Lpm matematicas-2-v1-p-083-128

82 L ib ro para e l maest ro

Propósito de la sesión. Obtener equivalencias algebraicas entre expresiones lineales, empleando al rectángulo como modelo geométrico.

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas y que se organicen momentos de intercambio grupal.

Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden, a partir de un ejemplo sencillo, el tipo de situaciones en las que utilizaron expresiones algebraicas durante el primer grado de la secundaria. A partir de la expresión algebraica que se propone para el cálculo del área de un mismo rectángulo, los alumnos tratarán de obtener expresiones equivalentes.

Sugerencia didáctica. Dedique a esta actividad sólo el tiempo necesario para que los alumnos recuerden cómo se obtiene el área de cualquier rectángulo (base por altura) y cómo se puede expresar algebraicamente el área de un rectángulo que mide 4 de altura y b de base. Enfatice que en este momento no van a expresar las unidades de medida.

Eje

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes

Durante el primer grado de la educación secundaria los alumnos aprendieron a identificar expresiones algebraicas equivalen-tes en el contexto del cálculo de áreas y perímetros de figuras. En esta secuencia trabajarán con expresiones algebraicas más complejas que las de primer grado, pues implican operaciones combinadas y el uso de paréntesis. Se espera que los alumnos logren reconocer y obtener ese tipo de expresiones a través de la resolución de problemas en los que se utilizan modelos geométricos.

Propósitos de la secuencia Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo

de modelos geométricos.

Sesión Propósitos de la sesión Recursos

1Expresiones equivalentes A partir del rectángulo como modelo geométrico, obtener expresiones algebraicas equivalentes.

Interactivo

2

Más expresiones equivalentes A partir de una expresión algebraica obtener otros equivalentes apoyándose en el rectángulo como modelo geométrico.

Video “Más expresiones equivalentes”

Interactivo

46

secuencia 3

En esta secuencia reconocerás y obtendrás expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos

EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEn primer año aprendiste a obtener expresiones algebraicas para calcular el área de dis-tintas figuras geométricas. Por ejemplo, para un rectángulo de altura a y base b obtuvis-te la expresión ab.

De igual manera, la expresión 4b representa el área de un rectángulo que mide 4 unidades de altura (a= 4) y b unidades de base.

Los siguientes rectángulos tienen altura 4 y distintas bases: 2, 3 y 6. El área de cada uno se puede calcular usando la expresión 4b. Calcula las áreas usando esta expresión.

SESIóN 1

Expresiones algebraicas y modelos geométricos

Recuerda que:

ab = a×b

4b = 4 ×b

4

b

4 cm

b = 2 cm

Área =

4 cm

b = 3 cm

Área =

4 cm

b = 6 cm

Área =

83L ib ro para e l maest ro

Propósito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el área de un rectángulo.

Sugerencias didácticas. Con el interactivo se pueden resolver las actividades I y II del libro del alumno. La primera parte ayuda a que los alumnos obtengan el área de un rectángulo como la suma de dos expresiones. La segunda actividad ayuda a mostrar que el área del rectángulo se puede obtener utilizando diferentes expresiones. En la tercera actividad usted puede modificar el nivel de dificultad de las expresiones propuestas para obtener el área del rectángulo. Permita que los alumnos exploren los diferentes ejercicios que se les presentan en el interactivo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos descubran que hay varias expresiones que sirven para calcular el área de un rectángulo.

Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos respondan la pregunta, revise con ellos la información que se presenta en el recuadro: es importante que los alumnos se familiaricen con el uso de los paréntesis para expresar una multiplicación; coménteles que aun cuando la utilización del signo × es correcta, como se muestra en el mismo recuadro, lo mejor es utilizar sólo los paréntesis para evitar confusiones.

Respuestas. Los incisos a, b y d son los correctos.

Posibles errores. Es probable que los alumnos identifiquen únicamente las expresiones 4(a + 2) y 4a + 8 y que no consideren la del inciso c). También puede suceder que algunos alumnos opinen que la expresión 4a + 2 es correcta. Si esto sucede, permítales que en este momento contesten lo que ellos consideren, más adelante tendrán la oportunidad de revisar sus respuestas y de corregir, si es necesario.

3

Sugerencia didáctica. Anote las expresiones algebraicas en el pizarrón y pregunte al grupo cuáles consideraron correctas y cuáles no. Es muy probable que haya respuestas distintas, por lo que conviene que anime a los alumnos a que expresen por qué consideran que alguna expresión es correcta o no. Usted puede registrar algunas de sus ideas en el pizarrón para, posteriormente, volver a ellas y que los alumnos vean si estuvieron en lo correcto o si es necesario que corrijan algunas de sus respues-tas. No es necesario que en este momento todos lleguen a la respuesta correcta, podrán hacerlo más adelante.

47

IIMATEMÁTICASEn esta secuencia encontrarás distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el área de un rectángulo. Para simplificar los cálculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centímetros.

Consideremos lo siguienteDe las siguientes expresiones, ¿cuáles representan el área del rectángulo enmarcado en rojo?

4

a 2

a) 4(a + 2) b) 4a + 8 c) 4a + 2 d) 2(a + 2) + 2(a + 2)

Comparen sus respuestas y comenten:

¿Cómo saben cuáles son correctas y cuáles no?

Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la medida de la altura del rectángulo enmarcado en rojo?

altura =

b) Escriban una expresión que represente la medida de la base de este rectángulo.

base =

c) ¿Qué expresión resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base?

altura × base =

Recuerden que:Para indicar que un número multiplica a una expresión se usan los paréntesis:

5 (b + 3) = 5 × (b + 3)

4

a + 2

4(a + 2)

Propósito de la actividad. Las actividades I y II dan elementos que permiten establecer que las expresiones 4(a + 2) y 4a + 8 sí permiten calcular el área del rectángulo. Aquellos alumnos que ya las habían identificado podrán constatar sus respuestas, y lo que no, tendrán oportunidad de corregirlas.


Propósito de la actividad. Que los alumnos reconozcan la expresión 2(a + 2) + 2(a + 2) como una expresión algebraica que sí permite calcular el área del rectángulo.

48

secuencia 3ii. Realicen lo siguiente.

a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde oscuro:

b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo verde claro:

c) Observen que el área del rectángulo enmarcado en rojo es la suma del área del rectángulo verde claro y del verde oscuro. Escriban otra expresión que represen-te el área del rectángulo enmarcado en rojo a partir del área de los rectángulos verde claro y verde oscuro:

Comparen sus respuestas.

iii. En la siguiente figura, la superficie del rectángulo enmarcado en rojo se dividió con una línea horizontal.

2

a + 2

2

a) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris oscuro:

b) Escriban una expresión que represente el área del rectángulo gris claro:

c) Usando las expresiones anteriores, escriban una expresión que represente el área del rectángulo enmarcado en rojo:

2(a + 2)

2(a + 2)

2(a + 2) + 2(a + 2)


Propósito de la actividad. Que los alumnos ejerciten la sustitución de valores en una expresión algebraica.


Sugerencias didácticas. Permita que los alumnos exploren las diferentes formas en que se pueden dividir los rectángulos. Pídales que escriban las expresiones con las que se determinaría el área del rectángulo. Si es necesario recuérdeles que para obtener el área del rectángulo original hay que sumar el área de todos los rectángulos en los que se dividió.

Posibles dificultades. Probablemente algunos alumnos no sepan cómo usar las dos expresio-nes (de los incisos a y b) para calcular el área del rectángulo enmarcado en rojo (inciso c). Anime primero a los alumnos para que comenten cómo resolvieron el inciso c); es probable que algunos hayan escrito (a + 2) × 2 + (a + 2) × 2, dígales que esta expresión es la misma que 2(a + 2) + 2(a + 2) , pero que es mejor no utilizar el signo × para evitar confusiones.

Si aún hay dificultades, puede decirles que la suma de las áreas de los rectángulos gris oscuro y gris claro es igual al área del rectángulo enmarcado en rojo. Posteriormente, lea junto con los alumnos la información del recuadro y pídales que regresen al apartado Consideremos lo siguiente para que revisen sus respuestas, y en caso de que sea necesario, las corrijan.

49

IIMATEMÁTICASIV. Dividan el rectángulo de abajo y usen esa división para encontrar otra expresión al-

gebraica que represente su área.

a + 2

4

Área =

Comparen sus respuestas y comenten la siguiente información.

Existen varias expresiones algebraicas que representan el área de un rectángulo de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2)representan su área.

V. Contesten las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto vale la expresión 4(a + 2), si a = 3?

b) ¿Cuánto vale la expresión 4a + 8, si a = 3?

c) ¿Cuánto vale la expresión 2(a + 2)+2(a + 2), si a = 3?

VI. Completen la siguiente tabla calculando el valor de las expresiones 4(a + 2), 4a + 8y 2(a + 2)+2(a + 2) para los valores de a indicados en la primera columna.

a 4(a + 2) 4a + 8 2(a + 2)+2(a + 2)

4 4(4+2)=4(6)=24

4.5 4(4.5)+8=18+8=26

5

5.5

6 2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32

4(4) + 8 = 16 + 8 = 24 2(4 + 2) + 2(4 + 2) = 2(6) + 2(6) = 12 + 12 = 24

4(4.5 + 2) = 4(11) = 44 2(4.5 + 2) + 2(4.5 + 2) = 2(6.5) + 2(6.5)= 13 +13 = 26

4(5 + 2) = 4(7) = 28 4(5) + 8 = 20 + 8 = 28 2(5 + 2) + 2(5 + 2) = 2(7) + 2(7) =

14 + 14 = 28

4(5.5 + 2) = 4(7.5) = 30 4(5.5) + 8 = 22 + 8 = 30 2(5.5 + 2) + 2(5.5 + 2) = 2(7.5) + 2(7.5)= 15 + 15 = 304(6 + 2) = 4(8) = 32 4(6) + 8 = 24 + 8 = 32

Sugerencia didáctica. Para mayor rapidez pida a las parejas que se organicen y que se dividan las columnas, pero que hagan los cálculos paso a paso como en los ejemplos. Antes de que empiecen, usted puede revisar con todo el grupo alguno de los ejemplos ya resueltos, haga énfasis en que primero se resuelve la operación que está indicada entre paréntesis. Mientras los alumnos terminan, usted puede reproducir la tabla en el pizarrón para que posteriormente puedan compararse los resultados.


Sugerencia didáctica. Pida a algunos alumnos que completen la tabla en el pizarrón, escribiendo únicamente el resultado; en caso de que haya diferencias en algún resultado, pida al alumno que lo registró que escriba el desarrollo completo de las cuentas, para que el grupo pueda identificar si hubo algún error o no.

Para el valor de 163.25, una vez que los alumnos hayan expresado su hipótesis, pídales que la verifiquen sustituyendo el valor de a en cada una de las expresiones. Para que esto sea más rápido, unos alumnos pueden usar la primera expresión, otros la segunda y otros la tercera, y después comparan sus resultados.

Propósito de la actividad. Que los alumnos constaten que la expresión 4a + 2 no sirve para calcular el área del rectángulo, pues el valor que se obtiene con ella no coincide con el de todas las demás.

Sugerencia didáctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para responder a esta pregunta, invítelos a comparar los resultados que se obtienen con esta expresión, con los que se obtuvieron en la otra tabla con las demás expresiones. Una vez que se hayan dado cuenta de que es errónea, pídales que regresen al problema inicial y que revisen si la habían elegido como correcta o no. También puede recuperar alguna de las ideas que los alumnos expresaron en el problema inicial respecto a si esta expresión era correcta o no.

50

secuencia 3Comparen los resultados que obtuvieron en las tres columnas y comenten:

¿Creen que para cualquier otro valor de a las tres expresiones coincidan?

Por ejemplo, ¿coincidirán para a = 163.25?

A lo que llegamosLas expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el área del mismo rectángulo, por lo que se puede escribir:

4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2)A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes.

Vi. Completen la siguiente tabla.

a 4a + 2

4

4.5 4(4.5) + 2 = 18 + 2 = 20

5

5.5

6

La expresión 4a + 2 no representa el área de un rectángulo de lados que miden 4 y

(a + 2), ¿por qué?

Lo que aprendimos1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectángulo, con distintas divisiones de su

superficie. Para cada una de estas figuras escribe una expresión algebraica que repre-sente su área a partir de la división que se propone.

b + 2

3

Expresión: 3(b+2)

Sugerencia didáctica. Comente al grupo que cuando se multiplica por 1 no es necesario escribirlo, por ejemplo, 1 × b se escribe únicamente b. Esto debe considerarse particular-mente para el tercer caso.

Una vez que los alumnos hayan concluido, pídales que elijan un valor para b y que lo sustituyan en las expresiones que elaboraron, para verificar que efectivamente obtienen el mismo resultado en todas ellas.


51

IIMATEMÁTICAS

2. Encuentren dos expresiones equivalentes que repre-sentan el área del rectángulo gris oscuro a partir de la figura que se propone.

Llenen la siguiente tabla para verificar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo resultado al sustituir los valores c = 3, 3.5, 4, 4.5 y algún otro valor que elijan.

Expresión 1 Expresión 2

c

3

3.5

4

4.5

3. Dividan la figura de la derecha en rectángulos de me-nor área y encuentren dos expresiones equivalentes que representen el área de la figura completa.

2

b + 2

1

Expresión:

b 2

3

Expresión:

=

Expresión 1 Expresión 2 c

3

2

=

a + 2

a

Incorporar al portafolios. Algunos alumnos podrían creer que deben calcular el área del rectángulo enmarcado en rojo. Acláreles que se trata del rectángulo gris oscuro; asímismo, si lo considera necesario, puede orientarlos señalando que (c–2) representa la medida de la base del rectángulo gris oscuro.

3c–6 ó 3c–(2×3) 3(c–2)

a(a + 2) a 2 + 2a

Sugerencia didáctica: Si los alumnos tienen dificultades, usted puede sugerirles dividir la figura usando una línea horizontal.

Una vez que hayan escrito las expresiones, recuérdeles que para simplificar la notación se acostumbra escribir a 2 en lugar de a × a.

2(b + 2) + (b + 2)3b + 6 ó 3b + 3(2)


Propósito de la actividad. Que los alumnos logren encontrar una expresión equivalente a la expresión 3(x+2).

Respuesta.

Propósito de la sesión. Obtener expresiones algebraicas equivalentes a otra usando el modelo geométrico del rectángulo.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva individualmente.

Propósito de la actividad: Introducir al alumno a las dificultades que tiene la obtención de expresiones equivalentes.

Posibles dificultades. Algunos alumnos podrían requerir de la representación del rectángulo para comprender mejor las expresiones equivalentes. Si es así, sugiérales que intenten dibujar un rectángulo que les ayude.

Sugerencia didáctica. Pida a algunas parejas que presenten al grupo las expresiones equivalentes que escribieron. En caso de que algunos alumnos no estén de acuerdo con algunas de las respuestas, invítelos a que den sus argumentos. Si no logran identificar o corregir sus respuestas, en las siguientes actividades tendrán la oportunidad de hacerlo.

52

secuencia 3

MÁS EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEn la sesión 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un rectángulo. En esta sesión aprenderás a obtener expresiones equivalentes a partir de otra dada.

Consideremos lo siguientePara cada una de las siguientes expresiones encuentren una expresión equivalente.

a) 3(x+2) = b) 2(2x + 4) =

Comparen sus respuestas y comenten cómo hicieron para encontrarlas.

Manos a la obrai. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 3(x+2)

SESIóN 2

Dividan la superficie del rectángulo anterior en varios rectángulos pequeños. Encuentren las expresiones que corresponden al área de cada uno de los rectángulos pequeños y anótenlas:

3(x+2) =

Comparen sus respuestas. Comenten cómo dividieron la superficie del rectángulo grande y cómo encontraron el área de cada uno de los rectángulos pequeños.

Expresión Rectángulo

3(x+2)

3x+6

3

x 2



Sugerencia didáctica. Si los alumnos presentan dificultades para resolver, pídales que primero intenten estimar las medidas de los segmentos marcados usando expresiones algebraicas.

53

IIMATEMÁTICASII. Dibujen un rectángulo cuya área se represente con la expresión 2(2x + 4), divídanlo

en rectángulos más pequeños y encuentren sus áreas.

Expresión Rectángulo

2(2x + 4)

2(2x + 4) =

Comparen sus respuestas y comenten: ¿son equivalentes las expresiones que obtuvieron? ¿Por qué?

III. Usen la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a x 2 + 2x.

x 2 2x

x 2 + 2x =

Posibles dificultades. Esta es la primera vez que se estudia una expresión con coeficiente distinto de 1 en la literal, los alumnos no conocen un rectángulo que sirva para ello, sin embargo se espera que puedan lograrlo apoyándose en su experiencia adquirida con la expresión 3(x + 2).

Respuesta.

x(x+2)

x

2x

2

x x 4

4x + 8


Descripción del video. El video formaliza los conceptos vistos a lo largo de la secuencia en relación con las expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricos. Se utilizan los recursos visuales para mostrar las equivalencias algebraica y geométricamente. Por tal razón se recomienda su uso al final de la secuencia.

54

secuencia 3

A lo que llegamosMás expresiones equivalentes

Cuando se quiere encontrar una expresión equivalente a otra dada, puede ser útil cons-truir un rectángulo cuya área se represente con la expresión. Por ejemplo, para la expre-sión dada 3(2x + 1) se puede construir un rectángulo que mida 3 unidades de altura y 2x+1 unidades de la base:

x x 1

1

1

1

Dividiendo este rectángulo en piezas de menor área se puede ver que la expresión 6x+3también sirve para calcular su área, y por lo tanto es equivalente a la expresión 3(2x+1).

Lo que aprendimos1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresión equivalente a

ésta.

a) 3(2x+3) = b) x(2x+4) =

2. Para cada uno de los siguientes rectángulos anota las medidas de sus lados en los es-pacios marcados, y después usa la figura para escribir dos expresiones equivalentes que representen su área.

a)

5a 15

= 5a+15 5(a+3)

5

3a

6x+9 2x 2+4x


Incorporar al portafolios. Si lo considera necesario, sugiera a los alumnos calcular el área de cada pieza y luego sumar todas las áreas.

55

IIMATEMÁTICASb)

a 2 4a

=

3. Ayúdate de la siguiente figura para encontrar una expresión equivalente a la expresión

(b + 1)(b + 2) =

b 1

b

1

1

Para saber másSobre otras expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geométricosconsulta:http://www.interactiva.matem.unam.mx Ruta: Álgebra Una embarrada de álgebra Binomio al cuadrado[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora(PUEMAC), UNAM.

a 2+4a a(a+4)

a

4a

b 2+3b+2


Propósito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posición relativa de dos rectas en el plano y los ángulos que se forman.

Propósito de la sesión. Identificar a los ángulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ángulos.Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente y que se organicen momentos para comentarios grupales.

Descripción del video. Se hace un repaso histórico de la medición de ángulos y el uso del sistema sexagesimal. Se pone énfasis en la asociación que tiene la medición de los ángulos con la medición del tiempo. Se dan hipótesis de por qué la circunferencia está dividida en 360 grados.

Sugerencia didáctica. Comente con los estudiantes las características de cada uno de los ángulos mostrados. Por ejemplo, ¿cuáles son los lados en cada uno?, ¿cuál es la dirección del giro?, ¿cuál es el ángulo es mayor? ¿cuál es el ángulo menor?

Posibles dificultades. Para resolver el problema, los alumnos necesariamente tienen que utilizar el transportador. Pueden presentar dificultades o errores como los siguientes:

Colocar el transportador en posición incorrecta.

Confundir el sentido del giro y tomar medidas que no corresponden (sobre todo con los transportadores semicirculares).

Otra dificultad puede ser interpretar mal las instrucciones. Usted puede ayudarlos a compren-derlas preguntando: ¿alguien ha entendido de qué se trata el problema? ¿Cuál es el punto de partida? ¿Hacia qué dirección debe mirar la persona en el punto de partida? ¿Y luego hacia adónde gira?, etcétera. Debe tener cuidado en no mostrarles en este momento la solución, sino únicamente ayudarlos en caso de que tengan dudas con algunas instrucciones. Lo interesante será ver cómo colocan el transportador, cómo miden los ángulos y el resultado que obtienen finalmente.

•

•

56

secuencia 4

En esta secuencia determinarás la medida de ángulos usando tu transportador, y deducirás algunas medidas sin usarlo.

MEDIDAS DE ÁNGULOSPara empezar El grado como unidad de medida

La regularidad de los fenómenos naturales y astronómicos interesó a hombres de todos los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la babilónica, estimaron la duración del año en 360 días. Como estas civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de la Tierra, dividieron en 360 partes la trayectoria en la que veían moverse al Sol, haciendo corres-ponder a cada parte un día y una noche. Es probable que de esta división se derive la división de un giro completo en 360 partes, llamadas grados.

Los siguientes son algunos ángulos que encontrarás frecuentemente en tus secuencias de geometría. Observa sus medidas y sus nombres.

Ángulos

SESIóN 1

90º

180º

270º

360º

Ángulo recto Ángulo llano Ángulo entrante

Son los ángulos que miden más de 180º

y menos de 360º

Ángulo perigonal

Consideremos lo siguienteEn el baúl de su papá, Jaime encontró un viejo pergamino en el que se indica cómo y dónde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al te-soro estaban claras, pero una mancha de agua borró el mapa. Sigue las indicaciones y ayúdale a Jaime a reproducir el mapa. Supón que un paso es igual a un centímetro.

EjeForma, espacio y medida.

TemaFormas geométricas.

Antecedentes

Desde la escuela primaria los alumnos han trabajado con ángulos: los identifican, los miden mediante diversos recursos, y los usan como criterio para caracterizar determinadas figuras. En el primer grado de la secundaria los ángulos fueron un auxiliar importante para el estudio de ciertas nociones, como la simetría y la bisectriz, así como para la caracterización de los polígonos regulares. En este grado se pretende que los alumnos formalicen sus conocimientos y que a partir de ellos, elaboren deducciones sencillas que les permitan resolver situaciones en las que tienen que calcular la medida de un ángulo. Así mismo, se promueve la habilidad para medir ángulos utilizando el transportador.

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos,

utilizando el grado como unidad de medida.


1

Medidas de ángulos Identificar a los ángulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ángulos.

Video “El grado como unidad de medida”

Interactivo

Prog

ram

a in

tegr

ador

3

2

Ángulos internos de triángulos Descubrir propiedades de los triángulos a partir de la medición de ángulos. Deducir medidas de ángulos.

Interactivo

3

Deducción de medidas de ángulos Deducir la medida de ángulos a partir de las características y propiedades de las figuras. Hacer generalizaciones sobre medidas de ángulos a partir de casos particulares.


Propósito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso.

Sugerencias didácticas. El interactivo presenta un transportador que por su tamaño y fácil manejo puede ayudar a mostrar la manera correcta de medir los ángulos a todo el grupo. Pida a algunos alumnos que pasen al pizarrón a medir los ángulos presentados en el interactivo.

