Trigonometría

97

TRIGONOMETRÍA DEFINICIÓN La trigonometría se ocupa, principalmente, de estudiar la relación entre lados y ángulos de un triángulo, y surgió a razón de las necesidades de la astronomía, la cartografía (el estudio de mapas), la artillería, entre otras. La trigonometría, que necesitó para su desarrollo de elementos de aritmética (para la configuración de tablas), álgebra (para establecer fórmulas que relacionan ángulos y lados de un triángulo) y geometría, tuvo un florecimiento mucho más tardío que la geometría.

HABLEMOS DE TRIÁNGULOS Como lo expresamos en la definición de trigonometría, trabajaremos en este capítulo fundamentalmente con triángulos. Por lo tanto, diremos que un triángulo es un polígono de tres lados (se sobreentiende que se trata de un triángulo cerrado). Vemos en el triángulo ABC: Los puntos A, B y C se llaman vértices. Los segmentos AB, BC y CA se llaman lados (también los podemos llamar a, b y c, de acuerdo a que estén opuestos a los vértices A, B y C respectivamente). Los ángulos ABC, BCA y CAB se llaman ángulos interiores (la letra que se escribe en el medio de las tres que forman parte del nombre del ángulo, es la que corresponde al vértice del mismo). Pueden designarse también A, B y C, de acuerdo al vértice. Los triángulos, de acuerdo a sus ángulos, se pueden clasificar en acutángulos (cuando los tres ángulos son agudos), rectángulos (cuando un ángulo es recto) y obtusángulos (cuando un ángulo es obtuso). Particularmente, en el triángulo rectángulo el lado mayor (que es el que se opone al ángulo recto) se llama hipotenusa. Los demás lados (que se oponen a los ángulos agudos) se llaman catetos. Los triángulos, de acuerdo a sus lados, se pueden clasificar en equiláteros (cuando los tres lados son iguales), isósceles (cuando dos lados son iguales y uno es desigual) y escalenos (cuando los tres lados son desiguales). Una particular propiedad de los triángulos, nos dice que la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°, o dos ángulos rectos. A su vez, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los catetos. Esta

A

B

C

a c

b

MATEMÁTICA BÁSICA

98

_

y

x 0

+

propiedad se conoce como Teorema de Pitágoras y nos será de mucha utilidad más adelante. ÁNGULOS ORIENTADOS EN UN SISTEMA CARTESIANO Precisemos cómo consideramos a un ángulo en un sistema de coordenadas cartesianas:

���� su vértice es el origen de coordenadas.

���� está generado por la rotación de una semirrecta o rayo con origen en (0;0). El rayo parte desde una posición inicial coincidente con el semieje positivo de las x -éste será su lado inicial- y gira manteniendo fijo su origen hasta llegar a una posición que marca su lado terminal. Además puede realizar más de un giro completo.

���� es positivo cuando está generado en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo cuando está generado en el sentido horario.

���� para referirnos a su ubicación, consideramos el plano cartesiano dividido en cuatro sectores, llamados cuadrantes, y localizamos el lado terminal.

MEDICIÓN DE ÁNGULOS Hay varios sistemas de medición de ángulos. Entre ellos, los más usados son el sistema sexagesimal y el sistema circular. En el sistema sexagesimal, la unidad de medida es el grado, que corresponde a la 360-ava parte de la circunferencia. A su vez, cada grado sexagesimal se divide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Así, si un ángulo mide 34°14´23´´ leemos: 34 grados, 14 minutos, 23 segundos. Por lo tanto:

���� un ángulo central tiene 360°,

���� un ángulo llano tiene 180°,

���� un ángulo recto tiene 90°,

Trigonometría

99

���� un ángulo obtuso tiene entre 90 y 180 grados,

���� un ángulo agudo tiene entre 0 y 90 grados.

Llamamos ángulos complementarios a los que suman 90° y ángulos suplementarios a los que suman 180°.

En el sistema circular, se llama radián al ángulo que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, corta en su circunferencia un arco de longitud igual al radio.

Si sabemos que una circunferencia completa tiene 360° y su longitud es 2.π .r podemos ver que:

Se puede observar en la gráfica, la medida aproximada de un radián que equivale aproximadamente a 57° 17´ 45´´ (α ) De esta manera, podemos obtener la medida en radianes de un ángulo de α grados:

Así, por una simple regla de tres simple, podremos convertir grados sexagesimales a radianes y viceversa. Veamos estos ejemplos.

Ejemplo 1: Convertir 90° a radianes.

Ejemplo 2: Convertir 1,5 π a grados sexagesimales.

Ejercicios de aplicación. Conversión de sistemas de medición.

1- Completa la siguiente tabla:

radianes 2..2

ππ

=r

r

radianes 360

..2

2.

360 απα

π=⇒= x

x

radianes 2

radianes 360

90..290

2.

360 ππ

π==⇒= x

x

°==⇒= 270.2

5,1 . 360

5,12.

360

π

πα

α

π

O

r

r

α

MATEMÁTICA BÁSICA

100

Grados

0

30°

90°

135°

150°

240°

360°

Rad.

