Curso 2011-2012 Calculo Infinitesimal. Grupo 2S1T

SERIES NUMERICAS

Ejercicio 1. Estudiar el caracter de las siguientes series:

i)n=2

1lnn

ii)n=1

1nn

iii)n=1

n

n4 + 1

iv)n=1

12lnn

v)n=1

13lnn

vi)n=1

nen

vii)n=1

1 + n2

n!viii)

n=1

n+ 1nn2 + n

ix)n=1

1n(n+ p)

, p N .

Ejercicio 2. Estudiar la convergencia segun los valores del a y sumar (iii) para a = 1/3:

i)n=1

a1/n

1 + an, a R+ ii)

n=1

(a+ 1)2n

nan, a R iii)

n=1

n

(1 a1 + a

)n, a 6= 1

Ejercicio 3. Dadas las seriesn=1

(a+ b)n

2n, y

n=1

an + bn

2n, a, b R+. Se pide:

i) Hallar todos los valores de a y b que hacen ambas series convergentes simultaneamente.

ii) Encontrar, si es posible, valores de a y b que hagan una convergente y otra divergente.

Ejercicio 4. Estudiar la convergencia de:

i)n=1

n2n3 + 1

ii)n=2

1(lnn)n

iii)n=1

n!nn

iv)n=1

lnn+ 1n

Ejercicio 5. Analizar el caracter de las series, sumando aquellas que converjan:

i)n=1

2n+ 3(n+ 1)n(n+ 2)

ii)n=2

2n + 3n

6niii)

n=2

1n2 1 iv)

n=1

n2n

v)n=1

n+ 2n3 + 6n2 + 11n+ 6

vi)n=1

1(n+ 1)2 1 vii)

n=1

3n 22n1

viii)n=1

n sen1n2

Ejercicio 6. Calcular el area bajo la quebrada construida a partir de una sucesion infinita detriangulos isosceles de altura uno, con los vertices inferiores sobre la sucesion de puntos (dederecha a izquierda) {1, 12 , 13 , 14 , . . .} (ver figura).Ejercicio 7. Sea C1 un cuadrado de lado l, C 1 el crculo inscrito en C1, C2 el cuadrado inscritoen C 1, C 2 el crculo inscrito en C2, y as sucesivamente obtenemos una sucesion Cn de cuadradosy otra sucesion C n de crculos (ver figura). Hallar la suma de las areas de Cn y la suma de lasareas de C n. Calcular la suma de los permetros de Cn y la suma de los permetros de C n.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1