Bloque VI Resuelves ecuaciones lineales I

DESEMPEÑOS Identifica lo que es una ecuación lineal en una variable y una función lineal,

así como la relación entre ellas. Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en

una variable. Reconoce a y=mx + b como una ecuación de dos variables como

la forma de una función lineal. Aplica diversas técnicas para graficar una función lineal.

Modela situaciones para escribirlas como una ecuación lineal y/o una función lineal. Redacta

y resuelve problemas relativos a situaciones que requieran el uso de ecuaciones lineales en

una variable y/o funciones lineales. Describe el comportamiento de las variables y/o

resultados al solucionar problemas de ecuaciones y/o funciones lineales; tanto algebraica

como gráfica. Aplica diferentes técnicas para construir la gráfica de una función lineal.

Describe el comportamiento de la gráfica de una función lineal. Representa relaciones

numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones

Bienvenido al bloque VI, en él aplicarás diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales

en una variable.

Formularás y solucionarás problemas, con técnicas algebraicas, en situaciones que se

representan mediante ecuaciones lineales.

Utilizarás los parámetros m y b para determinar el comportamiento de la gráfica de una

función lineal.

Transitarás de ecuaciones a funciones lineales, y viceversa, al modelar y solucionar diversas

situaciones.

Explicarás cómo será la gráfica de la función lineal, a partir de los parámetros m y b.

Probablemente ya has escuchado hablar sobre las ecuaciones en cursos anteriores, de

hecho si nos remontamos a tu paso por la secundaria, en algún momento las estudiaste.

Una ecuación lineal es “una igualdad que se verifica para un determinado valor de la variable

o variables desconocidas que reciben el nombre de incógnitas”

De manera más sencilla una ecuación es: una expresión que indica que dos cantidades son

iguales.

Existen distintos tipos de ecuaciones que dependen del número de variables o del grado de

éstas; en este bloque VI estudiarás las ecuaciones de una variable de primer grado.

Ecuaciones lineales de primer grado

Las ecuaciones lineales de primer grado son del t ipo ax+ b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplif icar adopten esa expresión.

Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes pasos :

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita. Ejemplos:

1)

2)

3)

4)

5)

Otra solución:

(4)

3(2x + 4 ) = 4x + 76

6 x + 12 = 4 x + 76

6 x – 4 x = 76 – 12

2x = 64

x=64

2= 32

Ejercicios 6) 1

2𝑥 +

3

5𝑥 − 𝑥 = −5

7) 7

6𝑥 − 𝑥 =

3

4

8) 5

2𝑥 −

1

2 𝑥 + 2 = 7

9) 5

3𝑥 − 20 = −5

GRAFICA DE UNA FUNCION LINEAL y=mx + b

o La ordenada al origen "b" es el valor donde la recta corta al eje “y”

o El valor de la pendiente determina que una función afín sea creciente,

constante o decreciente.

Ejemplo: y = 3x – 2 ► m = 3 y b = - 2

1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = - 2

2do Nos corremos una unidad a la derecha

3ro, subimos 3 unidades porque la pendientes positiva (+)

4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada

al origen y el punto al que nos llevo la pendiente

Ejemplo: y = - 2x + 4 ► m = - 2 y b = 4

1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = 4

2do Nos corremos una unidad a la derecha

3ro, como la pendiente es (-) bajamos 2 unidades

4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada al origen y el punto al que nos llevo la pendiente

Dadas las siguientes ecuaciones de recta determinar la pendiente “m” y la ordenada al

origen “b” y luego graficar en un mismo sistema.

a) y1 = - 2x + 3 m = b = e) y3 = 2x m = b =

y2 = 3 x - 2 m = b= y4 = - 1 m = b =

b) y1 = - x + 4 m = b = f) y3 = 3x m = b =

y2 = - 2 m = b = y4 = 2x - 1 m = b =

c) y1 = x + 1 m = b = g) y3 = 3 m = b =

y2 = - 2x m = b = y4 = - 3x - 1 m = b =

d) y1 = 4 m = b= h) y3 = x m = b =

y2 = x - 2 m= b= y4 = - 4x - 5 m = b =

PROBLEMAS QUE SE SOLUCIONAN CON UNA ECUACION LINEAL

1.- Un papa y su hijo tienen juntos 48 años. El hijo es 28 años mas chico que el papa

