Unidad IV Series

Unidad IV Series

NDICE

Introduccin. ------------------------------------------------------------------------- 2

Contenido (Unidad 4 Series). 4.1 Definicin de serie. ------------------------------------------------------------- 3 - 54.1.1 Finita. ----------------------------------------------------------------------- 34.1.2 Infinita. --------------------------------------------------------------------- 4 4.2 Serie numrica y convergencia. Prueba de la razn (criterio de DAlembert) y prueba de la raz (criterio de Cauchy). ----------------------------------------------------------------------- 6 - 84.3 Series de potencias. ------------------------------------------------------------- 94.4 Radio de convergencia. -------------------------------------------------------- 10 - 114.5 Serie de Taylor. ------------------------------------------------------------------ 12 - 144.6 Representacin de funciones mediante la serie de Taylor. ----------- 15 - 164.7 Calculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor. -------------------------------------------------------------------------- 17 - 18

Conclusin. ---------------------------------------------------------------------------- 19

Bibliografa. ----------------------------------------------------------------------------- 20

INTRODUCCIN

El presente trabajo se refiere al tema de series que se encuentra en la IV unidad de la materia Clculo Integral. Las series y sucesiones nos permiten tener algunas aplicaciones dentro de la ingeniera y la informtica. Una serie o sucesin es un conjunto de cosas (normalmente nmeros) una detrs de otra, en un cierto orden. El objetivo de este tipo de problema es encontrar los trminos faltantes de una dada secuencia. La cual se obtiene empleando las operaciones bsicas de: suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin a partir del mtodo a utilizar.Por lo que aqu conoceremos los subtemas de: Definicin de series (finita e infinita). Serie numrica y convergencia. Prueba de la razn (criterio de DAlembert) y prueba de la raz (criterio de Cauchy). Series de potencias. Radio de convergencia. Serie de Taylor. Representacin de funciones mediante la serie de Taylor. Calculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.A continuacin se presentan.

Unidad IV Series

4.1 Definicin de serieEn matemticas, una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Se representa una serie con trminos an como la imagen que se muestra en el costado izquierdo donde n es el ndice final de la serie. En terminologa matemtica se incluye sucesin para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el trmino serie.

Para entrar en materia la persona interesada en el tema debe de conocer el concepto de sucesin que se muestra a continuacin:El concepto de sucesin en los nmeros reales se entiende de manera intuitiva cuando se asocia a un nmero natural un nmero real.Termino de una sucesin: S: NRNormalmente las sucesiones son infinitas, y por lo general solo se enlistan los primeros 5 o 10 elementos, lo interesante de las sucesiones es que el estudiante observe los cambios significativos de un elemento a otro para encontrar un patrn que me sugiera encontrar la expresin matemtica que los genera, para ello el alumno debe tener la habilidad de procedimientos algebraicos y de induccin matemtica. En textos acadmicos se suele llamar simplemente sucesin con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemticas.

4.1.1 Finito

Las series tienen una caractersticas fundamental con respecto a su lmite y esta es un parte aguas para generalizar o discriminar los tipos de series a grandes rasgos, series finitas o series infinitas, en esta parte en cuestin las series finitas son objeto de anlisis.Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un anlisis de sus componentes encontramos el lmite superior determinado por N, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N".

4.1.2 InfinitoUna parte importante del estudio del Clculo trata sobre la representacin de funciones como sumas finitas. Realizar esto requiere extender la operacin familiar de adicin de un conjunto finito de nmeros a la adicin de una infinidad de nmeros. Para llevar a cabo esto, se estudiara un proceso de limite en el que se consideran sucesiones.Suponga que asociada a la sucesin U1, U2, U3,, Un,Se tiene una suma infinita denotada porU1+ U2 + U3 ++ Un+Pero Qu es lo que significa esta expresin? Esto es, Qu debe entenderse por la suma de n nmero infinito de trminos, y en qu circunstancias dicha suma existe?Teorema Para tener una idea intuitiva del concepto de tal suma, suponga que un trozo de cuerda de 2 pie de longitud se corta a la mitad. Una de estas mitades de 1 pie de longitud se aparta y el otro y el otro se corta a la mitad otra vez. Uno de los trozos resultantes de pie de longitud se aparta y el otro se corta a la mitad obtenindose dos trozos, cada uno de 1/8 pie de longitud, otra vez, uno de los trozos se aparta y el otro se corta a la mitad. Si se contina este procedimiento en forma indefinida, el nmero de pies de la suma de las longitudes de los trozos apartados puede considerarse como la suma infinita1+ + + 1/8+ 1/16 ++ (1)/(2(N-1))Como se inici con un trozo de cuerda de 2 pie de longitud, nuestra intuicin nos indica que la suma infinita (1) debe ser 2. Definiciones preliminares.A partir de la sucesinU1, U1, U3,, Un,Se forma una nueva sucesin (Sn) sumando sucesivamente elementos de (Un):S1=U1S2=U1+U2S3=U1+U2+U3S4=U1+U2+U3+USn=U1+U2+U3+U4++UnL a sucesin (An) obtenida de esta manera a partir de la sucesin (Sn) es una secesin de sumas parciales llamada serie infinita.

