Trigonometría

Pamela Mena Romano

Introducción

• En el siglo III a.C. los griegos, estudiando las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo, dieron inicio a una nueva rama de la matemática llamada Trigonometría y que significa medida del triángulo. Esta ciencia tuvo un notable éxito por sus aplicaciones directas a la astronomía, navegación y agrimensura.

• Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, es decir, a encontrar los tres elementos.

Teorema de Pitágoras

• “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”

222 cba Demostración: El área del cuadrado grande es: (a+b)2 y el del pequeño, c2.Por otra parte el área del cuadrado pequeño más 4 veces el área de un triángulo, será el área del cuadrado grande.c2+4(ab)/2=(a+b)2 → c2+2ab=a2+2ab+b2

Finalmente:a2+b2=c2

a

bc

bca

c

cc a

a

a

b

b

b

Razones Trigonométricas

• Consideremos el triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas del ángulo B son:

adyacente lado

opuesto lado

BA

ACtg(B)

hipotenusa

adyacente lado

BC

BAB)cos

hipotenusa

opuesto lado

BC

ACBsin

(

)(

B A

C

c

ab

• Ejemplo: Una escalera de 5 metros de largo está colocada con su pie a 3 metros de distancia de la pared de una casa y llega precisamente hasta la base de una ventana. Hállense la altura de la base de la ventana y el seno y la tangente del ángulo que la escalera forma con la pared.

opuesto lado

adyacente lado

AC

BA

tg(B)

1cotg(B)

adyacente lado

hipotenusa

BA

BC

cos(B)

1sec(B)

opuesto lado

hipotenusa

AC

BC

sin(B)

1cosec(B)

Cada relación tiene su recíproco dados por:

Para despejar la incógnita usamos el Teorema de Pitágoras:

4x

16x925x

: xDespejando

5x3

22

222

Recordando la definición de seno y tangente, tenemos:

4

35

3)sin(

)tg(

3

5x

Medida de Ángulo

Para medir ángulos primero debemos escoger alguna unidad fija, y para ello se definen tres sistemas de medida angular.

• Sistema Sexagesimal: En este sistema el ángulo recto se divide en 90 partes iguales o 90 grados; cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

• Sistema Centesimal: En este sistema el ángulo recto se divide en 100 partes iguales o 100 grados centesimales; cada grado se divide en 100 minutos centesimales y cada minuto en 100 segundos centesimales.

• Sistema Circular: En este sistema los ángulos se expresan en radianes y es muy útil para calcular medidas de arcos, o en física, para calcular velocidades angulares.

El radián

• El radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con que fue descrito. Es decir el arco AB es igual a la recta OA.

• Para expresar un ángulo en radianes basta calcular las veces que el radio cabe en el arco que comprende entre sus lados.

r

r

B

O A

Designando el arco por b se obtiene:

r

b(radianes)

b

r

B

O A

El Círculo Unitario

• Es un círculo de radio unitario.• En cualquier círculo, 360º equivalen a 2 (radianes).

Podemos dividir el círculo en 4 cuadrantes

Como 360º=2, la longitud del arco máximo en el círculo

unitario, se tiene

2π

360

x

x

rad

xrad es la medida en radianes de un ángulo x con 0≤ x ≤ 360

0

/2

3/2

III

III IV

en cuad.

I II III IV

sen + + - -cos + - - +tan + - + -

Las principales relaciones trigonométricas en el círculo

unitario.

1

-1

-1

coseno

seno

tang

ente

El signo de las funciones trigonométricas en cada

cuadrante.

Recordando la definición de paridad, ¿qué paridad poseen el coseno y el seno?

º

rad

30º

/6

45º

/4

60º

/3

90º

/2

180º

270º

3/2

360º

2

sin

cos

2

2

2

2

2

3

2

1

2

12

3

0

1

1

0

0

11

0

Ángulos Recurrentes

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

-0.5

0.5

1

sinxGráfico del Seno

Gráfico del Coseno

-3 -2 -1 1 2 3x

-1

-0.5

0.5

1

cosx

Gráfico de la Tangente

-3 -2 -1 1 2 3x

-40

-20

20

40

tanx

Gráfico de la Cosecante

-3 -2 -1 1 2 3x

-20

-10

10

20

cosecx

Gráfico de la Secante

-3 -2 -1 1 2 3x

-20

-10

10

20

secx

Gráfico de la Cotangente

-3 -2 -1 1 2 3x

-40

-20

20

40

cotanx

Identidades Trigonométricas

• A partir del triángulo demuestre que:

1cossin 22

B A

C

c

a b

2

22

2

22

2

22

cos

sin

a

cb

a

c

a

b

Por teorema de Pitágoras:

1cossin2

222

a

a

Escribamos el seno y el coseno

Suma de Ángulos

• Probemos la siguiente relación: sin(+)=sin()cos()+cos()sin()

• A partir de la figura tenemos:

O A E

B

C

D

sincoscossinOC

CB

CB

CD

OC

OB

OB

BE

:doAmplifican

OC

CD

OC

BE

OC

CDAD

OC

CA)sin(

• Probemos ahora:

cos(+)=cos()cos()-sin()sin()

Haciendo un procedimiento análogo al anterior:

))sin(sin())cos(cos(OCBC

BCAE

OCOB

OBOE

:doAmplifican

OCAE

OCOE

OCOA

)cos(

Exprese como suma de ángulos lo siguiente:1) sin (22) cos

Resta de Ángulos

• De la misma forma que en la suma de ángulos se puede demostrar:

sin(-)=sin()cos()-cos()sin()

O A E

B

C

D

-

A partir de la figura podemos expresar sin()

sincoscossinOBCB

CBCD

OBOC

OCCA

:doAmplifican

OBCD-CA

OBBE

)sin(

Ejercicio: Pruebe cos()=coscos+sensen

Las identidades son igualdades que se cumplen para cualquiera de los valores del ángulo que aparece en la igualdad.

Identidades Trigonométricas

Una estrategia para probar identidades, es expresar todos los términos de la igualdad en función del seno y coseno para luego efectuar las operaciones indicadas, consiguiéndose con esto, la identidad de ambos miembros.

Ejercicio: Demuestre la siguiente relación:

2tg1

tgsin

Funciones Trigonométricas

• La función seno: sin : R→[-1,1]; x → sin(x).

• La función coseno: cos : R→[-1,1]; x → cos(x).

• La función tangente: tg ;x → tg(x) = sin(x)/cos(x), está definida para todos los x R donde no se anula la función cos(x).∈

Función Trigonométrica Inversa

• En el círculo unitario al ángulo a corresponde el arco b que permite medir el ángulo en radianes.

br

B

O A

y

C

En la figura la perpendicular BC, representa el seno del ángulo . Siendo b la medida del arco que permite, a su vez, medir el ángulo , al designar por “y” el seno de este ángulo, se obtiene:

sin b = y

Función Trigonométrica Inversa

En forma análoga a la anterior se define:

• b = arc cos y

• b = arc tg y

b = arc sen y

Lo que indica que: “b” es el arco del ángulo cuyo seno es “y”.

Función Inversa del Seno.

Además, al ser “b” el arco cuyo seno es “y”, se puede escribir:

Función Inversa del Coseno.

Función Inversa de la Tangente.

Periodicidad

• Sea el ángulo engendrado por el radio móvil OB; entre los lados del ángulo queda el arco AB. Este mismo arco corresponde a los ángulos , + 360º, + 2 ∙ 360º, + k ∙ 360º, siendo k ≥ 0, k

Z.∈Aplicando lo anterior para el seno y el coseno se encuentra que los valores se repiten para cada vuelta completa del radio móvil OB (360º). En cambio, el valor de la tangente se repite cada 180º. Por lo tanto el período para el seno y coseno es 2 (2= 360º) y para la tangente es (=180º).

B

AO

Periodicidad de las Funciones Trigonométricas.

• En el sistema circular se puede escribir la periodicidad de las funciones trigonométricas como:

)(

)2(

)2(

k

k

k

tg tg

cos cos

sin sin

Teorema del Seno

• “En un triángulo cualquiera los lados son entre sí como los senos de los ángulos opuestos”.

b

a

a

hb

h

c

c

sin

sin

sin

sin

A

C

B

hC

hB

b a

c

Haciendo lo mismo con y se obtiene:

c

a

sin

sin

Problema• ¿Cuál es la altura de un cerro si las visuales dirigidas a la

cumbre desde dos puntos situados a 100 metros (d) forman con la horizontal un ángulo de 30º () y 50º () respectivamente?

Por geometría tenemos que el ángulo vale 20º. Usando el teorema del seno, se tiene:

20º sin

30º sin

100

z

d

A

h

B C

D

z

y

Del segundo triángulo,

50º zsinhz

h50º sin

metros. 112h

Teorema del Coseno• “En cualquier triángulo el cuadrado de un lado es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.”

2222

222

222

qbpaqbh

pah

q p

C

A B

hb a

D c

Por teorema de Pitágoras:

Pero p=cq, reemplazando y desarrollando:

cos2bc cba

do,reemplazan ,b

qcosα pero

2cqcba

222

222

Problema

• Del siguiente triángulo, encuentre el valor del ángulo .

)cos(8728713 222

8

137

Por teorema del coseno:

Usando la función inversa de coseno para despejar :

60º

luego ,180º

de suma la que Sabemos

120ºβ

Ecuaciones Trigonométricas

• Son aquellas en las cuales la incógnita aparece como ángulo de funciones trigonométricas.

xx 2sin2cos33

:

ecuación la Resolver

01cos3cos2

cos22cos33

)cos1(2cos33

2

2

2

xx

xx

xx

Usando la fórmula de la ecuación cuadrática, para encontrar x,

12

1cos x º180º120

:

21 xx y

tenemos y inversa función la Aplicamos