¿Cuáles son las edades de ambos?

x= edad del padre edad de papa + edad de hijo = 48

x-28= edad del hijo x + x-28) =48

x + x - 28 =48

2x – 28 =48

2x = 48 + 28

2x = 76

x=76/2 =38 edad del padre

x-28 = 38 – 28 =10 edad del hijo

2.- Hallar tres números enteros consecutivos, cuya suma es 105.

1er numero = x 34 x+ (x+1) + (x+2) = 105

2º numero = x+1 34+1=35 x + x + 1 + x + 2 =105

3er numero =x+2 34+2=36 3x + 3 = 105

105 3x= 105 – 3

3x =102

x = 102 / 3 = 34

3.- anexar dos problemas más (voluntario- si se anexan, tienen que ser a computadora)

En caso de NO anexarse, eliminar los renglones con cuadro amarillo.

Bloque VII Resuelves ecuaciones lineales II

DESEMPEÑOS Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas.

Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones con dos incógnitas mediante los siguientes métodos:

Numérico: Determinantes. Algebraico: Eliminación por igualación, reducción (suma y resta) y sustitución.

Gráficos. Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con dos

incógnitas. Identifica gráficamente s un sistema de ecuaciones simultaneas tiene una,

ninguna o infinitas soluciones. Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos. Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas

para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.

En el bloque VII resolverás sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas utilizando métodos

numéricos, analíticos y gráficos. Expresarás y solucionarás situaciones diversas utilizando sistemas de

2x 2.

Resolverás sistemas de ecuaciones 2x2 empleando métodos de reducción algebraica y numérica.

Construirás ideas y argumentos relativos a la solución y aplicación de sistemas de ecuaciones.

Es frecuente que al resolver un problema práctico donde en el modelo matemático aparezca una ecuación de

primer grado, se requiera obtener una única solución, la cual, obviamente no puede determinarse con sólo una

ecuación; es decir se requiere de dos o más ecuaciones, las cuales en su conjunto constituyen lo que se

denomina Sistema de Ecuaciones Lineales.

En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:

Podemos diferenciar dos tipos de métodos de resolución de sistemas de ecuaciones, los

básicos, basados en operaciones algebraicas encaminados a despejar el valor de cada una

de las incógnitas, y los avanzados, basados en propiedades de los sistemas que determinan

los distintos valores de las incógnitas que cumplen las ecuaciones del sistema.

Dentro de los métodos básicos, están el de reducción, igualación y sustitución que

mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema. Si el

sistema fuera incompatible o compatible indeterminado los métodos anteriores no conducen

a una solución del sistema.

Entre los métodos avanzados están Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-Jordan, y

mediante la Matriz invertible, entre otros; estos métodos son más sofisticados que los

básicos y son necesarios conocimientos de Álgebra lineal en ocasiones elevados, y

destinados a la resolución de sistemas de gran dimensión con gran número de ecuaciones

que dan lugar, normalmente, al empleo de ordenadores para realizar las operaciones

necesarias.

Aquí veremos la Regla de Cramer en su forma para dos ecuaciones con dos incógnitas,

como complemento a las formas básicas de resolución.

Método de reducción

El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores

necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos

cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene

los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se

resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye

su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.

Tenemos como ejemplo el sistema:

En este caso la x, ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de

signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos

ecuaciones directamente:

como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:

despejando la y, tenemos:

que haciendo la operación da:

Para calcular el valor de x, sustituimos el valor de y en una de las

ecuaciones, por ejemplo la primera:

Despejando x, tenemos:

que realizando la operación da como resultado:

el resultado del sistema es el valor de x e y que satisface las

dos ecuaciones simultáneamente, que como ya sabíamos es:

y

En este caso era muy fácil dado que la x ya tenía el

mismo coeficiente cambiado de signo en una y otra

ecuación. Podemos resolver el mismo sistema, pero

esta vez eliminando la y:

Vemos el coeficiente de la y de la primera ecuación es 1

y el de la segunda, 2; si multiplicamos la primera ecuación por 2, y la segunda la

cambiamos de signo, tendremos:

con lo que tenemos que la y tiene el mismo coeficiente

en las dos ecuaciones cambiado de signo. Sumando las dos ecuaciones:

así tenemos una ecuación con una incógnita:

despejando la x:

el valor de x que obtenemos es:

para calcular y sustituimos el valor obtenido de x en una de

las ecuaciones, la primera de ellas por ejemplo:

que despejando la y tendremos:

con lo que tenemos:

Método de igualación

El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste

en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta

incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos

expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad.

Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones

iniciales y calculamos la segunda. Aprovechando el mismo ejemplo anterior, veamos cómo se

resuelve por igualación:

despejamos en las dos ecuaciones una de las incógnitas, por ejemplo la x:

el valor de x ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por lo tanto tenemos:

Pasando todos los términos con y a un miembro de la ecuación, y

los términos independientes al otro:

Operando tenemos:

Con lo que tenemos el valor de y. Sustituyendo este valor en la primera

ecuación y despejada la x, tenemos que si:

Resulta que x vale:

la solución del sistema es:

Ejemplo: resolver el sistema por cramer o determinantes:

Calculamos primero la x:

y ahora calculamos la y:

Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:

SOLUCION A PROBLEMAS

1) La resolución de un sistema de ecuaciones no es una tarea en sí misma, sino que forma parte

de la resolución de un problema, teórico o práctico. Veamos cómo, partiendo de un problema

expresado de modo textual, podemos transcribirlo a ecuaciones y luego resolverlo.

El problema es: En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas,

¿cuántos conejos y patos hay?

Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de

ecuaciones, por lo que tenemos que determinar:

1. Cuáles son las incógnitas.

2. Qué relación hay entre ellas.

En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número

de patos. Llamaremos x al número de conejos e y al número de patos:

Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el número de conejos

por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:

Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número

de conejos por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar

52:

La cuestión es: qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones al mismo tiempo; esto es, las

dos ecuaciones forman un sistema y el valor de la x y de la y es la solución de un sistema de dos

ecuaciones:

Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, primero veremos qué clase

de sistema es, y si admite solución o no, podemos ver que:

Luego el sistema es compatible determina, por lo que tendrá una única solución y podemos

solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el de reducción.

Todos los coeficientes de la segunda ecuación son pares y por tanto divisibles por dos:

Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por -1), tendremos:

sumamos las dos ecuaciones:

Con lo que tenemos que x= 8. Sustituyendo este valor en

la primera ecuación, tenemos:

con lo que ya tenemos la solución del problema:

. , .

Problemas resueltos

2) Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números

son?

x= primer número

y= segundo número

Los número suman 25: x + y = 25

El doble de uno de los números es 14: 2x = 14

Tenemos el sistema

. . Aplicamos substitución

Por tanto, los números son 7 y 18.

3) El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué

números son?

x= primer número

y= segundo número

El doble de la suma de los números es 32: 2(x + y) = 32

La diferencia de los números es 0: x - y = 0

Tenemos el sistema

Aplicamos reducción

Por tanto, los números son 8 y 8.

4) La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro.

¿Qué números son?

x= primer número

y= segundo número

La suma de los números es 12: x + y = 12

La mitad del primer número es el doble del segundo: x/2 = 2y

Tenemos el sistema

Aplicamos substitución

Por tanto, los números son 18/5 y 12/5.

5) Tenemos dos números cuya suma es 0 y que si a uno de ellos le sumamos

123 obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?

x= primer número

y= segundo número

La suma de los números es 0: x + y = 0

Si al primero le sumamos 123 obtenemos el doble del segundo + 123 = 2y

Tenemos el sistema

Aplicamos substitución

Por tanto, los números son 41 y -41.