Propósito de la actividad. Que los alumnos reflexionen sobre el uso del transportador para medir ángulos.

Respuesta. Las ilustraciones 2 y 3 son las correctas. En las ilustraciones 1, 4 y 5 el transportador está mal colocado.

57

IIMATEMÁTICAS

Comparen sus mapas y comenten cómo hicieron para reconstruirlos.

Manos a la obra I. Encierra con un círculo las ilustraciones en las que el transportador se utilice de ma-

nera correcta para medir el ángulo.

Para encontrar el cofre tienes que llegar a la meseta del Cerro Colorado y caminar hasta el monolito que ahí encuentres. Luego, tienes que sentarte en el monolito viendo hacia al Este, gira 60º al Norte y camina de frente 3 pasos. En ese punto clava una estaca. Regresa al monolito y siéntate viendo al oeste. Gira 150º al sur y camina de frente 4 pasos, en este punto clava otra estaca. El cofre está enterrado justo a la mitad de la distancia entre las dos estacas.

1

4

2 3

5

3

60º

150º

estaca 1

4estaca 2

cofre


Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos argumenten por qué consideran que unas respuestas son correctas y otras incorrec-tas. Es posible que alguno de ellos haya utilizado una de las erróneas; invítelos a comentar las dificultades que tuvieron al utilizar el transpor-tador en el problema inicial.

Respuesta. La medición no es correcta, pues se está haciendo una lectura errónea en el transportador.

Respuestas. De izquierda a derecha, el primer ángulo no mide 60°, y la longitud del lado debería ser de 3 cm; el segundo ángulo sí cumple con las indicaciones; en el tercero el giro se hizo en sentido contrario, y en el cuarto ángulo el punto de partida está mal orientado, pues tendría que estar dirigido hacia el este, no al oeste.

3

Sugerencia didáctica. Es probable que algunos alumnos hayan cometido errores similares a los que se presentan, por ello es importante que expresen sus argumentos sobre cuál ángulo cumple con las condiciones establecidas, de esa manera será posible que quienes hayan tenido errores o dudas, puedan corregirlos.

Sugerencia didáctica. Cerciórese de que todos los alumnos tengan clara la forma correcta de medir ángulos usando el transportador. Para ello, dibuje un ángulo en el pizarrón y, si cuenta con un juego de geometría grande, pida a un alumno que pase a mostrar cómo se mide; también pueden hacerlo en el cuaderno con cualquier ángulo que ellos tracen.

58

secuencia 4

monolito

estaca 1

monolito

estaca 1

monolito

estaca 1

monolito

estaca 1

Comparen sus respuestas y comenten los errores que descubrieron en el uso del trans-portador en las ilustraciones. Comenten ¿en la ilustración de abajo se está midiendo de manera correcta el ángulo?

ii. ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con las indicaciones del mapa para determi-nar el lugar de la primera estaca?

Comparen sus resultados y comenten los errores que descubrieron en los ángulos. Veri-fiquen sus mapas. Si es necesario, háganlos otra vez.

A lo que llegamosAl medir un ángulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vértice del ángulo. La marca que corresponde a 0° debe coincidir con un lado del ángulo.

115º115º


Respuesta. Otra forma es midiendo el complemento de 360° del ángulo que se quiere medir.

Propósito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso.

Sugerencias didácticas. Pida a los alumnos que pasen al pizarrón a medir los diferentes ángulos que presenta el interactivo.

Sugerencia didáctica. Generalmente los estudiantes cuentan con transportadores de 180°, por lo que es importante apoyarlos para medir un ángulo cuya medida es mayor que 180°.

59

IIMATEMÁTICASIII. A continuación se presenta una forma de medir ángulos mayores de 180º.

D

E

F

Prolonga uno de los lados del ángulo marcado de forma que la prolongación lo divi-da en dos ángulos.

a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos que se formaron? y

b) ¿Cuánto mide el ángulo marcado originalmente?

Comparen sus respuestas y comenten: ¿habrá alguna otra manera de medir un ángulo mayor que 180º? ¿Cuál?

IV. Recuerda que un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo pun-to inicial. A las semirrectas se les llama lados del ángulo. Al punto inicial se le llama vértice.

ladovértice

lado

180º 100º

280º


Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos para que expliciten que la longitud de los lados de un ángulo no influye en la medida de éste.

60

secuencia 4Anota en los cuadritos los números del 1 al 5 para ordenar de mayor a menor los si-guientes ángulos.

Comparen sus respuestas. Comenten:

a) ¿En qué se fijaron para comparar los ángulos?

b) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos?

A lo que llegamosLa medida de un ángulo no depende de la longitud de sus lados. Por ejemplo, el ángulo azul y el ángulo verde miden 100º.

1 4 2

5 3


Respuesta. El estudiante que está en medio de todos los demás.

61

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimos1. Considera las siguientes semirrectas como un lado y su punto inicial como vértice.

Construye los ángulos que se piden, utiliza tu transportador.

2. Usa tu transportador y determina cuánto miden los ángulos marcados.

3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para observarla mientras escuchaban la explicación del guía. Las figuras muestran la for-ma como se acomodaron los estudiantes. A fin de ver la pintura completa, identifica quién tiene el mayor ángulo.

¿Cuál de todos tiene el mayor ángulo para ver la pintura completa?

E

120º

Q

210º

R

70º

Incorporar al portafolios. Considere el primero y el segundo problema para el portafolios. Para el primer problema hay dos posibilidades correctas para cada ángulo, de acuerdo con la dirección que los alumnos decidan darle al giro.

En caso de que los alumnos muestren errores en la resolución de estos problemas, revise con ellos nuevamente la forma correcta en que se miden los ángulos usando el transportador (apartado A lo que llegamos), y pídales que midan y construyan ángulos de manera similar a las actividades de este apartado.

Respuestas. El ángulo morado mide 150° y el azul 100°.


Propósitos de la sesión. Descubrir propiedades de los triángulos a partir de la medición de ángulos. Deducir medidas de ángulos.

Organización del grupo. Los alumnos pueden resolver individualmente y comparar sus respuestas con todo el grupo.

Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos traten de construir los triángulos, pídales que intenten anticipar una respuesta. Es posible que la mayoría piense que las tres opciones pueden ser las medidas de los ángulos de un triángulo, pues es probable que no sepan o que no recuerden que la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser de 180º. En caso de que algún alumno sí utilice ese conocimiento para poder anticipar en qué caso sí es posible construir un triángulo, invítelo a que comente al grupo sus argumentos. En este momento evite decir quién tiene la razón, invítelos a que construyan los triángulos para que verifiquen sus respuestas.

Respuesta. La terna del inciso c) es la que funciona para construir el triángulo.

62

secuencia 4

ÁNGULOS INTERNOS DE TRIÁNGULOSPara empezarUn ángulo se puede representar por medio de una letra mayúscula asignada a su vértice. Por ejemplo, el siguiente ángulo se puede representar como D.

D

Consideremos lo siguiente¿Cuáles de las siguientes ternas son las medidas de los ángulos internos de un triángulo? Construye el triángulo correspondiente. Utiliza el segmento aB como uno de los lados.

a) 30°, 60°, 70°

a B

¿Pudiste construir el triángulo?

Justifica tu respuesta

b) 50°, 70°, 120°

a B



SESIÓN 2


63

IIMATEMÁTICASc) 50°, 60°, 70°

A B



Comparen sus respuestas y comenten cómo construyeron sus triángulos.

Manos a la obraI. La siguiente figura muestra una construcción incompleta en la que se intenta cons-

truir el triángulo con la terna de medidas 30º, 60º y 70° y con el segmento NM como uno de sus lados. Completa la construcción.

a) Con tu transportador mide el tercer ángulo interno de este triángulo.

¿Cuánto mide?

b) ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos internos de este triángulo?

Comparen sus respuestas.

II. En la siguiente figura se intenta construir un trián-gulo con la terna 50°, 70° y 120° como medidas de sus ángulos internos y con el segmento QRcomo uno de sus lados. Completa la construcción.



N M

70º30º

Q R

120º

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que las medidas de los ángulos internos son características importantes para determinar la posibilidad de que un triángulo exista o no. Gradualmente irán identificando que la suma de los ángulos internos de un triángulo debe ser de 180º.


Sugerencia didáctica. Es posible que los alumnos obtengan respuestas cercanas a 180°, usted puede aprovechar para que los alumnos reflexionen sobre la posibilidad de que haya errores cada vez que hacemos mediciones, y que esos errores son aceptables siempre y cuando las diferencias sean mínimas.

Sugerencia didáctica. Aproveche la diversidad de triángulos que los alumnos construyeron para que concluyan que en todos los triángulos la suma de las medidas de sus ángulos internos es igual a 180°. Es recomendable trabajar con ellos esta conjetura antes de leer el apartado A lo que llegamos.

Propósito de la actividad. Que los alumnos observen el ángulo que se forma al juntar los tres ángulos internos de un triángulo, para que con ello se pueda mostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

64

secuencia 4Comparen sus construcciones y comenten:

a) Si el ángulo en el vértice Q mide 50°, ¿cuánto mide el tercer ángulo interno?

b) ¿Se puede construir un triángulo con dos ángulos internos que midan 70° y 120°?¿Por qué?

iii. Dibuja un triángulo en una hoja blanca, pinta cada uno de sus ángulos internos de un color distinto. Corta el triángulo en tres partes de manera que en cada parte quede uno de los ángulos internos. Pega las tres partes haciendo coincidir los vértices en un punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes y que no dejen huecos entre ellas.

¿Cuánto mide el ángulo que se obtiene al pegar los tres ángulos del triángulo que dibujaste?

Comparen sus respuestas y comenten:

¿Creen que si dibujan otro triángulo, la medida del ángulo formado al pegar sus tres ángulos internos sea la misma? ¿Por qué?


Propósito del interactivo. Practicar el uso del transportador, comprobar que la suma de los ángulos interiores de los triángulos es 180°.

Deducir las medidas de los ángulos interiores de otros triángulos.

Sugerencias didácticas. Pida a algunos alumnos que midan los ángulos interiores de los triángulos presentados en el interactivo, mientras los demás llenan la tabla que se muestra. Se pretende que los alumnos concluyan que la suma de los ángulos interiores del triángulo es 180°. Con esta información pida a los alumnos que llenen las tablas que se presentan en el interactivo.

65

IIMATEMÁTICASIV. Mide los ángulos internos de los siguientes triángulos. Anota las medidas en la tabla.

P

Q

R

X

WY

A

C

B

Triángulo Ángulo Ángulo Ángulo

Suma de las medidas de los

tres ángulos internos

ABC A=

WXY W=

PQR

HIJ J=

A lo que llegamosLa suma de las medidas de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180º.

H

I

J

Posibles errores. Es probable que los números que anoten en la quinta columna no sean exactamente 180º, pues son posibles algunos errores en la medición.


66

secuencia 4

Lo que aprendimos1. Los triángulos equilateros tienen sus tres ángulos internos iguales. Sin usar transportador, contesta la pregunta.

¿Cuánto mide cada uno de los ángulos internos de

cualquier triángulo equilátero?

DEDUccIóN DE MEDIDAS DE ÁNGULOSPara empezar¿Sabías que en todos los triángulos isósceles dos de sus ángulos internos son iguales?

Verifica esta propiedad en los siguientes trián-gulos isósceles y pinta del mismo color los án-gulos que sean iguales.

SESIóN 3

Recuerda que:

Se llaman triángulos isósceles

los triángulos que tienen

dos lados iguales.

A continuación se presentan varios problemas sobre medidas de ángulos.

