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Alonso Fernández Galián - 1 - TEMA 8: CÁLCULO DE DERIVADAS El cálculo de derivadas fue desarrollado más o menos simultáneamente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz para poder calcular analíticamente rectas tangentes. Newton, además, utilizó el concepto de derivada para estudiar los principios fundamentales de la mecánica, dando lugar así al nacimiento de la física moderna. 8.1 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y LA FUNCIÓN DERIVADA La idea que subyace al concepto de derivada de una función en un punto es la medir la tasa de cambio de la función en un entorno arbitrariamente pequeño del punto. Definición de derivada de una función f en un punto x = x0. Consideremos una función f y un punto de su dominio, 0 x . Tomemos otro punto f D x 1 y formemos el cociente: 0 1 0 1 ) ( ) ( x x x f x f , que geométricamente representa la pendiente de la recta que corta a la gráfica de la función en los puntos ) ( , 0 0 x f x y ) ( , 1 1 x f x . Ahora, se define la derivada de la función f en el punto 0 x x como límite de la expresión ante- rior cuando 1 x , tomado como una variable, tiende a 0 x . Se denota por ) ( 0 x f : 0 1 0 1 0 ) ( ) ( lim ) ( 0 1 x x x f x f x f x x Geométricamente, ) ( 0 x f es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ) ( , 0 0 x f x . Otra expresión para la derivada. Veamos otra expresión para ) ( 0 x f , más cómoda a la hora de hacer cálculos: Sea h la longitud del intervalo 1 0 , x x . 0 1 x x h El punto 1 x es entonces: h x x 0 1 Así, la derivada de f en el punto se puede expresar como: h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0
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Alonso Fernández Galián
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TEMA 8: CÁLCULO DE DERIVADAS
El cálculo de derivadas fue desarrollado más o menos simultáneamente por Isaac Newton y
Gottfried Leibniz para poder calcular analíticamente rectas tangentes. Newton, además, utilizó
el concepto de derivada para estudiar los principios fundamentales de la mecánica, dando lugar
así al nacimiento de la física moderna.
8.1 LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Y LA FUNCIÓN DERIVADA
La idea que subyace al concepto de derivada de una función en un punto es la medir la tasa de
cambio de la función en un entorno arbitrariamente pequeño del punto.
Definición de derivada de una función f en un punto x = x0. Consideremos una función f y
un punto de su dominio, 0x .
Tomemos otro punto fDx 1 y formemos el cociente:
01
01 )()(
xx
xfxf
,
que geométricamente representa la pendiente de la recta que corta a
la gráfica de la función en los puntos )(, 00 xfx y )(, 11 xfx .
Ahora, se define la derivada de la función f en el punto 0xx como límite de la expresión ante-
rior cuando 1x , tomado como una variable, tiende a 0x . Se denota por )( 0xf :
01
010
)()(lim)(
01 xx
xfxfxf
xx
Geométricamente, )( 0xf es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto )(, 00 xfx .
Otra expresión para la derivada. Veamos otra expresión para )( 0xf , más cómoda a la hora de
hacer cálculos:
Sea h la longitud del intervalo 10 , xx .
01 xxh
El punto 1x es entonces:
hxx 01
Así, la derivada de f en el punto se puede expresar como:
h
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
Matemáticas I
- 2 -
La función derivada. Dada una función f , se denomina función derivada de f a la función
que para cada punto x calcula la derivada de f en x.
D ℝ ℝ
)(xfx
La función derivada de f se denota por f .
Nota (Notación de Leibniz): En muchos contextos, especialmente en física, se sigue empleando
la notación originial de Leibniz para denotar a la función derivada:
dx
dy ó
dx
xdf )(
Se lee “derivada de y (o de f ) respecto de x”.
•Ejemplo: Calcular la función derivada de 2)( xxf .
Para un punto arbitrario x se tiene:
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxfxf
hhh
222
0
22
00
2lim
0
0)(lim
)()(lim)(
xhxh
hxh
h
hxh
hhh22lim
2lim
2lim
00
2
0
.
Por tanto, la derivada de 2)( xxf es xxf 2)( .
Por ejemplo:
0x 002)0( f 1x 2)1(2)1( f .
1x 212)1( f …
3x 632)3( f
•Ejemplo: Calcular la derivada de 2)( xxf el punto 1x .
h
hh
h
hh
h
h
h
fhff
hhhh
2
0
2
0
22
00
2lim
121lim
0
01)1(lim
)1()1(lim)1(
22lim
2lim
00
h
h
hh
hh.
Tema 8: Cálculo de derivadas
- 3 -
8.2 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
En la práctica las derivadas no calculan mediante la definición, sino aplicando la tabla siguiente:
axxfxxf
xxfxxf
aaxfaxf
exfexf
xnxfxxf
xfxxf
xfcteccxf
derivadafunción
a
xx
xx
nn
ln
1)(log)(
1)(ln)(
ln)()(
)()(
)()(
1)()(
0)()(,)(
1
2
2
2
2
1
1)( arctg)(
1
1)(arccos)(
1
1)(arcsen)(
cos
1)( tg)(
sen )(cos)(
cos)(sen )(
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
derivadafunción
•Ejemplo: Calcular la función derivada de las siguientes funciones:
(a) xxf cos)( .
xxf sen )(
(b) 5)( xxf .
415 55)( xxxf
(c) xxf 2log)( .
2ln
1)(
xxf
La expresión de la derivada de una función potencial también es válida para exponentes ne-
gativos o fraccionarios. Por ejemplo:
(d) 3
3
1)( x
xxf
4
413 333)(
xxxxf
(e) 2/1)( xxxf
xxxxf
2
1
2
1
2
1)( 2
11
2
1
Matemáticas I
- 4 -
Para calcular la derivada de una función f en un punto, se calcula f y se evalúa en el punto.
Operaciones con funciones. Las reglas para derivar las operaciones entre funciones son:
(f) xxxf 74)( 3 .
712734)( 22 xxxf
(g) 35)( 23 xxxf .
xxxxxf 1030253)( 22
(h) xxxf tg3)( .
xxxxf
2cos
13 tg3)(
(i) x
exf
x
)( .
22
1)(
x
exe
x
exexf
xxxx
(j) 3
)(2
x
xxf .
2
2
2
2
)3(
6
)3(
1)3(2)(
x
xx
x
xxxxf
•Ejemplo: Derivar las siguientes funcio-
nes:
(a) xxf cos6)( .
xxxf sen 6sen 6)(
(b) xxf ln1)( .
xxxf
110)(
(c) xxxf 5)( .
15)( 4 xxf
(d) xxxf sen )( 2 .
xxxxxf cossen 2)( 2
(e) x
xxf
sen )(
3
.
x
xxxxxf
2
32
sen
cossen 3)(
[…]
• Ejemplo: Calcular la derivada de xxf arctg)( en 3x .
La función derivada es: 21
1)(
xxf
.
La derivada en 3x es: 10
1
31
1)3(
2
f .
)()()()( xucxfxucxf (producto por una cte)
)()()()()()( xvxuxfxvxuxf (suma de funciones)
)()()()()()( xvxuxfxvxuxf (resta de funciones)
)()()()()()()()( xvxuxvxuxfxvxuxf (producto de funciones)
)(
)()()()()(
)(
)()(
2 xv
xvxuxvxuxf
xv
xuxf
(cociente de funciones)
Tema 8: Cálculo de derivadas
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8.3 DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS
Veamos finalmente cómo derivar funciones compuestas.
La regla de la cadena. Intuitivamente, una función compuesta ))(()( xugxf se deriva “de
dentro a fuera”. Formalmente:
))(()( xugxf ))(()()( xugxuxf
Esta regla de derivación se denomina a veces regla de la cadena.
De esta forma, la derivada de la forma compuesta de las funciones elementales es:
2
2
2
2
)()(
)()(
1
)(1
)()()( arctg)(
)(1
)()()(arccos)(
)(1
)()()(arcsen )(
)(cos
)()()( tg)(
)(sen )()()(cos)(
)(cos)()()(sen )(
ln)(
)()()(log)(
)(
)()()(ln)(
ln)()()(
)()()(
)()()()()(
xu
xuxfxuxf
xu
xuxfxuxf
xu
xuxfxuxf
xu
xuxfxuxf
xuxuxfxuxf
xuxuxfxuxf
axu
xuxfxuxf
xu
xuxfxuxf
aaxuxfaxf
exuxfexf
xunxuxfxuxf
derivadafunción
a
xuxu
xuxu
nn
•Ejemplo: La derivada de la función 2sen )( xxf es:
2 cos2)( xxxf
Matemáticas I
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Nota (Derivación de una función potencial-exponencial): Para derivar una función en la que la
variable independiente x está tanto en la base como en el exponente, )()()( xuxgxf , se toman
logaritmos para bajar el exponente y se deriva implícitamente la igualdad resultante.
(g) xxxf 7sen )( 3
xxxxf 7cos73)( 32
(h) 47cos)( xxf .
4343 7sen 287sen 28)( xxxxxf
(j) xxxf 2 tg)( .
xx
x
xxxxf
22 cos
12
cos
112)(
(k) xxf 5arcsen )( .
22 251
5
)5(1
15)(
xxxf
(l) xexf arccos)( .
x
x
x
x
e
e
e
exf22 11
1)(
(m) xxf ln arctg)( .
22 )(ln
1
)(ln1
11)(
xxxxxxf
.
•Ejemplo: Calcula la función derivada de
las siguientes funciones:
(a) 2ln)( xxf .
x
xx
xxf
ln2ln2
1)(
12
(b) 33 sen sen)( xxxf .
xxxxxf 22sencos3sen 3cos)(
(c) xxexf 43
)( .
xxexxf 42 3
43)(
(d) 5
2)( xxf .
2ln25)(54 xxxf
(e) xxf cosln)( .
xx
xxf tgcos
1sen )(
(f) 2
3log)( xxf .
3ln
2
3ln
12)(
22 x
x
xxxf
•Ejemplo: Derivar la función xxxf
3cos)( .
Tomamos logaritmos y desarrollamos la expresión:
-Tomamos logaritmos: xxxf
3cosln)(ln
-Bajamos el exponente: xxxf cosln3)(ln
Derivamos ambos lados de la igualdad:
xxxx
xxxxf
xf tg3cosln3
cos
1sen 3cosln3
)(
)(
Despejando )(xf tenemos, finalmente:
xxxxxxxfxfx
tg3cosln3cos tg3cosln3)()(3
Tema 8: Cálculo de derivadas
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8.4 LA RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La aplicación más inmediata de las derivadas es el cálculo de rectas tangentes a la gráfica de
una función.
Interpretación geométrica de la derivada. La deri-
vada de f en 0xx es igual a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa
0xx .
mh
xfhxfxf
h
)()(lim)( 00
00
Ecuación de la recta tangente. Por tanto, la recta tangente a la gráfica de f en el punto de ab-
scisa 0xx tiene ecuación:
)()()( 000 xfxxxfy
)(
)(,
0
00
xfm
xfxP
•Ejemplo: Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 3)1()( xxf en el punto
de abscisa 2x .
Punto ),( 00 yxP :
20 x .
1)12()( 300 xfy
Pendiente:
La derivada de 3)1()( xxf es: 2)1(3)( xxf
La derivada en el punto 2x es: 3)12(3)2( 2 f
La recta tangente es, por tanto:
00 yxxmy
)()()( 000 xfxxxfy
1)2(3 xy
En forma general, 053 yx . Gráficamente:
Matemáticas I
- 8 -
Nota (ecuación de la recta normal): Dada una recta nmxy , la
pendiente de cualquier recta perpendicular es m/1 . Por tanto, la
ecuación de la recta normal a la gráfica de una función en el punto de
abscisa 0xx es:
)()(
100
0
xfxxxf
y
•Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 922 yx en el
punto 5,2P .
Observemos que el punto pertenece a la circunferencia:
95222
Para poder derivar, vamos a expresar y en función de x:
222 99 xyyx
Como el punto 5,2P está en la semicircunferencia superior, tomamos el signo positivo:
29 xy
Derivamos:
2/122 99 xxy 2
2/12
9
19
2
12
xxxy
La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa 2x es:
5
5
5
1
29
1)2(
2
ym
La recta buscada es, por tanto:
525
5 xy
En forma general: 075 yx .
Tema 8: Cálculo de derivadas
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8.5 MONOTONÍA Y EXTREMOS RELATIVOS
El signo de la derivada determina el crecimiento o decrecimiento de la función.
Criterio de monotonía: Sea f una función derivable en el intervalo ba, . Observando las
rectas tangentes a la gráfica se deduce que:
Derivada y extremos relativos: Además, si una función alcanza un extremo relativo en el punto
0xx , la derivada la derivada en dicho punto debe valer 0:
f alcanza un extremo relativo en 0xx 0)( 0 xf
De esta forma, los extremos relativos deben buscarse entre los puntos para los que la derivada
vale 0, denominados puntos singulares de la función.
Nota: Una función puede tener puntos singulares que no correspondan a un máximo ni un míni-
mo relativo. Por ejemplo:
Veamos cómo determinar los extremos relativos de una función.
Criterio de la primera derivada para extremos relativos: Sea f una función derivable y 0xx
un punto singular de la función, 0)( 0 xf . Se tiene:
Estudio de la monotonía y de los extremos relativos de una función: Según todo lo anterior,
Para estudiar la monotonía y los extremos relativos de una función procedemos como sigue:
(i) Calculamos )(xf .
(ii) Resolvemos la ecuación 0)( xf (es decir, calculamos los puntos singulares de f ).
(iii) Dividimos el dominio de la función en los intervalos dados por los puntos singulares, y
observamos el signo de )(xf en cada uno de los intervalos.
(iv) Finalmente, determinamos los extremos relativos por el criterio de la primera derivada.
Veamos varios ejemplos:
-Si f pasa de ser creciente a ser decreciente en 0xx ,
entonces alcanza un máximo relativo en 0xx .
-Si f pasa de ser decreciente a ser creciente en 0xx ,
entonces alcanza un mínimo relativo en 0xx .
-Si 0f la función es creciente en ba, .
-Si 0f la función es decreciente en ba, .
Matemáticas I
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•Ejemplo: Determinar la monotonía y los ex-
tremos relativos de la función:
23)( 3 xxxf
La derivada de f es:
33)( 2 xxf
Los puntos singulares de f son:
1
10330)( 2
x
xxxf
Decidamos el signo de f .
Por tanto, la función es:
-Creciente en ,11,
-Decreciente en 1,1 .
Además tiene un máximo relativo en 1x
y un mínimo relativo en 1x .
4)1( f 4,1 Max
0,10)1( Minf
La gráfica de la función es:
•Ejemplo: Determinar la monotonía y los
extremos relativos de la función:
582)( 2 xxxf
La derivada de f es:
84)( xxf
Los puntos singulares de f son:
20840)( xxxf
Decidamos el signo de f .
Por tanto, la función es:
-Decreciente en 2, .
-Creciente en ,2 .
Además, tiene un mínimo relativo en el
punto de abscisa 2x .
3,23)2( Minf
La gráfica de la función es:
Nota: En general, una función cuadrática
tiene un único extremo relativo, que co-
rresponde al vértice de la parábola.
•Ejemplo: Determinar la monotonía y los extremos relativos de la función:
4
2416)(
2
x
xxf , fD ℝ.
La derivada de f es:
22
2
22
2
4
644816
4
22416416)(
x
xx
x
xxxxf
[…]
Tema 8: Cálculo de derivadas
- 11 -
Un problema de optimización: Muchas cuestiones matemáticas y científicas se reducen a en-
contrar el valor máximo o el mínimo de alguna función sujeta a ciertas restricciones.
Veamos un ejemplo:
•Ejemplo: Determinar la superficie máxima que puede tener un rectángulo de 36 metros de
perímetro.
[…]
[…]
Calculemos los puntos singulares:
4
1...06448160
4
644816 2
22
2
x
xxx
x
xx
Calculemos el signo de f :
Por tanto, la función es:
-Decreciente en ,14, .
-Creciente en 1,4 .
Además, presenta un mínimo relativo en 4x y un máximo relativo en 1x .
2)4( f 2,4 Min
8)1( f 8,1Max
La gráfica de la función es:
Matemáticas I
- 12 -
[…]
Sean x e y la base y la altura del rectángulo. La superficie es:
xyyxS ),(
El problema consiste en maximizar esta expresión. Como depende de dos variables, debe-
mos usar la condición que nos dan para escribir una de ellas en función de la otra:
xx
yyxperímetro
182
236362236
Podemos expresar entonces la superficie en función de x como:
21818)( xxxxxS
Vamos a hacer un estudio de esta función:
Derivada: xxS 218)(
Puntos singulares: 902180)( xxxS
El signo de la derivada es:
Por tanto, la función es creciente en 9, y decreciente en ,9 , y presenta un único
extremo relativo, que es un máximo, en el punto de abscisa 9x .
81,9819918)9( 2 MaxS
Gráficamente:
La superficie máxima que puede tener el rectángulo es, por tanto, 81 u2; que se alcanza
cuando 9x e 9y (es decir, cuando el rectángulo es, de hecho, un cuadrado).
Tema 8: Cálculo de derivadas
- 13 -
8.6 DERIVADAS SUCESIVAS Y EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Veamos un criterio para encontrar los extremos relativos de una función sin necesidad de deter-
minar previamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Antes, debemos introducir el
concepto de derivada segunda.
Derivadas sucesivas. Al derivar una función f se obtiene una nueva función, f , que pode-
mos derivar nuevamente. La función obtenida se denomina derivada segunda de f , y se denota
por f .
Iterando el proceso se obtienen las derivadas sucesivas de f .
derivada primera: f , derivada segunda: f , derivada tercera: f , …
En general, la derivada n-ésima de f se denota por nf ( .
Veamos ahora cómo usar la derivada segunda de una función para determinar sus extremos rela-
tivos.
El criterio de la segunda derivada. Sea f una función dos veces de-
rivable y 0xx un punto singular,
0)( 0 xf
Se tiene:
-Si 0)( 0 xf la función alcanza un máximo relativo en 0xx
-Si 0)( 0 xf la función alcanza un mínimo relativo en 0xx
•Ejemplo: Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de la función 12
)( xexf .
La derivada primera es:
12
2)( xexxf
La derivada segunda es:
1211 222
42222)( xxx exexxexf
La derivada tercera es:
13131121 22222
8128482428)( xxxxx exxexxexexxexxf
•Ejemplo: Calcula la derivada segunda de la función 32ln)( xxf .
La derivada primera es:
32
2)(
xxf
La derivada segunda es:
9124
4
32
22320)(
22
xxx
xxf
Matemáticas I
- 14 -
Nota: La idea que justifica el criterio de la segunda derivada es la siguiente:
Si la función f alcanza un máximo en 0xx , su derivada f pasa de ser positiva a ser negati-
va en ese punto, por lo que en particular debe ser decreciente. Por tanto:
La derivada de f (es decir, f ) debe ser negativa.
Y similarmente, si f alcanzara un mínimo en 0xx su derivada f sería creciente en 0xx ,
por lo que la derivada de f debería ser positiva.
•Ejemplo: Calcula los extremos relativos de la siguiente función:
144)( 234 xxxxf
La derivada primera es:
xxxxf 8124)( 23
Calculamos los puntos singulares de la función:
2
1
0
0234081240)( 223
x
x
x
xxxxxxxf
Vamos ahora a usar el criterio de la segunda derivada para determinar si se trata de máxi-
mos o de mínimos relativos:
-La derivada segunda es:
82412)( 2 xxxf
-Veamos su signo en los puntos singulares:
08)0( f mínimo.
04)1( f máximo.
08)2( f mínimo.
Por tanto, la función tiene dos mínimos relativos, en 0x y en 2x , y un máximo relati-
vo en 1x . Calculemos las ordenadas correspondientes:
1)0( f 1,01Min .
2)1( f 2,1Max .
1)2( f 1,22Min .
La gráfica de la función es:
Tema 8: Cálculo de derivadas
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Concepto de derivada
1. Calcula aplicando la definición la derivada de la función xxf )( en el punto 4x .
2. Calcula aplicando la definición la función derivada de la función xxf ln)( .
3. Calcula aplicando la definición la función derivada de la función 3)( xxf .
Tabla de derivadas inmediatas. Operaciones
4. Calcula la derivada de la función 4)( xxf en los puntos 1x , 3x , 2x y 2/1x .
5. Dada la función 5)( xxg ,
(a) Calcula )(xg .
(b) Calcula 3/1g y 2g .
6. Deriva las siguientes funciones escribiéndolas previamente como una función potencial.
(a) x
y1
(b) 4
1
xy (c) 4 xy
(d) 3 2xy (e)
xy
1 (f)
x
xy
3
7. Deriva las siguientes funciones exponenciales y logarítmicas.
(a) xxf 2)( (b)
xxf 7)( (c) xxf 4log)( (d) xxf log)(
8. Deriva las siguientes funciones del tipo c·u(x).
(a) 38)( xxf (b) xxf sen 2
1)( .
9. Deriva las siguientes sumas y restas:
(a) xxxf 32)( (b) xxxf 3)( 4 (c) xxxf cos)( 4 (d) xxf arctg3)(
10. Deriva las siguientes funciones aplicando la regla del producto.
(a) xxxf ln)( 2 (b) xxxf tg)( (c) xxxf tg)( (d) xxxf 2logsen )(
11. Deriva las siguientes funciones aplicando la regla del cociente.
(a) x
xxf
cos)( (b)
xe
xxf
4
)(
12. Calcula la derivada de la función xy cotg (indicación: expresa la función como un
cociente).
EJERCICIOS DEL TEMA 8
Matemáticas I
- 16 -
13. Deriva las siguientes funciones polinómicas.
(a) 1)( 2 xxxf (b) xxxf 25)(
(c) xxxxf 56)( 34 (d) xxxf2
1
4
3)( 2
14. Deriva y reduce: x
exf
x
)( .
15. Deriva la función xxxxf lnsen )( 2 apli-cando dos veces la regla del producto.
16. Calcula la derivada de las siguientes funciones en el punto 1x .
(a) 73432)( 234 xxxxxf . (b) xxxxf 5165)( 2
17. Calcula en cada caso la función derivada.
(a) xx
xf arctg41
)( (b) 2
3)(
xxf
(c) 2
log)( 3 x
xf (d) 5
tgcos)(
xxxf
(e) xxxf cossen 4)( (f) xxxf ln5)( 2
(g) xx
xxf
3
2)(
2
2
(h)
1
45)(
x
xxf
18. Calcula la segunda derivada de las siguientes funciones:
(a) 244)( 23 xxxxf (b) x
xxf
ln)(
19. El espacio recorrido por un móvil con movimiento rectilíneo viene dado por la expresión:
ttts )2()(
(a) Calcula su velocidad instantánea en los instantes 0t , 5,0t y 1t .
(b) Calcula la aceleración y describe tipo de movimiento del móvil.
Derivación de funciones compuestas
20. Deriva las siguientes funciones de la forma )()( xugxf , con xxu sen )( .
(a) xxf sen ln)( (b) 3 sen )( xxf (c) xxf 2sen)( (d) xexf sen )(
21. Deriva las siguientes funciones de la forma )()( xugxf , con 3)( xxu .
(a) 3cos)( xxf (b) 3arcsen )( xxf (c)
3ln)( xxf (d) 3
5)( xxf
22. Deriva las siguientes funciones compuestas del tipo potencial.
(a) 5ln)( xxf (b) xxxf 3)( 2 (c) xxf 4cos)( (d)
2
2
1)(
xxf
Tema 8: Cálculo de derivadas
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23. Deriva las siguientes funciones compuestas del tipo exponencial.
(a) xxexf 42
)( (b) xxexf cos5)( (c) 352)( xxf (d) 2
33)( 4 xxxf
24. Deriva las siguientes funciones compuestas del tipo logarítmico.
(a) xxxf 24ln)( 2 (b) xxxf cosln)(
(c) 3log)( 75 xxf (d) 2log)( 4 xxf
25. Deriva las siguientes funciones compuestas de los tipos seno y coseno.
(a) 53sen )( xxf (b)
xxf
1cos)(
(c) xxxxf 23sen)( (d) xexf cos)(
26. Deriva las siguientes funciones compuestas del tipo tangente.
(a)
7
32 tg)(
xxf (b) xxf ln tg)(
27. Deriva las siguientes funciones compuestas de los tipos arco-seno y arco-coseno.
(a) xexf arcsen )( (b) xxf 3 arccos)(
28. Deriva las siguientes funciones compuestas del tipo arco-tangente.
(a) 5 arctg)( xxf (b)
2
1 arctg)(
xxf
29. La siguiente función tiene una composición doble. Calcula su derivada.
xxxf 64sen ln)( 2
30. Deriva las siguientes funciones:
(a) 13cos)( xexf (b) xxf lncos)( (c) 2 arctg)( xxexf
Cálculo de derivadas: Varios
31. Calcula la función derivada de las siguientes funciones:
(a) 2cos)( xxf (b) 813)( xxf (c) 3ln)( xexf x
(d) xxxxf 2)( (e) x
xxf
cos
2)(
(f) xxxf ln)( 5
(g) 2ln2)( xxxf (h) xexf )( (i) 2
)(xx ee
xf
32. Utiliza las propiedades de los logaritmos para derivar las siguientes funciones:
(a)
5
3 1
1ln)(
xxf (b)
xx
xxf
2
2ln)(
2
4
Matemáticas I
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33. Calcula la derivada de la función en el punto que se indica:
(a) 2 arctg)( xxf en 1x . (b) xe
xxf
21)(
en 0x .
(c) 22
1
3)(
x
xxf en 1x . (d) xxf 3 sen)( 2 en x .
34. Deriva las siguientes funciones:
(a) xxxf arcsen )( (b) xx
xx
ee
eexf
)( (b) 1lncos)( 2 xxg
35. Deriva las siguientes funciones del tipo potencial-exponencial:
(a) xxxf
arctg)( (b) x
xxg tg
sen )(
36. Considera la siguiente función:
2 si3
2 si)(
2
3
xxx
xxxf
(a) ¿Cuál es su función derivada?
(b) ¿Cuánto vale la derivada en 0x y 3x ?
(c) Explica por qué la función no puede tener derivada en el punto 2x .
37. Calcula la derivada segunda de xexf cos)( en el punto 0x .
38. Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de las siguientes funciones:
(a) xxxy 35 24 (b) 2
1
xy
Cálculo de rectas tangentes
39. Escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de x
y1
en el punto de abscisa 1x .
40. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función 1
1)(
xxf en el punto
de abscisa 20 x .
41. Escribe las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva 2xy en 10 x .
42. Calcula las rectas tangente y normal a la gráfica de xxf )( en el punto de abscisa
40 x .
43. Calcula el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de axxxf 2)( en 1x sea
horizontal.
Tema 8: Cálculo de derivadas
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44. Dada la función:
26)( 2 xxxf
(a) ¿En qué punto la tangente a su gráfica es paralela al eje de abscisas?
(b) ¿En qué punto la tangente a su gráfica es paralela a la recta 34 xy ?
Monotonía y extremos relativos
45. Estudia la monotonía y los extremos relativos de la función 582)( 2 xxxf .
46. Estudia la monotonía y los extremos relativos de la función xxxf 3)( 3 .
47. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 34)( 24 xxxf .
48. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:
(a) 3
12
x
xy (b)
x
xy
23
49. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función xexxf 23)(
(nota: recuerda que la función exponencial es siempre positiva).
50. Calcula el valor de a y b sabiendo que la función baxxxf 23)( tiene un mínimo
relativo en el punto de coordenadas 3,2 .
51. Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular los extremos relativos de la siguiente
función: 12)( 24 xxxf .
Problemas de optimización
52. Entre todos los pares de números positivos cuyo producto es 100, encuentra cuál tiene suma
mínima.
53. De entre todos los rectángulos cuyo perímetro mide 20 cm, determina cuál tiene la diagonal
menor.
54. Encuentra el valor máximo del producto de tres números cuya suma sea 90 y de manera que
uno de ellos sea el doble de otro.
55. Se desea acotar un recinto rectangular con una valla metálica, dejando una abertura de 5 m.
Si disponemos de 75 m de valla, ¿cuáles deben ser las dimensiones del recinto para que su área
sea máxima?
56. Queremos acotar una parcela rectangular de 24 m2, y luego dividir ésta en dos rectángulos
iguales mediante una valla interior paralela a uno de los lados. ¿Cuáles deben ser las
dimensiones de los lados para utilizar la cantidad mínima de valla?
