y = kx, con las cantidades que intervienen en dicha relación.

Cambio de monedaPara empezarHistoria de la moneda

Los orígenes de la moneda como forma de pago se remontan al siglo VII antes de Cristo, en la antigua Grecia. La moneda surge como una necesidad de superar las formas de intercambio como el trueque. Para ello, había que darle cierto valor a algo tan pequeño como un simple trozo de metal. La solución fue fabricar la moneda con metales precio-sos como el oro y la plata.

Las monedas registran acontecimientos que ocurrieron hace miles de años y hechos que sólo se conocen a través de ellas.

Existen algunos emperadores romanos de los que se conoció su existencia por aparecer en las monedas que ellos mismos mandaron acuñar.

En la secuencia 21 de su libro de Matemáticas I, volumen II resolviste problemas de conversiones o de tipo de cambio del dólar respecto del peso: un dólar equivale a $11.70.1 El tipo de cambio entre la moneda de un país y la de otro es la cantidad de dinero que se recibe por la unidad en el otro tipo de moneda. En la actualidad hay ne-gocios que se dedican a cambiar monedas de un país por monedas de otro. Estos nego-cios se llaman casas de cambio.

En esta sesión aprenderás a realizar conversiones entre la moneda de México y las mo-nedas de distintos países.

sesión 1

1 Tipo de cambio vigente al 24 de noviembre de 2005.

Relaciones de proporcionalidad

Propósitos de la secuencia Formular la expresión algebraica que corresponde a la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales. Asociar los significados de las variables en la expresión y = kx

con las cantidades que intervienen en dicha relación.


1

Cambio de moneda

Solucionar problemas sencillos de conversión entre dos tipos de moneda para determinar e interpretar la expresión algebraica o relación funcional asociada al problema. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad direc-ta en la búsqueda de la expresión algebraica.

Video Historia de la

moneda Interactivo “Variación

proporcional 6”

2

Expresiones algebraicas y relaciones de proporcionalidad en distintos contextos Encontrar la expresión algebraica o la relación funcional cuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad. Una vez encontrada la expresión algebraica, hallar la inversa y notar las similitudes y diferencias entre estas dos expresiones algebraicas.

Eje


Tema


Antecedentes

En secuencias anteriores los alumnos han trabajado tanto situaciones de proporcionali-dad directa como situaciones en las que deben expresar algebraicamente sucesiones numéricas, relaciones geométricas y entre cantidades que varían. En esta secuencia los alumnos estudiarán la representación algebraica de una variación específica: la proporcionalidad directa.


165

I

165

MATEMÁTICAS

Consideremos lo siguienteLa tabla 1 muestra algunas conversiones que se hicieron en una casa de cambio con monedas de distintos países respecto del peso mexicano.

País Nombre de la moneda Cantidad en la moneda correspondiente

Cantidad recibida en pesos mexicanos

Estados Unidos de América Dólar estadounidense 10 117

España Peseta española 100 7.48

Inglaterra Libra esterlina 200 3 666

Japón Yen japonés 200 17.8

Guatemala Quetzal guatemalteco 150 210

Tabla 1

Vicente fue de viaje a los Estados Unidos de América y a Guatemala. A su regreso, cambió las monedas que le sobraron: 13 dólares estadounidenses y 8 quetzales guatemaltecos.

Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué cantidad en pesos recibió Vicente por los 8 quetzales guatemaltecos?

b) ¿Qué cantidad en pesos recibió Vicente por los 13 dólares estadounidenses?

Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla para encontrar la cantidad en pesos que equivale a 8

quetzales guatemaltecos.

Cantidad de quetzales guatemaltecos

Cantidad recibida en pesos mexicanos

150 210

50

5

1

8

Tabla 2

Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que la peseta española fue la moneda oficial en ese país hasta 1999. Tras su incorporación a la Unión Europea la moneda oficial es el euro.

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden utilizar distintas estrategias para hallar los valores que se les piden, por ejemplo, encontrar el valor unitario o hacer una tabla. Permítales utilizar cualquier procedimiento, incluso si es erróneo, más adelante tendrán oportunidad de verificar sus resultados.

Respuestas.a) Por un quetzal se reciben 1.40

pesos (se divide 210 entre 150), entonces por 8 quetzales se reciben 11.20 pesos (1.4 por 8).

b) Por un dólar americano se reciben 11.70 pesos, por 13 dólares se reciben 152.10 pesos (11.7 por 13).

Propósito del interactivo. Deducir las expresiones algebraicas que corresponden a la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales.

Propósito de la actividad. En el apartado Manos a la obra se privilegia el uso de la constante de proporcionalidad para la resolución del problema, ya que se pretende que el alumno asocie la ecuación de la forma y = kx a una relación de proporcionalidad directa.

Respuestas. Es conveniente que escriban las cantidades con números decimales. Si algunos alumnos ponen tU indíqueles que lo escriban como 1.4.

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos cuántos pesos y cuántos centavos son $1.4, porque es común que piensen que equivale a un peso con cuatro centavos. Explíqueles que un décimo de peso (0.1) es igual a la décima parte, es decir, a 10 centavos, por lo tanto, 0.4 son 40 centavos. Si lo prefieren, pueden escribir $1.40 para no confundirse.

707 1.4

11.2


166

3

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta afirmación y pregúnteles:- ¿Qué significa que los quetzales guatemaltecos

y los pesos sean cantidades directamente proporcionales?

- ¿Ocurrirá lo mismo entre el yen japonés y el peso?- ¿Y entre el yen japonés y la libra esterlina?

Sugerencia didáctica. Reconocer la constante de proporcionalidad es muy importante en esta secuencia para poder asociarle a la situación de cambio de moneda (y a otras que involucren relaciones de proporcionalidad directa) la expresión y = kx, por lo que vale la pena dedicarle un tiempo a esta pregunta si los alumnos tienen dificultades.

Respuesta. La constante de proporcionalidad es 1.4 pesos por cada quetzal guatemalteco.

2

Sugerencia didáctica. Permita que se discuta en grupo la expresión algebraica. Para iniciar, puede ser útil plantear a los alumnos algunas preguntas como:¿Cuál es la constante en la expresión? ¿Es una constante de proporcionalidad o aditiva?¿Cuáles son las variables?¿Qué significa 1.4x?¿Alguien podría leer la expresión?¿Alguien podría leer la expresión explicando el significado de las variables? (por ejemplo, “la cantidad de pesos y es igual a la cantidad de quetzales guatemaltecos x multiplicada por 1.4”).

Sugerencia didáctica. Si sus estrategias anteriores fueron correctas deben obtener el mismo resultado al utilizar la expresión algebraica. Si hay resultados distintos, corríjanlos y averigüen cuál fue el error.

166

secuencia 31Los quetzales guatemaltecos y los pesos son cantidades directamente proporcionales,

¿cuál es la constante de proporcionalidad que permite multiplicar cualquier cantidad de

quetzales guatemaltecos y encontrar su equivalente en pesos?

ii. Un equipo de otra escuela hizo la siguiente observación:

Si llamamos x a la cantidad de quetzales guatemaltecos que se van a cambiar y lla-mamos y a la cantidad de pesos que se obtienen por el cambio, la siguiente expresión algebraica permite obtener la cantidad y de pesos:

y = 1.4x

Comenten:

a) ¿Están de acuerdo con la expresión algebraica que encontraron en el otro grupo?

b) Con esta expresión encuentren cuántos pesos obtienen si cambian 8 quetzales. ¿Obtuvieron el mismo resultado que al llenar la tabla?

iii. Llamen x a la cantidad de dólares que se van a cambiar y llamen y a la cantidad de pesos que se obtiene por el cambio. ¿Cuáles de las siguientes expresiones algebraicas permiten obtener y a partir de x?

• y = x• 11.70x = y• 11.70y = x• x = y• y = 11.70x• x = 11.70y

Comparen las expresiones que escogieron.

iV. Completen la siguiente tabla para encontrar las expresiones algebraicas que corres-ponden a las distintas situaciones de proporcionalidad de la tabla 1.

Relación proporcionalidad Expresión algebraica

Cambio de dólar estadounidense (x)a pesos (y) y = 11.70x

Cambio de quetzales guatemaltecos (x)a pesos (y) y = 1.4x

Cambio de libra esterlina (x)a pesos (y)

Cambio de peseta española (x)a pesos (y)

Cambio de yen japonés (x)a pesos (y)

Tabla 3

2

Sugerencia didáctica. Una vez que haya consenso sobre cuáles son las expresiones algebraicas correctas, escríbalas en el pizarrón y pida a los alumnos que las lean en voz alta y que expliquen en qué se parecen y en qué son diferentes. Como resultado de años de práctica con la aritmética, para muchos alumnos el signo igual ( = ) no significa que lo que está a la izquierda del signo sea equivalente a lo de su derecha, sino que lo de la derecha es el resultado de lo de la izquierda, es decir, el signo es unidireccional. Por eso es importante que se comenten casos como éste, en el que las expresiones son idénticas pero el término 11.70x aparece en uno u otro lado del signo igual.

Respuestas. Por una libra esterlina obtenemos 18.33 pesos (se divide 3 666 entre 200). Por una peseta obtenemos 0.0748 pesos (se divide 7.48 entre 100). Por un yen obtenemos 0.089 pesos (se divide 17.8 entre 200). Entonces las expresiones algebraicas son: Libra a peso y = 18.33x Peseta a peso y = 0.0748x Yen a peso y = 0.089x

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que a partir de las expresiones algebraicas digan:- Por cuál moneda extranjera (un dólar americano, un quetzal guatemalteco, etc.)

dan más pesos al cambio.- Por cada peso, de cuál moneda extranjera puede comprarse una mayor cantidad.

Sugerencia didáctica. Puede ser de utilidad que encuentren la constante de proporcionalidad que permite saber a cuántos pesos equivale cierta cantidad de dólares americanos. Esa constante es 11.7 pesos por cada dólar americano.

Respuestas. Hay dos expresiones correctas (11.70x = y y y = 11.70x ). Si hay alumnos que tienen dificultad en reconocerlas puede pedirles que utilicen cada una de las seis expresiones para hallar la cantidad de pesos a los que equivalen , por ejemplo, 5 dólares (tendrían que obtener y = 58.5), para descartar aquellas que son erróneas.


167

I

167

MATEMÁTICAS

A lo que llegamosA las relaciones de proporcionalidad directa les corresponden expre-siones algebraicas que permiten encontrar las cantidades multiplican-do su correspondiente por la constante de proporcionalidad.

Por ejemplo, si la cantidad de dólares estadounidenses que se van a cambiar se representa como x, y la cantidad de pesos que se obtienen se representa como y, entonces la expresión algebraica

y = 11.70xpermite saber la cantidad de pesos (y) que se obtienes al cambiar cierta cantidad de dólares (x). La constante de proporcionalidad en este caso es: 11.70 pesos por cada dólar.

Esta expresión es llamada la expresión algebraica que corresponde a la relación de proporcionalidad directa.

Lo que aprendimos1. Completa la siguiente tabla para encontrar las cantidades de pesos que se obtienen

al cambiar distintas cantidades de dólares canadienses.

Cantidad de dólares canadienses Cantidad recibida en pesos mexicanos

20 178

10

1

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite calcular la cantidad de

pesos obtenidos al cambiar dólares canadienses?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica para calcular la cantidad de pesos obtenidos al

cambiar dólares canadienses?

Respuestas. a) Es 8.9 pesos por cada dólar

canadiense.b) y = 8.9x

y son los pesos, x son los dólares canadienses.

Sugerencia didáctica. Diga a los alumnos que investiguen las cotizaciones actualizadas de diversas monedas y realicen varios ejercicios de este tipo: encontrar la constante de proporcionalidad y la expresión algebraica que permiten realizar la conversión de una moneda a otra.

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos una copia de sus respuestas a esta actividad y valore sus resultados. Si tienen dificultades, realicen más cambios entre monedas, averigüen cuál es la constante de proporcionalidad y escriban sus expresiones algebraicas.

89

8.9


168

Propósito de la sesión. Encontrar la expresión algebraica o la relación funcional cuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad. Una vez encontrada la expresión algebraica, hallar la inversa y notar las similitudes y diferencias entre estas dos expresiones algebraicas.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas y de manera individual.

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos puedan llenar la tabla con facilidad porque las han utilizado anteriormente en los temas de proporcionalidad. El desafío al que van a enfrentarse en esta actividad consiste en escribir expresiones algebraicas que den cuenta de las relaciones de proporcionalidad implicadas en la situación cuando se componen dos constantes de proporcionalidad.

Respuestas.a) El tamaño real se multiplica por

150 para obtener el tamaño final. Si llamamos w al tamaño final, y x al tamaño real, entonces w = 150x.

b) El tamaño real ( x ) se multiplica por 15 para pasar al tamaño de la primera lente ( y ). y = 15x

c) El tamaño obtenido con la primera lente ( y ) se multiplica por 10 para obtener el de la segunda lente o tamaño final ( w ). w = 10y

Recuerde que los alumnos pueden utilizar otras letras.

168

secuencia 31

expresiones algebraiCas y relaCiones de proporCionalidad en distintos ContextosPara empezarEn esta sesión continuarás estudiando las expresiones algebraicas correspondientes a las situaciones de proporcionalidad.

En la secuencia 16 de tu libro de Matemáticas I, volumen I estudiaste la aplicación su-cesiva de constantes de proporcionalidad en el cálculo de amplificaciones de imágenes con los microscopios ópticos compuestos.

Consideremos lo siguiente

sesión 2

Tamaño real(micras)

Tamaño obtenido con la primera lente

(micras)

Tamaño final (micras)

Bacteria 1 3 45Espermatozoide

humano 8

Cloroplasto 11

Glóbulo rojo 12

Glóbulo blanco 200

Tabla 1

En esta tabla hay varias relaciones de proporcionalidad. En sus cuadernos escriban la expresión algebraica que permite:

a) Pasar del tamaño real del objeto al tamaño final.

b) Pasar del tamaño real al tamaño obtenido con la primera lente.

c) Pasar del tamaño obtenido con la primera lente al tamaño obtenido con la segun-da lente.

En el laboratorio de Ciencias hay algunos microscopios compuestos. Uno de ellos tiene una lente en el objetivo que aumen-ta 15 veces el tamaño de los objetos. Ade-más, tiene una lente en el ocular que au-menta 10 veces.

Llenen la siguiente tabla para encontrar el tamaño con el que se verán las imágenes usando este microscopio.

450 120 1 200 165 1 650 180 1 800 3 000 30 000


169

I

169

MATEMÁTICAS

Manos a la obraI. En el siguiente diagrama se llama x al tamaño real, y al tamaño obtenido con la pri-

mera lente y w al tamaño final visto en el microscopio. Complétenlo:

Comparen las fórmulas que obtuvieron en el diagrama y comenten cómo las obtuvieron.

A lo que llegamosCuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidadse obtienen varias relaciones de proporcionalidad. Para cada una de estas relaciones se puede encontrar una expresión algebraica.

Por ejemplo, en un microscopio con lentes de 20 y 30 veces de aumen-to, si se llama x al tamaño real, y al tamaño obtenido con la primera lente y w al tamaño final, se pueden obtener:

• La expresión que permite pasar del tamaño real al tamaño obteni-do con la primera lente: y = 20x

• La expresión que permite pasar del tamaño obtenido con la prime-ra lente al tamaño obtenido con la segunda lente: w = 30y

• La expresión que permite pasar directamente del tamaño real al tamaño final:

w = 600xLa constante de proporcionalidad de la última expresión se obtiene al multiplicar las constantes dadas por los aumentos de las lentes.

Expresión algebraica para pasar del tamaño real al tamaño

obtenido con la primera lente

y = 15x

Expresión algebraica para pasar del tamaño obtenido con la primera lente al tamaño

final

____________

Expresión algebraica para pasar del tamaño real al tamaño final

_____________

Tamaño obtenido con la primera lente:

Tamaño real: Tamaño final:

w = 10y

w = 150x

Sugerencia didáctica. Proponga a los alumnos otros ejemplos de microscopios compuestos para que practiquen la escritura de expresiones algebraicas y pídales que averigüen cuál es la constante de proporcionalidad que les permite pasar del tamaño real al tamaño final.


170

170

secuencia 31ii. En la secuencia 15 de su libro de Matemáticas i aprendieron que el rendimiento de

un automóvil es el número de km recorridos por cada litro de gasolina.

Si el rendimiento de un automóvil es de 18 km por litro de gasolina,

a) ¿Cuántos km recorrerá ese automóvil con 2 de gasolina?

b) ¿Y con 5 litros de gasolina?

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular la distancia recorrida para

cualquier cantidad de litros de gasolina?

Completen la siguiente tabla para saber cuántos litros de gasolina consume el automóvil en las distintas rutas indicadas en la tabla.

Ruta Distancia recorrida(km)

Consumo de gasolina ( )

Morelia – Guanajuato 162

Ciudad Victoria – Monterrey 288

Ciudad de México – Guadalajara 576

Aguascalientes – Campeche 1 818

Tabla 2

d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el consumo de

gasolina a partir de la distancia que se recorre?

e) ¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta situación de proporciona-

lidad?

A lo que llegamosEn la relación de proporcionalidad del rendimiento de gasolina encon-traron dos expresiones algebraicas:• La que permite calcular los kilómetros que se pueden recorrer con

cierta cantidad de litros de gasolina.• La que permite calcular la cantidad de gasolina necesaria para

recorrer cierta cantidad de kilómetros.

Respuestas. a) 36 km (18 × 2).b) 90 km (18 × 5).c) La constante de proporcionalidad

es 18 km por litro. Si la distancia recorrida ( y ) es igual al consumo de litros de gasolina por 18, entonces la expresión es y = 18x.

Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que pueden utilizarse otras letras, siempre y cuando se indique el significado de cada una. Por ejemplo:d = 18la = 18bm = 18n

Propósito de la actividad. Ahora los alumnos tienen que averiguar cuál es el consumo de gasolina conociendo la distancia recorrida, o sea, se invierte el lugar en el que se encuentra el dato a hallar. En las 3 preguntas anteriores la situación era:

A tantos ¿Qué distancia litros de se recorre? gasolina

Como se plantea en la tabla 2 es:

A tantos ¿Cuántos litros kilómetros de gasolina se recorridos consumen?

Ambos casos son parte de una misma relación de proporcionalidad directa, pero se invierte el conjunto de partida: en el primer caso es el consumo de gasolina y en el segundo la distancia recorrida. Para los alumnos esto implica encontrar 2 constantes de proporcionalidad, una inversa de la otra: 18 km por litro y q Q i de litro por km.

Respuestas.d) Es q Q i de litro de gasolina por cada

kilómetro recorrido (se multiplican los kilómetros recorridos por q Q i o se dividen entre 18).

e) El consumo de gasolina ( x ) es igual a los kilómetros recorridos ( y ) por q Q i , entonces la expresión es x = q Q i y.

9

16

32

101


171

I

171

MATEMÁTICAS

Lo que aprendimosUn microscopio tiene una lente en el objetivo que aumenta 30 veces el tamaño de los objetos y una lente en el ocular que aumenta 20 veces.

1. Encuentra:

a) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño real de un objeto a su ta-

maño final.

b) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño real a su tamaño obtenido

con la primera lente.

c) La expresión algebraica que permite pasar del tamaño obtenido con la primera

lente al tamaño obtenido con la segunda lente.

2. Hay una célula que con este microscopio se ve de 3 milímetros de tamaño, ¿cuánto

mide realmente?

Encuentra la expresión algebraica que permite encontrar el tamaño real de un objeto

si se sabe el tamaño final con el que se ve.

Para saber másSobre el tipo de cambio entre monedas de distintos países consulta: http://www.oanda.com/convert/classic?user=etravetware lang=es[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

Recuerden que:

Un número y su

recíproco multipli-

cados dan 1. Por

ejemplo:

6 × = 1

y = 18x

Cantidad delitros de gasolina

Kilómetrosrecorridos

x = y

El siguiente diagrama muestra la relación que existe entre estas dos expresiones:

En este caso, las constantes de proporcionalidad son números recíprocos, es decir, la constante de proporcionalidad de la segunda expresión es el recíproco de la constante de proporcionalidad de la primera.

Sugerencia didáctica. Copie en el pizarrón el diagrama y analícenlo juntos. Pregunte a los alumnos:- Si se ve la relación que señala

la flecha de arriba, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

- ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa a la anterior (la relación que señala la flecha de abajo)?

- ¿Por qué el recuadro afirma que 18 y q Q i son números recíprocos? Si no lo saben, sugiérales que revisen la secuencia 10, sesión 4, en la que vieron el tema de los números recíprocos.

Integrar al portafolios. Guarde una copia de las respuestas de cada alumno a las preguntas de este apartado. Si después de revisarlas considera necesario hacer un repaso, vuelvan al apartado Manos a la obra de esta secuencia.

Respuestas. 1.a) Los objetos aumentan 600 veces,

así que la expresión es y = 600x (y es el tamaño final y x el tamaño real).

b) w = 30x (w es el tamaño obtenido con la primera lente).

d) y = 20w

2.Hay que dividir y p E p = w p Q p de milímetro. Expresado como número decimal es 0.005 milímetros o 5 micras (una micra es 0.001 milímetros). x = y p Q p y (siguiendo la nomenclatura anterior).


172

Propósito de la sesión. Analizar y construir gráficas de variación directamente proporcional y no proporcional. Comparar gráficas de variación proporcional con otras gráficas.

Organización del grupo. A lo largo de la sesión se sugiere trabajo en equipos, en parejas e individual.

Propósito del video. Ejemplificar el uso de gráficas para el análisis y la representación de distintas situaciones problemáticas.

1

Propósito de la actividad. La presentación de esta gráfica tiene como objetivo introducir algunos conceptos (como el nombre de los ejes), y recordar otros (como la localización de un punto mediante ejes de coordenadas y el análisis de la información). Como puede observarse, no presenta una relación de proporcionalidad. Se espera que al incluir gráficas que representan distintos tipos de relaciones entre sus datos, los alumnos noten las diferencias y distingan cuáles gráficas representan relaciones proporcionales.

172

secuencia 32

En esta secuencia aprenderás a explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

Gráficas y sus característicasPara empezarGráficas

Mediante el uso de las gráficas se pueden interpretar y explicar situaciones diversas, por ejemplo:

• El crecimiento de la población en determinada región del país en un tiempo dado.

• La variación del peso de un bebé a lo largo de cierto tiempo.

• El índice de natalidad en un país a través del tiempo.

En la secuencia 7 ¿cómo es y dónde está la población? de su libro de Geografía de México y del mundo, volumen I estudiaron la distribución de la población en México. La siguiente es una gráfica que muestra el crecimiento de la población de nuestro país en los últimos 8 años.

sesión 1

Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad

104

103

102

101

100

99

98

97

96

95

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Crecimiento de la población en los últimos 8 años

A = (2004, 104)

Mill

on

es d

e h

abit

ante

s

Años

Propósitos de la secuencia Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en

el plano cartesiano.


1

Gráficas y sus características Analizar y construir gráficas de variación directamente proporcional y no proporcional. Comparar gráficas de variación proporcio-nal con otras gráficas.

Video Gráficas

Geografía de México y el

mundo Secuencia 7

2Comparación de gráficas Analizar las propiedades de las gráficas asociadas a cantidades directamente proporcionales.

Interactivo “Variación

proporcional y gráficas”

Eje


Tema


Antecedentes

En esta secuencia se parte de los conocimien-tos con los que ya cuentan los alumnos sobre proporcionalidad directa y su expresión algebraica, para vincularlos con su represen-tación en el plano cartesiano.


173

I

173

MATEMÁTICASPara localizar e interpretar los puntos de una gráfica se hace uso de sus coordenadas. Las coordenadas del punto A son (2004,104), esto quiere decir que en el año 2004 había 104 millones de habitantes. En la primera coordenada del punto, llamada abscisa, van los años, y en la segunda coordenada del punto, llamada ordenada, el número de habitantes que hubo en ese año. El punto A tiene como abscisa a 2004 y como ordenada a 104.

De acuerdo con la información de la gráfica, respondan lo siguiente:

a) ¿En qué año había 102 millones de habitantes?

b) ¿En qué año había 95 millones de habitantes?

c) Localicen el punto que tiene ordenada 96. ¿Cuál es su abscisa?

¿A qué año corresponde este punto? ¿Cuántos mi-

llones de habitantes hubo en ese año?

d) Completen la siguiente tabla para establecer el número de habitantes que hubo en los años que se indican.

Año Número de habitantes (en millones)

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004 104

Comenten:

¿Cómo se vería la gráfica si de un año a otro la población no hubiera crecido?

Consideremos lo siguienteA continuación van a construir las gráficas de dos situaciones que han es-tudiado en este libro.

• En la secuencia 27 de su libro de Matemáticas I, Volumen II analizaron que el peso de un bebé durante el primer año de vida aumenta aproxi-madamente 0.5 kg por mes. Elaboraron una tabla en la que se muestra cómo va cambiando el peso de un bebé mes con mes, hasta cumplido un año de edad, considerando que el bebé al nacer pesó 3 kg.

a) En sus cuadernos copien la tabla que completaron en la secuencia 27.

b) Con los datos de la tabla terminen la siguiente gráfica:

Respuestas. a) En el 2002.b) En 1997.c) 1998

95969899

100102

103 Sugerencia didáctica. Si los alumnos no conocen la respuesta, pídales que copien la gráfica en su cuaderno añadiendo en el eje de las abscisas los años 2005 y 2006, y suponiendo que el total de habitantes siguiera siendo el mismo que en el 2004, 104 000 000.


174

Respuestas.c) Entre los 8 y 9 meses.d) Entre el primero y segundo mes

de edad.

174

secuencia 32

c) ¿En qué mes el bebé pesó 7.2 kg?

d) ¿En qué mes el bebé pesó 3.6 kg?

• Las compañías fabricantes de automóviles hacen pruebas de velocidad a sus autos para verificar sus motores, frenos y sistemas de suspensión. Entre otras cosas, deben verificar que las velocidades a las que pueden viajar se mantengan constantes duran-te recorridos largos.

En la secuencia 6 de su libro de Matemáticas I, volumen I hicieron una tabla de la velocidad promedio de un automóvil. Supongan que, viajando en carretera, un auto-móvil va a 120 km por hora en promedio.

a) Completen la siguiente tabla para encontrar las distancias recorridas.

Tiempo de viaje (en horas) Kilómetros recorridos

1

2

3

4

5

6

Crecimiento del bebé durante sus primeros 6 meses

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7.5

7

6.5

6

5.5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

Kilo

gra

mo

s

Meses

120

240

420

504

640

720

Sugerencia didáctica. Si los alumnos no recuerdan cómo multiplicar números fraccionarios, pídales que revisen la secuencia 10. También podrían averiguar a cuántos minutos equivale wQ y eQ de hora, así sólo tendrían que multiplicar números naturales.


175

I

175

MATEMÁTICASb) Con los datos de la tabla anterior, completen la siguiente gráfica.

c) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer el automóvil 20 km?

d) ¿Cuánto tiempo tarda en recorrer el automóvil 40 km?

Respondan:

¿Cuál de las dos gráficas que acaban de construir, la del peso del bebé y la de la velocidad

promedio del automóvil, corresponde a una situación de proporcionalidad?

Comparen sus respuestas y sus gráficas.

Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto pesó el bebé a los dos meses de nacido?

b) ¿Cuánto pesó a los cuatro meses?

c) A los 6 meses el bebé pesó 6 km. ¿Cuánto pesó a los 12 meses?

6

5

4

3

2

1

0 120 240 420 504 640 720

Distancia (en kilómetros)

Tiem

po

(en

ho

ras)

(120, 1)

(240, 2)3

Sugerencia didáctica. Organice un intercambio de ideas sobre esta pregunta. Trace en el pizarrón o en cartulina la gráfica correspondiente a la situación del peso del bebé y pregunte si es o no proporcional y pida que le expliquen por qué. Luego, haga lo mismo con la del automóvil. Compárenlas y pregunte a los alumnos qué es igual y qué es distinto en una con respecto de la otra. Si no llegan a un acuerdo, permítales seguir resolviendo la sesión, más adelante tendrán oportunidad de comentarlo.

Propósito de la pregunta. Es importante que los alumnos analicen en las gráficas qué caracteriza a una relación de proporcionalidad directa. Aunque la gráfica del peso del bebé da la impresión de ser directamente proporcional (porque cada mes aumenta 0.5 kg), cuando el bebé nace (tiene 0 meses) ya pesa 3 kg, por lo que la recta no pasa por el punto 0,0. En cambio, en la situación del automóvil a 0 horas de viaje corresponden 0 km de recorrido y la recta sí pasa por el punto 0,0.

Respuestas. Si el peso del bebé es y y la edad x, se puede hallar el peso del bebé con la ecuación y = 0.5x + 3.a) 4 kg.b) 5 kg.c) 9 kg.

Sugerencia didáctica. Comenten en el grupo su respuesta al inciso c). Posiblemente algunos alumnos respondieron que el bebé pesa 12 kg a los 12 meses, pero eso es incorrecto porque no es una relación de proporcionalidad directa. Si existe confusión, recurra a lo que los alumnos aprendieron en otras secuencias. Saben que en las relaciones proporcionales hay una constante de proporcionalidad, pregúnteles si en esta situación es posible hallarla.

Respuestas. c) 20 km es la sexta parte de 120 km,

así que los recorre en yQ de hora o 10 minutos.

d) 20 minutos (el doble que lo que se tarda en recorrer 20 km).


176

Respuestas. a) yQ de hora son 10 minutos.b) Sí, 0 minutos.c) 0 km.

Sugerencia didáctica. Después de leer esta información, pídales que regresen a la última pregunta del apartado Consideremos lo siguiente y corrijan si es necesario.

176

secuencia 32ii. Completen la siguiente tabla para encontrar el número de kilómetros recorridos en

las distintas fracciones de tiempo que se indican:

Tiempo de viaje(hs) Kilómetros recorridos

1

Comenten:

a) ¿En qué fracción de tiempo se recorren 20 km?, ¿a cuántos minutos es equivalen-te esta fracción de tiempo?

b) ¿Hay un tiempo para el cual el automóvil recorre 0 km?

c) ¿Cuántos kilómetros se recorren en cero minutos?

A lo que llegamos• Las gráficas son de mucha utilidad para representar diversas situa-

ciones que se quieran estudiar. Por ejemplo, la gráfica de la veloci-dad constante del automóvil es una gráfica de proporcionalidad directa, porque la distancia recorrida por el automóvil y el tiempo que tarda en recorrerla son cantidades directamente proporcionales.

• En las situaciones de proporcionalidad el punto (0,0) es parte de la gráfica (en 0 horas se recorren 0 km). Esto siempre sucede en las gráficas que representan relaciones de proporcionalidad.

120

60

40

30

24

20


177

Integrar al portafolios. Revise las gráficas y las respuestas de los alumnos. Si nota dificultades, pídales que regresen al apartado Manos a la obra.

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para trazar la gráfica puede darles algunas sugerencias, como:- Primero hay que precisar qué

información se pone en cada eje (por ejemplo, en el eje de las abscisas poner la cantidad de pesos).

- Luego hay que definir una escala conveniente para cada uno de los ejes.

Respuestas.a) 0b) 117c) 351

Propósitos de la sesión. Analizar las propiedades de las gráficas asociadas a cantidades directamente proporcionales.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas, y en el último apartado de manera individual.

Propósito de la actividad. Se espera que para los alumnos no sea difícil el llenado de la tabla porque lo han hecho anteriormente. Ahora el reto consiste en que, a partir de los datos de la tabla, elaboren una gráfica y la analicen para hallar otros datos (como la cantidad de pintura que se compra con $3).

Respuestas. a) 150 ml.b) 30 ml.

I

177

MATEMÁTICAS

Lo que aprendimos1. En la secuencia 31 de su libro de Matemáticas I encontraron que la expresión algebraica.

y = 11.70x

Permite encontrar la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar distintas cantida-des de dólares (x).

En su cuaderno hagan la gráfica que corresponde a esta situación de proporcionalidad y contesten:

a) Si x = 0, ¿cuánto vale la y?

b) Si x = 10, ¿cuánto vale y?

c) Si x = 30, ¿cuánto vale y?

comparación de GráficasPara empezarEn la secuencia 6 del libro de Matemáticas I, volumen I estudiaste las propiedades de las cantidades directamente proporcionales y aprendiste que la cantidad de pintura es pro-porcional a su precio.

Consideremos lo siguienteCompleten la tabla 1 para determinar los costos de varias cantidades de pintura azul y, en su cuaderno, hagan una gráfica correspondiente.

Cantidad de pintura azul (ml)

Costo de la pintura ($)

500 50

100

800

200

0

400

1 000

Tabla 1

a) ¿Qué cantidad de pintura se compra con $5?

b) ¿Qué cantidad de pintura se compra con $3?

sesión 2

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Cantidad de dólares americanos

Can

tidad

de

peso

s

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Cambio de dólares americanos a pesos

1080200

40100


178

178

secuencia 32

Manos a la obrai. En un equipo de otra escuela hicieron lo siguiente para construir la gráfica asociada

a la tabla 1.

Primero determinaron dos puntos a graficar.

a = (500 ml, $50)

B = (100 ml, $10)

Luego localizaron los puntos a y B en el plano cartesiano. Finalmente, dijeron que como la gráfica era de proporcionalidad, entonces bastaba unir el punto a con el punto B y prolongar la recta que une a estos puntos y así obtener la gráfica asociada a la tabla 1.

En el siguiente espacio hagan el procedimiento que hizo el equipo de la otra escuela.

A = (500 ml, $50) B = (100 ml, $10) C = (800 ml, $ ) D = (200 ml, $ )

E = (0 ml, $ ) F = (400 ml, $ ) G = (1000 ml, $ )

Tabla 2

Comenten:

¿Están de acuerdo con el procedimiento que hicieron en la otra escuela? ¿Por qué?

Con los datos de la tabla 1 completen los siguientes datos para determinar algunos pun-tos más que pertenecen a la gráfica.

9085807570656055504540353025201510

5

105100

95

100 200 300 400 500 600 700 800 900

A = (500 ml, $50)

Prec

io d

e la

pin

tura

azu

l ($)

Cantidad de la pintura azul (ml)

Propósito del interactivo. Relacionar la expresión algebraica que corresponde a la relación entre 2 cantidades que son directamente proporcionales con su representación gráfica y tabular.

Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos sepan que la representación gráfica de una relación de proporcionalidad directa es una recta que pasa por el origen, y que todos los valores asociados a dicha relación están en esa recta. Por ello, cuando se conocen 2 puntos se puede trazar la recta y afirmar que en ella estarán todos los demás valores.

3

Sugerencia didáctica. Permítales discutir este punto. Si no están seguros de que el procedimiento de la otra escuela es correcto, sigan resolviendo la sesión, luego podrán aclararlo.


179

I

179

MATEMÁTICASEn la gráfica que completaron anteriormente localicen y dibujen los puntos de la tabla 2.

¿Cuáles de los puntos que dibujaron pertenecen a la gráfica?

II. Completen las siguientes tablas, en las que vienen los precios de algunas cantidades de pintura amarilla y pintura verde.

Cantidad de pintura amarilla

(ml)

Costo de la pintura

($)

Cantidad de pintura verde

(ml)

Costo de la pintura

($)

500 60 500 65100 100800 800200 200

0 0400 400

Tabla 3 y 4

En el siguiente espacio hagan la gráfica asociada a las cantidades de pintura amarilla y su precio.

9085807570656055504540353025201510

5

105100

95

100 200 300 400 500 600 700 800 900

A = (500 ml, $60)

Prec

io d

e la

pin

tura

am

arill

a ($

)

Cantidad de la pintura amarilla (ml)

Respuestas. Todos los puntos deben quedar sobre la recta.

Sugerencia didáctica. Los alumnos ya tienen experiencia en el llenado de tablas de proporcionalidad directa. Antes de que empiecen a llenarlas, pregúnteles qué procedimiento les parece más económico en este caso y por qué: hallar el valor unitario, multiplicar por la constante de proporcionalidad, calcular el costo de 100 ml y a partir de éste los demás, u otros.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos hagan más gráficas de proporcionalidad directa y que constaten que siempre van a obtener rectas que pasan por el origen. También se espera que las comparen para obtener otras informaciones (como lo que significa la mayor o menor inclinación de la recta en este caso).

12 13 96 104 24 26 0 0 48 52


180

180

secuencia 32En el siguiente espacio hagan la gráfica asociada a las cantidades de pintura verde y su precio.

iii. En el siguiente espacio dibujen las gráficas correspondientes a la tabla 1, la tabla 3 y la tabla 4 (usen el color azul para la 1, el amarillo para la 3 y el verde claro para la 4).

9085807570656055504540353025201510

5

105100

95

100 200 300 400 500 600 700 800 900

A = (500 ml, $65)

Prec

io d

e la

pin

tura

ver

de

($)

Cantidad de la pintura verde (ml)

9085807570656055504540353025201510

5

105100

95

100 200 300 400 500 600 700 800 900

Prec

io d

e la

pin

tura

($)

Cantidad de la pintura (ml)


181

I

181

MATEMÁTICASIV. Comenten lo siguiente:

a) El litro de pintura verde cuesta más que el litro de pintura azul. ¿Cómo se refleja esto en la gráfica que completaron anteriormente?

b) El costo del litro de pintura verde es mayor que el costo de pintura amarilla. ¿Cómo se refleja esto en la gráfica que completaron anteriormente?

A lo que llegamosUna situación en la que estén involucradas cantidades directamente proporcionales (por ejemplo, la cantidad de pintura azul y su costo) tiene asociada una gráfica con dos características particulares:

• Son puntos que están sobre una línea recta.

• Pasan por el origen, es decir, por el punto (0,0).

De la comparación de gráficas puede obtenerse información sobre la relación de proporcionalidad. Por ejemplo, la gráfica de la pintura azul se encuentra entre la de la pintura verde claro y el eje horizontal. La interpretación de este hecho es que la pintura verde claro es más cara que la pintura azul, pues 500 ml de pintura verde claro cuestan $65, mientras que 500 ml de pintura azul cuestan $50.

Lo que aprendimosEn la secuencia 31 de su libro de Matemáticas I encontraron que la expresión algebraica

y = 8.9x

permite encontrar la cantidad de pesos (y) que se obtienen al cambiar distintas cantida-des de dólares canadienses (x).1. En sus cuadernos grafiquen esta situación de proporcionalidad y contesta:

a) Si y = 0, ¿cuánto vale x?

b) ¿Cuáles puntos de la gráfica están sobre una línea recta?

2. Comparen la gráfica anterior con la gráfica correspondiente a la expresión y = 11.70 x,que permite encontrar la cantidad de pesos que se obtienen al cambiar dólares ame-ricanos.

a) ¿Cuál de las dos gráficas queda entre el eje horizontal y la otra gráfica? ¿Cómo interpretan esto?


Para saber más

Sobre el crecimiento de la población en el país consulten:http://www.cideiber.com/infopaises/Mexico/Mexico-02-01.html[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

Respuestas. La recta que representa a la pintura más cara estará por encima de las otras dos.a) La recta verde va por encima de

la azul.b) La recta verde va por encima de la

amarilla.

Integrar al portafolios. Analice las respuestas de los alumnos y sus gráficas. Si lo considera necesario, revisen juntos el apartado Manos a la obra de esta sesión.

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que hagan esta gráfica sobre la de los dólares americanos que hicieron al final de la sesión 1.

Respuestas. Para elaborar la gráfica necesitan hallar al menos 2 puntos, por lo que deben encontrar otros valores de y.a) 0b) Todos.

Respuestas. La gráfica correspondiente a los dólares americanos va por arriba de la de los dólares canadienses porque obtenemos más pesos al cambiar dólares americanos que dólares canadienses.

450

400

350

300

250

200

150

100

50

0

Cantidad de dólares

Can

tidad

de

peso

s

0 10 20 30 40

Cambio de dólares americanos y canadienses a pesos

Cantidad de pesos por dólares canadienses

Cantidad de pesos por dólares americanos


BLOQUE 5


184

Propósito de la sesión. Resolver problemas de suma de números con signo mediante procedimientos informales.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva de manera individual.

Sugerencia didáctica. Con esta información se presenta el contexto a partir del cual se explicarán las operaciones de números con signo. Usted puede darles tiempo para leer el texto y después comentarlo con todo el grupo. Algunas preguntas que pueden ayudar a los alumnos a recuperar la información más relevante, son: ¿qué partículas componen a los átomos y cuál es la carga de cada una de ellas? ¿Cómo se obtiene la carga total de un átomo? ¿Cómo se obtiene una carga 0?.

Propósito del video. Presentar los diferentes tipos de partículas y cargas que constituyen un átomo.

secuencia 33

184

En esta secuencia utilizarás procedimientos informales y algorítmicos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

LOs átOmOsPara empezarLos átomos

Una de las inquietudes más antiguas del hombre ha sido la de conocer de qué tipo de sustancias están hechas las cosas. Si bien se necesitaron muchos años de estudio para responder esta pregunta, ahora se sabe que toda sustancia está hecha de materia, que a su vez está formada por átomos. Asimismo, los átomos están compuestos por varios tipos de partículas, entre las que destacan las siguientes tres:

Los neutrones. No tienen carga eléctrica o su carga es nula, y forman parte del núcleo del átomo. La carga de un neutrón es 0.

Los protones. Tienen carga eléctrica positiva y, junto con los neutrones, constituyen el núcleo del átomo. La carga de un protón es +1.

Los electrones. Tienen carga eléctrica negativa y giran alrededor del núcleo del átomo. La carga de un electrón es −1.

La carga total de un átomo depende del número de protones (cargas positivas) y de electrones (cargas negativas) que lo componen. Al juntar un protón y un electrón se obtiene una carga 0, ya que la carga positiva del protón se cancela con la carga negati-va del electrón. Así, la carga total de un átomo es el número de protones o electrones que resultan después de haber hecho todas las cancelaciones posibles.

sEsión 1

+1

+1+1

+1

+1

+1+1 0

0

0

00

00

0-1

Neutrones

Protones

Electrones

Cuentas de números con signo

Propósitos de la secuencia Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo

en diversas situaciones.


1Los átomos Resolver problemas de suma de números con signo mediante procedimientos informales.

Video Los átomos Interactivo

“Los átomos 1”

2Sumas de números con signo Resolver problemas de suma de números con signo mediante procedimientos convencionales. Sumar números decimales y fraccionarios con signo.

Interactivo “Los átomos 2”

3Restas de números con signo Resolver problemas de resta de números con signo. Restar números decimales y fraccionarios con signo.

Interactivo “Los átomos 3”

4De todo un poco Aplicar lo aprendido en la resolución de problemas de suma y resta de números con signo.

Eje


Tema


Antecedentes

En la secuencia 25 los alumnos aprendieron a plantear y resolver problemas que implican números con signo. Identificaron el valor absoluto de los números así como el simétrico de un número. En esta secuencia resolverán problemas de suma y resta de números con signo utilizando tanto procedimientos informales como los algoritmos.


185

Sugerencia didáctica. Pregunte al grupo por qué se afirma que estos 2 átomos tienen carga total +1.

Propósito de la actividad. Que los alumnos apliquen el procedimiento para obtener la carga total de cada átomo haciendo las cancelaciones −de protones o de neutrones− necesarias.

Sugerencia didáctica. Una vez que todo el grupo esté de acuerdo con el resultado, pida a cada pareja que proponga un ejemplo de átomos con carga +2 distintos a los de la tabla. Solicite a 2 o 3 parejas que pasen al pizarrón a dibujar sus ejemplos. En todos los casos debe haber 2 protones más que el número de electrones.

IMATEMÁTICAS

185

Por ejemplo, los átomos A y B de la siguiente figura son distintos, pero ambos tienen carga total +1:

ÁTOMO A ÁTOMO B

Protones

Electrones

Consideremos lo siguiente Completen la siguiente tabla para calcular la carga total de distintos átomos:

Átomo Partículas Carga total

A +2

B

C

D

I

E

F

G

H

Comparen sus tablas y comenten:

Aparte de los átomos con carga +2 que aparecen en la tabla, ¿habrá otros átomos que tengan carga +2? Dibújenlos.

+2

0

−1

+2

−1

−3

0

+3


186

Respuesta. El átomo H tiene carga total +3, los demás sí tienen carga total +2.

Respuesta. En los átomos que dibujen debe haber 3 electrones más que los protones.

Sugerencia didáctica. En caso de que casi todos hayan dibujado el mismo átomo, pida al grupo que encuentren otros dos átomos con carga total de −3.

secuencia 33

186

Manos a la obrai. En un equipo de otra escuela dijeron que los átomos A, B, I y H tienen carga total +2.

Explicaron lo siguiente:

La carga total del átomo A se puede obtener cancelando los pares protón-electrón que tiene:

+ 2

Cancelen los pares protón-electrón en los átomos B, I y H y verifiquen si tienen carga total +2.

Comenten: ¿Tienen carga total +2 los átomos A, B, I y H?

a) En la tabla hay dos átomos con carga total −1, ¿cuáles son? y

Verifiquen las cargas cancelando pares protón-electrón.

b) En la tabla, ¿cuáles átomos tienen carga 0?

ii. El átomo F tiene carga total −3. Dibujen dos átomos más con carga −3.

Comparen sus átomos y comenten:

a) ¿Cuántos átomos distintos, pero con carga −3, encontraron en el grupo?, ¿cuántos protones y cuántos electrones tienen?

b) En todos los átomos que encontraron hay más cargas negativas que positivas; ¿cuán-tas cargas negativas más hay que cargas positivas en cada átomo?

A lo que llegamosUn átomo tiene:

• Carga positiva, si tiene más protones que electrones.

• Carga negativa, si tiene más electrones que protones.

La carga total de un átomo es independiente del número de cargas 0(neutrones) que tenga, ya que no aportan a la carga total.


187

Respuesta. En el primer átomo hay que agregar 4 electrones. En el segundo átomo hay que agregar 2 protones.

Respuestas.a) Tiene 4 protones, deben agregarse

4 electrones para que la carga total sea 0.

b) Tiene 2 electrones, deben agregarse 2 protones.

c) Tiene 25 electrones.

Sugerencia didáctica. Lea junto con los alumnos esta información y pídales que busquen en la tabla del apartado Consideremos lo siguiente ejemplos de lo que aquí se afirma.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, revise nuevamente con los alumnos la información de la secuencia 25, en la que se explica el valor absoluto de un número. Antes de que las parejas completen la tabla, usted puede resolver junto con todo el grupo el primer renglón, para que a todos les quede clara la distinción entre la carga total y el valor absoluto.

Propósito del interactivo. Explorar el modelo de átomos para sumar y restar números con signo.

MATEMÁTICAS I

187

III. Completen con los protones o electrones necesarios para que los siguientes átomos tengan carga total 0.

ÁTOMO A ÁTOMO B

a) ¿Cuántos protones tiene el átomo A? ¿Y cuántos electro-

nes debe tener para que tenga carga total 0?

b) ¿Cuántos electrones tiene el átomo B? ¿Y cuántos protones

debe tener para que tenga carga total 0?

c) Si un átomo tiene carga total 0 y se sabe que tiene 25 protones, ¿cuántos electrones

tiene?

A lo que llegamosUn átomo tiene carga 0 si tiene el mismo número de protones que de electrones, ya que la carga positiva de cada protón se anula con la carga negativa de cada electrón.

IV. El valor absoluto de la carga de un átomo es el número total de cargas que tiene, es decir, es el número de protones o electrones que quedan después de cancelar las parejas protón-electrón.

a) Encuentren el valor absoluto de las cargas de los siguientes átomos:

Partículas del átomo Carga total Valor absoluto de la carga total

+2 2

0 0

−1 1

+5 5

+1 1


188

Respuesta. Las partículas que dibujen los alumnos pueden tener carga positiva o negativa.

Sugerencia didáctica. Usted puede pedir a algunas parejas que pongan en el pizarrón un ejemplo de cada tipo: uno con carga total negativa y otro con carga total positiva.

Respuestas. - En los átomos de la primera fila

de la tabla se agregan 3 protones al primer átomo y 4 protones al segundo átomo.

- En los átomos de la segunda fila se agregan 2 protones al primer átomo y 2 protones al segundo.


secuencia 33

188

b) Dibujen en cada uno de los rectángulos un átomo que tenga el valor absoluto de la carga que se indica.

Partículas del átomoValor absoluto

de la carga total

4

7

0

Comparen sus átomos.

Lo que aprendimos1. Completa con los protones o electrones necesarios para que la carga de los átomos

siguientes sea +3.

En todos los átomos que encontraste hay más cargas positivas que negativas, ¿cuántas

cargas positivas más hay?


189

Respuestas. En todos los átomos que dibujen debe haber 2 electrones más que los protones.a) 2 cargas negativas más.b) 2

Propósito de la sesión. Resolver problemas de suma de números con signo mediante procedimientos convencionales. Sumar números decimales y fraccionarios con signo.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen organizados en parejas, y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan de manera individual.

Respuesta. +1

Sugerencia didáctica. Si todos los alumnos, o casi todos, dibujaron el mismo átomo, pida al grupo que encuentren 2 ejemplos más con carga +3. Usted puede analizar con los alumnos qué pasa en cada caso si se agregan 2 electrones.

MATEMÁTICAS I

189

2. Encuentra cuatro átomos distintos en los que la carga sea −2.

a) En todos los átomos que encontraste hay más cargas negativas que positivas,

¿cuántas cargas negativas más hay?

b) ¿Cuál es el valor absoluto de la carga de estos átomos?

sUmas dE númErOs cOn signOPara empezarEl proceso mediante el cual se agregan o se quitan cargas de un átomo se llama ioniza-ción. En esta sesión agregarás protones y electrones a algunos átomos y aprenderás a encontrar la carga final mediante la suma de números con signo.

Consideremos lo siguiente a) ¿Cuál es la carga final de un átomo que tiene originalmente carga total +3 y se le

agregan 2 electrones?

Pueden usar círculos azules y anaranjados para representar las partículas del átomo.

b) Esta ionización se puede representar mediante una suma de números con signo:

Se agreganpartículas

(+3) + (−2)

Carga original Carga de losdel átomo 2 electrones

¿Cuál es el resultado de esta suma?

(+3) + (−2) =Comparen sus respuestas y comenten:

¿Cuántos átomos distintos con carga +3 dibujaron en el grupo para hacer la suma?

sEsión 2


190

secuencia 33

190

+ =

+ =

+ =

Comparen sus tablas. Comenten:

¿Cambia el valor de la suma (+3) + (−2) si cambia el número de protones y electrones del átomo de carga +3?

ii. En sus cuadernos, representen la siguiente ionización usando círculos azules y ana-ranjados para las cargas:

A un átomo que tiene originalmente carga total +5 se le agregan 8 electrones, ¿cuál es

la carga que tiene finalmente este átomo?


a) ¿Cuántos átomos distintos con carga +5 dibujaron en el grupo para hacer la suma?

b) ¿Cambia el valor de la suma (+5) + (−8) si cambia el número de pares protón-elec-trón del átomo de carga +5?

iii. Hagan las siguientes sumas de números con signo. Pueden representar las cargas usando círculos azules y anaranjados.

a) (−9) + (+1) = b) (+4) + (−2) =

c) (−5) + (−9) = d) (−6) + (+6) =

e) (+3) + (+2) = f) (+8) + (−8) =

g) (+25) + (−33) = h) (-24) + (−17) =

Manos a la obrai. En la siguiente tabla se han dibujado distintos átomos con carga +3. Usando estos

átomos encuentren la carga final cuando se le agregan 2 electrones.

(+3) + (−2) =

Respuesta. En los 3 casos deberá haber una carga final igual a +1.


Sugerencia didáctica. Enfatice con sus alumnos que el valor de la suma que se indica no cambia: si tenemos un átomo con carga total igual a +3 y se agregan 2 electrones, la carga total es igual a +1.

Respuesta. Tiene carga total igual a −3.

Sugerencia didáctica. Si todos, o casi todos, dibujaron el mismo átomo, usted puede pedirle al grupo que encuentren otros 2 ejemplos con carga total igual a +5. A esos ejemplos deben agregar 8 electrones y ver cuál es su carga total al hacer esto.

Respuesta. Inciso b), no cambia.

Respuestas:a) −8

b) +2

c) −14

d) 0

e) +5

f) 0

g) −8

h) −41


191

MATEMÁTICAS I

191


¿Cómo hicieron la suma (+25) + (−33)?, ¿dibujaron todas las partículas?

A lo que llegamosLas cargas simétricas o números simétricos tienen el mismo valor absoluto y están a la misma distancia del cero en la recta numérica. Por ejemplo: +6 y –6 son simétricos. Estos números al sumarse dan cero, es decir: (–6) + (+6) = (+6) + (–6) = 0

IV. La suma (+100) + (−123) representa la siguiente ionización: a un átomo de carga +100 se le agregan 123 electrones. ¿Cómo harían la suma sin dibujar las partículas?

A continuación se presenta una manera de hacerlo:

a) Un átomo con carga total +100 tiene más protones que electrones, ¿cuántos

protones más tiene?

b) Al hacer la ionización, estos 100 protones del átomo se cancelan con 100 de los

electrones que se le agregan. ¿Cuántos electrones quedan?

c) ¿Cuánto es (+100) + (−123)?

V. Resuelvan las siguientes sumas de números con signo. No usen dibujos.

Comenten sus resultados y sus procedimientos.

A lo que llegamos• Para sumar dos números del mismo signo se pueden sumar los valores absolutos

de los números y el signo del resultado es el signo de los números que se suman.