.

Bloque VIII Resuelves ecuaciones lineales III

DESEMPEÑOS

Reconoce el modelo algebraico de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Resuelve e interpreta sistemas de ecuaciones de tres

incógnitas mediante ̀ cg métodos:

Numérico: Determinantes.

Algebraicos: Eliminación reducción (suma y resta) m sustitución.

Gráficos

Expresa y soluciona situaciones utilizando sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

Resuelve problemas que se plantean en lenguaje algebraico utilizando métodos algebraicos, numéricos y gráficos.

Elabora o interpreta gráficas, tablas y mapas, para resolver situaciones diversas que conllevan el uso de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

En Este bloque obtendrás la solución de sistemas de ecuaciones lineales de 3x3 y aplicarás el método numérico por determinantes para resolver sistemas . Utilizarás el método de sustitución para resolver un sistema de 3 X 3. Representarás y solucionarás situaciones diversas utilizando sistemas de 3X3. Expresarás ideas y conceptos de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas empleando representaciones en lenguaje común, simbólico o gráfico.

Ejecuta instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de la solución de una ecuación de 3 X 3. De la misma manera que se puede resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se puede resolver un sistema de tres ecuaciones lineales

Bloque IX Resuelves ecuaciones cuadráticas I

DESEMPEÑOS Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable:

Completa:

Incompleta:

Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta.

Resuelve ecuaciones cuadráticas con una variable completa e incompleta por los métodos: Por extracción por factor común y

formula general para ecuaciones incompletas. Por factorización, completando trinomio cuadrado perfecto y fórmula

general para ecuaciones cuadráticas con una variable completa. Interpreta la solución de la ecuación cuadrática completa e incompleta para reales,

complejas e imaginarias.

Interpreta situaciones con ecuaciones cuadráticas con una variable.

Resuelve problemas o formula problemas de su entorno por medio de la solución de ecuaciones cuadráticas.

Interpreta la solución de los problemas para cuando tiene soluciones inadmisibles.

Bienvenido a este bloque en el cual trabajarás para solucionar ecuaciones cuadráticas. Aplicarás técnicas algebraicas de despeje o extracción de un factor común. Resolverás ecuaciones incompletas de segundo grado en una variable.

Utilizarás la técnica de completar y factorizar trinomios cuadrados perfectos para resolver ecuaciones completas de segundo grado en una variable.

Identificarás raíces reales y complejas y escribirás ecuaciones a partir de estas. Representarás y solucionarás situaciones con ecuaciones cuadráticas.

Las ecuaciones cuadráticas se conocen también como “ecuaciones de segundo grado” porque el máximo

exponente de la incógnita es 2 y las soluciones que las resuelven también son dos.

EXPRESION GENERAL .- Una ecuacion de segundo grado, llamada tambien cuadratica

con una incognita de la forma ax2+bx+c=0, donde a, b, c son constants y a≠0

RESOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS:

A) MIXTAS. Cuando carece del término constante

1.

2.

B) PURAS. Cuando carece del termino de x

Para resolver las ecuaciones cuadráticas incompletas puras de la forma ax2 + c = 0,

deberás despejar la incógnita. Para esto pasamos c al 2° miembro, luego a y por último

el cuadrado de x, como se muestra a continuación;

En las ecuaciones incompletas

mixtas, siempre una raíz es cero, y

la otra es el coeficiente del término

en x con el signo cambiado partido

por el coeficiente del término en x2.

Entonces, las raíces (o soluciones) de una ecuación cuadrática incompleta pura

son;

- Si a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de

una cantidad negativa, y si tienen signo distinto las raíces son reales.

1.

2.

Por ser el radicando negativo no t iene solución en los números reales

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es incompleta si alguno de

los coef icientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.

ax2 = 0 La solución es x = 0.

Resolver la ecuación (2x - 3) (2x + 3) - 135 = 0. **

Primero resolvemos la ecuación, como hay un producto notable (suma por su diferencia)

aplicamos la fórmula (a + b)(a – b) = a2 – b

2;

Ahora, reemplazamos en la fórmula;

Resolver la ecuación 4x2 = - 32x Ordenamos la ecuación; **

Reemplazamos en la fórmula;

Respuesta: Las raíces son 0 y - 8.

Resolver la ecuación 𝒙𝟐

𝟑−

𝒙−𝟗

𝟔=

𝟑

𝟐 **

Para resolver la ecuación hay que quitar los denominadores, para lo cual, tenemos que sacar

el mínimo común múltiplo entre 3, 6 y 2, que es 6, y después transponemos los términos

para igualar a 0;

Reemplazamos en la fórmula;

Respuesta: Las raíces son 0 y 1/2.

NOTA: Pueden tomar un ejemplo de los presentados con ** en estos apuntes y presentarlo ante el grupo, para UN PUNTO EXTRA utilizando el pizarrón, plumón y de MEMORIA.

C) COMPLETAS:

FACTORIZACION: Consiste en descomponer en factores la expresión

cuadrát ica ax2+bx+c=0 , igualar cada factor a cero y resolver la ecuación para x

Caso 1. x2 + b x +c = 0

Resolver la ecuación cuadrática, por factorización: 1) x2

-6x+5=0

( x - 5 ) ( x - 1 )=0 Igualando con cero 2) x2 + x – 20 = 0 (x – 4 )(x + 5)=0 3) x2 – 7 x + 12 = 0 ( x- 4 ) ( x – 3 ) = 0 4) x2 – 2x – 24 = 0 ( x – 5 ) ( x + 2 )=0

x-5=0 x-1=0

x=5 x=1

x-4=0 x+5=0

x=4 x=-5

X – 4=0 x-3 =0

X=4 x=3

X – 5 = 0 x + 2 = 0

X = 5 x = -2

Caso 2. ax2 + b x +c = 0

1) 6 x2 + 7 x – 5 = ( 2x – 1) ( 3 x + 1 )

Multiplicados sumados

Tabla: 2x - 1 + 10 x

3x +5 - 3 x

6 x - 5 7 x

3) Anexar 3 ejercicios de los vistos en clase, A MANO

2) 2 x2 +17 x – 9 = ( 2x – 1 ) ( x + 9 ) 2 x -1 .x 9

18 x - x

2x2 -9 17 x

SOLUCION POR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Problema Encontrar c tal que es un trinomio cuadrado perfecto.

Para completar el

cuadrado, sumar . b = 8,

entonces

Simplificar

Solución c = 16

Nuestro trinomio cuadrado perfecto es . También lo podemos escribir como

el cuadrado de un binomio: . Problema. x2 – 12 x + 32=0

Pasar el termino independiente x2 – 12x = -32

Dividir el coef ic iente de x, y elevar este resultado al cuadrado y sumar

a ambos lados de la ecuación x2 – 12x + (-6)2 =-32 + (-6)2

x2 – 12x + 36 = -32 +36

Reducir y s implif icar; sacar raíz cuadrada al pr imer y tercer termino:

(x – 6)2 = 4

Quitar exponente y afectar con radical x – 6 =±√4

x=6 ±2

x1 =6+2 =8

x2= 6 -2 =4

Problema Encuentra las raíces de la ecuación

cuadrática

Las raíces son las intersecciones en x, donde la gráfica cruza el eje x. El valor de y para cualquier punto en el eje x es 0, entonces sustituir 0 por y

