FUNCIONES (1º Bachillerato) Mª Jesús Arruego Bagüés.

FUNCIONESFUNCIONES

(1º Bachillerato)(1º Bachillerato)

Mª Jesús Arruego Bagüés

2

• FUNCIONES DADAS POR UNA GRÁFICA

• FUNCIONES DEFINIDAS POR TABLAS

• EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN

• DEFINICIÓN Y OPERACIONES CON FUNCIONES

• COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. FUNCIÓN

INVERSA

• FUNCIONES LINEALES, AFINES, CUADRÁTICAS.

• ESTUDIO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONESFUNCIONESPara que funcione el enlace a WINFUN27 pon la carpeta en el disco C.

Instala las fuentes Arial Unicode MS y Symbol

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3

Ejes cartesianos y coordenadas Ejes cartesianos y coordenadas de un puntode un punto

Ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares que dividen al plano en cuatro cuadrantes

X

Y

O

El eje horizontal de llama eje OX o eje de abscisas

y el eje vertical se llama eje OY o eje de ordenadas

El punto O donde se cortan los dos ejes es el origen de coordenadas

I CuadranteII Cuadrante

III Cte IV Cte

P(x,y)

x

y

Cada punto P del plano tiene un par de coordenadas (x,y) que lo definen

GEOGEBRA

4

Definiciones básicasDefiniciones básicas

Una función liga dos variables a las que, habitualmente, de las llama x e y

x es la variable independiente

y es la variable dependiente

La función se denota por y=f(x)

A cada valor de x le corresponde un único valor de y

Esta grafica no representa una función. A determinadas x les

corresponde más de una y

X

Y

O

(x,y)

x

y

X

Y

Ox

y

5

Definiciones básicasDefiniciones básicas

Una función liga dos variables a las que, habitualmente, se las llama x e y

x es la variable independiente

y es la variable dependiente

La función se denota por y=f(x)

A cada valor de x le corresponde un único valor de y

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Sea D un subconjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a D, uno y sólo un número real y que pertenece a IR y que indicaremos y = f (x).


Sea D un subconjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a D, uno y sólo un número real y que pertenece a IR y que indicaremos y = f (x).

f : D IR

x y

Diremos que D es el dominio de definición de la función f(x)Diremos que D es el dominio de definición de la función f(x)

6

Definiciones Definiciones básicasbásicas


Sea D un subconjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a D uno y sólo un número real y que pertenece a IR que indicaremos y = f (x).


Sea D un subconjunto de números reales, una función f de una variable es una correspondencia que asocia a cada número x que pertenece a D uno y sólo un número real y que pertenece a IR que indicaremos y = f (x).

f : D IR

x y

1 3-2½-3…

1 94

1/4…

D IR

Si f(x)=x2x es antiimagen de y

y es la imagen de x

x es antiimagen de y

y es la imagen de x

La imagen del 1 es 1: f(1)=1

La imagen del 3 es 9: f(3)=9

….

-2 es una antiimagen de 4: f -1(4)={2, -2}

3 es una antiimagen de 9: f -1(9) = {3,-3}

…

7

OPERACIONES CON OPERACIONES CON FUNCIONESFUNCIONES

Ejemplo: Si f(x)=2x-3 y g(x)=x2-1

• (f + g)(x) = f(x)+g(x) = 2x – 3 + x2 – 1 = x2 + 2x - 4• (f - g)(x) = f(x) - g(x) = 2x – 3 - x2 + 1 = - x2 - 2x - 2• (f . g)(x) = f(x) . g(x) = (2x – 3)(x2 – 1) = 2x3 - 3x2 - 2x + 3

• 1x

3x2

)x(g

)x(fx

g

f2

Con las funciones también podemos operar:

• Función suma: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

• Función resta: (f-g)(x) = f(x) - g(x)

• Función producto: (f.g)(x) = f(x) . g(x)

• Función cociente: ( g(x) ≠ 0 ) xg

xfx

g

f

8

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CON FUNCIONESCON FUNCIONES

También podemos tener una función de otra función:

Llamaremos función compuesta de dos funciones f(x) y g(x), y la indicaremos (fog)(x), a la función f(g(x)).

Se lee: “g compuesto con f”

Asimismo, f compuesto con g: (gof)(x)=g(f(x))

También podemos tener una función de otra función:

Llamaremos función compuesta de dos funciones f(x) y g(x), y la indicaremos (fog)(x), a la función f(g(x)).

Se lee: “g compuesto con f”

Asimismo, f compuesto con g: (gof)(x)=g(f(x))

Ejemplo:

Si f(x) = 2x-1 y g(x) = (x-3)2

(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x-1) = (2x-1-3)2 = (2x-4)2 = 4x2 - 16x +16

(fog)(x) = f(g(x)) = f((x -3)2) = 2 (x-3)2 – 1 = 2(x2-6x+9)-1 = 2x2-12x+17

En general, la composición de funciones no es conmutativa (gof)(x) ≠ (fog)(x)

9

FUNCIÓN INVERSA DE OTRA FUNCIÓN INVERSA DE OTRA FUNCIÓNFUNCIÓN

Si dadas dos funciones f(x) y g(x):

(fog)(x)=x y además

(gof)(x)=x

Diremos que ambas funciones son inversas y lo indicaremos:

f-1(x) = g(x) y g-1(x) = f(x)

Si dadas dos funciones f(x) y g(x):

(fog)(x)=x y además

(gof)(x)=x

Diremos que ambas funciones son inversas y lo indicaremos:

f-1(x) = g(x) y g-1(x) = f(x)

f-1(x) =

g-1(x) = x2

x

Ejemplo:

Si f(x) = x2 y g(x) =

(gof)(x)=g(f(x))=g(x2)=

(fog)(x)=f(g(x)) = f( )=x

xx2

xx2

x

10

Ejemplo:

Si

CÁLCULOCÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE LA FUNCIÓN INVERSA DE OTRA FUNCIÓNINVERSA DE OTRA FUNCIÓN

1º Despejaremos x en función de y

2º Intercambiaremos las x con las y

1º Despejaremos x en función de y

2º Intercambiaremos las x con las y

2x

1xxf

2x

1xy

1xy2xy

y21xxy

y211yx 1y

y21x

1x

x21xf 1

1x

x21y

1x

x21xf 1

ESTUDIO Y GRÁFICA DE ESTUDIO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNUNA FUNCIÓN

Características de la gráfica de Características de la gráfica de una funciónuna función

• Dominio de definiciónDominio de definición

• Puntos de corte con losPuntos de corte con los

ejesejes

• SimetríasSimetrías

• Regiones (Signo)Regiones (Signo)

• Monotonía (Crecimiento /Monotonía (Crecimiento /

Decrecimiento)Decrecimiento)

• Máximos y mínimosMáximos y mínimos



ejesejes



• Monotonía (Crecimiento /Monotonía (Crecimiento /

Decrecimiento)Decrecimiento)


• TendenciasTendencias

• ContinuidadContinuidad

• AsíntotasAsíntotas

• Concavidad/ Concavidad/

ConvexidadConvexidad

• Puntos de inflexiónPuntos de inflexión

• PeriodicidadPeriodicidad

• RecorridoRecorrido





ConvexidadConvexidad




13

DominioDominio de una función de una función

Se llama dominio de definición de una función f(x), y se indica con Dom f(x), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales existe f(x)

Se llama recorrido de una función f(x), al conjunto de valores que toma f(x)

IR (a,b)

IR

Dom f(x)=

Recorrido=

,0

,0 ,c

X

Y

O X

Y

O X

Y

O

14

Cómo calcular elCómo calcular el dominio dominio de una de una funciónfunción

WINFUN

Si la función es:

• Polinómica:

Su dominio es:

xPy IR

• Racional xQ

xPy 0xQIRx

• Irracional par xPy 0xPIRx

Ejemplo

Ejemplo

impar xPy xPIRx

Ejemplo

15

• Logarítmica

• Exponencial

• Trigonométrica

Cómo calcular el Cómo calcular el dominiodominio de una de una funciónfunción

Si la función es:

xglogxf a

xgaxf

xsenxf

xarcsenxf

xarctgxf

Su dominio es:

xgIRx

IR

1,1

IR

IR-{k/2, k }∊ℤ

0xgIRx

Recuerda que sólo tienen logaritmo los números positivos

xtg)x(f

WINFUN

16

dominiodominio de una de una función del tipofunción del tipo

0xQIRx

Buscaremos las x para las cuales Q(x)=0

Sean las funciones:

