Transformada Zeta

Introduccin a

Control Digital

Curso de Control automtico II

Unidad: 3.4.1

Transformada Z

Unidad 2 Transformada Z

Transformada Z.

Transformada Z inversa.

Ecuaciones en diferencias.

Solucin de ecuaciones en diferencias mediante las transformadas Z y Z inversa.


Una herramienta matemtica muy utilizada en elanlisis y la sntesis de sistemas de control en tiempodiscreto es la transformada Z. El papel de latransformada Z en sistemas en tiempo discreto essimilar al de la transformada de Laplace en sistemas entiempo continuo.


En un sistema de control en tiempo discreto, unaecuacin en diferencias lineal caracteriza la dinmicadel sistema. Para determinar la respuesta del sistema auna entrada dada, se debe resolver dicha ecuacin endiferencias. Con el mtodo de la transformada Z, lassoluciones a las ecuacionesen diferencias se convierteen un problema de naturalezaalgebraica.


MODELO CONTINUO (Ecuacin Diferencial)

MODELO DISCRETO (Ecuacin en Diferencias)

( ) ( )n m

n mn mn m

d da y t b u t

dt dt

Seal de Salida

Seal de Entrada

y t

u t

1 2

1 2

( ) ( )

1 2 ...

1 2 ...

n m

n m

n

m

a y t n b u t m

y t a y t a y t a y t n

bu t b u t b u t m

Ejemplo 1

MODELO CONTINUO (Ecuacin Diferencial)

MODELO DISCRETO (Ecuacin en Diferencias)

5 3 7 4

dx t dy tx t y t

dt dt

Seal de Salida

Seal de Entrada

y t

x t

1 15 3 7 4

5 5 7 73 1 4 1

x nT x n T y nT y n Tx nT y nT

T T

x nT x n T y nT y n TT T T T

Ejercicios 1

Convertir los modelos continuos en modelos discretos

2

2

2

2

5 3 8

10 7 11 0

4 2 3 6

d x tx t

dt

dx t dy ty t

dt dt

d x t dx t dy tx t

dt dt dt

Seal de Salida

Seal de Entrada

y t

x t

Definicin

La Transformada Z se utiliza para describir seales y componentes de sistemas de

control discretos en el tiempo.

0

(X( )) ( ) X( ) (1)k

k

Z kT X z kT z

se denomina transformada Z siendo z una variable compleja.

Definicin :

Dada una secuencia de valores reales Y(kT) para k=0,1,2,... entonces

Normalmente, el clculo se realizar mediante tablas.

*

0

( ) x( ) ( )k

x t kT t kT

Relacin entre la transformada

de Laplace y la transformada Z

La secuencia X(kT), k=0,1,2como un tren de impulsos separados por el intervalo de tiempo T. Este esta definido como el periodo de muestreo. El impulso de k-esimo instante, (t-kT), lleva el valor de X(kT). Esta situacin se presenta muy a menudo en sistemas de control digital y de datos muestreados, en las cuales una seal x(t) se digitaliza o muestrea cada T segundos para formar una secuencia de tiempo que representa la seal en los instantes de muestreo.

Por tanto se puede relacionar la secuencia Y(kT) con una seal que se puede Expresar como:

*

0

( ) x( ) ( )k

x t kT t kT

Al tomar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuacion

*

0

(s) x( )e kTs

k

X kT

Al comparara la ultima ecuacin con la ecuacin (1)

Tsz e

0

(X( )) ( ) X( ) k

k

Z kT X z kT z

Transformada Z

Al considerar la transformada Z de una funcin deltiempo x(t), slo se toman en cuenta los valoresmuestreados de x(t), esto es x(0), x(T), x(2T), en dondeT es el periodo.

T

x(T)

x(2T)

x(3T)

x(t)

Transformada Z

La transformada Z de una funcin en el tiempo x(t),donde t es positivo, o de la secuencia de valores x(kT),donde k adopta valores de cero o de enteros positivos yT es el periodo se define mediante la siguienteecuacin.

0

1 2( ) (0) ( ) 2 ... ...

k

k

n

X z Z x t Z x kT x kT z

X z x x T z x T z x nT z

Transformada Z

[1] Sistemas de Control en Tiempo Discreto, Katsuhiko Ogata, Pearson Education

Serie Geomtrica de Maclaurin

Serie Geomtrica Compleja


Series de Taylor


Transformada Z


Ejercicio 1


Partiendo de la serie geomtrica compleja comprobar que

Transformada Z


Ejercicio 2


Partiendo de la serie geomtrica compleja comprobar que

Transformada Z


Propiedades de la transformada Z

El uso del mtodo de la transformada Z en el anlisis desistemas de control en tiempo discreto se puedefacilitar si se hace referencia a los teoremas de latransformada Z.



Multiplicacin por una constante



Linealidad



Multiplicacin



Corrimiento


Punto extra comprobacin de la ecuacin (2-7)


Transformacin compleja



Valor inicial



Valorfinal


Encontrar X(Z) de x(t)=te-t,t0. Sea f(t)=t, t0;entonces:Empleando teorema de traslacin compleja ec. 2.14

(2.16)

Transformada Z inversa

La transformada Z juega el mismo papel que latransformada de Laplace. Por lo que para que latransformada Z sea til se debe de tener ciertafamiliaridad con el algoritmo de la transformada Zinversa.



El mtodo elemental para calcular la transformadainversa es utilizar las tablas de transformadas, perocuando se trata de una funcin que no se puedeidentificar de manera directa en las tablas se aplica unode los siguientes mtodos:

1. Mtodo de la divisin directa.2. Mtodo computacional.3. Mtodo de expansin de funciones parciales.4. Mtodo de la integral de inversin.


MTODO DE EXPANSIN DE FRACCIONES PARCIALES

Se puede

Aplicando el teorema de traslacin real

APLICACIN DE LA TRANSFORMADA Z A LA SOLUCINDE ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES

Se escribe como:

Resolviendo para Y(Z)

La transformada Z inversa de la ecuacin anterior , se obtiene mediante la expansinDe Y(Z) en una serie de potencias en Z-1 a travs de la divisin larga se tiene:

Y(Z)=(1- Z-1 + Z-2 - Z-3 + ..)y(0)

Transformada Zeta

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