Tema-8-Plano_Cartesiano-Recta-Circunferencia.pdf

7/23/2019 Tema-8-Plano_Cartesiano-Recta-Circunferencia.pdf

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MATEMATICAS BASICAS

Autoras: Jeanneth Galeano PenalozaMargarita Ospina Pulido

Edicion: Marcela Rubio Perilla

Oscar Guillermo RianoUniversidad Nacional de Colombia

Departamento de MatematicasSede Bogota

Enero de 2015Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 1 / 1
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Parte I

Coordenadas Rectangulares

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 2 / 1
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Plano Cartesiano

Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, esta formadopor dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejescoordenados, que se intersectan en un punto llamado origen.

La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y.

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Plano Cartesiano

Generalmente se escoge la direccion positiva del eje xhacia la

derecha, y la direccion positiva del eje yhacia arriba.

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Plano Cartesiano


derecha, y la direccion positiva del eje yhacia arriba.A cada punto del plano se le asigna una pareja de reales (a, b) dondea es el punto de corte sobre el eje xde la recta perpendicular a esteeje que pasa por el punto (a, b)

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Plano Cartesiano


derecha, y la direccion positiva del eje yhacia arriba.A cada punto del plano se le asigna una pareja de reales (a, b) dondea es el punto de corte sobre el eje xde la recta perpendicular a esteeje que pasa por el punto (a, b) y bes el punto sobre el eje y delcorte de la perpendicular a este eje que pasa por (a, b).

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Plano Cartesiano

Al trazar estas dos rectas, el plano queda dividido en cuatro sectoresllamados cuadrantes, en el primer cuadrante tanto x como y son positivos,en el segundo, xes negativo y yes positivo, en el tercero los dos sonnegativos y en el cuarto xes positivo y y negativo.

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Plano Cartesiano

1

1

x

y

III

III IV

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EjercicioEncuentre las coordenadas de los puntos marcados en rojo.

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1

1

x

y

ab

c

d

e

f

g

h

i

j

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Distancia

Definicion

La distancia entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) del plano cartesianoesta dada por

d(P, Q) =

(x1 x2)2 + (y1 y2)2.

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Distancia

x

y

x1 x2

y1

y2

Q= (x2, y2)

P= (x1, y1)

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14/121

Punto medio

x

y

x1 x2

y1

y2

Q

P

M

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15/121

Punto medio

x

y

x1 x2

y1

y2

Q

P

M

Definicion

Las coordenadas del punto medio

entre los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2)esta dada por

M=

x1+x2

2 ,

y1+y22

.

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Pendiente de una recta

x

y

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17/121


x

y

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x

y

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19/121


x

y

(x0, y0)

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20/121


x

y

(x0, y0)

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21/121


x

y

(x0, y0)

(x1, y1)

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22/121


x

y

(x0, y0)

(x1, y1)

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23/121


x

y

(x0, y0)

(x1, y1)

x1 x0

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24/121


x

y

(x0, y0)

(x1, y1)

x1 x0

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x

y

(x0, y0)

(x1, y1)

x1 x0

y1 y0

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Ecuacion general de la recta

Si una recta pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) definimos la pendientede la recta como

m= y1 y0

x1 x0,

donde x0 =x1, que nos da el grado de inclinacion de la recta con respectoal eje x.

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m= y1 y0

x1 x0,

donde x0 =x1, que nos da el grado de inclinacion de la recta con respectoal eje x.Una recta con pendiente cero no tiene inclinacion, es decir, es horizontal.

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m= y1 y0

x1 x0,

donde x0 =x1, que nos da el grado de inclinacion de la recta con respectoal eje x.Una recta con pendiente cero no tiene inclinacion, es decir, es horizontal.La pendiente de una recta vertical no esta definida.

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La ecuacion general de la recta que tiene pendiente m y cuyo corte con el

eje y esta en y=besy=mx+b.

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EjemploPara hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4,1)

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EjemploPara hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4,1)hallamos la pendiente:

m=3 (1)

2 4 =

4

2=2,

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m=3 (1)

2 4 =

4

2=2,

y el corte:

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m=3 (1)

2 4 =

4

2=2,

y el corte:

y=mx+b ecuacion general

1 = (2)(4) +b sustituimos los valores de x, y, m


E l d l
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34/121



m=3 (1)

2 4

= 4

2

=2,

y el corte:

y=mx+b ecuacion general

1 = (2)(4) +b sustituimos los valores de x, y, m

7 =b despejamos b

y=2x+ 7 ecuacion reemplazando m y b.


E i l d l
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Ejercicio

1 Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (3,7) y

(

6,

3).2 Hallar la ecuacion de la recta que corta al eje y en y=4 y pasa por

el punto (1, 5).

3 Hallar la ecuacion de la recta que tiene pendiente m= 23 y pasa por elpunto ( 53 ,7).


G fi d i li l
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36/121

Grafica de una expresion lineal

Para graficar y= 2x+ 3 es suficiente encontrar dos puntos quepertenezcan a esta recta.


G fi d i li l
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37/121


Para graficar y= 2x+ 3 es suficiente encontrar dos puntos quepertenezcan a esta recta. Los obtenemos sustituyendo xpor dos valoresdistintos, por ejemplo

x = 0implica y = 3


G fi d i li l
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38/121



x = 0implica y = 3

x = 1implica y = 5


Grafica de na e presion lineal
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39/121



x = 0implica y = 3

x = 1implica y = 5

Ubicamos en el plano los puntos (0, 3) y (1, 5) y trazamos la recta quecontiene estos puntos.


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40/121


1

1

x

y


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41/121


1

1

x

y


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42/121


1

1

x

y

(0, 3)


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43/121


1

1

x

y

(0, 3)


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44/121


1

1

x

y

(0, 3)

(1, 5)


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45/121


1

1

x

y

(0, 3)

(1, 5)


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46/121


En la recta y= 2x+ 3, la pendiente es m= 2 y el corte con el eje y esb= 3


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47/121


En la recta y= 2x+ 3, la pendiente es m= 2 y el corte con el eje y esb= 3 , as que podemos ubicarnos en el punto (0, 3) y como m= 2 = 21 ,

a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direccion positiva de x


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48/121



a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direccion positiva de x y2 unidades en la direccion positiva de y.


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49/121

p


a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direccion positiva de x y2 unidades en la direccion positiva de y.De esta manera determinamos otro punto de la recta: (1, 5) y unimosestos puntos para trazar la grafica.


Grafica de y = 2x+ 3
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50/121

y

1

1

x

y


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51/121

y

1

1

x

y


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52/121

y

1

1

x

y

(0, 3)


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53/121

1

1

x

y

(0, 3)


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54/121

1

1

x

y

(0, 3)


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55/121

1

1

x

y

(0, 3)


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56/121

1

1

x

y

(0, 3)

(1, 5)


Si la pendiente es negativa,
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57/121

Ejemplo

En la recta y=43 x 1.


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58/121

Ejemplo

En la recta y=43 x 1.

A partir del punto (0,1) (el corte con el eje y)


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59/121

Ejemplo

En la recta y=4

3 x 1.A partir del punto (0,1) (el corte con el eje y) avanzamos 3 en ladireccion positiva de x


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60/121

Ejemplo

En la recta y=4

3 x 1.A partir del punto (0,1) (el corte con el eje y) avanzamos 3 en ladireccion positiva de xy 4 en la direccion negativa de y.


Grafica de y =43x 1
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61/121

1

1

x

y


Grafica de y =43x 1
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62/121

1

1

x

y


Grafica de y =43x 1
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63/121

1

1

x

y

(0,1)


Grafica de y =43x 1
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64/121

1

1

x

y

(0,1)


Grafica de y =43x 1
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65/121

1

1

x

y

(0,1)


Grafica de y =43x 1
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66/121

1

1

x

y

(0,1)


Grafica de y =43x 1
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67/121

1

1

x

y

(0,1)

(3,5)


Que pasa si la pendiente es cero?
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68/121

Si la pendiente es cero, podemos escribir m= 0 = 0a

con a= 0.


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69/121


con a= 0.Al realizar la grafica, avanzamos a unidades en la direccion positiva de x y0 unidades en la direccion positiva de y,


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70/121


con a= 0.Al realizar la grafica, avanzamos a unidades en la direccion positiva de x y0 unidades en la direccion positiva de y, la recta resultante es horizontal.


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71/121


con a= 0.Al realizar la grafica, avanzamos a unidades en la direccion positiva de x y0 unidades en la direccion positiva de y, la recta resultante es horizontal.Su ecuacion es y=b.


Grafica de y =b
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72/121

x

y


Grafica de y =b
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73/121

x

y

b


Grafica de y =b
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74/121

x

y

b


Grafica de y =b
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75/121

x

y

b


Grafica de y =b
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76/121

x

y

b


Grafica de y =b
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77/121

x

y

b


Rectas
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78/121

Ejercicio

Realice la grafica de y= 32 x 4 y de y= 32 x 1 en el mismo plano. Querelacion existe entre las rectas?


Paralelas y Perpendiculares
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79/121

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si


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80/121

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente


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81/121

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente , o ambasson verticales.


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82/121

Rectas Paralelas


Cuando dos rectas son perpendiculares?


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83/121

Rectas Paralelas



Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es1


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84/121

Rectas Paralelas



Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es1 , o si una es vertical y la otra es horizontal.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano Rectas y Circunferencia 26 / 1

Rectas paralelas y perpendiculares

y
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85/121

x

y



y
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86/121

x

y

L1



y
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87/121

x

y

L1 L2



y
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88/121

x

y

L1 L2 L3


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89/121

Ejercicio

Realice la grafica de y= 53 x+ 2 y dey=35 x 1 en el mismo plano.


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90/121

Ejercicio

1 Encuentre la ecuacion de la paralela a 3y+ 4x= 2 que pasa por elpunto (3,1).

2

Encuentre la ecuacion de la perpendicular a 2y 6x 5 = 0 que pasapor el punto (2, 4).

3 Encuentre el punto de corte de las rectas L1 : 2y 4x= 8 yL2: 3x+ 4y=1.

4 Encuentre la ecuacion de la paralela a L2 que pasa por (3, 3).


Ecuacion cartesiana de la circunferencia
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91/121

Circunferencia

Una circunferencia con centro C(h, k) y radio r>0 esta formada portodos los puntos del plano cuya distancia al centro es r.


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92/121

Circunferencia

Una circunferencia con centro C(h, k) y radio r>0 esta formada portodos los puntos del plano cuya distancia al centro es r.Si un punto arbitrario P(x, y) del plano pertenece a la circunferencia,

satisface

d(P, C) =r


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93/121

Circunferencia


satisface

d(P, C) =r(x h)2 + (y k)2 =r


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94/121

Circunferencia


satisface

d(P, C) =r(x h)2 + (y k)2 =r

(x h)2

+ (y k)2

=r2


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95/121

Circunferencia


satisface

d(P, C) =r(x h)2 + (y k)2 =r

(x h)

2

+ (y k)

2

=r2



y
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96/121

x

y

h

k



y
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97/121

xh

k

r

U i e sidad Nacio al de Colo bia Mate aticas Basicas Pla o Ca tesia o Rectas Ci c fe e cia 32 / 1


y
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98/121

xh

k

r

P= (x, y)

U i id d N i l d C l bi M t ti B i Pl C t i R t Ci f i 32 / 1


y
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99/121

xh

k

r

P= (x, y)


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100/121

Si el punto Ces el origen


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101/121

Si el punto Ces el origen la ecuacion se reduce a

x

2

+y

2

=r

2.


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102/121

Si el punto Ces el origen la ecuacion se reduce a

x2

+y2

=r2.

Si ademas r= 1, la circunferencia se conoce como circunferencia unitaria.

U i id d N i l d C l bi M i B i Pl C i R Ci f i 33 / 1

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103/121

Ejemplo

Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en (2, 4) yradio 3.


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104/121

Ejemplo


(x+ 2)2

+ (y 4)2

= 32


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105/121

Ejemplo


(x+ 2)2

+ (y 4)2

= 32

x2 + 4x+ 4 +y2 8y+ 16 = 9


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106/121

Ejemplo


(x+ 2)2

+ (y 4)2

= 32

x2 + 4x+ 4 +y2 8y+ 16 = 9

x2 + 4x+y2 8y+ 11 = 0.


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107/121

Ejemplo


(x+ 2)2

+ (y 4)2

= 32

x2 + 4x+ 4 +y2 8y+ 16 = 9

x2 + 4x+y2 8y+ 11 = 0.

Dada esta ecuacion, como encontramos el centro y el radio?


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108/121

Ejemplo

Completamos el cuadrado, as:


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109/121

Ejemplo


x2

+ 4x+y2

8y+ 11 = 0


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110/121

Ejemplo


x2

+ 4x+y2

8y+ 11 = 0x2 + 4x +y2 8y =11


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111/121

Ejemplo


x2

+ 4x+y2

8y+ 11 = 0x2 + 4x+ 4+y2 8y =11+ 4


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112/121

Ejemplo


x2

+ 4x+y2

8y+ 11 = 0x2 + 4x+ 4+y2 8y+ 16= 11+ 4 + 16


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113/121

Ejemplo


x2

+ 4x+y2

8y+ 11 = 0x2 + 4x+ 4+y2 8y+ 16= 11+ 4 + 16

(x+ 2)2 + (y 4)2 = 9


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114/121

Encontrar el centro y el radio de x2 +y2 6x+ 4y+ 12 = 0.


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115/121


x2 +y2 6x+ 4y+ 12 = 0


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116/121


x2 +y2 6x+ 4y+ 12 = 0

x

2

6x +y

2

+ 4y =12


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117/121


x2 +y2 6x+ 4y+ 12 = 0

x

2

6x+ 9+y

2

+ 4y =12+ 9


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118/121


x2 +y2 6x+ 4y+ 12 = 0

x

2

6x+ 9+y

2

+ 4y+ 4= 12+ 9 + 4


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119/121


x2 +y2 6x+ 4y+ 12 = 0

x

2

6x+ 9+y

2

+ 4y+ 4= 12+ 9 + 4(x 3)2 + (y+ 2)2 = 1


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120/121


x2 +y2 6x+ 4y+ 12 = 0

x

2

6x+ 9+y

2

+ 4y+ 4= 12+ 9 + 4(x 3)2 + (y+ 2)2 = 1

Esta circunferencia tiene centro en (3,2) y radio 1.


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121/121

Toda ecuacion del tipo x2 +y2 +ax+by+c= 0 representa unacircunferencia?

x2

+y2

+ 2x 6y+ 15 = 0x2 +y2 + 2x 6y+ 10 = 0.

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