4x3

3x2)x(f

3x+4=03

4x

3

4IRxfD om

04x2 4x

3x2)x(f

2

4x2 2x 2,2IRxfD om

3xx3x

3x2)x(f

23

03xx3x 23

Buscamos las raíces del polinomio (en este caso, con la regla de Ruffini:

01

33

031

311

0321

3211

3131

3,1,1IRxfD om

El dominio de la función serán todos los números reales excepto esos valores de x para las cuales Q(x)=0

WINFUN

Ver gráfica

)x(Q

)x(Py

17

dominiodominio de una de una función del tipofunción del tipo

Buscaremos las x para las cuales P(x) sea positivo

Sean las funciones:

El dominio de la función lo forman todos los números reales que hacen que el radicando sea positivo

par xPy 0xPIRx

6x2)x(f 06x2 3x ,3xfD om

6x5x)x(f 2 06x5x2

2

3

2

15

2

24255x

Descomponemos en factores (para ello hallamos las raíces del polinomio por el procedimiento correspondiente)

2 3

x-2 - 0 + + +

x-3 - - - 0 +

(x-2)(x-3) + 0 - 0 +

03x2x Estudiamos donde toma valores positivos

,32,xfD om

WINFUN

Ver gráfica

18

dominiodominio de una de una función del tipofunción del tipo im par xPy xPIRx

Sean las funciones:

im par )x(Py donde P(x) es un polinomio IRxfD om

El dominio de la función lo forman todos los números reales

im par )x(gy donde g(x) es una función cualquiera

xgIRxxfDom

El dominio de la función lo forman todos los números reales donde exista g(x). Coincidirá, pues, con el Dom g(x)

19

Puntos de cortePuntos de corte de una función de una función con los ejes de coordenadascon los ejes de coordenadas

WINFUN

Si una función y=f(x) corta al eje OY, en ese punto x=0

Corte eje OY: x=0 y=f(0) y=a A(0,a)

Si una función y=f(x) corta al eje OX, en ese punto y=0

Corte eje OX: y=0 0=f(x) Resolviendo esta ecuación

x=b

x=c

x=d

x=e...

B(b,0)C(c,0)

D(d,0)E(e,0)

Ejemplo

X

Y

O

a

b c d e

20

Vamos a hallarVamos a hallar los puntos de corte los puntos de corte de la de la siguiente función con los ejes de coordenadassiguiente función con los ejes de coordenadas

x10x4x7x)x(f 324

Corte eje OY: x=0 y= f(0) = 04-7.02+4.03-10.0 = 0 A(0,0)

Corte eje OX: y=0 0=f(x) Resolviendo esta ecuación

0x10x4x7x 324

010x4x7xx 23

01

55

051

1022

01031

10311

10741

x = 0

x = -1

x = 2

x = -5

B(0,0)

C(-1,0)

D(2,0)

E(-5,0)Ver gráfica

WINFUN

21


3xx3x

9x)x(f

23

4

Corte eje OY: x=0 A(0,3)

Corte eje OX: y=0 0=f(x)

Esta ecuación no tiene solución real

03xx3x

9x23

4

33

9

30030

90)0(f

23

4

x4+9=0

Esta función no corta al eje de abscisas (OX)

Ver gráfica

WINFUN

22


3x

3x2logxf

Corte eje OY: x=0

Corte eje OX: y=0 0=f(x)

Esta función no corta al eje de ordenadas (OY)

1log30

302log0f

03x

3x2log

13x

3x2

l

No existe el logaritmo de un número negativo. Por lo tanto

2x-3=x+3 x = 6 B(6,0)

WINFUN

Ver gráfica

23

SimetríasSimetrías de una función de una funciónUna función y=f(x) es simétrica respecto al eje OY si f(-x)=f(x)

Una función y=f(x) es simétrica respecto al origen si f(-x)=-f(x)

f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x) f(-x) ≠ f(x)

f(-x) ≠ -f(x)

Simétrica respecto a OY

Simétrica respecto a O

No es simétrica ni respecto a OY ni

respecto a O

X

Y

O X

Y

O

Y

OX

y

x-x -x xx

y

-x

-y

24

Vamos a estudiarVamos a estudiar las simetrías las simetrías de una función de una funciónUna función y=f(x) es simétrica respecto al eje OY si f(-x)=f(x)

