UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

ECUACIONES

DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

Act . Trabajo colaborativo 3TUTOR Carlos Ivan Bucheli

Presentado por: PROGRAMA ING. DE SISTEMAS

GRUPO #100412_16

JULIO DE 2009INTRODUCCINEl presente trabajo consta de dos partes la parte uno es el desarrollo de los ejercicios de la Gua y la segunda parte es realizar un juego llamado escalera utilizando una de las tres unidades como material de ayuda. Esta debe ser interactiva y creativa, Cualquier tipo de programa,Por ejemplo en visual basic, flash etc.Un juego donde el estudiante aprenda conceptos de la primera unidad,en otras palabras que el aplicativo sea ldico.OBJETIVOS

El objetivo es que cada estudiante del grupo enve un ejercicio al foro. TRABAJO COLABORATIVO 3Realizar un juego llamado escalera utilizando una de las tres unidades como material de ayuda. Esta debe ser interactiva y creativa, Cualquier tipo de programa,Por ejemplo en visual basic, flash etc.Un juego donde el estudiante aprenda conceptos de la primera unidad,en otras palabras que el aplicativo sea ldico.PARTE UNO

1. Encuentre la solucin general mediante serie de potencias:

a) y xy = 0

b) (2+x) y xy 3y = 0

2. Una de las aplicaciones de fsica es la ecuacin de Hermite y legendre, averige para que sirvan y adems resuelva lo siguiente:Consideremos la ecuacin de Hermite pero generalicmosla ligeramente:

Ahora, busquemos soluciones con un cierto desarrollo de Taylor:

Reemplazando en la ecuacin de Hermite tenemos:

As, obtenemos una relacin de recurrencia para los coeficientes de la serie:

De donde se desprende lo siguiente:

Hay dos series independientes, la de coeficientes con ndice par , que solo depende de , y la de coeficientes con ndice impar que depende solo de . Por tanto hay dos coeficientes arbitrarios y , y por ende dos soluciones linealmente independientes.

La ecuacin de Legendre de parmetro m ( 0 es:

Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0= 0.

Es

Ambas analticas en x0 = 0 con radio de convergencia de los respectivos desarrollos: R1 = R2 = 1

Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solucin en serie de potencias de x, vlida, al menos para .

Sea . Sustituyendo en la ecuacin:

Habrn de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.

x0 :

x1 :

xn :

Luego:

Es decir:

Si m = 0, 1, 2,... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios pn(x) son respectivamente:

p0 = 1

p1(x) = x

p2(x) = 1 - 3 x2

p3(x) = x - x3Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm(x), a la solucin polinmica de la ecuacin de Legendre de parmetro m (o sea, el mltiplo de pn(x), tal que Pm (1) = 1.

Ser:

P0(x) = 1P1(x) = x

3. Halle los primeros cinco trminos del desarrollo en series de Taylor alrededor de x=0 de la solucin y(x) del siguiente problema de valor inicial:

yx3 +y+ 3x2+y=0; y(0)=0 , y (0)=0

Y IV

Y 1V +

Y 1V +

Y 1V =

Y 1V =

YIV (0)X4

Y= 0/0! + 0/1! + exx2/2!+ex(1-x3)x3/3!+ex(1-9x2-x3(1-x3))x4/4!

X= - 0.3

Y= 1.2232

X= -0.2 y= 1.6563

X= -0.1

Y= 1.9145

X=0

Y=0

X=0.1

Y=1.1107

X=0.2

Y=1.2458

X=0.3

Y= 1.14054. Investigue una aplicacin de las series de Taylor y realice un ensayo o resumen del mismo.

En matemticas, la serie de Taylor de una funcin f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aqu, n! es el factorial de n y f(n)(a) indica la n-sima derivada de f en el punto a.

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la funcin f(x) se llama analtica.

Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimacin del resto del teorema de Taylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.

La serie de Taylor de una funcin f de nmeros reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de nmeros reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera ms compacta como

Donde n! es el factorial de n y f(n)(a) denota la n-sima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

Estos son ejemplos de series de Taylor de funciones importantes:Funcin exponencial y logaritmo natural

Serie geomtrica

Una extensin de la serie de Taylor y su aplicacin a la integracin de osciladoresResumen

Muchos modelos en Fsica e Ingeniera son descritos mediante osciladores armnicos perturbados. En este ejemplo se construyen las Gfunciones de Scheifele y un mtodo numrico, especialmente adaptado a la integracin de osciladores, utilizando desarrollos en G-funciones, que supone un refinamiento del mtodo de series de Taylor. Su aplicacin se ilustra con la resolucin exhaustiva de dos problemas test, comparndose la precisin del mtodo frente a otros cdigos conocidos, implementados en MAPLE V.

