4 UNIDAD

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NDICE

4.1 DEFINICIN DE ESPACIOS VECTORIALES......3 4.2 DEFINICIN DE SUBESPACIO VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES.64.3 COMBINACIN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL94.4 BASES Y DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.154.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO ENTERO Y SUS PROPIEDADES18 4.6 BASE OTORNORMAL, PROCESO DE OTORNORMALISACIN DE GRAM SHIMITT........................................................................................................................................28 4.7 PROYECTO DE LA UNIDAD V PROGRAMA QUE SUMA VECTORES...33

4.1 definicin de espacio vectorial

Enmatemticas, unespacio vectoriales unaestructura algebraicacreada a partir de unconjuntono vaco, unaoperacin interna(llamadasuma, definida para los elementos del conjunto) y unaoperacin externa(llamadaproducto, definida entre dicho conjunto y uncuerpo matemtico), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos inciales.A los elementos de un espacio vectorial se les llamavectoresy a los elementos del cuerpo,escalares.Notaciones: SeaVun espacio vectorial sobre un cuerpo K.

Los elementos: u, v, w, vse llaman vectores.

Los vectores se representan en negrita en los textos impresos, siendo esta la tendencia actual, si bien en bibliografa antigua o en escritos a mano, se suelen representar bajo una lnea continua, en textos de matemticas:

Si el texto es de fsica suelen representarse bajo una flecha:

Estos tipos de notaciones pueden verse al consultar bibliografa.

Los elementos:Se llaman escalares.Y se representan en letra cursiva.

Sea cual sea la forma de representar los vectores, en ningn caso, deben confundirse vectores y escalares, dada la diferencia entre estos dos conceptos, y las distintas operaciones que se realizan entre ellos.

Unespaciovectorialsobre uncuerpoK(como el cuerpo de losnmeros realeso losnmeros complejos) es unconjuntoVno vaco, dotado de dos operaciones:

Con la operacin interna tal que:1) tenga lapropiedad conmutativa, es deciru + v = v+ u, u, v V2) tenga lapropiedad asociativa, es deciru + (n + w) = (u + v) + w, u, v, w, V3) tengaelemento neutro0, es decir0 V: u + v = u, u V4) tenga elemento opuesto, es deciru V, u V: u+ (-- u) = 0 y la operacin producto por un escalar:

Operacin externa tal que:5) tenga la propiedad:a. (b .u) = (a . b) . u, a, b K, u V6) tenga elemento neutro 1:1 K: 1 .u = u,u VQue tenga lapropiedad distributiva:7) distributiva por la izquierda:a . (u + v) = a .u + a .v, a K, u, v V8) distributiva por la derecha:(a + b) .u = a . u + b .u, a, bK u V

ALGEBRA LINEALPROFESOR:M.C. JOSE LUIS RUIZ MALDONADOUNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES 4.2 DEFINICIN DE SUBESPACIO VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES NUMERO DE EQUIPO: 10ALUMNOS:JOSE LUIS TRUJILLO CORTES10510670ABRAHAM MOISES MONTES11510162SALON: M3M: 15:00-17:00 M: 15:00-16:00 V: 15:00-17:00SEGUNDO SEMESTREING. SISTEMAS COMPUTACIONALESTAPACHULA, CHIAPAS.

4.2 Definicin de subespacion vectorial y sus propiedades

Enlgebra lineal, unsubespacio vectoriales el subconjunto de unespacio vectorial, que debe cumplir ciertas caractersticas especficas.Sean (V, +, K, *) unespacio vectorialySun subconjunto deV.Ses subespacio vectorial deVsi (S, +, K, *) es espacio vectorial en s mismo, siendo+y*las mismas operaciones definidas enV. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos. (Las condiciones que tienen que cumplir el conjunto de vectores para ser base son 2: ser generadores, y ser Linealmente Independiente.)Condicin de existencia de subespacioEl criterio para la verificacin de queSsea subespacio deV, es que ambas operaciones ( la ley de composicin interna) entre elementos del conjuntoSy la ley de composicin externa (con escalares del cuerpoK) sean cerradas, es decir, den como resultado elementos que tambin pertenezcan aS. Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicacin para los vectores.Un espacio vectorial tambin llamado espacio maestral es el que denomina el falso y el verdadero.Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. SeaVun espacio vectorial, se defineScomo subespacio vectorialsi y solo si:1.Sno es un conjunto vaco.S = 2.Ses igual o est incluido enV.S V3. La suma es ley de composicin interna.

4. El producto es ley de composicin externa.

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.Observacin:Del cumplimiento de la condicin 4 puede deducirse que todos los subespacios deben contener al cero (comoSes un conjunto no vaco debe tener al menos un elemento. Por la propiedad 4, multiplicando escalarmente a este elemento por 0, obtenemos que el 0 deba estar enS). Propiedades:Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios deV, se definen las siguientes operaciones:Unin

En la gran mayora de los casos la unin de dos subespacios no es un subespacio deV, pues no se cumple con laley de composicin interna.Spertenece de forma segura la unin a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.Interseccin

La interseccin de dos subespacios es un subespacio deV.Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio deV.SumadirectaSi la interseccin entreSyWes el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".Es decir que siLo que quiere decir tambin que todo vector deV, se escribe de maneranicacomo la suma de un vector deSy otro deW.

Dimensin de subespacio Esta frmula resuelve que la dimensin de la suma de los subespaciosSyWser igual a la dimensin del subespacioSms la dimensin del subespacioWmenos la dimensin de la interseccin de ambos.Por ejemplo, siendodim(S) = 3ydim(W) = 2y teniendo como interseccin un subespacio de dimensin 1.Luego,dim(S+W) = 4.En la suma directaEn el caso particular de la suma directa, como.La frmula de Grassman resulta:.

ALGEBRA LINEALPROFESOR:M.C. JOSE LUIS RUIZ MALDONADOUNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES 4.3 COMBINACIN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL NUMERO DE EQUIPO: 10ALUMNOS:JOSE LUIS TRUJILLO CORTES10510670ABRAHAM MOISES MONTES11510162SALON: M3M: 15:00-17:00 M: 15:00-16:00 V: 15:00-17:00SEGUNDO SEMESTREING. SISTEMAS COMPUTACIONALESTAPACHULA, CHIAPAS.

4.3 Combinacin lineal. Dependencia e independencia lineal

Enlgebra lineal, un conjunto de vectores eslinealmenteindependientesi ninguno de ellos puede ser escrito con unacombinacin linealde los restantes. Por ejemplo, enR3, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, 1, 1), (1, 0, 1) y (3, 1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.Un conjunto no vacode vectores diferentes de un espacio vectorialVes linealmente dependiente (L.D) si existen escalaresno todos ceros tales que:

La negacin de dependencia lineal es la independencia lineal, es decir, un conjunto no vaciode vectores diferentes de un espacio vectorialVes linealmente independiente (L.I) si la nica solucin de la ecuacin vectorial

DEMOSTRACIN

Supongamos queSes un conjunto L.D.Entonces existen escalares(no todos cero) tal que

Como algn coeficiente es diferente de cero, supongamos queconjun entero entre 1 yn.

Como,

De donde se tiene queVjes C.L de los restantes vectores deS.

Recprocamente, supongamosVjes C.L de los restantes vectores del conjuntoSpara algn1 j n.

Vj = a1v1 + a2v2 + + aj-i vj-1 + aj+1 vj+1 + + anvn

0 = a1 v1 + a2 v2+ + aj-1 vj-1 1vj +aj+1 aj+1 + + anvncomo el cero es una C.L de los vectores deSdonde no todos los escalares son cero, pues el coeficiente devj, aj = --1 , podemos concluir que el conjuntoSes L.D.DefinicinSea v1, v2, , vnun conjunto de vectores. Decimos que sonlinealmente dependientessi existen nmerosa1,a2, an, no todos iguales a cero, tal que:

Ntese que el smbolo a la derecha delsigno igualno es cero, sino que simboliza alvector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales nmeros no existen, entonces los vectores sonlinealmente independientes.Utilizando conceptos deespacios vectorialespodemos redefinir la independencia lineal as:Un conjunto de vectoresde un espacio vectorial es linealmente independiente siEsta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre laspropiedadesde los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinacin lineal de los dems.2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo tambin lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinacin de los dems, escogiendo solamente unos cuantos, no podrn ser combinacin de los otros.3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente tambin lo es todo conjunto que lo contenga. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependientesi y solo sitiene algn vector que es combinacin lineal de los dems, si metemos este conjunto de vectores en otro ms grande, seguimos teniendo el vector que es combinacin lineal de otros, por tanto, el conjunto ms grande sigue siendo linealmente dependiente.Ejemplos:

1. Sea un subconjunto de . Determine siSes L.I o L.D.

Solucin.

Usando la regla de Cramer se tiene que

por tanto el sistema tiene solucin nica y como es homogneo. Lo que implica queSes L.I.

2. Seaun subconjunto de.

Como al menos uno de los escalares de la C.L es diferente de cero, entonces el conjuntoSes L.D.

3. Determine si el conjunto de vectores dado es L.I o L.D en.

a. Sea y consideremos la ecuacin vectorial

Los polinomios son iguales si sus respectivos coeficientes son iguales, de modo que

este sistema es homogneo, entonces es consistente y como tiene ms incgnitas que ecuaciones el sistema tiene soluciones no triviales, por tantoSes L.D.b.Seay consideremos la ecuacin

Vectorial

De donde se tiene que

este sistema es equivalente al sistema

y por la regla de Cramer el sistema tiene solucin nica y como es homogneo, la solucin es la trivial, entonces el conjuntoSes L.I.

4. Determine si el vectorest en el espacio generado por los vectoresSolucin.SiVest en el espacio generado pory, entoncespara algunos escalaresy.

Este sistema es inconsistente ya quey,luego el vectorno est en el espacio generado por los vectores y .5. Sea un subconjunto de vectores de . Muestre que uno de los vectores deSes C.L de los restantes vectores.Solucin.Sea

Este sistema tiene infinitas soluciones dadas por.Al hacert=1 se obtiene

Por consiguientepuede escribirse comoesto implica queSes L.D.

6. a). Sea,Ses L.D ya que .

b. SeaSes L.D.

Puesto que c. Sea un subconjunto de el espacio vectorial, donde yestn determinadas de la siguiente forma Determine siSes L.I o L.D.Solucin.Como , entoncesSes L.D.OBSERVACINEn general un conjunto de dos vectores libres es L.D si y slo si los vectores son paralelos o alguno de ellos es el vector nulo.

ALGEBRA LINEALPROFESOR:M.C. JOSE LUIS RUIZ MALDONADOUNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES 4.4 BASES Y DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE NUMERO DE EQUIPO: 10ALUMNOS:JOSE LUIS TRUJILLO CORTES10510670ABRAHAM MOISES MONTES11510162SALON: M3M: 15:00-17:00 M: 15:00-16:00 V: 15:00-17:00SEGUNDO SEMESTREING. SISTEMAS COMPUTACIONALESTAPACHULA, CHIAPAS.

4.4 Base y dimensin de un espacio vectorial cambio de base

Base= tienes vectores con distinta dimensin forman una base, porque cualquier vector se puede poner como combinacin lineal entre ellos=(a,b,c)Dimensin: Si el espacio vectorial v tienen una base con un numero finito de elementos. entonces la dimensin de v es el numero de vectores en todas las bases y v se denominan espacio vectorial de dimensin finita, de otra manera av se denomina de denominacin infinita. se= {0} se dice que v tiene dimensin=0

