CAPTULO 5

LA TRANSFORMACIN DE LAPLACE

1.1 INTRODUCCIN

El concepto de transformar una funcin puede emplearse desde el punto de vista de hacer un cambio de

variable para simplificar la solucin de un problema; esto es, si se tiene un problema en la variable x, se

sustituye x por alguna otra expresin en trminos de una nueva variable, por ejemplo, yx sen , anticipando

que el problema tendr una formulacin y una solucin ms sencillas en trminos de la nueva variable y;

luego de obtener la solucin en trminos de la nueva variable, se usa el procedimiento opuesto al cambio

previo y se obtiene entonces la solucin del problema original. El logaritmo es un ejemplo sencillo de una

transformacin a la que ya nos hemos enfrentado; su virtud es que transforma un producto en una suma, que

es una operacin ms sencilla. Efectuando la operacin inversa, el antilogaritmo, obtenemos el resultado del

producto.

Una transformacin que es de gran importancia en el clculo es la de integracin,

)()()(0

xFdttftfI

x

El resultado de esta operacin es una funcin F(x), la imagen de f( t) bajo la transformacin. Obsrvese que

la operacin inversa a la integracin es la derivacin; si se designa por D la operacin de derivar, d/dt,

entonces

)()( xfxFD

Con frecuencia es necesario una transformacin ms complicada. Si se tiene una funcin f(t) de la variable

t, se define una transformada integral de f(t) como

Transformada integral de b

a

dttsKtftfTtf ),()()()( (1.1)

La funcin K(s, t), la cual es una funcin de dos variables, se denomina el ncleo de la transformacin.

Obsrvese que la transformada integral ya no depende de t; es una funcin F(s) de la variable s, de la cual

depende el ncleo. El tipo de transformada que se obtiene y los tipos de problemas para los cuales es de

utilidad dependen de dos cosas: el ncleo y los lmites de integracin. Para ciertos ncleos K(s, t), la

transformacin (1.1) al aplicarse a formas lineales en f( t) dadas, cambia esas formas a expresiones

algebraicas en F(s) que involucran ciertos valores de frontera de la funcin f( t ). Como consecuencia,

ciertos tipos de problemas en ecuaciones diferenciales ordinarias se transforman en problemas algebraicos

cuya incgnita es la imagen F(s) de f ( t). Como ya se mencion, si se conoce una transformacin inversa,

entonces es posible determinar la solucin y(t) del problema original.

En general, una transformacin T{f(t)} es lineal si para todo par de funciones f1(t) y f2(t) y para todo par de

constantes c1 y c2 ella satisface la relacin

)()()()(22112211

tfTctfTctfctfcT (1.2)

Esto es, la transformada de una combinacin lineal de dos funciones es la combinacin lineal de las

transformadas de esas funciones.

2

Para la seleccin particular del ncleo stetsK ),( y los limites de integracin desde cero hasta infinito en

(1.1), la transformacin definida por (1.1) se denomina una transformacin de Laplace y la imagen

resultante una transformada de Laplace. La transformada de Laplace de f( t) es entonces una funcin de la

variable s y se denota por F(s) o L{f( t)}.

1.2 DEFINICIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Dada una funcin f( t ) definida para todos los valores positivos de la variable t, se forma la integral

0

)(e)( sFdttf st (1.3)

la cual define una nueva funcin F(s) del parmetro s, para todo s para el cual converge la integral. La

funcin F(s) as formada se denomina la transformada de Laplace unilateral de f( t). Normalmente se

omitir el trmino unilateral y la transformada se denotar por F(s) o L{f( t)}. El lmite inferior de (1.3) se escogi como 0 en vez de 0 o 0+ para incluir casos donde la funcin f( t ) pueda tener una discontinuidad de salto en 0t . Esto no debe considerarse una restriccin, ya que en los estudios usuales de transitorios, el

origen del tiempo siempre puede tomarse en el instante t = 0 o en algn tiempo finito t > 0. La funcin en el

lado derecho de (1.3) no depende de t porque la integral tiene lmites fijos. Como veremos, la

transformacin de Laplace es una transformacin que reduce un sistema de ecuaciones integro-diferenciales

simultneas lineales a un sistema de ecuaciones algebraicas simultneas lineales. La transformada de

Laplace asocia una funcin en el dominio del tiempo con otra funcin, la cual se define el plano de frecuencia compleja.

Puesto que est definida como una integral, es fcil demostrar que la transformada de Laplace es una

transformacin lineal. Esto es, si f1 ( t) y f2 ( t ) poseen transformadas F1(s) y F2(s) y c1 y c2 son constantes,

L )()()()(22112211

sFcsFctfctfc (1.4)

La notacin

)( )( sFtf

significar que las funciones f( t) y F(t) forman un par de transformadas de Laplace, esto es, que F(s) es la

transformada de Laplace de f( t).

En general, la variable s es compleja pero, por los momentos, se tomar como real y ms adelante se

discutirn las limitaciones sobre el carcter de la funcin f ( t) y sobre el recorrido de la variable s.

Ahora se obtendrn las transformadas de algunas funciones elementales. La mayora de los ejemplos estn

basados en la integral

0 ,1

0

pp

dte pt (1.5)

cuya demostracin procede de la identidad

p

edte

pTT

pt

1

0

En efecto, si p > 0, entonces epT 0 conforme T y se obtiene (1.5).

3

Ejemplo 1

(a) Se determinar la transformada de Laplace de la funcin f(t) = 1, t > 0. Insertando esta funcin en la Ec. (1.3), se

obtiene

L s

dtedte stst1

)1(1

00

para s > 0. En la notacin indicada,

0 ,1

1 ss

(1.6)

(b) Considrese ahora la funcin f ( t ) = e c t , t > 0, donde c es una constante. En este caso,

L

00

dtedteee tcsstctct

La ltima integral es la misma que la de (1.5) con p = s c; por lo tanto, es igual a 1/(s c), con tal que

.0 cs Se concluye entonces que

cscs

ect

,1

(1.7)

Con la ayuda de mtodos elementales de integracin se pueden obtener las transformadas de otras

funciones. Por ejemplo

2222

3

2

2

cos ,1

sen

2 ,

1

as

sat

asat

st

st

para s > 0; ms adelante se darn procedimientos ms sencillos para obtener estas transformadas.

Ejemplo 2

Usando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace se obtendr la transformada de la funcin

.senh)( attf

Usando la identidad

tata eeat 2

1

2

1senh

entonces

L }{senh ta = L asas

ee tata

1

2

11

2

1

2

1

2

1

cuando s > a y s > a; esto es,

a>s , senh22 as

aat

Como la ecuacin de definicin de la transformada de Laplace contiene una integral en la cual uno de sus

lmites es infinito, una de las primeras preguntas a responder se refiere a la existencia de la transformada.

4

Un ejemplo sencillo de una funcin que no tiene una transformada de Laplace es )].exp[exp(t Por ello, a

continuacin se darn algunos teoremas concernientes a la convergencia de la integral de Laplace.

1.3 CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.3.1 Funciones Seccionalmente Continuas

Se dice que una funcin f(t) es seccionalmente continua en un intervalo acotado a < t < b, si es continua

excepto en un nmero finito de puntos Nttt 21 de (a ,b) y si en cada punto de discontinuidad posee

lmites finitos conforme t tiende a cualquier extremo de los subintervalos desde el interior (si x1 = a, el

lmite por el lado derecho existe en t1, y si tN = b, el lmite por el lado izquierdo debe existir en tN). Se usan

los smbolos

)( ),( ii tftf

para denotar los lmites por el lado izquierdo y por el lado derecho, respectivamente, de f( t) en ti. La

funcin f(t) que se ilustra en la Fig. 1.1 es seccionalmente continua en (a, b). Tiene slo una discontinuidad

en t = t1 y

BtfAtf i )( ,)( 1

La funcin que se ilustra en la Fig. 1.2 no es seccionalmente continua. Posee slo una discontinuidad en t1,

pero el lmite por el lado derecho de g(t) no existe en t1.

Teorema 1. Sean las funciones f( t) y g ( t) seccionalmente continuas en todo intervalo de la forma [c,T],

donde c es fijo y T > c. Si |f ( t) | g(t) para t c y si la integral

c

dttg )(

converge, entonces la integral

c

dttf )(

tambin converge.

a t b t

B

A

i

Figura 1.1

a bt t1

Figura 1.2

)(tf)(tf

Ms adelante se usar el Teorema 1 para establecer un conjunto de condiciones de suficiencia para la

existencia de la transformada de Laplace de una funcin. Sin embargo, primero se introducir la notacin

5

)()( tgOtf

la cual debe leerse f( t) es del orden de g(t). Esta notacin significa que existen constantes M y N tales que

)()( tMgtf

cuando t N. En particular, si f ( t) = O |e t | para alguna constante , se dice que f( t) es de orden exponencial.

Teorema 2. Sea f( t ) una funcin seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [0,T], donde T > 0

y sea f( t) = O[e t] para alguna constante . Entonces la transformada de Laplace L )()( sFtf existe, al menos para s > .

Demostracin. De acuerdo con las hiptesis del teorema, existen constantes M y t0 tales que tMetf )(

cuando t > t0. Entonces tsst Mtf ee)( cuando s t0. Puesto que la integral

0

e

t

ts dtM

converge cuando s > , la integral

0t

st dte

tambin converge (Teorema 1). Como

0 0

,)()()(

0

0

sdttfedttfedttfe

t

st

t

stst

la transformada de Laplace L{ f( t)} existe para s > .

Como una aplicacin importante del Teorema 2, se demostrar que si f(t)es de la forma

btetbtet tantan sen ,cos (1.9)

donde n es un entero no negativo, entonces L{ f( t )} existe para s > a. Primero obsrvese que

tn eOt para todo nmero positivo . Como 1seny 1cos btbt para todo t, tenemos que

taeOtf )( Por el teorema 1, L{ f( t )} existe para s > a+ para todo nmero positivo . Por consiguiente, L{ f( t)}

existe para s > a.

El resultado anterior es importante en el estudio de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes

constantes. Considere la ecuacin homognea

0)( xDP

donde D = d/dt y P(D) es un operador polinomial. Toda solucin de esta ecuacin es una combinacin lineal

de funciones de la forma (1.9). Cualquier derivada de una solucin es tambin una combinacin lineal de

6

funciones de este tipo. Por lo tanto, se puede decir que toda solucin de la ecuacin, y toda derivada de una

solucin, es de orden exponencial y posee una transformada de Laplace.

Teorema 3. Sea f(t) una funcin seccionalmente continua en todo intervalo de la forma [0, T] y sea

teOtf )( para alguna constante . Entonces la funcin h(t), donde

t

duufth

0

)()(

es de orden exponencial. Si > 0, h(t) = O[et] y si < 0, h(t) = O[1].

Demostracin. Existen constantes positivas t0 y M1 tales que |f ( t) | M1e t

para t t0. Tambin existe

una constante positiva M2 tal que |f( t ) | M 2 para 0 t t0. Puesto que

t

t

t

duufduufth

0

0

)()()(

0

para t > t0, se tiene que

t

t

t

duufMduMth

0

0

)()(1

0

2

o

0102

)(tt ee

MtMth

Si > 0, entonces

01

02 ,)( tte

MtMth t

y h(t) =O[et].

Ejemplo 3

La funcin escaln unitario

0

0

0 cuando 1

0 cuando 0)(

tt

ttttu

es un ejemplo de una funcin seccionalmente continua en el intervalo 0 < t < T para todo nmero positivo T (Fig. 1.3).

Observe la discontinuidad en t = t0:

1)(lm 0)(lm00

00

ttuttutttt

1

t

)( 0ttu

0t Figura 1.3

7

La transformada de Laplace de esta funcin es

0

0

1e)(

0

0t

st

t

stst es

dtedtttu

As que siempre que s > 0,

L s

ettu

st0

)(0

Aqu debemos sealar un punto importante. La transformada de Laplace est definida solamente entre 0

y +. La conducta de la funcin )(tf para t < 0 nunca entra en la integral y por lo tanto no tiene efecto

sobre su transformada. Por ejemplo, las funciones 1)( tf y u(t) ( 10t en el Ejemplo 3) tienen la misma

transformada 1/s.

Las condiciones mencionadas en los teoremas para la existencia de la transformada de una funcin son

adecuadas para la mayora de nuestras necesidades; pero ellas son condiciones suficientes y no necesarias.

Por ejemplo, la funcin f( t) puede tener una discontinuidad infinita en, por ejemplo, t = 0, esto es |f ( t) |

conforme t 0, provisto que existan nmeros positivos m, N y T, donde m < 1, tales que |f ( t) | < N/t m cuando 0 < t < T. Entonces, si en cualquier otra forma, f( t ) cumple con las condiciones mencionadas, su

transformada todava existe porque la integral

T

sT dttfe

0

)(

existe.

1.4 TEOREMAS DE LA DERIVADA Y DE LA INTEGRAL

Se desea expresar la transformada de Laplace

0

)(' dtetf st

de la derivada f '( t) de una funcin f ( t) en trminos de la transformada de Laplace F(s) de f( t). Integrando

por partes se obtiene

L

0

0

0

)()()(')(' dtetfsetfdtetftf ststst

Sea f( t) del orden de est conforme t tiende a infinito. Entonces, siempre que s > a, el primer trmino en el

lado derecho se convierte en f (0) y por tanto

L )0()()(' fssFtf (1.10)

As que la diferenciacin de la funcin objeto corresponde a la multiplicacin de la funcin resultado por su

variable s y la adicin de la constante f(0). La frmula (1.10) da entonces la propiedad operacional fundamental de la transformacin de Laplace; la propiedad que hace posible reemplazar la operacin de

diferenciacin por una simple operacin algebraica sobre la transformacin.

8

Ejemplo 4

Se desea resolver la ecuacin

0 ,0)(3)( ttyty (1.11)

con la condicin inicial y(0) = 2.

Multiplicando ambos lados de (1.11) por est

e integrando de cero a infinito, se obtiene

0

0)(3)( dtetyty st (1.12)

Del teorema de la derivada, Ec. (1.10), se obtiene que

2)()0()()(

0

ssYyssYdtety st

donde Y(s) = L{y(t)}. Sustituyendo en (1.11) da

0)(2)( sYssY (1.13)

As que la transformada de Laplace Y(s) de la funcin incgnita y(t) satisface la ecuacin (1.13). Resolvindola, se

obtiene

3

2)(

ssY (1.14)

Como se observa en (1.7), la fraccin anterior es la transformada de la funcin te 32 . Por lo tanto, la solucin de

(1.11) es

0 ,2)( 3 tety t

1.4.1 La Transformada de Laplace Bilateral

La transformada de Laplace F(s) de una funcin f( t), como se defini en (1.3), involucra los valores de la

funcin f( t ) para todo t en el intervalo (0, ). Esto es adecuado en la solucin de ecuaciones diferenciales

que son vlidas para t 0. En la teora de circuitos elctricos y otras aplicaciones, algunas veces es deseable considerar los valores de f( t) en todo el eje real y definir a F(s) en consecuencia. Esto conduce a la funcin

dtetfsF st)()( (1.15)

conocida como la transformada de Laplace bilateral de f( t). Si la funcin f ( t) es causal, esto es, si f( t ) = 0

para t < 0, entonces la integral en (1.15) es igual a la integral en (1.3). En este texto no se usar (1.15). La

notacin F(s) se reservar slo para las transformadas unilaterales.

1.4.2 La Funcin Impulso

Un concepto importante de la teora de sistemas lineales es el de la funcin impulso. Esta funcin, tambin

conocida como la funcin delta de Dirac, se denota por )(t y se representa grficamente mediante una

flecha vertical, como en la Fig. 1.4. En un sentido matemtico estricto, la funcin impulso es un concepto

bastante sofisticado. Sin embargo, para las aplicaciones de inters es suficiente comprender sus propiedades

formales y aplicarlas correctamente. En lo que sigue se presentarn estas propiedades, enfatizando no el

rigor sino la facilidad operacional.

9

(t)

0 t Figura 1.4

Propiedades de la Funcin Impulso:

1. La funcin impulso )(t es una seal de rea unitaria con valor cero en todas partes excepto en el

origen:

0 para 0)( ,1)(

ttdtt (1.16)

2. La funcin impulso )(t es la derivada de la funcin escaln:

td

tudt

)()( (1.17)

3. El rea del producto (t)(t) es igual a (0) para cualquier (t) continua en el origen:

)0()()( dttt (1.18)

Esta propiedad se conoce como la propiedad de seleccin de la funcin impulso unitario.

4. La funcin )(t puede escribirse como un lmite:

zt

0lim)( (1.19)

donde z es una familia de funciones de rea unitaria que se anula fuera del intervalo (0,):

0

y 0 para 0 ,1)( ttzdttz

(Fig. 1.5). Un caso especial es el pulso rectangular mostrado en la Fig. 1.5. De all se deduce que )(t

puede ser aproximada por el pulso p(t) si es lo suficientemente pequeo. Posteriormente se explicar el significado de esta aproximacin.

A continuacin se discuten algunas consecuencias de las propiedades anteriores. La funcin )(t es par:

)()( tt (1.20)

La funcin (tt0) es un impulso centrado en t0 y de rea unitaria. De la Ec. (1.20) se obtiene que

)()(00

tttt (1.21)

10

)(t

dt

tdut

)()(

)(tz

)(tZ

1

)(tp

)(tu

1

t t

t

t

t

t

1

0 0

0 0

0 0

)(tu

Figura 1.5

Introduciendo un desplazamiento en el origen del tiempo en (1.17), se concluye que (t t0) es la derivada de la funcin escaln desplazada u(t t0):

dt

ttdutt

)()( 0

0

(1.22)

Este resultado puede usarse para diferenciar funciones que son discontinuas. Por ejemplo, supngase que

f( t) es una funcin escalonada como la que se muestra en la Fig. 1.6. Esta funcin es una suma de tres

funciones en escaln:

)(6)(2)(4)( 321 ttuttuttutf

De sta y (1.22) se concluye que la derivada de f( t) es la suma de tres impulsos:

)(6)(2)(4)( 321 tttttttf

como se muestra en la Fig. 1.6. El rea de cada impulso es igual al salto en la discontinuidad de f( t). As,

por ejemplo, 4(t t1) es un impulso centrado en el primer punto de discontinuidad de f(t) y su rea es igual a 4.