Una función y=f(x) es simétrica respecto al origen si f(-x)=-f(x)

f(-x) = f(x)

f(-x) = -f(x)

f(-x) ≠ f(x)

f(-x) ≠ - f(x)

y=f(x) es simétrica respecto al eje OY

y=f(x) No es simétrica ni respecto a eje OY ni respecto al origen

24 xx3xf 24 xx3xf xfxx3 24

4x

x3x2)x(f

2

3

4x

x3x2)x(f

2

3

4x

x3x22

3

4x

x3x22

3

)x(f4x

x3x22

3

y=f(x) es simétrica respecto al origen

4x3

3x2)x(f

4x3

3x2)x(f

4x3

3x2

4x3

3x2

xf

xf

Ver gráficas

WINFUN

25

MonotoníaMonotonía de una función: de una función: Crecimiento y decrecimientoCrecimiento y decrecimiento

X

Y

O x2

f(x1)

x1

f(x2)

x2x1x2x1x2x1

x1 < x2

f(x1) < f(x2)

x1 < x2

f(x1) > f(x2)

Función creciente

Función creciente

Función decreciente

Función decreciente

26

MáximosMáximos y y mínimosmínimos de una función de una función

X

Y

Oa b c d e

La función tiene dos máximos en x=b y en x=d

La función tiene tres mínimos en x=a, en x=c y en x=e

mínimo (absoluto)

mínimo (relativo)

mínimo (relativo)

Máximo (absoluto)

Máximo (relativo) Mínimos:

A(a,f(a))

C(c,f(c))

E(e,f(e))

Máximos:

B(b,f(b))

D(d,f(d))

27

TendenciasTendencias de una funciónde una función¿Qué valores toma la función al acercarnos a x=a? ¿Son los mismos si nos acercamos por la izquierda o por la derecha?

Cuando x → a-

Cuando x → a+

Cuando x →+∞

Cuando x →-∞

bxflim

ax

dxflim

ax

0xflim

x

xflimx

La notación matemática será:

Se lee:

” El límite cuando x tiende a a por valores más pequeños que a, es b”

y → 0+

y → -∞

y →b-

y →d-

b

d

X

Y

aO

28

Límites laterales.Límites laterales.Unicidad del límiteUnicidad del límite de una función en un de una función en un

puntopunto

Como los límites laterales coínciden, y es un número real, diremos que existe el límite:

bxflimax

bxflimax

bxflimax

bxflimcx

dxflimcx

Como los límites laterales no coínciden, diremos que no existe el límite:

xflimcx

X

Y

a

b

d

O c

El límite de una función en un punto, si existe, es único

29

f(x) no es contínua en x=g

DISCONTINUIDAD ASINTÓTICA

f(x) no es contínua en x=h

DISCONTINUIDAD NO EVITABLE

f(x) no es contínua en x=e

DISCONTINUIDAD EVITABLE

f(x) no es contínua en x=a

DISCONTINUIDAD EVITABLE

Estudio de la continuidadEstudio de la continuidad de una de una función en un puntofunción en un punto

bxflimax

X

Y

a

b

d

O e h g

c

bxflimex

xflimgx

c)e(f d)h(f

xflimhx

)a(f )g(f

30

ContinuidadContinuidad de una función de una función

Diremos que una función y=f(x) es contínua en x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes:Diremos que una función y=f(x) es contínua en x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1º

2º

3º

1º

2º

3º

xflimax

)a(f

)a(fxflimax

X

Y

aO

b

31

AsíntotasAsíntotas de una función de una función

Asíntotas verticales

Asíntotas horizontales

Asíntotas oblícuas

X

xflimax

Si

diremos que la función tiene una asíntota vertical: x=a

Si

diremos que la función tiene una asíntota horizontal: y=d

IRdxflimx

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x ó y) tienden al infinito.

Y

Oa

d

32

SignoSigno de una función de una función Estudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos

Si la función es:

xPy • Polinómica:

• Racional

• Irracional

xQ

xPy

par xPy

impar xPy

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

En general, estudiaremos donde la función es positiva. En el resto de su dominio será negativa.

Ejemplo

33

SignoSigno de una función polinómica de una función polinómicaEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos

xPy Función Polinómica:

Estudiaremos donde el polinomio toma valores positivos. En el resto serán negativos.

