Realizado Por: José Luis Mogollón Barco

CDI: 23.852.228

78 (Informática)

Relaciones Binarias

Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos

conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está relacionado con b. Esta

relación se puede denotar de diversas formas:

1- Como pares ordenados (a, b).

2- Indicando que aRb.

3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).

Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo

denotamos como R(M)

Está relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido con el

conjunto.

Ejemplo: Sea el conjunto A={el conjunto de los números naturales}, una relación binaria del

conjunto de A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplo de. De tal forma que, por ejemplo 4 está

relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de 2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2). En el caso de

no estar relacionados escribiremos a no está relacionado con b tachando la R. Un ejemplo de dos

elementos que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.

Observación: El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están relacionados es un

subconjunto del producto cartesiano AxB. Formas de representación: Para representar las

relaciones binarias podemos utilizar dos tipos de gráficos: a) El diagrama cartesiano: donde

representaremos los ejes cartesianos, y en cada eje los elementos de cada conjunto.

Representaremos las relaciones por medio de puntos ( si el eje es similar al eje de coordenadas) o

por medio de cruces si lo representamos mediante cuadrículas. b) Diagrama sagital o flechas

(mediante diagramas de Venn): representaremos los elementos del conjunto dentro del círculo y

representaremos las relaciones mediante flechas

Dominio

Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por D(R) al conjunto formado por

todas las primeras componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

D(R) = { x / ($ y) (x, y) Î R}

En consecuencia,

x Î D(R) Û ($ y)((x, y) Î R).

x Ï D(R) Û (" y)((x, y) Ï R).

Rango

Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por g(R) al conjunto formado por

todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

g (R) = { y / ($ x) (x, y) Î R}

En consecuencia,

y Î g (R) Û ($ x)((x, y) Î R).

y Ï g (R) Û (" x)((x, y) Ï R).

En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos por los

primeros y segundos componentes respectivamente de los pares ordenados que constituyen la

relación.

Ejemplo: La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el conjunto Dom (R) = { a,

b, c} y rango a rango (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están en el primer componente de los pares

ordenados y 1,2,4,5 están en el segundo componente de cada par.

Representación Gráfica de las Relaciones

Los pares ordenados se pueden representar gráficamente por medio de diagrama sagital o

por medio de puntos en el plano cartesiano.

Representación Cartesiana

Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman como abscisas los

elementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de llegada. En el plano se

marcan los pares ordenados que conforma la relación. Esta representación alcanza su mayor

importancia cuando el conjunto de partida y el de llegada son subconjuntos de R.

Representación sagital es la más popular de las representaciones. Ésta, igual que la

matricial, se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos. La representación

sagital se obtiene representando mediante diagramas de Venn el conjunto de partida y el

de llegada. Luego se unen con flechas los elementos relacionados. Asi, la representación

sagital de la relación del ejemplo 8 es el siguiente diagrama de la izquierda

R

X y

a*

b*

c*

d*

d

*1

*2

*3

*4

*5

*5

Ejemplo

Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 9} y R la relación definida por la regla:

R = {(x, y) / y = 2x + 1}, graficar R.

Solución:

Los pares ordenados que cumplen con y = 2x + 1 son:

R = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)}

Y las gráficas correspondientes son las siguientes:

Matriz Binaria

Una Matriz es un conjunto de elementos organizados en forma rectangular por filas y

columnas. Las matrices tienen aplicaciones en diversas áreas con la geometría y el algebra, pero a

nivel de computación se usan fundamentalmente para la representación de arreglos o tablas de

información que es una de las formas principales como se introducen los datos en el computador.

Una matriz binaria, es una disposición rectangular de dígitos binarios (0, 1), formada por m

filas y n columnas; y al igual que las matrices algebraicas se dice que tienen un orden m x n. Si el

número de filas es igual al de columnas, se dice que la matriz es cuadrada. Se denota por letras

mayúsculas.

3 x 4 m = 3 filas y n = 4 columnas

Relación inversa

Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se

denota R-1. En consecuencia,

(y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R.

(y, x) Ï R-1 Û (x, y) Ï R.

Si R es una relación de A en B, entonces R-1 es una relación de B en A.

Ejemplo

Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por

R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }

R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }

Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R)

Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)

A = 0 1 1 1

1 1 0 0

0 0 1 1

El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la misma

relación.

Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R

Demostración

X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa

Û X R Y

Luego, (R-1)-1 = R

Composición de relaciones

• Se puede construir una relación a partir de otras dos.

• Sintaxis: R;S , dadas R relación de tipo X ↔ Y y S de Y ↔ Z

x├→z ∈ R;S ⇔ ∃ y: Y • x ├→y∈ R ∧ y├→z ∈ S

• Transitividad. La relación R debe ser homogénea

Transitive[X] == {R: X ↔ X |∀ x,y,z:X • x ├→y∈ R ∧ y├→z ∈ R x├→z ∈ R}

• Relación de equivalencia Equivalence [X] = = Reflexive [X] ∩Symmetric [X] ∩Transitive[X]

• Clase de equivalencia. Sea una relación de equivalencia E sobre el conjunto X, para cada

elemento a la clase de equivalencia de a es el conjunto:{x: X • x ├→a ∈ E}

Observación

En la composición de R con S, es necesario que el conjunto de llegada de R sea igual al

conjunto de partida de S. Este requisito puede ser aligerado exigiendo solamente que el conjunto

de llegada de R esté contenido en el conjunto de partida de S.

Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o R es inverso

al orden en que se dan R y S.

Ejemplo

Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }

Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas por

R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } ,

S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }

Entonces:

SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }