UCSMUNIVERSIDAD CATLICA DE SANTA MARA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

CURSO:

DINMICA

TEMA:

DEDUCCIONES Y EJERCICIOS

PRESENTADO POR:

APAZA LAZO, ELIZABETH VERNICA BARREDA CASTILLO, DIEGO CALSN CATACORA, MAYNARD PAREDES LAZO, RODRIGO RODRGUEZ VILCA, ALONSO SOLRZANO URDAY, JORGE JAVIER

SEMESTRE Y SECCIN:

IV - B

GRUPO:

2

AREQUIPA PER

2015

NDICE

TAREA 1: IMPACTO CENTRAL DIRECTO....... 3TAREA 2: IMPACTO CENTRAL OBLICUO.... 5TAREA 3: COEFICIENTE DE RESTITUCIN....... 6TAREA 4: EJERCICIO IMPACTO CENTRAL OBLICUO.... 9TAREA 5: SISTEMA DE PARTCULAS................................ 12 TAREA 6: EJERCICIO CINEMTICA DE CUERPOS RGIDOS........... 16TAREA 7: GLOSARIO......... 24CONCLUSIONES.... 26BIOGRAFARENE DESCARTES...... 27LEON FOUCAULT...... 29GASPARD-GUSTAVE CORIOLIS.. 31JOHANN BERNOULLI.. 33

ARTCULO CIENTFICO SOBRE CUERPO RGIDO........ 36

BIBLIOGRAFA........ 46

TAREA N 1

IMPACTO CENTRAL DIRECTO

DEMOSTRAR LAS FRMULAS DEL IMPACTO CENTRAL DIRECTOPara poder entender de una mejor manera este concepto realizaremos el Diagrama del Impulso y del Momentum lineal.Si decimos que A y B se mueven a lo largo de una recta comn (Lnea de Impacto) como se muestra en la figura (a) y que VAi VBi entonces podemos deducir que A chocar con B.Como los movimientos y fuerzas son a lo largo de la L.I. slo se considerar la componente segn esta para la ecuacin de la cantidad de movimiento. Diremos que la velocidad y las fuerzas que estn hacia la derecha sern positivas y hacia la izquierda negativas.Durante el choque no hay fuerzas impulsivas externas por ende se conservar la cantidad de movimiento del sistema obteniendo as:

Si analizamos por separado cada elemento, como se muestra en (b), la fuerza interior ser impulsiva y al aplicar el teorema de la Cantidad de Movimiento para A tendremos:

Donde:Fd = fuerza de interaccin sobre A durante la deformacin.vc = velocidad comn de los dos puntos.tc = tiempo al final de esta fase.Durante la restauracin, figura (c), el teorema de la Cantidad de Movimiento nos dice:

Donde:Fr = fuerza de interaccin sobre A durante la restauracin.vAf = velocidad final del punto A luego de la colisin.

TAREA N 2

IMPACTO CENTRAL OBLICUO

DEMOSTRAR LAS FRMULAS DEL IMPACTO CENTRAL OBLICUOSe toma los ejes de coordenadas a lo largo de la lnea de impacto n y perpendicular a ella t, para este tipo de impacto es aplicable la ecuacin de cantidad de movimiento. Durante el corto tiempo de impacto, las nicas fuerzas impulsivas que se ejerce sobre uno y otro son las fuerzas interiores que estn en la direccin de la lnea de impacto n.

Como en la direccin t no se ejercen fuerzas impulsivas sobre uno y otro punto, se conservara la componente t de la cantidad de movimiento de cada uno de ellos.

(1)(2)

Como no hay fuerzas impulsivas exteriores en ninguna direccin, por tanto se conservara la cantidad de movimiento del sistema en la direccin n y t.

(3)

Aun as necesitamos una ecuacin ms, por lo cual utilizamos el coeficiente de restitucin.

(4)TAREA N 3

COEFICIENTE DE RESTITUCIN

DEMOSTRAR LAS FRMULAS DEL COEFICIENTE DE RESTITUCIN

El mdulo de impulso de deformacin:

Es generalmente mayor al mdulo del impulso de restauracin:

El cociente de estos dos impulsos se denomina coeficiente de restitucin:

Se hace un anlisis anlogo para b y se obtiene

Igualando (1) = (2) y eliminando se obtiene:

a) CHOQUE PERFECTAMENTE ELSTICOSi en un choque e =1, se dice que es perfectamente elstico y se da la ecuacin:

Y sabemos que:

Si multiplicamos miembro a miembro estas dos ecuaciones obtenemos:

Trasponiendo trminos y dividendo entre 2 resulta:

Por lo tanto cuando e = 1, podemos decir que la energa cintica se conserva.

b) CHOQUE PERFECTAMENTE PLASTICOUna colisin perfectamente inelstica o plstica es aquella en la que la energa cintica total del sistema no es la misma antes que despus de la colisin. Se consideran dos partculas de m1 y m2 con v1 y v2.

Cuando lo cuerpos estn pegados despus de la colisin

La conservacin del momento lineal en un choque perfectamente plstico se da:

Antes del choque la cantidad de movimiento lineal es la suma de las cantidades de movimiento de ambas masas:

Y despus del choque:

Y por lo tanto:

TAREA N 4

EJERCICIO DE APLICACIN

RESOLVER EN FORMA LITERAL EL PROBLEMA DE APLICACIN DE IMPACTO CENTRAL OBLICUOConsidere, por ejemplo, el choque entre el bloque A, que est restringido a moverse sobre una superficie horizontal y la bola B, que tiene libertad para moverse en el plano como se observa en la figura.

No existe friccin entre el bloque y la bola. Note que los impulsos ejercidos sobre el sistema consisten en los impulsos de las fuerzas internas F y -F dirigidos a lo largo de la lnea de impacto, esto es, a lo largo del eje n, y del impulso de la fuerza externa Fext ejercido por la superficie horizontal sobre el bloque A y dirigido a lo largo de la vertical.

D.I.M.L. DEL SISTEMA

ANTES DURANTE DESPUS

Velocidad despus del impacto:vA , vB

Conservacin del Momentum Lineal (vB)t = (vB)t en el eje tangencialConservacin del Momentum Lineal mA vA +mB(vB)x = mAvA+ mB(vB)x en el eje x

Velocidad relativa:La componente a lo largo del eje n despus del impacto se obtiene al multiplicar la componente n de su velocidad relativa antes del impacto por el coeficiente de restitucin. Se escribe de nuevo:(vB)n - (vA)n = e[(vA)n _ (vB)n]

Principio del impulso y la cantidad de movimiento del bloque A sobre el periodo de deformacin.

D.I.M.L. DEL BLOQUE A

ANTES DURANTE DESPUS

mAvA -( ) cos =mAumAu- () cos = mAvA

Periodo de Restitucin

Simplificando en las ecuaciones anteriores:

=

Multiplicando todas las velocidades por cos para obtener sus proyecciones sobre la lnea de impacto obtenemos:

As, se concluye que la relacin entre las componentes a lo largo de la lnea de impacto de las velocidades relativas de las dos partculas que chocan permanece vlida cuando se restringe el movimiento de una de las partculas. La validez de esta relacin se extiende sin dificultad al caso en el que ambas partculas se restringen en su movimiento.

TAREA N 5

SISTEMA DE PARTCULAS

DEDUCCIN DE FRMULAS DE UN SISTEMA DE PARTCULASa) APLICACIN DE LAS LEYES DE NEWTON AL MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTCULAS. FUERZAS EFECTIVASPara deducir las ecuaciones de movimiento de un sistema de n partculas se empieza escribiendo la segunda ley de Newton para cada partcula individual del sistema. Considere la partcula Pi, Sea mi la masa de Pi y su aceleracin con respecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz. La fuerza ejercida sobre Pi por otra partcula Pj del sistema (figura 14.1), denominada fuerza interna, se denotar por fij. La resultante de las fuerzas internas ejercidas sobre Pi por todas las dems partculas del sistema es entonces:

Mediante , la resultante de todas las fuerzas externas que actan sobre Pi, se escribe la segunda ley de Newton para la partcula Pi en la forma siguiente:

(14.1)

Fig. 14.1

Al denotar por el vector de posicin de Pi y tomar los momentos alrededor de O de los diversos trminos en la ecuacin (14.1), tambin se escribe:

Los vectores mi se denominan las fuerzas efectivas de las partculas. En consecuencia, las ecuaciones que se obtienen expresan el hecho de que las fuerzas externas Fi y las fuerzas internas Fij que actan sobre las diversas partculas forman un sistema equivalente como se muestra en la figura 14.2

Fig. 14.2

Al sumar momentos alrededor de O, se obtienen las ecuaciones:

Al volver a la ecuacin 14.1, sumando sus miembros y tomando en cuenta la primera ecuacin de la 14.3 obtenemos:

Al proceder de manera similar con las ecuaciones (14.2) y tomar en cuenta la segunda de las ecuaciones (14.3), se tiene:

b) CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTCULASLas ecuaciones (14.4) y (14.5), para el movimiento de un sistema de partculas, pueden expresarse en una forma ms condensada si se introduce la cantidad de movimiento lineal y angular del sistema de partculas:

Si se define la cantidad de movimiento angular HO alrededor de O del sistema de partculas:

El lado izquierdo de la ecuacin (14.5) representa la suma de los momentos MO alrededor de O de las fuerzas externas que actan sobre las partculas del sistema, y al omitir el subndice i de las sumatorias, se escribe

c) MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTCULASLa ecuacin (14.8) puede escribirse en una forma alternativa si se considera el centro de masa del sistema de partculas. El centro de masa del sistema es el punto G definido por el vector de posicin , el cual satisface la relacin:

d) CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTCULAS ALREDEDOR DE SU CENTRO DE MASA

Es conveniente considerar el movimiento de las partculas del sistema con respecto a un sistema de referencia centroidal Gxyz que se traslada con respecto al sistema de referencia newtoniano Oxyz (figura 14.5).

Fig. 14.5

e) CONSERVACION DEL MOMENTUMSi no acta una fuerza externa sobre las partculas de un sistema, los miembros del lado izquierdo de las ecuaciones (14.8) y (14.9) son iguales a cero y estas ecuaciones se reducen a:

Por otro lado, si la suma de los momentos alrededor de G de las fuerzas externas es cero, se concluye de la ecuacin (14.11) que se conserva la cantidad de movimiento angular del sistema alrededor de su centro de masa:

TAREA N 6

CINEMTICA DE CUERPOS RGIDOS

PROBLEMA 16.121 PG. 355 HIBBELER 10MA EDICINEn el instante dado la velocidad AB tiene los movimientos angulares mostrados Determine la velocidad y aceleracin del bloque deslizante C en este instante: a) Mtodo vectorial, b) mtodo grafico (en el caso de la velocidad use tambin el mtodo del centro instantneo de rotacin).a) MTODO VECTORIAL

DATOS:AB: movimiento rotacionalBC: movimiento rototraslacionalBloque C: movimiento traslacionalCUERPO LIBRE AB:

CUERPO LIBRE BC:

(a)

CUERPO LIBRE BLOQUEC:

(c)(d)

Resolviendo de (a) y (c) tenemos:

Resolviendo de y (d) tenemos:

b) MTODO GRFICO:Clculo de las velocidades por el mtodo del centro instantneo de rotacin IC.

VELOCIDADES:

ACELERACIN:

VELOCIDAD:

DEL GRFICO:

ACELERACIN:

DEL GRFICO:

PROBLEMA 15.48 PG. 738 SHAMES 4TA EDICINSe demuestra un mecanismo con dos deslizaderas. En el instante de inters de la deslizadera A tiene una velocidad de 3m/s2 y est a 1.7 m/s2. Si la barra AB tiene 2.5m de longitud Cul ser la velocidad y aceleracin angular de la barra? Rpta. -0.609rad/s y 14.71 rad/s2

1) ANLISIS:Cuerpo Rgido AB: movimiento rotacionalCorredera A: movimiento rototraslacionalCorredera B: movimiento traslacional

CUERPO RIGIDO AB:

(a)

CORREDERA B: MOVIMIENTO CURVILINEO

(c)

(d)

(e)

Resolviendo de y (c) tenemos:

Resolviendo de y (e) tenemos:(d)

De (b)

Igualamos (b) y

Obtenemos:

Obtenemos:

GLOSARIO

CENTRO DE MASA: Es el punto donde, a efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para anlisis fsicos en los que no es indispensable considerar la distribucin de masa.CENTRO INSTANTNEO DE ROTACIN: es un conceptocinemticoy geomtrico fundamental en la mecnica del slido en dos dimensiones o alternativamente en un movimiento plano. Se dice que es por la cual el cuerpo parece estar haciendo un movimiento de rotacin alrededor del mismo ms una posible traslacin paralela al mismo.COEFICIENTE DE RESTITUCIN: es una medida del grado de conservacin de la energa cintica en un choque entre cuerpos o la relacin que existe entre las velocidades antes y despus del impacto.EFECTO CORIOLIS: es el efecto que se observa en unsistema de referencia en rotacin cuando un cuerpo se encuentra en movimiento respecto de dicho sistema de referencia. Este efecto consiste en la existencia de unaaceleracinrelativadel cuerpo en dicho sistema en rotacin. FUERZAS IMPULSIVAS: En una colisin intervienen dos objetos que ejercen fuerzas mutuamente. Cuando los objetos estn muy cerca entre s o entran en contacto, interaccionan fuertemente durante un breve intervalo de tiempo. Las fuerzas de este tipo reciben el nombre defuerzas impulsivasy se caracterizan por su accin intensa y breve.FUERZAS INERCIALES: A las fuerzas que explican la aceleracin aparente de un cuerpo visto desde un sistema de referencia no inercial.IMPACTO: es la colisin o choque que existe entre dos cuerpos, ocurriendo en un intervalo de tiempo muy pequeo, en este intervalo de tiempo los cuerpos ejercen fuerzas relativamente grandes entre s.IMPACTO CENTRAL: es el choque que se da entre dos cuerpos con la particularidad de que sus centros de masa se encuentran en la lnea de impacto.IMPACTO DIRECTO: es el choque que sucede entre dos cuerpos, y donde las velocidades antes y despus del impacto estn dirigidas a lo largo de la lnea de impacto o choque.IMPACTO EXCNTRICO: es el choque que se da entre dos cuerpos con la particularidad de que sus centros de masa no se encuentran en la lnea de impacto.IMPACTO OBLICUO: cuando alguna de las velocidades de los cuerpos antes o despus del impacto no siguen la direccin de la lnea de impacto.IMPACTO PERFECTAMENTE ELSTICO: se dice de aquel que luego de una colisin entre dos o ms cuerpos no han sufrido deformaciones permanentes durante el impacto y se conserva la energa cintica. IMPACTO PERFECTAMENTE PLSTICO: dcese de dos partculas que se adhieren y permanecen juntos despus de una colisin y donde la energa cintica no se conserva.LNEA DE IMPACTO: es la normal que se dibuja comn a las superficies que estn en contacto durante el choque.MOMENTO ANGULAR: es laresistenciaque ofrece dicho cuerpo a la variacin de lavelocidad angular. En elSistema Internacional de Unidadesel momento angular se mide en kgm/s.MOMENTO LINEAL: es una magnitud fsica fundamentalde tipovectorialque describe el movimientode un cuerpo en cualquier teoramecnica. Enmecnica clsica, la cantidad de movimiento se define como elproductode lamasadel cuerpo y suvelocidaden un instante determinado.MOVIMIENTO RELATIVO: Una partcula se encuentra en movimiento en un referencial si su posicin con respecto a l cambia en el transcurso del tiempo; en caso contrario, la partcula est en reposo en dicho referencial.MOVIMIENTO ROTOTRASLACIONAL: es aquel movimiento donde el cuerpo rgido no solo se mueve en traslacin sino que posee movimiento rotacional. SISTEMA DE REFERENCIA EN ROTACIN: unsistema de referencia en rotacines un caso especial de un sistema de referencia no inercial, que gira en respecto a un sistema de referencia inercial. Un ejemplo cotidiano de un sistema de referencia rotatorio es la superficie de la Tierra. SISTEMA EQUIPOLENTE: son aquellos que producen la misma fuerza y el mismo momento pero no el mismo efecto.TRASLACIN: Es la variacin de la posicin del cuerpo en el espacio con el tiempo. Indica si el cuerpo se mueve, es decir, si vara su posicin a medida que vara el tiempo, est en movimiento.ROTACIN CENTROIDAL: cuando una placa o, ms generalmente, un cuerpo simtrico con respecto al plano de referencia, gira alrededor de un eje fijo perpendicular al plano de referencia y pasa por su centro de masa G.ROTACIN NO CENTROIDAL: el movimiento de un cuerpo rgido que est restringido a girar alrededor de un eje fijo que no pasa por su centro de masa se denomina rotacin no centroidal.

CONCLUSIONES

1. En un choque perfectamente elstico debido a que le coeficiente de restitucin es igual a 1, e = 1 se da la conservacin de la energa cintica en el sistema de partculas.

2. Se debe dibujar las fuerzas que intervienen en el DIML, antes, durante y despus del impacto, y ver cul es el grafico ms conveniente para poder resolver el problema.

3. Lamecnica de un slido rgidoes aquella que estudia el movimiento y equilibrio de slidos materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de unmodelomatemtico til para estudiar una parte de la mecnica de slidos, ya que todos los slidos reales son deformables.

4. La Conservacin de la cantidad de movimiento lineal de un sistema de partculas ocurre cuando la resultante de las fuerzas externas que actan sobre las partculas del sistema es cero.

5. El centro de masa de un sistema de partculas se mueve como si la masa completa del sistema y la totalidad de las fuerzas externas estuvieran concentradas en ese punto6. El impulso es la variacin en la cantidad de movimiento que experimenta un objeto. Esta se mide por el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo durante el cual acta.

7. Existen varias aplicaciones para el impulso y seguramente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco transmite energa a la bola mediante un choque y a su vez, la bola tambin transmite energa potencial al chocar con otras bolas.

BIOGRAFA

RENE DESCARTES

Tambin llamado Renatus Cartesius (en escritura latina) fue un filsofo, matemticoy fsico francs, considerado como el padre de la geometra analticay de la filosofa moderna, as como uno de los epgonos con luz propia en el umbral de la revolucin cientfica.Naci el 31 de marzo de 1596 enLa Haye, Turena (Francia) en el seno de una familia de funcionarios. Con ocho aos entr en la escuela jesuita de La Flche en Anjou, donde permanecera hasta los 16 aos. Junto a los tpicos estudios clsicos Descartes estudimatemticasyescolasticismocon el propsito de orientar la razn humana para comprender ladoctrina cristiana. Estuvo influenciado por el Catolicismo. Al finalizar sus estudios en la escuela, se matricul enDerechoen la Universidad de Poitiers, obteniendo la licenciatura en 1616. Se traslad a Italia, donde permaneci de 1623 a 1624 y march a Francia, donde residira entre 1624 y 1628. En este periodo, se dedic plenamente a la filosofa y a realizarexperimentos de ptica. En 1628, tras vender sus propiedades en Francia, parti a Holanda, donde vivi en diferentes ciudades, msterdam, Deventer, Utrecht y Leiden. Fue por entonces cuando escribi Ensayos filosficos, que fue publicada en 1637. sta est compuesta de cuatro partes: un ensayo sobre geometra, otro sobreptica, un tercero sobremeteorosy el ltimo, elDiscurso del mtodo, que describa sus especulaciones filosficas. A ste le siguieron, entre otros ensayos,Meditaciones metafsicas(1641; revisado 1642) yLos principios de la filosofa, (1644).Su contribucin ms importante a las matemticas fue la sistematizacin de lageometra analtica. Fue el primero que intent clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen, y contribuy tambin a la elaboracin de la teora de las ecuaciones. Descartes fue el responsable dela utilizacin de las ltimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Tambin invent el mtodo delos exponentes(como en x2) para indicar las potencias de los nmeros. Adems, formulla regla, conocida como laley cartesiana de los signos, para descifrar el nmero de races negativas y positivas de cualquier ecuacin algebraica.

Muri el 11 de febrero de 1650 de una enfermedad respiratoria, que probablemente fuepulmona. Diecisiete aos ms tarde, su cadver volvi a Pars, donde fue sepultado.

APORTES IMPORTANTES: La gravedad: Su nocin de la fuerza de la gravedad era como una especie de propiedad mental de los cuerpos. Espacio, cuerpo y movimiento: Para este pensador no puede existir un espacio separado del cuerpo, puesto que toda visin espacial es simplemente corprea.

El tiempo es para l, una abstraccin generalizada de la duracin de los organismos particulares, siendo un atributo de la sustancia. Rechaza cualquier forma de atomismo. El reposo y el movimiento (cambio de cuerpos contiguos) son para l, diferentes estados corporales.

Leyes de conservacin del movimiento y el principio de conservacin: Los logros ms importantes de la fsica de Descartes son las tres leyes de la naturaleza (que en resumen son las leyes del movimiento corporal). Las propias leyes del movimiento de Newton se inspiraran en estas:1. Cada cosa, por lo que est en su poder, siempre permanece en el mismo estado.2. Todo movimiento, es por s mismo, a lo largo de lneas rectas. Cuando los cuerpos se mueven en crculos, tienden a alejarse del centro del crculo que estn describiendo.3. Un cuerpo, al entrar encontactocon uno ms fuerte, no pierde nada de movimiento, sin embargo al entrar en contacto con uno ms dbil, pierde, debido a la transferencia que se hace hacia este.

Se puede inferir que Descartes contribuy a sentar las bases de la dinmica moderna (que estudia el movimiento de los cuerpos bajo la accinde fuerzas).

Para Ren, la conservacin de la cantidad de movimiento es uno de los principios rectores del universo. Cuando Dios cre el universo, razona con una cantidad finita de cantidad de movimiento.

Cosmologa cartesiana: La teora del vrtice del movimiento planetario es uno de los valiosos aportes legados a la posteridad por este singular pensador francs. Un vrtice es una banda circular grande de partculas materiales; se trata de explicar los fenmenos celestes, especialmente las rbitas de los planetas o los movimientos de los cometas, situndolos (generalmente en reposo) en estas bandas que circundan. Todo el universo se compondra de una red de vrtices conectados y separados.En nuestro sistema solar, por ejemplo, hay bandas estratificadas del sol y de los planetas a distintas velocidades.

LEON FOUCAULT

Jean Bernard Len Foucault(18 de septiembre 1819-11 de febrero de 1868) fue unfsico francs. Demostr experimentalmente larotacin terrestre en1851mediante un enormepndulo, el llamado pndulo de Foucault. Una demostracin impactante fue realizada el 26 de marzo, en elPanten de Paris. Ofici de pndulo una bala de can de 26kgcolgada de la bveda mediante un cable de 67 mde largo, y que tardaba diecisis segundos para ir y volver cada vez. Adherido a la bala, en su parte inferior, haba un pequeo estilete y el suelo del Panten estaba cubierto de arena. En cada ida y vuelta el estilete dejaba una marca diferente en la arena, cada una de ellas unos dos milmetros a la izquierda de la anterior porque la Tierra giraba.APORTES IMPORTANTES:Pndulo De FoucaultEn 1851 Jean Len Foucault colg un pndulo de 67 metros de largo de la cpula de los Invlidos en Paris. Un recipiente que contena arena estaba sujeto al extremo libre, el hilo de arena que caa del cubo mientras oscilaba el pndulo sealaba la trayectoria. Demostr experimentalmente que el plano de oscilacin del pndulo giraba 11 15 cada hora. El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotacin de la Tierra. Aunque la Tierra estuviera cubierta de nubes, este experimento hubiese demostrado que tiene un movimiento de rotacin.En esta simulacin, el movimiento de pndulo se sustituye por el Movimiento Armnico Simple de un punto P.

x=A*cos(pt)

Dondepes la frecuencia angular de oscilacin de este imaginario pndulo.

Se dibuja la trayectoria en el sistema no inercial OXY aplicando la transformacinx=xcos( t)=Acos(pt)cos( t)

y=xsin( t)=Acos(pt)sin( t)

Dondees la velocidad angular de rotacin

En la figura, se muestra el ngulo girado por el plano de oscilacin del "pndulo" durante el periodo de una oscilacin. El pndulo parte de A y regresa a B, para iniciar una nueva oscilacin. El ngulo girado es = P. SiendoP=2/pel periodo de una oscilacin

El ngulo girado por el plano de oscilacin del pndulo en una hora, es el producto de por el nmero de oscilaciones que da el pndulo en una hora.

6060/P= 6060=15 a la hora

Teniendo en cuenta que la velocidad angular de rotacin de la Tierra es de 360 en 24 h.

Para un lugar de latitud, el ngulo girado por el plano de oscilacin del pndulo en una hora vale 15sen.La razn estriba en que el vector velocidad angular de rotacinforma un ngulo 90-con la direccin perpendicular al plano local,tal como se ve en la figura.Recurdese que la aceleracin de Coriolis responsable de este fenmeno es el producto vectorial -2v.

Sabiendo que la latitud de Paris es de aproximadamente 49, el plano de oscilacin del pndulo de Foucault gira a razn de 11.3 cada hora.

Caso particular =p

Las ecuaciones paramtricas de la trayectoria son:

x'=Acos(t)cos(t)=A2(1+cos(2t))y'=Acos(t)sin(t)=A2sin(2t)

Eliminamos el tiempotde las ecuaciones paramtricas de la trayectoria y obtenemos la ecuacin de una circunferencia centrada en el punto (A/2, 0) y de radioA/2.

GASPARD-GUSTAVE CORIOLIS

Nacido en plenaRevolucin Francesa. Coriolis se present en 1808 a las pruebas de ingreso de laEscuela Politcnica de Paris, donde obtiene el nmero ocho. Al terminar sus estudios, obtiene el nmero once de su promocin, lo que le permite integrarse en(Cuerpo de ingenieros de caminos) para el que trabaj durante algunos aos enMeurthey Moselay en eldepartamento de los Vosgos. Despus del fallecimiento de su padre, acept un puesto de profesor en la cole Polytechnique en 1816. En 1829, Coriolis se convirti en profesor de anlisis geomtrico y de ingeniera mecnica en laEscuela Central de Paris, trabajando junto a su cuado (esposo de su hermana Ccile), uno de los fundadores del centro. Despus de la Revolucin de 1830, debido a la posicin deCauchy, que se haba negado a aprobar el nuevo rgimen, se le ofrece un cargo en el Politcnico, cargo que no acepta para poder dedicar ms tiempo a sus trabajos de investigacin. En1831, ensea con Henri Naviermecnica aplicada en la cole Polytechnique. En1863, a la muerte de Navier, Coriolis ocupa su lugar en la cole Polytechnique y en la Academia de Ciencias, donde fue elegido el 28-01-18361(Seccin de Mecnica). En1838, Coriolis (entonces ingeniero jefe del Cuerpo de Puentes y Caminos), decidi dejar la ingeniera para convertirse en director de estudios de la Escuela Politcnica, a la muerte deDulong. Sin embargo, debido a su mal estado de salud (no estaba en condiciones de impartir su curso de 'Mecnica Aplicada a edificios y maquinaria'), present su renuncia a la Politcnica, aunque el general al mando de la Escuela, decidi mantenerle en el cargo hasta su muerte en 1843.

APORTES IMPORTANTES:Efecto CoriolisEl efecto Coriolis aparece siempre que intervenga la rotacin de un slido. Si nos hallamos sobre un tiovivo que gira en sentido antihorario y lanzamos una bola en cualquier direccin, veremos que su trayectoria se curva hacia la derecha. Un observador junto al tiovivo ver que la bola describe una lnea recta, pero, en nuestro sistema de referencia rotatorio, la bola virar en sentido horario. Una nueva fuerza parece actuar sobre la bola. Debido a la rotacin de nuestro planeta, los mismos efectos --aunque mucho ms dbiles-- se observan sobre la superficie de la Tierra.Adems de desviar las trayectorias de los misiles balsticos, el efecto Coriolis da cuenta de que huracanes y tifones giren en sentido horario en el hemisferio sur y en sentido antihorario en el norte. De hecho, es dicho efecto lo que provoca que, en general, el viento fluyaalrededorde las zonas de altas y bajas presiones, y no directamente desde las regiones de presin alta hacia las de presin baja. En el hemisferio norte, cuando el aire fluye en direccin radial, la rotacin de la Tierra lo desva hacia la derecha; en el hemisferio sur, ocurre lo contrario. El resultado es un rgimen estacionario en el que el viento circunvala la zona de bajas presiones. El gradiente de presiones empuja hacia dentro; la fuerza de Coriolis, hacia fuera.Una falsedad muy extendida afirma que, en un desage, el agua gira en un sentido en el hemisferio sur y en el sentido contrario en el hemisferio norte. Tal idea es un mito: aunque la fuerza de Coriolis posee la intensidad suficiente para dirigir la rotacin de un huracn durante das, resulta demasiado dbil como para inducir la rotacin de una pequea cantidad de agua durante los escasos segundos que tarda en desaparecer por el sumidero.JOHANN BERNOULLI

Johann Bernoulli, tambin conocido como Jean o John (Basilea,27 de julio de 1667 - ibdem,11 de enero de 1748), fue un matemtico,mdicoyfillogosuizo.Sus estudios abarcan la Fsica, la Qumica, y la Astronoma, aparte de la Matemtica. En las ciencias aplicadas Johannes I contribuy notablemente a los estudios de la ptica, escribi sobre la teora de las mareas, y sobre la teora matemtica de las velas de los barcos, y enunci el principio de los desplazamientos virtuales en la mecnica. Johannes I fue un hombre de extraordinario vigor fsico e intelectual, permaneciendo activo hasta pocos das antes de su muerte a la edad de 80 aos. Las novedades matemticas deLeibnizsobre elclculo infinitesimalcautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja aParspara guiar a los matemticos franceses en el uso del clculo entre los cuales se hallaba el marqus deGuillaume de l'Hpital, quien lo tuvo por mentor con suficiente honorario.En 1705, tras la muerte de su hermano por tuberculosis, le sustituy como catedrtico de matemticas en la Universidad deBasilea, donde permaneci durante 42 aos como profesor, all tuvo como discpulos aJohann Samuel KnigyLeonhard Euler. Se centr en elclculo infinitesimaly resolvi laecuacin diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano.

APORTES IMPORTANTES:Ecuacin de Bernoulli:La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: Cintica: es la energa debida a la velocidad que posea el fluido; Potencialo gravitacional: es la energa debido a la altitud que un fluido posea; Energa depresin: es la energa que un fluido contiene debido a la presin que posee.La siguiente ecuacin conocida como "ecuacin de Bernoulli" (trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos trminos.

Donde: =velocidaddel fluido en la seccin considerada. =densidaddel fluido. =presina lo largo de la lnea de corriente. =aceleracin gravitatoria = altura en la direccin de lagravedaddesde unacotade referencia.Para aplicar la ecuacin se deben realizar los siguientes supuestos: Viscosidad(friccin interna) = 0 Es decir, se considera que la lnea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudalconstante Flujo incompresible, dondees constante. La ecuacin se aplica a lo largo de unalnea de corrienteo en unflujo laminar.Aunque el nombre de la ecuacin se debe aBernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar porLeonhard Euler.Un ejemplo de aplicacin del principio se da en elflujo de agua en tubera.

Tambin se puede reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuacin por, de esta forma el trmino relativo a la velocidad se llamar presin dinmica, los trminos de presin y altura se agrupan en lapresin esttica.

Esquema del efecto Venturi.

O escrita de otra manera ms sencilla:

Donde es una constante-Igualmente podemos escribir la misma ecuacin como la suma de laenerga cintica, laenerga de flujoy laenerga potencialgravitatoria por unidad de masa:

En una lnea de corriente cada tipo de energa puede subir o disminuir en virtud de la disminucin o el aumento de las otras dos. Pese a que el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de laconservacin de la energarealmente se deriva de la conservacin de laCantidad de movimiento.Esta ecuacin permite explicar fenmenos como elefecto Venturi, ya que la aceleracin de cualquier fluido en un caminoequipotencial(con igual energa potencial) implicara una disminucin de la presin. Este efecto explica porqu las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un automvil en movimiento cuando se abren las ventanas. La presin del aire es menor fuera debido a que est en movimiento respecto a aqul que se encuentra dentro, donde la presin es necesariamente mayor. De forma, aparentemente, contradictoria el aire entra al vehculo pero esto ocurre por fenmenos deturbulenciaycapa lmite.

ARTCULO SOBRE CUERPO RGIDO

REALIZADO POR: UNIVERSISDAD DE SANTIAGO FACULTAD DE CIENCIA

INTRODUCCIONEl estudio de un cuerpo rgido es un caso especial e importante de los sistemas formados por muchas partculas, en el cual las distancias relativas entre ellas permanece constante.El estudio del movimiento del cuerpo rgido, es sin duda, de mucho ms complejidad que el de una partcula.Los diferentes tipos de movimiento de un cuerpo rgido son complejos, pueden agruparse convenientemente de la siguiente forma:a) Traslacin.b) Rotacin alrededor de un eje fijo.c) Movimiento en un plano.d) Movimiento alrededor de un punto fijo.e) Movimiento general.E

De estos cinco tipos de movimiento, slo se analizar el de ''Rotacin alrededor de un eje fijo'.

ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE FIJOCINEMATICA DE ROTACIONUn cuerpo rgido se mueve con movimiento de rotacin pura si las partculas que lo forman describen circunferencia con centro en el eje respecto del cual giran. A este eje se le llama ''eje de rotacin'' y est fijo en un sistema de referencia inercial.zxyP

E

Para describir el movimiento de rotacin, tomamos una placa representativa en un plano de referencia xy perpendicular al eje de rotacin EE, que coincide con el eje z.

Sea P una partcula de la placa, la cual describe una circunferencia de radio con centro en 0, al igual que todas las partculas de la placa.

Las variables angulares y definidas en el estudio cinemtico del movimiento circunferencial de la partcula, son las mismas para toda partcula de la placa y del cuerpo rgido, para un instante t. (Deben revisar las expresiones de la cinemtica circunferencial de la partcula).

Los vectores velocidad angular y aceleracin angular tienen la misma direccin del eje de rotacin, pudiendo tener sentido opuesto.xyzOw

De la figura, se tiene:

y Todas las expresiones que fueron analizadas en el movimiento circunferencial son vlidas para el movimiento de rotacin. Es as como podemos clasificar al movimiento en:

a) Movimiento de rotacin uniforme.xyO

12

b) Movimiento de rotacin uniformemente acelerado

c) Movimiento de rotacin acelerado

Se destaca que como cada partcula est en distinta posicin respecto al eje, las variables lineales y son diferentes para cada una de ellas.

El mdulo de r es lo que hemos llamado y la aceleracin.

Escriba todas las ecuaciones para un movimiento con y con

DINMICA DE ROTACIN

Hasta el momento, se ha analizado el movimiento de rotacin, pero sin considerar las causas que lo producen.Si volvemos a los principios fundamentales, el movimiento de cada partcula del cuerpo que rota, est determinado por la Segunda Ley de Newton. Como la aceleracin de cada partcula es diferente, la ecuacin de movimiento para cada una de ellas es diferente, lo que no resulta un tratamiento adecuado. Es ms adecuado hacer un anlisis por medio de variables rotacionales.Para analizar el movimiento del rgido, recordaremos y daremos algunas definiciones de algunos conceptos como momento de una fuerza o torque, momento de inercia o inercia rotacional, momentum angular.

OBb

MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE Recordemos que el torque se defini como

El trazo OB = b se le llama brazo de palanca. Corresponde a la distancia entre el punto 0 y la lnea de accin de la fuerza.

Se defini el torque o momento de una fuerza con respecto a un punto 0, como una cantidad vectorial dada por la expresin.

Donde es el vector posicin del punto de aplicacin de la fuerza , medido desde O.

MOMENTO DE INERCIA O INERCIA ROTACIONAL

Analicemos un cuerpo rgido que est rotando alrededor de un eje con velocidad angular. Cada partcula que forma el cuerpo en rotacin, tiene una cierta energa cintica.

Tomemos una partcula de masa m situada a una distancia ''r'' del eje de rotacin, la energa cintica de esta partcula es siendo v la rapidez lineal de la partcula. Recordando que, entonces la energa cintica de la partcula es Como el rgido puede considerarse formado por n partculas de masa, las cuales estn a una distancia del eje respectivamente, entonces la energa cintica total del rgido, considerado como un sistema de partculas es:

mrmiri

Al trmino entre parntesis, se le llama momento de inercia o inercia rotacional del sistema de partculas, con respecto del eje de rotacin considerado y se le designa con la letra I. Luego:

Hay que hacer notar que el momento de inercia es una magnitud fsica, cuyo valor depende del eje respecto del cual est distribuida la masa.

Como el momento de inercia I depende del eje respecto del cual rota el rgido, un mismo cuerpo tiene infinitos momentos de inercia.

Cul es la unidad para el momento de inercia en el sistema internacional?La expresin para la energa cintica del rgido en rotacin es:

Esta expresin es anloga a la energa cintica de un cuerpo que .slo traslada, es decir:

Si se hace una comparacin entre estas ltimas dos expresiones, se observa que hay trminos anlogos; la rapidez angular es anloga a la rapidez lineal y la inercia rotacional I es anloga a la masa del cuerpo o inercia de traslacin.

La expresin no es una nueva forma de energa sino que es una forma conveniente de expresar la energa cintica de un cuerpo en rotacin.En el anlisis anterior, se consider al rgido formado por masas puntuales, lo que en la realidad no se presenta. Lo que se da realmente es una distribucin continua de masa.Para determinar el momento de inercia se hace el anlisis con elementos infinitesimales de masa ''dm'' y la expresin para el momento de inercia respecto de un eje es:

xyABCGm1m3m2ddcmP

TEOREMA DE STEINER O DE LOS EJES PARALELOSEste teorema proporciona una forma adecuada para determinar el momento de inercia de un rgido respecto de un eje, cuando se conoce el momento de inercia respecto a otro eje paralelo al primero y que pasa por el centro de masa.La expresin analtica de este teorema es:

Siendo el momento de inercia, respecto del eje que pasa por P y que es paralelo al eje que pasa por el centro de masa, M es la masa del rgido y d es la distancia que separa a los ejes paralelos.

c.mVarillla delgada homognea de masa M y largo L

Cilindro homogneo de Masa M y largo L:

Esfera homognea de Masa M y radio R:

EXPRESION PARA EL TRABAJO Y POTENCIA EN UNA ROTACION

Consideremos un cuerpo rgido que rota en torno de un eje fijo, debido a la aplicacin de un torque producido por la fuerza que muestra la figura b), la cual es coplanar con el plano perpendicular al eje de rotacin. El anlisis se har como ya hemos dicho para fuerzas que estn en planos perpendiculares al eje de rotacin.

Calcularemos el trabajo dW hecho por esta fuerza , cuando el punto P se desplaza describiendo un arco infinitesimal ds.o

dPa)b)0

De acuerdo a la definicin para un trabajo infinitesimal:

Siendo la componente tangencial de la fuerza y. La expresin para dW es:

, como

Entonces por lo tanto

Si el torque es constante, entonces:

Esta expresin es anloga a la del trabajo realizado por una fuerza constante a lo largo de una recta .La expresin para la potencia instantnea P es:

Esta ltima expresin, es la equivalente rotacional de para el movimiento de traslacin a lo largo de una recta.

Si se hace el anlisis de un cuerpo sobre el cual se aplican varias fuerzas que produzcan torques de direccin paralela al eje de rotacin, el trabajo realizado por estos torques en una pequea rotacin es:

, integrando Si el torque neto es constante entonces tendremos

Wneto =

ECUACION FUNDAMENTAL DE LA DINMICA DE ROTACION PURA

En el anlisis del rgido en rotacin, se determin que el trabajo realizado sobre l, depende del torque aplicado. Este trabajo realizado sobre el cuerpo, produce una variacin de la energa cintica, como no hay movimiento relativo entre las partculas que forman el rgido, no hay disipacin de energa dentro de l; en consecuencia, la rapidez con que se realiza el trabajo es equivalente a la rapidez con que aumenta la energa cintica del rgido, luego:

Adems

El eje de rotacin es fijo, entonces I constante. Luego:

Esta ecuacin se puede escribir vectorialmente y son vectores colineales de igual sentido e I, el momento de inercia es una magnitud escalar positiva, luego:

Esta ecuacin es anloga a , corresponde a la ecuacin fundamental de la mecnica clsica para rotacin pura.

En una rotacin pura la expresin del teorema del trabajo y la energa para un desplazamiento angular es:

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR O MOMENTUM ANGULAR

El momentum angular es una magnitud que en mecnica de rotacin juega un papel anlogo al que desempea la cantidad de movimiento lnea de la mecnica de traslacin.Por medio de este concepto, se puede generalizar la ecuacin de la dinmica de rotacin y derivar un principio de conservacin que es importante.En general, digamos que tanto el momentum angular como la conservacin de este, bajo ciertas condiciones, juega un papel de trascendencia tanto en la fsica macroscpica, en astronoma, en la descripcin de la fsica moderna, atmica y nuclear.

MOMENTUM ANGULAR

Definiremos el momentum angular , con respecto a O, para una partcula de masa m que

OSe mueve con velocidad , como:

Cuyo mdulo es

es el vector posicin respecto de un punto fijo O, en un sistema de referencia inercial.

El momentum angular , , es un vector perpendicular al plano, determinado por y . Si la partcula se mueve en un plano, el momentum angular respecto de O permanece con su direccin invariante, para cuando O est contenido en dicho plano.

Entre el momentum angular y el torque que acta sobre una partcula, hay una relacin que es semejante a la expresin en traslacin la cual deduciremos a continuacin:

Se sabe que, derivemos esta expresin respecto del tiempo, entonces:

pero porqu?

Luego Esta ltima ecuacin expresa que la rapidez con que cambia el momentum angular de una partcula, al transcurrir el tiempo, es igual al torque neto que acta sobre ella.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR O MOMENTUM ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

Consideremos un sistema de n partculas, de momentum angular respecto del punto O fijo en un sistema de referencia inercial. Designando por L el momentum angular del sistema respecto de O, se tiene que:mnm3o

m2m1

Al transcurrir el tiempo, el momentum angular, puede cambiar debido a la accin de:a) momentos ejercidos sobre las partculas del sistema por fuerzas internas entre las partculas.b) momentos ejercidos sobre las partculas del sistema por fuerzas externas.

De acuerdo al Tercer Principio de Newton, la condicin (a) no contribuye al cambio de , luego se puede escribir:

Esta ecuacin, expresa que la rapidez de cambio en el tiempo del momentum de un sistema de partculas con respecto a un punto fijo O de un sistema de referencia inercial, es igual al torque externo neto que acta sobre el sistema.MOMENTO ANGULAR PARA UN RIGIDOComo hemos dicho anteriormente, un cuerpo rgido es un caso especial de sistema de partculas, cuyas posiciones relativas estn fijas, luego es aplicable la expresin:

La ecuacin de movimiento de rotacin del rgido es siendo I el momento de inercia respecto de un eje. Si se considera que I es constante respecto a dicho eje, entonces:

Luego : Esta ltima expresin es vlida para un cuerpo rgido.

PRINCIPIO DE CONSERVACION DEL MOMENTUM ANGULAR Supongamos que se tiene un sistema de partculas sobre el cual la suma de los torques externos que acta sobre l, es cero, es decir:

BIBLIOGRAFA

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