Por ejemplo, para sumar +3 con +2:

se suma +3 con +2 : +3 + +2 = 3 + 2 = 5y el signo del resultado es "+": (+3) + (+2) = +5Para sumar −5 con −9:

se suma −5 con −9 : −5 + −9 = 5 + 9 = 14y el signo del resultado es "−": (−5) + (−9) = −14

a) (+105) + (+10) = b) (−110) + (−150) =

c) (−230) + (+525) = d) (+125) + (−125)=

Respuesta. No es necesario dibujar todas las partículas: 25 protones se cancelan con 25 electrones. Quedan 8 electrones, por lo que el valor de la carga total es −8.

Sugerencia didáctica. Es importante que se revisen las respuestas entre todos. Si usted lo considera conveniente, puede pedir que hagan algunos ejercicios más, pero ahora sin dibujar los átomos. No hay que perder de vista que el propósito es que los alumnos manejen correctamente las operaciones con números con signo, sin necesidad de estar dibujando los átomos cada vez.

Respuestas. a) Tiene 100 protones más.b) Quedan 23 electrones.c) Es −23.

Sugerencia didáctica. Lo importante de esta actividad es que se realice sin recurrir al dibujo de las partículas de los átomos. Si usted lo considera conveniente puede poner algunos otros ejercicios.

Respuestas.a) +115b) −260c) +295d) 0

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos. Recuérdeles la notación que se utiliza para indicar el valor absoluto de un número (lo vieron en la secuencia 25). Es importante considerar que la forma en que se desarrolla cada uno de los ejemplos que se presentan en este apartado tiene la finalidad de explicar el procedimiento para sumar números con signo. No se espera que los alumnos tengan que hacer todo el desarrollo cuando resuelvan las sumas, sino que apliquen las reglas que ahí se utilizan.

Pida a los alumnos que copien en sus cuadernos las 2 reglas para sumar números con signo, y que propongan otros ejemplos en los que se utilicen estas reglas.


192

secuencia 33

192

Vi. Los átomos no son útiles para representar números decimales ni fraccionarios, porque los electrones y los protones sólo tienen cargas −1 y +1. Sin embargo, para sumar números decimales y números fraccionarios con signo se pueden usar las dos reglas que acaban de aprender.

Hagan las siguientes sumas usando las reglas anteriores:

a) (−1.3) + (−1.7) =

Recuerden que −1.3 = 1.3 y que −1.7 = 1.7

b) Contesten las siguientes preguntas:

¿Cuánto es + ?

¿Cuánto es − ?

Encuentren la siguiente diferencia:

− =

Hagan la siguiente suma de números con signo:

+ + − =

c) (−20.5) + (+10.5) =

Comparen sus resultados y procedimientos. Comenten:

En una telesecundaria dijeron que sumar −1.3 y −1.7 es como si a un átomo de carga total −1.3 se agregara una partícula de carga −1.7. ¿Están de acuerdo con esta afirma-ción?, ¿cómo dibujarían estas partículas?

• Para sumar dos números de signos distintos se puede encontrar la diferencia de los valores absolutos de los números y el signo del resultado es el signo del número de mayor valor absoluto.

Por ejemplo, para sumar +3 con −2:

se encuentra la diferencia de +3 y –2 ; es decir, +3 − −2 = 3 − 2 = 1

y el signo del resultado es "+": (+3) + (−2) = +1

Para sumar −9 con +1:

se encuentra la diferencia de −9 y +1 ; es decir, −9 − +1 = 9 − 1 = 8

y el signo del resultado es "−": (−9) + (+1) = −8

Respuestas.

a) Ambos números son negativos. Se suman y el resultado es negativo: −3.

b) rQ,

+ rE

rW

− rW c) −10.5

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que digan cuál de las reglas utilizaron en cada caso.

Respuesta. Puede dibujarse un electrón y q E p de electrón, a esto se le agrega un electrón y q U p de electrón. El resultado son 3 electrones. El resultado de sumar (−1.3) + (−1.7) es −3.


193

MATEMÁTICAS I

193

Lo que aprendimos1. Realiza las siguientes operaciones:

a) (−10) + (+101) =

b) (−31)+ (+15) =

c) (−1.6) + (−1.3) =

d) + + − =

2. Encuentra los simétricos de los siguientes números:

a) El simétrico de − es

b) El simétrico de +35 es

c) El simétrico de 7.3 es

d) El simétrico de −10 es

3. La carga total de un átomo se puede calcular mediante sumas de números con signo.

El siguiente átomo tiene 3 electrones, 2 protones y 2 electrones.

Su carga total se puede calcular con la siguiente suma de números con signo:

(−3) + (+2) + (−2)

Carga de 3 Carga de 2 Carga de 2electrones protones electrones

¿Cuál es el resultado de esta suma?

(−3) + (+2) + (−2) =

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que en una hoja le entreguen los ejercicios 1 y 2. Si identifica que tienen dificultades para resolver las sumas, revise nuevamente con ellos la regla que debe aplicarse en cada uno de los casos: cuando se suman números del mismo signo y cuando se suman números de signo distinto.

Respuestas.a) +91b) −16c) −2.9d) 0

Respuestas.

a) + rQ

b) −35

c) −7.3

d) +10

Posibles dificultades. Este ejercicio es distinto a los que se hiciero. Es posible que tengan dificultades porque se está realizando la suma de 3 números con signo, pero no hay problema con el orden en que realicen las operaciones (porque sólo son sumas).

Respuestas. El resultado es −3. Quedan 3 electrones.


194

secuencia 33

194

rEstas dE númErOs cOn signOPara empezarEn esta sesión continuarás estudiando las operaciones de números con signo. Ahora realizarán ionizaciones quitando protones y electrones a algunos átomos. Aprenderás a encontrar la carga final mediante la resta de números con signo.

Consideremos lo siguienteA un átomo que tenía originalmente carga total -2 se le quitaron 5 protones, ¿cuál es la

carga que tiene ahora este átomo?

Esta ionización se puede representar mediante la siguiente resta de números con signo:

Se quitanpartículas

(−2) − (+5)

Carga original Carga de los 5del átomo protones

¿Cuál es el resultado de esta resta de números con signo?

(−2) − (+5) =


a) ¿Cuántos átomos distintos con carga −2 dibujaron en el grupo para hacer esta resta?

b) ¿Se le pueden quitar 5 protones a un átomo de carga −2?

Manos a la obrai. El siguiente átomo tiene 2 electrones, 5 protones y 5 electrones.

Su carga total es −2 y se puede calcular con la siguiente suma de números con signo:

(−2) + (+5) + (−5)

Carga de 2 Carga de 5 Carga de 5electrones protones electrones

sEsión 3

Propósito de la sesión. Resolver problemas de resta de números con signo. Restar números decimales y fraccionarios con signo.

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan de manera individual.

Respuesta. Tiene carga −7.

Respuesta. El átomo debe tener al menos 5 protones para quitarlos.

Sugerencia didáctica. Usted puede pedir al grupo que encuentren 2 ejemplos de átomos que tengan carga −2 y que tengan al menos 5 protones. Al quitarle5 protones se quedan con una carga de −7.

Sugerencia didáctica. Usted puede comentar al grupo que los números están en color verde sólo para resaltar que son números simétricos.


195

MATEMÁTICAS I

195

a) ¿Cuál es el resultado de esta suma?

b) Quítenle 5 protones a este átomo, ¿cuál es su carga final?

c) Encuentren el resultado de las siguientes operaciones:

(−2) + (+5) + (-5) − (+5) =


(−2) − (+5) =


Comparen sus respuestas. Comenten:

La suma (+5)+(−5) = 0, ¿será cierto que (−2)+(+5)+ (-5)−(+5) = (−2)−(+5)?

II. Los siguientes átomos tienen carga −1:

Átomo A (−1) + (−4) + (+4) Átomo B (−1)

Átomo C (−1) + (+1)+(−1) Átomo D (−1) + (−5) + (+5)

a) Algunos de estos átomos se pueden usar para quitar 4 protones, ¿cuáles son?

y

b) Quiten 4 protones de los átomos que escogieron. ¿Cuál es la carga de los átomos?

c) Encuentren el resultado de las siguientes operaciones:

(−1) + (−5) + (+5) − (+4) =

(−1) + (-4) + (+4) − (+4) =

d) ¿Cuánto es (−1) − (+4)?

(−1) − (+4) =

Respuestas. a) −2b) −7c) −7 y −7

Sugerencia didáctica. Enfatice a los alumnos que los números que aparecen en verde indican los números simétricos que se cancelan, y que la finalidad de que aparezcan es para explicar el proceso. No se espera que al resolver las restas los alumnos tengan que hacer todo ese desarrollo, basta con que apliquen la regla que ya conocen (hacer la resta y poner el signo del número mayor).

Sugerencia didáctica. Resalte que esta operación corresponde a quitarle 5 protones al átomo.

Sugerencia didáctica. Usted puede dibujar el átomo en el pizarrón y poner la suma (−2) + (+5) + (−5). Puede preguntar al grupo por qué (+5) + (−5) = 0. (El resultado es 0 porque son números simétricos.)

Respuesta. Sí es cierto.

Sugerencia didáctica. Usted puede revisar con los alumnos lo que aquí se plantea con mayor cuidado. Podemos ir haciendo las operaciones una por una; recuerde las operaciones se efectúan de izquierda a derecha, por lo que primero se resuelve la suma (−2) + (+5):(−2) + (+5) + (−5) − (+5) == (+3) + (−5) − (+5) == (−2) − (+5)También podemos cancelar los números simétricos:(−2) + (+5) + (−5) − (+5) == (−2) + 0 − (+5) == (−2) − (+5)


Respuestas.a) El A y el D.b) La carga es −5.c) En ambos casos la carga es −5.d) Es −5.

Sugerencia didáctica. Haga notar que la primera operación corresponde a quitarle 4 protones al átomo D, la segunda corresponde a quitárselos al átomo A. Hay que recordar que la suma de números simétricos es 0.


196

secuencia 33

196


¿Es lo mismo (−1) + (−5) + (+5) − (+4) que (−1) + (−4) + (+4) − (+4)?

iii. Hay que hacer la resta: (+46) − (−18). ¿Cuál de las siguientes operaciones usarían para hacerla?

(+46) + (+18) − (+18) − (-18)

(+46) + (−46) + (+46) − (−18)

(+46) + (−18) + (+18) − (−18)

Hagan la resta.

(+46) − (−18) =


En una escuela dijeron que al poner 18 electrones y quitar 18 electrones se cancelan. Para calcular (+46) − (-18) escribieron lo siguiente:

(+46) + (-18) + (+18) − (-18) = (+46) + (+18)

¿Es cierto que (+46) − (-18) = (+46) + (+18)?

iV. Hay que hacer la resta: (-10) − (-12). Contesten las siguientes preguntas para hacerla:

a) ¿Cuántos electrones tendrían que quitarle al átomo?

b) ¿Cuál de las siguientes operaciones les sirve para hacer esta resta?

(-10) + (-10) + (+10) − (-12)

(-10) + (-12) + (+12) − (-12)

c) Completen los cálculos:

(-10) − (-12) = (-10) + + − (-12) =


¿Es cierto que (-10) − (-12) = (-10) + (+12)?

Respuesta. Sí es lo mismo. Esto es porque se cancelan las sumas en verde:

(−5) + (+5) = 0

(−4) + (+4) = 0

Sugerencia didáctica. Usted puede plantear esta situación a los alumnos en términos de los átomos: se tiene un átomo con carga total +46 y se le van a quitar (restar) 18 electrones.Las 2 últimas opciones son válidas. Por ejemplo, en la última opción la resta indica que vamos a quitar 18 electrones. Entonces el átomo tiene 18 electrones y 64 protones. Al quitar los electrones nos queda una carga total de +64. La primera opción también es correcta, pero no corresponde al modelo que se está siguiendo. Lo importante es resaltar que, cuando quitamos electrones, la carga se hizo más positiva. Si lo considera necesario, usted puede sugerirles que hagan el dibujo correspondiente a la operación que consideren correcta.

Respuesta. Sí es cierto. Al quitar los 18 electrones nos quedamos con 64 protones. Es como si a un átomo con 46 protones le agregáramos 18 protones. Es decir: quitar 18 electrones es lo mismo que agregar 18 protones. Restar (−18) es lo mismo que sumar (+18).

Respuestas.a) Hay que quitar 12 electrones.b) La segunda opción es la correcta,

porque queremos que haya al menos 12 electrones para poder quitarlos.

c) (−10) − (−12) = = (−10) + (−12) + (+12) − (−12) = = (−10) + (+12) Se cancelan los (−12) El resultado es +2. Restar (−12) es lo mismo que sumar (+12).

Respuesta. Sí es cierto, quitar 12 electrones es lo mismo que agregar 12 protones.

Sugerencia didáctica. Revise con el grupo cuáles números se cancelan al hacer las operaciones.


197

MATEMÁTICAS I

197

A lo que llegamosPara hacer restas de números con signo se puede sumar el simétrico:

Si A y B son dos números con signo, entonces, A − B = A + (simétrico de B)

Ejemplos:

Simétricode +5

(+2) − (+5) = (+2) + (−5) = −3

Simétricode −5

(−3) − (−5) = (−3) + (+5) = +2

V. Usen la regla anterior para hacer las siguientes restas:

a) Hay que hacer la resta + − − . Contesten las siguientes preguntas para ayudarse:

¿Cuál es el simétrico de − ?

¿Cuánto es + + + ?

Hagan la resta:

+ − − = + + + =

b) Hay que hacer la resta (−20.5) − (+10.5). Contesten las siguientes preguntas para ayudarse:

¿Cuál es el simétrico de +10.5?

¿Cuánto es (−20.5) + (−10.5)?

Hagan la resta:

(−20.5)− (+10.5) = (−20.5) + (−10.5) =

Recuerden que: Para hacer sumas de números del mismo signo se suman los valores absolutos de los números y el signo del resultado es el signo de los números.

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos que, en el primer ejemplo, quitar 5 protones es lo mismo que agregar 5 electrones; mientras que en el segundo, quitar 5 electrones es lo mismo que agregar 5 protones. Pida a los alumnos que copien esta información en sus cuadernos escribiendo un ejemplo distinto al que se muestra.

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que se va a utilizar la misma regla para operar con fracciones.

Respuestas.Es + rQ .

El resultado de la suma es q T w .

El resultado de la resta es q T w .

Respuestas.El simétrico es −10.5. Ambos números son negativos. El resultado de la suma es −31.


198

secuencia 33

198

Lo que aprendimosResuelve las siguientes operaciones

a) (−10) − (−30)= b) (+120) − (−17) =

c) (−6) − (−9) = d) (−5.4) − (+10)=

e) (+3.6) − (−1.3)= f) + − − =

dE tOdO Un pOcOPara empezarLas operaciones de números con signo pueden usarse para resolver problemas que apa-recen en distintos contextos de la vida cotidiana: en las pérdidas y ganancias de una tienda, los goles a favor y en contra obtenidos en un torneo de futbol, etcétera.

En esta sesión usarás sumas y restas de números con signo para resolver este tipo de problemas.

Lo que aprendimos1. En la siguiente tabla se registran los goles a favor y en contra de varios equipos que

participan en un torneo de futbol. La diferencia de goles de cada equipo se obtiene al hacer la resta: goles a favor menos goles en contra. Completen la tabla.

Equipo Goles a favor Goles en contra Diferencia de goles

Gatos 5 2 3

Pandas 6 −3

Lobos 0 −2

Coyotes 4 4

Correcaminos 3 3

Perros 3 −1

Osos 6 1

Conejos 1 −1

Mapaches 3 0

sEsión 4

Respuestas. Los alumnos deben transformar cada resta en una suma.

a) (−10) − (−30) = (−10) + (+30) = +20

b) (+120) − (−17) = (+120) + (+17) = +137

c) (−6) − (−9) = (−6) + (+9) = +3

d) (−5.4) − (+10) = (−5.4) + (−10) = −15.4

e) (+3.6) − (−1.3) = (+3.6) + (+1.3) = +4.9

f) (+ eR ) − (− wQ ) = (+ eR ) + (+ wQ ) =

= (+ yI ) + ( yE ) = + Q y Q .

Propósito de la sesión. Aplicar lo aprendido en la resolución de problemas de suma y resta de números con signo.

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas.

3

2

0

2

0

3

0

5


199

MATEMÁTICAS I

199

2. La siguiente tabla reporta el balance de una tienda a lo largo de 7 meses de trabajo. El saldo por mes es la diferencia entre las ganancias y los gastos.

Completen la tabla:

Balance de una tienda de abarrotes

Ganancias($)

Gastos($)

Saldo($))

Enero 10 000.25 9 328.15 +672.10

Febrero 9 235.36 9 875.95 −640.59

Marzo 12 568.12 10 139.00

Abril 1 765.00 5 328.90

Mayo 10 525.30 +2 545.50

Junio 8 328.00 −328.00

Julio 6 728.00 −4 216.00

3. Resuelvan las siguientes operaciones con números negativos y positivos:

a) (−8) + (−30) =

b) (+101) − (−17) + (−17) =

c) (−21) + (−5) − (−10) =

d) (−13) − (−8) − (−7) =

4. Resuelvan las siguientes operaciones:

a) (−1.25) + (+7.43) =

b) (+ 6.7) − (−2.1) =

c) (+ ) − (− ) =

d) (− ) − (+ ) =

Para saber másSobre las operaciones con números positivos y negativos consulta:http://www.conevyt.org.mx/cursos/enciclope/op_basicas.html Ruta: entrar al acceso directo operaciones con números positivos y negativos.[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].CONEVyT (Consejo Nacional de Educación para la Vida y el Trabajo).

Sugerencia didáctica. Este ejercicio puede revisarse en grupo. Sobre todo para que analicen las operaciones que tuvieron que hacer en cada caso.

Integrar al portafolios. Pida en una hoja los ejercicios 3 y 4 resueltos. Si identifica que los alumnos tienen dificultades con la suma de números con signo, revise nueva-mente con ellos en el apartado A lo que llegamos, sesión 2. Si tienen dificultades para resolver las restas revise nuevamente las reglas que se aplican en la sesión 3.

Sugerencia didáctica. Es conveniente que resuelvan esta actividad y la siguiente (ejercicio 4) sin utilizar la calculadora.

Respuestas.a) −38b) +101c) −16d) +2

Respuestas.a) +6.18b) +8.8c) + rE

d) − q W t O

+ 2 429.12− 3 563.90

7 979.808 000

10 944


200

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras formadas por rectas.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan las actividades trabajando en parejas.

Materiales. Regla.

Propósito del video. Visualizar algunas de las creaciones artísticas árabes que han sido relevantes en la historia del pensamiento geométrico.

secuencia 34

200

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas.

Áreas de figuras formadas por rectasPara empezarA lo largo del curso has estudiado y trabajado con fórmulas para calcular distintas áreas; en esta secuencia resolverás problemas de cálculo de áreas de figuras formadas por rectas, círculos y semicírculos y aplicarás lo que aprendiste en algunas secuencias de geometría.

Geometría andaluza

Los árabes hicieron uso de las matemáticas para construir casas y edificios. Hermosos ejemplos son la Alhambra y el Alcázar en Andalucía, donde muchos de los pisos y paredes están hechos a partir de diseños geométricos.

Lo que aprendimos1. En la figura 1 está señalada una parte de un piso que aparece en la Alhambra. Los

lados de las baldosas cuadradas miden 1 m y los lados de las baldosas rectangulares (azules, rojas y grises) miden 1 m por 50 cm.

Figura 1

sesión 1

Áreas de figuras planas

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de diversas figuras planas.


1Áreas de figuras formadas por rectas Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras formadas por rectas.

Video Geometría andaluza

Aula de medios

“Áreas de figuras formadas por rectas” (Geometría dinámica)

2Áreas de figuras formadas por círculos Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras formadas por círculos o semicírculos.

Aula de medios “Áreas de figuras

formadas por círculos” (Geometría dinámica)

Eje


Tema

Medida.

Antecedentes

En esta secuencia se espera que los alumnos apliquen lo aprendido en secuencias anteriores, particularmente las secuencias 20 y 30, para calcular el área de figuras formadas por rectas o por círculos, para las que no hay una fórmula inmediata, pero en las que se puede recurrir al cálculo de figuras conocidas.


201

Posibles procedimientos. Hay distintas formas de resolver este problema. Una de ellas consiste en calcular el área de cada uno de los triángulos que forman las superficies blancas y azules. El área azul está formada por los 4 triángulos azules grandes, 4 azules medianos, 4 azules pequeños y el cuadrado azul pequeño del centro. Cada triángulo azul grande tiene un área de 8 cm2, cada triángulo azul mediano tiene 2 cm2, cada triángulo azul pequeño tiene 0.5 cm2 y el cuadrado azul pequeño tiene un área de 1 cm2. La suma del área de los triángulos azules grandes es de 32 cm2, la de los medianos es de 8 cm2 y la de los pequeños es de 2 cm2.El área azul es: 32 cm2+ 8 cm2 + 2 cm2+ 1 cm2 = 43 cm2. Siguiendo el mismo procedimiento, el área blanca es: 16 cm2+ 4 cm2+ 1 cm2= 21 cm2. (Puede observarse que dentro de cada cuadrado hay otro cuadrado cuya área es la mitad del área del cuadrado que lo contiene.) Otro procedimiento consiste en tomar como referencia al cuadrado pequeño que se ubica al centro de la figura. El área de este cuadrado es de 1 cm2. A partir de él se puede cuadricular toda la figura, de manera tal que es posible, mediante el conteo de unidades cuadradas de 1 cm2, obtener el área de la región azul y de la región blanca.

IMATEMÁTICAS

201

Tomando en cuenta sólo la parte del piso que está dentro de la línea negra, contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide el área de esta parte del piso?

b) ¿Cuánto mide el área de la región cubierta por las baldosas grises (tanto cuadradas como rectangulares)?

c) ¿Cuántas veces más grande es el área de la región azul que el área de la roja?

d) Comenten sus resultados y compárenlos.

2. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide el área del triángulo completo?

b) ¿Cuánto mide el área de la región azul?

c) ¿Cuánto mide el área de la región gris?

Comparen sus soluciones y comenten:

¿Cómo calcularon el área de las dos regiones?

3. Midan lo que sea necesario en la figura 3 y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide el área de la región azul?

b) ¿Cuánto mide el área de la región blanca?

c) Escriban en sus cuadernos los procedimientos que utilizaron para calcular las áreas de la región azul y de la región blanca.

Comenten sus procedimientos.

Figura 2

Figura 3

Respuestas. a) 16 m2. Este resultado puede obtenerse de

distintas maneras: 2 baldosas rectangulares equivalen a 1 cuadrada, entonces la medida de cada lado de la figura delimitada por la línea negra mide 4 m × 4 m = 16 m2. También pueden calcular el área de una baldosa rectangular y multiplicarla por el número de baldosas rectangulares (0.5 m2 × 16 = 8 m2), y luego sumar ese resultado con el área total de las baldosas cuadradas: 8 m2+ 8 m2 = 16 m2.

b) 10 m2. Son 8 baldosas cuadradas y 4 baldosas rectangulares. Cada baldosa cuadrada tiene 1 m2 de superficie, y cada baldosa rectangular tiene 0.5 m2 de superficie. En total son 8 m2 + 2 m2= 10 m2.

c) El área azul son 8 baldosas rectangulares, el área roja son 4 baldosas rectangulares. Es decir que el área azul es el doble de la roja.

Sugerencia didáctica. Los alumnos deben llegar a los mismos resultados, pero los procedimientos para resolver pueden ser distintos. Procure que se comparen al menos dos procedimientos diferentes.

Respuestas. a) La base es de 6 cm, la altura es de 4 cm. El

área del triángulo completo es de 12 cm2.b) 6.75 cm2. Hay distintas formas de llegar

a este resultado. Una de ellas es calcular la medida de cada triángulo pequeño (los triángulos pequeños, azules y grises, miden lo mismo). Para ello puede tomarse como referencia el área del triángulo gris mayor, pues el triángulo completo puede dividirse en 4 triángulos iguales al triángulo gris mayor. El área de cada uno de ellos es: = 3 cm2.3 × 2

2 Cada uno de esos triángulos se divide a

su vez en 4 triángulos pequeños iguales. El área de cada uno de ellos es de 0.75 cm2 (esto se obtiene dividiendo el área del triángulo gris mayor entre 4). El área de la región azul son los 9 triángulos azules pequeños; por lo tanto, el área de la región azul es 0.75 × 9 = 6.75 cm2.

c) 5.25 cm2. Esto puede obtenerse de diversas formas: restando al área total el área azul; o bien, contando cuántos triángulos grises pequeños hay en total (el triángulo gris mayor equivale a 4 pequeños, en total son 7 triángulos grises pequeños), y multiplicando por 0.75.


202

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras formadas por círculos o semicírculos.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan trabajando en parejas.


Respuestas. a) Hay tres círculos. El círculo grande

tiene un diámetro de 4 cm, y los círculos pequeños tienen un diámetro de 2 cm.

b) El área azul es de 6.28 cm2. Se calcula el área del círculo grande (12.56 cm2) y el área de los círculos pequeños (cada uno mide 3.14 cm2). Al área del círculo grande se le resta el área de los dos círculos pequeños: 12.56 − 6.28 = 6.28 cm2.

c) Tiene dos ejes de simetría. Una recta horizontal y una recta vertical que pasan por el centro del círculo grande.

Respuesta. El área de la región roja es de 3.44 cm2. Una manera de resolver es trazar un cuadrado como se muestra en la ilustración y obtener su área. El área del cuadrado (16 cm2) menos el área de los 2 semicírculos. Los 2 semicírculos juntos hacen un círculo con un diámetro de 4 cm, y el área de ese círculo es 12.56 cm2. La diferencia entre el área del cuadrado y el área del círculo es de 3.44 cm2.

Respuesta. Tiene dos ejes de simetría. Una recta horizontal y una recta vertical.

Recuerde que: La actividad de medir puede dar lugar a la obtención de distintas medidas, por lo que es importante considerar aproximaciones y márgenes de error aceptables. Particularmente cuando se trabaja con el área del círculo, lo que obtenemos son medidas aproximadas porque el valor que se toma para π es sólo una aproximación.

secuencia 34

202

ÁREAS DE FIGURAS FORMADASPOR CÍRCULOSLo que aprendimos1. Midan lo que sea necesario y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Qué figuras geométricas aparecen en la figura 1?

b) ¿Cuál es el área de la región azul?

c) Tracen los ejes de simetría de la figura 1.

Comenten sus procedimientos y contesten:

a) ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura 1?

b) ¿Cómo creen que se construyó esta figura? Cópienla en sus cuadernos.

2. Midan lo que sea necesario y copien la siguiente figura en su cuaderno.

a) ¿Cuánto mide el área de la región roja?

b) Tracen los ejes de simetría de la figura roja.

Comparen sus respuestas y comenten los procedimientos que utilizaron para copiar la figura.

SESION 2

Figura 1

Figura 2


203

Respuesta. El área de la región roja es 1.935 cm2. Se obtiene calculando el área del cuadrado (9 cm2) y restándole el área de la región blanca. Esta última está formada por 4 cuartos de círculo, que juntos forman un círculo con diámetro de 3 cm, cuya área es de 7.065 cm2. La diferencia entre el área del cuadrado y del círculo es de 1.935 cm2.

Respuesta. El área amarilla mide 4.5 cm2. Esto puede obtenerse dividiendo el cuadrado en 2 mitades con una línea horizontal que pase por el centro el cuadrado. El área amarilla de la mitad superior del cuadrado es la mitad del cuadrado menos medio círculo (el medio círculo se forma juntando los 2 arcos): 4.5 − 3.5325 = 0.9675 cm2.El área amarilla de la mitad inferior del cuadrado es medio círculo: 3.5325 cm2.En total es: 0.9675 + 3.5325 = 4.5 cm2.

IMATEMÁTICAS

203

3. Midan lo que sea necesario y contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto mide el área de la región roja?

b) Tracen los ejes de simetría de la figura.


a) Los procedimientos que utilizaron para calcular el área de la región roja.

b) Cómo se construyó esta figura. Cópienla en sus cuadernos.

4. Midan lo que sea necesario y copien la figura 4 en sus cuadernos:

a) ¿Cuánto mide el área de la figura amarilla?

b) Tracen sus ejes de simetría.


a) Los procedimientos que utilizaron para calcular el área de la región amarilla.

b) ¿Cómo encontraron los ejes de simetría de la figura?

Para saber más

Sobre diseños geométricos en pisos consulten:http://www.interactiva.metem.unam.mxRuta: Geometría Teselados.[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].Sobre problemas de cálculo de áreas sombreadas consulten:Calendario matemático infantil 2005-2006. Un reto diario.

Figura 3

Figura 4


204

secuencia 35

204

sesión 1

En esta secuencia reconocerás las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equipro-bables y no equiprobables.

¿Cuál es la mejor opCión? Para empezarEntre las personas hay muchos malentendidos alrededor del concepto de probabilidad. Prueba de ello es el gran número de negocios surgidos en los últimos años que prometen riquezas enormes a la vuelta de la esquina. Tal es el caso de las loterías y las quinielas.

Consideremos lo siguienteConstruyan una ruleta como se muestra a continuación.

Realicen el siguiente juego:

• Cada uno de los cuatro jugadores deberá elegir un número del 1 al 4.

• Van a girar la ruleta 30 veces. En cada turno se anota un punto el alumno que tiene el mismo número que el resultado de la ruleta.

• El ganador del juego es el alumno que tenga más puntos.

a) Antes de empezar el juego, ¿crees que vas a ganar?

b) ¿Por qué?

c) En la siguiente tabla, marquen con una “X” los resultados de cada turno y el total de puntos que cada jugador obtuvo al girar 30 veces la ruleta.

Ruleta 1

Juegos equitativos

Propósitos de la sesión. Analizar la diferencia entre un juego de azar justo y uno injusto considerando la probabilidad clásica.

Organización del grupo. El problema inicial debe resolverse en equipos, el resto de la sesión puede trabajarse en parejas.

Materiales. Solicite a los alumnos con anticipación, que construyan una ruleta como la que se muestra en el dibujo. Pueden usar cartoncillo u otro material, lo importante es que la ruleta pueda girar.

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos tengan bien comprendidas las instrucciones; por ejemplo, si en el tercer turno cae 4, el alumno que fue numerado con 4 se anota un punto o una X en el casillero de la tabla que corresponde al turno 3. También se recomienda que usted enumere a los alumnos del 1 al 4 cuantas veces sea necesario, y luego les pida que formen equipos de cuatro; otra manera de formar los equipos es colocando papelitos en una bolsa con números del 1 al 4 y que cada alumno tome uno (en la bolsa deberá haber tantos papelitos como alumnos hay en el salón).

Sugerencia didáctica. Algunos podrían decir que tienen más ventaja los números 1 y 3; pídales que expresen las razones de por qué puede suceder eso y que realicen el juego.

Respuesta. Los que tienen mayores posibilidades de ganar son el 1 y el 3, pues cada uno de ellos tiene iE de probabilidad en cada tiro. El 2 y el 4 tienen i de probabilidad cada uno.

Propósitos de la secuencia Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la

noción de resultados equiprobables y no equiprobables.


1¿Cuál es la mejor opción? Analizar la diferencia entre un juego de azar justo y uno injusto considerando la probabilidad clásica.

2Ruletas Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equipro-bables y no equiprobables.

Interactivo “La ruleta”

3Juegos con dados Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo a partir de las reglas que se dan en el juego.

4Quinielas Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo a partir de los premios que se reparten.

Video Pronósticos nacionales

Interactivo “Lanza monedas”

Eje


Tema

Nociones de probabilidad.

Antecedentes

En la secuencia 24 los alumnos tuvieron la oportunidad de enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria, estudiaron cómo utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y establecieron cuál de 2 o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir. Esos conocimientos son necesarios en esta secuencia para poder establecer si un juego es equitativo o no de acuerdo con determinadas condiciones.


205

Respuesta. Es muy probable que no se obtengan los mismos resultados.

Propósito de la actividad. En este caso, todos los sectores de la ruleta son iguales y los números aparecen 2 veces cada uno; es decir, todos los jugadores tienen las mismas oportunidades de ganar.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, recuerde a los alumnos que la probabilidad frecuencial se basa en los resultados del juego: el número de veces que cayó el número ganador sobre el número de eventos.

IMATEMÁTICAS

205

JugadorTurnos Total

depuntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

Jugador 4

d) ¿Qué número fue el ganador?

e) ¿Cuál crees que es la razón por la cual ganó?

f) Si vuelven a jugar, ¿crees que gane el mismo número?

¿Por qué sí o por qué no?


Manos a la obra1. Ahora van a jugar utilizando la ruleta 2.

Las reglas del juego siguen siendo las mismas que en el juego anterior.

a) Registren los resultados en la tabla.

b) ¿Hay algún jugador o número que tenga mayor posibilidad de salir ganador?

c) ¿Qué número fue el ganador?

d) De acuerdo con los resultados registrados en la tabla, ¿cuál es la probabilidad

frecuencial del número ganador?

Ruleta 2

JugadorTurnos Total

depuntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

Jugador 4


206

Propósito de la actividad. En esta ruleta todos los sectores son del mismo tamaño y los números aparecen una sola vez cada uno; en ese sentido, esta ruleta es equivalente a la ruleta anterior porque todos los números tienen la misma posibilidad de ganar. Sin embargo, esto no significa que al realizar el juego el ganador sea el mismo de la ruleta anterior, ni tampoco que ya no podrá ganar.

Propósito de la actividad. Con esta tabla los alumnos podrán determinar si el juego con cada una de las ruletas es justo o no. Para ello, será necesario cálcular la probabilidad clásica de cada evento, para después poder compararlas. Algo importante que los alumnos deben comprender es que los resultados que obtuvieron al realizar los juegos no necesariamente reflejan si el juego es justo o no, sino que requieren hacer otros análisis de las condiciones del juego (en este caso comparar las características de cada ruleta y la probabilidad clásica de los eventos); cuando no se hacen estos análisis, las personas suelen atribuir a cuestiones de suerte el que ganen o pierdan en un juego.

secuencia 35

206

ii. Se utiliza la ruleta 3 para realizar el juego y las reglas no cambian.

a) ¿Quién creen que gane?

b) ¿Hay algún jugador que tenga más posibilidades

de ganar?

¿Por qué?

d) De acuerdo con los resultados registrados en la tabla, ¿cuál es la probabilidad de

que caiga 3?

e) ¿Y de que caiga 2?

f) De acuerdo con los resultados obtenidos en cada juego, ¿consideran que hay

alguna ruleta que favorece a un jugador?

¿Por qué?

iii. Van a comparar los tres juegos. Para ello es necesario calcular las siguientes probabi-lidades clásicas.

Evento Probabilidad en la ruleta 1

Probabilidad en la ruleta 2

Probabilidad en la ruleta 3

Caer 1

Caer 2

Caer 3

Caer 4

Ruleta 3

JugadorTurnos Total

depuntos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Jugador 1

Jugador 2

Jugador 3

Jugador 4

c) Registren los resultados en la siguiente tabla.

iE iW r i iW r iE iW r

i iW r


207

Respuestas.a) El juego con la ruleta 1 no es

equitativo, pues algunos números tienen mayores probabilidades de caer que otros.

b) Los juegos con la ruleta 2 y la ruleta 3 son justos. Todos los números tienen la misma probabilidad de caer.

c) Ruleta 2 y ruleta 3. Puede observarse que iW es equivalente a r

5

Sugerencias didáctica. Pida a una pareja de alumnos que elabore un cartel con esta información para que se pegue o se cuelgue en una de las paredes del salón. Para comentar esta información puede indicarles que vean si se cumplen estas condiciones en alguna de las ruletas que revisaron en esta sesión. Posteriormente pídales que copien la información en sus cuadernos.

Propósito de la sesión. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en equipos y que la última actividad la hagan en parejas.

Materiales. Solicite a los alumnos que previamente elaboren las ruletas que se indican para esta sesión.

Respuesta. En la ruleta B y en la ruleta C hay más probabilidad de que caiga 1.

IMATEMÁTICAS

207

a) De acuerdo con las probabilidades clásicas obtenidas, ¿qué juego no fue justo o

equitativo?

b) ¿Qué juego es justo?

c) ¿Qué juegos son equivalentes? ¿Por qué?

A lo que llegamos

Antes de iniciar el juego responde, ¿qué ruleta creen que gane?

Después de realizar el juego, ¿creen que si vuelven a jugar, ganará la misma ruleta?

¿Por qué?


Para determinar si un juego de azar es justo se debe establecer:

• Si en cada turno o partida todos los jugadores tienen la misma probabilidad de ganar.

• Si las probabilidades de todos los jugadores son diferentes, es justo que a quien elija el número con menor probabilidad se le dé un mayor premio para compensar.

• Reglas del juego que no favorezcan a ninguno de los jugadores.

RuletasPara empezarEn esta sesión aprenderás a identificar qué elementos (ruletas, dados, etc.) cambiar en el juego para que sea justo.

Consideremos lo siguienteVan a jugar a la ruleta. Cada alumno elige la ruleta con la que desea jugar y la hace girar 5 veces. Gana el jugador que más veces haya obtenido el número 1.

sesión 2

Ruleta A Ruleta B Ruleta C

.


208

Propósito de las preguntas. Al tiempo que los alumnos juegan, pueden observar los diferentes resultados que es posible obtener al girar las ruletas. Al calcular la probabilidad frecuencial ellos pueden realizar algunas conjeturas, pero si nuevamente realizan el juego no necesariamente obtendrán los mismos resultados. Los alumnos van construyendo gradualmente algunas razones sobre por qué suceden esos resultados, las cuales tendrán oportunidad de contrastar con otras situaciones.

Respuestas. En la ruleta A la probabilidad clásica de que caiga en 1 es r . En la ruleta B y en la ruleta C la probabilidad clásica de que caiga en 1 es w . El juego no es justo porque es más probable ganar con las ruletas B y C.

Propósito del interactivo. Explorar diferentes ruletas para reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo.

secuencia 35

208

Manos a la obrai. Anoten los resultados en la tabla y contesten las siguientes preguntas.

Jugador de la ruleta

Puntos en cada ronda Total de puntos (número total de veces

que cayó 1)1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

A

B

C

a) ¿Quién ganó?

b) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de caer 1 en cada ruleta?

c) Si realizaran el juego una vez más, ¿quién crees que gane ahora?

d) De acuerdo con los resultados de todos los equipos del grupo, ¿cuál es la ruleta

que más veces ganó?

ii. Analicen la situación anterior contestando las siguientes preguntas.

a) Comparen la ruleta a con la ruleta B, ¿con cuál se tiene más oportunidades de

ganar? ¿Por qué?

b) ¿Y entre las ruletas B y c?

c) ¿Cuál es la probabilidad clásica o teórica de obtener 1 en la ruleta a?

d) En la ruleta B, ¿cuál es la probabilidad clásica de obtener 1?

e) Finalmente, ¿cuál es la probabilidad clásica de obtener 1 en la ruleta c?

f) De acuerdo con la probabilidad de obtener 1 en cada ruleta, ¿consideras que el

juego es justo? ¿Por qué?

Como ves, el juego con las ruletas no es justo porque la probabilidad de obtener 1 en la ruleta a es menor que en las otras dos ruletas.


209

Integrar al portafolios. Cada alumno debe construir una ruleta equivalente a las ruletas B y C; si la mayoría de los alumnos construyeron la misma ruleta, pídales que traten de encontrar otra u otras diferentes y las comparen. Los alumnos tendrían que considerar que la probabilidad clásica de que caiga en 1 en la ruleta que van a elaborar, debe de ser w..

2

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que comparen esta información con la del apartado A lo que llegamos de la sesión anterior, y que identifiquen qué condición se agrega para determinar si un juego es justo o no. Una vez que la hayan identificado será necesario que agreguen esa información a las notas que ya habían escrito en sus cuadernos.

IMATEMÁTICAS

209

III. Si quieren que el juego sea justo utilizando tres ruletas, tendrían que cambiar la ru-leta A.

a) ¿Cómo tendrían que rotular o etiquetar la nueva ruleta para realizar el juego? Utilicen el dibujo para representar la nueva ruleta.

Ruleta D

b) ¿Cómo la etiquetaron otros compañeros?

c) ¿Son diferentes? ¿En qué son diferentes?

d) ¿En qué son iguales?

e) ¿Cuál es la probabilidad clásica de obtener 1 en cada ruleta?

Tu ruleta Ruleta de otro compañero

f) En tu grupo, ¿alguien etiquetó la ruleta de diferente manera que las de tu equipo?

Anoten cómo lo hizo

A lo que llegamosPara poder determinar si el juego es justo, no es suficiente considerar los resultados obtenidos en las rondas. Como habrás observado, en algunos equipos ganó una ruleta y en otros otra. En este caso, para determinar si un juego es justo se requiere calcular la probabilidad clásica o teórica del evento que interviene en el juego.


210

Propósito de la sesión. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, a partir de las reglas que se dan en el juego.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas.

Materiales. Solicite a los alumnos que elaboren con anticipación los dados que se describen en el apartado Consideremos lo siguiente.

Propósito de la actividad. Que los alumnos experimenten con diferentes objetos qué condiciones se deben dar para que un juego sea justo; en este caso, se trata de un juego con dados de diferente forma.

secuencia 35

210

Juegos Con dados Para empezarEn esta sesión realizarás juegos con dados de formas diferentes y aprenderás a distinguir cuándo un juego es justo y cuándo no.

Consideremos lo siguienteUn dado común tiene seis caras cuadradas; pero hay otros con cuatro caras triangulares.

Van a necesitar dos dados, uno con seis caras y otro con cuatro. Si no los tienen, utilicen los siguientes desarrollos planos para armarlos. Cópienlos en cartoncillo y armen uno cada quien.

sesión 3

Dado A

Lance cada quien el dado que armó. Cuando alguno obtenga el número 3, avanza una

casilla. El juego termina cuando alguno de los jugadores llega primero a la meta. ¿Con

cuál dado crees que se obtenga primero el número 3?

Si en vez de avanzar cuando se obtiene el número 3 lo hacen cuando se obtiene un nú-

mero impar, ¿alguno de los dados tiene más posibilidades de ganar que otro?

¿Por qué?


Dado B

Dado A

Respuesta. En el dado 1 la probabilidad clásica de obtener el 3 es r . En el dado 2 es y . Es más probable que salga primero un 3 en el dado 1.

Respuesta. Es la misma probabilidad. En el dado 1 la probabilidad clásica de obtener un número impar es rW , en el dado 2 es yE . Son equivalentes.


211

IMATEMÁTICAS

211

Manos a la obraI. Realicen el primer juego. Lance cada quien su dado. Cuando alguno obtenga el nú-

mero 3, avanza una casilla.

INICIO

Dado AMETA

Dado B

a) ¿Quién creen que gane?

b) Después de veinte lanzamientos, ¿qué jugador ha avanzado más casilleros?

c) ¿Cuáles son los resultados posibles al lanzar el dado cúbico?

d) ¿Y del dado tetraédrico?

e) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 en el dado cúbico?

f) ¿Y en el dado tetraédrico?

II. Realicen el juego. Lance cada quien su dado, pero ahora avancen cada vez que cae un número impar.

INICIO

Dado AMETA

Dado B

a) ¿Quién creen que gane ahora?

b) Después de 10 lanzamientos, ¿qué jugador ha avanzado más casilleros?

c) Expliquen qué sucede si en vez de avanzar cuando cae 3, se avanza cuando cae un

número impar.

d) ¿Cuál es la probabilidad del evento caer un número impar en el dado cúbico?

e) ¿Y cuál es la probabilidad del evento caer un número impar en el dado tetraédrico?

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos lleven el registro del número de lanzamientos, pues este dato les será necesario para responder el inciso b).

Respuestas.c) 1, 2, 3, 4, 5 y 6

d) 1, 2, 3 y 4

e) y

f) r

Propósito de la actividad. En esta actividad lo que están cambiando es el evento a partir del cual se obtienen los resultados, a diferencia de la sesión anterior, donde cambiaban las ruletas pero el evento (caer 1) se mantenía. Es importante determinar los espacios muestrales (es decir, todos los resultados posibles) y calcular la probabilidad en cada dado del evento.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos lleven el registro del número de lanzamientos, pues este dato les serán necesario para responder el inciso b).

Respuestas.

d) yE

e) rW


212

secuencia 35

212

A lo que llegamosComo ves, en este juego los eventos caer un número impar y caer 3 en cada dado son las reglas principales con las cuales se realiza cada juego.

iii. Cada quien escriba un evento para que al jugar con el dado tetraédrico siempre sea

posible avanzar.

a) Con ese evento, calcula la probabilidad de avanzar una casilla con cada dado:

Dado cúbico Dado tetraédrico

b) Intercambien sus eventos. Escribe el evento de tu compañero.

c) ¿Qué probabilidad tiene de ocurrir el evento de tu compañero con cada dado?



• ¿Con los eventos que propusieron, siempre avanza el dado tetraédrico?

• En cada caso, ¿qué sucede con el dado cúbico?

• Existirá algún otro evento diferente en el cual siempre avance el dado cúbico?

iV. Escriban un evento para que con ambos dados se tenga la misma probabilidad de

avanzar.

a) Con ese evento, calcula la probabilidad de avanzar una casilla con cada dado:


b) Intercambia tu evento con el de un compañero. Escribe el evento de tu compañero.

c) ¿Qué probabilidad tiene de ocurrir el evento de tu compañero con cada dado?



A lo que llegamosExisten juegos de azar en los que las reglas con las cuales se realiza dan mayor ventaja a un resultado que a otro. Esto sucede cuando la regla del juego corresponde a un evento que tiene mayor probabili-dad de suceder que otro.

Propósito de la información. En las siguientes actividades se le llama "regla" al evento que se considera para determinar las condiciones para realizar el juego. En cada dado varía la probabilidad de que ocurra cada una de las reglas .

Posibles respuestas. Cae un número menor que 5.Cae algún número entre 1 y 4.El número es mayor que 0 y menor que 5.Cae un número con una cifra. Cae un número menor que 10.

Sugerencia didáctica. Se espera que la respuesta sea afirmativa, pero en caso de que no sea así, invite a los alumnos a que revisen nuevamente los eventos que escribieron.

Posibles respuestas.Cae un número par.Cae un número impar.Cae 10 (nunca se avanza).


213

IMATEMÁTICAS

213

QuinielasPara empezarEn esta sesión analizarás las condiciones de algunos juegos de azar y de-terminarás el premio del juego para que cada participante tenga la misma oportunidad de ganar.

Pronósticos nacionales

Para ganar el premio mayor en una quiniela de futbol, es necesario que aciertes a los resultados de 14 partidos de futbol soccer. Estos partidos pueden ser de la primera división, de la primera A o internacionales.

El objetivo es tratar de obtener el mayor número de aciertos, ya que, ade-más del premio mayor, existen otros inferiores. El resultado de cada en-cuentro es el que se obtiene en los 90 minutos de juego regular. La quinie-la sencilla cuesta $10.00 y sólo se puede marcar una opción de resultado por encuentro: LOCAL, EMPATE O VISITANTE.

Existen quinielas dobles y triples, pero sus costos son diferentes.

Consideremos lo siguienteUn grupo de 20 amigos organizó una quiniela formada con los dos partidos de ida de semifinal del campeonato de apertura 2005 del futbol de primera división:

Cada participante debe pagar $15.00 y sólo se puede marcar una opción de resultado por encuentro: LOCAL,EMPATE O VISITANTE.

a) El ganador de la quiniela es el que acierte al resulta-

do de los dos partidos. ¿Cuál es la probabilidad de

acertar en estos resultados?


Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas.

a) De acuerdo con los resultados que se pueden dar en el encuentro de futbol

Toluca-Pachuca, ¿qué probabilidad hay de que el resultado sea empate?

b) ¿Y de que gané el visitante?

c) Cada integrante del equipo debe llenar una quiniela sencilla. Al compararlas,

¿marcaron los mismos resultados?

¿Por qué?

d) ¿Cuántas formas diferentes de llenar la quiniela sencilla hay?

sesión 4

fuTbOl dE PrIMErA dIvIsIóNsEMIfINAl CAMPEONATO dE APErTurA 2005

partidos de ida

TIgrEs MONTErrEy

TOluCA PAChuCA

lOCAl EMPATE vIsITANTE

Propósitos de la sesión. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, a partir de los premios que se reparten.

Organización del grupo. Se sugiere que el problema inicial y la primera actividad del Manos a la obra se resuelva en equipos, y posteriormente que trabajen en parejas.

Sugerencia didáctica: Pida a los alumnos que lean el ejemplo que se muestra de una quiniela. Pregunte quiénes han llenado alguna vez una de ellas; pida a esos alumnos que expliquen a los demás qué quieren decir los términos "local", "visitante", "empate", y que comenten cómo se llena la quiniela. Aproveche este momento para que los alumnos intercambien con el grupo lo que saben al respecto.

Propósito de la actividad. Tal vez algunos alumnos han visto o llenado una quiniela; con esta actividad se espera que analicen algunos factores que pueden influir en el resultado de la misma. Para ello, se idealizan ciertas condiciones para que el análisis pueda hacerse a partir de la cantidad de resultados que se pueden dar.

Respuesta. La probabilidad de acertar es de o . Es probable que algunos piensen que es de y , porque son 3 posibilidades por partido. Si contestaron erróneamente, en el siguiente apartado tendrán oportunidad de corregirlo.

Respuestas.a) La probabilidad es de e .

Son 3 resultados posibles.

b) e

c) No necesariamente, cada uno tiene su criterio para determinar el resultado.

d) Hay 9 formas diferentes. Se calcula 3 × 3.

Propósito del video. Conocer qué es y cómo se llena una quiniela. Identificar las posibilidades que se tienen de ganar al jugar una quiniela.


214

secuencia 35

214

e) Completen el siguiente diagrama de árbol para encontrarlas.

Posibles resultados de los partidos de ida de la semifinal 2005TOLUCA-PACHUCA TIGRES-MONTERREY RESULTADOS

LOCAL LOCAL LOCAL

LOCAL EMPATE LOCAL EMPATE

VISITANTE

LOCAL EMPATE LOCAL

EMPATE

VISITANTE

LOCAL

EMPATE VISITANTE

Recuerden que:

La probabilidad clásica de un evento se obtiene dividiendo

el número de los resultados favorables del evento entre el

número total de resultados posibles que se pueden dar en

la situación de azar:

número de resultados favorables del eventoP(evento)=

número total de resultados posibles

fuTbOl dE PrIMErA dIvIsIóNCuArTOs dE fINAl

CAMPEONATO dE APErTurA 2005

partidos de ida

TIgrEs AMérICA

TOluCA Cruz Azul

MONTErrEy TECOs

lOCAl EMPATE vIsITANTE

f) Con base en este conteo, ¿cuál es la

probabilidad de tener la quiniela gana-

dora?

ii. Consideren que en vez de jugarse dos partidos en la quiniela, aparecen tres:

a) Cada integrante del equipo deberá llenar una qui-

niela sencilla. Al compararlas, ¿marcaron los mis-

mos resultados?

¿Por qué creen que sucedió?

b) ¿Cuántas formas diferentes de llenar la quiniela

hay?

Propósito de la actividad. El diagrama de árbol o cualquier otro recurso que utilicen para contar les servirá de apoyo para encontrar los resultados.

Respuesta. La probabilidad es o En un partido hay 3 resultados posibles: empatar, ganar o perder. Entonces la probabilidad de acertar a un resultado es e ; si hay 2 partidos, la

probabilidad es e × e = o Es decir, se multiplica la probabilidad de cada partido porque son resultados independientes.

Empate

Visitante

LV

E EE V

L V

V V VE

Respuestas. Hay 27 formas diferentes de llenarla. Se calcula 3 × 3 × 3.

.


215

IMATEMÁTICAS

215

c) Completen el siguiente arreglo rectangular para encontrarlas.

PARTIDOS

R

E

S

U

L

T

A

D

O

S

TIGRES-AMÉRICA TOLUCA-CRUZ AZUL MONTERREY-TECOS

LOCAL LOCAL

LOCAL LOCAL

VISITANTE

EMPATE LOCAL

LOCAL

EMPATE VISITANTE

LOCAL EMPATE

LOCAL VISITANTE

LOCAL LOCAL

EMPATE LOCAL

VISITANTE

EMPATE

EMPATE

EMPATE

EMPATE LOCAL

EMPATE

VISITANTE VISITANTE

VISITANTE LOCAL

VISITANTE EMPATE

LOCAL

VISITANTE LOCAL

EMPATE

VISITANTE VISITANTE

VISITANTE

d) Con base en este conteo, ¿cuál es la probabilidad de tener la quiniela ganadora?

III. Comparen sus resultados con los demás equipos completando la siguiente tabla.

Total de resultados que puede haber en 1 partido

de futbol

Total de resultados que puede haber en dos partidos de futbol

Total de resultados que puede haber en tres partidos de futbol

Probabilidad de acertar el resultado del partido

Probabilidad de acertar a los resultados de los

dos partidos

Probabilidad de acertara los resultados de los

tres partidos

Respuesta. Es de w u

3 9 27

e o w u

.


216

Respuestas.a) Se multiplica el 3 tantas veces

como partidos haya.

Sugerencia didáctica. Pregunte cuál es la probabilidad de acertar en una quiniela con 14 partidos, como las que se utilizan en los pronósticos.

b) Cuando son 3.

Respuestas. a) Dos formas: Local-Local-Empate. Local-Empate-Empate.c) Tiene dos opciones sobre 9 casos

totales. La probabilidad es de oW

Respuestas. No es justa, porque es menos probable obtener el primer lugar.

Sugerencia didáctica. Es posible que sea mejor iniciar revisando las propuestas de la tabla en el inciso d), luego puede pedirles que hagan nuevas propuestas.

Respuesta.(Una forma de entenderlo es que el primer lugar es el que acierta a los 3 resultados. El segundo lugar es el que acierta a 2 resultados.) El primer lugar tiene w u de probabilidad. El segundo lugar tiene w Y u de probabilidad. Es decir que obtener el primer lugar es 6 veces menos probable que obtener el segundo lugar. Lo justo es que el primer lugar reciba 6 veces más de premio. Con $300 pesos deben repartirse así: $257.14 al primer lugar. $42.86 al segundo lugar.

Sugerencia didáctica. Quizá esto sea complicado. Es mejor que usted permita que los alumnos decidan. Lo importante es que el primer lugar debe recibir más dinero que el segundo lugar.

secuencia 35

216

a) ¿Qué relación hay entre el número de partidos que se juegan y el número de re-

sultados que se pueden obtener?

b) ¿En qué caso es menor la probabilidad de acertar a los resultados: cuando es un

solo partido, cuando son dos o cuando son tres?

iV. Si los resultados de los tres partidos fueron:

Partido Resultado

Tigres-América Local

Toluca-Cruz Azul Visitante

Monterrey-Tecos Empate

Y una persona falló sólo en el resultado del partido Toluca-Cruz Azul,

a) ¿De cuántas formas diferentes pudo haber llenado su quiniela?

b) Si con esos resultados gana el segundo lugar, ¿cuántas formas diferentes de ob-

tener el segundo lugar hay?

c) ¿Cúal es la probabilidad de obtener el segundo lugar?

Un alumno propuso repartir el premio de $300.00 de la siguiente manera:Primer lugar: $150.00Segundo lugar: $150.00

Y explicó: si el monto es de $300.00, lo divido en dos partes, es decir, $150.00 para cada ganador, porque en cada caso hay sólo una forma de acertar.

d) ¿Consideran que esta forma de repartir los premios es justa?

¿Por qué?

e) Escriban una forma de repartir los premios que crean justa y coméntenla a su

compañero, no olviden explicar por qué la consideran justa.

f) Las siguientes son algunas propuestas de repartir los premios al primero y segundo lugar en acertar a los resultados de tres partidos. Escriban una razón para aceptar o rechazar cada propuesta.

Premio Acepta Rechaza Justificación

Primer lugar: $200Segundo lugar: $100Primer lugar: $175Segundo lugar: $125

.


217

IMATEMÁTICAS

217

A lo que llegamosEn un juego de azar, si la probabilidad de un evento es mayor que la de otro, es justo asignar un mayor premio al evento de mayor proba-bilidad.

Lo que aprendimos1. Al lanzar dos monedas, dos posibles resultados son:

moneda 1 moneda 2águila águila

ymoneda 1 moneda 2

águila sol

Van a necesitar dos monedas no trucadas.

Realicen el siguiente juego. Lance cada quien las dos monedas consecutivamente. Si te caen dos águilas, ganas 1 punto. En otro caso gana 1 punto tu compañero. El juego ter-mina cuando alguno de los jugadores logra 5 puntos.

a) ¿Qué otros resultados pueden ocurrir al lanzar dos monedas consecutivamente?

b) ¿Quién ha obtenido más puntos?

c) Completen el cuadro con los resultados de tu juego. Escriban en cada casilla el

número de veces que ha ocurrido ese resultado.

d) Comparen sus resultados con los resultados que obtuvo su compañero.

e) ¿Cómo podrían modificar el juego para que sea justo?

Para saber másConsulten en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2001.

Sobre los diferentes juegos de lotería y quinielas que ofrecen la Lotería Nacional y Pronósticos Deportivos, así como de la función social que desarrollan consulten:

http://www.esmas.com./pronosticos [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

http://www.loterianacional.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

Moneda 2Águila

(A)Sol(S)

Moneda

1

Águila

(A)

Sol

(S)

Respuestas. Son 4 posibles resultados en total. Los 2 que se presentan:Águila-Águila.Águila-Sol.Y 2 más:Sol-Águila.Sol-Sol.

Propósito del interactivo. Desarrollar la intuición sobre los posibles resultados de lanzar una moneda en relación con el número de veces que se realicen los lanzamientos.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos que calculen la probabilidad de atinarle a una quiniela con 4 partidos y que digan cuántas combinaciones habría.


218

Propósito de la sesión. Vincular una expresión algebraica a relaciones de proporcionalidad directa y construir tablas y gráficas a partir de dichas situaciones. Organización del grupo. A lo largo de la sesión hay momentos de trabajo grupal, en parejas e individual.

Propósito del video. Reconocer las características de las representaciones tabular, gráfica y algebraica de una relación de proporcionalidad directa.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos reconozcan una relación de proporcionalidad directa y la vinculen con una expresión algebraica. También se busca que observen que una misma expresión algebraica puede asociarse a varias situaciones. Sugerencia didáctica. Si los alumnos no están seguros de cuáles situaciones pueden asociarse a la expresión, sugiérales que prueben con distintos valores para x y vean si se cumple. Si eligen situaciones a las que es incorrecto asociarles la expresión, no los corrija y permítales avanzar en la resolución de la sesión.

Respuestas. En la situación a) interesa averiguar cuántos pesos se obtienen por cierta cantidad de francos. Si y es la cantidad de pesos que se obtendrán al hacer el cambio, x la cantidad de francos que van a cambiarse y se sabe que por cada franco se obtienen 2 pesos, entonces la situación sí tiene asociada la expresión y = 2x. En la situación b) se sabe que cuando Luis tenga 16 años será el doble de la edad de Laura, pero para cualquier otra edad de Luis esa diferencia ya no será del doble, así que no puede asociársele la expresión porque la relación no es de proporcionalidad directa. En la situación c) se quiere averiguar el costo de cierto número de llamadas (y ), cada llamada (x ) cuesta 2 pesos, por lo tanto, sí se le puede asociar la expresión y = 2x. En la situación d) interesa conocer cuántos pesos mexicanos (y ) se obtienen por cierta cantidad de pesos uruguayos (x ), y como por cada peso uruguayo se obtienen 50 centavos de peso mexicano, la expresión no es correcta. La que correspondería es y = wQ x. Si la situación fuera a la inversa, es decir, hallar cuántos pesos uruguayos se obtienen al cambiar pesos mexicanos, la expresión sí correspondería.

secuencia 36

218

En esta secuencia aprenderás a calcular valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), relacionando las representaciones que corresponden a la misma situación e identi-ficando aquellas que son de proporcionalidad directa.

Gráficas, tablas y expresiones alGebraicas asociadas a problemas de proporcionalidad directaPara empezarElementos de la proporcionalidad directa

Como han aprendido en las secuencias 31 y 32 de su libro de Matemáticas I, volumen IIlos problemas en los cuales están involucradas cantidades directamente proporcionales tienen los siguientes tres elementos que se deben tomar en cuenta para su resolución• La tabla.• La expresión algebraica.• La gráfica.

A lo largo de esta secuencia estudiarán cómo usar estos 3 elementos de distintas formas para resolver problemas de cantidades directamente proporcionales.

Consideremos lo siguienteConsideren la expresión algebraica:

y = 2x

¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones tienen asociada la expresión algebraica anterior? Justifiquen sus respuestas.

a) El tipo de cambio de francos franceses a pesos mexicanos, si por cada franco francés se obtienen dos pesos mexicanos.

b) Las edades de Juan y Laura si se sabe que cuando Juan cumpla 16 años, tendrá dos veces la cantidad de años que tendrá Laura.

c) El costo de cierto número de llamadas si cada llamada cuesta dos pesos.

sesión 1

Recuerden que: El tipo de cambio de francos franceses a pesos mexicanos es la

cantidad de pesos mexicanos que se obtienen al cambiar un

franco francés.

Gráficas, tablas y expresiones algebraicas

Propósitos de la secuencia Calcular valores faltantes a partir de varias representaciones (gráficas, tabulares y

algebraicas), relacionando las representaciones que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad directa.


1

Gráficas, tablas y expresiones algebraicas asociadas a problemas de proporcionalidad directa Vincular una expresión algebraica a relaciones de proporcionalidad directa y construir tablas y gráficas a partir de dichas situaciones.

Video Elementos de la proporcionalidad

directa Aula de medios

“Gráficas, tablas y expresiones algebraicas asociadas a problemas

de proporcionalidad directa”

(Hoja de cálculo)

2De la gráfica al problema Vincular una gráfica a relaciones de proporcio-nalidad directa y escribir la expresión algebraica correspondiente.

Eje


Tema


Antecedentes

En secuencias anteriores los alumnos han trabajado con relaciones directamente proporcionales, su representa-ción en tablas y gráficas, y la escritura de su expresión algebraica. En esta secuencia se pretende que los alumnos las reconozcan asociándolas con una tabla, gráfica y expresión algebraica correspondientes, y que encuentren valores faltantes a partir de cualquiera de sus representaciones.


219

Sugerencia didáctica. Los alumnos ya estudiaron el concepto de dependencia en la secuencia 27. Pregúnteles qué variable está en función de la otra en esta relación. Respuesta. La expresión es y = 2x.

Respuestas. La expresión es v = u + 8, pero también podría ser u = v − 8 porque en esta relación no se especifica qué variable está en función de la otra.

3

Sugerencia didáctica. Dé un espacio para discutir grupalmente cuál de las tablas es de proporcionalidad directa. Pida a los alumnos que argumenten su respuesta.

IMATEMÁTICAS

219

d) El tipo de cambio de pesos uruguayos a pesos mexicanos, si por cada dos pesos uruguayos se obtiene un peso mexicano.

Manos a la obraI. Encuentren la expresión algebraica que permite calcular la cantidad de pesos que se

obtienen al cambiar determinada cantidad de francos, es decir, el tipo de cambio de francos a pesos (situación del inciso a).

Representen con la letra x la cantidad de francos que se van a cambiar y con la letra y la cantidad de pesos que se obtienen al cambiar los francos.

Encuentren la expresión algebraica asociada al aumento de las edades de Juan y Laura. Representen con la letra u la cantidad de años que tiene Laura y con la letra v lacantidad de años que tiene Juan (situación del inciso b).

Comparen sus expresiones y comenten cómo las encontraron.

II. Completen las siguientes tablas para establecer cuál de las dos relaciones anteriores es de proporcionalidad directa.

x(cantidad de

francos)

y(cantidad de pesos

mexicanos)

u(edad de Juan)

v(edad de Laura)

0 16 81 2 135 118 10

12 915 8

Tabla 1 Tabla 2

¿Cuál de las tablas anteriores es de proporcionalidad directa?

III. Con la información de las tablas anteriores completen las siguientes gráficas.

Recuerden que: Dos cantidades están en propor-ción directa si al aumentar una (al doble, triple, etc.), o al disminuir (a la mitad, la tercera parte, etc.), la otra aumenta (al doble, triple, etc.), o disminuye (a la mitad, tercera parte, etcétera).

Can

tid

ad d

e p

eso

s

Cantidad de francos

y

x0 1 2 3 4 5 6

5

10

15

20

25

30

7 8 9 10 11 12 13 14 15Edad de Juan

Edad

de

Lau

ra

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10v

16u

151413121110987654321

0

10162430

53210

Posibles dificultades. Cuando terminen de hacer las gráficas notarán que ambas son rectas, lo que puede hacer pensar a algunos alumnos que ambas relaciones son de proporcionalidad directa. Si esto ocurre, pídales que revisen la sección A lo que llegamos de la secuencia 32, sesión 2, en donde se explicita cómo deben ser las gráficas que representan una relación de proporcionalidad directa (en una recta que pasa por el origen –el punto 0,0–, condición que la gráfica de las edades no cumple).


220

Sugerencia didáctica. Es conveniente que se discuta el inciso d). Sí es una relación de proporcionalidad directa, pero como se dijo antes, no corresponde a la expresión algebraica y = 2x. La expresión correcta para esa situación sería y = wQ x.

Propósito de la actividad. Se pide a los alumnos hacer la tabla y la gráfica con la intención de que tengan más elementos para elegir cuál relación es de proporcionalidad directa y tiene asociada la expresión dada, o bien, para validar su respuesta cuando ya han hecho una elección. Una vez que terminen, pídales que regresen al Consideremos lo siguiente y si hubo errores corríjanlos.

Integrar al portafolios. Conserve una copia de las respuestas de los alumnos a esta actividad. Si lo considera necesario, pídales que justifiquen su respuesta haciendo una tabla o gráfica para mostrar que la relación que eligieron es de proporcionalidad directa y que corresponde a la expresión dada.

Respuestas. En la relación a) la ganancia ( y ) es de 3 pesos por cada 2 pesos invertidos ( x ). Sí es de proporcionalidad directa, pero no corresponde a la expresión dada. La expresión correcta sería y = wE x. Encontrar tal expresión puede ser difícil para los alumnos, lo importante es que reconozcan que la situación no corresponde a la expresión dada. En la situación b) la velocidad de un automóvil ( y ) es el triple de la velocidad de otro automóvil ( x ), por lo tanto sí es correcto asociarle la expresión y = 3x. En la situación c) la producción de la máquina ( y ) está dada por el tiempo ( x ) que tarda en hacer una lata. Si en un segundo produce e Q de lata, la expresión correcta sería y = e Q x. Es una relación de proporcionalidad directa, pero no le corresponde la expresión dada.

Propósito de la sesión. Vincular una gráfica a relaciones de proporcionalidad directa y escribir la expresión algebraica correspondiente.

Organización del grupo. La sesión se sugiere trabajarla en parejas, excepto el último apartado, que es individual.

secuencia 36

220

iV. En sus cuadernos encuentren las expresiones, hagan las tablas y las gráficas correspondientes a las relaciones de los incisos c) y d) para determinar si las situaciones tienen asociada la expresión algebraica del inicio de la sesión.

A lo que llegamosPara determinar si una relación es de proporcionalidad directa se puede hacer lo siguiente:

• A partir de la relación, construir una tabla para encontrar algunos valores y determinar si esta tabla es de proporcionalidad directa.

• A partir de la tabla, construir la gráfica y determinar si los puntos están en una línea recta que pasa por el origen.

• Encontrar la expresión algebraica asociada a la situación y determi-nar si es de la forma y = kx, donde k es la constante de proporcio-nalidad.

Puede suceder que distintas situaciones proporcionales tengan la misma expresión algebraica asociada. Por ejemplo, dos de las relaciones de proporcionalidad de esta secuencia son distintas, pero tienen asociada la misma expresión algebraica: y = 2x

Lo que aprendimos1. Considera la siguiente expresión algebraica:

y = 3x

¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones tienen asociada la expresión algebraica anterior? Justifica tu respuesta.

a) Las ganancias en términos de la cantidad de dinero invertido, si se sabe que por cada dos pesos invertidos se ganan tres pesos.

b) Las velocidades de dos automóviles si uno va al triple de velocidad que el otro.

c) Una máquina produce una lata cada tres segundos. ¿Cuántas latas producirá en xsegundos?

De la Gráfica al problema Para empezarEn la secuencia 32 del libro de Matemáticas I graficaste relaciones de proporcionalidad directa. Recuerda que en el plano cartesiano, los puntos de una gráfica se localizan con coordenadas, como (a, B). A la primera coordenada a se le llama abscisa, y a la segunda coordenada B se le llama ordenada.

Por ejemplo, el punto (1, 5) tiene como abscisa 1 y como ordenada 5.

Completa la siguiente tabla, donde se pide encontrar las abscisas y las ordenadas de varios puntos del plano cartesiano.

SeSiÓN 2


221

Propósito de la actividad. Se quiere que los alumnos recuerden los términos de "abscisa" y "ordenada" y que se familiaricen con coordenadas que no son números enteros.

2

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos relacionen una o más relaciones a una gráfica de proporcionalidad directa. Si los alumnos eligen relaciones que no corresponden a la gráfica no los corrija, más adelante tendrán oportunidad de verificar sus respuestas.

Respuestas. La situación a) no es de proporcionalidad directa, aunque en la recta puedan encontrarse las coordenadas correspondientes a las edades de Diana y Héctor (20, 50). De acuerdo con el enunciado, cuando

Diana tenía 10 años su papá tenía 40, y ese punto (10, 40) ya no está en la recta. Además, no es cierto que cuando Diana tenía 0 años, su papá también tenía 0 años, por lo tanto, la recta correspondiente a esa relación no pasaría por el origen. En la situación b), 20 libros iguales tienen una altura de 50 cm, por lo tanto se espera que 10 de esos libros alcancen una altura de 25 cm, y que 0 libros tengan una altura de 0 cm, por lo tanto sí es una situación de proporcionalidad directa a la que puede asociársele la gráfica dada.

IMATEMÁTICAS

221

Punto en el plano cartesiano

Abscisa del punto

Ordenada del punto

(1, ) 1

( , 7)

( , )

( , )

Consideremos lo siguienteLa siguiente gráfica representa una relación de proporcionalidad directa:

¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones pueden asociarse con la representación de esta gráfica? Justifiquen su respuesta.

a) La relación entre las edades de Héctor y su hija Diana, si se sabe que ahora Héctor tiene 50 años y su hija 20 años.

b) La relación entre la altura y la cantidad de libros, si se sabe que 20 libros alcanzan una altura de 50 cm.

c) El costo de distintas cantidades de caramelos. Una bolsa con 50 caramelos cuesta $20.

Manos a la obraI. Respondan las siguientes preguntas para encontrar cuáles de las tres situaciones corres

ponde la gráfica anterior.

a) ¿Qué edad tenía Héctor cuando Diana nació? (se considera que Diana tiene 0 años

al nacer).

50

40

30

20

10

10 20

(20, 50)

wQ 7

rE Q t U

Q r W wwQ

La relación c) es de proporcionalidad directa porque los datos dan lugar a una recta y porque 0 caramelos cuestan 0 pesos (la recta sí pasa por el origen). Se le puede asociar la gráfica dada porque con 10 pesos se pueden comprar 25 caramelos (10, 25), con 2 pesos 5 caramelos (2, 5), etc., y todos esos puntos se encuentran sobre la recta dada.

Respuestas. a) Héctor tenía 30 años. La expresión correcta para esa situación es y = x − 30.


222

Respuestas.b) 20 libros tienen un grosor de

50 cm, entonces cada libro tiene un grosor de w T p P cm, que también puede escribirse como wT de cm o 2.5 cm.

Una expresión para esa situación sería y = w T p P x. También podría escribirse como y = 2.5x si se piensa que cada libro tiene una altura de 2.5 cm.

Respuestas.c) Si con $2 puede comprar 5

caramelos, con $8 compraría 20 caramelos. La expresión sería y = 2.5x

secuencia 36

222

Completen la siguiente tabla para determinar algunas de las edades de Diana a partir de la edad de Héctor:

Edad de Héctor Edad de Diana

50 20

60

30

58

Tabla 1

Encuentren la expresión algebraica asociada a esta relación. Representen con la letra x la edad de Héctor y con la letra y la edad de Diana.

b) ¿De qué grosor es cada libro?

Completen la siguiente tabla

Número de libros Altura que tienen apilados(cm)

20 50

10

2

8

Tabla 2

Encuentren la expresión algebraica asociada a esta relación. Representen con la letra x el número de libros y con la letra y la altura.

c) ¿Cuántos caramelos compró Óscar si pagó 8 pesos?

Completen la siguiente tabla para determinar el número de caramelos que se compran con distintas cantidades de dinero:

Precio (en pesos) Número de caramelos

20 50

10

2

8

Tabla 3

Encuentren la expresión algebraica asociada a esta relación. Representen con la letra x la cantidad en pesos y con letra y el número de caramelos que compran.

300

28

255

20

255

20


223

Sugerencia didáctica. Solicite que revisen sus respuestas al apartado Consideremos lo siguiente y corrijan si es necesario.

Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de sus respuestas a las actividades I y II de este apartado. Si considera que puede ser de utilidad, sugiérales que hagan una tabla para verificar que hayan escogido la situación correcta y facilitar la escritura de la expresión correspondiente.

Respuestas. La segunda situación es la que tiene asociada la gráfica dada, porque 2 pesos son equivalentes a 1 franco, lo que en la gráfica corresponde al punto (2, 1). La expresión sería y = wQ x. La primera no, porque 2 pesos mexicanos corresponden a 4 quetzales guatemaltecos. La expresión sería y = 2x.

IMATEMÁTICAS

223

A lo que llegamosPuede suceder que distintas relaciones de proporcionalidad directa tengan asociada la misma gráfica. Por ejemplo, al graficar las relaciones de proporcionalidad de los incisos b) y c) se obtienen puntos que están sobre la misma línea recta.

Además, si las relaciones de proporcionalidad tienen asociada la misma gráfica, enton-ces tienen asociadas las mismas expresiones algebraicas.

1. A continuación se presentan dos relaciones de proporcionalidad directa:

• El tipo de cambio de pesos a quetzales guatemaltecos. Recuerda que 5 pesos mexicanos equivalen a 10 quetzales guatemaltecos.

• El tipo de cambio de pesos a francos. Recuerda que 10 pesos mexicanos equivalen a 5 francos franceses.

2. Encuentra las expresiones algebraicas asociadas a las relaciones de proporcionalidad anteriores. Compara tus gráficas y tus expresiones con un compañero.

Para saber másSobre el tipo de cambio entre monedas de distintos países consulta: http://www.oanda.com/convert/classic?user=etravetware lang=es[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 301 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

Lo que aprendimosEncuentra cuál de las siguientes relaciones de proporcionalidad tiene asociada la siguiente gráfica:


224

Propósito de la sesión. Construir y analizar tablas para determinar valores faltantes en una relación de proporcionalidad inversa.

Organización del grupo. La sesión se resuelve en parejas, excepto el último apartado, que es individual.

1

Propósito de la actividad. Los alumnos van a explorar relaciones de proporcionalidad inversa y formas correctas e incorrectas de resolver los problemas que se plantean.

Posibles dificultades. Es común que los alumnos traten de resolver relaciones de proporcionalidad inversa utilizando procedimientos que han aprendido para la proporcionalidad directa, más aún porque su experiencia con la proporcionalidad inversa es mucho menor que la que han adquirido con la directa. Si los alumnos no reconocen la diferencia entre las situaciones planteadas en esta secuencia y las de proporcionalidad directa, no trate de explicárselas en este momento. En el apartado Manos a la obra se presentan procedimientos de resolución para que puedan analizarlos juntos y conocer las propiedades de la proporcionalidad inversa.

Respuestas. a) El total de agua son 2 400 , si se reparte

en 4 tambos cada uno debe tener una capacidad de 600 .

b) Los 2 400 se reparten en 12 tambos, cada uno debe tener una capacidad de 200 .

secuencia 37

224

En esta secuencia aprenderás a identificar y resolver relaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

El aguaPara empezarEl agua es un líquido esencial para la vida en nuestro planeta. Aunque la Tierra está constituida por 75% de agua, menos de 1% se puede usar para el consumo humano. Como te podrás dar cuenta, es muy importante cuidar del agua, ya que sin ella la vida no sería posible.

Consideremos lo siguienteSe tiene almacenada agua en 8 tambos de 300 litros de capacidad cada uno. Hay que pasar el agua a tambos de otra capacidad.

a) Si se quisiera pasar toda el agua a 4 tambos de igual tamaño, ¿cuántos litros de ca-pacidad debería tener cada tambo?

b) Si se quisiera pasar toda el agua a 12 tambos de igual tamaño, ¿cuántos litros de capacidad debería tener cada tambo?

Manos a la obrai. En otra escuela hicieron el mismo problema y encontraron dos procedimientos para

calcular la capacidad de cada tambo si se quiere almacenar toda el agua en 12 tambos.

• En el equipo 1 hicieron el siguiente diagrama:

8 tambos 300Entre 2 + + Entre 2

4 tambos 150

12 tambos 450

Dijeron que para almacenar toda el agua en 12 tambos cada tambo debería tener capa-cidad de 450 litros.

sEsión 1

Proporcionalidad inversa

Propósitos de la secuencia Identificar y resolver relaciones de proporcionalidad inversa

mediante diversos procedimientos.


1El agua Construir y analizar tablas para determinar valores faltantes en una relación de proporcionalidad inversa.

2La velocidad Asociar la expresión algebraica correspon-diente a problemas de cantidades inversa-mente proporcionales.

Video La velocidad constante

Interactivo “Variación proporcional

inversa y gráficas 1”

3

La hipérbola Asociar la expresión algebraica correspon-diente a problemas de relaciones inversa-mente proporcionales y construir la gráfica correspondiente.


inversa y gráficas 2” Aula de medios “La hipérbola”

(Hoja de cálculo)

Eje


Tema


Antecedentes

Los alumnos han tenido contacto principalmente con relaciones de variación proporcional directa, sus propiedades y sus representaciones. En esta secuencia conocerán otro tipo de variación: la proporcionalidad inversa. También elaborarán tablas y gráficas para conocer valores faltantes y conocerán algunas de sus propiedades.


225

2

Respuestas.

a) 2 400 .

b) Son 12 tambos, cada uno con una capacidad de 450 , así que en total se almacenan 5 400 .

c) Si cada uno de los 12 tambos tiene una capacidad de 200 , en total se almacenan 2 400 .

Sugerencia didáctica. Analicen la tabla cuando terminen de llenarla. Pregunte a los alumnos qué diferencias o similitudes encuentran en esta tabla con respecto a las de variación proporcional directa. Si ningún alumno lo comenta, dígales que observen que mientras mayor es el número de la columna izquierda (número de tambos), menor es el de la derecha (capacidad de cada tambo).

IMATEMÁTICAS

225

• En el equipo 2 hicieron la siguiente tabla:

x(Número de tambos)

y(Capacidad de cada tambo en litros)

8 300

4 600

12 200

Dijeron que para almacenar toda el agua en 12 tambos, cada tambo debería tener capa-cidad de 200 litros.

Comenten:

a) ¿Cuántos litros de agua hay almacenados en 8 tambos de 300 litros cada uno?

b) ¿Cuántos litros de agua se almacenan con la solución dada por el equipo 1?

c) ¿Cuántos litros de agua se almacenan con la solución dada por el equipo 2?

II. Completen la siguiente tabla para calcular la capacidad que debe de tener cada tam-bo para almacenar 2 400 litros de agua.

x(Número de tambos)

y(Capacidad de cada tambo en litros)

8 300

4

2

1

3

12

III. Respondan las siguientes preguntas:

a) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros de agua en 10 tambos, ¿qué capacidad de-

bería tener cada tambo?

b) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros en un solo tambo, ¿qué capacidad debería

tener?

c) Si se quisiera almacenar los 2 400 litros en 32 tambos, ¿qué capacidad debería tener

cada tambo?

Entre 2

Por 3

Por 2

Entre 3

Propósitos de la secuencia Identificar y resolver relaciones de proporcionalidad inversa

mediante diversos procedimientos.


1El agua Construir y analizar tablas para determinar valores faltantes en una relación de proporcionalidad inversa.

2La velocidad Asociar la expresión algebraica correspon-diente a problemas de cantidades inversa-mente proporcionales.

Video La velocidad constante


inversa y gráficas 1”

3

La hipérbola Asociar la expresión algebraica correspon-diente a problemas de relaciones inversa-mente proporcionales y construir la gráfica correspondiente.


inversa y gráficas 2” Aula de medios “La hipérbola”

(Hoja de cálculo)

6001 2002 400

800200

Respuestas.

a) 240 .

b) 2 400 .

c) 75 .


226

Respuestas. a) Se multiplica por 2 el número de

tambos.

b) Se divide entre 5 el número de tambos.

c) Si el número de tambos aumenta al doble, la capacidad se divide entre 2. Si el número de tambos disminuye la cuarta parte, la capacidad se multiplica por 4.

Sugerencia didáctica. Revisen las respuestas a las preguntas del apartado Consideremos lo siguiente y corrijan si es necesario.

Sugerencia didáctica. Comenten esta información. Haga énfasis en que los procedimientos que aprendieron para resolver problemas en relaciones de proporcionalidad directa no les serán útiles cuando se trate de relaciones de proporcionalidad inversa. Puede poner algún ejemplo para aclararlo.

Integrar al portafolios. Revise las respuestas de los alumnos a esta actividad. Si fuera necesario, pídales que hagan una tabla para averiguar las respuestas.

Respuestas. a) Con 60 pasajeros cada uno paga

$30.

b) $90.

c) $120.

d) El número de alumnos que va a la excursión y la cantidad que paga cada uno.

Propósito de la sesión. Asociar la expresión algebraica correspondiente a problemas de cantidades inversamente proporcionales.

Organización del grupo. En la sesión se sugieren momentos de trabajo individual, en parejas y grupal.

Propósito del video. Ejemplificar la noción de velocidad constante.

secuencia 37

226

Comenten:

a) Si se divide entre 2 la capacidad de cada tambo, ¿qué sucede con el número de tam-bos necesarios para almacenar los 2 400 litros de agua?

b) Si se multiplica por 5 la capacidad de cada tambo, ¿qué sucede con el número de tambos necesarios para almacenar los 2 400 litros de agua?

c) ¿Qué pasa con la capacidad de cada tambo cuando el número de tambos aumenta al doble?, ¿y si el número de tambos disminuye a la cuarta parte?

A lo que llegamosDos cantidades son inversamente proporcionales si al aumentar una al doble la otra disminuye a la mitad, al aumentar al triple la otra disminuye a la tercera parte, y así sucesivamente.

Por ejemplo, en el problema de esta sesión el número de tambos que se emplean para almacenar el agua y la capacidad que tiene cada uno de los tambos son cantidades inversamente proporcionales.

Lo que aprendimos1. En una escuela se va a organizar una excursión y van a contratar un autobús que

tiene 60 asientos. El autobús les cobra $1 800.00 por el viaje.

a) Si el autobús se llena, ¿cuánto debe pagar cada pasajero por el viaje?

b) Si solamente van 20 alumnos a la excursión, ¿cuánto debe pagar cada pasajero?

c) Si solamente van 15 alumnos a la excursión, ¿cuánto debe pagar cada pasajero?

d) ¿Cuáles son las cantidades que son inversamente proporcionales en este problema?

la vElocidadPara empezarLa velocidad constante

En las secuencias 6 y 31 del libro de Matemáticas I estudiaste problemas relacionados con la velocidad de un automóvil en términos de la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerse. En está sesión continuaremos con el estudio de problemas de velo-cidad.

SESiÓN 2


227

Sugerencia didáctica. Antes de empezar a responder, pregunte a los alumnos cuál es la distancia que hay entre la Ciudad de México y la de Veracruz. Si el viaje dura 6 horas a una velocidad promedio de 70 km por hora, hay una distancia de 420 km.

Respuestas. a) 35 km/h.b) 140 km/h.c) 84 km/h.

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para llenar la tabla, ayúdelos a encontrar las relaciones entre los datos. Por ejemplo, Horas km/h6 7012 35La cantidad de horas del segundo renglón (12) es el doble que la del primero (6), y los kilómetros por hora del segundo renglón (35) son la mitad de los del primero (70). Esto tiene sentido, porque si se viaja a la mitad de velocidad, el recorrido durará el doble de tiempo. Ahora, para hallar los valores faltantes puede sugerirles que empiecen con el 3 (horas), ya que es la mitad del 6 y por lo tanto la velocidad será el doble. Conociendo ese dato pueden averiguar la velocidad a la que hay que viajar si el recorrido se hace en 9 horas (la velocidad será 3 veces menor que si sólo dura 3 horas). Un viaje de 5 horas será 5 veces más lento que uno de 1 hora.

IMATEMÁTICAS

227

Consideremos lo siguientePara ir de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz se hacen 6 horas viajando en automóvil a una velocidad promedio de 70 kilómetros por hora.

Respondan las siguientes preguntas:

a) Si se hubiera hecho el viaje de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz en 12horas, ¿a qué promedio de velocidad se habría viajado?

b) Si se quisiera hacer el viaje de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz en un tiempo de 3 horas, ¿a qué promedio de velocidad debería viajarse?

c) Si se quisiera hacer el viaje de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz en un tiempo de 5 horas, ¿a qué promedio de velocidad debería viajarse?

Manos a la obraI. Completen la siguiente tabla para calcular la velocidad prome-

dio para viajar de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz en distintos periodos de tiempo.

El tiempo de viaje está representado por x en la tabla y la velo-cidad promedio durante el viaje está representada por la letra yen la tabla.

x(en horas)

y(en kilómetros por hora)

6 70

12 35

9

3

1

5

II. En un equipo de otra escuela hicieron la siguiente observación al llenar la tabla an-terior:

6 × 70 = 420

12 × 35 = 420

Y dijeron:

“Cuando multiplicamos los números de un renglón el resultado siempre es 420”.

46.67

140

420

84

Propósito del interactivo. Resolver problemas que involucran cantidades inversamente proporcionales, relacionando tablas, gráficas y su expresión algebraica.


228

Respuestas. El resultado siempre es 420, que es la distancia entre la ciudad de Veracruz y la de México.

Recuerde que. En una relación de proporcionalidad inversa:- cuando una cantidad aumenta

el doble, la otra disminuye a la mitad, si aumenta el triple la otra disminuye a la tercera parte, etc.;

- si se representa en una gráfica se obtiene una curva llamada hipérbola;

- si se representan los datos en una tabla el producto entre los elementos de los dos conjuntos se mantiene constante;

- su expresión algebraica es y = k . x

En una relación de proporcionalidad directa:

- cuando una cantidad aumenta el doble, la otra también aumenta el doble, si aumenta el triple la otra también aumenta el triple, etc.;

- si se representa en una gráfica se obtiene una recta que pasa por el origen;

- si se representan los datos en una tabla el cociente entre los elementos de los dos conjuntos se mantiene constante;

- su expresión algebraica es y = kx.

Sugerencia didáctica. Busquen una secuencia de proporcionalidad directa en la que hayan llenado una tabla. Pídales que multipliquen los números de cada renglón y vean si se obtiene un producto constante.

Respuestas.a) 420 km.b) Por 84. Pueden pensarlo como

5x ___ = 420, o bien, 420 ÷ 5 = ___

c) Por 46.67 (redondeando).

Respuesta. Se divide la constante de proporcionalidad inversa entre el otro dato conocido, en este caso, el tiempo. Entonces y = R W P .

x

Respuestas.a) 210 km/h.b) 60 km/h.

secuencia 37

228

Multipliquen los números de cada renglón: el número de horas por la velocidad. Anoten sus resultados al lado de la tabla.

Comparen sus resultados y comenten:

a) ¿Coinciden los productos de su tabla con los resultados que obtuvieron en la otra escuela?

b) ¿Están de acuerdo con la observación que hicieron en la otra escuela?

Contesten:

a) ¿Cuántos kilómetros hay que recorrer para ir de la Ciudad de México a la ciudad de

Veracruz?

b) ¿Por qué número hay que multiplicar 5 para obtener 420?

c) ¿Por qué número hay que multiplicar 9 para obtener 420?


¿Hay algún número por el cual se multipliquen los datos de la primera columna para obtener los datos de la segunda columna?, ¿cuál?

A lo que llegamosEn las situaciones que involucran cantidades inversamente proporcio-nales hay siempre un valor constante. Esta constante resulta de multi-plicar las cantidades que son inversamente proporcionales. A este número se le llama constante de proporcionalidad inversa.

Por ejemplo, en el problema anterior, 420 es la constante de propor-cionalidad inversa, porque 6 × 70 = 420.

iii. Si x es el tiempo que se emplea para ir de la Ciudad de México a la ciudad de Veracruz y si y es la velocidad promedio, encuentren una expresión algebraica para calcular la velocidad a partir del tiempo:

y =

En el pizarrón anoten sus expresiones algebraicas y comenten cómo las obtuvieron.

iV. Usando la expresión algebraica que obtuvieron respondan lo siguiente:

a) ¿A qué velocidad iría el automóvil si recorriera en 2 horas la distancia entre la

Ciudad de México y la ciudad de Veracruz?

b) ¿A qué velocidad iría el automóvil si recorriera en 7 horas la distancia entre la

Ciudad de México y la ciudad de Veracruz?

Recuerden que: En las tablas de proporciona-lidad directa al multiplicar los datos de la primera columna por la constante de proporcio-nalidad se obtenían los datos de la segunda columna.

Respuesta.No hay.


229

"acomodarlas" depende de cuál sea el valor que debe hallarse y cuáles ya se conozcan. En este ejemplo, si quiere hallarse la constante de proporcionalidad inversa la expresión sería xy = k. Si ya se conocen la base y la constante, entonces y = W R .Y si hay que averiguar cuál es la base conociendo la constante y la altura y = W R .Pero los alumnos no tienen que aprenderse una por una, el objetivo es que conociendo la expresión algebraica de la proporcionalidad inversa puedan hallar cualquier valor. Para lograrlo puede ser útil analizar la expresión y utilizarla varias veces en diferentes situaciones, dándole distintos valores a una de las variables y manteniendo la constante. Después hacer lo mismo con la otra variable y analizar los cambios.

Sugerencia didáctica. Comparen esta expresión (y = k ) con y = kx, que es la que corresponde a las relaciones de proporcionalidad directa. Puede preguntar a los alumnos en qué se parecen y en qué se diferencian. Por ejemplo, qué papel juega la constante en cada uno de los casos (en la proporcionalidad directa la constante es el número por el cual se multiplica el dato de la primera columna para obtener el de la segunda; en cambio, la constante de proporcionalidad inversa es el número que resulta de multiplicar los datos de un mismo renglón).

Integrar al portafolios. Pida una copia de las respuestas de los alumnos al número 1. Respuestas. La constante de proporcionalidad inversa es el número de litros que hay que almacenar, 2 400. La expresión sería y = W R P P .

Posibles procedimientos. Los alumnos podrían fijarse en las relaciones que hay entre los datos: Campesinos Días 2 3 6 6Si el número de campesinos aumenta de 2 a 6 (o sea, por 3), el número de días será una tercera parte del primero. Si el número de días en los que se termina el trabajo aumenta el doble (de 3 a 6), el número de campesinos que trabajarían sería la mitad.O bien, hallar la constante de proporcionalidad inversa, que corresponde a 6 días de trabajo total (ya saben que si se multiplican los datos de un renglón se obtiene esa constante). Respuestas. a) Un día.b) Un campesino.

Propósito de la sesión. Asociar la expresión algebraica correspondiente a problemas de relaciones inversamente proporcionales y construir la gráfica correspondiente.

Organización del grupo. Todas las actividades son en parejas, salvo la última, que es individual.

Propósito de la actividad. Ahora la proporcionalidad inversa se aborda en la geometría, dejando como constante el área y variando la longitud de los lados.

Respuestas. a) 4 cm porque 6 × 2 = 24.b) 2 cm porque 12 × 2 = 24.c) 3 cm porque 8 × 3 = 24.d) La base y la altura del rectángulo.e) 24 porque es el número que se obtiene

siempre que se multiplica la base por la altura.

f) Si la base es x y la altura y, entonces xy = 24 o y = W R .

Posibles dificultades. Para muchos alumnos las expresiones xy = 24 y y = W R son dos cosas independientes que se aprenden por separado. Es importante hacerles ver que están relacionadas y que la forma de

IMATEMÁTICAS

229

Lo que aprendimos1. En tu cuaderno encuentra la constante de proporcionalidad inversa y la expresión

algebraica de los problemas de la sesión 1 de esta secuencia.

2. Si 2 campesinos tardan 3 días en sembrar un terreno:

a) ¿Cuántos días tardarían en sembrar el mismo terreno 6 campesinos?

b) Si el terreno se sembró en 6 días, ¿cuántos campesinos lo sembraron?

la hipérbolaPara empezarEn la secuencia 13 de tu libro de Matemáticas I, volumen I y en primaria estudiaste el área y el perímetro de diferentes figuras geométricas. En esta sesión resolverás más pro-blemas relacionados con el área de los rectángulos.

Consideremos lo siguienteSe sabe que un rectángulo tiene un área de 24 cm2 y que su base mide 6 cm de longitud.

a) ¿Cuánto mide su altura?

Supongan que el área del rectángulo se mantiene constante, es decir, que el área del rectángulo siempre es de 24 cm2. Contesten las siguientes preguntas:

b) Si la base del rectángulo midiera 12 cm de longitud, ¿cuántos centímetros mediría su

altura?

c) Si la base del rectángulo midiera 8 cm de longitud, ¿cuántos centímetros mediría su

altura?

d) ¿Cuáles son las cantidades que son inversamente proporcionales en este problema?

e) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad inversa?

f) Encuentren la expresión algebraica asociada a este problema.

A lo que llegamosLa expresión algebraica asociada a este problema de proporcionalidad inversa es:

xy = 420En este caso la letra x representa el tiempo que se emplea para ir de la Ciudad de Méxi-co a la ciudad de Veracruz, la letra y representa la velocidad promedio y 420 correspon-de a la distancia que hay entre la Ciudad de México y la ciudad de Veracruz.La expresión algebraica que permite obtener y es:

y = 420x

sEsión 3

x

x

x

y

x

x


230

Propósito del interactivo. Ejemplificar la noción de velocidad constante.

Sugerencia didáctica. Cuando terminen de llenar la tabla verifiquen que efectivamente xy = 24.

Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para determinar cuál es la expresión correcta, o para verificar que lo sea cuando ya la hayan elegido, pídales que la utilicen con los valores de x y y que encontraron en la tabla anterior.

Respuestas. La expresión algebraica correspondiente es xy = 24.

Respuestas. Deben graficar los puntos: (6, 4), (12, 2), (8, 3), (24, 1), (4, 6), (48, 0.5), y luego unirlos.

2

Respuestas. a) No puede medir 0 cm, lo que

indica que la gráfica no pasa por el origen.

b) No se puede porque no están sobre una recta.

c) Las de proporcionalidad directa pasan por el origen y son rectas. Las de proporcionalidad inversa son hipérbolas y no pasan por el origen.

secuencia 37

230

Manos a la obrai. Completen la siguiente tabla para encontrar un lado del rectángulo cuando el otro

lado del rectángulo varía. Representen con x la medida de la base y con y la medida de la altura del rectángulo.

x(en centímetros)

y(en centímetros)

Constante deproporcionalidad inversa

6 4 242

812

14

0.5

ii. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponde a esta situación de pro-porcionalidad inversa? Subráyenla.

a) 24x = y

b) x + y = 24c) 24y = x

d) xy = 24iii. Con los datos de la tabla 1 hagan la gráfica correspondiente:

iV. Comparen sus expresiones algebraicas y sus gráficas. Comenten:

a) ¿Puede medir 0 cm de longitud la base de este rectángulo? Recuerden que su área es 24 cm2.

b) ¿Los puntos de esta gráfica están sobre una recta? Tomen tres puntos y traten de unirlos mediante una misma línea recta.

c) ¿Cuáles son las diferencias entre una gráfica de proporcionalidad directa y una gráfica de proporcionalidad inversa?

6

5.5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0 2 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 486 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

(6, 4)

12 24 3 24 2 24 24 24 6 24 48 24


231

IMATEMÁTICAS

231

A lo que llegamosLos problemas en los cuales están involucradas cantidades inversa-mente proporcionales tienen asociadas gráficas que se llaman hipérbolas.

Por ejemplo, la siguiente gráfica es la hipérbola que corresponde a la expresión algebraica xy = 12

Observa que las hipérbolas no son líneas rectas ni pasan por el origen.

Lo que aprendimos1. Dos pintores tardan 50 horas en pintar la parte exterior de un edificio.

a) Completa la siguiente tabla para determinar cuánto tiempo tardan en pintar la mis-ma parte exterior del edificio distintos números de pintores.

x(número de pintores)

y(horas que tardan en pintar

el edificio)

Constante deproporcionalidad inversa

2 5045

101

b) Con los datos de la tabla 2, en tu cuaderno encuentra la expresión algebraica corres-pondiente y construye la gráfica.

Para saber másSobre la importancia que tiene el agua y sobre su escasez y cuidado consulta: Agua,publicado por el periódico La Jornada en 2005.

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 4 6 8 10 123 5 7 9 11

100 25 100 20 100 10 100 100 100

Integrar al portafolios. Guardar las respuestas de los alumnos a los incisos a) y b). Si considera que tienen dificultades repasen las actividades de Manos a la obra de las 3 sesiones de esta secuencia.

Respuestas. b) xy = 100 y también y = Q P P

x

110100

908070605040302010

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Número de pintores y días que tardan en pintar el exterior de un edificio.

Número de pintores

Día

s

x

y


232

Propósito de la sesión. Utilizar el significado de la moda, la media y la mediana para interpretar y comunicar información sobre un conjunto de datos.

Organización del grupo. El trabajo es en parejas a lo largo de toda la sesión, excepto en la confrontación, que es grupal.

Propósito del video. Presentar diversas situaciones en las que tiene sentido la aplicación del promedio en su vida diaria.

1

Propósito de la actividad. La intención de la pregunta es que los alumnos se den cuenta de que no es posible decir con exactitud cuánto tiempo tendrá que esperar el autobús, pero que pueden hacer una estimación basándose en los datos de la tabla.

Posibles respuestas. Algo que los alumnos pueden notar al analizar la tabla es que el 6 se repite 3 veces, es decir, que en 3 de los 10 días Jesús esperó 6 minutos, y por ello afirmar que es más probable que el onceavo día tenga que esperar 6 minutos. También pueden calcular el promedio de tiempo de espera. En total, esperó 65 minutos en los 10 días, por lo tanto el promedio es de 6.5 minutos.

secuencia 38

232

En esta secuencia aprenderás a comparar el comportamiento de 2 o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

PromediosPara empezarPromedios

Seguramente ya tienes una idea sobre el promedio y lo has utilizado en más de una ocasión. ¿Cuántas veces has preguntado a tus maestros cuál es el promedio de tus cali-ficaciones?

El promedio también es muy usado en las conversaciones cotidianas. Se habla de que los hombres y las máquinas trabajan a una velocidad promedio, o que los jugadores de di-versos deportes comparan sus promedios de puntuación. Sin embargo, además del pro-medio, existen otros valores estadísticos, como la moda y la mediana, y juntos forman las medidas de tendencia central.

Consideremos lo siguientePara llegar a la escuela, Jesús puede utilizar cualquiera de dos líneas de autobuses. Él llega a la parada a las 7:00 de la mañana. Para saber el tiempo que esperó cada día, lo fue registrando durante dos semanas.

La siguiente tabla muestra la línea del autobús en que viajó y el tiempo que tuvo que esperar en los últimos 10 días.

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Línea del autobús B A A B A A B B A B

Tiempo de espera(minutos) 10 4 10 6 4 6 9 2 8 6

¿Qué tiempo creen que Jesús tenga que esperar al autobús el día 11?

sesión 1

Medidas de tendencia central

Propósitos de la secuencia Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación

o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.


1Promedios Utilizar el significado de la moda, la media y la mediana para interpretar y comunicar informa-ción sobre un conjunto de datos.

Video Promedios


2

¿Qué prefieren comer? Interpretar información numérica obtenida en diversas fuentes (encuestas, diarios, almanaques, etc.) utilizando en sus análisis indicadores de medidas de tendencia central, y decidir en qué casos es conveniente usar cada una para analizar la información.

Eje


Tema


Antecedentes

Desde la escuela primaria los alumnos han trabajado con las medidas de tendencia central en diversas situaciones. Ahora se pretende que además de calcularlas, las analicen a partir de gráficas ya elaboradas.


233

Respuestas.a) 2 minutos.b) 10 minutos.c) 6 minutos.d) 6.5 minutos.e) No.

IMATEMÁTICAS

233

Comenten cómo determinarían ese tiempo de espera, es decir, cómo utilizarían los datos que aparecen en la tabla para determinar el tiempo que deberá esperar el autobús.

Manos a la obraI. Observen la tabla anterior y contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál fue el tiempo mínimo que esperó a que pasara un autobús?

b) ¿Y el tiempo máximo?

c) De los 10 tiempos de espera que registró, ¿cuál fue el que más veces se repitió?

d) ¿Cuál es el tiempo promedio que tuvo que esperar a que pasara un autobús?

e) ¿Alguno de los 10 tiempos registrados por Jesús es igual al tiempo de espera pro-

medio?

A lo que llegamosEl valor que más veces se repite en un conjunto de datos se llama moda. Es decir, es el que tiene mayor frecuencia absoluta.

Al promedio también se le llama media aritmética, y se obtiene sumando todos los valores y dividiendo la suma entre el número total de valores.

Por ejemplo, si los valores son 4, 4, 3, 7, 8 y 4, la media o promedio se calcula de la siguiente manera:

Media = 4 + 4 + 3 + 7 + 8 + 4 = 30 = 5 6 6

La moda es 4, porque es el valor con mayor frecuencia absoluta.

II. Consideren ahora los tiempos que tardaron en pasar los autobuses de una y otra línea para completar la siguiente tabla.

Línea A Línea B

Mínimo tiempo de espera Mínimo tiempo de espera

Máximo tiempo de espera

Máximo tiempo de espera

Tiempo de espera más frecuente

(moda)

Tiempo de espera más frecuente

(moda)

Tiempo de espera promedio(media)

Tiempo de espera promedio(media)

4 2 10 10 4 6

6.4 6.6


234

Respuestas.a) 6 minutos.b) 8 minutos.c) La línea A, con 6.4 minutos.

Posibles respuestas. Los alumnos pueden considerar el promedio o la moda para contestar el inciso d). Pídales que expliquen por qué eligen una u otra.

Propósito de la pregunta. Se busca que los alumnos, además de calcular las medidas de tendencia central, conozcan algunas de sus características y significados; y que distingan en qué situaciones debe considerarse una u otra para comunicar cómo se comporta la información.

Respuestas.a) 6 minutos.b) 6.9 minutos.c) La moda, porque un autobús

excepcionalmente puede tardar mucho (lo que haría que el tiempo promedio de espera se elevara) y no reflejaría que la mayoría de las veces el tiempo de espera es menor.

Integrar al portafolios. Recupere las respuestas de los alumnos a las preguntas de la actividad 1.

secuencia 38

234

Observen que los valores anotados en la tabla resumen la información sobre la situación que se está estudiando. Utilicen esta información para contestar las siguientes preguntas.

a) Considerando a los autobuses de la línea A, ¿cuál es la diferencia entre los tiempos

máximo y mínimo de espera?

b) Considerando a los autobuses de la línea B, ¿cuál es la diferencia entre los tiempos

máximo y mínimo de espera?

c) ¿Cuál es la línea que tiene el menor tiempo de espera promedio?

d) ¿Qué valor de la tabla puede considerarse como el más adecuado para representar

el tiempo que tarda en pasar un autobús?

e) ¿En cuál de las dos líneas le conviene más viajar a Jesús?


A lo que llegamosLa moda y la media son dos medidas que representan el comporta-miento de un conjunto de datos. Estas medidas son más útiles cuando el conjunto de valores es muy grande.

Lo que aprendimos1. En otro horario, Pedro toma un autobús de las líneas A o B y sus tiempos de espera en

minutos fueron los siguientes: 9, 4, 6, 5, 6, 15, 6, 6, 6, 6.

a) ¿Cuál es la moda de este conjunto de datos?

b) ¿Cuál es la media?

c) En esta situación, ¿cuál de las dos medidas, la moda o la media, es más adecuada

considerar para representar el tiempo que tarda en pasar un autobús?

¿Por qué?

2. En la secuencia 14, La TV: ¿Ventana al mundo o "caja idiota"?, de su libro de Español I, volumen II realizaron una encuesta en la que una de las preguntas era: “¿Cuántas horas permanece encendido el televisor de tu casa durante el día?”

a) Utilicen esa información para calcular el tiempo promedio que permanece encen-

dida la televisión en los hogares de todo tu grupo.


235

Propósito de la sesión. Interpretar información numérica obtenida en diversas fuentes (encuestas, diarios, almanaques, etc.) utilizando en sus análisis indicadores de medidas de tendencia central, y decidir en qué casos es conveniente usar cada una para analizar la información.

Organización del grupo. El trabajo es en parejas a lo largo de toda la sesión, excepto en la confrontación, que es grupal.

3

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que piensen en otra situación en la que tomar una de las medidas de tendencia central no da una buena idea del comportamiento de los datos, o incluso da una idea equivocada. Por ejemplo, "Las estadísticas muestran que casi todos los accidentes de circulación se producen entre vehículos que circulan a velocidad moderada. Muy pocos ocurren a más de 110km por hora". ¿Significa esto que resulta más seguro conducir a gran velocidad?

IMATEMÁTICAS

235

b) En esa misma encuesta se pregunta por el tipo de programas que ven. ¿Cuál es el

tipo de programa que más ven en el grupo?

c) De acuerdo con los resultados de la encuesta, ¿cuántas personas lo ven?

¿Qué Prefieren comer?Para empezarDiariamente, los medios de comunicación proporcionan información en la cual se utiliza el concepto de promedio. Por ejemplo, cuando analizan el comportamiento de: bolsa de valores, precios, producción, empleo y otros indicadores económicos.

Sin embargo, existen situaciones en las que este dato no es el más representativo. Por ejemplo, en una empresa con 1 000 empleados, cada uno gana $ 5 000 y el dueño gana $10 000 000. Si se calcula el promedio del ingreso mensual, ¡resulta que es casi $15 000! Esto daría una idea completamente falsa de los ingresos mensuales que hay en esa em-presa, ya que ninguno de los 1 000 empleados tiene un ingreso igual o parecido al pro-medio. Sería más representativo, en este caso, dejar al dueño fuera del grupo o utilizar otro valor representativo.

Consideremos lo siguienteEn una telesecundaria se tomaron los datos que muestra la siguiente gráfica.

SeSiÓn 2

0 2 4 6 8 10 12

Tipo de comida que consumen alumnos de unatelesecundaria por grado, en la cooperativa escolar

Tacos

Empanadas

Quesadillas

Tortas

Hot dogs

Número de alumnos

Primero

Segundo

Tercero


236

Respuestas. Tortas, 21 alumnos las consumieron.

Posibles dificultades. Algunos alumnos pueden creer que el alimento que más se consume son tacos, porque en la gráfica tienen la barra más larga. Sin embargo, hay que tomar en cuenta que cada barra señala la preferencia de un grado por un alimento, así que para saber cuántos alumnos de toda la escuela escogieron cierta comida deben sumarse las frecuencias señaladas en las tres barras.

Respuestas. a) 5 (tacos, empanadas, quesadillas,

tortas y hot dogs).b) 3c) Tacos.d) Quesadillas.e) 25f) 27g) 77h) 21 bolillos.

secuencia 38

236

Con esta información, los responsables de la cooperativa pueden conocer cuántos kilos de tortillas y piezas de bolillo deben comprar al día.

En general, ¿qué tipos de alimentos consumen más los alumnos de esta telesecundaria?

Comparen y comenten sus respuestas.

Manos a la obrai. Contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuántos tipos de comida diferente hay?

b) ¿Cuántos alumnos de primer grado consumen tacos?

c) ¿Cuál alimento consumen más los alumnos de segundo grado?

d) ¿Y los de tercero? e) ¿Cuántos alumnos de segundo grado consumen alimentos en la cooperativa?

f) ¿Y en tercero?

g) ¿Cuántos alumnos en total consumen alimentos en la cooperativa?

h) Considerando la cantidad de alumnos que consumen tortas, ¿cuántos bolillos se

deben comprar al día?

ii. Completen la siguiente tabla con los datos que proporciona la gráfica de barras.

Tipo de comidaConsumo por grado

TotalPrimero Segundo Tercero

Tacos

Empanadas

Quesadillas

Tortas

Hot dogs

a) ¿Qué tipo de comida piden más los alumnos de la telesecundaria?

3 10 5 18

1 0 1 2

5 6 8 19

9 5 7 21

7 4 6 17


237

Respuestas.a) Tortas.b) 7 tortas.c) 6.3 quesadillas.d) Ninguna.e) eW o 0.67 redondeando.

Sugerencia didáctica. Pregunte a los alumnos qué significa que el promedio de empanadas que se consumen por grado sea de 0.67.

Respuestas. a) $10.b) La mínima es $0, la máxima

es $100, la diferencia es 100.c) $10.Recuerde que. Cuando se ordena un conjunto de datos para encontrar la mediana y se tienen casos como el siguiente:

4 6 22 28 29 70, no hay un dato que se encuentre justo a la mitad (quedaría entre el 22 y el 28). Lo que se hace en estos casos es sacar el promedio de los dos datos que quedan en medio (25), y el número obtenido se considera la mediana.

IMATEMÁTICAS

237

b) ¿Cuántas tortas en promedio se consumen por grado?

c) ¿Cuántas quesadillas en promedio se consumen por grado?

d) ¿Cuántas empanadas consumen los alumnos de segundo grado?

e) ¿Cuántas empanadas en promedio se consumen por grado?

A lo que llegamos Puede ocurrir que el valor que representa la media de un conjunto de datos no sea uno de los valores de ese conjunto.

Por otra parte, es muy común que el valor de la media de un conjunto de valores enteros sea un decimal.

Por ejemplo, en el caso del consumo de hot dogs, la media por grado es 5.6

III. En la misma telesecundaria se les preguntó a los 27 alumnos de primer grado la can-tidad de dinero que gastaron en la cooperativa. La siguiente tabla muestra los resul-tados.

Cantidad de dinero que gastan en la cooperativa los alumnos de primer grado

Alumno 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pesos $ 10 10 100 10 10 5 0 0 100

Alumno 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Pesos $ 0 0 10 0 15 12 100 5 10

Alumno 19 20 21 22 23 24 25 26 27

Pesos $ 15 0 0 5 100 10 10 2 15

a) ¿Cuál es la cantidad de dinero que con más frecuencia gastan los alumnos de primer grado?

b) ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad máxima de dinero que gastan los alumnos y la cantidad mínima?

c) En la siguiente tabla, ordena de mayor a menor la cantidad de dinero que gastan los alumnos de primer grado.

0 0 0 0 0 0 0 2 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 10 12 15 15 15 100100100100


238

Respuestas.

d) 10f) La moda y la mediana.g) Los que gastan $100 hacen que el

promedio suba mucho. 23 alumnos gastan menos de $15.

Respuesta. 65 puntos porque lleva 115 y necesita un total de 180.

secuencia 38

238

d) ¿Cuál es el dato que quedó al centro de la tabla?

e) Completen la siguiente tabla sobre lo que gastan los alumnos de primer grado.

Moda

Media

Mediana

f) ¿Cuál es la medida que representa mejor la cantidad de dinero que gastan los

alumnos de primero?

g) ¿Por qué lo consideran así?

A lo que llegamosLa media, la moda y la mediana son medidas de tendencia central, de las cuales la más conocida es la media. Sin embargo, debe conside-rarse que los valores extremos la afectan muy fácilmente. Cuando en un conjunto de valores se da este caso, es conveniente considerar si la moda o la mediana son medidas que representan mejor a ese conjunto.

Lo que aprendimos1. Una competencia consta de tres etapas. Juan ha jugado dos de las tres etapas.

Resultados de Juan Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa

Puntos 62 53

Para ganar la competencia, Juan debe tener un promedio de 60 puntos.

¿Cuántos puntos necesita ganar en la tercera etapa?

Recuerden que:

La mediana corresponde al

valor que se encuentra en el

centro del conjunto de datos

después de ordenarlos de

menor a mayor.

$10

$21.51

$10


239

IMATEMÁTICAS

239

2. En una nueva competencia Juan tiene de promedio 30 puntos. En la primera etapa obtuvo 26 puntos, y en la última logró 20 puntos más que en la primera etapa.

a) ¿Cuántos puntos obtuvo en la segunda etapa?

b) Completen la siguiente tabla.

Resultados de Juan Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa

Puntos 26

Promedio 30

3. Ahora están jugando Juan y María. Ambos tienen el mismo promedio, pero en la pri-mera y tercera etapa obtuvieron puntuaciones diferentes. ¿Cuáles fueron las puntua-ciones de Juan? Completen la tabla.

Jugador Primera etapa Segunda etapa Tercera etapa

Juan 26 50

María 50 55

Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Caludia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santi-llana, Libros del Rincón, 2003.

Respuestas. 18 puntos porque entre la primera y la tercera tiene 72 y necesitó llegar a 90 para obtener un promedio de 30.

Posibles respuestas. La pregunta admite una infinidad de respuestas correctas. Para obtener 50 puntos de promedio tiene que sumar 150 puntos en las tres etapas, así que son válidos todos aquellos pares de números que den un total de 150 puntos (incluyendo los 50queobtuvoen la segunda etapa) y que además, sean distintos de 45 en la primera etapa y 55 en la tercera (porque el problema dice que Juan obtuvo distintas puntuaciones que María).

184 46


240

P R O P U E S T A D E E x A m E n b i m E S T R A l b l O q U E 3

MAT1 Examen B3.indd 240 8/25/07 3:19:23 PM

241

m A T E m á T i c A S i

A continuación se presenta una propuesta para evaluar los bloques 3, 4 y 5 mediante exámenes que serán complementarios a la información que usted ha ido integrando en el portafolios del alumno.

los exámenes tienen las siguientes características:

Para cada secuencia se proponen entre uno y cuatro reactivos, cada reactivo evalúa un aspecto del contenido que se trató en la secuencia.

cada examen se arma de la siguiente manera:

Hay dos opciones para cada reactivo, cada una evalúa el mismo contenido y tiene el mismo nivel de dificultad. la intención de poner estas dos opciones es que usted pueda elegir una o la otra y armar así distintas versiones del examen según le convenga. Encontrará todas las respuestas de los reactivos para facilitarte la calificación. Se incluyen, también, las respuestas gráficas.

Recomendaciones generales para la aplicación de los exámenes, su revisión y calificación:

Debido a la longitud de los exámenes, se sugiere aplicar cada uno en dos sesiones de clase, al final de cada bloque. Una vez aplicado, haga una revi-sión grupal de las soluciones de los reactivos para aclarar dudas y dar opor-tunidad a que cada alumno haga las correcciones pertinentes de los errores que hubiera cometido.

Se sugiere no asignar más del 50% de la calificación bimestral a los resulta-dos de los exámenes, considere para el otro 50% las actividades que integró en el portafolios y otros aspectos que crea importantes (como la participa-ción, el cumplimiento de tareas, etc).

propuesta de examen bimestral bloque 3


242


Secuencia 17. DiViSiÓn De nÚMeROS DeciMaLeS

Reactivo 11. Señala la operación que equivale a dividir entre 0.25:

a) multiplicar por 25.

b) multiplicar por 4.

c) Dividir entre 25.

d) Dividir entre 4.

1’. Señala la operación que equivale a dividir entre 0.01:

a) multiplicar por 0.1.

b) multiplicar por 100.

c) Dividir entre 10.

d) Dividir entre 0.1.

Reactivo 22. Resuelve estas operaciones:

a) 4.8 ÷ 1.2

b) 27 ÷ 0.03

2’. Resuelve estas operaciones:

a) 100 ÷ 2.5

b) 30 ÷ 0.2

Reactivo 33. Daniel fue a la papelería y pagó $75 por varios lápices cuyo costo

era de $2.50 cada uno, ¿cuántos lápices compró? Señala la respuesta correcta:

a) 3

b) 30

c) 35

d) 300

3’. lucía va a cortar 5.50 m de listón en trozos de 0.25 m cada uno. ¿cuántos trozos obtendrá? Señala la repuesta correcta:

a) 4

b) 20

c) 22

d) 220

La respuesta es el inciso b).


Respuestas.a) 4b) 900

La respuesta es el inciso c).

Respuestas.a) 40b) 150



243


Reactivo 44. ¿El área de un terreno rectangular es de 317.75 m2; si mide 15.50 m de

ancho, ¿cuánto mide de largo?

4’. En un laboratorio se va a repartir por igual 3 de una sustancia en reci-pientes de 0.15 . Si cada recipiente se llena a su capacidad, ¿cuántos recipientes se necesitan?

Secuencia 18. ecuaciOneS De PRiMeR GRaDO

Reactivo 11. Plantea una ecuación para resolver el siguiente problema, resuelve la

ecuación y comprueba la solución. Don lucas ganó $5 750.00 en un negocio y lo repartió entre su familia.

la esposa recibió $1 250.00 y el resto fue distribuido equitativamente entre sus 4 hijos. ¿cuánto dinero recibió cada hijo?

1’. Plantea una ecuación para resolver el siguiente problema, resuelve la ecuación y comprueba la solución.

Para cercar un terreno cuadrangular se compraron 60 m de malla cicló-nica. ¿cuanto mide cada lado del terreno si después de cercarlo sobraron 3.72 m de malla?

Reactivo 22. Señala el problema que puede resolverse con la ecuación

y – 8.4 = 10.25

a) Pienso un número, le resto 8.4 y obtengo 10.25. ¿qué número pensé?

b) Juan llevaba 10.25 de agua y utilizó 8.4 . ¿cuánta agua le queda?

c) ¿qué número multiplicado por 8.4 es igual a 10.25?

d) Tengo 2 cajas, la primera pesa 10.25 kg y la segunda pesa 8.4 kg menos. ¿cuánto pesa la segunda caja?

2’. Señala el problema que puede resolverse con la ecuación y + 2.5 = 6.750

a) Doña lupe regresa del mercado con una bolsa que contiene 6.750 kg de naranjas y 2.5 kg de jitomate ¿cuánto pesa la bolsa que carga doña lupe?

b) ¿qué número multiplicado por 2.5 es igual a 6.750?

c) Pienso un número, le sumo 2.5 y obtengo 6.750. ¿qué número pensé?

d) Tengo 2 recipientes con agua, el primero contiene 6.750 y el segun-do contiene 2.5 más. ¿cuántos litros de agua hay en el segundo re-cipiente?

Respuesta. 20.5 m

Respuesta. Cada hijo recibió $1125.00La ecuación puede representarse de varias formas, independientemente de la literal que se use: 5 750 − 1 250 = 4x 4x + 1 250 = 5 750 4x = 4 500

Respuesta. 20

Respuesta. Cada lado del terreno mide 14.07 m.La ecuación puede representarse de varias formas, independientemente de la literal que se use:4x + 3.72 = 6060 − 3.72 = 4x4x = 56.28

La respuesta es el inciso a).



244


Respuestas. La solución de la ecuación x + 12.5 = 23.2 es x = 10.7 La solución de la ecuación 45 – x = 9.3 es x = 35.7 La solución de la ecuación 3x + 4.2 = 158.7 es x = 51.5 La solución de la ecuación t – 4.5 = 14.8 es x = 96.5

Reactivo 33. Subraya las 2 ecuaciones que permiten resolver el siguiente problema:

Un corredor va a participar en el maratón de la ciudad de méxico, en total va a recorrer 42.195 km. cuando le faltan 27.5 km para llegar a la meta, ¿qué distancia lleva recorrida?

• 42.195 − x = 27.5

• 27.5.9x = 42.195

• 27.5 + 42.195 = x

• 27.5 + x = 42.195

3’. Subraya las 2 ecuaciones que permiten resolver el siguiente problema: Un automovilista recorrió 108.5 km de Atlacomulco a la ciudad de méxi-co, pasando por el centro de Toluca. Si del centro de Toluca a la ciudad de méxico recorrió 53.9 km, ¿qué distancia recorrió de Atlacomulco al centro de Toluca?

• 108.5 − x = 53.9

• 53.9x = 108.5

• 53.9 + x = 108.5

• 108.5 + 53.9 = x

Reactivo 44. Une, con una línea, cada ecuación con su solución, según corresponda:

x + 12.5 = 23.2 x = 35.7

45 – x = 9.3 x = 54.3

3x + 4.2 = 158.7 x = 10.7

t — 4.5 = 14.8 x = 51.5

x = 96.5

4’. Une, con una línea, cada ecuación con su solución, según corresponda:

x − 10.5 = 19.8 x = 5.5

12.5 + x = 18 x = 30.5

4x − 7.6 = 29.6 x = 9.3

t + 2.3 = 8.4 x = 53.5

x = 30.3

Respuesta. Las dos ecuaciones son: 42.195 – x = 27.5 27.5 + x = 42.195

Respuesta. Las dos ecuaciones son: 108.5 – x = 53.9 53.9 + x = 108.5

x

Respuestas. La solución de la ecuación x – 10.5 = 19.8 es x = 30.3 La solución de la ecuación 12.5 + x = 18 es x = 5.5 La solución de la ecuación 4x – 7.6 = 29.6 es x = 9.3 La solución de la ecuación t + 2.3 = 8.4 es x = 30.5x

x

x


245



Secuencia 19. eXiSTencia Y uniciDaD

Reactivo 11. Señala la opción que tenga las medidas de los segmentos que forman un

triángulo:

a) 9 cm, 3 cm, 2 cm.

b) 1 cm, 1 cm, 5 cm.

c) 2 cm, 2 cm, 3 cm.

d) 7 cm, 8 cm, 17 cm.

1’. Raúl está usando varitas de diferentes tamaños para tratar de construir un triángulo, señala la opción que tenga las medidas de tres varitas con las que Raúl sí puede construir el triángulo:

a) 7 cm, 7 cm, 14 cm.

b) 2 cm, 6 cm, 9 cm.

c) 5 cm, 3 cm, 3 cm.

d) 9 cm, 4 cm, 14 cm.

Reactivo 22. ¿En cuál de los siguientes casos todas las figuras que se tracen con las

condiciones dadas serán idénticas? Señala la respuesta correcta:

a) Rectángulos que midan 5 cm de base.

b) Rombos que midan 6 cm de lado.

c) Rombos que tengan 2 ángulos de 40º y 2 de 140º.

d) cuadrados que midan 6 cm de lado.

2’. bety, carlos y Daniel trazaron figuras con las siguientes condiciones, ¿en cuál caso todas las figuras que trazaron resultaron idénticas? Señala la respuesta correcta:

a) Rombos cuyos lados midan 4 cm, con 2 ángulos de 50º y 2 de 130º.

b) Trapecios isósceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 3 cm.

c) Trapecios rectángulos cuya base mayor mida 5 cm y con una altura de 4 cm.

d) Romboides cuya base mida 9 cm y con una altura de 7 cm.

La respuesta es el inciso d).




246


Reactivo 33. Se desea trazar 2 triángulos rectángulos cuya base mida 8 cm, pero hay

muchos triángulos diferentes que cumplen con esta condición, ¿qué otro dato se tiene que dar para que los triángulos trazados sean idénticos?

3’. Se desea trazar 2 romboides cuya base mida 8 cm, pero hay muchos rom-boides diferentes que cumplen con esta condición, ¿qué otros datos se tienen que dar para que los romboides trazados sean idénticos?

Secuencia 20. ÁReaS Y PeRÍMeTROS

Reactivo 11. Toma las medidas necesarias para calcular el perímetro y el área de la

siguiente figura:

Perímetro = área =

1’. Toma las medidas necesarias y calcula el perímetro y el área de la si-guiente figura.

Perímetro = área =

Respuestas (es suficiente con que el alumno ponga una). La medida de la altura. La medida de otro lado. La medida de un ángulo que no sea el de 90°.

Respuestas (es suficiente con que el alumno ponga una). La medida de uno de los ángulos y la altura. La medida de uno de los ángulos y la medida del otro lado.

Respuestas. El perímetro es de 12 cm, el área es de 6 cm2.

Respuesta. El perímetro es de 24 cm, el área es de 21 cm2.


247


Reactivo 22. En el centro de un pueblo hay un quiosco en forma de hexágono regular.

la medida del lado es de 4 cm y el apotema mide 3.4 m.

− Se quiere poner barandal alrededor del quiosco, el herrero cobra $200 el metro de barandal ya colocado. ¿cuánto le pagarán al herrero por poner el barandal? Señala la respuesta correcta:

a) $2 400.

b) $2 720.

c) $4 800.

d) $8 160.

− También se desea poner mosaico en el piso. El precio del mosaico es de $250 el metro cuadrado. ¿qué cantidad de dinero se pagará por el mosaico? Señala la respuesta correcta:

a) $1 700.

b) $6 000.

c) $10 200.

d) $20 400.

2’. Pedro corre alrededor de un parque de forma cuadrada que mide 60 m de lado.

− Si Pedro diariamente da 10 vueltas al parque, ¿qué distancia corre Pedro todos los días? Señala la respuesta correcta:

a) 240 m.

b) 2 400 m.

c) 24 000 m.

d) 36 000 m.

− Ese parque tiene algunas áreas verdes con pasto y lo demás es de piso de concreto. Si las áreas verdes cubren 2 500 m2, ¿qué cantidad de superficie del parque es de piso de concreto? Señala la respuesta co-rrecta:

a) 3 600 m2.

b) 2 500 m2.

c) 110 m2.

d) 1 100 m2.






248




Reactivo 33. colima tiene una extensión territorial de 545 500 hectáreas, ¿cuál es su

superficie en km2? Señala la respuesta correcta:

a) 5.455 km2.

b) 54.55 km2.

c) 545.5 km2.

d) 5 455 km2.

3’. michoacán tiene una extensión territorial de 5 986 400 ha, ¿cuál es su superficie en km2? Señala la respuesta correcta

a) 59.864 km2.

b) 598.64 km2.

c) 5 986.4 km2.

d) 59 864 km2.

Secuencia 21. PORcenTaJeS

Reactivo 11. completa la siguiente tabla para calcular el iVA de cada producto y el

precio con el iVA incluido:

Producto Precio (en pesos)

IVA (15%)

Precio del producto con el IVA incluido

Silla 200Calculadora 110

Pizarrón 1 250Mesa 340

1’. Pedro fue a una tienda en la que había descuentos y se compró ropa. completa la siguiente tabla para calcular el precio que pagó por cada cosa:

Producto Precio (en pesos) Descuento Precio que pagó Pedro

Pantalón 200 15%Camisa 160 20%

Chamarra 300 35%Playera 70 25%

Respuestas.

IVA (15%)

Precio del producto con el IVA incluido

30 23016.5 126.5

187.50 1437.551 391

Respuestas.

Precio que pagó Pedro

17012819552.5


249


Respuestas.

Porcentaje correspondiente al descuento

20%40% 15% 30%

Respuestas.a) $1.65.b) 400%.

Respuestas.a) $4.20.b) 300%.

Reactivo 22. Una tienda puso descuento en algunos de los productos que vende. com-

pleta la siguiente tabla para saber qué porcentaje le corresponde al des-cuento que tiene el producto.


Descuento (en pesos)


Pantalón 250 50Chamarra 380 152Zapatos 250 37.50Camisa 120 36

2’. Una tienda puso descuento en algunos de los productos que vende. com-pleta la siguiente tabla para saber qué porcentaje le corresponde al des-cuento que tiene el producto.


Descuento (en pesos)


Balón 150 30Tenis 320 112

Sudadera 280 84 Gorra 80 36

Reactivo 3

3. Un campesino cosecha aguacates y vende su cosecha a $1.50 el kilogramo.

a) Si el kilogramo de aguacates se vende con un incremento de 10%, ¿en que precio se vendió?

b) Si el kilogramo de aguacates se vende a $7.50, ¿en qué porcentaje se incrementó el precio?

3’. Un campesino cosecha jitomates y vende su cosecha a $3.50 el kilogramo.

a) Si el kilogramo de jitomates se vende con un incremento de 20%, ¿en que precio se vendió?

b) Si el kilogramo de jitomates se vende a $14.00, ¿en qué porcentaje se incremento el precio?

Respuestas.


20%35%30%45%


250


Secuencia 22. TaBLaS De FRecuencia

Reactivo 11. lee el siguiente texto y contesta lo que se te pide.

Respecto al consumo de alcohol, se puede decir que aproximadamente dos terceras partes de la población nacional, con edad entre 12 y 65 años, es bebedora, lo cual corresponde aproximadamente a 28 millones de personas, de las que 53% son hom-bres y 47% mujeres, y para ellas, el grupo de mayor consumo es el de 19 a 25 años y el de 26 a 34 años, es decir, en la cúspide de la etapa productiva.

... Pasando al caso del consumo de tabaco, se reportó que más o menos 25% de la población entre 12 y 65 años es fumadora, lo cual nos lleva a tener en mente a poco más de 10 millones de sujetos; de éstos, 69% son hombres y el resto son mujeres, o sea 31%. En lo que respecta a la edad de consumo, la mayor parte tiene entre 19 y 44 años, predominando los de entre 26 y 34; sin embargo, debemos poner especial aten-ción a 9% de los fumadores que en números aproximados representan 900 000 per-sonas, que oscilan entre 12 y 18 años. la ocupación de quienes fuman es primordial-mente la de empleados, pero destaca que 15% se dedica al hogar.1

Utiliza la información anterior para elaborar una tabla que presente las es-tadísticas sobre el número de personas entre 12 y 65 años que padecen al-coholismo y tabaquismo. Por sexo y total de cada enfermedad.

1 Esquivo morales, carlos, "lo falso del rito, la verdad del número (nuestro consumo a través de la Encuesta nacional de Adicciones)", en Addictus, méxico, año 1, núm. 5, marzo-abril de 1995, pp. 5-8.

Respuesta.

Consumo de alcohol y tabaco en la población entre 12 y 65 años. ENA,1993

Adicción Sexo Número de personas Porcentaje

Alcohol

Hombre 14 840 000 53%

Mujer 13 160 000 47%

Total 28 000 000 100%

Tabaco

Hombre 6 900 000 69%

Mujer 3 100 000 31%

Total 10 000 000 100%


251


Respuesta reactivo 2.Respuesta reactivo 1.

Secuencia 23. GRÁFicaS De BaRRaS Y ciRcuLaReS

Reactivo 11. Utiliza una gráfica de barras para representar la información de la tabla

que construiste en el reactivo de la secuencia 22.

Reactivo 2

2. lee el siguiente texto y contesta lo que se te pide.nuestro país posee una enorme riqueza natural. cuenta con una flora y una fauna de las más ricas del mundo. Tiene 45 tipos diferentes de vegetación. Sus hábitats van desde áridos desiertos, en los que prácticamente no hay lluvia, hasta selvas y panta-nos, en los que no cesa de llover. igualmente, está dotado de una diversidad de há-bitats, entre los que hay distintas modalidades de bosques, humedales, pastizales, zacatonales alpinos, sabanas, manglares y tulares.

Además, méxico tiene 1 000 especies de aves, 500 de mamíferos, 504 de peces, 717 de reptiles y 284 de anfibios. Otra característica de la riqueza en flora y fauna es que muchas de las especies que se encuentran en nuestro país sólo existen aquí: el 55% de los reptiles y los anfibios, y el 14% de las plantas superiores.2

Elabora una gráfica circular para presentar la variedad de fauna que hay en nuestro país.

2 De la barreda Solórzano, luis, Formación cívica y ética, Ed. Santillana, méxico, 1999, pág. 175.

16141210

86420

53%47%

69%

31%

Consumo de alcohol y tabaco en la población entre 12 y 65 años

Nú

mer

o d

e p

erso

nas

(e

n m

illo

nes

)

Hombre Mujer Hombre Mujer

Adicción por género

Alcohol Tabaco

Variedad de fauna en México

284

717

504500

1 000

ReptilesPecesMamíferosAves Anfibios


252


Secuencia 24. nOciOneS De PROBaBiLiDaD

Reactivo 11. completa cada afirmación.

a) Un experimento es aquel en el que no puede prede-cirse con certeza el resultado.

b) Se llama al conjunto de todos los posibles resulta-dos de un experimento aleatorio.

1’. completa cada afirmación.

a) lanzar un dado para ver el número de la cara superior es un experi-mento

b) El número que mide el azar recibe el nombre de

Reactivo 22. Relaciona ambas columnas anotando en cada paréntesis la letra que co-

rresponda. las letras pueden repetirse.

EVENTOS PROBABILIDAD

Si se extrae al azar una canica de una caja que contiene 8 canicas blancas, 3 rojas, 2 negras, 2 amarillas, 1 azul y 4 verdes. ¿Qué probabilidad hay de obtener:

( ) canica blanca

( ) canica amarilla

( ) canica verde

( ) canica anaranjada

( ) canica roja

( ) canica negra

( ) canica azul

a) w Q p

b) 10%

c) 0

d) 0.15

e) tQ

f) 0.5

g) 40%

h) q I w

Respuesta. Aleatorio.

Respuesta. Espacio muestral.

Respuesta. Aleatorio.

Respuesta. Probabilidad.

Respuestas.g) canica blancab) canica amarillae) canica verdec) canica anaranjadad) canica rojab) canica negraa) canica azul


253


2’. Encuentra la probabilidad de los eventos que se piden a continuación

Experimento: En una tómbola fueron colocados 100 anillos, 200 broches, 50 cadenas y 150 pulseras.

¿Cuál es la probabilidad de obtener:

Probabilidad en forma de

fracción común

Probabilidad en forma de

decimal

Probabilidad en %

a) un anillo

b) un broche

c) una cadena

d) una pulsera

Respuestas reactivo 2’(todas las fracciones pueden simplificarse).

