SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - Espacio de Fernando · Regla de CRAMER: Para poder aplicar la...

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”


DEFINICIONES, TIPOS DE SISTEMAS Y DISTINTAS FORMAS DE EXPRESARLOS

1.- DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definición: se llama sistema de ecuaciones lineales al conjunto de expresiones

algebraicas formado por m ecuaciones con n incógnitas:

a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn= b1

a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn= b2

…………………..…

am1x1+am2x2+am3x3+...+amnxn= bm donde:

aij coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n) bi términos independientes, (i = 1,2,...,m) xi incógnitas, (i = 1,2,...,n).

m, n ℕ ; m > n, ó, m = n, ó, m < n Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas. Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t,...

Solución de una ecuación lineal: Cualquier conjunto de n números reales que verifica la

ecuación se denomina solución de la ecuación.

Solución de un sistema: Es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

2.-SISTEMAS DE ECUACIONES EQUIVALENTES

Definición: Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma

solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra. Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones:

1º) Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta

una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º) Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema

por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3º) Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo

sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4º) Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar

las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por

números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º) Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las

incógnitas, resulta otro sistema equivalente.




3.-CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1.-Según el número de sus soluciones:

a) Compatible: Tiene solución.

a.1) Compatible determinado (S.CD): Solución única.

a.2) Compatible indeterminado (S.CI): Infinitas soluciones.

b) Incompatible (S.I): No tiene solución.

2.-Según el valor de los términos independientes:

a) Homogéneos: todos los términos independientes son nulos.

b) No Homogéneos: algún término independiente es no nulo.

4.-EXPRESIÓN DE UN SISTEMA EN FORMA MATRICIAL:

Un sistema de ecuaciones lineales tiene la forma de expresión matricial:

(

𝒂𝟏𝟏 ⋯ 𝒂𝟏𝒏

⋮ ⋱ ⋮𝒂𝒎𝟏 ⋯ 𝒂𝒎𝒏

) · (

𝒙𝟏

…𝒙𝒏

)=(𝒃𝟏

…𝒃𝒎

) → 𝑨 · 𝑿 = 𝑩

Donde:

𝑨 = (

𝒂𝟏𝟏 … 𝒂𝟏𝒏

… … …𝒂𝒎𝟏 … 𝒂𝒎𝒏

) 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

𝑨∗ = (𝑨|𝑩) = (

𝒂𝟏𝟏 … 𝒂𝟏𝒏

… … …𝒂𝒎𝟏 … 𝒂𝒎𝒏

|||

𝒃𝟏

…𝒃𝒎

) 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒂𝒎𝒑𝒍𝒊𝒂𝒅𝒂

𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: {

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟐

𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝟏 → (

𝟑 𝟐 𝟏𝟓 𝟑 𝟒𝟏 𝟏 −𝟏

) · (𝒙𝒚𝒛

) = (𝟏𝟐𝟏

) ;

𝑨 = (𝟑 𝟐 𝟏𝟓 𝟑 𝟒𝟏 𝟏 −𝟏

) ; 𝑨∗ = (𝟑 𝟐 𝟏𝟓 𝟑 𝟒𝟏 𝟏 −𝟏

|||

𝟏𝟐𝟏

)




5.-RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES APLICANDO RANGOS Teorema de ROUCHÈ-FRÖBENIUS: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible

R(A)=R(A*)=r

Según la relación entre el rango y el nº de incógnitas (n) un sistema de ecuaciones lineales

será:

a) Si R(A)=R(A*)=r = n el S.E. es Compatible Determinado (solución única)

b) Si R(A)=R(A*)=r n el S.E. es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)

(n-r=parámetros libres)

c) Si R(A)≠R(A*) el S.E. es Incompatible (no tiene solución)

Los S.E. Homogéneos son siempre compatibles (tienen solución), es decir siempre

R(A)=R(A*)=r:

a) Si R(A)=R(A*)=r = n el S.E. es Compatible Determinado (solución única trivial:

x=y=z=…=0)

b) Si R(A)=R(A*)=r n el S.E. es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones).