Donde P(x) es un polinomio

Si y= -3x+4 04x3 4x3 4x3 3

4x

3

4

Signo de y + -0

Si y= -x2+49

0y 049x2 049x2

07x7x

-7 7

x+7 - 0 + + +

x-7 - - - 0 +

(x+7)(x-7) + 0 - 0 +y + -0 0-

-7 7

WINFUN

34

SignoSigno de una función polinómica de una función polinómicaEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos


Estudiaremos donde el polinomio toma valores positivos. En el resto serán negativos.

Donde P(x) es un polinomio

Si y= x4-13x2+36

Descomponemos en factores el polinomio (para ello hallamos las raíces del polinomio por el procedimiento correspondiente). En este caso resolvemos la ecuación bicuadrada

Estudiamos donde toma valores positivos

036x13x 24 9

4

2

513

2

14416913x2

036x13x 24

3x9x

2x4x2

2

03x2x2x3x -3 -2 2 3

x+3 - 0 + + + + x+2 - - 0 + + + x -2 - - - 0 + +

x -3 - - - - 0 +

y + 0 - 0 + 0 - 0 +

y +- 0 0-00 ++-3 -2 2 3

WINFUN

35

ElEl Signo Signo de una función polinómica nos de una función polinómica nos puede ayudar a dibujar la funciónpuede ayudar a dibujar la función


Si y= x4-13x2+36

Si y= -3x+43

4

y + -0

Si y= -x2+49y + -0 0-

-7 7

y +- 0 0-00 ++-3 -2 2 3

X

Y

O

NO

NO

X

Y

O

NO

NO

NO

X

Y

O

NO

NO

NO

NONO

WINFUN

36

SignoSigno de una función racional de una función racionalEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos

Función Racional:

Estudiaremos donde la fracción toma valores positivos. En el resto serán negativos.

Donde P(x) y Q(x) son polinomios

Si

Resolvemos la inecuacion correspondiente. Para ello descomponemos en factores el numerador y el denominador

Estudiamos donde toma valores positivos

-3 0 4

x+3 - 0 + + + x - - 0 + + x -4 - - - 0 +

y - ∄ + ∄ - 0 +

X

Y

O

NO

NO

NO

NO

WINFUN

xQ

xPy

x3x

4xy

2

0x3x

4x2

0x3x

4x

+ - 0--3 0 4

∄ + ∄y

37

NO

NO

SignoSigno de una función irracional de una función irracionalEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos

Función Irracional:

Estudiaremos el signo de los valores que toma la raíz.

NOX

Y

O

WINFUN

0

2 3

- ∄y

par xgy

6x2)x(f ,3xfD om

6x5x)x(f 2 ,32,xfD om

-3

y +0 ∄

0-NO

X

Y

O

NO

Ejemplos

38NO

SignoSigno de una función irracional de una función irracionalEstudiar el signo de una función es hallar para que x la función toma valores positivos y para cuales negativos

Función Irracional:

Estudiaremos el signo de los valores que toma la raíz. Dependerá en este caso del signo del radicando. El signo es el mismo que el de la función g(x).

NOX

Y

ONO

WINFUN

0

2 3

+ -y

im par xgy

3 6x2)x(f IRxfD om

5 2 6x5x)x(f

-3

y +0 -

0+

NO

X

Y

ONOEjemplos

IRxfD om

39

Convexidad/ConcavidadConvexidad/Concavidad de una de una función función

No hay unanimidad en esta nomenclatura

X

Y

O

Función cóncava

Función cóncava

Función convexa

Función convexa

40

Convexidad/Convexidad/ConcavidadConcavidad de una de una función función

X

Y

Oa b c d X

a b c dcóncava cóncava cóncavaconvexa convexa

cóncava ,dc,ba,

d,cb,a convexa

Los puntos de la función en que ésta pasa a ser de cóncava a convexa y viceversa se llaman puntos de inflexión

Los puntos de la función en que ésta pasa a ser de cóncava a convexa y viceversa se llaman puntos de inflexión

41

En la recta

Asíntotas oblícuasAsíntotas oblícuas y=mx+n ¿m, n?Asíntotas oblícuasAsíntotas oblícuas y=mx+n ¿m, n?