Probabilidad en forma de fracción

común

Probabilidad en forma de decimal

Probabilidad en %

t Q p P p P 0.2 20%

t W p P p P 0.4 40%

t T p P p 0.1 10%

t Q p T p P 0.3 30%

Reactivo 33. Responde las siguientes preguntas:

a) Si al lanzar al aire una moneda 12 veces, ésta cae con el águila en 4 ocasiones, la probabilidad frecuencial de obtener águila es:

b) la probabilidad que se determina a partir de la realización de experi-mentos recibe el nombre de:

c) Si tienes que adivinar el último dígito de un número, ¿cuál es la pro-babilidad de que aciertes?

3’. Responde las siguientes preguntas:

a) ¿cómo se le llama al tipo de probabilidad que es calculada a partir de la realización de experimentos?

b) ¿cómo se llama al tipo de probabilidad que se calcula a partir del cociente entre el total de casos favorables y el total de casos posibles?

c) Si la probabilidad de que un foco nuevo salga defectuoso es del 2%, ¿qué probabilidad hay de que el próximo foco que se elija esté en buenas condiciones?

Respuesta. q R w (también eQ ).

Respuesta. Probabilidad frecuencial.

Respuesta. q Q p.

Respuesta. Probabilidad frecuencial.

Respuesta. Probabilidad clásica.

Respuesta. 98%.


254

P r o P u e s t a d e e x a m e n b i m e s t r a l b l o q u e 4


255

m a t e m á t i c a s i

SECUENCIA 25. NÚMEROS CON SIGNO

Reactivo 11. dadas las siguientes temperaturas en distintas ciudades de la república

mexicana, realiza lo que se pide:

Ciudad Estado Temperatura máxima

Temperatura mínima

Santa Bárbara DGO 21.0 −7.0Ajojucar JAL 29.0 −2.5

Ahuazotepec PUE 18.5 2.0La Florida ZAC 28.5 −3.5

a) ordena de menor a mayor las temperaturas mínimas.

b) indica de cuántos grados es la variación de la temperatura en santa bárbara.

c) indica de cuántos grados es la variación de la temperatura en ahua-zotepec.

1’. realiza lo que se pide:

a) ordena de menor a mayor los siguientes números con signo:

+6.5, −2.0, −7.2, −4.7, +8.0

b) ¿cuál es la distancia de las siguientes parejas de números con signo?

de +32 a −9

de +29.4 a +6.0

de −15.2 a −3.2

Reactivo 22. escribe el simétrico o el valor absoluto de los siguientes números con

signo, según corresponda:

a) el simétrico de −36.5

b) el simétrico de + oWc) +14.6 d) − uE


Respuestas.a) −7.0,−3.5,−2.5,2.0b) 28°C.c) 16.5°C.

Respuestas.a) −7.2,−4.7,−2.0,+6.5,+8.0b) 41

23.4 12

Respuestas.a) 36.5b) −oW c) 14.6d) uE


256


2’. relaciona las dos columnas para encontrar el simétrico o el valor absolu-to de los siguientes números con signo, según corresponda:

el simétrico de −23.5 − q T e

+34.8 −23.5

el simétrico de + q T e. −34.8

− q T e 34.8

el simétrico de −34.8 q T e

23.5

SECUENCIA 26. RAÍZ CUADRADA Y POTENCIAS

Reactivo 11. encuentra una aproximación con 3 cifras decimales a la raíz cuadrada de

38. indica los pasos que realizaste.

1’. encuentra una aproximación con 3 cifras decimales a la raíz cuadrada de 43. indica los pasos que realizaste.

Reactivo 22. un cuadrado tiene un área de 0.64 cm2. indica la longitud de sus lados:

a) 0.08 cm.

b) 0.8 cm.

c) 0.16 cm.

d) 8 cm.

2’. un cuadrado tiene un área de 0.36 cm2. indica la longitud de sus lados:

a) 0.06 cm.

b) 0.6 cm.

c) 0.9 cm.

d) 6 cm.

Reactivo 33. relaciona las columnas:

(a) Tercera potencia de 6 ( ) 4(b) Cuarta potencia de 2 ( ) 8 (c) ¿A cuánto es igual 36 ? ( ) 18(d) ¿Cuál es la raíz cuarta de 16? ( ) 6(e) Raíz cúbica de 64 ( ) 16(f) El exponente en 2168 ( ) 2

( ) 216

Respuestas.

Elsimétricode−23.5es23.5

34.8

Elsimétricode+ q T ees − q T e q T e.

Elsimétricode−34.8 es34.8

Respuesta.6.164

Respuesta.6.557

Larespuestaeselincisob).

Larespuestaeselincisob).

Respuestas.

(e)4

(f)8

()18

(c)6

(b)16

(d)2

(a)216


257


3’. relaciona las columnas:

(a) ¿cuánto es 5 al cuadrado? ( ) 50

(b) raíz cuadrada de 100 ( ) 3

(c) ¿a cuánto es igual 25 ? ( ) 10

(d) ¿cuál es la raíz cúbica de 27? ( ) 5

(e) tercera potencia de 3 ( ) 9

(f) la base en 950 ( ) 27

( ) 25

SECUENCIA 27. RELACIÓN FUNCIONAL

Reactivo 11. completa la siguiente tabla usando la relación y = 4x +5

x y

257

1012

1’. indica cuál de las expresiones del lado izquierdo fue usada para llenar la tabla del lado derecho

a) y = 4x + 14 x yb) y = 3x + 24 10 54c) y = 5x + 4 12 64d) y = 7x −16 13 69

Reactivo 22. una compañía de autobuses ofrece en renta una de sus unidades con la

siguiente tarifa:

2 000 pesos de renta más 10 pesos por cada kilómetro recorrido.

si denotamos con d a la distancia recorrida por el autobus y con p al precio que cobrará la compañía. ¿cuál de las siguientes expresiones sirve para calcular p a partir de d ?

a) p = 10d + 2000

b) p = 10d

c) p = 2000d + 10

d) p = 2000d

Respuestas.

()50

(d)3

(b)10

(c)5

(f)9

(e)27

(a)25

Respuestas.

y

1325334553

Larespuestaeselincisoc).

Larespuestaeselincisoa).


258


e

F G

Caso 1

e

F

G

Caso 2

eF

G

Caso 3

2’. una alberca de 200 se encuentra a medio llenar. se abre una llave que vierte 12 por minuto. llamemos a a la cantidad en litros que tiene la alberca y t al tiempo en minutos que ha transcurrido desde que se abrió la llave. escribe una expresión que sirva para calcular la cantidad de litros (a ) que tiene la alberca cuando ha pasado algún tiempo (t ) desde que se abrió la llave.

a) a = 12t

b) a = t + 100

c) a = 12t + 100

d) a = 12t + 200

SECUENCIA 28. CONSTRUCCIÓN DE CÍRCULOS Y CIRCUNFERENCIAS

Reactivo 11. encuentra el centro de las siguientes circunferencias:

1’. encuentra el centro de las siguientes circunferencias.

Reactivo 2

2. indica en cuál de los siguientes casos es posible trazar una circunferencia que pase por los puntos e, F y G. traza la circunferencia.


Caso 1 Caso 2 Caso 3



259


Respuestareactivo1.

2’. indica en cuál de los siguientes casos es posible trazar una circunferencia que pase por los puntos e, F y G. traza la circunferencia.

Respuestareactivo1’.


Respuestareactivo2.

e

F G

Caso 1


G

F

e

Caso 1

G

Fe

Caso 2

e F G

Caso 3

Respuesta2’.

G

Fe

Caso 2


260


SECUENCIA 29. EL NÚMERO PI

Reactivo 11. se tienen dos circunferencias. la primera de ellas mide 15 mm de diáme-

tro. si el perímetro de la segunda es tres veces el perímetro de la primera, ¿cuánto mide el perímetro de la segunda circunferencia?

1’. en un triciclo el diámetro de las ruedas traseras mide la tercera parte del diámetro de la rueda delantera. ¿cuántas vueltas dan las ruedas traseras si la delantera da 30 vueltas?

a) 3 vueltas

b) 10 vueltas

c) 30 vueltas

d) 90 vueltas

Reactivo 22. ¿cuántas vueltas deben dar cada una de las ruedas de una bicicleta de

rodada 10 (su diámetro es de 25.4 cm) para avanzar 2 kilómetros?

2’. ¿cuánto debe medir de largo una etiqueta de forma rectangular para ponerla alrededor de una botella, como se muestra en la ilustración, si el diámetro de la botella es de 6 cm?

SECUENCIA 30. EL ÁREA DE LOS CÍRCULOS

Reactivo 11. ¿cuánto mide el perímetro de una tapa, como la de la ilustración, si su

radio mide 1.15 cm?

Respuesta.7874vueltas.

Respuesta.18.84 cm.

Respuesta.7.22 cm.

Respuesta.141.37 mm.

Larespuestaeselincisod).


261


1’. la siguiente imagen es una reproducción de un disco compacto, ¿cuánto mide la franja roja (perímetro) si el radio mide 5.95 cm?

Reactivo 22. ¿qué cantidad de madera (área de la corona circular) se necesita para

construir una mesa circular como la de la ilustración ?

2’. ¿cuál es el área de la región verde de la siguiente figura?

SECUENCIA 31. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD

Reactivo 11. un automóvil recorre 60 kilómetros con 4 litros de gasolina. si llamamos

x a la cantidad de litros de gasolina que consume el automóvil y llama-mos y a la cantidad de kilómetros que recorre con esa gasolina, señala cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite saber la distancia recorrida por el automóvil a partir de los litros de gasolina consumidos:

a) y = 60x

b) x = 15y

c) y = 15x

d) x = 60y

Respuesta.37.38cm.

5.95 cm

Respuesta.3.92m2.

Respuesta.6.47cm2.

Vidrio

madera

1.5 m

1 m


1.75 cm

1 cm


262


Larespuestaeselincisoa).

Respuestas.Cloroplasto1 320. Glóbulorojo1 440.Expresiónalgebraicay=120x.

Respuestas.Cloroplasto1 650.Glóbulorojo1 800. Expresiónalgebraica:y=150x.

1’. un automóvil recorre 100 kilómetros con 5 litros de gasolina. si llamamos x a la cantidad de litros de gasolina que consume el automóvil y llama-mos y a la cantidad de kilómetros que recorre con esa gasolina, señala cuál de las siguientes expresiones algebraicas permite saber la distancia recorrida por el automóvil a partir de los litros de gasolina consumidos :

a) y = 20x

b) x = 100y

c) y = 100x

d) x = 20y

Reactivo 22. en la siguiente tabla de variación proporcional se presenta el tamaño real

de unas células y su tamaño al verlas utilizando un microscopio óptico. completa la tabla y encuentra la expresión algebraica que permite saber el tamaño final de las células.

Tamaño real (micras)


Bacteria 1 3 360

Espermatozoide humano 8 960

Cloroplasto 11

Glóbulo rojo 12


2’. en la siguiente tabla de variación proporcional se presenta el tamaño real de las células y su tamaño al verlas utilizando un microscopio óptico. completa la tabla y encuentra la expresión algebraica que permite saber el tamaño final de las células.

Tamaño real (micras)


Bacteria 1 3 450

Espermatozoide humano 8 1 200

Cloroplasto 11

Glóbulo rojo 12



263


Respuestas.a) y = 0b) y = 10c) y= 16d) Parax=wwwQ

SECUENCIA 32. GRÁFICAS ASOCIADAS A SITUACIONES PROPORCIONALES

Respuestas.a)y = 0b)y = 20c)y= 32d)Parax=rQ

Reactivo 11. la expresión algebraica y = 2x está asociada a una situación de propor-

cionalidad. responde las siguientes preguntas.

a) si x = 0, ¿cuánto vale y?

b) si x = 5, ¿cuánto vale y?

c) si x = 8, ¿cuánto vale y?

d) ¿Para qué valor de x se tiene que y vale 1?

e) dibuja una gráfica asociada a la expresión algebraica anterior.

1’. la expresión algebraica y = 4x está asociada a una situación de propor-cionalidad. responde las siguientes preguntas.

a) si x = 0, ¿cuánto vale la y?

b) si x = 5, ¿cuánto vale y?

c) si x = 8, ¿cuánto vale y?

d) Para qué valor de x se tiene que y vale 1.

e) dibuja una gráfica asociada a la expresión algebraica anterior.

Respuestareactivo1e).1816141210

86420

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Respuestareactivo1’e).36322824201612

840

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


264

p r o p u e s t a d e e x a m e n b i m e s t r a l b l o q u e 5


265


Secuencia 33. cuenTaS De nÚMeROS cOn SiGnO

Reactivo 11. un buzo se encuentra a 10 m bajo el nivel del mar y hace 2 inmersiones

más, en la primera baja 5 m y en la segunda 8 m, ¿a cuántos metros se encuentra al final?

1’. un pez volador se encuentra a 1 m bajo el nivel del mar y da un salto de 2 m, ¿qué altura alcanzó sobre el nivel del mar?

Reactivo 22. resuelve las siguientes operaciones:

a) (+10) + (−17) =

b) (−39) + (+65) =

c) (−17) + (+17) =

d) (−23) + (−9) =

e) (−7.5) + (+11.3) =

f) (+ eW� ) + (− tU ) =

2’. resuelve las siguientes operaciones:

a) (+18) + (−26) =

b) (−45) + (+81) =

c) (−24) + (+24) =

d) (−7) + (−39) =

e) (+14.7) + (−8.9) =

f) (− eU ) + (+ tW� ) =

Reactivo 33. resuelve las siguientes operaciones:

a) (+4) − (−8) =

b) (−20) − (+35) =

c) (−17) − (+17) =

d) (−120) − (-183) =

e) (+ q I t ) − (− eR ) =

f) (−6.75) − (−3.04) =


Respuesta. 23 m bajo el nivel del mar.

Respuesta. 1 m sobre el nivel del mar.

Respuestas.

a) −7b) 26c) 0d) −32e) 3.8f) − qQ tQ

Respuestas.

a) −8b) 36c) 0d) −46e) 5.8f) − qW� tO

Respuestas.

a) 12b) −55c) −34d) 63e) qW� tI f) −3.71


266


3’. resuelve las siguientes operaciones:

a) (+7) − (−12) =

b) (−30) − (+74) =

c) (−25) − (+25) =

d) (−170) − (−196) =

e) (+ q U w ) − (− eI ) =

a) (−4.25) − (−1.03) =

Reactivo 44. completa la siguiente tabla que reporta el balance de una tienda a lo

largo de 4 meses de trabajo. el saldo por mes es la diferencia entre las ganancias y los gastos.


Ganancias (pesos)

Gastos (pesos)

Saldo (pesos)

Enero 9 800.15 8 420.15

Febrero 7 230.36 7 950.38

Marzo 1 480.15 − 2 550.20

Abril 5 000.30 − 1 716.30

4’. completa la siguiente tabla que reporta el balance de una tienda a lo largo de 4 meses de trabajo. el saldo por mes es la diferencia entre las ganancias y los gastos.


Ganancias (pesos)

Gastos (pesos)

Saldo (pesos)

Enero 8 900.75 7 410.75

Febrero 6 890.88 7 350.90

Marzo 1 643.00 − 3 750.50

Abril 4 200.85 − 1 113.20

Respuestas.

a) 19b) −104c) −50d) 26e) qE wO f) −3.22

Respuestas..Enero 1 380Febrero – 720.02Marzo 4 030.35Abril 3 284

Respuestas.Enero 1 490Febrero – 460.02Marzo – 5 395.50Abril 3 087.65


267


Secuencia 34. ÁReaS De FiGuRaS PLanaS

Reactivo 11. calcula el área del triángulo verde

área =

explica cómo la calculaste: .

1’. calcula el área del rombo morado

área =

explica cómo la calculaste:

Reactivo 22. ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

a) el área de la región sombreada es igual al área del cuadrado de lado 2 cm.

b) el área de la región sombreada es un cuarto del área del círculo de radio 2 cm.

c) el área de la región sombreada es la mitad del área del rectángulo.

d) el área del rectángulo es un tercio mayor que el área de la región som-breada.

Respuesta. 2 cm2 .

Respuesta. 4 cm2.

Las respuestas son son el inciso a) y el inciso c).

4 cm

2 cm


268


Las respuestas son el inciso b) y el inciso d).

Respuestas.a) En la ruleta 1.b) El tiro al blanco, porque en ese

es más probable que gane el concursante.

2’. ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?

a) el área de la flor verde es mayor que el área del hexágono regular rojo.

b) el área del hexágono regular rojo es el triple del área de la flor verde.

c) el área de la flor verde es la mitad del área del hexágono regular rojo.

d) el área del hexágono regular rojo es mayor que el área de la flor verde.

Secuencia 35. JueGOS eQuiTaTiVOS

Reactivo 11. dos amigos quieren jugar uno de los siguientes juegos de azar.

obtienen un premio si:

- la ruleta elegida se para en la zona amarilla

- el dardo cae en la zona amarilla

a) ¿en cuál es menos probable ganar?

b) si fueras el dueño de los juegos, ¿cuál quitarías? ¿por qué?

Ruleta 1 Ruleta 2 Tiro al blanco


269


1’. en una feria hay un juego que tiene las siguientes máquinas con canicas. Ganas un premio si la canica cae en la salida que dice amiGo.

a) ¿en qué máquina jugarías?

b) si utilizas la máquina 1, ¿cuál es la probabilidad de ganar?

c) ¿cuál es la probabilidad de ganar en la máquina 2?

Reactivo 2

2. en una urna hay canicas numeradas del 0 al 99. considera los siguientes 5 eventos: que la canica,

a) tenga dos dígitos iguales.

b) tenga una sola cifra.

c) sea mayor que 50.d) termine en cifra par.

e) termine en 5.responde las preguntas:

i) ¿qué eventos son equivalentes?

ii) ¿qué evento tiene mayor probabilidad de ocurrir?

iii) ¿qué evento es el menos probable de ocurrir?

2’. en un juego con dos dados se propusieron las siguientes reglas:

• debe haber dos jugadores, el jugador a y el b.

• lanzar los dados al mismo tiempo.

• calcular la diferencia de puntos entre el mayor y el menor. por ejemplo

• si resulta una diferencia entre 0, 1 o 2, entonces gana el jugador a.

• si resulta una diferencia entre 3, 4 o 5, entonces gana el jugador b.

a) ¿cuántos resultados posibles existen al lanzar 2 dados?

b) ¿cuál es la probabilidad de que el jugador a gane el juego?

c) ¿cuál es la probabilidad de que el jugador b gane el juego?

d) ¿este juego es equitativo? explica por qué.

amiGo enemiGo amiGo enemiGo enemiGo

Respuestas.i) Son equivalentes el b) con el e).ii) El d).iii) El a).

Respuestas.a) Es lo mismo.b) wQ c) wQ

Respuestas.a) 36b) e W� y R c) e Q y W�d) No. Los jugadores no tienen la

misma probabilidad de ganar.

máquina 1 máquina 2


270


Secuencia 36. GRÁFicaS, TaBLaS Y eXPReSiOneS aLGeBRaicaS

Reactivo 11. ¿cuál de las siguientes situaciones tiene asociada la expresión algebraica

y = 4x?:

a) el tipo de cambio de francos franceses a quetzales guatemaltecos, si por cada franco francés se obtienen cuatro quetzales guatemaltecos.

b) las edades de lupe y carlos si se sabe que cuando lupe cumpla 16 años, tendrá 4 veces la edad de carlos.

c) el costo de cierto número de llamadas si cada 4 llamadas cuestan 4 pesos.

d) ana compró 3 caramelos y le costaron 4 pesos.

1’. ¿cuál de las siguientes situaciones tiene asociada la expresión algebraica y = 6x?:

a) el tipo de cambio de dólares americanos a pesos argentinos, si por cada 2 dólares americanos se obtienen 6 pesos argentinos.

b) las edades de lupe y carlos si se sabe que cuando lupe cumpla 24 años tendrá seis veces la edad de carlos.

c) el costo de cierto número de llamadas si cada llamada cuesta 6 pesos.

d) ana compró 6 caramelos y le costaron 6 pesos.

Reactivo 22. a) completa las siguientes tablas y gráficas para establecer cuál de las 2

situaciones es de proporcionalidad directa.

x (cantidad de

francos)

y (cantidad de

quetzales guatemaltecos)

u (edad de

Lupe)

v (edad de Carlos)

1 4 16 4

2 15

5 14

10 13

12 12 Tabla 1 Tabla 2



Respuesta.

y (cantidad de

quetzales guatemaltecos)

v (edad de Carlos)

4 4

8 3

20 2

40 1

48 0


271


Respuesta. La de francos franceses y quetzales guatemaltecos.

b) con los datos de las tablas anteriores completa las siguientes gráficas.

c) ¿cuál de las 2 situaciones anteriores es de proporcionalidad directa?

55504540353025201510

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Can

tid

ad d

e q

uet

zale

s g

uat

emal

teco

s

Cantidad de francos

y

x

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Edad

de

Car

los

Edad de Lupe

y

x


272


2’. a) completa las siguientes tablas y gráficas para establecer cuál de las 2 situaciones es de proporcionalidad directa.

x (cantidad de

libras esterlinas)

y (cantidad de

pesos argentinos)

u (edad de

Lupe)

v (edad de Carlos)

1 6 24 4

2 23

5 22

10 21

12 20 Tabla 1 Tabla 2

Respuesta.

y (cantidad de

pesos argentinos)

v (edad de Carlos)

6 4

12 3

30 2

60 1

72 0

b) con los datos de las tablas anteriores completa las siguientes gráficas:

c) ¿cuál de las dos situaciones anteriores es de proporcionalidad directa?

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Edad

de

Car

los

Edad de Lupe

y

x

Respuesta. La de libras esterlinas y pesos argentinos.

80

70

60

50

40

30

20

10

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Can

tid

ad d

e p

eso

s ar

gen

tin

os

Cantidad de libras esterlinas

x

y


273


Respuestas reactivo 2.

55504540353025201510

50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Can

tid

ad d

e q

uet

zale

s g

uat

emal

teco

s

Cantidad de francos

y

x

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Edad

de

Car

los

Edad de Lupe

y

x


274


Respuestas reactivo 2´.

80

70

60

50

40

30

20

10

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Can

tid

ad d

e p

eso

s ar

gen

tin

os

Cantidad de libras esterlinas

x

y

5

4

3

2

1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 22 24 26

Edad

de

Car

los

Edad de Lupe

x

y


275


Secuencia 37. PROPORcinaLiDaD inVeRSa

Reactivo 11. si 4 personas tardan 8 días en aplanar un terreno:

a) ¿cuántos días tardarían en aplanar el mismo terreno 8 personas?

b) si se quiere que el terreno sea aplanado en sólo 2 días, ¿cuántas per-sonas tienen que trabajar en ello?

c) ¿cuáles cantidades son inversamente proporcionales en este problema?

1’. si 3 personas tardan 6 días en aplanar un terreno:

a) ¿cuántos días tardarían en aplanar el mismo terreno 6 personas?

b) si se quiere que el terreno sea aplanado en sólo 2 días, ¿cuántas per-sonas tienen que trabajar en ello?

c) ¿cuáles cantidades son inversamente proporcionales en este problema?

Reactivo 22. en un laboratorio se realiza un experimento para comprobar la relación

que hay entre la presión de un gas y el volumen que ocupa (cuando la temperatura es constante).

en la siguiente tabla se registraron los datos obtenidos mediante el expe-rimento.

x (presión del gas en atmósferas) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

y (volumen en dm3) 12 6 4 3 2.4 2

a) ¿la presión del gas y el volumen que ocupa el gas son cantidades di-rectamente proporcionales o inversamente proporcionales? Justifica tu respuesta.

b) ¿cuál es la constante de proporcionalidad inversa?

Respuestas.a) 4 días.b) 16 personas.c) El número de personas y la

cantidad de días.

Respuestas.a) 3 días.b) 9 personas.c) El número de personas y la

cantidad de días.

Respuestas.a) Son inversamente

proporcionales.b) 1.2


276


c) con los datos de la tabla anterior construye la gráfica de la presión del gas respecto del volumen que ocupa.

13121110

9876543210

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Vo

lum

en e

n d

ecím

etro

s cú

bic

os

Presión del gas en atmósferas

y

x

2’. en un laboratorio se realiza un experimento para comprobar la relación que hay entre la presión de un gas y el volumen que ocupa (cuando la temperatura es constante).en la siguiente tabla se registraron los datos obtenidos mediante el expe-rimento.

x (presión del gas en atmósferas) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

y (volumen en dm3) 18 9 6 4.5 3.6 3

a) ¿la presión del gas y el volumen que ocupa el gas son cantidades di-rectamente proporcionales o inversamente proporcionales? Justifica tu respuesta.

b) ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

c) con los datos de la tabla anterior construyan la gráfica de la presión del gas respecto del volumen que ocupa.

Respuestas.a) Son inversamente

proporcionales.b) 1.8

201816141210

86420

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Vo

lum

en e

n d

ecím

etro

s cú

bic

os


y

x


277


Respuesta reactivo 2´ c).

Respuesta reactivo 2 c).

201816141210

86420

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Vo

lum

en e

n d

ecím

etro

s cú

bic

os


y

x

13121110

9876543210

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Vo

lum

en e

n d

ecím

etro

s cú

bic

os


y

x


278


Secuencia 38. MeDiDaS De TenDencia cenTRaL

Reactivo 11. las medidas del diámetro de 10 cilindros fueron registradas como 3.88,

4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 4.03, 3.92, 3.98, y 4.06 cm.

a) ¿cuál es la medida promedio del diámetro de los cilindros?

b) si alguien dice que la medida más representativa de los diámetros es 3.92 cm, ¿qué medida de tendencia central está considerando?

1’. los salarios mensuales de cuatro personas fueron $5 000, $6 000, $6 500 y $30 000.

a) ¿qué medida de tendencia central es más representativa de los salarios?

b) ¿cuál es el salario más representativo de esta situación?

Respuestas.a) 3.982b) La moda.

Respuestas.a) La mediana.b) $6,250.


279



matemáticas I I Volumen I Ilibro para el maestro

Se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de ,

El tiraje fue de ejemplares, más sobrantes de reposición.

AGRADECIMIENTOS

Diseño de actividades tecnológicasMauricio Héctor Cano PinedaEmilio Domínguez BravoDeyanira Monroy ZariñánVerónica Rosainz Bonilla

ensayos d idáct icos en telesecundar ias

Telesecundaria “15 de Septiembre”, El Zapote, Puente de Ixtla, MorelosMarisol Marín Vázquez

Telesecundaria “Cuauhnáhuac”, Pueblo Viejo, Temixco, MorelosMaría de Lourdes Bello Salgado

bibliografía

ifrah, Georges. The Universal History of Numbers (d. bellos, e. F. Harding, s. Wood y i. monk, trds.), nueva York: John Wiley and sons, 2000. (trabajo original publicado en 1981).

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méxico, 2000.

sep-ilce. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo, Ense-ñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). Educación secundaria, méxico, 2000. Geometría dinámica, Enseñanza de las Matemáticas con Tec-

nología (Emat). Educación secundaria, méxico, 2000. (2002). Biología, Enseñanza de las Ciencias a través de Mode-

los Matemáticos (Ecamm). Educación secundaria, méxico.taham, malba. El hombre que calculaba, méxico: noriega editores,

2005.


el mes de de 200 .

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