Reescribir la ecuación con el lado izquierdo de la forma x2 + bx, para prepararla para completar el cuadrado

x2 – 4x + 4 = -1 + 4

x2 – 4x + 4 = 3

Sumar al lado izquierdo para completar el cuadrado, y también al lado derecho para mantener la ecuación válida

b = -4, entonces

=

Reescribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado

o

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. Necesitamos ambas raíces la positiva y la negativa, o perderemos una de las soluciones

o

Resolver x. Estas son las coordenadas en x de las raíces

Solución o

Problema

Resolver

Dividir ambos lados de la ecuación entre el

coeficiente de , que es 2

Reescribir la ecuación de forma que el lado izquierdo tenga la

forma

Sumar a ambos lados para completar el cuadrado

Escribir el lado

izquierdo como un binomio cuadrado

Sacar las raíces cuadradas de ambos lados, con ambas posibilidades positiva y negativa

Resolver x. Esto nos da las coordenadas en x de las raíces, o las soluciones de la ecuación cuadrática

Solución

o

Problema

Resolver

Reescribir la ecuación para que el lado

izquierdo tenga la forma .

Sumar a ambos lados

Escribir el lado izquierdo como un

binomio cuadrado

Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. Normalmente las dos raíces positiva y negativa son necesarias, pero 0 no es positivo o negativo. 0 tiene sólo una raíz

Resolver x. Esta es la solución de la ecuación cuadrática, y la coordenada x de la raíz de la función cuadrática

Solución

Por FORMULA GENERAL

1) Resolver x2 −3x −4 = 0

2) Resolver 5x2 −6x −1 = 0

3) Resolver x² - 3x + 2 = 0;

x² - 3x + 2 = 0

a = 1, b= - 3, c = 2. Luego

4) Resolver 4x² + 12x + 9 = 0;

4x² + 12x + 9 = 0.

a = 4, b= 12, c = 9. Luego

5) Resolver ) 9x² + 18x + 17 = 0;

9x² + 18x + 17 = 0.

a = 9, b = 18, c = 17. Luego

PROBLEMAS QUE SE REVUELVEN POR ECUACIONES CUADRATICAS

Problema 1

Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuación

, donde x es la distancia recorrida (en pies) y y es la altura (también en pies). ¿Qué tan largo es el tiro?

El lanzamiento termina cuando el tiro cae a tierra. La altura y en esa posición es 0, entonces igualamos la ecuación a 0.

Esta ecuación es difícil de factorizar o de completar el cuadrado, por lo que la resolveremos usando la fórmula cuadrática,

Simplificar

o

Encontrar ambas raíces

x ≈ 46.4 o -4.9

¿Tienen sentido las raíces? La parábola descrita por la función cuadrática tiene dos intersecciones en x. Pero el tiro sólo viajó sobre parte de esa curva. Una solución, -4.9, no puede ser la distancia recorrida porque es un número negativo

La otra solución, 46.4 pies, debe ser la distancia del lanzamiento

Solución Aproximadamente 46.4 pies

Problema Bob hizo un edredón que mide 4 pies x 5 pies. Él tiene 10 pies cuadrados de tela para crear un borde alrededor del edredón. ¿Qué tan ancho debe hacer el borde para usar toda la tela? (El borde debe tener el mismo ancho en los cuatro lados.)

Área del borde = Área del rectángulo azul menos el área del rectángulo rojo

Área del borde = (4 + 2x)(5 + 2x) – (4)(5)

Sólo estamos interesados en el área de las tiras del borde. Hay que escribir una expresión para el área del borde

10 = (4 + 2x)(5 + 2x) – 20

Tenemos 10 pies cuadrados de tela para el borde, entonces igualamos el área del borde a 10

Multiplicar (4 + 2x)(5 + 2x).

Simplificar

Restar 10 de ambos lados para obtener una ecuación cuadrática igualada a 0 y pode aplicar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación.

Usar la fórmula cuadrática. En este caso, a = 4, b = 18, y c = -10.

NOTA: Área del borde = Área del rectángulo

mayor menos el área del rectángulo menor

Simplificar

o

Encontrar las soluciones, asegurándonos que el ± es evaluado para ambos valores Ignorar la solución x = -5, porque el ancho no puede ser negativo

Solución El ancho del borde debe ser de 0.5

pies.