11

4

6

0 t

t

f(t) f(t)4

2

-6

0

t1 t2 t3

t1 t 2 t 3

Figura 1.6

La integral del producto (t)(t) en un intervalo (a, b) es igual a si el intervalo contiene el origen; no est definida si a = 0 o b = 0, y es igual a cero para cualquier otro valor:

0 definida, no

0 ,0

0 ),0(

)()(

ab

ab

ab

dttt

b

a

(1.23)

Por ejemplo,

0sen)( ,1cos)(

a

a

a

a

dtttdttt

Aplicando (1.18) a la funcin (t) = y(t + t0) se obtiene

)()()(00

tydtttty

Ahora se introduce el cambio de variable t + t0 = . Puesto que dt = d y los lmites de integracin permanecen iguales, la representacin anterior cambia a

)()()( 00 tydty

Pero ( t0 ) = t0 ); por lo tanto,

)()(t)(00

tydy

(1.24)

Esta identidad es bsica. De hecho, como se demostrar posteriormente, se puede usar para definir a )(t .

Ambos lados de (1.24) son funciones de t0. Diferenciando con respecto a t0, se obtiene

)(')(')(0

tydy

(1.25)

y se observa que la derivada '( t) de (t) es una funcin tal que el rea del producto )(')(0

ty

considerado como una funcin de es igual a y'(t0). Con t0 = 0, la Ec. (1.25) da

)0(')(')( ydy (1.26)

12

Puesto que (t) es una funcin par, su derivada '(t) es impar:

)(')(' tt (1.27)

Insertando sta en (1.26) y cambiando la variable de integracin de a t, se obtiene

)0(')(')( ydttty

(1.28)

Las derivadas de (t) de orden mayor se pueden definir en una forma similar.

Antes de continuar se deben hacer algunas consideraciones sobre la funcin impulso:

Como lo muestran las propiedades mencionadas, la funcin impulso no puede verse como una funcin

ordinaria porque las funciones ordinarias no poseen esas propiedades.

Una funcin que se anula en todas partes excepto en un solo punto no puede tener un rea unitaria.

La Ec. (1.17) viola la nocin de que una funcin discontinua no es diferenciable.

La familia de pulsos p(t) no posee un lmite ordinario conforme

Por todo esto, la funcin impulso, algunas veces llamada funcin de singularidad o funcin generalizada, debe interpretarse como un concepto nuevo y a sus propiedades se les debe dar una interpretacin especial

basada en la razn para su introduccin. Esta razn es la simplificacin de los efectos de seales ordinarias

cuya duracin es pequea en algn sentido. El significado preciso de esta afirmacin se apreciar

posteriormente. Aqu slo se dar una explicacin breve, usando como ilustracin el significado de las Ecs.

(1.19) y (1.17). Supngase que (t) es una funcin continua y z(t) es una funcin de rea unitaria que se

anula fuera del intervalo (0, ), como en la Fig. 1.5. Si es lo suficientemente pequeo, entonces (t) es casi

constante en el intervalo (0, ). Por lo tanto,

)0()()0()(z)(

00

dttzdttt

De esta relacin se deduce que

)0()()()()(0

00

dttztdttzt

As, aunque z(t) no tiene un lmite ordinario, la integral del producto z(t)(t) tiene un lmite conforme 0 y el lmite es igual a (0). Sin embargo, su integral, u(t), tiende a la funcin escaln u(t). La afirmacin que

0 conforme )()( dt

duttp

significa entonces que la integral de p(t) tiende a u(t). La misma conclusin se mantiene si p(t) se

reemplaza por z(t) y u(t) por la integral Z(t) de z(t).

El Teorema de la Derivada

Al comienzo de esta seccin se demostr que si F(s) = L{f(t)}, entonces

L )0()()(' fssFtf (1.29)

Ahora se revisar el significado de f(0). Si f( t) es continua en el origen, entonces f( t) tiene un significado

claro: es el valor de f(t) para t = 0. Suponga, sin embargo, que f( t) es discontinua y que

13

0 ),(lim)0( ),(lim)0(00

ffff (1.30)

son sus valores en t = 0+ y t = 0, respectivamente (Fig. 1.7a). En este caso, el nmero f(0) en la Ec. (1.29)

depende de la interpretacin de f ' ( t). Si f '( t) incluye el impulso [f (0+) f(0)](t) debido a la discontinuidad de f ( t) en t = 0 (Fig. 1.7b), entonces f (0) = f (0). Si f '( t ) es la derivada de f( t) para 0t

solamente y sin el impulso en el origen (Fig. 1.7c), entonces f(0) = f(0+). La primera interpretacin

requiere aclarar el significado de la integral en (1.3) cuando f( t) contiene un impulso en el origen.

Como se sabe, la integral de (t) en el intervalo (0, ) no est definida porque (t) es un impulso en 0=t .

Para evitar esta dificultad, se interpretar a F(s) como un lmite de la integral f( t )e s t en el intervalo (,

):

0

0)()(lim)( dtetfdtetfsF stst (1.31)

donde > 0. Con esta interpretacin de F(s) se deduce que la transformada de (t) es igual 1:

)(tf

)0( f

)0( f

)(' tf 0t 0t

t0

)(' tf

t t0 0

)0()0( ff

(a) (b) (c)

Figura 1.7

(t) 1 (1.32)

porque

1)(

dtet st

Adems, el trmino f(0) en (1.29) es el lmite f(0) de f () conforme 0. Si F(s) se interpreta como un lmite en el intervalo ( ,) , entonces f(0) = f (0+). En resumen,

)0()()('

0

fssFdtetf st (1.33)

y

)0()()('

0

fssFdtetf st (1.34)

La diferencia f (0+) f(0) entre estas dos integrales es igual a la transformada de Laplace del impulso [f(0+) f(0)](t) en el origen y causada por la discontinuidad de f( t) en ese punto.

14

Si la funcin f( t ) es continua en el origen, entonces debe quedar claro que f(0) = f (0+) = f(0) y las

frmulas (1.29), (1.33) y (1.34) son equivalentes. Si f ( t) es continua para t 0 excepto por un salto finito en t0, es fcil demostrar que la frmula (1.29) debe reemplazarse por la frmula

L 0 )0()0()0()()('00

stetftffssFtf

donde la cantidad entre corchetes es la magnitud del salto en t0.

Derivadas de Orden Mayor. Sean f( t ) y f ' ( t) continuas para t 0 y de orden exponencial y tambin sea f '( t) seccionalmente continua en todo intervalo acotado. Entonces, como f"( t) es la derivada de f '(t), la

transformada de f '( t) menos el valor inicial f ' (0) de f '( t), esto es

)0(')0()(

)0(')0()(

)0()(')("

2 fsfsFs

ffssFs

ftfsLtfL

(1.35)

La aplicacin repetida del argumento anterior produce la relacin

L )0( )0(')0()()( )1(21)( nnnnn ffsfssFstf (1.36) donde se supone que f( t) y sus derivadas de orden hasta n 1 son continuas para t 0 y de orden exponencial.

Aplicando (1.36) al impulso (t), se obtiene

L nn st )()( porque la transformada de (t) es igual a 1 y los valores de sus derivadas en t = 0 son iguales a cero.

Ejemplo 5

Se desea obtener la transformada de f(t) = sen(at) a partir de la transformada de cos(at).

Si f(t) = cos(at), entonces f ( t) = asen(at) y aplicando (1.29), se obtiene

22

2

22

2

1s

=

1cossen

as

a

as

atsata

LL

y por lo tanto

L 22

senas

aat

Ejemplo 6

Determnese la transformada de f ( t ) = tu (t).

La funcin f(t) = t y f ' ( t) son continuas y f ( t ) es de O(et

) para cualquier positiva. Por lo tanto,

L )}({ tf sL 0 )0()( sftf

o

L{1} = sL{ t}

Como L{1} = 1/s, se tiene entonces que

L 0 12

ss

t

15

Ejemplo 7

Determnese la transformada de Laplace de f(t) = tn, donde n es cualquier entero positivo.