Ejercicio Para que valores de a los vectores =(1,1,1) (1,0,1) y =(1,1,0)

forma como base=(a2+1+1)-(a+1+a)=a2-2a+10(a-1)2para a forma una base

4.5 Espacio vectorial con producto enteros y sus propiedades

4.6 Bloque 11.-Determina si los siguientes pares de vectores son ortogonales(perpendiculares) o paralelos

a)solucin2+2=2{(a)2+(-1)2}+{(3)2+(2)2}={(2-3)2+(-1-2)}{4+1}+{9+4}=(-1)2+(-3)25+13=1+91810paralelos

b) 2i-j 3i+5j

Plano

u=(2,1)y v(3,5)u.v=(2x3)+(-1x5)=u.v=6-5=1

ALGEBRA LINEALPROFESOR:M.C. JOSE LUIS RUIZ MALDONADOUNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES 4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO ENTERO Y SUS PROPIEDADES NUMERO DE EQUIPO: 10ALUMNOS:JOSE LUIS TRUJILLO CORTES10510670ABRAHAM MOISES MONTES11510162SALON: M3M: 15:00-17:00 M: 15:00-16:00 V: 15:00-17:00SEGUNDO SEMESTREING. SISTEMAS COMPUTACIONALESTAPACHULA, CHIAPAS.

Enmatemticas, unespacio vectoriales unaestructura algebraicacreada a partir de unconjuntono vaco, unaoperacin interna(llamadasuma, definida para los elementos del conjunto) y unaoperacin externa(llamadaproducto, definida entre dicho conjunto y uncuerpo matemtico), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos inciales.A los elementos de un espacio vectorial se les llamavectoresy a los elementos del cuerpo,escalares.Notaciones Sea Vun espacio vectorial sobre un cuerpoK.Los elementos: Se llaman vectores.Los vectores se representan en negrita en los textos impresos, siendo esta la tendencia actual, si bien en bibliografa antigua o en escritos a mano, se suelen representar bajo una lnea continua, en textos de matemticas: Si el texto es de fsica suelen representarse bajo una flecha: Estos tipos de notaciones pueden verse al consultar bibliografa.Los elementos:Se llaman escalares.Y se representan en letra cursiva.Sea cual sea la forma de representar los vectores, en ningn caso, deben confundirse vectores y escalares, dada la diferencia entre estos dos conceptos, y las distintas operaciones que se realizan entre ellos.

ObservacinPara demostrar que un conjunto Ves un espacio vectorial: Si supisemos que Ves ungrupo conmutativoo abeliano respecto la suma ya tendramos probados los apartados1, 2, 3y4. Si supisemos que el producto es unaaccinpor la izquierda de V tendramos probados los apartados5y6. Si no se dice lo contrario:

.

PropiedadesUnicidad del vector neutro de la propiedad3:Supongamos que el neutro no es nico, es decir, seany dos vectores neutros, entonces: Unicidad del vector opuesto de la propiedad4:supongamos que el opuesto no es nico, es decir, sean y dos vectores opuestos deU, entonces, como el neutro es nico: Unicidad del elemento 1en el cuerpoK:supongamos que 1 no es nico, es decir, seany dos unidades, entonces: Unicidad del elemento inverso en el cuerpoK:supongamos que el inversoa1de a, no es nico, es decir, sean ydos opuestos de, entonces, como el neutro es nico: Producto de un escalar por el vector neutro: Producto del escalar 0 por un vector: Si. Si a=0 es cierto. Sientonces: Signos equivalentes:.

Notacin.

Primer ejemplo con demostracin al detalleQueremos ver quees un espacio vectorial sobreVeamos pues quejuega el papel de Vy el de K:Los elementos: Son, de forma genrica: es decir, pares de nmeros reales. Por claridad conservaremos la denominacin del vector, en este casou, en sus coordenadas, aadiendo el subndicexoypara denominar su componente en el ejexoyrespectivamenteEnVdefino la operacin suma: Donde: Y la suma deuyvseria: Donde: Esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.La operacin interna suma tiene las propiedades:1) La propiedad conmutativa, es decir: 2) La propiedad asociativa: 3) tiene elemento neutro: 4) tenga elemento opuesto: La operacin producto por un escalar: El producto deayuser: Donde: Esto implica que la multiplicacin de vector por escalar es externa y an as est bien definida.5) tenga la propiedad: Esto es:

6) tenga elemento neutro 1: Que resulta: Que tiene la propiedad distributiva:7) distributiva por la izquierda: En este caso tenemos: 8) distributiva por la derecha: Que en este caso tenemos: Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos de espacios vectorialesLos cuerposTodo cuerpo es un espacio vectorial sobre l mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo. es un espacio vectorial de dimensin uno sobre.Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre susu cuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo. es un espacio vectorial de dimensin 2 sobre. es un espacio vectorial de dimensin infinita sobre.

Sucesiones sobre un cuerpo KElespacio vectorial ms conocidonotado como , donden>0 es unentero, tiene como elementosn-tuplas, es decir,sucesionesfinitas de Kde longitudncon las operaciones:

Las sucesiones infinitas deKson espacios vectoriales con las operaciones:..

El espacio de lasmatrices,, sobreK, con las operaciones:

Tambin son espacios vectoriales cualquier agrupacin de elementos de Ken las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices n m, as por ejemplo tenemos las cajas sobreKque aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una funcin genrica.

Espacios de aplicaciones sobre un cuerpoEl conjunto de las aplicaciones,Kun cuerpo y Mun conjunto, tambin forman espacios vectoriales mediante la suma y la multiplicacin habitual: (f+g)(w): =f(w) +g(w),(af)(w): =a(f)(w).

Los polinomios

Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2.

Elespacio vectorialK[x]formado porfunciones poli nmicas, vemoslo:Expresin general: , donde loscoeficientes , considrese.

.Lasseries de potenciasson similares, salvo que se permiten infinitos trminos distintos de cero.Funciones trigonomtricasLas funciones trigonomtricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones:

Expresin general:

.

Los sistemas de ecuaciones lineales homogneas

Artculos principales:ecuacin lineal,ecuacin diferencial linealySistemas de ecuaciones lineales

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables o equivalentementesimplificado comoAx=0Un sistema de ecuaciones lineales homogneas( ecuaciones lineales en las que x=0es siempre una solucin, es decir, posee soluciones que forman un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones:SiSi.Veamos que las ecuaciones en s, filas de la matriz Anotadas como una matriz, es decir, , son tambin un espacio vectorial, veamos sus dos operaciones:Si Si

ALGEBRA LINEALPROFESOR:M.C. JOSE LUIS RUIZ MALDONADOUNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES 4.6 BASE OTORNORMAL, PROCESO DE OTORNORMALISACIN DE GRAM SHIMITT NUMERO DE EQUIPO: 10ALUMNOS:JOSE LUIS TRUJILLO CORTES10510670ABRAHAM MOISES MONTES11510162SALON: M3M: 15:00-17:00 M: 15:00-16:00 V: 15:00-17:00SEGUNDO SEMESTREING. SISTEMAS COMPUTACIONALESTAPACHULA, CHIAPAS.

4.6 BASE OTORNORMAL, PROCESO DE OTORNORMALISACIN DE GRAM SHIMITTEn lgebra lineal, una baseortonormal de un espacio prehilbertianoV (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de HilbertH, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una baseortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.As, una baseortonormal es una baseortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensin finita como de dimensin infinita. Para espacios de dimensin finita, la condicin de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en lgebra lineal.Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinacin lineal de un nmero finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensin infinita, esta distincin cobra importancia: la definicin dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendr una base ortonormal a no ser que sea un espacio de Hilbert.

EJEMPLO:El conjunto (la base cannica) forma una base ortonormal de R3.Demostracin: Mediante un clculo directo se verifica que e1, e2 = e1, e3 = e2, e3 = 0 y que ||e1|| = ||e2|| = ||e3|| = 1. As, {e1, e2, e3} es un conjunto ortonormal. Para un (x,y,z) cualquiera en R3 tenemos

entonces, {e1,e2,e3} reconstruye R3 y por lo tanto tiene que ser una base. Tambin puede demostrarse que la base estndar rotada alrededor de un eje que pasa por el origen o reflejada en un plano que pasa por el origen forma tambin una base ortonormal de R3.El conjunto {fn:nZ} con fn(x) = exp(2inx) forma una base ortogonal del espacio complejo L2([0,1]). Este es un resultado fundamental para el estudio de series de Fourier.El conjunto {eb:bB} con eb(c) = 1 si b=c y 0 en caso contrario forma una base ortonormal de l2(B).

Cambio de baseSea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) ser igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) ser n1v1+ n2v2 + n3v3 + ...

Supongamos que u1, u2, se representan en la base B2 de esta forma:u1 = a11v1 + a21v2 + an1vnu2 = a12v1 + a22v2 + an2vnun = a1nv1 + a2nv2 + annvn

Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la frmula original nos queda:x = m1 (a11v1 + a21v2 + ... + an1vn ) + m2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn)

Reordenando queda:x = (m1a11 + m2a12 + mna1n)v1 + (m1an1 + m2an2 + mnann) vnComparando con la frmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3 + deducimos que:n1 = m1a11 + m2a12 + mna1nn2 = m1a21 + m2a22 + mna2n

nn = m1ann + m2an2 + mnann

Esto se puede expresar de forma matricial:n1 a11 + a12 + a1n m1n2 = a21 + a22 + a2n m2

nn a2n + an2 + ann mn

Llamando (A) a la matriz de coeficientes, X' al vector en la base B2 y X al vector en la base B1 nos queda:X' = AXdespejando X nos queda:X = A-1X'

Proceso de ortonormalizacin Gram-Schmidt. El procesodeortogonalizacindeGramSchmidt de lgebra lineal es un proceso utilizado en matemtica y anlisis numrico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, ms comnmente el espacio eucldeoRn.Ortogonalizacin en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, , uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1, , vk.

Este proceso lleva el nombre en honor a JorgenPedersen Gram y Erhard Schmidt.Definimos el operador proyeccin con

Proju v=u = u =

donde los corchetes angulares representan el producto interior, proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u.Antes de ver el proceso, debemos comprender el porqu de la definicin de proyeccin. Si recordamos la definicin de producto escalar, tenemos para el caso del numerador, mdulo de u por mdulo de v por el coseno del ngulo que forman. En el denominador tenemos mdulo de u por mdulo de u, ya que el coseno sera 1. Si separamos los dos mdulos de u en el denominador, vemos que a la izquierda tenemos nicamente "mdulo de v * cos (ngulo que forman)", lo que nos da claramente el mdulo del vector proyeccin. Teniendo el mdulo del vector proyeccin lo nico que debemos hacer es asignarle una direccin, cosa que hacemos multiplicndolo por u/mdulo(u), lo que es el vector de mdulo 1 con direccin u (el vector unitario).El proceso de GramSchmidt entonces funciona como sigue:

Los dos primeros pasos del proceso de Gram-Schmidt

ALGEBRA LINEALPROFESOR:M.C. JOSE LUIS RUIZ MALDONADOUNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES 4.7 PROYECTO DE LA UNIDAD V PROGRAMA QUE SUMA VECTORES NUMERO DE EQUIPO: 10ALUMNOS:JOSE LUIS TRUJILLO CORTES10510670ABRAHAM MOISES MONTES11510162SALON: M3M: 15:00-17:00 M: 15:00-16:00 V: 15:00-17:00SEGUNDO SEMESTREING. SISTEMAS COMPUTACIONALESTAPACHULA, CHIAPAS.

CODIGO FUENTE DEL PROYECTO

import javax.swing.JOptionPane;public class vectores{ public static void main(String arg[]) { vectores a=new vectores(); double pi=3.1416; int w,e,f,g,t; float suma=0,sum=0,r=0,re=0,res=0,resul=0,ang=0,angu=0,angulo=0,an=0; double b,c,h,u[]; u=new double[200]; do { t=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog(null,"cuantos vectores tiene")); for(w=1;w