Recuerda que:

Se llaman triángulos

equiláteros aquellos

que tienen sus tres

lados iguales.

Sugerencia didáctica. A partir de los resultados obtenidos anteriormente, comente con los alumnos cómo pueden deducir la medida de los ángulos internos de un triángulo equilátero (la medida es de 60°).

Propósitos de la sesión. Deducir la medida de ángulos a partir de las características y propiedades de las figuras.

Hacer generalizaciones sobre medidas de ángulos, a partir de casos particulares.

Organización del grupo. Los alumnos pueden resolver de manera individual y comparar sus resultados con todo el grupo.

Sugerencia didáctica. El triángulo rojo es un triángulo equilátero; comente con los alumnos que el triángulo equilátero cumple con la propiedad de los triángulos isósceles, pues dos de sus ángulos son iguales. Los triángulos equiláteros son de la familia de los isósceles.


67

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimosOtra forma de representar ángulos es con tres letras mayúsculas, una para el vértice y dos para un punto de cada lado del ángulo. Así, el ángulo

S

R

T

se representará como TSR. Observen que la letra correspondiente al vértice se coloca en medio de las otras dos.

1. El pentágono regular está inscrito en un círculo de centro O y radio OA.

O

AB

C

Sin utilizar instrumentos de medición responde: ¿cuánto mide ABC?

Comparen y comenten sus respuestas.

Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuánto mide el ángulo central del pentágono?

b) ¿Qué tipo de triángulo es OAB?

c) ¿Cuánto miden OAB y OBA?

d) OBA = OBC ¿por qué?

Respuesta. 180º


Incorporar al portafolios. Elija el problema 3 o el 4 para la evaluación. Aclare a los alumnos que no deben utilizar el transportador para resolver los siguientes problemas, pues pueden hallar el valor de los ángulos estableciendo relaciones entre las características de las figuras y los conocimientos que han elaborado durante esta sesión.

Respuestas.

Hexágono: El ángulo mide 120°. El hexágono puede dividirse en 6 triángulos. La medida del ángulo central, y de los otros ángulos, es de 60° por tratarse de triángulos equiláteros.

Pentágono: El ángulo mide 150°, pues se forma con la suma de los 90° del ángulo del rectángulo y los 60° del triángulo.

Sugerencia didáctica. Es importante que estos ejercicios se realicen sin utilizar instrumentos de medición.

68

secuencia 42. En los siguientes triángulos isósceles se marcó la medida del ángulo formado por los

lados iguales. Selecciona del recuadro las medidas de los ángulos faltantes y anótalas en el triángulo correspondiente.

3. Determina el valor de los ángulos marcados y escribe en tu cuaderno el proceso que utilizaste para determinar el valor de cada uno.

Hexágono regularPentágono formado

por un rectángulo y un triángulo equilátero

54º 80º 67.5º 33.5º 40º

113º

72º

100º

45º


69

IIMATEMÁTICAS4. Sin utilizar instrumentos de medición, determina la medida de los ángulos marcados

con rojo en las ilustraciones.

50º

T

S

RN

M O

RST = MNO =

Para saber másSobre ángulos y cómo interactuar con ellos consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htmRuta 1: El transportador de ángulosRuta 2: Ángulos complementarios y suplementarios[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educación y Ciencia. España.

Respuesta. Mide 130°. En caso de que algún alumno ponga una medida menor, es probable que considere, de manera errónea, que como la representación del ángulo rojo es menor que la del ángulo gris, entonces el ángulo debe ser más pequeño. En ese caso, aclare a los alumnos que ese no es un buen criterio para comparar ángulos, en cambio, hay información pertinente en la que pueden apoyarse para determinar la medida del ángulo, en este caso, la medida del otro ángulo: 180°–50°=130°.


Propósito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posición relativa de dos rectas en el plano y los ángulos que se forman.

Propósito de la sesión. Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y compás y poder definirlas correctamente.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas todas las actividades de la sesión, y llevar a cabo intercambios de respuestas y comentarios con todo el grupo.

Materiales. Instrumentos geométricos: regla, escuadras, transportador y compás.

Propósito de la actividad. El estudio de las rectas paralelas inicia en tercer grado de educación primaria, en donde una forma de trazar rectas paralelas es el doblado de papel. Utilizar nuevamente ese recurso es una manera familiar y “tangible” de abordar el estudio de una noción que será ampliada y enriquecida en el transcurso de esta secuencia.

Posible dificultad. No saber medir adecuada-mente la distancia entre un punto y una recta, por lo que es importante que les recomiende leer con atención la nota del “Recuerden que”. Esta idea la practicaron en primer grado (al medir la distancia de puntos simétricos al eje de simetría y al medir alguna de las alturas de un triángulo). Se espera que la escala no represente una dificultad.

Posibles procedimientos:Marcar los puntos al “tanteo”, aproximando los 2 centímetros.Marcar puntos a 2 cm de la recta pero sin conservar la perpendicularidad. Pueden darse cuenta del error al tratar de trazar una recta, pues los puntos no quedarán alineados.Marcar los puntos usando la escuadra para medir los 2 cm de cada punto a la recta.Para los alumnos que tienen una idea clara de que las paralelas son rectas que conservan la misma distancia entre sí, es probable que tracen la paralela a 2 cm (lo saben hacer con las escuadras) y ubiquen diez puntos de ella. Este procedimiento es el óptimo.

•

•

•

•

70

secuencia 5

¿Cómo se llaman las rectas que no se cortan?, ¿y las que sí se cortan?; cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos, ¿cómo se relacionan sus medidas?

Este tipo de preguntas son las que podrás contestar cuando termines de estudiar esta secuencia.

Rectas que no se coRtanPara empezarDesde la escuela primaria has estudiado el trazo de paralelas usando distintos recursos, ¿lo recuerdas? Uno de esos recursos fue el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Después pega la hoja en tu cuaderno.

sesión 1

Rectas y ángulos

Recuerden que:

La distancia de un punto a una

recta se mide sobre la perpendicular

del punto a la recta.

Observen:

Consideren que la recta roja representa una carretera y que 1 cm representa 1 km. La casa de Lety está situada a 2 km de la carretera del lado donde está el punto azul, señala con puntos cinco lugares donde podría estar la casa de Lety.

Consideremos lo siguiente



Antecedentes

Los alumnos han trabajado con las nociones de ángulo y de rectas paralelas y perpendiculares desde la escuela primaria y en el primer grado de la secundaria. En ese último grado trazaron perpendiculares y paralelas y midieron ángulos para resolver situaciones relacionadas con las nociones de simetría, mediatriz y bisectriz, así como para construir diversas figuras geométricas. Se espera que en el segundo grado, además de reconocer esos tipos de rectas y las clases de ángulos, identifiquen y describan sus propiedades, establezcan relaciones entre ellos y elaboren argumentos para validar tales propiedades y relaciones; asimismo, que sean capaces de aplicar esas nociones para resolver ciertos problemas.

Propósitos de la secuencia Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar

definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocer ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.


1

Rectas que no se cortan Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y compás y poder definirlas correctamente.

Interactivo Aula de medio

Prog

ram

a in

tegr

ador

3

2

Rectas que se cortan Profundizar en el estudio de las rectas perpendicu-lares al aprender a trazarlas con regla y compás, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas.

Interactivo

3

Relaciones entre ángulos Identificar y definir a los ángulos opuestos por el vértice y a los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan.

Video “Parejas de rectas”

Interactivo


Propósito de la actividad. Definir objetos geométricos y comunicar a otros sus propieda-des es una habilidad que tiene que ver con la adquisición y el desarrollo de un lenguaje matemático. Con esta actividad es posible identificar el grado de comprensión que tienen del objeto que están definiendo; al mismo tiempo, los alumnos tienen la oportunidad de expresar por escrito una idea. No se espera que los alumnos den una respuesta totalmente correcta o completa. Algunas respuestas podrían ser: “Son dos líneas rectas que no se juntan”, “Rectas que no se cortan”, “Rectas que están a la misma distancia”.

2

Sugerencia didáctica. Si el tiempo se lo permite, pida a los alumnos que primero comparen en parejas, para que tengan la oportunidad de corregir o enriquecer su definición. Posteriormente, pida a cada pareja que escriba en el pizarrón su definición para que el grupo las analice. Para orientar la confronta-ción grupal, es importante que destaque:

Las diferencias más relevantes entre las definiciones formuladas por los alumnos.

La idea de que todos los puntos de la recta paralela a la recta roja equidistan de ella.

Si los alumnos consideran que alguna definición es incorrecta, invítelos a que den sus argumen-tos; puede ayudarles planteando un contraejem-plo para que después ellos también lo hagan. Esto es un buen inicio de la argumentación y sienta las bases para que, poco a poco, los alumnos desarrollen el pensamiento deductivo que ocuparán posteriormente en las demostra-ciones geométricas.

Propósito de la actividad. Que los alumnos consideren la posibilidad de que dos rectas (representadas por segmentos) que aparente-mente son paralelas, sí llegan a cortarse al prolongar los segmentos (como sucede en los casos 2 y 4). Es decir, no basta con que vean que los dos segmentos no se cortan, deben considerar si sus prolongaciones tampoco lo harán. El propósito de hacerlo sobre una cuadrícula tiene que ver con la idea de que rectas con igual pendiente son paralelas (esto lo estudiarán en el bloque 3 y en tercer grado lo retomarán al estudiar la pendiente como razón de cambio). Recuerde a los alumnos que las rectas se pueden prolongar en ambos sentidos.

•

•

71

IIMATEMÁTICASSi localizaron bien los cinco puntos podrán unirlos con una línea recta, tracen esa línea recta.

a) ¿Cómo son entre sí la recta roja y la que acaban de trazar?

b) Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas paralelas.

y

c) Escriban una definición para rectas paralelas.

Comparen las diferentes definiciones de rectas paralelas con sus compañeros y, entre todos, elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta tra-ten de dar un ejemplo de por qué la consideran incorrecta.

Manos a la obraI. En cada caso marquen con si las rectas representadas son paralelas.

II. Se desea trazar una paralela a la recta que pase por el punto P.

1 2 3

4 5 6

P

Propósito de la actividad. Que los alumnos describan los pasos que se siguieron para trazar una paralela que pasa por el punto P a partir del análisis de la construcción ya realizada.

Es importante que los alumnos practiquen continuamente trazos geométricos porque con ello profundizan en el estudio de las características y propiedades geométricas de las figuras. Por otra parte, además de desarrollar su habilidad para interpretar instrucciones, también es importante que aprendan a describir los pasos de una construcción, con la finalidad de que sean competentes para comunicar ideas matemáticas.

Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo más clara posible.


Propósito del interactivo. Explorar paso a paso la construcción de una recta paralela a otra que pase por un punto dado.

Explorar las características de las rectas paralelas.

Sugerencias didácticas. Puede ocupar el interactivo para verificar los pasos propuestos por los alumnos. Además, al mover algunos de los elementos de la construcción los alumnos pueden explorar y generalizar características de las rectas paralelas.

En la actividad III del libro del alumno el interactivo podría servir para que los alumnos exploren cuáles de las definiciones de rectas paralelas son correctas, o para mostrar contraejemplos en los que no se cumpla alguna de las características dadas.

3Propósito de la actividad. Aun cuando los alumnos han trabajado desde la primaria con las rectas paralelas, en esta actividad se espera que sean capaces de expresar, por sí mismos, lo que entienden de esa noción. Recuerde que es importante que argumenten sus respuestas y que sean capaces de expresar contrajemplos de las definiciones que consideran incorrectas.

Respuestas: Los incisos b) y c) son los correctos.

Sugerencia didáctica. Apoye a los alumnos en la elaboración de argumentos con preguntas y con ideas que les permitan identificar errores. Por ejemplo, es probable que algunos alumnos elijan el inciso d), este error puede ser resultado de identificar a los lados opuestos de los paralelogramos como rectas paralelas, por lo que se han creado la imagen de que las paralelas son del mismo tamaño; en este caso es importante comentar con ellos lo siguiente:

La rectas no tienen “medida” porque se pueden prolongar, en ambos sentidos, todo lo que deseemos.

Aun cuando los segmentos paralelos sí tienen medida, ésta no tiene por qué ser del mismo tamaño; por ejemplo, en un trapecio la pareja de lados paralelos siempre tiene medidas diferentes.

•

•

2Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos. Pida que comparen esta definición con la que ellos escribieron en el inciso c) del Consideremos lo siguiente, y que agreguen o corrijan a su definición lo que crean necesario.

72

secuencia 5La siguiente figura muestra un procedimiento completo con el que, usando regla y com-pás, se trazó una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta negra.

Analicen la figura y

a) Reprodúzcanla en su cuaderno.

b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

iii. Subrayen las dos definiciones correctas de rectas paralelas. En cuanto a las incorrec-tas, busquen un ejemplo para mostrar por qué lo son.

a) Son rectas horizontales.

b) Son rectas que siempre conservan la misma distancia entre sí.

c) Son rectas que no se cortan.

d) Son rectas que tienen la misma medida.

A lo que llegamos

Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas.

Si una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: m II n.

P

Oc

P'

O' c'


Sugerencia didáctica. La solución de este problema requiere saber un hecho importante: dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. La forma en que se construyen paralelas con doblado de papel se basa en ese conocimiento. Si nota que los alumnos tienen dificultades, invítelos a que analicen la secuencia de doblado de papel que hicieron al inicio de esta sesión. También puede ayudarlos pidiendo que observen los bordes de la hoja de su libro, que vean que los lados opuestos son paralelos y los contiguos son perpendiculares, y que pueden aprovechar esta perpendicularidad para obtener paralelas (el transportador sirve para trazar los ángulos de 90º ).

Sugerencia didáctica. Al igual que en el problema inicial, en éste ya se establece un punto por donde debe pasar la recta. Dado que no se especifica qué instrumentos geométricos deben emplear, los alumnos tienen al menos tres opciones para hacer el trazo: usando dos escuadras, la regla y el transportador o la regla y el compás, siguiendo el procedimiento ilustrado en el apartado Manos a la obra.

Propósito de la sesión: Profundizar en el estudio de las rectas perpendiculares al aprender a trazarlas con regla y compás, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesión y hagan una confrontación grupal.

Materiales. Instrumentos geométricos.

73

IIMATEMÁTICAS

sesión 2

Lo que aprendimos1. Busca una manera de trazar rectas paralelas usando sólo regla y transportador. Cuan-

do lo hayas hecho comenta en grupo los diferentes procedimientos, y si en alguno no están de acuerdo argumenten sus razones (pista: analiza los dobleces que hiciste al inicio de la sesión, te ayudará a resolver este problema).

2. En cada caso, traza una recta paralela a la recta que pase por el punto M.

ReCTAs QUe se CORTAnPara empezarTambién las rectas perpendiculares pueden trazarse usando distintos recursos, como el do-blado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces que se muestran en la figura, marca las rectas perpendiculares y después pega la hoja en tu cuaderno.

M

M

Propósito de la actividad. En la primaria los alumnos iniciaron el estudio de las rectas perpendiculares también usando el doblado de papel. En esta actividad se recupera ese procedimiento como punto de partida para después arribar a un procedimiento más formal.


Posibles procedimientos. Aun cuando no se menciona el uso de instrumentos geométricos, hágales notar que trazar una recta no puede hacerse “a mano alzada”, es decir, sin ningún instrumento; es importante que al menos usen la regla. Posiblemente los alumnos relacionen las rectas perpendiculares con la igualdad de los cuatro ángulos y traten de trazarlas. Una forma de hacerlo, aunque difícil, es al “tanteo”, utilizando únicamente la regla. Otras formas de hacerlo con instrumentos geométricos, son:

Usando las dos escuadras (lo hicieron en primer grado).

Con el transportador y la regla.

Para el segundo caso (ángulos que no son todos iguales), es suficiente la utilización de la regla.

Sugerencia didáctica. Al igual que en la comparación de respuestas de la sesión 1, es importante que invite a los alumnos a dar argumentos y contraejemplos para los casos en que consideren que una definición es incorrecta. Usted puede apoyarlos enfatizando el hecho de que si los cuatro ángulos deben medir lo mismo, la medida será de 90º, es decir, deben ser cuatro ángulos rectos.

•

•

74

secuencia 5

Consideremos lo siguienteEn el primer recuadro tracen dos rectas que se corten formando cuatro ángulos iguales y en el segundo recuadro tracen dos rectas que se corten formando ángulos que no sean todos iguales.

a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos del primer recuadro?

b) Si trazaron bien las rectas del primer recuadro, se trata de dos

rectas perpendiculares. Anoten dos cosas de su alrededor que

representen rectas perpendiculares.

c) Escriban una definición para rectas perpendiculares.

d) Las rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman

oblicuas. Escriban una definición para rectas oblicuas.

Comparen las diferentes definiciones de rectas perpendiculares y rectas oblicuas con las de sus compañeros y entre todos elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qué lo es.

Manos a la obrai. En cada caso anoten si las rectas representadas son perpendiculares u oblicuas.

1 2 3

4 5 6

perpendiculares oblicuas oblicuas

perpendiculares perpendiculares oblicuas

Posibles procedimientos. Para determinar si las rectas son perpendiculares, es importante que los alumnos identifiquen si los ángulos que forman las rectas son de 90º. Para ello, es probable que recurran a procedimientos empíricos, como usar el transportador para medir los ángulos o la escuadra para ver si los ángulos son rectos; también es posible que se apoyen en deducciones lógicas; por ejemplo, en el caso número 4 pueden observar que al prolongar las rectas éstas coincidirán con los lados de un cuadrado que, como ya saben, sus ángulos son rectos.


Propósito del interactivo. Mostrar paso a paso la construcción de una recta perpendicular a otra que pase por un punto dado.

Sugerencias didácticas. El interactivo, a diferencia del impreso, muestra paso a paso los trazos realizados para obtener las rectas perpendiculares; puede mostrarlo a los alumnos y que ellos vayan escribiendo qué es lo que observan, posteriormente pueden mover los elementos que conforman la construcción para explorar que si efectivamente las indicaciones que escribieron se cumplen siempre o en qué casos no.

En la actividad III del libro del alumno el interactivo parmite a los alumnos explorar cuáles de las definiciones de rectas perpendicu-lares son correctas, también permite mostrar contraejemplos en los que no se cumple alguna de las características dadas.

Propósito de la actividad. Al igual que en el trazo de una paralela a una recta, en esta actividad se pretende que dado el punto de partida y el resultado final, los alumnos puedan reconstruir y comunicar los pasos que se siguieron para trazar una perpendicular a una recta que pase por un punto sobre ella.

Sugerencia didáctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo más clara posible.

75

IIMATEMÁTICASII. Se desea trazar una recta que pase por el punto P y que sea perpendicular a la recta

dada.

La siguiente figura muestra un procedimiento completo para hacer el trazo con regla y compás.

Analicen la figura y

a) Reprodúzcanla en su cuaderno.

b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

III. Subrayen las dos definiciones correctas para rectas perpendiculares y para rectas oblicuas, para las otras definiciones den un ejemplo de por qué las consideran in-correctas.

Rectas perpendiculares:a) Son dos rectas, una vertical y otra horizontal

b) Son rectas que se cortan formando ángulos rectos

c) Son rectas que no se cortan

d) Son rectas que al cortarse forman cuatro ángulos iguales

Rectas oblicuas:

a) Son rectas que se cortan formando ángulos iguales

b) Son rectas que se cortan formando dos ángulos agudos y dos obtusos

c) Son rectas que se cortan formando ángulos que no son rectos

d) Son rectas que no se cortan

O P O'

P

Respuestas. Las definiciones correctas para el caso de las rectas perpendiculares son los incisos b) y d); y para el caso de las oblicuas son los incisos b) y c).

Sugerencia didáctica. Insista en la importancia de que los alumnos den argumentos convincen-tes y que en lo posible den contraejemplos para aquellas definiciones que consideren incorrectas. Por ejemplo, la definición errónea de rectas perpendiculares que señala que una siempre es vertical y la otra siempre horizontal, puede ser discutida tomando como contraejemplo el caso número 5 del apartado Manos a la obra, actividad I.


Sugerencia didáctica. Los alumnos podrán resolver fácilmente este ejercicio a partir de la consideración de que las perpendiculares forman ángulos de 90º : pueden trazar una recta y luego ayudarse del transportador para trazar la otra recta en un ángulo de 90º. Pídale a algún alumno que muestren en el pizarrón la manera en que lo hizo.

Posibles procedimientos. Hay distintas formas de resolver cada uno de estos ejercicios, permita que los alumnos exploren diferentes posibilida-des. Una forma sencilla de resolverlos es trazar rectas perpendiculares, a partir de ahí se puede trazar tanto el cuadrado como el rectángulo de distintas maneras:

Para el cuadrado, trazar un círculo con centro donde se cortan las rectas, y después unir los cuatro puntos en los que la circunferencia corta a las perpendiculares, para obtener los lados del cuadrado.

También pueden trazar un lado del cuadrado de la medida elegida y en los extremos de ese segmento trazan dos segmentos perpendiculares de la misma medida, luego trazan el cuarto lado para cerrar el cuadrado. El rectángulo lo pueden hacer igual, cuidando que el primer segmento que tracen sea de medida diferente a las dos perpendiculares de los extremos.

Para cumplir con la condición de que los lados de las figuras no sean paralelos a la hoja del cuaderno, es importante que las rectas perpendiculares se tracen en una posición distinta a aquella en la que una recta es horizontal y la otra vertical.

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Puede pedirles que la copien en sus cuadernos y que ilustren ambas definiciones con representaciones diversas.

76

secuencia 5

A lo que llegamosSi dos rectas que se cortan forman ángulos de 90º, entonces se lla-man rectas perpendiculares; si se cortan formando ángulos que no son de 90º, se llaman rectas oblicuas.

Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p q.

Para indicar que un ángulo mide 90º, es decir, que es recto, se coloca en el ángulo una marca como la roja.

Lo que aprendimos1. Busquen una manera de trazar rectas perpendiculares usando sólo regla y transpor-

tador; cuando lo hayan hecho comenten en grupo los diferentes procedimientos, si en alguno no están de acuerdo argumenten sus razones.

2. Realicen los siguientes trazos en una hoja blanca, utilizando sus instrumentos geomé-tricos.

a) Un cuadrado de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

b) Un rectángulo de cualquier tamaño cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

3. En cada caso, tracen una recta perpendicular a la recta r que pase por el punto P.

P

r

r

P

Posibles procedimientos. Como no se indica qué instrumentos geométricos deben utilizar, los alumnos pueden recurrir tanto a las escuadras, la regla y el transportador, como sólo a la regla y el compás. Los trazos que se piden en este ejercicio no son sencillos, si nota que sus alumnos tienen problemas puede ayudarlos dándoles algunas pistas.


77

IIMATEMÁTICAS

ReLACiOnes enTRe ÁnGULOsPara empezarUne dos palitos o lápices con una liga, como se muestra en la foto, y manipúlalos para formar ángulos.

¿Cuántos ángulos se forman? ,

¿son todos diferentes? ,

¿hay algunos que sean iguales entre sí? .

Coloca los palitos de tal manera que todos los ángulos sean iguales. Cuando los colocas

de esta manera ¿cuánto mide cada ángulo?

Consideremos lo siguienteSin utilizar transportador, en cada pareja de rectas averigüen y anoten la medida de cada uno de los tres ángulos a, b y c.

a 60º

b c

a 90º

b c

a 115º

b c

sesión 3

Propósito de la sesión. Identificar y definir los ángulos opuestos por el vértice y los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ángulos que se forman cuando dos rectas se cortan.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan individualmente.

Materiales. Un par de lápices, una liga y el transportador que se propone en esta sesión.

Propósito de la actividad. La manipulación de lápices unidos por una liga permite a los alumnos experimentar distintas posibilidades de formación de ángulos cuando dos rectas se cortan.

Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos no usen el transportador, pues esa restricción favorece que recurran a otros conocimientos que les permitan relacionar la medida del ángulo dado y los ángulos a, b , c.

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden apoyarse tanto en su percepción visual como en sus conocimientos previos para hacer estimacio-nes y para establecer distintas relaciones entre los ángulos, por ejemplo:

Apoyándose en la percepción visual, es posible identificar que el ángulo b es igual al ángulo del que se conoce la medida; y en el caso de las perpendiculares es sencillo visualizar la igualdad de los ángulos (los alumnos aprendieron en la sesión 2 que las rectas perpendiculares forman ángulos de 90º ).

•

Pueden determinar las medidas recurriendo a alguna de las siguientes relaciones: el ángulo del que se conoce la medida forma, junto con el ángulo a (o el c), un ángulo de 180°, de la misma manera que el ángulo b y el ángulo c (o el a). A partir de ahí se puede restar a 180º la medida del ángulo conocido para obtener la del otro ángulo. La otra posibilidad es que, sabiendo que los cuatro ángulos suman 360°, y que el ángulo dado y su opuesto miden lo mismo, sumen esas dos medidas y resten esa suma a 360°, y luego dividan el resultado entre 2 para obtener el valor de los ángulos a y c (porque a y c son iguales).

En caso de que no obtengan todos los resultados correctos, en la confrontación tendrán la oportunidad de verificar sus respuestas usando un transportador.

•


2

Sugerencia didáctica. Antes de llevar a cabo la comparación grupal, puede pedir a los alumnos que primero comparen entre parejas, para que todos tengan la oportunidad de intercambiar sus respuestas y puntos de vista. En la comparación grupal, en caso de que aún haya diferencias, invítelos a que argumenten sus respuestas antes de recurrir a la medición de ángulos. Finalmente, pídales que verifiquen utilizando el transportador.

Propósito de la actividad. La elaboración de definiciones y de argumentos respecto de la validez o no de una definición, es una habilidad que se desarrolla gradualmente en los alumnos, por ello es importante que tengan la oportuni-dad de expresar sus propias ideas aun cuando éstas sean incompletas o incorrectas.

Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos quieran consultar un diccionario u otra fuente para investigar estas definiciones, invítelos a que primero traten de enunciar la definición y que después la comparen y la complementen con lo que dice el diccionario.

3Sugerencia didáctica. Es importante que invite a los alumnos a argumentar sus puntos de vista acerca de las diferentes definiciones que surjan en el grupo. Recuerde que la elaboración de argumentos es una parte fundamental del conocimiento matemático, además de que prepara a los alumnos para las demostraciones formales que tendrán que hacer en grados posteriores.

78

secuencia 5Comparen sus resultados. Sólo hasta que todos estén de acuerdo podrán utilizar el trans-portador y medir los ángulos, para verificar sus respuestas. Comenten:

a) ¿Cómo pudieron calcular la medida de los ángulos?

b) ¿Cuál es la relación entre los ángulos a y c de cada pareja de rectas?

c) ¿Cuál es la relación entre los ángulos a y b de cada pareja de rectas?

Manos a la obrai. De acuerdo con lo ilustrado contesten lo que se pide.

Los ángulos a y b son ángulos opuestos por el vértice Los ángulos c y d son ángulos adyacentes

Escriban una definición para:

Ángulos opuestos por el vértice

Ángulos adyacentes

Comparen las definiciones que escribieron para ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.

Si alguna definición les parece incorrecta traten de dar argumentos de por qué lo consi-deran así; por ejemplo, si algún equipo define a los ángulos opuestos por el vértice como ángulos que son iguales, pueden poner de ejemplo que los ángulos de un triángulo equi-látero son iguales, pero no son opuestos por el vértice.

a

b

a ba

b

a

b

d

c dc

dc

c d

Sugerencia didáctica. Si algunos alumnos definen a los ángulos opuestos por el vértice como ángulos que son iguales, usted puede precisar que realmente no están dando una definición de ángulos opuestos, sino una propiedad, pues hay ángulos que son iguales pero que no están opuestos por el vértice.


79

IIMATEMÁTICASII. Realicen lo que se indica.

360º

15º

30º

45º

60º75º90º105º

120º

135º

150º

165º

180º

345º195º

330º210º

315º225º

300º240º285º255º270º

Recorten una tira de papel de 10 cm de largo por 1

2 cm de ancho; a lo largo de ella y pasan-do por la mitad, tracen una línea recta. Dibujen un punto en el centro de la tira.

• Coloquen la tira en el transportador como se muestra en el dibujo, de tal manera que puedan girarla.

•

Giren la tira de modo que el ángulo 1 mida 30º. Ayúdense del transportador para obtener las medidas de los ángulos 2, 3 y 4. Anoten esas medidas en la tabla que se muestra adelante, en el renglón del ángulo de 30º. Repitan lo mismo con las otras medidas que se indican en la tabla para el ángulo 1.

Propósito del interactivo. Explorar las propiedades de los ángulos formados por dos rectas.

Sugerencias didácticas. En el interactivo se puede trabajar con otras medidas de los ángulos, lo cual ayudaría a mostrar contraejem-plos o para que los alumnos generalicen las características de los ángulos opuestos por el vértice y de los ángulos adyacentes. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que les permitan a los alumnos validar sus hipótesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se pueden adecuar los ejemplos de acuerdo a las necesidades de los alumnos aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos.


Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, organice una puesta en común para que los alumnos comenten sus hallazgos acerca de las relaciones entre los ángulos. Lean y comenten en grupo la información del apartado A lo que llegamos; para ello, puede apoyarse en el pizarrón para trazar ahí dos rectas que se cortan e ir señalando los ángulos opuestos por el vértice y los ángulos adyacentes que suman 180°. Enfatice en el hecho de que éstos últimos son un caso especial, pues existen ángulos adyacentes que pueden sumar más o menos de 180° (en la tabla de la actividad I del Manos a la obra hay un par de ejemplos).

Descripción del video. En el video se muestran de manera visual y dinámica las posiciones relativas de dos rectas en el plano, el trazo de rectas paralelas y perpendiculares y las relaciones que hay entre los ángulos cuando las dos rectas se cortan. Este video se puede utilizar al final de la secuencia para reafirmar lo visto a lo largo de ésta.

80

secuencia 5

a) ¿Qué relación encuentran entre las medidas de los ángulos 1 y 3?

b) ¿Y entre las medidas de los ángulos 2 y 4?

c) ¿Entre las medidas de los ángulos 1 y 2?

d) ¿Y entre las medidas de los ángulos 3 y 4?

e) Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que sus respuestas coincidan con las relaciones que acaban de encontrar.

A lo que llegamosCuando dos rectas se cortan se forman cuatro ángulos.

Los ángulos a y c son opuestos por el vértice, observa que tienen el mismo vértice y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos a y b suman 180º y, además, son ángulos adyacen-tes, observen que tienen en común el vértice y un lado.

Parejas de rectas

Ahora sabes que dos rectas pueden cortarse o no cortarse. Si se cortan pueden formar ángulos rectos o ángulos no rectos.

Ángulo 1 Ángulo 2 Ángulo 3 Ángulo 4

30º

45º

75º

90º

130º

145º

bac

d

150° 30° 150°

135° 45° 135°

105° 75° 105°

90° 90° 90°

50° 130° 50°

35° 145° 35°

Son iguales

Son iguales

Suman 180°

Suman 180°


81

IIMATEMÁTICAS

Lo que aprendimos1. Plantea una ecuación y encuentra el valor de los cuatro ángulos de la siguiente figura.

2. Si la suma de las medidas de dos ángulos adyacentes es 180°, y uno de ellos mide el

doble del otro, ¿cuánto mide cada uno?

3. Anota las medidas de los otros tres ángulos que forman las diagonales.

Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Peña, José Antonio. “Rectas y puntos”, en Geometría y el mundo. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.

Sobre las ilusiones ópticas que se refieren a objetos geométricos, en particular a lí-neas paralelas consulta:http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.phphttp://perso.wanadoo.es/e/ochum/ilu02.htm[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

x

x + 20°

50°

Incorporar al portafolios. Para los problemas 1 y 2, el propósito es que los alumnos integren sus conocimientos algebraicos y los geométricos para resolver una situación determinada, y para el problema 3, que acudan a las relaciones ya estudiadas entre dos rectas que se cortan y los ángulos que se forman. Por ello es importante que los alumnos no utilicen el transportador para resolver y, en lo posible, tampoco para verificar, pues tienen otros elementos que les permiten revisar sus respuestas y elaborar argumentos para validarlas.

Respuesta: La ecuación que se debe plantear es: x + x + 20 = 180. Al despejar x se tiene el valor de uno de los ángulos y, sumando 20 a ese valor, se obtiene la medida del otro ángulo.

Respuesta. Este problema puede resolverse haciendo estimaciones y probando con distintas medidas hasta obtener la correcta, o bien, planteando la siguiente ecuación: x + 2x = 180. Deben constatar que efectivamente uno de los ángulos mida el doble del otro.

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver estableciendo las siguientes relaciones:

La medida del ángulo opuesto al de 50° es también de 50°, por ser opuestos por el vértice.

El ángulo adyacente al de 50° se obtiene restando 180° menos 50°; la medida de ese ángulo es de 130°.

•

•


Propósito del programa integrador. Mostrar los tipos de ángulos que se generan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Propósito de la sesión. Identificar la igualdad de los ángulos correspondientes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Organización de grupo. Se recomienda que los alumnos trabajen en parejas y que se organicen momentos para el intercambio grupal.

Materiales. Una hoja delgada de papel y tijeras.

Propósito de la actividad. Introducir el término “secante” o “transversal”, el cual habrá de utilizarse a lo largo de la secuencia.

Sugerencia didáctica. En varias actividades de esta sesión se presentan a los alumnos paralelas cortadas por una secante en distintas posiciones, es decir: paralelas horizontales, paralelas verticales y en diagonal, para que los alumnos no fijen la noción de rectas paralelas a una sola representa-ción. Si lo considera conveniente, puede trazar en el pizarrón varios sistemas de dos paralelas y una transversal para que los alumnos identifiquen tanto las paralelas como la transversal.

Posibles procedimientos. Para resolver este problema los alumnos cuentan con algunos antecedentes: saben que dos ángulos opuestos por el vértice son iguales y que cuando dos rectas se cortan los ángulos adyacentes suman 180º, esto hará que sea relativamente sencillo calcular el valor de los tres ángulos que están junto con el ángulo de 135º. Después se enfrentarán a la dificultad de encontrar el valor de los otros cuatro ángulos, pues hasta ahora no se ha estudiado la relación entre éstos y los ángulos que ya determinaron. Apoyándose en la percepción visual, los alumnos podrían identificar que los dos conjuntos de ángulos son iguales. Otro procedimiento es el de calcar algunos ángulos y sobreponerlos en otros para determinar si son iguales.

82

secuencia 6

En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ángulos, y por otro rectas paralelas, ahora seguirás explorando ambos temas: ángu-los entre paralelas. También trabajarás con los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTESPara empezarConsidera las siguientes rectas paralelas, r1 y r2. Recuerda que esto se escribe: r1 II r2

Observa que la recta t corta a las dos rectas paralelas. Esta recta recibe el nombre de transversal o secante.

Consideremos lo siguienteSin medir, encuentren y anoten el valor de cada uno de los ángulos marcados con rojo.

Comparen sus resultados con los del resto del grupo, y si hay resultados diferentes argumenten sus respuestas para convencer a sus compañeros.

SESIóN 1

Ángulos entre paralelas

t

r2

r1

r2r1

135°

r1 II r2



Antecedentes

En la secuencia 4 los alumnos aprendieron diferentes definiciones de ángulos y elaboraron deducciones sencillas para calcular la medida de un ángulo. En la secuencia 5, establecieron relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y aprendieron a reconocer ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes. En esta secuencia los alumnos trabajarán con los ángulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una secante: aprenderán a establecer relaciones de igualdad entre ellos, a justificar esa igualdad mediante la elaboración de argumentos y a nombrar los tipos de ángulos que resultan.

Propósitos de la secuencia Establecer las relaciones de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas

cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de triángulos y paralelogramos.


1

Ángulos correspondientes Identificar la igualdad de los ángulos correspondien-tes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Aula de medios Interactivo

Prog

ram

a in

tegr

ador

4

2

Ángulos alternos internos Identificar la igualdad de los ángulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Aula de medios

3

Los ángulos en los paralelogramos y en el triángulo Explorar las relaciones entre los ángulos interiores de un triángulo y los ángulos interiores de un paralelogramo.

Aula de medios Video

“Relaciones importantes” Interactivo

135º

45º135º

135º45º

45º45º


83

IIMATEMÁTICAS

Manos a la obraI. Realicen la siguiente actividad.

1. Tracen en una hoja blanca de papel delgado (de pre-ferencia transparente) dos rectas paralelas y una transversal, y numeren los ángulos de la siguiente manera:

2. Marquen una línea punteada como la que se muestra en el dibujo:

12

3 4

56

7 8

12

3 4

56

7 8

3. Corten la hoja por la línea punteada. 4. Coloquen una parte de la hoja encima de la otra de tal manera que el ángulo 1 coincida exactamente con el ángulo 5.

Ahora tienen el ángulo 5 sobre el ángulo 1.

Los ángulos 1 y 5 se llaman ángulos correspondientes.

a) ¿Cuál es el ángulo correspondiente del 2? , ¿y del 3? ¿ y del 4?

b) ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos correspondientes?

c) Verifiquen, midiendo, que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal los ángulos correspondientes son iguales.

Propósito del interactivo. Explorar las características de los ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal.

Sugerencias didácticas. Al mover las rectas paralelas o la transversal se representan una infinidad de rectas paralelas y transversales, lo cual permite mostrar a los alumnos que los ángulos correspondientes son iguales no sólo para el caso que ellos trazaron. Además se pueden girar las rectas, para que los alumnos observen y comprueben que las características de los ángulos se mantienen independientemen-te de la posición de las rectas, siempre y cuando éstas sigan siendo paralelas.

Las relaciones entre los ángulos se pueden explorar de dos maneras con el interactivo, una es moviendo los ángulos, para superponerlos, y otra es midiéndolos con el transportador. Al mover los ángulos, ya sea sobre la misma paralela o hacia la otra, los alumnos pueden explorar cuáles ángulos miden lo mismo, con la finalidad de que puedan generalizar las relaciones existentes entre los ángulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una transversal.

Propósito de la actividad. Que los alumnos comprueben, mediante la superposición de figuras, que los ángulos correspondientes son iguales. Asegúrese de que los alumnos efectivamente lleven a cabo esta actividad.

6 7 8

iguales


Sugerencia didáctica. Es importante que recuerde a sus alumnos que el símbolo se refiere a la medida del ángulo, mientras que el símbolo se refiere al ángulo. Así, a, se lee “ángulo a”, mientras que a, se lee “la medida del ángulo a”. Organice un momento breve de comparación de respuestas. Invite a los alumnos a que argumenten sus afirmaciones.

Respuestas. Deben subrayarse las afirmaciones a, c y d.

Propósito de la actividad. El desarrollo de un pensamiento deductivo es uno de los propósitos de las matemáticas, por ello, con esta actividad se propicia la elaboración de razonamientos deductivos sencillos a partir de casos particulares.

3Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no tengan la necesidad de demostrar algo que les resulta obvio, y por ello mismo tengan dificultades para elaborar argumentos. En caso de que lo considere necesario, ayúdelos a completar las afirmaciones.

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que sus alumnos revisen las respuestas que dieron al problema inicial.

Propósito de la actividad. Que los alumnos consideren que incluso rectas que no son paralelas, cuando son cortadas por una secante también forman ángulos correspondientes, pero en tal caso, esos ángulos no son iguales.

Recuerde que. Dos rectas que son cortadas por una transversal son paralelas si –y sólo si– forman ángulos correspondientes iguales.

84

secuencia 6ii. Subrayen las afirmaciones verdaderas.

a) 2 = 6 porque son ángulos correspondientes.

b) 1 = 5 porque son ángulos opuestos por el vértice.

c) 5 = 7 porque son ángulos opuestos por el vértice.

d) 5 + 6 = 180º porque son ángulos adyacentes que se forman

cuando dos rectas se cortan.

iii. Completen el razonamiento para encontrar f considerando que a = 50º y que se trata de dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

iV. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente, identifiquen los ángulos correspondientes y verifiquen que sus respuestas hayan sido correctas.

V. Consideren ahora dos rectas que no son paralelas y que son cortadas por una transversal.

a) En este caso también se dice que el ángulo 1 es correspondiente del ángulo 5,

y el 2 del 6, ¿cuál es el correspondiente del 3? ,

¿y del 4?

b) Comparen las medidas de los ángulos correspondientes cuando las rectas no son paralelas.

a = e porque

Entonces, el ∠ e mide

e + f = 180º porque

Por lo tanto, f =

gea

fb

c

hd

123 4

567 8

Recuerden que:

a se lee “ángulo a”

a se lee ”la medida del ángulo a”

son correspondientes

50º

son adyacentes que se forman

cuando dos rectas se cortan

130º


Sugerencia didáctica. Lea junto con los alumnos esta información, y coméntela. Usted puede pedirles que comparen lo que aquí se afirma con los casos que ellos resolvieron en las actividades III y V.

Incorporar al portafolios. Antes de que los alumnos resuelvan, asigne al primero y al segundo caso una letra a cada uno de los ángulos, para que posteriormente puedan comparar sus resultados. Si identifica que en esos dos casos los alumnos tienen dificultades para determinar las medidas, repase con ellos la identificación de ángulos adyacentes, de ángulos opuestos por el vértice (apartado A lo que llegamos de la sesión 3, secuencia 5), y de ángulos correspondiente (A lo que llegamos de esta sesión).

En el tercer caso se pretende vincular este tema de geometría con el tema de ecuaciones; la ecuación que debe plantearse es x + 3x = 180º, al despejar x se obtiene x = 45º, por lo que un ángulo mide 45º y el otro 135º.

También es probable que algunos alumnos lo resuelvan por ensayo y error: si logran identificar que un ángulo es el triple del otro (3x) y ambos suman 180º, pueden empezar a buscar parejas de números que cumplan esa relación. Este procedimiento también es válido.

Propósito de la sesión. Identificar la igualdad de los ángulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan la sesión organizados en parejas.85

IIMATEMÁTICAS

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos corres-pondientes iguales.

El 1 es correspondiente al 2 , por lo tanto 1 = 2.

Si dos rectas que no son paralelas son cortadas por una transversal los ángulos corres-pondientes tienen diferente medida.

SESIóN 2

A lo que llegamos

Lo que aprendimosEncuentra el valor de los ángulos que faltan en cada caso.

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOSPara empezarCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ocho ángulos.

1

2

103°

80°

3xx

Observa que los ángulos 2, 3, 6 y 7 están dentro de las paralelas.

Estos ángulos se llaman internos.

¿Qué ángulos quedan fuera de las paralelas?

¿Cómo crees que se llaman estos ángulos?

1 2 3 4

5 6 7 8

Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen a los ángulos que están dentro de las paralelas como “internos”, y a los que están fuera como “externos”. Si algunos nombran a estos últimos “exteriores”, puede decirles que aunque su respuesta es correcta, se acostumbra llamarlos “externos”.

1, 4, 5, 8

externos


2Sugerencia didáctica. El antecedente directo de esta actividad es la actividad III de la sesión anterior, en la que completaron un razonamiento para determinar la medida de un ángulo. En este caso ya no se les ofrecen afirmaciones para que las completen, sino que ellos tendrán que escribir, con sus propias palabras, el razonamien-to deductivo que establece la igualdad entre los ángulos a y h. Para ello es importante que usted enfatice la indicación de que deben convencer a alguien respecto de la igualdad de los ángulos que se proponen.

Posibles dificultades. Aun cuando los alumnos podrían disponer de las distintas formas de resolver apoyándose en las relaciones entre ángulos que han estudiado (opuestos por el vértice, adyacentes suplementarios y correspon-dientes), podrían tener dificultades como las siguientes:

a) No recordar las relaciones que se han estudiado, o recordar algunas de ellas sin poder hacer todos los vínculos necesarios para resolver este caso.

b) No poder elaborar una secuencia lógica de razonamientos, esto es, formular afirmaciones que no se deducen de otras. Por ejemplo: “Los ángulos a y f son iguales porque son opuestos por el vértice, y los ángulos c y h también son iguales porque son opuestos por el vértice, entonces el ángulo a es igual al ángulo h”.

c) Establecer un razonamiento correcto pero no poder expresarlo por escrito.

Usted puede sugerirles que revisen la actividad III de la sesión anterior y, principalmente, que platiquen primero en cada pareja sus ideas, y cuando uno de ellos logre convencer al otro, entonces que traten de redactar esas ideas.

86

secuencia 6

Consideremos lo siguienteSin medir los ángulos, ¿cómo podrían convencer a alguien de que a = h? Anoten sus argumentos.

Comparen sus argumentos con los del resto del grupo, observen que hay diferentes maneras de llegar al mismo resultado.

Manos a la obrai. Lean la siguiente información:

a) Si dos ángulos están de diferente lado de la transversal, en diferente paralela y dentro de las paralelas, se llaman alternos internos.Por ejemplo, los ángulos 2 y 7 son alternos internos.

Hay otra pareja de ángulos alternos internos, ¿cuál es?

b) Si dos ángulos están de diferente lado de la transversal, en diferente paralela y fuera de las paralelas, se llaman alternos externos.Por ejemplo, los angulos 1 y 8 son alternos externos.

Hay otra pareja de ángulos alternos externos, ¿cuál es?

c) En la figura del apartado Consideremos lo siguiente identifiquen ángulos alternos internos o alternos externos y verifiquen que miden lo mismo.

ii. Con respecto a la figura del apartado Consideremos lo siguiente subrayen las afirmaciones que son verdaderas.

a) c = f porque son ángulos alternos internos.

b) a = c porque son ángulos correspondientes.

c) e = d porque son ángulos alternos externos.

d) a = h porque son ángulos opuestos por el vértice.

gea

fb c

hd

1 2 3 4

5 6 7 8

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos efectivamente hagan esta actividad, pues por un lado les ayudará a precisar las nociones de ángulos alternos internos y alternos externos, y por el otro, podrán constatar las relaciones de igualdad que aquí se establecen. Esta actividad no requiere de mucho tiempo, pues ellos ya obtuvieron las medidas de esos ángulos, sólo tienen que compararlas.