La funcin f ( t) = tn cumple con todas las condiciones del Teorema 2 para cualquier positiva. En este caso,

0)(

!)(

0)0( )0(')0(

1

1

tf

ntf

fff

n

n

n

Aplicando la frmula (1.36) se obtiene

L 11 0)( nn stf L !nt n y por tanto,

L 0 !1

ss

nt

n

n

1.4.4 El Teorema de la Integral

Usando el teorema de la derivada (1.29), se obtendr la transformada F(s) de la integral definida por

t

dytf

0

)()( (1.37)

de una funcin y(t) en trminos de la transformada Y(s) de y(t). Se supone que f( t) es seccionalmente

continua y de orden exponencial.

La funcin f( t) en (1.37) es continua y f(0) = 0. Tambin se tiene que y(t) = f '( t ). Por lo tanto, la

transformada Y(s) de y(t) es igual la transformada sY(s) f (0) y, puesto que f(0) = 0, se concluye que Y(s) = sF(s). Entonces,

)(sF L )(1

)(

0

sYs

dy

t

(1.38)

Ahora bien, la formulacin de las leyes de Kirchhoff para una red, con frecuencia incluye una integral con

lmites de a t. Estas integrales pueden dividirse en dos partes,

tt

dydttydy

0

0

)()()(

en donde el primer trmino de la derecha es una constante. Cuanto y(t) es una corriente, esta integral es el

valor inicial de la carga, )0( q , y cuando y(t) es un voltaje, la integral es el enlace de flujo

)0()0( iL , donde L es la inductancia. En cualquier caso, este trmino debe incluirse en la

formulacin de la ecuacin; la transformada de una constante )0( q es

L s

qq

)0()0(

Y se puede escribir una ecuacin similar para ).0(

1.4.5 Traslacin Compleja

Ahora se expresar la transformada

16

00

0 )()( adtetfdtetfe taststa (1.39)

del producto eatf(s) en trminos de la transformada F(s) de f( t). La ltima integral en la ecuacin anterior es

la misma integral de la Ec. (1.3) provisto que s se reemplace por s a. Por lo tanto, es igual a F(s a) y se obtiene el par de transformadas

)( )( asFtfe at

Ejemplo 8

Ahora se usarn las Ecs. (1.38) y (1.39) para evaluar la integral

t

a detg

0

)(

Este es un caso especial de (1.38) con Y(t) = ea t

. Usando (1.39) con f (s) = 1, se tiene que F(s) = 1 / s y entonces

as

e ta

11L

Usando (1.38) con Y(s) = 1 / (s+a) , se obtiene

as

a

s

a

asssG

11

)(

1)(

y por tanto,

0 11

11)(

tea

eaa

tg

ta

ta

Aplicando (1.39) a las transformadas de sen(bt) y cos(bt) se demuestra fcilmente que

22

22

sen

cos

bas

bbte

bas

asbte

ta

ta

1.5 EL PROBLEMA DE INVERSIN

Si F(s) es la transformada de Laplace de una funcin f( t), entonces f( t) se denomina la transformada de

Laplace inversa de F(s). El problema de inversin es la determinacin de la transformada inversa f( t) de

una funcin F(s) dada. Este problema es bsico en las aplicaciones de la transformada de Laplace.

Considere, por ejemplo, la ecuacin diferencial

0)0( ,6)(3)(' ytyty (1.40)

Transformando esta ecuacin, se obtiene

ssYssY

6)(3)(

17

porque y(0) = 0 y la transformada de f( t) = 6 es igual a 6/s. Por lo tanto,

)3(

6)(

sssY (1.41)

As que para determinar y(t) se debe hallar la transformada inversa de esta fraccin.

En general, hay dos mtodos de inversin fundamentales diferentes:

1. El Mtodo de la Frmula de Inversin. En este mtodo, la funcin f ( t) se expresa directamente como una integral que involucra la funcin F(s). Este resultado importante, conocido como el de la frmula de

inversin, se discute usualmente en el contexto de lo que se conoce como transformadas de Fourier

(tpico fuera del alcance de este texto).

2. Tablas. En este mtodo se intenta expresar la funcin F(s) como una suma de transformadas

)( )()()( 21 sFsFsFsF n (1.42)

donde )(, ),(1 sFsF n son funciones con transformadas inversas )( , ),(1 tftf n conocidas y

tabuladas. De la propiedad de linealidad de la transformada se determina que si F(s) puede ser

expandida como en (1.42), entonces su transformada inversa f( t) est dada por

)( )()()( 21 tftftftf n (1.43)

Como una ilustracin se expande la fraccin (1.41) como una suma de dos fracciones con transformadas

conocidas:

3

22

)3(

6)(

sssssY (1.44)

sta muestra que la transformada inversa y(t) de Y(s) es la suma

0 ,2)( 3 tety t

(Esta tcnica tambin se us en el Ejemplo 8).

La identidad en (1.44) proviene de la conocida tcnica de expansin de funciones racionales en fracciones

parciales, la cual se discutir ms adelante.

En el problema de inversin se deben considerar las siguientes preguntas:

1. Existencia. Posee toda funcin F(s) una transformada inversa? Hay funciones que no poseen transformadas inversas. Sin embargo, esas funciones tienen un inters principalmente matemtico.

Todas las funciones consideradas en este texto poseen transformadas inversas.

2. Unicidad. Pueden dos funciones f1(t) y f2(t) tener la misma transformada F(s)? Si dos funciones tienen la misma transformada, entonces ellas deben ser iguales para esencialmente todos los valores de t. Sin

embargo, pueden diferir en un conjunto discreto de puntos. Si las funciones son continuas, entonces

ellas deben ser idnticas.

1.5.1 Inversin de Transformadas Racionales (Fracciones Parciales)

Ahora se determinar la transformada inversa f( t) de la clase de funciones racionales, esto es, de funciones

de la forma

)(

)()(

sD

sNsF (1.45)

donde N(s) y D(s) son polinomios en s y no poseen factores comunes. Aqu se supone que F(s) es una

fraccin propia, esto es, que el grado de N(s) es menor que el de D(s). Las fracciones impropias involucran

funciones de singularidad y se considerarn posteriormente.

18

Primero, supngase que todas las races si, i = 1, 2, , n, del denominador D(s) son distintas. De acuerdo con la teora de fracciones parciales, F(s) puede entonces expandirse como una suma, esto es,

n

n

ss

c

ss

c

ss

csF

)(

2

2

1

1 (1.46)

Para determinar el valor de ci, se multiplican ambos miembros de la Ec. (1.46) por ssi para obtener la ecuacin

n

ini

ii

ss

sscc

ss

sscsFss

)(

1

1

esto es, se remueve del denominador el factor s si; evaluando ahora el resultado en s = si, se obtiene

iss

ii sFssc )( (1.47)

Puesto que la transformada inversa de la fraccin 1/(ss i) es igual a es ti , de (1.46) se concluye que la

transformada inversa f(t) de la funcin racional F(s) es una suma de exponenciales:

ts

ntsts nececectf )( 21 21 (1.48)

Ejemplo 9

Determine la transformada inversa de la funcin

s10s7

30s29)(

23

2

s

ssF

El denominador de F(s) es de mayor grado que el numerador y posee factores reales y distintos; stos son:

.5y 2 ,0 321 sss Por lo tanto, se pueden determinar factores c1, c2, y c3 tales que

52323029

107

3029 3212

23

2

s

c

s

c

s

c

sss

ss

sss

ss

y usando (1.47) se obtiene

6)(5 ,4)(2 ,3)(532201

sss

sFscsFscssFc

Por lo tanto,

0 ,643)( 52 teetf tt

Ahora se considerarn fracciones parciales para el caso en el cual el polinomio D(s) contiene factores

lineales repetidos de la forma (ss i)m. En este caso, la expansin de F(s) en fracciones parciales consiste de

trminos de la forma

mi

im

i

i

i

i

ss

c

ss

c

ss

c

2

21 (1.49)

donde los nmeros c i j , j = 1, 2, , m, son independientes de s y vienen dados por

1 , 1, ,0 ,)(!

1, mrsFss

ds

d

rc

issm

ir

r

rmi (1.50)

As que para evaluar el coeficiente ci,mr se remueve el factor (ss i)m del denominador de F(s) y se evala la

derivada r-sima del resultado en s = si. La componente de f ( t) debida a la raz mltiple si es la

transformada inversa de la suma en (1.49) y viene dada por

19

tsmimtsi

tsi

iii etm

cetcec 121

!1

(1.51)

De lo anterior se concluye que la transformada inversa de una funcin racional F(s) es una suma de

exponenciales cuyos coeficientes son polinomios en t. Los exponentes si se denominan los polos de F(s),

esto es, los polos son las races del denominador D(s).

Ejemplo 10

La funcin

2

22211

2

2

55353

52)(

s

c

s

c

s

c

ss

sssF (1.52)

tiene un polo sencillo en s1 = 3 y un polo mltiple en s2 = 5 con multiplicidad m = 2. En este caso,

1

3

16

3

52

103

52 ,2

5

52

5

2

2

5

2

21

5

2

22

3

2

2

1

ss

ss

s

ss

s

ss

ds

dc

s

ssc

s

ssc

Por lo tanto,

0 ,1012)( 53 tetetf tt

Observe que el coeficiente c21 puede determinarse sin diferenciacin. Puesto que (1.52) es vlida para toda s, tambin

es vlida para s = 0 (o cualquier otro nmero). Haciendo s = 0, se obtiene

255315

1 22211 ccc

Puesto que c1 = 2 y c22 = 10, la igualdad anterior produce c21 = 1.