En la Naturaleza se dan casos de mviles que pasan repetidas veces por una misma posicin, en Intervalos de tiempos iguales y lo hacen siempre con la misma velocidad y aceleracin. Estos movimientos, como, por ejemplo, el circular uniforme o el de traslacin de la Tierra alrededor del Sol, que regula las estaciones del ao, se llaman peridicos. Un movimiento peridico se dice oscilatorio si la posicin del mvil respecto al origen alcanza un valor mximo y un valor Mnimo, siendo el pndulo un buen ejemplo de este tipo de movimiento. Si las ecuaciones que definen un movimiento oscilatorio contienen las funciones armnicas seno y coseno, el movimiento recibe el nombre de armnico.El movimiento vibratorio armnico simple es descrito por ecuaciones del tipo x(t)=Acos(t+ ) x(t)= Asin(t+ ), solucin de la ecuacin diferencial lineal de segundo orden, x(t)+2x(t)=0 , homognea y de coeficientes constantes, donde los puntos Indican derivacin respecto al tiempo, siguiendo la notacin clsica de Newton. Esta ecuacin recibe el nombre de oscilador armnico y surge cuando la aceleracin es proporcional al desplazamiento respecto a un punto de equilibrio y dirigida hacia ste, es decir, cuando al apartar al mvil de esa posicin de equilibrio, aparece una fuerza recuperadora dirigida hacia dicha posicin.

El estudio del movimiento vibratorio armnico simple es sencillo e importante, pues todo sistema que efecta pequeas oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio estable se puede tratar en primera aproximacin como si fuera un oscilador.

La caracterstica ms importante del oscilador armnico es la de estar sometido a una fuerza recuperadora. Resulta ms realista considerar tambin la fuerza de friccin, que se produce por el choque de partculas y, como consecuencia, la transformacin de energa en calor, que tiende amortiguar la oscilacin. Esta fuerza de friccin se suele tomar proporcional a la velocidad, obtenindose x(t)+2x(t)+2x(t) que es la ecuacin del oscilador armnico amortiguado.

La disipacin de energa mecnica es algo inherente al movimiento de macrosistemas, fuerzas a escala microscpica como las de rozamiento y viscosidad, al generar calor a expensas de la energa mecnica de la oscilacin, hacen imposible en la prctica mantener las oscilaciones de un sistema a menos que se establezca un dispositivo de bombeo de energa que reponga la energa perdida por friccin. Si este aporte de energa se efecta mediante el trabajo de una fuerza exterior F(t) , las oscilaciones se dicen forzadas o controladas por esa fuerza. El oscilador armnico amortiguado y forzado, es decir, perturbado, admite la expresin x(t)+2x(t)+2x(t)=F(t) .

Existen numerosos procesos en el campo de la Fsica a los que se puede adaptar un modelo mediante osciladores perturbados. Un primer ejemplo surge al estudiar el movimiento de una masa puntual m a lo largo de una recta fija sujeta a un resorte elstico o muelle. Se sabe por la ley Hooke que la fuerza recuperadora de este dispositivo es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario, expresndose mediante la frmula F= k( x) siendo k > 0 la constante recuperadora del resorte, x0 la longitud natural del mismo y x la coordenada de m. Situando el origen de coordenadas en x0, la expresin anterior se transforma en F= k x, que, aplicndole la segunda ley de Newton, se puede escribir de la forma m x = k x . Llamando pulsacin o frecuencia angular natural a o= , resulta la ecuacin x+2ox= 0 que se corresponde con la de un oscilador armnico simple.

Otro ejemplo que aparece en la Fsica es el de un circuito elctrico que contiene una resistencia R, un condensador de capacidad C con carga q(t), una fuerza electromotriz E(t) y una intensidad de corriente I(t) dq(t) / dt=. Este circuito nos lleva al siguiente problema de valores iniciales2, PVI, que adopta la forma de oscilador forzado:

L q(0)= qo, q(0)=Io,Tambin en los modelos de la Mecnica Celeste se presentan los osciladores armnicos, como en el clsico problema de dos cuerpos que se expone a continuacin:

Si se considera un sistema inercial de origen O y los cuerpos P1 y P2 de masas m1 y m2 y vectores posicin r1 y r2 respectivamente (Figura 1.), la segunda ley del movimiento de Newton y la ley de Gravitacin Universal aplicada a cada uno de esos cuerpos nos permite escribir:

m1r1== G y m2r2 = --G siendo r2 = r1 con r = /r/Las expresiones de la aceleracin son Una extensin de la serie de Taylor y su aplicacin a la integracin de osciladores

r2 = G y r1 = G y como r = r2 r1 la frmula que expresa el movimiento relativo de P2 respecto de P1 viene dada por la ecuacin:

rdonde =G (m1 +m2) siendo G la constante de gravitacin universal.

En el estudio de las perturbaciones tpicas del problema de dos cuerpos se consideran fuerzas perturbadoras que generalmente, son de pequea magnitud en comparacin con el trmino principal que da la atraccin entre dos puntos. Este trmino suele llamarse kepleriano. Dichas fuerzas perturbadoras modifican la atraccin newtoniana y por tanto las ecuaciones del movimiento. Si de los dos grandes grupos de perturbaciones, las gravitatorias y las no gravitatorias, consideramos las primeras, que proceden de que en lugar de cuerpos puntuales se consideran cuerpos finitos, rgidos o deformables y de la existencia de otros cuerpos que influyen en el movimiento de los dos seleccionados como objeto de estudio, nos encontramos ante el llamado problema del satlite.