Resolución de S.E. COMPATIBLES: Para resolver estos tipos de sistemas podemos aplicar. a) La Regla de CRAMER o b) El Método de GAUSS.

Regla de CRAMER: Para poder aplicar la Regla de CRAMER a un sistema de ecuaciones lineales se ha de cumplir las siguientes condiciones:

a) Mismo nº de ecuaciones que de incógnitas m=n. b) Sea Compatible Determinado.

Para calcular el valor de cada incógnita, sustituimos la columna del determinante de la matriz de coeficientes correspondiente a la incógnita por los valores de los términos independientes (las otras columnas quedan igual) y lo dividimos por el valor del determinante de la matriz de coeficientes |A|.

𝒙𝟏 =

|𝒃𝟏 … 𝒂𝟏𝒏

… … …𝒃𝒎 … 𝒂𝒎𝒏

|

|𝑨| ; … ; 𝒙𝒏 =

|𝒂𝟏𝟏 … 𝒃𝟏

… … …𝒂𝒎𝟏 … 𝒃𝒎

|

|𝑨|

Método de GAUSS: El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones

en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Sistemas de ecuaciones escalonados: Son aquellos en que cada ecuación tiene una

incógnita menos que la anterior.

Ejemplo1: x + y + z = 3

y + 2 z = −1

z = −1

Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z = −1. Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1. Y sustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x = 3. Ejemplo 2: También es un sistema escalonado: x + y + z = 4 y + z = 2 Como en este caso tenemos más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por ejemplo la z) y la pasaremos al segundo miembro.

x + y = 4 – z




y = 2 − z

Consideraremos z = λ, siendo λ un parámetro que tomara cualquier valor real. x + y = 4 – λ

y = 2 − λ Las soluciones son: x = 2; y = 2 – λ; z = λ

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta “imaginaria”).

(

𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛

|𝑏1

⋮𝑏𝑛

)

A (matriz del sistema)

A’ (matriz ampliada)

EJEMPLOS

3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 15𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 2

𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1}

; y=4z+2=6; x=1-y+z=-4 Sistema Compatible Determinado; Sol: x=-4, y=6, z=1




6. DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es

única.

Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es

determinado o indeterminado.

6.1. DISCUSIÓN DE SISTEMAS POR EL MÉTODO DE GAUSS

Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver

del sistema para ese valor de m.

;

:

;




6.2. DISCUSIÓN DE SISTEMAS UTILIZANDO DETERMINANTES Y EL TEOREMA ROUCHÉ-FRÖBENIUS.

a) Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

;

b) Hallamos el rango de la matriz ampliada.

;

c) Aplicamos el teorema de Rouché:

d) Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer o

por GAUSS

7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON SISTEMAS DE ECUACIONES Pasos a seguir:

a) Leer y comprender el enunciado.

b) Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, diagramas de árbol...

c) Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables.

d) Plantear y resolver el sistema.

e) Comprobar la solución.

EJEMPLO: El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 €

(sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza

conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la

cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de

592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

x = Importe en € de los refrescos. x=120 €

y = Importe en € de la cerveza. y=160 €

z = Importe en € del vino. z=220 €




;

DISCUSIÓN DE SISTEMAS:

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta

es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso de ser

compatible, si es determinado o indeterminado.

Sistemas I. Ejercicios y problemas

1. Discutir los siguientes sistemas y resolverlos en caso de que proceda:

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3. Se considera el sistema:

a) Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones.

b) Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema que

resulte sea equivalente al anterior.

4. Clasificar y resolver el sistema:

5. Discutir el sistema según los valores del parámetro a.

6. Estudiar la compatibilidad del sistema según los valores de los parámetros a y b.

Resolverlo en los casos en que sea compatible.




7. Determinar para qué valores de k, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.

8. Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)

Mina A 1 2 3

Mina B 2 5 7

Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de

cobre y 16 de hierro?

9. La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que

hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del

padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen

tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres

personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?

10. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.

Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.

Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de

cada especie se venden?

SOLUCIONES

1. Discutir los siguientes sistemas y resolverlos en caso de que proceda:

1

2




2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3. Se considera el sistema:

1. Resuélvelo y clasificalo en función del número de soluciones.

2. Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema que

resulte sea equivalente al anterior.

Se puede eliminar la 3ª ecuación, ya que es combinación lineal de las otras dos ecuaciones.

4. Clasificar y resolver el sistema:




5. Discutir el sistema según los valores del parámetro a.

6. Estudiar la compatibilidad del sistema según los valores de los parámetros a y b.

;

7. Determinar para qué valores de k, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.




8. Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)

Mina A 1 2 3

Mina B 2 5 7

Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de

cobre y 16 de hierro?

x = nº de toneladas de la mina A. x=200 t

y = nº de toneladas de la mina B. y=100 t

z = nº de toneladas de la mina C. z=300 t

9. La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras

que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos),

la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus

hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos,

la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en

el momento de nacer sus hijos?

x = Edad actual del padre.

y = Edad actual del hijo mayor.

z = Edad actual del hijo menor.

Relación actual: x = 2(y + z)

Hace y - z años: x - (y - z) = 3[y - (y - z) + z - (y - z)]

Dentro de y + z: x + (y + z) + y + (y + z) + z + (y + z) = 150

;

Al nacer los hijos, el padre tenía 35 y 40 años, respectivamente.




10. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. Cada volumen de

trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €. Si se vende

100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de

cada especie se venden?

x = Volumen de trigo.

y = Volumen de cebada.

z = Volumen de mijo.

Considerando que las tres variables son números naturales, y que su suma es 100,

obtenemos las siguientes soluciones:

S1 S2 S3 S4 S5

x 1 4 7 10 13

y 31 24 17 10 3

z 68 72 76 80 84

Sistemas. Ejercicios

1 Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

1. En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un

sistema equivalente.

2. Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.

3. Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

4. De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente) eliminando

ecuaciones.

2Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera

ecuación?

4 Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así, resolver

del sistema para ese valor de m.

5Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.

El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.

El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.




Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar

un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

1. Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener

un sistema equivalente. Si.

Se puede eliminar la 3ª ecuación, ya que es combinación lineal de las otras dos ecuaciones.

b) Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo. No.

Los sistemas homogéneos, por lo general, sólo admiten la solución trivial: x = 0; y = 0; z =

0...

Mientras que los sistemas compatibles determinados admiten infinitas soluciones.

c) Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales. No.

d) De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente)

eliminando ecuaciones. Si.




2. Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la tercera

ecuación?

Sí, podemos transformarlo en un sistema compatible indeterminado, con

sólo hacer que la 3ª ecuación sea la suma de la 1ª y 2ª.

4. Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es

así, resolver del sistema para ese valor de m.




5. Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.

El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.

El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar

un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

x = Peso del 1er lingote; y = Peso del 2º lingote; z = Peso del 3er lingote.

En el 1er lingote, la ley del oro es: 20/90 = 2/9

En el 2º lingote, la ley del oro es: 30/120 = 1/4

En el 3 er lingote, la ley del oro es: 40/180 = 2/9

La ecuación para el oro es:

En el 1er lingote, la ley de la plata es: 30/90 = 1/3

En el 2º lingote, la ley de la plata es: 40/120 = 1/3

En el 3 er lingote, la ley de la plata es: 50/180 = 5/18

La ecuación para el plata es:

En el 1er lingote, la ley del cobre es: 40/90 = 4/9

En el 2ºlingote, la ley del cobre es: 50/120 = 5/12

En el 3 er lingote, la ley del cobre es: 90/180 = 1/2

La ecuación para el cobre es:

x = 45 y = 48 z = 54

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