0

4

π

3

π

3

2π

π

3

5π

π2

2- Calcula el ángulo central y el interior de un decágono regular, tanto en grados como en radianes (recuerda que un decágono es un polígono de 10 lados). 3- Calcula la medida, en radianes, de los dos ángulos que forman las agujas del reloj cuando son las 4 hs. Considerar que ambos se generan en sentido negativo. 4- Halla la medida, en radianes, de estos ángulos: α 1 = 45° α 2 = 130° α 3 = 270° 30´ α 4 = 20° 5- Halla la medida, en grados sexagesimales, de estos ángulos: β 1 = π /5 β 2 = 3π β 3 = 2 β 4= 5π RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Consideremos un triángulo rectángulo ABC. En él, el vértice A corresponde al ángulo recto y los vértices B y C corresponden a los ángulos agudos. Por consiguiente, la letra a corresponderá al lado que se opone al ángulo recto (que denominamos anteriormente hipotenusa) y b y c a los lados que se oponen a los ángulos agudos (que denominamos catetos). ¿Cuántas razones podemos formar entre los lados a, b y c? Son 6 y corresponden a:

Vamos a definir estas razones dándoles un nombre. Tomaremos como referencia al ángulo agudo B. Para este ángulo, el cateto b (que es el que se opone al vértice B, está enfrente de él) se llamará cateto opuesto y el cateto c (que es el que está contiguo al vértice B) se llamará cateto

b

a ;

c

a ;

b

c ;

c

b ;

a

c ;

a

b

B A

C

a b

c

Trigonometría

101

adyacente. Se definen, entonces, las siguientes razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante del ángulo B):

Las primeras razones trigonométricas son las fundamentales, pues podrás observar que las otras tres son recíprocas de las primeras (mira tu calculadora, y verás que sólo se encuentran las funciones

trigonométricas seno, coseno y tangente). Entonces:

Algunas identidades trigonométricas importantes Las tres igualdades que observamos en el apartado anterior, nos permiten relacionar a las razones trigonométricas. Estas igualdades se llaman identidades, pues son válidas para cualquier ángulo. Veremos ahora otras dos.

BBec

BB

Bg

sen

1 cos

cos

1sec

tg

1B cot

=

=

=

b

aBec

c

bBtg

c

aB

a

cB

b

cBg

a

bBsen

====

====

====

opuesto cateto

hipotenusa cos

adyacente cateto

opuesto cateto

adyacente cateto

hipotenusasec

hipotenusa

adyacente catetocos

opuesto cateto

adyacente cateto cot

hipotenusa

opuesto cateto

B a.cosca

c B cos si su vez,A

Ba.sen ba

bBsen Si

=⇒=

=⇒=

MATEMÁTICA BÁSICA

102

B cos

Bsen Btan

: tantoloPor tangente.la es c

b cociente El

c

b

c.a

b.a

a

ca

b

B cos

Bsen

:B ángulo del coseno ely seno el entre cociente el Hagamos

=

===

Otra identidad importante que vincula al seno, el coseno y la tangente es la siguiente:

LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Podemos visualizar gráficamente el seno, el coseno y la tangente de un ángulo en un sistema cartesiano, si consideramos un punto P sobre una circunferencia de radio 1, a la que llamamos circunferencia trigonométrica o circunferencia unidad. Sobre la circunferencia trigonométrica y, apoyándonos en las definiciones dadas de las razones trigonométricas, encontraremos segmentos que coincidan en su medida con cada una de las razones definidas, además de poder darles un signo.

. de seno al asociado está y segmento el tanto,loPor

y1

y

r

ysen

p

ppp

α

α ===

x

y

α

P 1

yp

0

r α

1Bcos Bsen

:queda nos ,apor miembros ambos dividimos siy aBcosa Bsena

nte,anteriorme obtuvimos que igualdades laspor doreemplazany acb

:capítulo este de apartado

primer elen definimos que Pitágoras de Teorema el cuentaen Teniendo

22

222222

222

=+

=+

=+

Trigonometría

103

Lo que hemos definido aquí para el ejemplo del ángulo alfa (que es agudo) se puede hacer extensivo para cualquier ángulo, aunque deberemos tener en cuenta el signo de las razones trigonométricas, de acuerdo a los cuadrantes en los cuales se hallen los ángulos. Estos gráficos te ayudarán a recordarlo:

. de coseno al asociado está xsegmento el tanto,loPor

x1

x

r

x cos

p

ppp

α

α ===

x

P

y

1

xp 0 α

r

. de tangente

la a asociado está MQ segmento el tanto,loPor

.semejantes , OMQy OPx s triángulolosser Por

MQ1

MQ

r

MQ

x

y Además

x

y tg

p

p

p

p

p

α

α ====

x

y

yp

P

Q

xp 0 α

M

r

1

x

y y y

x x

+ + + +

+ _ _

_

_

_

_ +

1er. cuadrante 2do. cuadrante

3er. cuadrante 4to. cuadrante

SENO COSENO TANGENTE

yp

MATEMÁTICA BÁSICA

104

LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Como la medida en radianes de un ángulo orientado es un número real, podemos definir las funciones seno, coseno y tangente de un número. Comenzaremos con la función f(x) = sen x. La función f(x) = sen x, cuyo dominio es R, asigna a cada número real "x" el seno de ese número. Para representarla, se puede dividir la circunferencia de radio 1 en doce partes iguales y determinar los valores: ... π /6; π /3; π /2; 2/3π ; ... Luego, se trazan los segmentos asociados a esos valores y se trasladan como muestra la figura. Recuerda lo que mostramos en el apartado anterior: para observar la medida del seno de "x", deberás observar la medida del cateto opuesto al triángulo formado en la circunferencia (que anteriormente habíamos llamado xp).

