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La transformadadeFourier11De la Serie de Fourier a la Transformada de FourierLa serie de Fourier nos permite obtener una representacin en el dominio de la frecuencia de funciones peridicas f(t).

Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representacin en el dominio de la frecuencia de funciones no peridicas?

Consideremos la siguiente funcin peridica de periodo T:22Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T:1f(t)t. . . -T -T/2 0 T/2 T . . .p-p/2 p/2

33Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales:

El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.

44Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2

55Si el periodo del tren de pulsos aumenta...-20-100102000.511.5p = 1, T = 2tf(t)t-20-100102000.511.5p = 1, T = 5f(t)-20-100102000.511.5p = 1, T = 10tf(t)-20-100102000.511.5p = 1, T = 20tf(t)66-50050-0.100.10.20.3p = 1, T = 5-50050-0.0500.050.10.15p = 1, T = 10-50050-0.0200.020.040.06p = 1, T = 20-50050-0.200.20.40.6p = 1, T = 2w=nw0cn...el espectro se "densifica". 77En el lmite cuando T, la funcin deja de ser peridica:

Qu pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?-20-100102000.511.5p = 1, T = tf(t)88Si se hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":

99El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresin de una funcin f(t) no peridica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armnicos de frecuencia nw0, sino como una funcin continua de la frecuencia w.

As, la serie:

al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

1010Recordemos:

La serie de Fourier es:-T/2< x < T/2

O bien:

Cuando T , nw0 w y w0 dw y el sumatorio se convierte en:1111La transformada de FourierEs decir,

donde:

Estas expresiones nos permiten calcular la expresin F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa.

Identidad de Fouriero antitrans-formada de FourierTransformadade Fourier1212La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier

En algunos textos, el factor 1/2 se "reparte" entre la transformada y la anti-transformada para obtener simetra en la expresin, como: 1/(2).1313Notacin: A la funcin F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir

En forma similar, a la expresin que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F 1 ,es decir

1414Transformadas integralesK(,t): ncleo o kernel.Asocia a cada funcin f(t) en el espacio t, directo o real, otra funcin F() en el espacio o recproco.Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc

1515Un problema que es difcil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es ms sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Despus, la transformada inversa nos devuelve la solucin en el espacio original.Problem inTransform spaceOriginalproblemSolution inTransform spaceSolution oforiginal problemIntegral transformRelatively easy solutionDifficult solutionInverse transform1616Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:

Solucin. La expresin en el dominio del tiempo de la funcin es:-p/2 0 p/21f(t)t

1717Integrando:

Usando la frmula de Euler:

1818En forma grfica,la transformada es:

p =1

1919Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una funcin rectngulo.

Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una funcin triangulo.

Sinc2(ax) es el patrn de difraccin de una ranura.

La funcin sinc(x)2020Demostrar que la transformada de Fourier de la funcin tringulo, D(t), es sinc2(w/2)w0

1t0

11/2-1/2TF2121Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la funcin escaln unitario o funcin de Heaviside, u(t):

Grafica U(w) = F[u(t)].Qu rango de frecuencias contiene U(w)?Cul es la frecuencia predominante?u(t)01t2222La funcin delta de Kronecker y delta de Dirac

td(t)

2323La funcin impulso o delta de DiracRecordemos que podemos pensar en la funcin delta como el lmite de una serie de funciones como la siguiente:tf1(t)f2(t)fm(t) = m exp[-(mt)2]/pf3(t)d(t)2424Y recordemos algunas propiedades de la funcin d

td(t)

2525Transformada de Fourier de la (t):

td(t)w

wd(w)Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1/(2) es:t

Recordemos2626

2727

T

T 2828Transformada de Fourier de la funcin coseno+w0 0 -w0 w

cos(w0t) t 0

2929Transformada de Fourier de la funcin seno:

+w0 0 -w0 w

sen(w0t) t 0

3030La transformada de Fourier de la onda plana exp(iw0 t)La TF de exp(iw0t) es una frecuencia pura. F {exp(iw0t)} 0 w0 w

exp(iw0t) 0 t t ReIm0

3131

SumF {exp(iw0t)} 0 w0 w

exp(iw0t) 0 t t ReIm0 TF0 w TF3232Encontrar la transformada de Fourier de la funcin:

3333La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es otra Gaussiana.

t0

w0

TFMs adelante lo demostraremos.3434La transformada inversa de FourierDada la funcin en el espacio recproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:

3535A partir de su definicin, obtener la transformada inversa de Fourier de la funcin

3636

3737

3838

A partir de la definicin, obtener la transformada inversa de Fourier de la funcin:Respuesta.Integrando en el plano complejo:

3939 Si x > 0:

Haciendo lim R

-RRC4040

Entonces:

Si x < 0:

4141

-RRHaciendo lim R

Entonces:

4242Algunas funciones no poseen transformada de FourierLa condicin de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F(w) exista es:

es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintticamente a cero cuando x tiende a + y en general no tienen transformadas de Fourier.

