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TRABAJO COLABORATIVO No. 1 METODOS NUMERICOS

PRESENTADO POR:

EDGAR JOSE BUELVASDARIO JAVIER CHAVEZ

LUIS GUILLERMO MARTINEZDARWUIN RIVERO

TUTOR:

LEONARDO ANDRES PEREZ

GRUPO:

104401_5

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA –  UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIAS 

2015

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INTRODUCCION

Los métodos numéricos son de vital importancia para la solución de problemas complejosen poco tiempo y con mayor exactitud a través de operaciones aritméticas.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para "aproximar" de una manera eficientelas soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones "aproximadas" a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Serequiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen laaproximación al problema matemático.

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OBJETIVOS

  Reconocer las diferencias entre los tipos de errores y su aplicación.

  Presentar las técnicas adecuadas que permitan cuantificar y minimizar errores deredondeo y truncamiento.

  Exponer los diferentes métodos numéricos para resolver o encontrar raíces de unaecuación.

  Poder desarrollar ejercicios y resolverlos mediante los métodos numéricos, comotambién saber su teoría y utilidad. 

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FASE 1

Leer y revisar los conceptos de error y los diversos tipos de errores para diferenciar losdiversos tipos de errores (ERROR ABSOLUTO, RELATIVO, ERROR RELATIVOAPROXIMADO (E.R.A). ERROR POR TRUNCAMIENTO Y POR REDONDEO)

Teniendo en cuenta la precisión y exactitud del mismo.

TIPOS DE ERRORES: ERROR ABSOLUTO, RELATIVO, ERROR RELATIVOAPROXIMADO (E.R.A). ERROR POR TRUNCAMIENTO Y POR REDONDEO

R/

Para la construcción del cuadro comparativo considero necesario conocer en qué consistecada uno de los errores mencionados anteriormente.

ERROR ABSOLUTO: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado

como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real oinferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida

El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Esevidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud deuna carretera que al medir la longitud de un folio.

ERROR RELATIVO: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto.Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el errorabsoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por

exceso o por defecto. No tiene unidades. El error relativo es la razón entre el error absolutoy el valor real.

ERROR RELATIVO APROXIMADO: Es el producto del error relativo por el 100%.

ERROR DE TRUNCAMIENTO: Los errores de truncamiento son aquellos que resultanal usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además paraobtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulaciónmatemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial: Serie de Taylor.

Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos sedetiene en un número finito de pasos.

Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas paraaproximar la suma de una serie infinita. Note que el error de truncamiento, a diferencia delerror de redondeo, no depende directamente del sistema numérico que se emplee.

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ERROR DE REDONDEO: Los errores de redondeo se deben a que las computadoras sóloguardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadorasrealizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifrassignificativas, la computadora puede almacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592,omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.

Ya que la mayor parte de las computadoras tiene entre 7 y 14 cifras significativas, loserrores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:

  Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener unarespuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

  El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operacionesalgebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo.Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

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CUADRO COMPARATIVO –  TIPOS DE ERRORES

Tipo de error Concepto Ejemplos

Error absoluto

Es la diferencia entre el valor real (p) y el valoraproximado (p´). El resultado de este siempre será

 positivo debido a que la ecuación está en términosdel valor absoluto.

Error absoluto = │p - p´│ 

El valor real de una botella de agua es de una cantidad de 500ml yal medir la cantidad de esa botella de agua nos da 498.2 ml.

Hallar el error absolutoError absoluto = │500 ml - 498,2ml│= 1,8 ml 

Error relativo

Es igual al error absoluto entre el valor real.

Error relativo =│ − ´│

 

Con la condición de p ≠0 

Hallar el error relativo del ejemplo anterior

Error relativo = │ − , │  = 0,0036 ml

Error relativo aproximado

Es igual al error relativo multiplicado por 100%.

ERA=│ − ´│

% 

Con la condición de p ≠0 

Hallar el error aproximado del ejemplo anterior

ERA=│ − , │

% = 0,0036%

NOTAComo se pudo evidenciar en el ejemplo anterior, el error relativo nos arroja un resultado el cual es más interpretativo quel resultado que nos arroja el error absoluto; por eso este tipo de error es más usado.

Error por truncamientoLos errores de truncamiento son aquellos queresultan al usar una aproximación en lugar de un

 procedimiento matemático exacto; es decir aparececuando un procedimiento infinito se hace finito.

Expresa la raíz de ocho con tres decimales

√ = 2,8284271247461900976033774484194

truncamiento2,82

Error por redondeo

Los errores de redondeo se deben a que lascomputadoras sólo guardan un número finito decifras significativas durante un cálculo. Lascomputadoras realizan esta función de manerasdiferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan sietecifras significativas, la computadora puedealmacenar y usar "pi" como "pi" = 3.141592,omitiendo los términos restantes y generando unerror de redondeo. 

Expresa la raíz de ocho con tres decimales

√ = 2,8284271247461900976033774484194

Redondeo

2,83

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MAPA CONCEPTUAL –  TIPOS DE ERRORES

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FASE 2

Leer y revisar los conceptos de métodos para calcular las raíces de una ecuaciónBISECCIÓN, REGLA FALSA, NEWTON RAPHSON Y PUNTO FIJO Para luegorealizar la comparación de los métodos.

R/ 

METODO DE BISECCIÓN: El método de bisección es un  algoritmo de búsqueda deraíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo quetiene la raíz. 

Es el método más elemental, sencillo y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una

variable, también conocido como método de intervalo medio, está basado directamente en

el teorema de Bolzano. Consiste en partir de un intervalo [ x0, x1] tal que f ( x0) f ( x1) < 0, por lo

que sabemos que existe, al menos, una raíz real. A partir de este punto se va reduciendo el

intervalo sucesivamente hasta hacerlo tan pequeño como exija la precisión que hayamosdecidido emplear.

El método consiste en lo siguiente:

  Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f ( x) en el intervalo [a,b]

  A continuación se verifica que

 

Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f (m) si ese valor es igual a

cero, ya hemos encontrado la raíz buscada

 

En caso de que no lo sea, verificamos si f (m) tiene signo opuesto con f (a) o con f (b)  Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál

de estos intervalos ocurre un cambio de signo

 

Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un

intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más

seguro para garantizar la convergencia. Si f  es una función continua en el intervalo [a,b]

y f (a) f (b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f . De hecho, una cota del error

absoluto es:

en la n-ésima iteración. La bisección converge linealmente,  por lo cual es un poco lento.

Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a) y f(b) tienen distinto signo.

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Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue siendo convergente

 pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz converge el método.

METODO DE NEWTON: El método de Newton también conocido como el método

de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier, es un algoritmo eficiente para

encontrar aproximaciones de los  ceros o raíces de una función real. También puede ser

usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su

 primera derivada. 

El Método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para encontrar las raíces de laecuación f(x)=0, ya que converge rápidamente, la contra es que uno debe conocer laderivada de f(x) y se necesita una aproximación inicial a la raíz.

Permite aproximar las primeras N iteraciones en el método de Newton-Raphson modificado

aplicado a la función f tomando como aproximación inicial x0 . Observe que no requiereconstruir la función M definida en el método de Newton-Raphson modificado.

Son tres las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de

 Newton-Raphson.

La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. Atendiendo al desarrollo

geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están

lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por

la tangente a la curva en el punto.

De esta forma si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión

con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el

origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a

linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto ( ,

( )) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto . La

nueva aproximación a la raíz , se logra de la intersección de la función lineal con el eje

X de abscisas.

Matemáticamente:

Una forma alternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de

Taylor, para un entorno del punto :

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Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en :

Si además se acepta que tiende a la raíz, se ha de cumplir que ,

luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.

Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como

un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación , se puede considerar

el siguiente método de iteración de punto fijo:

Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:

Entonces:

Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:

Por tanto, imponiendo subíndices:

CONVERGENCIA DEL METODO: El orden de convergencia de este método es, por lo

menos, cuadrático. Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser

los métodos de aceleración de la convergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen. 

Evidentemente, este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cualno siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una

función auxiliar g ( x) = f ( x)/ f' ( x), resultando:

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Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar  g ( x) y g' ( x)

si f ( x) no es fácilmente derivable.

 Nótese de todas formas que el método de Newton-Raphson es un método abierto: la

convergencia no está garantizada por un teorema de convergencia global como podría

estarlo en los métodos de falsa posición o de bisección.  Así, es necesario partir de unaaproximación inicial próxima a la raíz buscada para que el método converja y cumpla el

teorema de convergencia local.