Al unir los puntos se obtiene el gráfico de la función. Esta gráfica se llama sinusoide. Es continua y acotada (es decir, para ningún valor de x valen más de 1 ni menos que -1). Como f(0) = 0, el gráfico corta al eje y en (0,0). Como los valores que toma la función se repiten cíclicamente cada 2π , se cumple que: sen (x + 2π ) = sen x Por eso la función es periódica; su período es 2π .

La función f(x) = cos x, cuyo dominio es R, asigna a cada número real "x" el coseno de ese número.

1

- 1

0

6

π

3

π

2

π

π6

π3

π2

π

π3

2

π2

3

π2

3 π2π

Trigonometría

105

1

- 1

0

6

π

3

π

2

π

π

6

π3

π2

π

π3

2

π

π2

3

π2

3 π2

Al igual que con el seno, para representarla, se puede dividir la circunferencia de radio 1 en doce partes iguales y determinar los valores: ... π /6; π /3; π /2; 2/3π ; ... Luego, se trazan los segmentos asociados a esos valores y se trasladan como muestra la figura. Recuerda lo que mostramos en el apartado anterior: para observar la medida del coseno de "x", deberás observar la medida del cateto adyacente al triángulo

formado en la circunferencia (que anteriormente habíamos llamado yp). Al unir los puntos se obtiene el gráfico de la función. Esta gráfica se llama cosinusoide. Es continua y acotada (es decir, para ningún valor de x valen más de 1 ni menos que -1). Como f(0) = 1, el gráfico corta al eje y en (0,1). Como los valores que toma la función se repiten cíclicamente cada 2π , se cumple que: cos (x + 2π ) = cos x

Por eso la función es periódica; su período es 2π .

Como tg x = sen x / cos x, la función f(x) = tg x, está definida para todos los números reales para los que cos x ≠ 0. Para construir su gráfico, procedemos así: en las abscisas correspondientes a los valores que están excluidos del dominio de la función (...-π /2; π /2; 3/2π ;...), es decir, en los valores para los que cos x = 0, trazamos rectas verticales con líneas punteadas.

MATEMÁTICA BÁSICA

106

1

- 1

0

6

π

3

π

2

π

π6

π

3

π2

π

π3

2

π

π2

3

π2

3 π2

2

- 2

M

Trazamos una recta tangente a la circunferencia en el punto M. Sobre esta recta se marcan los segmentos asociados a las tangentes de los valores indicados en la circunferencia de radio 1. Después, se trasladan los segmentos a las posiciones que correspondan. Su gráfico, a diferencia de la sinusoide y de la cosinusoide, no puede ser dibujado de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel. Esto se debe a las interrupciones que presenta en los valores excluidos de su dominio. Por este motivo, la función tangente es discontinua. El conjunto imagen es R. Como f(0) = 0, el gráfico corta al eje y en (0,0). Es una función periódica; su período es π .

Se cumple que tg (x + π ) = tg x Tiene infinitas asíntotas verticales: una en cada uno de los valores reales excluidos del dominio: (...; x = -π /2; x = π /2; x = 3/2π ; ...).

INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Cada vez que buscamos un ángulo conociendo el valor de alguna de sus razones trigonométricas, estamos aplicando una de las relaciones inversas de éstas. Las funciones trigonométricas inversas se llaman arcoseno, arcocoseno y arcotangente y son las inversas de las funciones seno, coseno y tangente respectivamente.

Trigonometría

107

Si queremos, por ejemplo, conocer el valor del ángulo x que hace verdadera la siguiente igualdad, utilizamos las funciones inversas.

sen x = 0,5 por lo tanto x = arcosen 0,5 y esto es igual a x = 30°

(es importante tener en cuenta que esta solución no es única si tenemos en cuenta que x tiene que valer entre 0° y 360°, pues si a 180° le restamos 30°,obtenemos el ángulo de 150° párale cual el seno es igual a 0,5. Si tomamos como dominio todos los reales, podremos observar que los valores 390°, 750°, etc. también son solución, pues al valor 30° le sumamos sucesivas veces 360°).

Otro ejemplo: tg x = 1 por lo tanto x = arcotg 1 y esto es igual a x = 45°

(ahora, es importante tener en cuenta que esta solución no es la única si tenemos en cuenta que x tiene que valer entre 0° y 360°, pues si a 45° le sumamos 180° -obtenemos 225°-, el valor de la tangente nos dará también 1. Es decir, podremos observar que los valores 45°, 225°, 405°, etc. también son solución, pues al valor 45° le sumamos sucesivas veces 180°).

Ejercicios de aplicación. Funciones trigonométricas inversas

ACTIVIDAD 6 Hallar los valores de x que verifican las siguientes ecuaciones,

siendo 0° ≤ x ≤ 360°: a) tg x = -3 b) cos x = 0,5 c) sen x = 0,6 d) 2.sen x = 0,9 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Cuando conocemos datos suficientes para que un triángulo quede completamente definido, resolverlo es encontrar las medidas de los restantes elementos (ángulos y/o lados). Para triángulos rectángulos se pueden presentar dos problemas:

���� Conocido un lado y un ángulo, calcular los demás elementos

Ejemplo: Dado el ángulo A = 35º y el lado adyacente c = 10 m de un triángulo rectángulo, calcular los demás ángulos y lados. Comenzamos croquizando un triángulo A B

C

c =10m

b a

MATEMÁTICA BÁSICA

108

rectángulo insertando los datos y las incógnitas. El ángulo B = 90º, el ángulo C = 180º - B - A = 180º - 90º - 35º = 55º (Recordar que la suma de los ángulos internos de un triángulo sumas 180º). Para calcular el lado a, podemos relacionar los lados a, c y el ángulo A, mediante la razón trigonométrica llamada tangente de A:

mtgatgAcac

atgA 7)º35(.10. ≅=⇒=⇒=

De forma similar calculamos el lado b (hipotenusa): relacionando los lados b, c y el ángulo A:

mbA

cb

b

cA 21,12

)º35cos(

10

coscos ≅=⇒=⇒=

���� Conocidos dos lados, calcular los demás elementos

Ejemplo: Dado el lado adyacente c = 10 m y el lado opuesto a = 4 m de un triángulo rectángulo, calcular los ángulos y el lado restantes. Comenzamos croquizando un triángulo rectángulo insertando los datos y las incógnitas. El ángulo B = 90º, el ángulo A puedo hallarlo relacionando dicho ángulo con los lados conocidos:

''07.5'48º21º8.2110

4≅⇒≅

=

=⇒= Aarctg

c

aarctgA

c

atgA

El ángulo B = 90º, y el ángulo C = 180º - B - A = 180º - 90º - 21.8º = 68,2º. El lado b desconocido, lo calculamos mediante: a) el Teorema de Pitágoras (aplicando directamente los datos):

o bien: b) relacionando los lados b, c y el ángulo A:

o también, si utilizamos la razón sen A. Dejamos al alumno como actividad, calcular el lado b mediante este último planteo. Confirmamos que el resultado es el mismo.

Ejercicios de aplicación. Resolución de triángulos rectángulos

7- Se necesita instalar una torre de 50 m de altura.

A B

C

c =10m

b a = 4 m

mbcab 77,10116116)10()4( 22222 ≅=⇒=+=+=

mbA

cb

b

cA 77,10

)º8,21cos(

10

coscos ≅=⇒=⇒=

A

Trigonometría

109

h

1 m

5 m

3,5

3 m

a) Calcular la longitud de la cuerda que une el extremo superior de la torre con el punto de amarre (A) situado a 80 m de la base. b) Hallar el ángulo que forma la cuerda con la horizontal. 8- Calcular: a) el ángulo agudo de un triángulo rectángulo entre el lado adyacente de longitud “a” y su hipotenusa de longitud igual a “5/3 de a”. b) Hallar la longitud del lado que falta. 9- Dado un triángulo cuyos lados tienen las siguientes longitudes: 3 m, 4 m y 5 m respectivamente, hallar los ángulos del mismo. Graficar. 10- Resolver el siguiente problema utilizando las razones trigonométricas fundamentales. Una persona desde el punto A observa el extremo de un edificio con un ángulo de 30º. Si avanza 30 m en línea recta hacia la base del edificio, observa el mismo extremo con un ángulo de 50º. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Cuál es la distancia desde la medición del último ángulo hasta la base del edificio?

11- Si 35=Asen , determinar en valor exacto los valores del cos A, de la tg A y de la sec A.

12- Dada la siguiente torre cuya vista lateral forma un triángulo isósceles, hallar la altura total "h", si la base tiene un ancho de 5 m, y la separación entre dos barras horizontales del reticulado que conforman la torre, de 3 m y 3,5 m respectivamente es de 1 m. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALQUIERA Para resolver estos triángulos relacionamos los datos conocidos con los desconocidos mediante fórmulas. Para ello utilizamos dos teoremas: a) Teorema del seno. b) Teorema del coseno.

���� Teorema del seno Su enunciado es el siguiente: La longitud del lado a es al seno del ángulo opuesto A, como la longitud del lado b es al seno del ángulo opuesto B, y como la longitud del lado c lo es al ángulo opuesto C. Donde estas proporciones son iguales a la constante 2r, siendo r es el radio de la circunferencia circunscripta al triángulo ABC:

MATEMÁTICA BÁSICA

110

Demostración: Si tomamos al lado AB como base del triángulo, la altura es la mínima distancia desde la base al vértice C (medida perpendicularmente a la base). La designaremos como “h”. Considerando el ángulo A y el ángulo B, podemos expresar las siguientes razones trigonométricas:

al despejar las alturas, obtenemos: igualando las alturas, y operando, llegamos a: Ahora, al considerar la base AC, y su nueva altura “ 2h ” medida verticalmente a AC,

a

hCseny

c

hAsen 22 ˆˆ == podemos expresar:

que al despejar “ 2h ” se obtienen respectivamente:

y al igualar ambas alturas y operar, obtenemos:

Por otra parte suponemos este triángulo ABC inscripto en una circunferencia, y consideramos un triángulo rectángulo A’BC también inscripto en la misma donde BC es común a ambos triángulos. Los ángulos A y A’ son iguales porque corresponden a un mismo arco BC de dos triángulos inscriptos en la misma circunferencia. Si A’BC es rectángulo, su hipotenusa es igual al diámetro (2r). Entonces se deduce:

b

hAsen =ˆ

Asenbh ˆ.=

a

hBsen =ˆ

Bsenah ˆ.=

( )IBsen

b

Asen

a

ˆˆ=

CsenahyAsench ˆ.ˆ. 22 ==

( )IICsen

c

Asen

a

ˆˆ=

A B

C

A’

2r

a

c

b

A

C

h2

b

c

a

rCsen

c

Bsen

b

Asen

a2

ˆˆˆ===

A

C

h a

b

c

Trigonometría

111

( )IIIrAsen

a

r

aAsen

r

aAsen

AsenAsen

2ˆ2

ˆ2

'ˆ

'ˆˆ

=⇒=⇒=

=

Considerando las expresiones deducidas ( I ), ( II ) y ( III ), teniendo en cuenta que sus primeros miembros son iguales, y por carácter transitivo llegamos a:

lo que demuestra el enunciado del teorema. Aplicaciones del teorema del seno: 1º) Conocido dos ángulos y un lado. Ejemplo: Supongamos que conocemos A = 30º, B = 40º y el lado AC = 10 metros. Hallar todos los demás elementos. Graficamos e identificamos en el mismo, cada dato e incógnita: El ángulo C = 180º - A - B C = 180º - 30º - 40º C = 110 º (Es obvio que si la suma de los ángulos dados es mayor de 180º, el problema no tiene solución). Para determinar los lados aplicamos el teorema del seno:

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

ˆˆˆ==

donde para calcular a, utilizamos solamente la primera igualdad del teorema del seno:

metrossen

sen

Bsen

Asenba

Bsen

b

senA

a78,7

º40

º30.10

ˆ

ˆ. ≅==⇒=

ahora, para el cálculo de c aplicamos la igualdad que relaciona c con los

datos:

metrossen

sen

Bsen

Csenbc

Bsen

b

Csen

c

62,14º40

º110.10

ˆ

ˆ.

≅

==⇒=

rCsen

c

Bsen

b

Asen

a2

ˆˆˆ===

B

A

C

a

c

b = 10 m

MATEMÁTICA BÁSICA

112

42º 28º

2º) Conocido dos lados y el lado opuesto a uno de dichos lados. Ejemplo: Supongamos que conocemos Q = 50º y los lados QR = 15 m, PR = 20 m. Hallar los dos ángulos restantes y el lado desconocido. Como en el ejemplo anterior, graficamos e identificamos en el mismo, cada dato e incógnita:

Aplicamos el teorema del seno: Qsen

q

Psen

p

ˆˆ=

donde al operar, obtenemos:

''05,1'4º35...)574533,0(

...574533,0º50.20

15ˆ.ˆ

==

⇒≅==

arcsenP

senQsenq

pPsen

y ahora R = 180º - P - Q = 180 - (35º 4’ 1,05’’) - 50º = 94º 55’ 58,9’’ aplicando nuevamente el teorema del seno para hallar r:

se obtiene: ⇒=Qsen

q

Rsen

r

ˆˆ

metrossen

sen

Qsen

Rsenqr 01,26

º50

)''9.58'55º94(.20

ˆ

ˆ. ≅==

Ejercicios de aplicación. Resolución de triángulos cualquiera utilizando el teorema del seno

13- Resolver el siguiente triángulo conocido el lado AB = 15 m y los ángulos A = 60º y B = 50º.

14- Dos aviones viajan a la misma altura, la distancia entre ellos es de 8 km. Despreciar la curvatura de la tierra. Un observador desde tierra los ve con 2 ángulos diferentes. Calcular: a) Las distancias del observador a cada uno de los aviones. b) La altura a la que están volando los aviones (medida perpendicularmente a tierra).

P

R

Q

p = 15 m

q = 20 m

r

50º

Trigonometría

113

15- Un terreno de forma triangular debe cercarse con alambrado. Se necesita conocer el perímetro para solicitar los materiales necesarios. Los datos se suministran junto a la gráfica.

���� Teorema del coseno Su enunciado es el siguiente: Dado un triángulo cualquiera, el cuadrado de la longitud de de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de las longitudes de estos dos lados por el producto del coseno del ángulo comprendido entre ellos. Ya que un triángulo tiene tres lados, el teorema del coseno puede expresarse de tres formas distintas:

Cbabac

Bcacab

Acbcba

ˆcos...2

ˆcos...2

ˆcos...2

222

222

222

−+=

−+=

−+=

Demostración: Desarrollamos solamente la primera de ellas ya que las otras dos demostraciones, se obtienen mediante el mismo procedimiento. Del triángulo BCD, y aplicando el Teorema de Pitágoras, obtenemos:

222DBha +=

por otra parte, del triángulo ACD, podemos expresar: 222ADbh −=

Al sustituir la segunda expresión en la primera, resulta: 2222 )( DBADba +−=

A B

C

b a

c

D

h

500 m

110º

38º

A

B

C

Ruta provincial

MATEMÁTICA BÁSICA

114

La longitud del segmento DB es igual: ADcDB −= , sustituyéndola en la anterior y operando:

Acbcba

AbADperoADccba

ADADccADbaADcADba

ˆcos...2

ˆcos...2

..2)(

222

222

222222222

−+=

⇒=−+=

+−+−=−+−=

Demostrada así, la primera expresión del teorema del coseno. Cuando el ángulo A es igual a 90º (caso particular), el teorema del coseno se transforma en el Teorema de Pitágoras:

Aplicaciones del teorema del coseno: 1º) Conocido dos lados y el ángulo comprendido entre ellos Ejemplo: Conocemos el ángulo A = 37º, el lado AC = 10 m y el lado AB = 18 m. Hallar todos los demás elementos. Graficamos. Aplicamos el teorema del coseno:

ma

a

Acbcba

68,11

49,136º37cos).18).(10.(2)18()10(

ˆcos...2222

222

=

⇒=−+=

⇒−+=

Para conocer el ángulo B, debemos aplicar el teorema del seno:

''62,51'0º31)515253,0(ˆ

515253,0º37.68,11

10ˆ.ˆˆˆ

≅=

⇒===⇒=

arcsenB

senAsena

bBsen

Bsen

b

Asen

a

Ahora el ángulo C: C = 180º - A - B = 180º - 37º - 31,01 = 111º 59’ 8,3’’ 2º) Conocido los tres lados Ejemplo: Dados los lados RS = 12 m, el lado RT = 28 m y el lado ST = 19 m. Hallar todos los demás elementos. Graficamos.

