I. METODO DE BISECCIONProblema= . -1 = 0

Por el mtodo de Newton-Raphson obtener una solucin con dos cifras significativas exactas.

a) Primero hallaremos por Teorema de Bolzano el intervalo donde exstela raz.

XF(x)

-228.56

-11.72

0-1

1-0.63

2-0.46

b) Por Biseccin obtener la solucin con 2 cifras significativas exactas (n=2)

Se deja de iterar si: con m=-1 y n=2

i=0=

=entonces

i=1=

(FALSO)

=entonces i=2=

(FALSO)

=entonces i=3=

(FALSO)

=entonces i=4=

(FALSO)

=entonces

i=5=

(FALSO)

=entonces

i=6=

(FALSO)

=entonces

i=7

=

(VERDADERO)

II. METODO DE REGULA FALSI O FALSA POSICIONProblema= . -1 = 0

Por el mtodo de Newton-Raphson obtener una solucin con dos cifras significativas exactas.

a) Primero hallaremos por Teorema de Bolzano el intervalo donde exstela raz.

XF(x)

-228.56

-11.72

0-1

1-0.63

2-0.46

b) Por R.F obtener una solucin con 2 cifras significativas exactas (n=2 y m=-1).

Se deja de iterar si: con m=-1 y n=2

i=0=

=entonces

i=1

=

(FALSO)Es falso, por consiguiente seguimos iterando:=entonces

i=2

=

(FALSO)Es falso, por consiguiente seguimos iterando:

=entonces

i=3=

(FALSO)

Es falso, por consiguiente seguimos iterando:

=entonces :

i=4

=

(FALSO)Es falso, por consiguiente seguimos iterando:

=entonces

i=5

=

(VERDADERO)Es verdadero, por consiguiente dejamos de iterar.

III. METODO DE LA SECANTEProblema= . -1 = 0

Por el mtodo de la secante obtener una solucin con dos cifras significativas exactas.

a) Primero hallaremos por Teorema de Bolzano el intervalo donde exstela raz.

XF(x)

-228.56

-11.72

0-1

1-0.63

2-0.46

b) Por mtodo de la secante obtener la solucin con 2 cifras significativas exactas (n=2)

Se deja de iterar si: con m=-1 y n=2

= =0

i=2

(FALSO)

i=3

(FALSO)i=4

(FALSO)i=5

(FALSO)i=6

(FALSO)

i=7

(VERDADERO)

IV. METODO DE PUNTO FIJO O METODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

ProblemaF(x) = . -1 = 0

Por el mtodo del punto fijo obtener una solucin con dos cifras significativas exactas.

a) Primero hallaremos por Teorema de Bolzano el intervalo donde exstela raz.

xF(x)

-228.56

-11.72

0-1

1-0.63

2-0.46

b) Verificamos su condicin de convergencia, veremos si cumple 1 condicin.

F(x) = . -1= 0 ---> x = -= g(x)

Anlisis para g(x) = - 1 condicin: g(x) I = [a,b] = [-1,0]g(-1) = -0.61 Ig(1) = -1 I

Por lo tanto g(x) cumple la 1 condicin

2 Condicin:

g tal que | g (x)| L < 1 x [-0.9 , -0.1]

Si g (x) = - g (x) = | g (-0.9) | = 0.32 | g (-0.1) | = 0.48

L = mx {| g (-0.9) |, | g (-0.1) |}L = mx {0.32, 0.48} Entonces{| g (x) | L=0.48, x [-0.9, -0.1]

g (x) cumple 2 condicin

Siendo su relacin de recurrencia lo siguiente:Xn+1 = g(Xn) = ; n = 0,1,2,

c) Obtener una solucin con 2 cifras significativas exactas (n=2 y m=1).

X arbitrario;

Dnde: X = -0.5

n = 0X = -X = -0.778800783

n =1X = -X= -0.677462965

n =2X = -X = -0.712673788

n =3X4 = -X4 = -0.700236675

n =4X5 = -X5 = -0.704604703

| X5 X4 | = 0.004 = 0.4x10-2 0.5x10-2

Por lo tanto X5 = X* con 2 cifras significativas exactas.

V. METODO NEWTON-RAPHSONProblema= . -1 = 0

Por el mtodo de Newton-Raphson obtener una solucin con dos cifras significativas exactas.

a) Primero hallaremos por Teorema de Bolzano el intervalo donde exstela raz.

XF(x)

-228.56

-11.72

0-1

1-0.63

2-0.46

b) Verificamos su condicin de convergencia por Newton-Raphson.Si = . -1Obtenemos: Veremos si para es vlido o no:entonces , no es vlido para iterarVeremos si para es vlido o no:entonces , si es vlido para iterar, pero veremos si cumple la segunda condicin:entonces tambin cumple la segunda condicin.

c) Obtener una solucin con 2 cifras significativas exactas (n=2 y m=-1).

Se deja de iterar si: con m=-1 y n=2

i=0

(FALSO)i=1

(FALSO)i=2

(FALSO)i=3

(VERDADERO)

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN DOS VARIABLES

VI. METODO DEL PUNTO FIJO EN DOS VARIBLES

Sea el sistema:(

(a) Verifica su convergencia.Por Teorema de Bolzano localizar el punto inicial (X , Y ).De (2) y= (3)(3) en(1) F(x)=x - (4) Aplico Teorema de Bolzano para intervalos de longitud 1. [0,1](5) Aplicamos para intervalo de longitud 0.1

[0.5,0.6]Sea X= 0.5 en y = Y = Por lo tanto (X , Y) = (0.5, 0.6) m = -1 ; m = -1

(b) Por punto fijo verificar su convergencia

De (1) F=F(x,y)= x = De (2) G=G(x,y)= Aplicando ()

0 + ||(0.5,0.6) + 0 = 0.5 = L 1Por lo tanto cumple ()

(c) Por punto fijo obtener 1 solucion con 1 cifra significativa exacta.

Se deja de itera si :

| | = 0.5x= 0.5x| | = 0.5x= 0.5xSu relacin de recurrencia de punto fijo es : = F () = = G () =

n = 0 Iteracion inicial con (X , Y) = (0.5, 0.6) = = = 0.54881 = 0.5 = = = 0.00653 = 0.6n = 1 Primera Iteracion = = 0.54523 = 0.5 = = 0.57763 = 0.6

| | = 0.00358 = 0.004 = 0.4x 0.5x| | = 0.0289 = 0.03 = 0.3x Por lo tanto:

= = con 1 cifra significativa.

VII. ALGORITMO DE NEWTON RAPSON (N.R) EN DOS VARIABLES:Resuelva el sistema

Con el mtodo de newton raphson modificado, usando los valores iniciales puede seguir los clculos.SolucinPrimero derivamos y obtenemosPrimera iteracinSe evalua y en Y Se sustituye Para el clculo de se necesita evaluar y en ,

Se sustituye Segunda iteracin y

Ahora se evala y en , yDe donde

METODOS DIRECTOS DE SISTEMAS NO LINEALES EN DOS VARIABLES

VIII. METODO DE CROUT - DOOLITLEResolver los siguientes sistemas de ecuaciones por Crout

Solucin

1)

2)

3)

4) =

5) = = = = = = 6) Finalmente

IX. MTODO DE CHOLESKY.

Como observamos la matriz A no es simtrica entonces trabajamos con la 2da versin

Entonces la nueva matriz Positivo Es positivo porque la y es simtrica

A.X = b. = bL. Y = b A= L.

A= . =

1 fila

2 fila

3 fila

= =

Ahora como

Y = LT . X

Entonces

Por lo tanto

X. MTODO TRIDIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Dado el sistema A*x = b se tiene lo siguiente: ( 1 ) - 3 = -2 ( 2 ) + -3 = 8 ( 3 ) 2 -4 -2 = 6 ( 4 ) 3 +2 + = 1Paso 1Del sistema original A*x = b expresando en la forma A* = b ( 1 ) + 3 + = 6 ( 2 ) + 3 + + = 10 ( 3 ) + 3 + + = 10( 4 ) + 2 + + = 8 ( 5 ) 2 + + 2 = 10

Sea ( Uno de ellos debe ser diferente de cero y el otro debe ser cero )De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene = 3 , = 4 , = -1De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente + 2 + + = 8 + entonces De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente2 + + 2 = 10 + entonces Entonces R =[ Se tiene =

Paso 2 primera solucin homogneaDel sistema original A*x = b expresando en la formaA* = tal que vector nulo( 1 ) + 3 + = 0 ( 2 ) + 3 + + = 0 ( 3 ) + 3 + + = 0( 4 ) + 2 + + = 0( 5 ) 2 + + 2 = 0Sea ( dos nmeros cualesquiera )De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene = -8 , = 1 , = 12De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente + 2 + + = 0 + entonces De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente2 + + 2 = 0 + entonces Entonces S =[ Se tiene = Paso 3 segunda solucin homogneaDel sistema original A*x = b expresando en la formaA* = tal que vector nulo( 1 ) + 3 + = 6 ( 2 ) + 3 + + = 10 ( 3 ) + 3 + + = 10( 4 ) + 2 + + = 8 ( 5 ) 2 + + 2 = 10Sea De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene = -7 , = 2 , = 9De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente + 2 + + = 0 + entonces De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente2 + + 2 = 0 + entonces Entonces T =[ Se tiene =

Paso 4 R = S + T [ = [ + [ [ = [ + [ Entonces = = La solucin x = - - X = - - X= Es decir:

XI. MTODO PENTADIAGONAL PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Dado el sistema A*x = b se tiene lo siguiente:( 1 ) + 3 + = 6 ( 2 ) + 3 + + = 10 ( 3 ) + 3 + + = 10( 4 ) + 2 + + = 8 ( 5 ) 2 + + 2 = 10

Paso 1

Del sistema original A*x = b expresando en la forma A* = b ( 1 ) + 3 + = 6 ( 2 ) + 3 + + = 10 ( 3 ) + 3 + + = 10( 4 ) + 2 + + = 8 ( 5 ) 2 + + 2 = 10

Sea ( Uno de ellos debe ser diferente de cero y el otro debe ser cero )De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene = 3 , = 4 , = -1De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente + 2 + + = 8 + entonces De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente2 + + 2 = 10 + entonces Entonces R =[ Se tiene =

Paso 2 primera solucin homogneaDel sistema original A*x = b expresando en la formaA* = tal que vector nulo

( 1 ) + 3 + = 0 ( 2 ) + 3 + + = 0 ( 3 ) + 3 + + = 0( 4 ) + 2 + + = 0( 5 ) 2 + + 2 = 0

Sea ( dos nmeros cualesquiera )De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene = -8 , = 1 , = 12De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente + 2 + + = 0 + entonces De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente2 + + 2 = 0 + entonces Entonces S =[ Se tiene = Paso 3 segunda solucin homogneaDel sistema original A*x = b expresando en la formaA* = tal que vector nulo( 1 ) + 3 + = 6 ( 2 ) + 3 + + = 10 ( 3 ) + 3 + + = 10( 4 ) + 2 + + = 8 ( 5 ) 2 + + 2 = 10

Sea De ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) se obtiene = -7 , = 2 , = 9De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente + 2 + + = 0 + entonces De ( 4 ) como NO existe se hace lo siguiente2 + + 2 = 0 + entonces Entonces T =[ Se tiene =

Paso 4 R = S + T [ = [ + [ [ = [ + [

Entonces = =

La solucin x = - -

X = - - X= Es decir:

XII. METODO JACOBI

Dado el siguiente sistema:

a) Por Jacobi verificar su convergencia:

Despejamos las variables y obtenemos lo siguiente:

Le damos la siguiente forma:

En ese caso obtendramos los siguientes equivalentes:

Para que converja

es convergente

b) Por Jacobi hallar una solucin con un error =

Hallaremos la solucin segn: Dejaremos de iterar cuando:

Tomamos arbitrariamente a como nuestro ,entonces:k=0

k=1

Entonces XIII. METODO DE GAUS SEIDEL

ProblemaSea el sistema:

Por el mtodo de Gauss-Seydela) Analizar su divergenciab) Hallar su solucin con

Solucin:

Analizar su divergencia

Luego:

{X (k)} X*

Hallar su solucin con

De

Sea

: 1era Iteracin

: 2da Iteracin

UNMSM Facultad de Ingeniera Electrnica y Elctrica5