METODO DE REGLA FALSA: Es un método iterativo de resolución numérica deecuaciones no lineales.  El método combina el  método de bisección y el  método de lasecante. Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) yf(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz(véase Teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso unintervalo más pequeño [ak , bk ] que sigue incluyendo una raíz de la función f . A partir de unintervalo [ak , bk ] se calcula un punto interior ck :

Se trata de encontrar la raíz de una ecuación. La ecuación tiene la forma  f(x), es decir, esuna función de x. Además, f(x) esta definida en el intervalo [a, b].

El método de la interpolación lineal inversa, requiere varias condiciones:1.- f(a)*f(b) < 0, es decir, que el producto de la función de x, f(x), evaluada en a, f(a),

multiplicada por la función de x, f(x), evaluada en b, f(b), sea negativo (menor a cero).2.- Que la función f(x) se aproxime por otra función L(x). 

 f(x) es aproximadamente igual a L(x) 

Por tanto encontramos un punto falso c

Donde C es la raíz que se anda buscando Después se calcula  f(C) para ver su valor. Si seobtiene cero, no se debe avanzar más, pero gen caso de no ser así, se realiza lo siguiente:

Se calcula f(C)*f(a) si este producto es menor a cero (negativo), entonces

ahora C  equivaldrá a b, y se repite el cálculo para encontrar una nueva C .

En el caso de que f(C)*f(b) sea la que haya dado el producto menor a cero, o sea negativo,entonces ahora a equivaldrá a C , y se repite el cálculo para encontrar una nueva C .

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METODO DE PUNTO FIJO: También conocido como iteración de punto fijo, es otrométodo para hallar los ceros de f ( x). Para resolver f ( x) = 0, se reordena en una formaequivalente:

 f ( x) = 0

 x - g ( x) = 0 x = g ( x)

Observe que si c  es un cero de f ( x), f (c)=0 y c= g (c). (Siempre que se tenga c= g (c) se diceque c  es un punto fijo de la función g ). Para aproximar un cero de f se utiliza la iteración de punto fijo (1) xn+1 = g ( xn) , n = 0, 1, 2, 3, . . .donde x0 es una aproximación inicial del cero de f .

Ejemplo.

 f ( x) = x2 - 2 x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1

Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:

Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), los valores sucesivosde x son:

Los valores convergen a x = 3.

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CUADRO COMPARATIVO - MÉTODOS PARA CALCULAR LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN

METODOS CONCEPTOS EJEMPLOS

BISECCION Es el método más simple para resolver ecuaciones deuna variable.

VENTAJAS: Es un método muy simple y por lotanto fácil de implementar, si la solución existe, elmétodo la encontrará.

DESVENTAJAS: El método es lento, es decir que senecesitan a veces muchas iteraciones para lograrencontrar la solución, especialmente si los extremosestán muy separados. 

La función f ( x) = xsen x  –  1 tiene un cero en el intervalo [0,2], porque f (0)= -1 y f (2)=0.818595.

Si se denota con entonces c1 = 1. Ahora f (c1)= f (1) = -0.158529, luego la función tiene un cero en el intervalo [c1, b1] =[1,2] ; se renombra a2=c1 y b2=b1 .

El nuevo punto medio es y f (c2) = f (1.5) =0.496242, el cero esta en el intervalo [a2, c2] y se renombra como [a3,b3].

NEWTON También llamado Newton-Raphson, es consideradocomo el método más rápido, es decir que converge enmenos iteraciones, comparado con los demás

VENTAJAS: Es un método más rápido que los otrosmétodos, generalmente converge independientementede la aproximación inicial que se escoge.

DESVENTAJAS:   Es necesario conocer la derivadade la función, la cual a veces es difícil de obtener, si

la derivada de la función toma un valor cercano acero, el método puede no converger, cuando hayraíces múltiples (polinomios), el método a veces falla. 

Para aproximar una solución de la ecuación 3 x + sen x - e x, se puede tomar

 f ( x)=3 x+sen x-e x. Observe que f (0) = -1 y f (1) = 1.123189, según elteorema del valor intermedio existe un cero de f  en el intervalo [0,1].

Si se aplica el método de Newton comenzando con x0 = 0 se tiene:

REGLA FALSA Es una mejora del método de bisección que hace queconverja más rápidamente a la solución.

Encontrar la raíz de f(x)=cosx  por el método de la falsa posición en elintervalo [1,2] y Ɛs =0.001.

a=1, b=2f(a=1)=cos 1 = 0.5403f (b=2)=cos 2 = -0.4161f(a)*f (b) < 0(0.5403)*(-0.4161) < 0 si  hay raízC_ant= 99999 para arrancar

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VENTAJAS: La ventaja del método de Regla Falsa,al igual que el de bisección, es que es siempreconvergente para funciones continuas f(x). Aunque engeneral, converge más rápidamente que el método dela bisección, su velocidad de convergencia es baja.

DESVENTAJA:  este método no permite acotar elerror cometido.

Itera=0Ɛs =0.001Encontrado= False

fa=f(a=1)=0.5403fb=f(b=2)=-0.4161

f c=f(Cact=1.5649)= cos(1.5649)= 0.005896f(Cact)= 0.005896 ¿no es igual a 0? noERA (Cact=1.5649, C_ant = 99999)= 1.5649 - 99999 / 1.5649 Ɛa no esmenor a Ɛs fC*f(a) < 0

(0.005896)*(0.5403) ≠ 0 es diferente a cero a = Cact= 1.5649

 b = 2Itera = 1C_ant <-- Cact = 1.5649 

PUNTO FIJO Este método se puede utilizar para determinar raícesde una función de la forma , siempre y cuando secumplan los criterios de convergencia.

VENTAJAS: Es de convergencia cuadrática cuandose eligen buenos puntos de inicio, obtiene soluciónexacta en una sola iteración cuando F es afín.

DESVENTAJAS:   No converge globalmente paramuchos problemas, en cada iteración necesita resolver

un sistema de ecuaciones lineales que puedeser singular o mal condicionada.

 f ( x) = x2 - 2 x - 3 = 0, tiene dos ceros. x = 3 y x = -1

Supóngase que se reordena para lograr la forma equivalente:

Si se comienza con x0 = 4 y se itera con la iteración de punto fijo (1), losvalores sucesivos de x son:

Parece que los valores convergen a x = 3. 

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DIAGRAMA DE FLUJO –  MÉTODOS PARA CALCULAR LA RAÍZ DE UNA ECUACIÓN

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CONCLUSIONES

De lo anterior se puede concluir que:

 

Se sustentó por medio de ejemplos en un cuadro comparativo, habilidades paraencontrar el valor real del valor aproximado.

  Se reconoció las diferencias entre los tipos de errores y sus diversas aplicaciones.

  Se Presentó las técnicas adecuadas que permitieron cuantificar y minimizar erroresde redondeo y truncamiento.

 

Se expuso los diferentes métodos numéricos para resolver o encontrar raíces de unaecuación.

  Se desarrolló ejercicios y se resolvieron mediante los métodos numéricos.

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BIBLIOGRAFIA

[1] polibrors, (febrero de 2015),”tipos de errores”, recuperado de:

http://148.204.211.134/polilibros/portal/polilibros/P_terminados/MetNum-Garzo/13.html 

[2] Blogspot, (febrero de 2015),”tipos de errores”, recuperado de:

http://meto2numericos.blogspot.com/2008/02/tipos-de-errores.html 

[3] Sitiesgoogle, (febrero de 2015),”tipos de errores”, recuperado de:

https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-1/1-2-tipos-de-errores-error-absoluto-error-relativo-error-porcentual-errores-de-redondeo-y-truncamiento

[4] Blog del ingeniero, (febrero de 2015),”cálculo del error”, recuperado de:

https://blogdelingeniero1.wordpress.com/2013/04/06/calculo-del-error-para-metodos-

numericos/[5] Campus virtual, (febrero de 2015),”módulo de métodos numericos”, recuperado de:

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100401/MODULO_2013-2/leccin_8_mtodo_de_la_regla_falsa.html 

[6] Polilibros, (febrero de 2015),”método para calcular la raíz de una ecuación”, recuperado

de: http://148.204.211.134/polilibros/portal/polilibros/P_terminados/MetNum-Garzo/13.html

[7] Frsn, (febrero de 2015),”método regula”, recuperado de:

http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/ENL/Metodo_Regula_Falsi.html