Races Complejas. En los ejemplos anteriores, las races del denominador de la funcin F(s) eran reales. Se

pueden obtener resultados similares si D(s) tiene races complejas. Sin embargo, en este caso los

coeficientes correspondientes son complejos y f( t) contiene trminos exponenciales complejos. En el

anlisis de sistemas fsicos, la funcin F(s) tiene coeficientes reales. Por ello, las races complejas siempre

ocurren en pares conjugados y, como se demuestra a continuacin, las componentes correspondientes de

f( t) son ondas sinusoidales amortiguadas con coeficientes reales. Se comenzar con un ejemplo:

134135

)(2

sss

ssF

En este caso, D(s) tiene dos polos complejos, s1 = 2 + j3, s2 = 2 j3, y un polo real, s3 = 0. La expansin directa de (1.46) da

sc

js

c

js

c

sss

s 3212 3232134

135

donde c1 = (1+j)/2, c2 = (1j)/2 y c3 = 1 (determinados en la forma ya explicada). Por consiguiente,

0 ,1

2

1

2

1)( 3232

te

je

jtf tjtj (1.53)

20

Esta expresin incluye cantidades complejas. Sin embargo, es una funcin real. Efectivamente, insertando la

identidad tjtee ttj 3sen3cos232 en (1.53), se obtiene

0 ,3sen3cos1)( 2 tttetf t (1.54)

la cual es una expresin real.

Ahora se demostrar que la Ec. (1.54) puede determinarse directamente. El resultado est en el hecho de

que si F(s) es una funcin real con coeficientes reales y s1 y s2 son dos nmeros complejos conjugados,

entonces F(s2) = )(*)( 1*1 sFsF (donde el asterisco indica el conjugado complejo).

Considere una funcin racional F(s) con coeficientes reales. Como se sabe, si s1 = + j es un polo

complejo de F(s), entonces su conjugado, js*1

, tambin es un polo. Por lo tanto, la expansin (1.46)

de F(s) contiene trminos

jsjsss

c

ss

c21

2

2

1

1 , , (1.55)

Los coeficientes c1 y c2 se expresarn en trminos de la funcin

21

)()( ssss

j

sFsG

(1.56)

De la Ec. (1.47) se obtiene que

)(2

1)()(

12

111

1

sGss

sGjsssFc

ss

puesto que s1 s2 = j2. En forma similar,

)(2

122 sGc

La funcin G(s1) es, en general, compleja con parte real Gr y parte imaginaria Gi, esto es,

ir

jGGsG )(1

(1.57)

Como F(s2) = F*(s1), de (1.56) se obtiene que G(s2) = G*(s1) = Gr jGi, y por lo tanto,

irir jGGcjGGc 2

1 ,

2

121

La transformada inversa de la suma en la Ec. (1.55) es entonces igual a

tjir

tjir

tstsejGGejGGecec

2

1

2

121

21 (1.58)

Insertando la identidad tjtee ttj sencos en (1.58), se obtiene finalmente la transformada

inversa f( t ) de F(s) debida a los polos complejos conjugados s1 y s2, la cual es igual a

tGtGeir

t sencos (1.59)

En resumen: Para hallar el trmino en f ( t) resultante de los polos complejos de F(s), se forma la funcin

G(s), como en (1.56), y se calcula su valor G(s1) para s = s1. El trmino correspondiente de f( t) lo da (1.59),

donde Gr y Gi son las partes real e imaginaria de G(s).

El resultado anterior se aplicar a la funcin

21

134135

)(2

sss

ssF

ya considerada. En este caso,

3 ,2 ,32 ,1341

2

21 jsssssss

323

13325)( ,

3

135134

)()(

12

jj

jsG

sj

sss

j

sFsG

Por lo tanto, Gr = 1, Gi = 1 y (1.59) da

tte t 3sen3cos2

Este es el trmino de f( t) proveniente de los polos complejos de F(s) y concuerda con el resultado (1.54).

Ejemplo 11

Obtener la transformada inversa de la funcin

23329)( 321

2

s

c

js

c

js

c

ss

ssF

El coeficiente c3 correspondiente al polo real s3 = 2 se determina directamente a partir de (1.47):

13

2)(2

23

ssFsc

Los otros dos polos s1 = j3 y s2 = j3 de F(s) son imaginarios puros con = 0 y Puesto que

9221 sssss

la funcin G(s) correspondiente en (1.56) est dada por

23

93

)()( 2

sj

ss

j

sFsG

Por lo tanto,

13

3

13

2

233

31 j

jj

jsG

Agregando el trmino c3e2t

debido al polo real s3 = 2, se obtiene

tetttf 2

13

23sen

13

33cos

13

2)(

1.5.2. Inversin de Funciones Impropias

En la Seccin 1.5.1 se determin la transformada inversa de funciones racionales propias. Ahora se

considerarn funciones impropias, limitando la discusin a dos casos especiales.

Se comenzar con un ejemplo. Suponga que

23

141532

2

ss

sssF

Dividiendo se obtiene

2

4

1

23

23

863

23

1415322

2

ssss

s

ss

ss

22

y por tanto,

tt eettf 242)(3)(

Considere otro ejemplo. Sea la funcin

ss

ssssF

4

83)(

2

23

Entonces, procediendo en la misma forma que en el ejemplo previo, se obtiene

4

321

4

832

23

sss

ss

sss

y por lo tanto

tetttf 432)()(')(

En general, para una funcin racional

)(

)()(

sD

sNsF

donde el grado de N(s) es mayor o igual que el de D(s), se procede a la divisin para obtener

)(

)()(

)(

)()(

01 sD

sQsP

sD

sQcscscsF nm

nm

donde P(s)es es el cociente y Q(s) es el residuo; m es el grado del numerador y n el del denominador (m >

n). Ahora el grado de Q(s) es menor que el de D(s). La nueva funcin racional )()( sDsQ es propia y est

preparada para su expansin. Se contina entonces con la expansin en fracciones parciales de Q(s)/D(s) y

luego se obtiene la transformada inversa de F(s). Obsrvese que el polinomio P(s) producir funciones

singulares. stas no aparecen con frecuencia, pero son de mucha utilidad en la solucin de algunos

problemas prcticos que estn fuera del alcance de este texto.

1.6 LOS VALORES INICIAL Y FINAL DE f(t) A PARTIR DE F(s)

A continuacin se demuestra que los valores de una funcin f ( t) y sus derivadas en t = 0 pueden expresarse

en trminos de los valores de su transformada para valores grandes de s. Este resultado permite determinar

en una forma sencilla la conducta de f( t) cerca del origen. Tambin se determinar el comportamiento de

f( t) conforme t tiende a infinito usando su transformada y bajo ciertas condiciones.

1.6.1. El Teorema del Valor Inicial

La funcin est tiende a cero conforme s tiende a infinito para t > 0 (la parte real de s mayor que cero). A

partir de esto se deduce que bajo ciertas condiciones generales

0)(lms

dtetf ts (1.60)

para todo > 0. Si f( t) es continua para t 0 excepto posiblemente por un nmero finito de discontinuidades finitas, y tambin de orden exponencial, entonces la integral en (1.60) tiende a F(s) cuando

0 . Esto da como resultado que

0)(lm

sFs

(1.61)

23

Lo anterior podra no ser cierto si f ( t) contiene impulsos u otras singularidades en el origen. Por ejemplo, si

f( t) = e a t , entonces F(s) = 1/(s a) tiende a cero cuando s . Sin embargo, si )()( ttf , entonces su

transformada F(s) = 1 no tiende a cero.

Aplicando (1.61) a la funcin f ' ( t) y usando (1.29), se obtiene

0)0()()(lm

0

s

fssFdtetf st

Aqu se toma a f '( t) como seccionalmente continua y de orden exponencial.

Entonces se obtiene que

)(lim)0( ssFfs

(1.62)

este resultado se conoce como el teorema del valor inicial. Se verificar con una ilustracin sencilla. Si f(t)

= 3e2t, entonces

32

3lm)(lm ,

2

3)(

s

sssF

ssF

ss

lo cual concuerda con la Ec. (1.62) porque, en este caso, f(0+) = f(0) = 3.

Ejemplo 12

Si

107

32)(

2

ss

ssF

entonces,

2107

32lm)(lm

2

2

ss

ssssF

ss

Por lo tanto, f(0) = 2.

El teorema del valor inicial tambin puede usarse para determinar los valores iniciales de las derivadas de

f( t). En efecto, como se obtiene de (1.36), la funcin )0(')0()(2 fsfsFs es la transformada de Laplace

de f"( t). Por lo tanto [ver (1.60)], debe tender a cero cuando [f" ( t) debe cumplir con las condiciones necesarias]. Esto conduce a la conclusin que

)0()(lm)0(" 2 sfsFsfs

(1.63)

En una forma similar se pueden determinar los valores iniciales de derivadas de orden superior. En todos

estos casos hemos supuesto que f( t) es continua en el origen.

Ejemplo 13

Si

107

32)(

2

ss

ssF

entonces . cuando 1)(y 0)( ,0)(32 ssFssFsssF Por lo tanto,

1)0(" ,0)0(' ,0)0( fff

24

1.6.2. El Teorema del Valor Final

Ahora se demostrar que si f( t ) y su primera derivada son transformables en el sentido de Laplace, entonces

)(lm)(lm0

ssFtfst

(1.66)

Ya se ha demostrado que

)0()()('

0

fssFdtetf st (1.67)

Cuando s tiende a cero, se obtiene

)0()(lim

)('lim)('

00

ftf

dttfdttf

t

t

t

Igualando este resultado con el de la Ec. (1.67), escrita para el lmite s 0, se llega a la conclusin que

)(lm)(lm0

ssFtfst

(1.68)

como se requera. La aplicacin de este resultado requiere que todas las races del denominador de F(s)

tengan partes reales negativas, ya que de otra manera no existe el lmite de f( t) cuando t tiende a infinito.

Ejemplo 14

Para la funcin

tetf 235)(

es evidente que su valor final es 5. La transformada de f(t) es

2102

2

35)(

ss

s

sssF

y, de acuerdo con la Ec. (1.68), el valor final de f ( t) es

52

102lm)(lm)(lm

00

s

sssFtf

sst

1.7. TEOREMAS ADICIONALES

1.7.1. El Teorema de Traslacin Real o de Desplazamiento

Una funcin f ( t) trasladada en el tiempo se representa como f( t t0)u ( t t0), donde

0

00

00 ,0

),()()(

tt

ttttfttuttf (1.69)

(Fig. 1.8). Observe que la funcin f( t t0 )u ( t t0 ) es idntica a f(t)u (t) excepto que est retardada o trasladada en t0 seg. Para encontrar la transformada de esta funcin se aplica (1.3) a (1.69):

25

0

0

0

000

0

)()()()( dtetfdtettfdtettuttftts

t

stst

de donde se concluye que

)()()( 000

tfettuttfst LL (1.70)

Aplicando (1.70) al par (t) 1, se obtiene

0 )(0

stett

)(tf )()( tutf )()( 00 ttuttf

0 t t t0t0 0

Figura 1.8

Ejemplo 15

De los pares 1 1/s y t 1/s2, se obtienen los pares

00

2000

1 )()( ,

1 )(

stste

sttutte

sttu

Aplicando lo anterior al pulso pT = u(t) u(t T). Se obtiene

sTT eTtutup 1s

1 )()( (1.71)

Este ltimo resultado puede verificarse aplicando la definicin (1.3) de la transformada. Puesto que 1)( tpT para

Tt

26

Supngase que F1(s), F2(s), , Fm(s) son funciones con transformadas inversas conocidas

)(, ),( ),( 21 tftftf m . De la Ec. (1.70) y la propiedad de linealidad de la transformada se obtiene que la

transformada inversa de la suma

mst

mstst

esFesFesFsF )( )()()( 21 21 (1.72)

es la suma

)()( )()()()()(222111 mmm

ttuttfttuttfttuttftf (1.73)

Esto se ilustrar mediante un ejemplo.

Ejemplo 17

Se desea determinar la transformada inversa de la funcin

107

633)(

2

2

ss

esesF

sTsT

Esta funcin es una suma igual que en (1.72), donde

107

6)( ,

103

3)( ,

107

3)(

232221

sssF

ss

ssF

sssF

y t1 = 0, t2 = T y t3 = 2T. Usando expansin en fracciones parciales, se obtiene

tttttt eetfeetfeetf 52325

252

1 22)( ,25)( ,)(

y aplicando (1.73), se obtiene

)2()2()()()()()( 321 TtuTtfTtuTtftutftf

1.7.2. El Teorema de Escala

Este teorema relaciona los cambios de escala en el dominio de s con los cambios correspondientes en el

dominio de t. El trmino cambio de escala significa que s o t se multiplican por una constante positiva. Dada

una funcin f( t), se cambia de escala al formar una nueva funcin f ( t / t0 ). Su transformada se encuentra

como sigue: a partir de la ecuacin de definicin se tiene que

0

000

0

00

00= ttdettft

dtettfttf

ttst

stL

si ahora se hace t / t0 = x , entonces la ltima ecuacin se convierte en

0

000 dxexftttfsxtL

Obsrvese que la integral define a F( t0s), de tal modo que se puede escribir

stFtttf000

L (1.74)

La transformada inversa correspondiente es

stFtttf0

1

00

L (1.75)

27

Ejemplo 18

Para la transformada

)1(

1

sssF

el valor correspondiente de f ( t) es

tetf 1)( (1.76)

El teorema de escala indica que la nueva funcin

211 122tesFtf L (1.77)

est relacionada con f ( t ) en la Ec. (1.76) por un simple cambio en la escala del tiempo.

1.7.3 Derivadas de Transformadas

Cuando la integral de Laplace

0

)( dtetfsF st (1.78)

es diferenciada formalmente con respecto al parmetro s, se obtiene la frmula

0

)( dtetftdt

sdF st

lo que implica que

ds

sdFttf (1.79)

esto es, la multiplicacin de una funcin f( t) por t en el dominio del tiempo equivale a diferenciar la

transformada F(s) de f ( t) con respecto a s y luego cambiar de signo en el dominio de la frecuencia

compleja..

Se debe sealar que f(t)e-st y su derivada parcial de cada orden con respecto a s cumplen con las

condiciones necesarias para que la diferenciacin con respecto a s se pueda ejecutar dentro del signo de

integracin; se obtiene as el siguiente teorema:

Teorema 4. La diferenciacin de la transformada de una funcin corresponde a la multiplicacin por :t

2, ,1 ,)( ntftLsF nn (1.80)

Adicionalmente F(n)(s) 0 conforme s . Estas propiedades se cumplen siempre que f( t) sea

seccionalmente continua y del orden de et, si s > en la frmula (1.80).

Ejemplo 19

Ya se sabe que

0 sen22

sas

aatL

y, por (1.80),

28

22222

2sen

as

as

as

a

ds

dattL

de donde se obtiene la frmula

222

2sen

as

satatL

(1.81)

Ejemplo 20

Determinar la transformada de Laplace de .5cose)( tttf ta

Si se hace ttf 5cos1 y ,5cos2 tttf se obtiene

25)(

21

s

ssF

Usando el teorema de la multiplicacin por t, se obtiene

22

2

22 )25(

25

25

s

s

s

s

ds

dsF

y finalmente, usando la propiedad de la traslacin compleja,

222

22

2

294

214

252

252

ss

ss

s

ssF

1.7.4. La Transformada de una Funcin Peridica

Considere la funcin peridica f( t ) con un perodo T que satisface f ( t + nT) = f( t), donde n es un entero

positivo o negativo. La transformada de esta funcin es

+ )()(

)(

2

0

0

T

T

st

T

st

st

dtetfdtetf

dtetfsF

(1.82)

Trasladando sucesivamente cada trmino de la transformada por e-sT, en donde n es el nmero de traslados

necesarios para hacer que los lmites de las expresiones integrales sean todos de 0 a T, se tiene que

T

stsTsT dtetfeesF

0

2 )( 1

y utilizando el teorema del binomio para la identificacin de la serie, se obtiene

T

ts

Tsdtetf

esF

0

)(1

1 (1.83)

La integral en esta ecuacin representa la transformada de la funcin f( t) como si ella estuviese definida

slo de 0 a T. Denotando esta transformada por F1(s), se obtiene

29

sFe

sFTs 11

1

(1.84)

Esta ecuacin relaciona la transformada de una funcin peridica con la transformada de esa funcin sobre

el primer ciclo (o cualquier otro ciclo).

Ejemplo 21

Se desea determinar la transformada de un tren de pulsos con un perodo T, donde cada pulso tiene una amplitud

unitaria y una duracin a < T.

Aplicando la Ec. (1.84), se tiene

saa

ts

T

st

es

dte

dtetfsF

11

=

)(

0

0

1

y por tanto,

sT

sa

e

e

ssF

1

11

1.8. APLICACIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A ECUACIONES DIFERENCIALES

En esta seccin se usan transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con

coeficientes constantes. Se supone siempre que todas las ecuaciones son vlidas para t 0 y las soluciones se determinan para diferentes formas de excitacin.

Una ecuacin diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes es una ecuacin de la forma

)()()('+ )()( 011

1 txtyatyatyatyan

nn

n

(1.85)

donde x(t), la excitacin, es una funcin conocida y a0, a1, , an son constantes dadas.

Una solucin de (1.85) es cualquier funcin y(t) que satisfaga la ecuacin. Como se ver, la Ec. (1.85)

tiene muchas soluciones. Sin embargo, su solucin es nica si se especifican los valores iniciales de y(t) y

sus primeras n 1 derivadas:

1

110

)0( , ,)0(' ,)0(

n

n yyyyyy (1.86)

Estos valores se denominan condiciones iniciales.

Una solucin particular es una solucin y(t) que satisface unas condiciones iniciales especficas. Si no se

especifican los valores iniciales, entonces y(t) es una solucin general. As que una solucin general es una

familia de soluciones que depende de los n parmetros y0, y1, , yn1.

A una ecuacin diferencial se le puede dar una interpretacin de sistema. En esta interpretacin, la Ec.

(1.85) especifica un sistema con entrada (excitacin) x(t) y salida (respuesta) y(t). La salida as especificada,

y(t), es la solucin nica de la Ec. (1.85) bajo las condiciones iniciales especificadas.

El estado inicial del sistema es el conjunto (1.86) de condiciones iniciales. La respuesta de estado cero del

sistema es la solucin, y(t) = y(t), de (1.85) con cero condiciones iniciales:

00 001'

n

yyy (1.87)

30

La respuesta de entrada cero, y(t) = y(t). Es la solucin de (1.85) cuando x(t) = 0. Esto es, la respuesta de

entrada cero y(t) es la solucin de la ecuacin homognea

0)(' )()( 01)1(

1

tyatyatyatyan

nn

n (1.88)

La aplicacin de la transformada de Laplace para resolver la Ec. (1.85) comprende los siguientes pasos:

1. Se multiplican ambos lados de la ecuacin por est y se integra de cero a infinito. Puesto que la ecuacin es vlida para t 0, resulta la ecuacin

00

0)()(a+ )( dtetxdtetytya ststn

n (1.89)

Se supone que todas las funciones son transformables en el sentido de Laplace. Ello implica que el lado

derecho es igual a la transformada X(s) de la funcin conocida x(t), y el lado izquierdo puede expresarse

en trminos de la transformada Y(s) de y(t) y de las condiciones iniciales (1.86).

2. Se resuelve la ecuacin en Y(s) resultante.

3. Se determina la transformada inversa y(t) de Y(s) usando fracciones parciales u otros mtodos de inversin.

A continuacin se ilustra el mtodo con varios ejemplos.

Ejemplo 21

Resolver la ecuacin diferencial

)()()(' 01 txtyatya

sujeta a la condicin inicial y(0) = y0.

Tomando transformadas en ambos lados se obtiene

)()()( 001 sXsYayssYa

Por lo tanto,

01

01

01

)()(

asa

ya

asa

sXsY

As que Y(s) = Y+Y, donde

)(1

)(01

sXasa

sY

es la respuesta de estado cero y

010

1y

aasY

es la respuesta de entrada cero. Su inversa es la exponencial

tseyy 10

donde s1 = a0 /a1 .

Si, por ejemplo, a0 = 1, a1 = 2, x(t) =8t y y(0) = 5, entonces la ecuacin es

,5)0( ,8)(2)(' yttyty

y su ecuacin transformada es

31

2

724

2

5

2

8)(

2

2

sssss

ssY

La solucin es

0 ,724 2 tetty t

Ejemplo 23

Resolver la ecuacin diferencial

)(5542

2

tuydt

dy

dt

yd

sujeta a las condiciones

2 ,100

tdt

dyy

La transformacin de Laplace de esta ecuacin diferencial produce

s

sYyssYyyssYs5

)(5)0()(4)0(')0()(2

y al incluir las condiciones iniciales se obtiene

6554)( 2 ss

sssY

o

54

562

2

sss

sssY

Desarrollando ahora en fracciones parciales,

1212

1)(

js

j

js

j

ssY

y tomando la transformada inversa da la solucin

0 t,sen21)( 2 tety t

Ejemplo 24

Determine la solucin de la ecuacin diferencial

2)(6)()(" tytyty

sujeta a las condiciones

00' ,10 yy

Aplicando la transformacin a ambos lados de la ecuacin diferencial, se obtiene la ecuacin algebraica

ssYssYsssY

2)(61)()(

Por lo tanto,

s

sssYss

2)(6

22

32

o

23)2)(3(

2)(

2

s

C

s

B

s

A

sss

sssY

Evaluando los coeficientes, se encuentra que

2

1

5

4

3

1

15

81

3

1)(

ssssY

y la solucin y(t) es

0 ,5

4

15

8

3

1)( 23 teety tt

Ejemplo 25

Determine la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales

01020

)(1001020

122

211

yydt

dy

tuyydt

dy

sujeto a las condiciones iniciales y1(0) = 0 y y2(0) = 0.

Las ecuaciones transformadas son

0)()20()(100

100)(10)()20(

21

21

sYssY

ssYsYs

Resolviendo este sistema, se obtiene

301

3

5

10

51

3

10

30040

1000)(

30

1

3

5

10

51

3

20

30040

20100)(

22

21

sssssssY

ssssss

ssY

y la solucin es

0 ,3

55

3

10)(

0 ,3

55

3

20)(

30102

30101

teety

teety

tt

tt

1.9. LA CONVOLUCIN

La operacin de convolucin encuentra aplicaciones en muchos campos, incluyendo la teora de redes

elctricas y controles automticos. Una aplicacin sobresaliente es la que permite evaluar la respuesta de un

sistema lineal a una excitacin arbitraria cuando se conoce la respuesta al impulso [respuesta cuando la

excitacin es un impulso unitario ( t ) ].

Sean las dos funciones f1(t) y f2(t) transformables en el sentido de Laplace y sean F1(s) y F2(s) sus

transformadas respectivas. El producto de F1(s) y F2(s) es la transformada de Laplace de la convolucin de

f1(t) y f2(t); esto es

)()()()( 21 sFsFsFtf L (1.90)

33

donde

tt

dftfdtfftftftf

0

21

0

2121)()()()()()()( (1.91)

Las integrales en las Ecs. (1.91) se conocen como integrales de convolucin y el asterisco (*) indica la

operacin de convolucin. De acuerdo con la relacin ,21 tftftf se observa que

)()(

)()()()()(

21

1221

sFsF

tftftftfsF

LL (1.93)

As que la transformada inversa del producto de las transformadas F1(s) y F2(s) se determina mediante la

convolucin de las funciones f1(t) y f2(t) usando cualquiera de las frmulas en la Ec. (1.91) (obsrvese que la

convolucin es conmutativa).

Para deducir estas ecuaciones, observe que F(s) = F1(s)F2(s) se puede expresar como un producto de las

integrales que definen sus transformadas de Laplace en la forma

0 0 0

21)()()( dtedftfdtetfsF st

t

st

la cual puede ser expresada como

0 0

21)()()()( dtedftutfsF st

puesto que u(t ) = 0 para > t. Intercambiando el orden de integracin, se obtiene

0 0

12)()()()( ddtetutffsF st

Definiendo ahora

x = t

se tiene que

0

12)()()()( ddxexuxffsF xs

Pero u(x) hace cero el valor de la integral entre corchetes para x < 0, y por tanto

0 0

12)()()( ddxexffsF xs

la cual puede ser expresada como el producto de dos integrales:

)()()()()(12

0

1

0

2sFsFdxexfdefsF sxs

o tambin

34

t

dftfFsF

0

2112)()( (s))( (1.94)

la que demuestra la validez de una de las ecuaciones (1.91). Si se intercambian f1(t) y f2(t), se puede efectuar

la misma derivacin para la otra ecuacin en (1.91).

A continuacin se mostrar mediante un ejemplo, que la convolucin se puede interpretar de acuerdo con

cuatro pasos: (1) reflexin, (2) traslacin, (3) multiplicacin y (4) integracin.

Ejemplo 26

En este ejemplo, sean F1(s) = 1/s y F2(s) = 1/(s+1), de manera que f1(t) = u(t) y tuetf t2 . Se desea determinar la convolucin de f1(t) y f2(t); esto es, se desea hallar

t

detutftftf

0

21 )()()(

Los pasos para aplicar la convolucin a estas dos funciones se ilustran en la Fig. 1.9, en la cual f1(t) y f2(t) se muestran

en la (a) y f1() y f2() en (b). En (c) se han reflejado las funciones respecto de la lnea t = 0 y en (d) se ha trasladado algn valor tpico de t. En (e) se ha efectuado la multiplicacin indicada dentro de la integral de las Ecs. (1.91). La

integracin del rea sombreada da un punto de la curva f ( t) para el valor seleccionado de t. Al efectuar todos los pasos

anteriores para diferentes valores de t, se obtiene la respuesta f ( t), tal como se seala en (f) de la misma figura

Para este ejemplo, la integracin de la Ec. (1.94) es sencilla y da

t

t

edetf 1)(0

que es, por supuesto, la transformada inversa del producto F1(s)F2(s),

te

ssL

ssLtf

1

1

11

1

1)( 11

Ejemplo 27

Como otro ejemplo, considere la transformada

222

1

assF

En este caso se puede tomar

2221

1)()(

as

a

asFsF

de manera que

ata

tftf sen1

)()( 21

35

)(1 tf )(2 tf

)(1 f )(2 f

)(1 f )(2 f

)(1 tf )(2 tf

)()()( 21 tftftf

)()( 21 ftf )()( 21 tff

t t(f)

(e)

(d)

(c)

(b)

t t(a)

Figura 1.9

y por tanto,

36

atatat

dtaa

atataas

L

t

cossen2a

1=

sensena

1=

sensen11

2

0

2

2222

1

1.10 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE CONVOLUCIN

Ahora se derivarn algunas propiedades de la integral de convolucin.