4343La TF y su inversa son simtricas.

Si la TF de f(t) es F(w), entonces la TF de F(t) es:Renombrando la variable de integracin de t a w, podemos ver que llegamos a la TF inversa:

Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado."Que podemos escribir:4444La transformada de Fourier es en general complejaLa transformada de Fourier F(k) y la funcin original f(x) son ambas en general complejas.

De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:

4545La transformada de Fourier cuando f(x) es realLa TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:

4646Propiedades de las transformadas de Fourier:1. Linealidad:

4747La transformada de Fourier de la combinacin lineal de dos funciones.

f(t)g(t)tttwwwF(w)G(w)f(t) + g(t)F(w) + G(w)

4848Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:

La funcin f(t) se puede escribir tambin del siguiente modo:

4949Luego:

5050 Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:

5151Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:

5252

5353

2. Escalado:

5454Efecto de la propiedad de escaladof(t)F(w)PulsocortoPulsomedioPulsolargoMientras ms corto es el pulso, ms ancho es el espectro.Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecnica cuntica.wwwttt5555La transformada de Fourier respecto al espacioSi f(x) es funcin de la posicin,k se conoce como frecuencia espacial.Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y se aplica los dominios x y k.kx

56563. Traslacin en el dominio de tiempos

57574. :

5. :

58585. Identidad de Parseval :

Teorema de Rayleigh

En particular:5959Toda funcin puede escribirse como la suma de una funcin par y una funcin impar

E(-x) = E(x)O(-x) = -O(x)E(x)f(x)O(x)Sea f(x) una funcin cualquiera.6060Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):

6161

Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

62626. Transformada de la derivada:

7. Transformada xf(x):Ejercicio: demostrar las propiedades anteriores.Y en general:

Y en general:

63631. Encontrar la transformada de Fourier de la funcin:

2. A partir del resultado anterior y una conocida propiedad de la transformada de Fourier, determina la transformada de Fourier de la funcin:

1.6464

C1C2

2.6565Encontrar la transformada de Fourier de la funcin: siendo a>0 constante.

Derivando tenemos:

Transformando a ambos lados de la ecuacin y usando las siguientes propiedades de la TF:Veamos otra aplicacin de estas dos ltimas propiedades:6666

u2 = ax2/2

u2 = t6767ConvolucinSe define la integral de convolucin de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:

6868

6969Understanding of convolution with one dimensional functions enhances your understanding of more complex convolutions. Printing out this page and figuring out what is done here is recommendedrect(x) * rect(x) = D(x)

Ejemplo visual:7070Convolucin con la funcin deltaConvolucionar una funcin con una delta, simplemente centra la funcin sobre la delta.

7171Propiedades de la convolucinCommutativa:

Asociativa:

Distributiva:

7272

El teorema de convolucin oteorema de Wiener-Khitchine Convolucin en el espacio real es equivalente a multiplicacin en el espacio recproco.7373Ejemplo del teorema de convolucin

7474

Demostremos el teorema de convolucin.7575

Aplicando la TF a ambos lados:7676

Ejemplo de aplicacin del teorema de convolucin:Calcular la transformada de Fourier de la siguiente funcin:

Podemos hacerlo aplicando la definicin:7777

7878

TFTFPero, tambin podemos usar:

7979

8080 Calcular la transformada de Fourier del producto de convolucin de lassiguientes funciones:

8181 El producto de convolucin de las funciones f(t) y g(t) es:

es decir que el producto de convolucin de f(t) y g(t) son dos funcionespulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya grfica es lasiguiente:8282

y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:

8383 Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier delproducto de convolucin de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolucin, segn el cul, la transformada de Fourier del producto de convolucin de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivasde f(t) y g(t):

8484 Calculamos la transformada de Fourier de g(t):

8585

que coincide con la transformada que habamos calculado del otro modo.8686

Utilizar el teorema de convolucin para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente funcin:Tenemos que calcular la antitransformada:

8787

y, llamando:

nos queda que:

Teorema de convolucin

Antitransformadade Fourier8888Por tanto, la integral de convolucin de g(t) consigo misma queda:

donde

8989

Luego:

9090