**Estas hojas se copiaran en la computadora y se anexaran f iguras similares o recortes de las mismas** (pueden ser dibujadas a mano)

BLOQUE X:

DESEMPEÑOS

Identifica la relación entre ecuaciones y funciones cuadráticas.

Reconoce la ecuación cuadrática en dos variables como

una función cuadrática. Identifica que toda función cuadrática es

una parábola, que puede ser cóncava hacia arriba o abajo.

Transforma la función cuadrática a la forma estándar así obteniendo las

coordenadas del V (h, k) para trazar su gráfica.

Interpreta que las intersecciones de la parábola con el eje de las “x” son la

solución de la ecuación cuadrática, y que dependiendo de la naturaleza del

discriminante tiene soluciones reales, imaginarias o complejas.

Visualiza que al cambiar los parámetro de “a, b y c” en la función cuadrática

cambia el ancho, el vértice y el sentido de la parábola vertical.

Elabora o interpreta gráficas y tablas a partir de situaciones diversas e

interpreta sus soluciones para cuando son o no admisibles.

USO DEL DISCRIMINANTE:

El término b 2 - 4ac se llama discriminante y proporciona información importante sobre el número y la naturaleza de las soluciones a la ecuación de segundo grado a resolver. Tres casos son posibles:

1. Si D> 0, la ecuación tiene 2 soluciones reales.

1. Si D = 0, la ecuación tiene 1 solución real.

2. Si D <0, la ecuación tiene 2 soluciones conjugadas imaginario.

F i g u r a (copiar la figura de las 3 parabolas con rojo, azul y amarillo que se presenta anexa a los apuntes)

Ejemplo 1: Encuentre las soluciones de la ecuación cuadrática a continuación.

x2 + 3x = 4

Teniendo en cuenta x2 + 3x = 4

Vuelva a escribir la ecuación dada en forma igual a cero y hallar a, b y c.

x 2 + 3x - 4 = 0

a=1 b=3 c=-4

Encuentra el discriminante D = b 2 - 4ac

D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (1) (-4) = 25

Desde el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales, es dado por.

Conclusión: Las soluciones de la ecuación dada es de 1 y -4.

Resolver: x2-3x+2=0

Ejemplo 2: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática

𝒙𝟐

𝟑+ 𝟑 = 𝟐𝒙 .

Eliminar el denominador multiplicando todos los términos de la ecuación por 3.

3 [𝒙𝟐

𝟑+ 𝟑 = 𝟐𝒙 ] =

𝑥2 + 9 = 6𝑥

Simplificar y volver a escribir la ecuación con el término derecho igual a cero, y

determinar a, b y c.

x 2 - 6x + 9 = 0

a=1 b=-6 c=9

El discriminante D está dada por

D = b 2 - 4ac = (-6) 2 - 4 (1) (9) = 0

Desde el discriminante es igual a cero, las dos fórmulas da las dos soluciones de la ecuación cuadrática convertido en uno x = -b/2a y la ecuación tiene una solución. x =- 3

Resolver 𝑥2

2= −8 − 4𝑥

Ejemplo 3: Encuentre todas las soluciones de la ecuación cuadrática

x 2 - 4x + 13 = 0

Teniendo en cuenta x 2 - 4x + 13 = 0

El discriminante D está dada por D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 (1) (13) = -36

Desde el discriminante es negativo, la raíz cuadrada del discriminante es un número imaginario puro.

Utilice las fórmulas de segundo grado para encontrar las dos soluciones. x 1 = 2 + 3i x 2 = 2 - 3i

Resolver x2-4x+5 =0

(Después de 31 años de c lases me despido; paso a otro c ic lo de v ida) ,Deseándoles lo mejor en sus v idas y no olv iden los valores que les inculcaron sus padres. Les recuerdo que busquen su fe l ic idad ypiensen que cada uno de ustedes valen mucho y la mayor sat isfacc ión de sus padres y de ustedes mismos es l legar a ser todo unos profes ionis tas. MUCHA SUERTE Y ANIMO¡¡¡

CON CARIÑO Y RESPETO