Propiedad 1 La operacin de convolucin es conmutativa, distributiva y asociativa:

)()()()(1221

tftftftf (1.95a)

)()()()()()()()()()(2121

tftftftftftftftftftfkk

(1.95b)

)()()()()()(321321

tftftftftftf (1.95c)

Solamente se verificar la relacin (1.95c), dejando las otras dos como ejercicios. Sean )(1

sG y )(2

sG las

transformadas de Laplace de las funciones )()()(321

tftftg y )()()(212

tftftg , respectivamente.

Por el teorema de convolucin tenemos que

)()()( ),()()(212321

sFsFsGsFsFsG

donde )(sFi

(i = 1, 2, 3) denota la transformada de Laplace de )(tfi

. Esto da

)()()()()()()()()()(

)()()()()()()(

321

3232321

1111321

tftftf

tftgsFsGsFsFsF

sGsFtgtftftftf

L

L

LL

Tomando la transformada de Laplace inversa de ambos lados de (1.106) produce la identidad deseada 14c.

Propiedad 2 Si las funciones )(1

tf y )(2

tf son diferenciables para t > 0 y continuas para t = 0, entonces

su convolucin es diferenciable para t > 0:

)0()()(

)()(

21

0

21

ftfddt

tdff

dt

tdft

(1.98a)

0 )0()0()()(

21

0

0

21

tffdf

dt

tdf (1.98b)

Para demostrar esto, aplicamos la regla de Leibnitz para diferenciar dentro de una integral, la cual dice que

si

)(

)(

),()(

tb

ta

dtgth (1.99)

donde )(ta y )(tb son funciones diferenciables de t y ),( tg y ttg ),( son continuas en t y , entonces

37

dt

tdaatg

dt

tdbbtgd

t

tg

dt

tdhxb

xa

)(),(

)(),(

),()()(

)(

(1.100)

Aplicando (1.100) a la ecuacin de definicin de la integral de convolucin con )()( tfth ,

)()(),(21

tfftg o )()(21 ftf , a = 0 y b = t+, se obtiene la relacin (1.98).

Observe que (1.98) no necesita realmente la hiptesis de quq ambas )(1

tf y )(2

tf sean diferenciables. De

hecho, si cualquiera de las funciones es diferenciable y la otra continua, entonces su convolucin es

diferenciable. Desde el punto de vista de la operacin de convolucin, la Ec. (1.98) puede escribirse tambin

como

)()0()()(

)0()()(

)()(

2121

212

1tfftf

dt

tdfftf

dt

tdftf

dt

tdf (1.101)

Propiedad 3 Sea )()()(21

tftftf y escriba

0 ),()()(11111 TTtuTtftg (1.102a)

0 ),()()(22222 TTtuTtftg (1.102b)

)()()(2121

TTtuTTtftg (1.102c)

donde u(t) denota la funcin escaln unitario. Entonces

)()()(21

tgtgtg (1.103)

Esta propiedad expresa que si las funciones )(1

tf y )(2

tf son retrasadas por 1

T y 2

T segundos,

respectivamente, entonces la convolucin de las dos funciones retrasadas es igual a la convolucin de las

funciones originales, retrasada por 21

TT segundos. La demostracin de esta propiedad se deja para el

lector.

1.11 ECUACIONES DIFERENCIALES E INTEGRALES

Con la ayuda de la propiedad de convolucin se pueden resolver algunos tipos de ecuaciones integro-

diferenciales no homogneas, lineales y con coeficientes constantes. Se darn algunos ejemplos.

Ejemplo 28

Determine la solucin general de la ecuacin diferencial

)()()(" 2 tftykty (1.104)

en trminos de la constante k y la funcin f ( t).

Suponiendo que todas las funciones en (1.104) son transformables, la ecuacin transformada es

)()0(')0()( 22 sFsYkyyssYs

donde y(0) y y(0) son, por supuesto, las condiciones iniciales. De aqu se obtiene

222222

)0(')0()(

1)(

ks

k

k

y

ks

sysF

ks

k

ksY

y por lo tanto,

ktk

yktytfkt

kty sen

)0('cos)0()(sen

1)(

38

Esta solucin general de la Ec. (1.104) puede entonces escribirse en la forma

ktCktCdtkfk

ty

t

sencos)(sen1

21

0

donde C1 y C2 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 27

Resuelva la ecuacin integral

t

dtyatty

0

)(sen)()(

Esta ecuacin se puede escribir en la forma

ttyatty sen)()(

y, transformando ambos miembros, se obtiene la ecuacin algebraica

1

1)()(

22

ssY

s

asY

cuya solucin es

42

11)(

ssasY

y por tanto,

3

6

1)( ttaty

La ecuacin integral general del tipo de convolucin tiene la forma

t

dytgtfty

0

(1.105)

donde las funciones f( t) y g(t) son dadas y y(t) debe determinarse. Puesto que la ecuacin transformada es

sYsGsFsY

la transformada de la funcin buscada es

sG

sFsY

1 (1.106)

Si la Ec. (1.105) es modificada reemplazando y(t) por combinaciones lineales de y(t) y sus derivadas, la

transformada de la ecuacin modificada sigue siendo una ecuacin algebraica en s.

39

PROBLEMAS

1. Determinar la transformada de Laplace de las siguientes funciones:

tettftttetf

tetfttf

tt

t

sen)( (d) 5cos5sen4)( (c)

3sen3)( (b) sen2)( (a)

232

2

21

2. Determine la transformada de Laplace de las funciones en las grficas.

5

-5

02 4 6

t

3

-3

02 4 6 t

1

-10

2 4 6

3

3 5t

2

-2

02 4 6

3

5 t1 1

(b)

(d)(c)

(a)

3. Encontrar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones usando desarrollo en fracciones parciales.

40

8056166s

48+12s= (g)

12148s

42+14s= (g)

2010

10+s8= (f)

12167s

452s= (e)

52s

862)( (d)

485s

1064s= (c)

48243s

4106s= (b)

45

432 a

234234

2

2

23

2

22

2

23

2

2

2

23

2

ssssF

ssssF

ssssF

ss

ssF

s

sssF

ss

ssF

s

ssF

sss

sssF

4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales mediante la aplicacin directa de la transformacin de Laplace.

.80' ,20 ,4cos610122 (b)

.10' ,20 .6254 (a)

2

2

2

2

xxtxdt

dx

dt

xd

xxtxdt

dx

dt

xd

.20" ,10' ,30 .2127 (d)

.50" ,20' ,10 ,433d

(c)

2

2

3

3

2

2

3

3

xxxdt

dx

dt

xd

dt

xd

xxxxdt

dx

dt

xd

dt

x

5. Halle las transformadas de Laplace inversa de las siguientes funciones:

(a) )3(

1

ss

e s (b)

562

2

ss

ese ss

6. Halle las transformadas de Laplace de las formas de ondas en la figura.

0 2 3

1

2

t0 2 3

1

2

t1

3

(a) (b)

)(tf )(tf

7. Determine la transformada inversa de las siguientes funciones usando la integral de convolucin.

22 4

1 (b)

4

5 (a)

sssF

sssF

136s

2= (d)

842

10 (c)

2323 sssF

sss

ssF

8. Demuestre que la solucin del sistema de ecuaciones diferenciales

0=)(+"-" ,'2' tytytxtftytx

bajo las condiciones ,00'00'0 yyxx tal que f(0) = 0, es

41

t

tt

dtfty

dtfdftx

0

00

cos)(

,cos)(2)(

9. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones y verifique su resultado:

.00 ,10 ,1' ,' yxtxtytftytx

10. Resuelva por y(t) y verifique su solucin:

20 ,')(

0

yttydyt

11. Halle la solucin de la ecuacin integral

t

dtbycbtaty

0

sensen

(a) cuando b2 > bc; (b) cuando b = c.

12. Sea F(s) la transformada de Laplace de f ( t). Demuestre que

s

dssFt

tf)(

)(L

13. Demuestre que para real y positiva

1

2

)(

)(

!

n

nt

n

n

nt

s

se

n

t

dt

deL

14. Usando la propiedad demostrada en el Problema 12, determine las transformadas de Laplace de las siguientes funciones:

a) tt0

1 cos (b) )1(1 tet (c) )cosh(senh1 ttt