Si r se considera constante, el modelo matemtico que describe el movimiento kepleriano puro, es decir, el problema de dos cuerpos, es el de un oscilador armnico. En el caso del problema del satlite, el modelo matemtico asociado es el de un oscilador armnico perturbado. En un sistema inercial de origen O (Figura 2.), el movimiento relativo de dos cuerpos, cuando se considera nicamente la perturbacin gravitatoria debida a la presencia de un tercer cuerpo, se puede formular mediante la ecuacin:

3 con d3 =r2 -r1 y = r3 - r1

Figura 2. Problema de tres cuerpos.

Esta expresin nos proporciona la aceleracin de m2 respecto a m1, siendo suma vectorial de dos aceleraciones, una debida al movimiento kepleriano puro y otra la que produce la perturbacin. Para resolver el problema del satlite hay que integrar ecuaciones diferenciales como la anterior.

En los ltimos aos, debido fundamentalmente a las mayores exigencias de los programas espaciales, ha ido ganando inters el clculo preciso de rbitas de satlites artificiales. Desde la dcada de los noventa, para la resolucin de problemas geodsicos o geodinmicos, los geodestas necesitan precisiones subcentimtricas en el clculo de la posicin exacta del satlite artificial en una referencia inercial. Conseguir esta precisin no es fruto de la observacin sino del clculo.

En los mtodos de clculo de rbitas, cuando r no es constante, resulta ventajoso sustituir las ecuaciones newtonianas del movimiento por otras mejor acondicionadas para su integracin numrica. En Mecnica Celeste, las transformaciones que permiten escribir las ecuaciones del movimiento como ecuaciones diferenciales lineales se llaman linealizaciones (Stiefel and Scheifele, 1971), no debiendo confundir stas con el mtodo que consiste en desarrollar en serie de Taylor y conservar la parte lineal, pues las transformaciones anteriores, las linealizaciones, son exactas y reducen la ecuacin del movimiento a osciladores armnicos perturbados. Una vez efectuada esa tarea, pueden aplicarse para su integracin cdigos numricos especiales, con la condicin de que permitan integrar el problema sin error de discretizacin, es decir, si los trminos de la perturbacin desaparecen en un instante arbitrario de la variable independiente t, el mtodo numrico deber integrar exactamente el problema no perturbado. Algoritmos desarrollados con este propsito son descritos en (Martn and Ferrndiz, 1997), (Vigo-Aguiar and Ferrndiz, 1998(a)). Los conocidos mtodos tipo Runge-Kutta3 (Ola Fatunla, 1988), tambin integran exactamente el problema no perturbado, pero presentan dificultad en la construccin de un mtodo de orden mayor que cuatro y en el gran nmero de evaluaciones que precisa su implementacin, con el consiguiente coste computacional.

En 1971 Scheifele (1971), ide un mtodo para la integracin numrica de osciladores perturbados basado en un refinamiento del mtodo clsico de las series de Taylor, utilizando una sucesin de funciones G k(t) que permite expresar la solucin en trminos de series del tipo:

x(t) = t), que se utilizan en la construccin de un mtodo de integracin numrica muy preciso. Dicho mtodo presenta la ventaja no slo de integrar exactamente el problema no perturbado, sino que adems lo integra con slo los dos primeros trminos de la serie, mientras que el mtodo de las series de Taylor proporciona una aproximacin a la solucin mediante una funcin lineal, si tomamos los dos primeros trminos.

En este trabajo, se presentan los desarrollos en G-funciones, como una extensin de la serie de Taylor. Basndonos en stos, se construir un mtodo de integracin numrica para osciladores perturbados, finalizando con un pormenorizado estudio de dos osciladores perturbados que ilustran el modo de empleo del mtodo y contrastan su comportamiento.

PARTE II

VER ARCHIVO ADJUNTO

CONCLUSIONES

Una serie es lasuma de los trminos de una sucesin. Se representa una serie con trminos an como donde N es el ndice final de la serie. Con esta tercera unidad se nos brindaron tcnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales lineales con coeficientes variables, utilizando para ello las series. Definimos el concepto de punto ordinario y punto singular regular. Una serie de potencias representa a una funcin f en un intervalo de convergencia y que podemos derivar la serie de potencias sucesivamente, para obtener series para f, f" La serie de Taylor de unafuncinf(x) infinitamente derivable (real o compleja) est definida en unintervalo abierto(a-r, a+r). Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.

La Ecuacin de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuacin de Laplace o a la ecuacin de Helmholtz por el mtodo de separacin de variables en coordenadas cilndricas o esfricas.

La solucin de Ecuaciones diferenciales se pueden resolver mediante series de potencias, siendo esta un reemplazo del mtodo de sustitucinBIBLIOGRAFA

Mdulo Curso Ecuaciones Diferenciales- Unad, Bogot 2008, Wikipedia, http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial ZILL DENIS G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Loyola Ecuaciones Diferenciales, Autor Denis G. Zill

http://publiespe.espe.edu.ec/librosvirtuales/ecuaciones-diferenciales/ecuaciones- diferenciales/ecuaciones-diferenciales04.pdf

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