Cuando x tiende a infinito el valor de y en la recta y el valor de y en la función son prácticamente iguales.

x

n

x

ym

X

Y

O

Sea la función y=f(x)

x

xflim0

x

xflim

x

n

x

xflimm

xxx

x

n

x

ylimmx

x

xflimmx

m xyn

m xxflimnx

42

Para representar graficamente una función

estudiaremos primero:



ejesejes






• Monotonía (Crecimiento Monotonía (Crecimiento

/Decrecimiento)/Decrecimiento)



• ConvexidadConvexidad




Y despues de hacer la gráfica estudiaremos:

Conocida la derivación, se hace primero todo el estudio y después la gráfica

Conocida la derivación, se hace primero todo el estudio y después la gráfica

43

4x3

3x2)x(f

3

4IRxfD om

4x

3x2)x(f

2

2,2IRxfD om

3xx3x

3x2)x(f

23

3,1,1IRxfD om

44

6x2)x(f

,3xfD om

6x5x)x(f 2

,32,xfD om

SignoSigno de una función irracional de una función irracional

-3

y +0 ∄

0

2 3

- ∄y 0-

45

3 6x2)x(f

IRxfD om

5 2 6x5x)x(f

IRxfD om

-3

y +0 -

0

2 3

+ -y 0+

SignoSigno de una función irracional de una función irracional

46

y=f(x) es simétrica respecto al eje OY

y=f(x) No es simétrica ni respecto a eje OY ni respecto al

origen

24 xx3xf

4x

x3x2)x(f

2

3

y=f(x) es simétrica respecto al origen

4x3

3x2)x(f

47

3x

3x2logxf

B(6,0)

x10x4x7x)x(f 324

3xx3x

9x)x(f

23

4

A(0,3)

C(-1,0)

D(2,0)

E(-5,0)

B(0,0)

Estudio y gráfica de Estudio y gráfica de algunas funcionesalgunas funciones

Son gráficas aproximadas. En 2º se estudiarán sus máximos

y mínimos , crecimiento, puntos de inflexión,...

con más rigor

49

ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNf(x)=xf(x)=x33 -3x-3x22+2x+2x

• Dom f(x)=IR

• Simetrías: f(-x)= (-x)3-3(-x)2+2(-x) = -x3-3x2-2x ≠ ±f(x) ⇒ simetrías∄

• Corte OY: x=0 y=0 ⇒ ⇒ (0,0)

corte OX : y=0 ⇒ x3-3x2+2x=0 .. x=0, x=1, x=2 ⇒ ⇒ ⇒(0,0), (1,0), (2,0)

• Contínua (Todas las funciones polinómicas lo son)

• Asíntotas horizontales:

x2x3xlim 23

x

x2x3xlim 23

x

.H.A

• Asíntotas verticales: ∄

• Regiones: y>0 x(x-1)(x-2)>0

0 1 2- 0 + 0 - 0 +Signo de y

50


NO

NO NO

NO

52


• Creciente (- ∞,a), (c, + ∞)

Decreciente (a,c)

• Máximo (a,b), mínimo (c,d)

• Cóncava (1,+∞), convexa (-∞,1)

• Punto de inflexión (1,0)

• Recorrido IRa c

b

d

WINFUN

53

ESTUDIO Y GRÁFICA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNDE LA FUNCIÓN

• Dom f(x)=IR - {-3}

• Simetrías:

43x

12x4lim

x

3x:.V.A

• Regiones: y>0

-3 3 + ∄ - 0 +Signo de y

3x

12x4)x(f

xf3x

12x4

3x

12x4xf

0

24

3x

12x4lim

3x

0

24

3x

12x4lim

3x

4y:.H.A

03x

12x4

03x

3x4

0

3x

3x

⇒ ∄simetrías

• Corte OY: x=0 y= -4 ⇒ ⇒ (0, - 4)

corte OX : y=0 4⇒ x - 12=0 x=3 ⇒ ⇒(3,0)

• Discontínua: Pto de discontinuidad x=-3 (Discontinuidad asintótica)


43x

12x4lim

x

54

NO

NO

NO


3x

12x4)x(f

55

• Creciente

• ∄Máximos ni mínimos

• Cóncava (-∞,-3), convexa (-3,+∞)

• ∄ Punto de inflexión

• Recorrido IR-{4}

ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNFUNCIÓN 3x

12x4)x(f

WINFUN

57

⇒ simétrica respecto a O

• Corte OY: x=0 y= 0 ⇒ ⇒ (0, 0)

corte OX : y=0 ⇒ x =0 ⇒(0,0)

• Discontínua: Ptos de discontinuidad x=±1

Discontinuidad asintótica en x=1 y en x=-1


• Dom f(x)=IR - {-1,1} ( x2-1=0 x=1 )

• Simetrías:

1x:.V.A

3 2 1x

x)x(f

xf1x

x

1x

xxf

3 23 2

0

1

1x

xlim

3 21x


0

1

1x

xlim

3 21x

1x:.V.A

0

1

1x

xlim

3 21x

0

1

1x

xlim

3 21x

3 2x 1x

xlim

3 2x 1x

xlim

.H.A

58

ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓN

• Regiones: y>0 01x

x3 2

3 2 1x

x)x(f

0

1x1x

x3

0

1x1x

x

-1 0 1

x+1 - 0 + + 0 + x - - 0 + + x -1 - - - 0 +

y - ∄ + 0 - ∄ +

NO

-1 0 1 - ∄ + 0 - ∄ +Signo de y

NO

NO

NO

Esta es una gráfica aproximada.

En 2º se estudiaránsus máximos y mínimos ,...

59

• Creciente (-∞,a)(b,+∞)

• Máximo (a,c) y mínimo (b,d)

• ¿Cóncava (-∞,-1) (-1,0),

convexa (1,+∞) (0,1)?

• Punto de inflexión : al menos (0,0)

(Podría haber más)

• Recorrido IR

ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA ESTUDIO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓNFUNCIÓN 3 2 1x

x)x(f

WINFUN

60

⇒ simétrica respecto a O

• Corte OY: x=0 y= 0 ⇒ ⇒ (0, 0)

corte OX : y=0 ⇒ x =0 ⇒(0,0)

• Contínua

• Asíntotas verticales no tiene (El dominio es IR y es racional)


• Dom f(x)=IR

• Simetrías:

1x

xlim

2

3

x

• Signo: y>0 0- 0 +y

1x

x)x(f

2

3

xf1x

x

1x

xxf

2

3

2

3

01x

x2

3


1x

xlim

2

3

x .H.A

0x3 0x

• Asíntotas oblícuas:

y=mx+n

1

1x

xlim

x1x

xlim

x

ylimm

2

2

x2

3

xx

01x

xlim

1x

xxxlimx

1x

xlimm xylimn

2x2

33

x2

3

xx

y=x

61

NO

NO


1x

x)x(f

2

3

WINFUN

63

⇒ ∄simetrías

• Corte OY: x=0 Dom f(x)∉

corte OX : y=0 ⇒ x =1,x=-1, x=-3 ⇒(-3,0), (-1,0), (1,0)

• Contínua

• Asíntotas verticales no tiene


• Dominio. (x+3)(x+1)(x-1)0

• Signo: y>0 Siempre (Es positiva en todo su dominio)

1x3x)x(f 2

• Asíntotas horizontales: no tiene

Dom f(x)=[-3,-1][1,+)

• Simetrías:

-3 -1 1

x+3 - 0 + + + x +1 - - 0 + + x -1 - - - 0 +

- 0 + 0 - 0 +

xf1x3x)x(f 2

1x3xlim 2

x

64

NO NO

NO


1x3x)x(f 2

66

http://www.educa.rcanaria.es/matematicas/recursos_varios/index.htm

http://personal5.iddeo.es/ztt/

PÁGINAS DEPÁGINAS DE RECURSOSRECURSOS:

67

http://www.sectormatematica.cl/media/ecrecta.htm

http://www.sectormatematica.cl/media/cuadratica.htm

http://www.sectormatematica.cl/media/logaritmos.htm

ASÍNTOTAS:http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto8/punto8.html

http://usuarios.lycos.es/JuanBeltran/index.htm (funciones)

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id401.htm (repaso de ecuaciones, inecuaciones, trigonometría, funciones …con ejercicios)

http://descartes.cnice.mecd.es/matematicas_aplicadas/Funciones_en_la_Ciencia/index.htm

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Identificacion_funciones_d3/fun3.htm

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