TRIGONOMETRÍATRIGONOMETRÍA

(Segunda parte)(Segunda parte)

Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

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INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.

En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.

El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito.

Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes.

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

1.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA

Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOSY DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS

2.2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.R.T. DEL ÁNGULO DOBLE.

3.3. R.T. DEL ÁNGULO MITADR.T. DEL ÁNGULO MITAD

4.4. TEOREMA DEL SENOTEOREMA DEL SENO

5.5. TEOREMA DEL COSENOTEOREMA DEL COSENO

6.6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE

HERONHERON

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SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

A

O X

Y

N

M

P

B

Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b.

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.

O B

BPsen

O B

s e nc o sO Bc o ss e nO B

O B

s e nO Ac o sA B

sencoscossensen

Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.

O B

A NA M

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COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

A

O X

Y

N

M

P

B

Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB.

Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.

O B

BMO N

O B

NPO N

O B

O Pcos

O B

s e ns e nO Bc o sc o sO B

O B

s e nA Bc o sO A

sensencoscoscos

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COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS(otra forma de deducir la fórmula)

cos

sensencoscos

2

sen

2

sen

2

sen

sen2

coscos2

sen

sensencoscos

sensencoscoscos

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TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS

tg

sensencoscos

sencoscossen

coscossensen

coscoscoscos

coscossencos

coscoscossen

tgtg1

tgtg

sencoscossensen

sensencoscoscos

tgtg1

tgtgtg

Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb

Simplifi-cando

cos

sen

8

R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS(nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen sen sencoscossen

1

sencoscossen

sencoscossen

cos cos sensencoscos

sensencoscos

sensencoscos

tg

tgtg1

tgtg

tgtg1

tgtg tg

tgtg1

tgtg

9

R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

sen

cos

tg

sen sencoscossen

cos sensencoscos

tg

tgtg1

tgtg

sencoscossen

sensencoscos

tgtg1

tgtg

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R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

sen

cos

tg

2s e n sencoscossen

sensencoscos

tgtg1

tgtg

c o ss e n2

2c o s 22 sencos

2t g

2tg1

tg2

2s e n c o ss e n2

2c o s 22 sencos

2t g

2tg1

tg2

11

R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)

2c o s 22 sencos

t g

22 sensen1 2sen21

2sen2 2cos1

2sen2

2cos1 2

2cos1 s e n

2c o s 22 sencos 22 cos1cos 1cos2 2

2cos2 2cos1

2cos2

2cos1 2

2cos1 c o s

2cos1

2cos12

cos1

2sen

2

cos1

2cos

cos1

cos1

2tg

1.1. Teorema del senoTeorema del seno

2.2. Teorema del cosenoTeorema del coseno

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TEOREMA DEL SENO

Los lados de un triángulo son proporcionales a

los senos de los

ángulos opuestos. Cs e n

c

Bs e n

b

As e n

a

El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos.

Consideremos un triángulo ABC.

BsenahAsenbh

C

C Bs e naAs e nb

Bs e n

b

As e n

a

Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:

BsenchCsenbh

A

A Bs e ncCs e nb Cs e n

c

Bs e n

b

hC

hA

C

BA

ab

c H

Trazamos la altura correspondiente al vértice C.

Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:

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Medida de los ángulos en una circunferencia

Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente

A

B

C

180º-

180º-

360º-(180º-180º-360º - 360º +

15

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales

180º

90º

Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Medida de los ángulos en una circunferencia

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Consecuencia del TEOREMA DEL SENO

La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

R2Cs e n

c

Bs e n

b

As e n

a

Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

As e n

a

Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego:

A

a

C

B

A’

R21

R2

º9 0s e n

R2

'As e n

a

Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto).

R2'As e n

a

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Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo

hC

C

BA

ab

c H

La superficie del triángulo ABC es:chc

2

1S

En el triángulo AHC :

b

hAsen C Asenbh C

Sustituyendo en la primera expresión:

As e nbc2

1S

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Consecuencia del TEOREMA DEL SENOÁrea de un triángulo

Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R.

La superficie del triángulo ABC es:

Por el Teorema del seno :

Sustituyendo en la primera expresión:

As e nbc2

1S

C

BA

ab

c

R

R2As e n

aR2

aAs e n

R2

abc

2

1S

R4

cbaS

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TEOREMA DEL COSENO

h

C

BA

ab

c Hm c-m

222 mcha

Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:

222 mcm2ch

2222 mcm2cmb

(en AHC)

2222 mcm2cmb

cm2cb 22

(Como en AHC m = b . cos A) Acoscb2cba 222

Bcosca2cab 222

Ccosba2bac 222

Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente

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A

C

cB

ba

C

B A

ba

c

222 cba

222 cba

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOClasificación de triángulos

En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: Acoscb2cba 222

Si A < 90º cos A >0

222 cba Si A = 90º cos A = 0

Si A > 90º cos A < 0

ab

c BA

C

( Teorema de Pitágoras )

21

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón

Por el Tª del coseno

La superficie del triángulo ABC es: As e nbc2

1S

As e nbcS2

AsenbcS4 2222 Acos1bc 222

Acosbcbc 22222

cb2

acbAcos

222

22

22222222

cb4

acbbcbc

4

acbbc4222222

4

acbbc2acbbc2 222222

4

cbaacb 2222

hC

C

BA

ab

c H

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CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENOÁrea de un triángulo. Fórmula de Herón

Si a+b+c=2p

La superficie del triángulo ABC es: As e nbc2

1S

As e nbcS2 AsenbcS4 2222

4

cbacbaacbacb

...

b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....

4

bp2cp2ap2p2

bpcpapp4

2S bpcpapp cpbpappS

(p será el semiperímetro)

FÓRMULA FÓRMULA DE HERÓNDE HERÓNFÓRMULA FÓRMULA DE HERÓNDE HERÓN

hC

C

BA

ab

c H

4

cbaacb 2222

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Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.

Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.

La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente.

Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,...

La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes.

La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

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PÁGINAS WEB

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htmhttp://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyejhttp://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htmhttp://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTMhttp://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htmhttp://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htmhttp://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.htmlhttp://descartes.cnice.mecd.es/

http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm

http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm