Tema 8: La recta real y el espacio métrico Rn. Funciones de unavariable: límites, continuidad y cálculo diferencialLa mayor parte de las cosas que veremos se suponen conocidas, así que este tema significará en su mayoría un

repaso de cosas anteriormente vistas.

En las dos primeras partes del tema vemos una serie de términos y herramientas, algunos de carácter puramente

técnico, que durante buena parte de los temas restantes serán necesarios para el desarrollo riguroso de los conceptos

que allí aparecen. Comenzaremos en esta primera parte por revisar con un poco de detalle el conjunto de los números

reales. Este conjunto es un cuerpo, como ya vimos, y ha sido utilizado con bastante frecuencia en toda la parte de

álgebra lineal, aunque es ahora, al principio de la parte de cálculo, cuando corresponde analizarlo más detenidamente

desde otro punto de vista.

1 La recta real R

Ya vimos una forma de identificar R, el conjunto de los números reales, como los números decimales (sean periódicos

o no). Acostumbraremos a representar R como una recta, la recta real. En esta recta si representamos dos números

a < b escribiremos b a la derecha de a.

Veamos a continuación algunas propiedades y conceptos que nos interesan:

• Densidad: Dados números reales a < b existen números α ∈ Q y β ∈ R−Q tales que a < α < b y a < β < b.

• Dado un número real x, representaremos por |x| al valor absoluto de x. Éste está definido del siguiente modo:

|x| = max{x,−x} =

⎧⎪⎨⎪⎩x si x > 0

−x si x < 00 si x = 0

El valor absoluto verifica diversas propiedades, algunas de las cuales serán planteadas en ejercicios. La más

destacable es la desigualdad triangular:

• ∀x, y ∈ R se cumple que|x+ y| ≤ |x|+ |y|

• Infinito: Se llama así al símbolo ∞. Éste se usa para representar cantidades no finitas. Dicho sin mucho rigor,es como un número mayor que todos los demás. Una de las situaciones en las que se utiliza es para designar a

los intervalos no acotados, como se indica a continuación.

• Intervalos:Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto

]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}

También hay intervalos abiertos infinitos del estilo

]-∞, b[= {x ∈ R : x < b}

o

]a,+∞[= {x ∈ R : a < x}

Nota: A veces se utilizan paréntesis en vez de corchetes para representar a los intervalos abiertos, así tendremos

notaciones del estilo (a, b), (−∞, b) y (a,+∞).

1

• Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

También intervalos infinitos del estilo

]-∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}o

[a,+∞[= {x ∈ R : a ≤ x}

• Además hay intervalos abiertos por un extremo y cerrados por el otro, que son del tipo

]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

o

[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b}.

2 El espacio métrico Rn

En esta segunda parte analizaremos ciertos conceptos topológicos de la recta real que pueden ser extendidos al contexto

más general del espacio métrico

Rn = {(x1, x2, ..., xn) : x1, x2, ..., xn ∈ R}donde también se pueden definir distancias. Trataremos los espacios métricos Rn dotados de la distancia usual:

En R la aplicación que asigna a cada par x, y ∈ R el número

d(x, y) = |x− y|

se denomina distancia usual o euclídea en R. Es lo que nosotros interpretamos intuitivamente como la longitud

del segmento que une ambos puntos.

En R2 esta distancia usual o euclídea se define para P = (x1, x2), Q = (y1, y2) ∈ R2 así:

d(P,Q) = d[(x1, x2), (y1, y2)] =p(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2

(y es lo que nosotros interpretamos intuitivamente como la longitud del segmento que une ambos puntos). Este

concepto se puede generalizar a Rn del siguiente modo: la distancia usual o euclídea entre

P = (x1, x2, ..., xn) y Q = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn

es

d(P,Q) = d[(x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn)] =

=p(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + ...+ (xn − yn)2.

Observación: Dados P y Q con las notaciones anteriores, el vector que los une es

−→PQ = (y1 − x1, y2 − x2, ..., yn − xn).

Si observamos entonces la distancia euclídea entre estos dos puntos es la norma euclídea (o sea, la longitud) del vector

que los une, es decir

d(P,Q) =°°°−→PQ°°°

Precisamente asociados a una distancia vienen los siguientes conceptos:

• Se llama bola abierta (o simplemente bola) de centro a ∈ Rn y radio r > 0 al conjunto

B(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r}.

2

• Se llama bola cerrada de centro a ∈ Rn y radio r > 0 al conjunto

B(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) ≤ r}

• Se llama bola perforada (o reducida) de centro a ∈ Rn y radio r > 0 al conjunto

B∗(a, r) = {x ∈ Rn : d(x, a) < r}− {a}

Ejemplos:

1. En R con la distancia usual, B(a, r) no es más que el intervalo ]a− r, a+ r[ (si la bola es cerrada se tomaría elintervalo cerrado). Así

B(1, 3) =]-2, 4[ B(0, 4) = [−4, 4]

2. En R2 con la distancia euclídea, B(a, r) es el círculo de ese centro y ese radio (si la bola es cerrada se tomaría

el círculo junto con el borde [la circunferencia]).

B((2,−1), 3) = {(x, y) ∈ R2 : (x− 2)2 + (y + 1)2 < 9}B((0, 1), 2) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + (y − 1)2 ≤ 4}

3. En R3 con la distancia euclídea, B(a, r) es el interior de la esfera de ese centro y ese radio (si la bola es cerrada

se tomaría la esfera completa incluida la superficie [la esfera]).

• Diremos que a es un punto interior (o que está en el interior) de un conjunto X si existe B(a, r) ⊆ X; tambiénse dice que el conjunto es un entorno del punto a.

• Diremos que a es un punto de acumulación del conjunto X si toda B(a, r) contiene infinitos puntos del

conjunto X.

• Diremos que un conjunto X del espacio métrico Rn es abierto si todo punto de X es un punto interior de X,

es decir si

∀a ∈ X ∃r > 0 : B(a, r) ⊆ X.

• Diremos que X es cerrado en el espacio métrico si su complementario Rn −X es abierto (o equivalentemente

si X contiene a todos sus puntos de acumulación).

Observación: La idea intuitiva es que un conjunto es abierto cuando no tiene puntos que estén en el borde,

cuando están todos encerrados en el interior, y que un conjunto es cerrado si todo el borde del conjunto pertenece a

él.

Ejemplo: Los siguientes conjuntos son abiertos en R:

]0, 1[ ]-∞, 4[ R ]1, 2[∪]5, 7[ R− {7, 8, 9}.

Ejemplo: Los siguientes conjuntos son cerrados en R:

[0, 1] ]-∞, 4] R [1, 2] ∪ [5, 7] N {2, 5, 6} [1, 2] ∪ {5}.

Ejemplo: Los siguientes conjuntos no son abiertos ni cerrados en R:

]0, 1] ]1, 4[∪{5} { 1n: n ∈ N, n ≥ 1}.

Ejemplo: En R2 los conjuntos

A = {(x, y) : |x| > 2},B = {(x, y) : x2 + (y − 2)2 < 1}

3

son abiertos; los conjuntos

C = {(x, y) : |y − 2| ≥ 1},D = {(x, y) : x+ (y − 2) = 1},E = {(1,−1)}

son cerrados; y el conjunto

F = {(x, y) : x > 2, y ≥ 0}no es ni abierto ni cerrado.

• Un conjunto X se dirá que está acotado si se puede introducir en alguna bola, es decir, si existe B(a, r)

cumpliendo que X ⊆ B(a, r).

• Finalmente diremos que X es un conjunto compacto si es cerrado y acotado.

Así por ejemplo serían compactos (luego acotados) los conjuntos [1, 2], {3}, [−1, 5] ∪ {−2, 8} y no los conjuntos]-∞, 0] y ]2, 3], siendo el último acotado y el penúltimo no.

3 Dominio. Funciones usuales. Operaciones con funciones

Llamaremos función real de variable real a una función f : D ⊆ R → R, donde al conjunto D se le llamará

dominio de la función, y lo denotaremos por Domf .

En general el dominio de la función puede sobreentenderse como el conjunto más amplio posible de puntos en el

que está definida la función (en ocasiones pondremos f : R → R, donde el dominio será un subconjunto de R que

vendrá entonces sobreentendido o podrá hallarse).

Ejemplos:

1. f(x) = 1x. El dominio es R− {0}.

2. g(x) = 11−x2 . El dominio es R− {1,−1}.

3. h(x) =√x− 1. El dominio es [1,+∞[.

4. u(x) = log x. El dominio es ]0,+∞[.

5. v(x) = x3 + 2. El dominio es R.

La gráfica de f es la representación en el plano de todos los puntos (x, f(x)) con x ∈ Domf .

Gráfica de la función f(x) = 2x3 − 10x2 + 200 Gráfica de f(x) = sin2 x · cos 3x

OPERACIONES CON FUNCIONES

4

• Las funciones suma y resta de dos funciones f y g son las funciones definidas por

(f ± g)(x) = f(x)± g(x)

• De modo similar tenemos la función producto por el escalar α como

(α · f)(x) = α · f(x)

el producto

(f · g)(x) = f(x) · g(x)y el cociente

f

g(x) =

f(x)

g(x)

• También se puede realizar la exponenciaciónf(x)g(x)

y si f y g son funciones para las que tiene sentido recordemos que la composición es

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

• Recordemos que la función constante k es la que está definida por

f(x) = k

para todo x del dominio, que la función identidad es la que está definida por

I(x) = x

para todo x del dominio, y que una función biyectiva f es invertible, es decir, existe otra función, a la que

llamaremos función inversa de f y a la que denotaremos por f−1, que verifica que f ◦ f−1 = f−1 ◦ f = I (endefinitiva, se tiene que

(f−1 ◦ f)(x) = xpara todo x del dominio de f y

(f ◦ f−1)(y) = ypara todo y del dominio de f−1).

A propósito de lo anterior lo que se hace habitualmente a partir de una función f es tomar un conjunto X ⊆ Domfen el que f sea inyectiva. Como la restricción f : X → f(X) es biyectiva, tiene sentido tomar la inversa f−1 : f(X)→ X

restringida al dominio y al codominio.

Ejemplo: Sean f(x) = x+ 1 y g(x) = 1x.

Entonces

(f + g)(x) = x+ 1 +1

x=x2 + x+ 1

x

(f − g)(x) = x+ 1− 1x=x2 + x− 1

x

(f · g)(x) = (x+ 1) · 1x=x+ 1

x

f

g(x) = (x+ 1) :

1

x= (x+ 1) · x = x2 + x

y en los puntos para los que tenga sentido

(f ◦ g)(x) = f(1

x) =

1

x+ 1

(g ◦ f)(x) = g(x+ 1) =1

x+ 1

5

Ejemplo: La función f : R→R definida porf(x) = x2

tiene por dominio R e imagen R+ ∪ {0}. Pero no es inyectiva pues hay números distintos con la misma imagen (cadapar de números opuestos), por ejemplo, f(2) = f(−2) = 4. Así no es biyectiva y por tanto no invertible. Pero si

tomamos subconjuntos del dominio en los que sí sea inyectiva esta función tendrá ahí inversa. En este caso si tomamos

los conjuntos R− ∪ {0} y R+ ∪ {0} se tiene que

f1 : R− ∪ {0}→ R+ ∪ {0}f2 : R+ ∪ {0}→ R+ ∪ {0}

sí son funciones biyectivas y por tanto tienen inversa (notemos que tanto f1 como f2 son la propia f sólo que la primera

está definida sólo para los positivos y el cero y la segunda para los negativos y el cero). Así

f−11 : R+ ∪ {0}→ R− ∪ {0}, f−12 : R+ ∪ {0}→ R+ ∪ {0}

estarán definidas del siguiente modo:

f−11 (x) = −√xf−12 (x) =

√x

es decir, la inversa de f1 es la raíz cuadrada negativa y la inversa de f2 es la raíz cuadrada positiva.

Ejemplo: Dada la función h : R→R definida para cada x posible por

h(x) =px2 − 1

se tiene que Domh =]-∞,−1] ∪ [1,+∞[, y como Imh = [0,+∞[ y en cada uno de los dos intervalos del dominiola función es inyectiva, se tiene que la función, con el dominio y codominio restringidos del modo siguiente h :

[1,+∞[→[0,+∞[, es una función biyectiva. La inversa de esta restricción de h se podría hallar como sigue. Para caday ∈ [0,+∞[ se tiene que h−1(y) = x de modo que y = h(x) = √x2 − 1, luego y2 = x2 − 1, por lo que x2 = y2 + 1. Deahí que x = ±

py2 + 1. Puesto que estamos tomando x ∈ [1,+∞[ debe ser forzosamente x =

py2 + 1 = h−1(y).

FUNCIONES USUALES

1. Los polinomios

expresión general recta horizontal recta oblícua parábola potencia n-ésima

a0 + a1x+ a2x2 + ...+ anx

n k ax+ b ax2 + bx+ c xn

2. Función exponencial y su inversa (logaritmo)

Dado a > 0, a 6= 1 se tiene que

exponencial de base a logaritmo de base a

ax loga x

Propiedades

exponencial a0 = 1 ax+y = axay ax−y = ax

ayaloga x = x ∀x > 0

logaritmo loga 1 = 0 loga xy = loga x+ loga y logaxy= loga x− loga y loga(a

x) = x ∀x

El caso particular más relevante se da cuando la base es el número e ' 2.72. En este caso la función se denominalogaritmo neperiano y es la que vamos a utilizar por defecto al escribir log, salvo mención expresa de la base.

6

x 420-2-4

3

2.5

2

1.5

1

Gráfica de la función constante f(x) = 2

x 420-2-4

8

6

4

2

0-2

-4

-6

-8

-10

Gráfica de la función f(x) = 2x− 1

x 420-2-4

30

25

20

15

10

5

Gráfica de la función f(x) = x2 − x+ 3

x 420-2-4

60

40

20

0-20

-40

-60

-80

Gráfica de la función f(x) = x3 − 8x− 10

x 210-1-2

7

6

5

4

3

2

1

0

Gráfica de la función f(x) = ex

x 420-2-4

1

0

-1

-2

-3

Gráfica de la función f(x) = log x

3. Funciones trigonométricas

Las principales de ellas son las funciones seno (sinx), coseno (cosx) y tangente (tanx = sinxcosx

).

En un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y tal que uno de los ángulos distintos del ángulo recto es x el valor

sinx representa el cateto opuesto al ángulo y cosx el cateto contiguo. Éstas funciones admiten inversas de

modo local: arcsinx, arccosx, arctanx. (Existen otras funciones trigonométricas: secx = 1cosx

, cosecx = 1sinx

y

cotx = 1tanx

con sus respectivas inversas.) Algunas de sus propiedades son las siguientes (válidas en cada caso

para todo x posible):

sin2 x+ cos2 x = 1 1 + tan2 x = 1cos2 x

sin(arcsinx) = x cos(arccosx) = x tan(arctanx) = x

arcsin(sinx) = x arccos(cosx) = x arctan(tanx) = x

7

x 420-2-4

1

0.5

0

-0.5

-1

Gráfica de la función f(x) = sinx

x 420-2-4

1

0.5

0

-0.5

-1

Gráfica de la función f(x) = cosx

x1.510.50-0.5-1-1.5

10

5

0

-5

-10

Gráfica de f(x) = tanx

x 420-2-4

1

0.5

0

-0.5

-1

Gráfica de la función f(x) = sin 2x

x 420-2-4

2

1

0

-1

-2

Gráfica de la función f(x) = 2 sinx

x 420-2-4

1

0.5

0

-0.5

-1

Gráfica de la función f(x) = sin(x+ 2)

x 420-2-4

3

2.5

2

1.5

1

Gráfica de la función f(x) = sinx+ 2

x 420-2-4

8

7

6

5

4

3

2

Gráfica de la función f(x) = 3 sin(4x− 2) + 5Funciones sinusoidales

8

Son funciones que se obtienen a partir de las trigonométricas seno o coseno realizándoles una o varias de trans-

formaciones, tanto en sentido vertical como en sentido horizontal: desplazamientos de la gráfica, dilatarla,

comprimirla o realizar una reflexión. Así tendríamos funciones del estilo

f(x) = A sin(Bx+ C) +D

f(x) = A cos(Bx+ C) +D

o combinaciones de éstas.

En todos los casos las funciones de cualquiera de los dos tipos tienen gráficas similares a la del seno y del coseno,

del tipo una onda infinita. Comentemos en qué afectan cada uno de los parámetros A,B,C ó D a la gráfica:

(a) A y B nos ensanchan o contraen la gráfica en sentido vertical u horizontal, respectivamente, pudiendo

también reflejarla (en caso de ser negativos) según alguno de los dos ejes, vertical u horizontal:

• La onda con A = 2 sería el doble de alta, con A = 13la tercera parte de alta, con A = −4 sería el

cuádruple de grande pero invertida según el eje OX.

• Para B = 2 la onda se encogería el doble, de modo que el período de la función sería la mitad: Si

la función sinx tarda 2π radianes en completar un ciclo (la gráfica empezaría valiendo 0, en x = π2,

llegaría a su valor máximo 1, en x = π bajaría hasta tener altura nula, en x = 3π2baja hasta la altura

mínima −1 y en x = 2π vuelve a valer 0 complentando así el primer ciclo), la función sin 2x tarda πradianes en completar un ciclo (la gráfica empezaría valiendo 0, en x = π

4, llegaría a su valor máximo

1, en x = π2bajaría hasta tener altura nula, en x = 3π

4baja hasta la altura mínima −1 y en x = π

vuelve a valer 0 complentando así el primer ciclo). Para B = 12el proceso sería simétrico valiendo el

período 4π y estirándose la onda en sentido horizontal. Para valores negativos de B la onda sería el

reflejo de la gráfica respecto del eje OY .

(b) C y D nos desplazarían la gráfica en sentido horizontal o vertical:

• La onda para D = 3 estaría tres unidades más arriba que la onda para D = 0.

• La onda para D = −1 estaría una unidad más abajo que la onda para D = 0.

• La onda para C = 5 estaría 5Bunidades más a la izquierda que la onda para C = 0.

• La onda para C = −2 estaría 2Bunidades más a la derecha que la onda para C = 0.

Nota: Las últimas 5 gráficas son ejemplos de funciones sinusoidales.

4. Funciones hiperbólicas

Las principales de ellas son las funciones seno hiperbólico (sinhx = ex−e−x2

), coseno hiperbólico (coshx =ex+e−x

2) y tangente hiperbólica (tanhx = sinhx

coshx). También tienen inversas: argumento seno hiperbólico

(arg sinhx), argumento coseno hiperbólico (arg coshx) y argumento tangente hiperbólica (arg tanhx).

La principal relación que satisfacen es

sinh2 x+ 1 = cosh2 x

(para todo x posible).

x 420-2-4

60

40

20

0

-20

-40

-60

Gráfica de la función f(x) = sinhx

x 420-2-4

70

60

50

40

30

20

10

0

Gráfica de la función f(x) = coshx

9

x 420-2-4

1

0.5

0

-0.5

-1

Gráfica de la función f(x) = tanhx

4 Límite de una función en un punto

La idea intuitiva de que una función f tenga en un punto a límite L es que para valores de la variable x cercanos

a (pero diferentes de) a los valores de f(x) son cercanos al límite L. En el apéndice figura la definición rigurosa.

Escribiremos limx→a

f(x) = L. También pueden definirse los límites por la izquierda y por la derecha, tomando puntos

sólo por el lado correspondiente.

Observación: El límite de la función en un punto es único si existe, y no depende del valor de la función

en el punto, si es que dicho valor existe (pues a puede pertenecer o no a Domf).

Cuando no hay problemas de sustitución, como ocurre con las funciones usuales (como polinomios, trigonométri-

cas, exponenciales, logaritmos, etc.) calcular el límite consiste en ”sustituir” en el punto, en los puntos del dominio

(veremos después cómo calcular ciertos tipos de límites menos directos):

limx→3

ex = e3 limx→−1

3+xx2

= 21= 2 lim

x→5α = α(α ∈ R)

limx→0

sinx+x−3log(x+e)

= sin 0+0−3log e

= 0−31= −3 lim

x→1log(x)−cos(x−1)5x2−sin(πx) =

log(1)−cos 05−sinπ = 0−1

5−0 = −15La idea intuitiva de que una función f tenga límite L en el infinito es que para valores de la variable x suficientemente

grandes los valores de f(x) son cercanos al límite L. La idea intuitiva de que una función f tenga límite infinito

en un punto a es que para valores de la variable x cercanos a (pero diferentes de) a los valores de f(x) son todo lo

grandes que deseemos.

Ejemplo:

limx→+∞

1x3= 0 lim

x→+∞ex = +∞ lim

x→−∞ex = 0 lim

x→01x2= +∞ lim

x→01x=∞

Ejemplo: El límite de polinomios en el infinito es infinito: limx→∞

p(x) =∞. Esta regla tiene una excepción:que sea un polinomio constante, en cuyo caso el límite es la propia constante: lim

x→∞k = k.

limx→+∞

3x− 7 = +∞ limx→+∞

−5x3 + 6x+ 10100 = −∞ limx→−∞

3x+ 7 = −∞ limx→−∞

8x4 + 7x3 = +∞

4.1 Operaciones con límites. Indeterminaciones. Límites de funciones racionales

Las operaciones usuales con límites se conservan, siempre que la operación que se realiza tenga sentido:

limx→a

f(x)± g(x) = limx→a

f(x)± limx→a

g(x) limx→a

f(x) · g(x) = limx→a

f(x)· limx→a

g(x)

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)limx→a

f(x)g(x) =limx→a

f(x)limx→a

g(x)

Los límites también se conservan al componer con las funciones usuales tales como los polinomios, las

trigonométricas, las exponenciales, los logaritmos, etc (las funciones que después denominaremos continuas). Así por

ejemplo se cumple que

limx→0

sin[3x− π

2] = sin[ lim

x→03x− π

2] = sin(−π

2) = −1

Las operaciones anteriores son válidas también en algunos contextos más generales.

Ejemplos:

10

1. Si limx→a

f(x) es finito y limx→a

g(x) =∞ entonces limx→a

f(x)

g(x)= 0.

2. Si limx→a

f(x) 6= 0 y limx→a

g(x) = 0 entonces se cumple que limx→a

f(x)

g(x)=∞.

De ahí que a veces podamos extender estas operaciones a casos en los puedan aparecer algunos infinitos u otros

casos no incluidos inicialmente entre los posibles. Dentro de estos casos nos aparecen operaciones válidas (como la de

los dos ejemplos anteriores) y otras no válidas, denominadas indeterminaciones. Todos estos casos están reflejados

en la parte de operaciones simbólicas dada en el apéndice del tema. De todos modos adelantemos aquí brevemente

las indeterminaciones:00

∞∞ 0 ·∞ ∞−∞ 1∞ ∞0 00

Para los últimos tres casos 1∞, ∞0 y 00 podemos aplicar la fórmula

f(x)g(x) = eg(x)·log(f(x))

y transformar la indeterminación inicial en una de los primeros tipos, más sencillas normalmente de resolver.

Observación: Más adelante en el tema utilizaremos la regla de l’Hôpital para resolver algunas de estas indeter-

minaciones.

Un caso particular de lo anterior nos lo dan las funciones racionales. Éstas son de la formap(x)

q(x), siendo

numerador y denominador polinomios. El cálculo directo de los límites en el infinito de estas funciones nos llevaría

(salvo que alguno de los polinomios fuese constante) a indeterminaciones del tipo ∞∞ . Pero el valor de estos límitespuede determinarse en todos los casos:

Supongamos que

p(x) = αxr + ...+ βx+ γ q(x) = λxs + ...+ μx+ δ

(así los grados de p y q son r y s, y los coeficientes principales α y λ, respectivamente). Entonces

limx→∞

p(x)

q(x)=

⎧⎪⎨⎪⎩0 si s > r

∞ si r > sαλsi r = s

La demostración de esto se podría hacer en el caso general y consiste en dividir numerador y denominador entre

xk, siendo k el máximo de los grados y después tomar límite.

Observación: En realidad el límite se calcula dejando sólo los términos de mayor grado del numerador y del

denominador y quitando el resto. Por ejemplo:

limx→∞

4− 2x+ 5x25− 6x2 + 3x = limx→∞

5x2

−6x2 = limx→∞5

−6 = −5

6

Una consecuencia de esto es que si p(x) es un polinomio entonces

limx→∞

p(x) =∞

salvo que sea un polinomio constante, en cuyo caso el límite es la propia constante.

Ejemplo:

limx→∞

3x− 4 =∞ limx→∞

−2x4 + 3x+ 100 =∞ limx→∞

5 = 5

limx→∞

xx2−1 = 0 lim

x→∞3x2

4x2+2= 3

4limx→∞

x5−32x2−x =∞

La regla utilizada para estos límites (recordemos, límites cuando la variable tiende a∞) es válida también en líneasgenerales en los límites irracionales, en los que aparecen funciones de los tipos anteriores pero con raíces. La regla

general (aunque, a diferencia del caso de las funciones racionales, el límite no siempre se obtiene) es dividir por la

mayor potencia de x.

Ejemplos:

1. limx→+∞

√x−4x−26 = lim

x→+∞

√xx− 4x

1− 26x

= limx→+∞

1√x− 4x

1− 26x

= 0−01−0 =

01= 0

2. limx→+∞

√3x−1+1√26+2x

= limx→+∞

√3x−1√x

+ 1√x√

26+2x√x

= limx→+∞

√3x−1x

+ 1√x√

26+2xx

= limx→+∞

√3− 1

x+ 1√

x√26x+2

=√3−0+0√0+2

=√3√2

11

Ejemplo: Si en el límite limx→+∞

√2x+x2−√x2−1√

3x+1intentamos aplicar el mismo criterio que para cocientes de polinomios

nos encontraríamos con que el resultado del límite es 1−10= 0

0indeterminado. En estos casos hay que proceder de

modo especial. En este ejemplo concreto puede multiplicarse por el conjugado de la expresión que hay, en este caso,

en el numerador y sale

limx→+∞

(√2x+ x2 −√x2 − 1)(√2x+ x2 +√x2 − 1)√

3x+ 1(√2x+ x2 +

√x2 − 1) = lim

x→+∞2x+ x2 − (x2 − 1)√

3x+ 1(√2x+ x2 +

√x2 − 1) =

= limx→+∞

2x+ 1√3x+ 1(

√2x+ x2 +

√x2 − 1)

y ahora se divide numerador y denominador por x32 y sale

limx→+∞

2x

x32

+ 1

x32q

3 + 1x(q

2x+ 1 +

q1− 1

x2)=

0 + 0√3 + 0(

√0 + 1 +

√1− 0) =

0

2√3= 0

Observación: La regla anterior de multiplicar numerador y denominador por el conjugado no será siempre

aplicable. Lo ha sido en este caso particular pero no lo es en otros. Consultar el apéndice si se quieren obtener más

detalles.

5 Continuidad

Que una función sea continua significa, intuitivamente, que para pintar la gráfica de la función no es necesario levantar

el lápiz del papel.

Definición: Diremos que una función f es continua en un punto a cuando se verifiquen las siguientes propiedades:

1. Existe (y es finito) limx→a

f(x).

2. f está definida en el punto a (es decir, a ∈ Domf).

3. f(a) = limx→a

f(x).

En caso contrario diremos que la función es discontinua en a. Se podría definir la continuidad por la derecha (o

izquierda), cambiando en la definición anterior el límite por el límite por la derecha (o izquierda).

• Una función es continua en un intervalo ]a, b[ si lo es en todo punto del intervalo. Si el intervalo es cerrado,además de la continuidad en los puntos del interior del intervalo, se supone que es continua lateralmente en los

extremos, es decir, continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b.

• Las funciones usuales (como polinomios, trigonométricas, exponenciales, logaritmos etc.) son continuas entodo punto del dominio.

Así por ejemplo funciones como f(x) = 3 y g(x) = ex son continuas en todo R, la función h(x) = log x es continua

en ]0,+∞[, y la función √x es continua en [0,+∞[ (entendiendo que en 0 es continua por la derecha). También sucedeque:

• Si realizamos operaciones usuales (suma, resta, producto, cociente, exponenciación, composición, etc.) confunciones continuas, el resultado es una función continua, siempre en puntos del dominio.

Así por ejemplo las siguientes funciones son continuas en todo su dominio

f(x) = 3x− log(cos x)√4x2+1

g(x) = e3x−sinx + x cos(x2)

12

5.1 Teoremas de Bolzano y Weierstrass

Y a continuación 2 resultados clásicos para funciones continuas:

Teorema de Bolzano: Sea f : [a, b] → R una función continua que toma valores de signo contrario en los

extremos (los signos de f(a) y f(b) son distintos). Entonces la función tiene alguna raíz en el interior (o sea, algún

punto c ∈]a, b[ tal que f(c) = 0).Teorema de Weierstrass: Sea f : [a, b] → R una función continua. Entonces f está acotada en [a, b] y además

existen dos puntos del intervalo en los que se alcanza el máximo y el mínimo de la función en el intervalo.

Hay que hacer notar que la hipótesis de que el intervalo sea cerrado es necesario para que se cumplan los resultados,

pues la función 1xes continua en el intervalo ]0, 1] y no está acotada, o la función x que es continua en el intervalo

]2, 5] y sin embargo no alcanza el valor mínimo en dicho intervalo.

6 Derivabilidad

Acabada la discusión de la continuidad y sus consecuencias entramos a analizar la derivabilidad. La idea intuitiva

de una función derivable es aquella cuya gráfica es ”suave”, es decir, no tiene picos, no tiene cambios bruscos en su

trayectoria.

Definición: Sea f una función y a un punto del interior del dominio de f (es decir, existe una bola B(a, r) ⊆Domf). Se dice que la función f es derivable en a si existe (y es finito) el siguiente límite

(∗) limx→a

f(x)− f(a)x− a

o lo que es lo mismo, haciendo el cambio h = x− a, el límite

limh→0

f(a+ h)− f(a)h

En esta situación llamaremos al límite derivada de f en el punto a, y la denotaremos por f 0(a) (o también pordf

dx(a), fx(a) ó f

0x(a)).

Quizá alguna vez nos interese también considerar la situación en la que el límite de la derivada pueda valer ∞, encuyo caso diremos que la función posee derivada infinita en a, pero no será el caso más habitual.

Ejemplo: Calculemos la derivada en el punto a = 3 de la función

f(x) = x2

Ésta vale

f 0(3) =limx→3

f(x)− f(3)x− 3 =lim

x→3x2 − 9x− 3 =limx→3

(x+ 3)(x− 3)x− 3 =lim

x→3x+ 3 = 6

• Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.

El recíproco no es cierto, pues hay funciones que son continuas y no derivables, como la función |x| en el puntox = 0.

• Cuando decimos que una función es derivable en un intervalo ]a, b[ se entiende que es derivable en todopunto del intervalo.

• Así como ocurre con la continuidad, las funciones usuales (como polinomios, trigonométricas, exponenciales,logaritmos etc.) son derivables en todo punto del dominio y si realizamos operaciones usuales (suma, resta,

producto, cociente, exponenciación, composición, etc.) con funciones derivables en algún punto, el resultado

es una función derivable en dicho punto, si pertenece a su dominio. En ambos casos se supone que el dominio

es abierto (no se incluyen los extremos para considerar la derivabilidad).

Ejemplo: La función log x− cosxx2−1 es derivable en todo punto de su dominio (cuando x es positivo y distinto de

1).

13

6.1 Reglas de derivación

Suma [f(x) + g(x)]0 = f 0(x) + g0(x) f y g funciones

Resta [f(x)− g(x)]0 = f 0(x)− g0(x) f y g funciones

Producto por un número [k · f(x)]0 = k · f 0(x) f y g funciones, k ∈ RCociente entre un número [

f(x)

k]0 = f 0(x)

kf y g funciones, k ∈ R

Producto [f(x) · g(x)]0 = f 0(x) · g(x) + f(x) · g0(x) f y g funciones

Cociente

∙f(x)

g(x)

¸0=f 0(x) · g(x)− f(x) · g0(x)

g(x)2f y g funciones

Composición (regla de la cadena) (g ◦ f)0(x) = (g[f(x)])0 = g0[f(x)] · f 0(x) f y g funciones

6.2 Derivadas de funciones usuales

Constante (k)0 = 0

Potencia (n ∈ R) (xn)0 = nxn−1 [f(x)n]0 = nf(x)n−1f 0(x)

Exponencial (a ∈ R) (ax)0 = ax · log a [af(x)]0 = af(x) · f 0(x) · log aExponencial de base e (ex)0 = ex (ef(x))0 = ef(x) · f 0(x)Logaritmo (a ∈ R) (loga x)

0 = 1x· 1

log a(loga[f(x)])

0 =f 0(x)f(x)

· 1

log a

Logaritmo de base e (log x)0 = 1x

(log[f(x)])0 =f 0(x)f(x)

Seno (sinx)0 = cosx (sin[f(x)])0 = cos[f(x)] · f 0(x)Coseno (cosx)0 = − sinx (cos[f(x)])0 = − sin[f(x)] · f 0(x)Tangente (tanx)0 =

1

cos2 x(tan[f(x)])0 =

f 0(x)cos2[f(x)]

Cotangente (cotx)0 = − 1

sin2 x(cot[f(x)])0 = − f 0(x)

sin2[f(x)]

Arcoseno (arcsinx)0 =1√1− x2 (arcsin[f(x)])0 =

f 0(x)p1− f(x)2

Arcocoseno (arccosx)0 = − 1√1− x2 (arccos[f(x)])0 = − f 0(x)p

1− f(x)2Arcotangente (arctanx)0 =

1

1 + x2(arctan[f(x)])0 =

f 0(x)1 + f(x)2

Seno hiperbólico (sinhx)0 = coshx (sinh[f(x)])0 = cosh[f(x)] · f 0(x)Coseno hiperbólico (coshx)0 = sinhx (cosh[f(x)]0 = sinh[f(x)] · f 0(x)

Argumento seno hiperbólico (arg sinhx)0 =1√1 + x2

(arg sinh[f(x)])0 =f 0(x)p1 + f(x)2

Argumento coseno hiperbólico (arg coshx)0 =1√x2 − 1 (arg cos[f(x)])0 =

f 0(x)pf(x)2 − 1

Observaciones:

1. Se deduce de las dos primeras reglas de derivación deducimos la derivada de los polinomios:

(a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + ...+ anxn)0 = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + ...+ nanxn−1

2. En las reglas de derivación de la exponencial y el logaritmo se supone que la base a satisface

0 < a 6= 1

3. En la tercera columna se presenta una fórmula general que se obtiene utilizando la derivada correspondiente

junto con la regla de la cadena.

4. Derivada de una función potencial-exponencial:

[g(x)h(x)]0 = g(x)h(x)[h0(x) log[g(x)] +h(x)g0(x)g(x)

]

14

Ésta fórmula se deduce del hecho de que

g(x)h(x) = elog[g(x)h(x)] = eh(x) log[g(x)]

Nota: Otro modo de poner la fórmula anterior es

[g(x)h(x)]0 = g(x)h(x)h0(x) log[g(x)] + h(x)g(x)h(x)−1g0(x)]

Esta última forma nos permite recordar la fórmula mediante la siguiente regla gnemotécnica: El primer sumando

corresponde al resulta de interpretar g(x)h(x) como una función exponencial (número elevado a función) y el

segundo sumando corresponde al resulta de interpretarla como una función potencial (función elevado a número).

Ejemplo: He aquí algunos ejemplos de derivadas:

función x cos 3x sinx3 e√x−sinx x

sinxsin5 3x

derivada cos 3x− 3x sin 3x 3x2 cosx3 e√x−sinx( 1

2√x− cosx) sinx−x cosx

sin2 x15 sin4 3x cos 3x

función (3x− e4x2 + 1)12 arcsin(3x− 2) arctan 2x+15

sinhx2

derivada 12(3x− e4x2 + 1)11(3− 8xe4x2) 3√1−(3x−2)2

25

1+( 2x+15

)22x coshx2

función cosh(log[3x− 1]) log(x2 + 3) tan 2x (x2 + 6x+ 8)sinx

derivada3 sinh(log[3x−1])

3x−12xx2+3

2cos2 2x

(x2 + 6x+ 8)sin x

[cosx · log(x2 + 6x+ 8) + (2x+6) sinx

x2+6x+8]

función e3ax x−3y−x+4 f(x) = sin(3x− 5y) f(y) = sin(3x− 5y) g(y) = log(3− ex5y2)

derivada 3ae3ax −3y+8(−x+2)2 f 0(x) = 3 cos(3x− 5y) f 0(y) = −5 cos(3x− 5y) g0(y) = −2ye

x5y2

3−ex5y2

función h(x) = x+ 2z + 3xy + 5yz − 6x2 + 7y3 + 8z5 T (z) = x+ 2z + 3xy + 5yz − 6x2 + 7y3 + 8z9derivada h0(x) = 1 + 3y − 12x T 0(z) = 2 + 5y + 72z8

6.3 Interpretaciones de la derivada

La derivada de una función puede interpretarse como una medición del incremento (o variación) de la función por

cada unidad de la variable.

Ejemplo: Se sabe que en una determinada población de bacterias la cantidad de bacterias (medida en millones)

existente por cada unidad de tiempo (medido en días) responde a la expresión c(t) = 2e4t. Determinar a qué velocidad

aumenta dicha población al cabo de 3 días.

La respuesta a lo que nos preguntan es

c0(3) = 8e12 ' 1300000es decir, al cabo de 3 días la población crece a un ritmo de un billón trescientos mil millones de bacterias por día.

Ejemplo: En un examen de una hora se supone que el rendimiento en % de un alumno viene dado por la expresión

r(t) = 300t(1− t), donde 0 < t < 1 se mide en horas. Hallar el rendimiento al cabo de media hora y comprobar que apartir de ese tiempo dicho rendimiento va disminuyendo.

Lo primero se calcula como r(0.5) = 75%. Para ver que disminuye tenemos que ver que r0 es negativo. Como valer0(t) = 300(1− 2t) está claro que a partir de t = 0.5 este valor va siendo negativo.Ejemplo: La cotización bursátil de un empresa en un determinado mes viene dada por la expresión C(x) =

0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300, donde 0 < x < 30 se mide en días (se supone que todos los días abre la Bolsa).

Determinar al cabo de 10 días la cotización, así como la tendencia en ese momento.

Lo primero es C(10) = 289.3. Para lo segundo debemos determinar C 0(10) = −3.57 para concluir que la tendenciaes a la baja.

En física una de las interpretaciones más conocidas de la derivada es la que permite obtener la velocidad de un

objeto a partir de su posición, derivando con respecto al tiempo.

Ejemplo: Un vehículo que describe una trayectoria rectilínea es impulsado incialmente por una pista. Se sabe

que la distancia recorrida desde el punto de impulso inicial responde a la ecuación d(t) = 5t− t2, donde t se mide enminutos. Determinar cuánto tiempo pasa hasta que se detiene.

Esto sucede cuando la velocidad se anula. Como ésta es d0(t) = 5− 2t se anula para t = 2.5 minutos.

15

Geométricamente la derivada representa la pendiente de la recta tangente:

Sea y = f(x) una curva, donde f es una función derivable. La recta tangente a la curva en el punto (a, f(a)) es

la que tiene por ecuación

y = f(a) + f 0(a)(x− a)(f 0(a) es la pendiente de la recta tangente). Y la recta normal (perpendicular) es

y = f(a)− 1

f 0(a)(x− a)

(− 1

f 0(a)es la pendiente de la recta normal).

Ejemplo: Calcular la recta tangente y la recta normal en a = −1 a la curva

y = 3x3 − 4x

A partir de los siguientes cálculos

f(x) = 3x3 − 4x f(−1) = 1 f 0(x) = 9x2 − 4 f 0(−1) = 5

deducimos que

recta tangente recta normal

y = 1 + 5(x+ 1) y = 1− 15(x+ 1)

6.4 Derivadas de orden superior

Si tenemos una función f derivable en un intervalo ]a, b[ se define la función derivada de f de manera natural como la

función

f 0 :]a, b[→ R,

definida en cada punto como la derivada en ese punto. Si la función f 0 resulta de nuevo derivable en ]a, b[ entonces parasu función derivada pondremos (f 0)0 = f 00. Si esta función es a su vez derivable en ]a, b[ a su derivada la denotaremospor f 000, y a las sucesivas derivadas (en caso de existir) por fIV , fV , etc. En general para la derivada n-ésima se usarála notación f (n).

Ejemplo:Calculemos la derivada tercera de la función

f(x) = x sinx

Se tiene que

f 0(x) = sinx+ x cosx f 00(x) = 2 cosx− x sinx, f 000(x) = −3 sinx− x cosx

Ejemplo: Calculemos la derivada n-ésima, f (n)(x), de la función

f(x) = e−2x

Obtenemos que

f 0(x) = −2e−2x f 00(x) = 4e−2x f 000(x) = −8e−2x ...... f (n)(x) = (−2)ne−2x

de donde la derivada final se deduce observando la regla de formación.

Cuando tengamos una función para la que existe la derivada n-ésima y ésta es continua en todos los puntos de

un conjunto X diremos que tal función es de clase Cn en X. Si existen las derivadas de la función de cualquier

orden diremos que es de clase C∞.

16

6.5 Cambios de variable

Cuando en una situación en la que tengamos una función y que depende una variable x nos interesa expresar y en

función de otra variable t. Si f es la función que permite expresar t en función de x se dice que estamos realizando el

cambio de variable t = f(x). Entonces se tiene la fórmula

dy

dx=dy

dt· dtdx

donde se supone que hacemos la identificación f = t.

En el apéndice figura una justificación teórica de cómo se obtienen las fórmulas anteriores a partir de la regla de

la cadena.

Observación: A veces en vez de dar t en función de x se da x en función de t. En estos casos para hallar t en

función de x basta con despejar.

Hagamos un ejemplo en el que tengamos que realizar un cambio de variable.

Ejemplo: En la expresión

y0(x)− 3y(x)realizar el cambio de variable

t = 2x

Se tiene que

y0(x) =dy

dx=dy

dt· dtdx=dy

dt· 2 = 2y0(t)

luego la expresión queda así:

y0(x)− 3y(x) = 2y0(t)− 3y(t)Ejemplo: En la ecuación

e−xy00(x)− e−xy0(x) + y(x) = 0realicemos el cambio en la variable independiente

t = ex

(o lo que es lo mismo x = log t). Entonces en la ecuación anterior se tiene que

y0(x) =dy

dx=dy

dt

dt

dx=dy

dtex = y0(t)t

y00(x) =d2y

dx2=d( dydx)

dx=d(dy

dtex)

dx=d(dy

dt)

dxex +

dy

dtex =

=d(dy

dt)

dt

dt

dxt+ y0(t)t =

d2y

dt2· t · t+ y0(t)t = y00(t)t2 + y0(t)t

por lo que queda así

1t(y00(t)t2 + y0(t)t)− 1

ty0(t)t+ y(t) = 0 o lo que es lo mismo ty0(t) + y(t) = 0

7 Propiedades gráficas de las funciones derivables

7.1 Crecimiento y decrecimiento

17

La idea intuitiva de función creciente es clara: la gráfica crece si la recorremos de izquierda a derecha. Las

definiciones están en el apéndice. En general para ver si una función f derivable es creciente o decreciente en un

intervalo habrá que ver el signo de la función derivada f 0. Concretamente en los intervalos I que cumplen que f 0(x)tiene signo positivo ∀x ∈ I la función f será creciente, y en los intervalos I que cumplen que f 0(x) tiene signonegativo ∀x ∈ I la función f será decreciente.Ejemplo: Determinar en qué puntos es creciente o decreciente la función

f(x) = x3 − 3x

Se obtiene que f 0(x) = 3x2 − 3. Esta función se anula para x = 1,−1. En todos los puntos del intervalo ]-∞,-1[ lafunción f 0 toma el mismo signo, y como f 0(−2) = 9 > 0 se tiene que f 0 > 0 en ]-∞,-1[ luego f es creciente en dichointervalo. Similarmente se comprueba que en el intervalo ]-1, 1[ la función es decreciente y que en el intervalo ]1,+∞[la función f es creciente.

7.2 Máximos y mínimos

7.2.1 Máximos y mínimos relativos

La idea intuitiva de que una función alcance un máximo relativo en un punto a es que el valor de la función es

el mayor de ”todos los alrededores”. Simétricamente ocurre con un mínimo relativo. Denominaremos extremos

relativos a los máximos y mínimos relativos. Las definiciones figuran en el apéndice.

Mostramos a continuación cómo serían las gráficas en un máximo y un mínimo relativos, respectivamente:

Propiedad: Si una función derivable f presenta en un punto a un extremo relativo entonces se cumple que

f 0(a) = 0.Este resultado nos da un método para hallar ”posibles” extremos relativos, pero no en todos los puntos en los

que la derivada se anula tienen por qué presentarse extremos relativos, aunque lo que sí es cierto es que los extremos

relativos, si los hay, se alcanzan en ellos. A estos puntos en los que la derivada se anula los denominaremos puntos

críticos. Para ver si en un punto crítico se alcanza un extremo relativo (y de qué tipo, en su caso) podemos utilizar

alguna de las dos formas siguientes:

Propiedad: Supongamos que a es un punto crítico de f (es decir, f 0(a) = 0). Entonces:

1. Si f 00(a) > 0 la función tiene en a un mínimo relativo y si f 00(a) < 0 la función tiene en a un máximo relativo.

2. Si existe B(a, r) que cumple que la función f es creciente en los puntos de la bola que están a la izquierda de

a y decreciente en los puntos de la bola que están a la derecha, entonces f presenta en a un máximo relativo.

Simétricamente, si a la izquierda decrece y a la derecha crece, se alcanza un mínimo relativo.

Ejemplo: Determinar los puntos en los que la siguiente función presenta extremos relativos

f(x) = x3 − 2x2 + 1

Como f 0(x) = 3x2−4x y esta función se anula en x = 0, 43, estos dos puntos son los candidatos a que en ellos la función

presente un extremo relativo (son los puntos críticos). Comprobemos si en efecto ocurre así. Para ello calculamos

f 00(x) = 6x − 4 y se tiene que f 00(0) = −4 < 0 y f 00(43) = 4 > 0. De esto deducimos que f presenta en x = 0 un

máximo relativo y en x = 43un mínimo relativo.

18

Ejemplo: Determinar los puntos en los que la siguiente función presenta extremos relativos

f(x) =x

x2 + 1

Como f 0(x) = −x2+1(x2+1)2

y esta función se anula en x = 1,−1, estos dos puntos son los puntos críticos de f . Paracomprobar si en ellos la función alcanza un extremo relativo observamos que para x ∈]-∞,-1[ se tiene que f 0(x) < 0(f es decreciente) y que para x ∈]-1, 1[ se tiene que f 0(x) > 0 (f es creciente), por lo que f presenta en x = −1 unmínimo relativo. Simétricamente, si tenemos en cuenta que para x ∈]1,+∞[ se tiene que f 0(x) < 0 (f es decreciente)deducimos que f presenta en x = 1 un máximo relativo.

7.2.2 Máximos y mínimos absolutos

Tras haber estudiado los extremos relativos pasaremos a ver los extremos absolutos. Para el caso, por ejemplo, de un

máximo absoluto en un punto a, se cumple que la gráfica alcanza el valor más alto de todos los posibles, y no sólo de

”los alrededores”, como pasaba con un máximo relativo. Simétricamente se puede definir el caso de mínimo absoluto.

No obstante las definiciones estarán en el apéndice.

En la gráfica

x 420-2-40

-50

-100

-150

-200

-250

vemos que el mínimo absoluto de la función en el intervalo representado se alcanza en el extremo izquierdo del

intervalo, mientras que el máximo absoluto se alcanza en el interior (en el punto 0, donde la función presenta un

máximo relativo).

Por el teorema de Weierstrass sabemos que si tenemos una función derivable f : [a, b]→ R ésta alcanza el máximo

y el mínimo absoluto en el intervalo [a, b]. Su cálculo queda reducido al de los extremos relativos y poco más, pues los

extremos absolutos de f en [a, b] sólo pueden alcanzarse en los extremos relativos o en a o en b.

Ejemplo: Calculemos los extremos absolutos en el intervalo [−1, 2] de la función

f(x) = x2

La función alcanza un único punto crítico, que es x = 0. Entonces como f(−1) = 1, f(0) = 0 y f(2) = 4 se tieneque el mínimo absoluto de la función en el intervalo [−1, 2] se alcanza en el punto x = 0, y su valor es 0, y el máximoabsoluto de la función se alcanza en x = 2, y el valor de tal máximo es 4.

Ejemplo: Calculemos los extremos absolutos en el intervalo [0, 6] de la función

f(x) =x3

3− 3x

2

2+ 2x+ 3

La función presenta dos puntos críticos: x = 1, x = 2. Entonces como

f(0) = 3,

f(1) =1

3− 32+ 2 + 3 =

23

6' 3.83

f(2) =8

3− 6 + 4 + 3 = 11

3' 3.66

f(6) = 72− 54 + 12 + 3 = 33

se tiene que el mínimo absoluto de la función en el intervalo [0, 6] se alcanza en el punto x = 0, y su valor es 3, y el

máximo absoluto de la función se alcanza en x = 6, y el valor de tal máximo es 33.

19

Ejemplo: Calculemos los extremos absolutos en el intervalo [−1, 3] de la función

ex

Como está claro que esta función es creciente en dicho intervalo (de hecho es creciente en todo R) no tiene extremos

relativos, luego los extremos absolutos de la función en el intervalo se alcanzan en los extremos. De hecho al ser creciente

el mínimo se alcanza en el punto x = −1, y su valor es e−1, y el máximo se alcanza en el extremo derecho, el puntox = 3, y el valor de este máximo es e3.

Ejemplo: Calculemos los extremos absolutos en el intervalo [0, 5] de la función

x3 − 3x

La función presenta dos puntos críticos: x = −1, x = 1. Como el primero está fuera de nuestro rango no lo

consideramos. Entonces como

f(0) = 0,

f(1) = 1− 3 = −2f(5) = 625− 15 = 610

se tiene que el mínimo absoluto de la función en el intervalo [0, 5] se alcanza en el punto x = 1, y su valor es −2, y elmáximo absoluto de la función se alcanza en x = 5, y el valor de tal máximo es 610.

7.2.3 Aplicación a la resolución de problemas de optimización

Utilizando las propiedades vistas hasta ahora sobre la determinación de máximos y mínimos de funciones, pode-

mos resolver problemas de optimización. Problemas en los que pretendemos maximizar o minimizar determinadas

magnitudes, como el tiempo, el coste, etc.

Ejemplo: Determinar las dimensiones de un rectángulo de área 2 de modo que la suma de tres de sus lados sea

mínima.

Supongamos que los lados pequeños miden x, midiendo los grandes y. Entonces la cantidad a minimizar es 2x+ y

(pues 2y + x nos daría más longitud con la misma área) con la condición de que el área, que es xy, vale 2. Así, de la

condición xy = 2 despejamos, por ejemplo y = 2xy al sustituir en la cantidad a minimizar obtenemos que ésta vale

f(x) = 2x+2

x

Tenemos que determinar los mínimos absolutos de esta función en su rango ]0,+∞[ (notemos que aunque en lafunción f el valor de x podría ser negativo, para nuestro problema no tiene sentido, pues es la longitud del lado de un

rectángulo):

En primer lugar observemos que la función toma valores solamente positivos en dicho rango. En los extremos del

intervalo no tiene sentido evaluarla. Es más tanto en el 0+ como en el +∞ la función tiende a +∞. Entonces quedaclaro que tendrá mínimo absoluto, y éste debe alcanzarse en algún mínimo relativo. Para obtener éstos hallamos

f 0(x) = 2− 2x2y al igualar esta función a 0 se tiene que

0 = 2− 2

x2= 2(1− 1

x2) = 2(

x2 − 1−x2 ),

de donde deducimos que 0 = x2 − 1, por lo quex = 1,−1

Como x = −1 se sale de nuestro rango la única opción se alcanza en el valor x = 1. En definitiva, en x = 1 se alcanzael único punto crítico de la función en nuestro rango. Como puede comprobarse obviamente (mediante la derivada

segunda, por ejemplo) se presenta un mínimo relativo. Como la función en ]0, 1[ decrece y en ]1,+∞[ crece, en x = 1se alcanza el mínimo absoluto, cuyo valor es f(1) = 2

1= 2.

A modo de ilustración veamos la gráfica de la función f para comprobar que lo calculado se corresponde gráfica-

mente:

20

x 54321

10

9

8

7

6

5

4

Ejemplo: Determinar las dimensiones de un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 para que su área sea maxima.

7.3 Teoremas de Rolle e Incrementos Finitos

Al igual que ocurre cuando vimos la continuidad, hay algunos resultados importantes relacionados con la derivabilidad.

Concretamente veremos el siguiente:

Teorema de Rolle: Sea f : [a, b] → R una función continua, que además es derivable en ]a, b[. Si f(a) = f(b)

entonces existe algún punto interior c tal que f 0(c) = 0.Teorema de los Incrementos Finitos de Lagrange: Sea f : [a, b] → R una función continua, que además es

derivable en ]a, b[. Entonces existe algún punto c ∈]a, b[ tal quef(b)− f(a)b− a = f 0(c)

8 Regla de l’Hôpital

Para límites de alguno de los tipos0

0

∞∞

puede emplearse en muchos casos la conocida regla de l’Hôpital. Esta regla consiste, salvo algunos detalles, en que

si tenemos dos funciones derivables f y g de manera que el límite limx→a

f(x)

g(x)sale una indeterminación de cualquiera de

los dos casos anteriores, entonces éste coincide con el siguiente limx→a

f 0(x)g0(x)

. Esta regla es válida para cualquier punto

a, incluso cuando es ±∞. En resumen sería

limx→a

f(x)

g(x)= limx→a

f 0(x)g0(x)

siempre y cuando el primer límite dé0

0o bien

∞∞ .

Ejemplos:

1.

limx→0

sin 3x

ex − 1 =limx→03 cos 3x

ex=3

1= 3

2.

limx→0

x− sinx3x3 + 2x4

=limx→0

1− cosx9x2 + 8x3

=limx→0

sinx

18x+ 24x2=limx→0

cosx

18 + 48x=1

18

Observación: Notar que en el primer ejemplo hemos aplicado la regla de l’Hôpital en la primera igualdad y que

en el último ejemplo la hemos aplicado en las tres primeras igualdades.

No todo límite indeterminado de los tipos0

0o bien

∞∞ se puede resolver utilizando la regla de l’Hôpital. Veámoslo

el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Al intentar calcular el límite

limx→+∞

e−x

1

x

21

obtenemos la indeterminación 00. Al aplicar l’Hôpital tenemos que

limx→+∞

e−x

1

x

= limx→+∞

−e−x

− 1x2

límite más complejo que el inicial y que también es del tipo 00, por lo que el método de l’Hôpital no nos ha sido útil.

En este caso es más conveniente realizar la siguiente transformación en el límite inicial

limx→+∞

e−x

1

x

= limx→+∞

x

ex= limx→+∞

1

ex= 0

donde se ha aplicado ahora l’Hôpital en la segunda igualdad

De forma más general al ejemplo anterior, y de nuevo aplicando la regla de l’Hôpital (en este caso puede que en

más de una ocasión), se verifican los siguientes resultados:

limx→+∞

p(x)

eq(x)= 0 lim

x→+∞log p(x)

eq(x)= 0 lim

x→+∞log p(x)

q(x)= 0

para cualesquier polinomios p, q y t que tengan límite +∞ (p puede tender a −∞ también). He aquí algunos ejemplos

particulares

limx→+∞

x3

ex= 0 lim

x→+∞log(x4+x2)

e2x+1= 0 lim

x→+∞log(x2−1)3−x = 0 lim

x→+∞ex

2

x4=∞ lim

x→−∞8−x2log x4

=∞ limx→+∞

x2

e−4x =∞

Observemos que los tres primeros se ajustan exactamente la nomenclatura de arriba, que el cuarto y el quinto son

como el primero y el segundo sólo que con la fracción al revés, por lo que el límite da al revés, en vez de 0 da ∞ (en el

quinto el límite se hace en el −∞, pero lo que importa es que el polinomio de arriba tiene límite infinito). Finalmentenotar que el último límite da ∞ porque la exponencial tiende a 0 y no a ∞ (el coeficiente principal del polinomio que

está en el exponente de la exponencial es negativo).

Observación: Lo anterior se podría resumir, de modo poco riguroso, en lo siguiente: cuando tienden a infinito las

funciones exponencial, polinómica y logarítmica, la exponencial es la que tiene más potencia, seguida de la polinómica

y finalmente de la logarítmica.

9 Desarrollos de Taylor

Sea f una función para la que existen, en el punto a, todas las derivadas hasta el orden n inclusive. Llamaremos

polinomio de Taylor de orden n de f en a a

pn(x) = f(a) +f 0(a)1!

(x− a) + f00(a)2!

(x− a)2 + f000(a)3!

(x− a)3 + ......+ f(n)(a)

n!(x− a)n

A la diferencia

Rn(x) = f(x)− pn(x)se le llamará resto de Taylor de orden n de f en a. En general la igualdad

f(x) = pn(x) +Rn(x)

se denominará fórmula de Taylor o desarrollo de Taylor (de orden n de f en a).

Notar que el polinomio de Taylor aparece expresado en potencias de (x− a).Observación: Para cada n el número n! se llama factorial de n y vale

n! = n · (n− 1) · (n− 2·) · · · 3 · 2 · 1

Por ejemplo

3! = 3 · 2 · 1 = 62! = 2 · 1 = 26! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7201! = 1

0! = 1 (caso especial)

22

El resto adopta una expresión similar a la de los términos anteriores:

Forma de Lagrange del resto: Si la función f es derivable hasta n+1 veces en una bola centrada en a, entonces

para cada punto x de la bola existe un punto c intermedio entre x y a (es decir c ∈ [x, a] ó c ∈ [a, x], dependiendo dela posición relativa entre x y a) de manera que el resto de Taylor de orden n de la función en el punto a puede ponerse

de la siguiente manera

Rn(x) =f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1

Observación: Hay que tener en cuenta que el punto c depende del punto x, y que no se sabe cuanto vale, lo más

que se conoce sobre él es que está comprendido entre los puntos x y a [o entre a y x].

Observación: Cuando una función es derivable en una bola centrada en a infinitas veces, en la fórmula de Taylor

f(x) = pn(x) +Rn(x)

de un cierto orden n, lo que recoge el resto Rn(x) es precisamente todos los términos que en potencias de x− a tienenorden estrictamente mayor que n.

Ejemplos:

1. Hagamos el desarrollo de Taylor de la función

f(x) = ex

con centro en el punto a = 0.

Si calculamos las sucesivas derivadas de esta función observaremos que todas dan ex, y entonces en el 0 dan 1.

Así para todo índice n se tiene que

f (n)(x) = ex f (n)(0) = 1

Si consideramos, por ejemplo, el grado 2 tenemos que

p2(x) = 1 + x+x2

2R2(x) =

x3ec

3!

son respectivamente, el polinomio y el resto correspondientes. El resto está dado en su forma de Lagrange

inicialmente (para cierto c comprendido entre 0 y x [o al revés]) y después indicando cuáles son los términos de

grado que aparecen en su suma, los que tienen grado estrictamente mayor que 2. Si consideramos, por ejemplo,

el grado 4 el polinomio nos sale

p4(x) = 1 + x+x2

2+x3

6+x4

24R4(x) =

x5ec

5!

En el caso general, si consideramos el grado n el polinomio se obtiene

pn(x) = 1 + x+x2

2+x3

3!+ ...+

xn

n!Rn(x) =

xn+1ec

(n+ 1)!

2. Hagamos el desarrollo de Taylor de la función

f(x) = sinx

con centro en el punto a = 0. Si calculamos las sucesivas derivadas de esta función observaremos que

f 0(x) = cosx f 00(x) = − sinx f 000(x) = − cosx fIV (x) = sinx f(x) = cosx fV I(x) = − sinx

etc., con lo que si tomamos el grado 2 el polinomio nos sale

p2(x) = x R2(x) = −x3 cos c

3!

para cierto c comprendido entre 0 y x (o al revés). Si consideramos el grado 5 el polinomio nos sale

p5(x) = x− x3

3!+x5

5!R5(x) = −x

6

6!sin c

23

3. Hagamos el desarrollo de Taylor de la función

f(x) = log x

con centro en el punto a = 1 (para valores 0 < x < 2). Si calculamos las sucesivas derivadas de esta función

observaremos que

f 0(x) = 1x

f 00(x) = − 1x2

f 000(x) = 2x3

f IV (x) = − 6x4

con lo que si consideramos, por ejemplo, el grado 3 el polinomio nos sale

p3(x) = (x− 1)− (x− 1)2

2+(x− 1)3

3R3(x) = −(x− 1)

4

4c4

para cierto c comprendido entre 1 y x (o al revés).

Ejemplo: Hallar tanto el polinomio de Taylor como el resto de Lagrange, de la función

f(x) =sinx

ex

en 0 de grado 3.

Hallemos las derivadas hasta el orden 4:

f 0(x) = cos x−sinxex

f 00(x) = −2 cosxex

f 000(x) = 2 cos x+2 sinxex

fIV (x) = −4 sinxex

Y al sustituir en el 0 se tiene que

f(0) = 0 f 0(0) = 1 f 00(0) = −2 f 000(0) = 2 fIV (0) = 0

En definitiva el polinomio buscado es

p3(x) = x− x2 + x3

3

y la forma de Lagrange del resto es

R3(x) =fIV (c)x4

4!=−4x4 sin c24ec

= −16x4e−c sin c

9.1 Acotación del resto

Sea f una función derivable en un intervalo ]a− r, a+ r[ para la que se cumple que¯̄f (i)(c)

¯̄≤ K, para todo i y para

todo c ∈]a − r, a + r[. Entonces si aproximamos el valor de f(x) por el de su polinomio de Taylor de orden n en elpunto a, para puntos x ∈]a− r, a+ r[, el error que se comete en esta aproximación es

|Rn(x)| =¯̄̄̄f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− a)n+1

¯̄̄̄≤ K

(n+ 1)!rn+1

y esta expresión tiende a cero cuando n tiende a infinito o cuando r tiende a 0.

Con lo cual la aproximación que hacemos del valor de la función por el valor del polinomio, será muy buena cuando

n es muy grande o cuando r es muy pequeño, pues el error cometido, que es el resto, tiende a cero.

Ejemplo: Calcular el error máximo que se comete al aproximar la función

f(x) = ex

por su polinomio de Taylor en el punto a = 0 de grado 4 para valores de x en el intervalo ]0, 1[

Como el resto es

R4(x) =x5fV (c)

5!=x5ec

5!

para cierto c comprendido entre 0 y x, y esta vez x está en el intervalo ]0, 1[, también c está entre 0 y 1. Por ello el

error máximo será

|R4(x)| =¯̄̄̄x5ec

5!

¯̄̄̄≤¯̄̄̄15e1

5!

¯̄̄̄=¯̄̄e

5!

¯̄̄≤¯̄̄̄

3

2 · 3 · 4 · 5

¯̄̄̄=1

40= 0.025

24

Ejemplo: Hallar el error máximo que se comete al aproximar la función

f(x) = arctanx

por su polinomio de Taylor en el punto a = 0 de grado 2 para valores de x en el intervalo ]-1, 0.5[. Las derivadas salen

f 0(x) = 11+x2

f 00(x) = −2x(1+x2)2

f 000(x) = −2(1+x2)2+2x2(1+x2)2x

(1+x2)4=−2(1+x2)+8x2

(1+x2)3= 6x2−2

(1+x2)3

Entonces el resto es

R2(x) =x3f 000(c)3!

=x3 6c2−2

(1+c2)3

6=x3(6c2 − 2)6(1 + c2)3

=x3(3c2 − 1)3(1 + c2)3

para cierto c comprendido entre 0 y x (o al revés). Y como esta vez x está en el intervalo ]-1, 0.5[ también c está entre

−1 y 0.5. Por ello el error máximo será

|R2(x)| =¯̄̄̄x3(3c2 − 1)3(1 + c2)3

¯̄̄̄≤¯̄̄̄13 · 23 · 13

¯̄̄̄=2

3= 0.b6

Nota: Se han realizado las acotaciones

3c2 − 1 ≤ 3 · (−1)2 − 1 = 3− 1 = 2 (1 + c2)3 ≥ (1 + 02)3 = 13 = 1 luego 1

(1 + c2)3≤ 1

1= 1

Ejemplo: Hallar el valor de

cos 1

aproximando la función

f(x) = cosx

por su polinomio de Taylor de orden 4 centrado en el punto a = 0 y acotar el error.

El polinomio de Taylor de orden 4 de la función es

p4(x) = 1− x2

2+x4

4!

Entonces el valor de cos 1 aproximado por este polinomio es

p4(1) = 1− 12

2+14

24= 1− 1

2+1

24=13

24' 0.54

El error que cometemos al hacer esta aproximación es, en valor absoluto, el resto de orden 3, que adopta la forma

R4(x) =fV (c)x5

5!= −x

5 sin c

120

Y en el punto 1 es

R4(1) = −sin c120

luego

|R4(1)| =¯̄̄̄−sin c120

¯̄̄̄≤ 1

120<

1

100= 0.01

En este caso la cota del error (del resto) que hemos hallado es 0.01. Así que podemos afirmar que el valor de cos 1 es

0.54, salvo un error menor que una centésima.

Ejemplo: Hallar el valor de

log 1.2

aproximando la función

f(x) = log x

por su polinomio de Taylor en el punto a = 1 de grado 4 y acotar el error.

Las derivadas salen

f 0(x) = 1x

f 00(x) = −1x2

f 000(x) = 2x3

fIV (x) = −6x4

fV (x) = 24x5

25

El polinomio de Taylor de grado 4 nos da

p4(x) = (x− 1)− 12(x− 1)2 + 1

3(x− 1)3 − 1

4(x− 1)4

y por tanto el valor de log 1.2 aproximado por este polinomio es

p4(1.2) = 0.2− 12(0.2)2 +

1

3(0.2)3 − 1

4(0.2)4 =

= 0.2− 0.02 + 0.002b6− 0.0004 = 0.1822b6El resto es

R4(x) =fV (c)(x− 1)5

5!=(x− 1)5 24

c5

120=(x− 1)55c5

que para el punto x = 1.2 nos da

R4(1.2) =(0.2)5

5c5=(15)5

5c5=

1

56c5

para cierto c comprendido entre 1 y 1.2. Por ello el error máximo que se puede cometer en la aproximación será

|R4(1.2)| =¯̄̄̄1

56c5

¯̄̄̄≤¯̄̄̄1

56

¯̄̄̄=

1

15625<

1

10000= 0.0001

Nota: Se han utilizado la acotación

c5 ≥ 15 = 1(que es lo mínimo que puede valer esta expresión que está en el denominador), y por tanto hará que la fracción tenga

valor máximo, es decir,1

c5≤ 1

9.1.1 Cálculo aproximado de expresiones numéricas

Ejemplo: Hallar el valor de

arctan 0.2

con un error inferior a una centésima.

Utilizando la función

f(x) = arctanx

en el punto a = 0 obtendríamos

f(0.2) = arctan 0.2

y aproximando este valor mediante el del polinomio de Taylor

p(0.2)

llegaríamos a lo deseado. Aprovechando lo realizado en el Ejemplo 9.8 obtenemos que el polinomio de grado 1 es

p1(x) = x

(el coeficiente de grado 2 sale 0) mientras que la acotación del resto nos daría en este caso (en el que x = 0.2, luego

0 < c < 0.2)

|R1(0.2)| =¯̄̄̄(0.2)2f 00(c)

2

¯̄̄̄=

¯̄̄̄¯0.04

−2c(1+c2)2

2

¯̄̄̄¯ =

¯̄̄̄0.04c

(1 + c2)2

¯̄̄̄≤¯̄̄̄0.04 · 0.212

¯̄̄̄= |0.008| < 0.01

Por ello el valor aproximado de

arctan 0.2 = f(0.2)

es

p1(0.2) = 0.2

Nota: El valor real es 0.1973......

26

Ejemplo: Hallar el valor de

e15

con un error inferior a una milésima.

Utilizando la función

f(x) = ex

en el punto a = 0 obtendríamos

f(1

5) = e

15

y aproximando este valor mediante el del polinomio de Taylor

p(1

5)

llegaríamos a lo deseado. Como ya conocemos todas las derivadas de esta función valen lo mismo y en este caso x = 15,

luego 0 < c < 15, la acotación del resto, para el grado 1, nos daría¯̄̄̄R1(

1

5)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄( 15)2f 00(c)2

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ 125ec

2

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ec

50

¯̄̄̄≤ e

15

50=

5√e

50≤

5√3

50≤ 2

50=1

25= 0.04 > 0.001

La acotación del resto, para el grado 2, nos daría¯̄̄̄R2(

1

5)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄(15)3f 000(c)3!

¯̄̄̄=

¯̄̄̄1125ec

6

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ec

750

¯̄̄̄≤ 2

750=

1

375> 0.001

La acotación del resto, para el grado 3, nos daría¯̄̄̄R3(

1

5)

¯̄̄̄=

¯̄̄̄( 15)4fIV (c)

4!

¯̄̄̄=

¯̄̄̄1625ec

24

¯̄̄̄=

¯̄̄̄ec

15000

¯̄̄̄≤ 2

15000=

1

7500>

1

1000= 0.001

la cual sí funcionaría por fin. Por ello el valor aproximado de

f(1

5) = e

15

teniendo en cuenta que el polinomio de Taylor correspondiente (de grado 3) es

p3(x) = 1 + x+x2

2+x3

6

es le siguiente

p3(1

5) = 1 +

1

5+1

50+

1

750= 1 + 0.2 + 0.02 + 0.001b3 = 1.221b3

Nota: El valor real es 1.221402......

27