2220ˆcos...20º90cosˆcosº90 cbaAcbAASi +=⇒=−⇒==⇒=

A

B

C

a

c = 18 m

b = 10 m

Trigonometría

115

( )

''5.55'48º19)940789473,0arccos(ˆ

940789473,0)28).(19.(2

)12()28(19

..2ˆcosˆcos...2

222

222222

==⇒

=−+

=−+

=⇒−+=

T

sr

tsrTTsrsrt

Aplicamos el teorema del coseno para cada uno de los lados y despejamos sus cosenos:

El ángulo T, podemos determinarlo haciendo: T = 180º - R - S = 19º 48’ 55,5’’ o también planteando la tercer ecuación correspondiente al teorema del coseno:

Ejercicios de aplicación. Resolución de triángulos

cualquiera utilizando el teorema del coseno. 16- Dado el triángulo graficado, hallar el

lado x.

( )

''2,42'27º32)84375,0arccos(ˆ

84375,0)12).(28.(2

)19()12(28

..2ˆcosˆcos...2

222

222222

==⇒

=−+

=

=−+

=⇒−+=

R

ts

rtsRRtstsr

( )

''22'43º127)6118421,0arccos(ˆ

6118421,0)12).(19.(2

)28()12(19

..2ˆcosˆcos...2

222

222222

=−=⇒

−=−+

=−+

=⇒−+=

S

tr

strSStrtrs

45

30

40º

x

R

T

S

r = 19 m

s = 28 m

t = 12 m

MATEMÁTICA BÁSICA

116

17- Determine todos los lados del triángulo que tiene las siguientes

longitudes es sus lados: 30 cm, 55 cm y 75 cm. Graficar e identificar

todos los datos e incógnitas en la misma.

OTRAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Ya hemos visto que θ

θθ

cos

sentg = y la identidad fundamental de la

trigonometría: 1cos22 =+ θθsen y recordando que:

θθ

θθ

θ

θ

θθ

senec

sentgg

1cos,

cos

1sec,

cos1cot ====

podemos obtener otras identidades trigonométricas, por ejemplo: Tomando la identidad fundamental de la trigonometría y dividiéndola miembro a miembro por θ2cos , obtengo:

θθθθ

θ

θ

θ 2222

2

2

2

sec1cos

1

cos

cos

cos=+=+ tg

sen

Si ahora tomamos la identidad fundamental y la dividimos por θ2

sen :

Ejercicios de aplicación. Identidades trigonométricas. Verificar las siguientes identidades trigonométricas

θθθθ

θ

θ

θ 2222

2

2

2

cos1cot1cos

ecgsensensen

sen=+=+

)sec(

1.

)cos(

)(cos)(cot).(cos

)(cot).(

1.18

2

xx

xecxgxec

xgxsen

=+

( )( ) xsenxx2cos1.cos1.19 =−+

( ) xxtgxgxtg2sec.cot.20 =+

( )( ) 11.1.21 22 =+− xtgxsen

Trigonometría

117

RELACIONES ENTRE ÁNGULOS A continuación analizaremos las distintas relaciones considerando que: a) El seno es proporcional al cateto opuesto dirigido ( o sea con el signo + o - según esté sobre el eje de las x o por debajo de él). b) El coseno es proporcional al cateto adyacente dirigido ( o sea con el signo + o - según esté a la derecha del eje y o a su izquierda). c) La tangente es igual al cociente entre el seno y coseno del ángulo correspondiente.

���� Ángulos opuestos Relaciones entre ángulos: θ− y θ

θθ

θ

θ

θθ

θθθθ

tgsensen

tg

sensen

−=−

=−

−=−

=−−=−

cos)cos(

)()(

cos)cos()(

���� Ángulos que difieren en 180º (π radianes)

Relaciones entre ángulos: θπ + y θ

θθ

θ

θπ

θπθπ

θθπθθπ

tgsensen

tg

sensen

=−

−=

+

+=+

−=+−=+

cos)cos(

)()(

cos)cos()(

���� Ángulos complementarios

Relaciones entre ángulos cuya suma es 90º (es π /2 radianes) θβ π −= 2 y θ º

θθ

θ

θπ

θπ

θπ

θθπ

θθπ

gsen

sen

tg

sensen

cotcos

2cos

22

2coscos

2

==

−

−

=

−

=

−=

−

���� Ángulos suplementarios

Relación entre ángulos cuya suma es 180º (es π radianes):

MATEMÁTICA BÁSICA

118

θπβ −= y θ

θθ

θ

θπ

θπθπ

θθπθθπ

tgsensen

tg

sensen

−=−

=−

−=−

−=−=−

cos)cos(

)()(

cos)cos()(

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS ( βθ + ) Y ( βθ − ). Las expresaremos en función de las trazones trigonométricas de los ángulos simples: sen θ ,cosθ , tgθ , sen β ,cos β y tg β Dado los dos triángulos rectángulos OAB Y ACD con ángulos centrales θ y β respectivamente, pueden determinarse las siguientes razones trigonométricas:

( ) )(Ir

CGFC

r

EDsen

+==+ βθ

( ) )(cos IIr

DGOF

r

OE −==+ βθ

Ángulos complementarios

θ

θπ −2

Ángulos suplementarios

θθπ +

θ

β

O A

B

C

D

E F

G

Ángulos opuestos

θ

θ−

Ángulos que difieren en 180º

θθπ +

Trigonometría

119

���� Seno de la suma de dos ángulos Del triángulo OFC (semejante a OAB):

)(. IIIsenOCFCOC

FCsen θθ =⇒=

Del triángulo CGD (semejante a OAB):

)(cos.cos IVCDCGCD

CGθθ =⇒=

Del triángulo OCD:

)(cos)( VIr

OCV

r

CDsen == ββ

Sustituyendo (III ) y (IV ) en la expresión (I ):

( )

θθ

θθβθ

cos

cos..

r

CDsen

r

OC

r

CDsenOC

r

CGFC

r

EDsen

+

=+

=+

==+

Sustituyendo (V ) y (VI ) en la última:

( ) θβθβθθβθ cos..coscos sensenr

CDsen

r

OCsen +=+=+

���� Coseno de la suma de dos ángulos

Partimos de la expresión (II ):

Del triángulo OFC, obtenemos:

)(cos.cos VIIOCOFOC

OFθθ =⇒=

Del triángulo CGD: )(. VIIIsenCDDGCD

DGsen θθ =⇒=

Sustituimos (VII ) y (VIII ) en la expresión (II ):

( ) θθθθ

βθ senr

CD

r

OC

r

senCDOC

r

DGOF.cos.

.cos.cos −=

−=

−=+

( ) )(cos IIr

DGOF

r

OE −==+ βθ

( ) )(cos..cos Asensensen θβθββθ +=+

MATEMÁTICA BÁSICA

120

Pero del triángulo OCD: )()(cos Xr

CDsenIX

r

OC== ββ

que al reemplazar en la expresión anterior, se llega a la siguiente identidad:

( ) θβθβθθβθ sensensenr

CD

r

OC.cos.cos.cos.cos −=−=+

( ) )(.cos.coscos Bsensen θβθββθ −=+

La tangente resulta: ( ) ( )( ) θβθβ

θβθβ

βθ

βθβθ

sensen

sensensentg

.cos.cos

cos..cos

cos −

+=

+

+=+

Dividiendo numerador y denominador por θβ cos.cos , se obtiene:

( ) )(.1

Ctgtg

tgtgtg

βθ

βθβθ

−

+=+

Si el segundo ángulo es negativo, remplazamos en las expresiones (A) y (B) y (C) el ángulo β por - β , obteniéndose:

( ) )(cos..cos Dsensensen θβθββθ −=−

( ) )(.cos.coscos Esensen θβθββθ +=−

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DOBLE Se pueden obtener a partir de las expresiones (A) y (B) y (C) considerando los ángulos θ y β iguales:

( ) θθθθθθθθ cos..2cos..cos sensensensen =+=+

( ) )(cos..22 Gsensen θθθ =

( ) θθθθθθ sensen .cos.coscos −=+

( ) )(cos2cos 22Hsen θθθ −=

( ) )(.1

Ftgtg

tgtgtg

βθ

βθβθ

+

−=−

Trigonometría

121

( )θθ

θθθθ

tgtg

tgtgtg

.1−

+=+

( ) )(1

.22

2I

tg

tgtg

θ

θθ

−=

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE MITAD DE ÁNGULO Sustituyendo en las expresiones (G), (H) y (I) el ángulo θ por θ /2, obtenemos:

( ) )(2

cos.2

.2 Jsensenθθ

θ =

( ) )(22

coscos 22Ksen

θθθ −=

Expresando la ecuación fundamental de la trigonometría en función de los ángulos mitad, nos queda:

12

cos2

22 =+θθ

sen

Y sustituyendo en ella las ecuaciones (J) y (K) y operando, nos queda:

2

cos1

2cos

θθ +=

2

cos1

2

θθ −=

sen

θ

θθ

cos1

cos1

2 +

−=

tg

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ELEVADAS AL CUADRADO Si en la expresión (H) sustituimos el seno en función del coseno o viceversa obtendremos nuevas identidades:

MATEMÁTICA BÁSICA

122

( )

( ) )(2cos12

1cos

1cos.2)cos1(coscos2cos

2

22222

M

sen

θθ

θθθθθθ

+=⇒

−=−−=−=

( )

( ) )(2cos12

1

.21)1(cos2cos

2

22222

Nsen

sensensensen

θθ

θθθθθθ

−=⇒

−=−−=−=

Dividiendo ambas expresiones, obtenemos:

Ejercicios de aplicación. Resolución de triángulos utilizando la relación entre ángulos.

22- Dado un triángulo rectángulo. Si el coseno de A es la mitad del

coseno de B, y el ángulo C es de 90º, calcular los ángulos A y B. Graficar.

23- Las razones trigonométricas de 25° son: sen 25° = 0,423; cos 25° = 0,906; tg 25° = 0,466; con estos datos, calcula las razones trigonométricas de 65°, 155° y 206°.

24- Calcula el seno, el coseno y la tangente de 150°, sabiendo que el sen 30° = 0,5; el cos 30° = 0,866 y la tg 30° = 0,577.

25- Si el sen 12° = 0,2 y el sen 37° = 0,6; calcula el sen 49°, cos 49° y la tg 49°.

26- Demuestra que:

27- Determina el sen 2x, cos 2x y tg 2x, sabiendo que cos x = 0,6. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Ecuación es la igualación de dos o más expresiones. En este caso por lo menos una de ellas deberá ser trigonométrica. Como en toda ecuación, el conjunto solución debe satisfacer a la igualdad. El conjunto solución es el conjunto de valores que puede tomar la variable o variables para satisfacer a la ecuación.

)()2cos1(

)2cos1(2Otg

θ

θθ

+

−=

( ) ( ) bababa22

sensensen.sen −=−+

Trigonometría

123

Observación: Las identidades trigonométricas vistas anteriormente, son ecuaciones pero que se satisfacen para todos los valores de la variable o variables. Ejemplo 1:

05cos.2.5 22 =−− xxsen

Teniendo en cuenta la identidad fundamental: xsenx22 1cos −= , al

sustituirla en la ecuación, obtenemos:

.º90)..21(º180.º90

º360.º90

º360.º90

)1(

)1(11

7.2.505)1.(2.5

2

2222

naturalnúmerounesndondennx

nx

nx

arcsenx

arcsenxxsenxsen

xsenxsenxsenxsen

±=±=⇒

±−=

±=⇒

−=

=⇒±=⇒=⇒

=+⇒=−−−

Ejemplo 2: 1cot =− xgxtg

''91.2'43º31)2(.2

1)2(222

22cos2

2.2

112cos12.

2

112cos.

2

1

2

12

cos.1.21cos.

1.21

cos

cos2

2

==⇒=⇒=⇒

=

⇒=−−⇒=−

−

=−⇒=−

=−

arctgxarctgxxtg

xsenx

xsenxxsenx

xxsenxsenxxsen

xsen

xsen

x

x

xsen

Ejemplo 3:

xsen

xsenxecx

2.2cos.3cos.8 =−

+=

+=⇒

+=

+=⇒

=⇒

=⇒=⇒=−⇒

+=⇒+

=⇒

+=⇒=−⇒

º180º15

º180.º30

360.º302

º360.º602

2

32

2

3232.232.22.4

2.23cos..82.23

cos.8

2.21.3cos.8

2.2cos.3cos.8

x

nx

nx

nxarcsenx

xsenxsenxsenxsen

xsenxxsenxsen

xsenx

xsen

xsen

xsenx

xsen

xsenxecx

MATEMÁTICA BÁSICA

124

20 m

30º

C

13 14

A 15 B

+=

+=naturalnúmerounesndonde

nx

nxsoluciónconjunto

).121º.(15

).61º.(30

Ejercicios de aplicación. Ecuaciones trigonométricas.

28- Resuelve las siguientes ecuaciones (Tener en cuenta que x está expresado en radianes):

Otros ejercicios.

29- Dada la gráfica y los datos que figuran a continuación, determinar la longitud del lado CD.

Ángulo CAB = 30° Ángulo DAB = 70° Ángulo DBA = 25° Ángulo CBA = 80° AB = 100 m

30- El viento corta un árbol y la punta se apoya en el suelo en un punto situado a 20 m de la base del tronco formando un ángulo de 30º con el plano horizontal. ¿Qué altura tenía dicho árbol antes de cortarse?

31- Los lados de un triángulo miden respectivamente 13, 14 y 15. Hallar los ángulos A, B y C.

43

21 2cos)2cos)2) =−== xsenxcxbtgxsenxa

A B

C

D

C

Trigonometría

125

Alfa

30 m

65º

H

53.7 m

A B

C

X S

32- En lo alto de un farol de 3 m de altura brilla una luz. Un hombre de 1,70 m de estatura se aleja caminando del farol. Determinar la longitud de la sombra “S” cuando X = 2.5 m y cuando X = 5 m.

33- En el triángulo ABC obtusángulo se

tiene que el ángulo CAB= 28º y el ángulo ABC= 140º y AB= 6m. Calcular la altura CD.

34- Desde un OVNI que vuela a

1200 m de altura, un E.T. mide con su pistola espacial los ángulos de depresión de dos personas que caminan por una calle, siendo estos respectivamente de 28º y 42º ¿Qué distancia separa a los peatones?

35- La torre inclinada de Pisa tiene 53,7 m de longitud. Debido a fallas del terreno, se inclinó un ángulo α como muestra la figura. A una distancia de 30 m desde el centro de la base de la torre, el ángulo de elevación al extremo superior de la torre es de 65º. Hallar el ángulo α , y la altura H de la torre.

42º 28º

1200 m Peatones

D

MATEMÁTICA BÁSICA

126

58º

14º 12 m

calle

A

B

36- Con los datos del dibujo, calcular el ancho de la calle y la altura del rascacielo “B”.

37- Dado el siguiente triángulo escaleno ABC: a) Calcular el ángulo B b) Calcular la altura “h” c) Calcular la superficie del triángulo.

38- Desde el punto A con un ángulo de 33º 40’ se observa el extremo de una torre de altura “h”. Caminando 20 m hacia la torre llegamos al punto B donde observamos con un ángulo de 26º 34’ el centro de la torre. ¿Qué altura tiene la torre?

39- Una montaña de 650 metros de altura

separa a dos pueblos A y B. Desde el pueblo A se ve la cima de la montaña con un ángulo de 24º, y desde el pueblo B la cima se observa con un ángulo de 36º. ¿Cuál es la distancia entre los dos pueblos?

40- Determinar el perímetro de la siguiente figura:

C

3 h 8

B A B 10

A B

C

D

20 m

30 m

30°

45°

20 m

A B

h/2

h

A B