Sugerencia didáctica. Dado que hay distintas formas de argumentar correctamente la igualdad de esos ángulos, es conveniente que usted prepare diferentes razonamientos que puedan enriquecer los que surjan en el grupo. Un razonamiento posible es:

Los ángulos a y f son iguales por ser opuestos por el vértice.

Los ángulos f y h son iguales por ser correspondientes.

Si el ángulo a es igual al ángulo f, y si el ángulo f es igual al ángulo h, entonces los ángulos a y h también son iguales entre sí.

•

•

•

6 y 3

5 y 4

Respuestas. Incisos a, b y c.


Respuesta. Siguiendo el razonamiento anterior: los ángulos a y e son iguales por ser correspon-dientes; los ángulos e y h son iguales por ser opuestos por el vértice, entonces los ángulos a y h son iguales.

Sugerencia didáctica. Los alumnos pueden elegir los ángulos a y h o los ángulos b y f para hacer esta actividad, pero conviene que lo hagan con a y h porque pueden usar después su escrito para verificar lo que respondieron en el problema inicial, como se pide en la siguiente actividad.

Sugerencia didáctica. Es importante que usted formalice que los ángulos a y h son alternos externos y que por lo tanto son iguales. Puede pedir que identifiquen la otra pareja de ángulos alternos externos y, si consideran que también son iguales, pídales que den sus argumentos.

También pueden regresar a la actividad II del Manos a la obra y corregir sus respuestas, en caso necesario.

87

IIMATEMÁTICASIII. En la siguiente figura, los ángulos d y g son alternos internos entre dos paralelas cor

tadas por una transversal. Completen el razonamiento para justificar que los ángulos alternos internos siempre son iguales.

d = f porque

f = g porque

Entonces, como los dos ángulos, el ∠ d y el ∠ g son iguales

al ∠ f, podemos decir que

IV. Escriban en su cuaderno un razonamiento parecido para justificar que dos ángulos alternos externos son iguales.

V. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y revisen los argumentos que dieron para justificar la igualdad de los ángulos a y h.

A lo que llegamosCuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal se forman ángulos alternos internos y alternos externos que miden lo mismo.

El ∠ 1 es alterno externo del ∠ 7 , por lo tanto 1 = 7.

El ∠ 4 es alterno interno del ∠ 6 , por lo tanto 4 = 6.

g

ea

fb ch

d

12

3 4

567 8


son opuestos por el vértice

los ángulos d y g son iguales


Respuesta. Cuando las rectas que son cortadas por una secante no son paralelas, también se pueden identificar ángulos alternos internos y alternos externos, pero no hay ninguna relación de igualdad entre sus medidas.

Propósito de la sesión. Explorar las relaciones entre los ángulos interiores de un triángulo y los ángulos interiores de un paralelogramo.

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente.

Propósito de la actividad. Que exploren las relaciones entre los ángulos interiores de paralelogramos. En esta actividad lo harán de manera intuitiva, para un caso particular, y en la siguiente actividad aplicarán sus conocimientos sobre paralelas para el caso general.

Propósitos del interactivo. Explorar las relaciones entre los ángulos interiores del paralelogramo.

Sugerencias didácticas. Usando el transporta-dor, los alumnos pueden tomar las medidas de los ángulos opuestos o de los adyacentes, y modificar el paralelogramo. Esto les permitirá explorar varios paralelogramos y generalizar sus características.

Puede ocupar el interactivo al final de la actividad para que los alumnos comprueben las conjeturas a las que llegaron. En caso de que éstas se limiten sólo a algunos casos, moviendo uno de los vértices se modificará el paralelogra-mo y usted podrá, mostrar contraejemplos que permitan a los alumnos acotar cada vez más sus respuestas. 88

secuencia 6

Lo que aprendimos1. Investiguen si hay o no alguna relación entre los ángulos alternos internos y alternos

externos cuando las dos rectas que corta la transversal no son paralelas.

LOS ÁNGULOS EN LOS PARALELOGRAMOS Y EN EL TRIÁNGULOPara empezarLas relaciones entre las parejas de ángulos que se forman cuando dos rectas son cortadas por una transversal se usan para seguir explorando y descubriendo otras propiedades de las figuras.

Lo que aprendimos1. Considera la figura de la derecha y anota las medidas que faltan.

1 = 5 =

2 = 6 =

3 = ∠ 7 =

4 = 45° 8 =

2. Considera los siguientes paralelogramos.

a) En el romboide se ha marcado una pareja de ángulos opuestos. Cada cuadrilátero tiene dos parejas de ángulos opuestos. Identifica y marca, con diferente color, cada pareja de ángulos opuestos en cada paralelogramo.

SESIóN 3

1 2 3 45 6 7 8

135º 45º

45º 135º

135º 45º

135º


89

IIMATEMÁTICASb) Subraya la afirmación verdadera

Los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen diferente medida.

Los ángulos opuestos de un paralelogramo miden lo mismo.

Los ángulos opuestos de un paralelogramo suman 180º.

3. Ahora, en el romboide se ha marcado una pareja de ángulos consecutivos.

a) Marca en los otros paralelogramos una pareja de ángulos consecutivos.

b) ¿Cuál es la relación entre las medidas de los ángulos consecutivos de un paralelo

gramo?

4. Considera las rectas paralelas que resultan de prolongar los lados del paralelogramo.

a) Completa el siguiente razonamiento para demostrar que el ángulo 1 es igual al ángulo 3.

1 = 5 porque

3 = 5 porque

Si ambos ángulos, el ∠ 1 y el ∠ 3, son iguales al ∠ 5, entonces: =

b) Escribe en tu cuaderno un razonamiento para demostrar que el ángulo 2 es igual al ángulo 4.

•

•

•

r1 II r2

t1 II t2

12

3 4

ea

bc d

r25

t1

r1

t2

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos identifiquen la igualdad de los ángulos opuestos de un paralelogramo.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, invite a los alumnos a que midan con el transportador (se trata de una validación empírica), o que recuerden algunas de las características que ya conocen de estas figuras; por ejemplo, en el caso del rectángulo y el cuadrado saben que todos sus ángulos son rectos, por lo tanto los ángulos opuestos son iguales. Invítelos también a que traten de identificar qué relación hay entre los lados de los paralelogramos con la cuadrícula en la que están dibujados.

Respuesta. Sólo la segunda afirmación es verdadera.

Posibles dificultades. Es muy probable que los alumnos anoten relaciones falsas o que sólo se aplican para algunos paralelogramos. Por ejemplo, si dicen que los ángulos consecutivos son iguales, esto es válido para el cuadrado y el rectángulo, pero no para el rombo y el romboide. O bien, podrían afirmar que los ángulos consecu-tivos son uno agudo y el otro obtuso, pero el cuadrado y el rectángulo son un contraejemplo. Es importante que los invite a argumentar cualquiera de las relaciones que establezcan.

Posibles dificultades. Para los ángulos 1 y 5 se consideran las paralelas r 1 y r 2 con la transversal t 2, por lo tanto son correspondien-tes. Para los ángulos 3 y 5 se consideran las paralelas t 1 y t 2 con la transversal r 2, por lo que son alternos internos. Es posible que algunos alumnos tengan dificultades para identificar qué paralelas con qué transversal están en juego. Si lo considera necesario, resuelva esta actividad con todo el grupo.

Sugerencia didáctica. Puede orientarlos diciéndoles que elaboren un razonamiento similar al anterior.


son alternos internos

1 3


Sugerencia didáctica. En la confrontación de resultados es importante que formalice dos propiedades de los paralelogramos:

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

Los ángulos consecutivos de un paralelogra-mo suman 180º.

Esto lo trabajaron con casos particulares en los ejercicios 2 y 3, y en los ejercicios 4 y 5 trabajaron el caso general con pequeñas demostraciones.

Propósito del interactivo. Mostrar otra forma de comprobar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

Sugerencias didácticas. Usando el transporta-dor los alumnos pueden obtener las medidas de los ángulos interiores del triángulo, después modificarlo y verificar que para cualquier triángulo la suma de sus ángulos interiores es siempre 180°. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que le permitan a los estudiantes validar sus hipótesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qué casos son ciertas y en qué casos no. Se pueden modificar los ejemplos para aumentar o disminuir el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos.

Propósito de la actividad. Las demostraciones no son sencillas para los alumnos y muchas veces no comprenden por qué tienen que demostrar, para un caso general, algo que ya saben. En la secuencia 4 los alumnos exploraron empíricamente la propiedad de que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º. En este ejercicio se pretende que lo hagan para qualquier triángulo.

•

•

90

secuencia 65. Responde a las preguntas, se refieren a la figura anterior.

a) Considera la transversal t 1 y las rectas paralelas r 1 y r 2, ¿cuánto suman las medi

das de los ángulos 2 y 3?

b) Justifica tu respuesta

6. Revisa tus conjeturas de los ejercicios 2 y 3 y verifica si corresponden a los resultados hallados en los ejercicios 4 y 5.

7. En la secuencia 4 exploraste la relación de los ángulos interiores de un triángulo,

¿cuánto suman los tres ángulos interiores de un triángulo?

8. Se tiene un romboide cualquiera y se traza una de sus diagonales, observa que se forman dos triángulos. Completa el siguiente razonamiento para justificar que la suma de los ángulos interiores del triángulo aBc es 180º.

d + b+ e = 180º porque forman un ángulo de 180º.

d = a porque

e = c porque

Si sustituimos d y e por sus iguales, que son a y c , entonces la suma queda

+ + = 180º

e

a

b

c

d

B

a c

180°

2 + a = 180º por ser adyacentes que se forman al cortarse dos rectas.

a = 3 por ser alternos internos.

Sustituyendo a por 3 en la suma anterior (porque son iguales)

2 + 3 = 180º



a b c


91

IIMATEMÁTICAS9. ¿Cuánto mide el ángulo formado por la escalera y la pared?

Relaciones importantes

Las relaciones de los ángulos entre paralelas y la de los triángulos y paralelogramos te permiten resolver múltiples problemas.

A lo que llegamosLos ángulos interiores de un triángulo siempre suman 180º.En un paralelogramo:

Los ángulos opuestos son iguales.

Los ángulos consecutivos suman 180º.Los cuatro ángulos interiores suman 360º.

Para saber másSobre animaciones que representan la suma de los ángulos interiores de un triángu-lo consulta:http://www.geometriadinamica.cl/default.asp?dir=guias&subRuta: Triángulos, prismas y pirámides Ángulos en el triángulo[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

Resuelve el problema 2.1 de la página de internet de Educabri Clase 5: http://www.oma.org.ar/omanet/educabri/00-05.htm [Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

50º

Respuesta. Mide 40º (los tres ángulos suman 180º, la pared y el piso forman un ángulo de 90º y el otro ángulo es de 50º ).

Descripción del video. El video muestra de manera dinámica las relaciones que hay entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas. Se destacan algunas de éstas figuras como el triángulo y los paralelogramos. Los recursos de traslación, rotación y reflexión de ángulos, para sobreponer un ángulo sobre otro, son utilizados para mostrar la congruencia que existe entre los ángulos formados. El video se puede utilizar al finalizar la secuencia como apoyo para formalizar los conceptos que se utilizaron.

Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos esta información y pídales que verifiquen, en uno de los paralelogramos anteriores, la tercera afirmación. Posteriormente pueden copiarla en su cuaderno.

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