Definicin de serie infinitaSi (Un) es una sucesin y Sn=A1+A2+A3+A4++UnEntonces ( Sn) es una secesin de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por

Los nmeros A1, A2, A3,, An, son los trminos de la serie infinitaPara un ejemplo preciso relacionado con el tema se sugiere el siguiente video instructivo:

4.2 Serie numrica y convergencia

*La serie armnica es la serie

La serie armnica es divergente* Una serie alternada es una serie donde los trminos alternan el signo. Ejemplo:

*Una serie telescpica es la suma donde an = bn bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fcilmente, ya que:

* Una serie hipergeometrica es una serie de la forma

que cumple que=Criterios de convergenciaClasificar una serie es determinar si converge a un nmero real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestin, mostrarn de que tipo es (convergente o divergente).Condicin del resto

Para que una serie sea divergente, una condicin suficiente es que

Esta afirmacin es muy til, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el lmite es distinto de cero. Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razn)tal que ak > 0 ( serie de trminos positivos).Si existeel Criterio de D'Alembert establece que:

Si L < 1, la serie converge.

Si L > 1, entonces la serie diverge.

Si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

Lo primero que miraremos cuando nos encontremos con una serie es si la suma infinita tiene sentido:La serie converge si lo hace su sucesin de sumas parciales; otra cosa distinta es que converja su trmino general.

De la definicin y de las conocidas propiedades de los lmites de sucesiones se deduce inmediatamente que si suprimimos, cambiamos o aadimos un numero finito de trminos al principio de una serie, no se altera su carcter de convergencia o divergencia (aunque si el valor de su suma, si converge), porque las nuevas sumas parciales diferirn de la inicial solo en un constante. Por eso, cuando estemos hablando simplemente de convergencia podremos no escribir el n en que empezamos a sumar; incluso escribiremos s olo sigma (no olvidando que son infinitos trminos).

Algunos tipos de series* Una serie geomtrica es una serie en la cual cada trmino se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razn. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geomtrica, de razn z, es convergente, slo si |z| < 1, a:Criterio de Raabe:

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie como la mostrada tal que ak > 0 (serie de trminos positivos). Y supongamos que existe

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergenteTened cuidado aqu, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raz.

Convergencia absolutaUna serie alternada an converge absolutamente si

4.3 Series de potencias Las series finitas que se han estudiado hasta este momento han consistido solo de trminos constantes. Ahora se trata un tipo importante de series de trminos variables denominadas series de potencias, las cuales pueden considerarse como una generalizacin de una funcin polinomial. En las secciones restantes de este captulo se estudiara como pueden emplearse las series de potencias para calcular valores de funciones tales como sean x, ln x y (x)1/2, las cuales no se pueden evaluar mediante las operaciones aritmticas conocidas y empleadas para determinar valores de funciones racionales.Definicin de una serie de potencias:Una serie de potencias en x-a es una serie de la formaCo+C1(x-c)+C2(x-c)2++Cn(x-c)n+

Si la serie de potencias expuesta anteriormente es convergente para x= x1(x1diferente de 0), entonces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales [x][x2]*Procedimiento para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias x-a1. Aplique el criterio de la razn (o en ocasiones el criterio de la raz) para determinar el radio de convergencia R de la serie. Algunas series convergen absolutamente para todos los valores de x.2.- Si R>0, la serie converge absolutamente para toda x en el intervalo (a-R, a+R) y diverge para [x-a]>R. Verifique la convergencia en los dos extremos del intervalo (a-R,a+R), por supuesto, ninguna conclusin acerca de la convergencia en los extremos puede inferirse del criterio de la razn o del criterio de la raz.4.4 Radio de convergencia

En matemticas, segn el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma

conviene dado por la expresin:

DefinicinSi nos limitamos al conjunto de los numeros reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x x0 | < r, donde r es un nmero real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser tambin semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r =

EjemplosMostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqu el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finitoLa funcin 1 / (1 x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x x0 = x 0 = x, tiene el siguiente aspecto:.(para el clculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie ser el mismo que remplazarlo en la funcin, de hecho.(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado.Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el x = 2, los ms probable es que al remplazarlo en la serie, sta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:.

Distancia a la singularidad

El clculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una funcin con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma funcin 1 / (1 x) en su desarrollo con centro x0 = 3 tiene la forma:.Pero en este caso su radio de convergencia es r = 2. Notemos que la funcin 1 / (1 x) tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: | 0 1 | = 1 y | 3 1 | = 2. Esto ser siempre verdadero para sta funcin, pero, no puede generalizarse, como veremos en el siguiente ejemplo:

Como no hay singularidades reales podra suponerse que el radio es infinito, sin embargo su radio de convergencia es . Este radio parece caprichoso pero tiene que ver con el hecho de que pasando la funcin a dominio complejo, existe una singularidad en el denominador.La serie

Radio de convergencia infinito

Por ejempo, la funcin ex puede desarrollarse en series de potencia de x 0 = x, de hecho .y esto vale para todo real x por eso el radio de convergencia ser infinito.

4.5 Serie de Taylor

En matematicas, una serie de Taylor de una funcion f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma:

Aqu, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-sima derivada de f en el punto a.Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la funcin f(x) se llama analtica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimacin del resto del teorema de Taylor. Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.Esta representacin tiene tres ventajas importantes: La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin. Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a una serie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (vase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(1/x) se puede desarrollar como serie de Laurent.

DefinicinLa serie de Taylor de una funcin f de nmeros reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de nmeros reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera ms compacta como

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-sima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x a)0 y 0! son ambos definidos como uno.

series de Taylor en el siglo XVIII.Series de Maclaurin (Taylor alrededor de 0) notables

La funcin coseno.

Una aproximacin de octavo orden de la funcin coseno en el plano de los complejos.

Las dos imgenes de arriba puestas juntas.A continuacin se enumeran algunas series de Taylor de funciones bsicas. Todos los desarrollos son tambin vlidos para valores complejos de x.

Funcin exponencial y logaritmo natural

Serie geomtrica

Teorema del binomio

para y cualquier complejo.

Funciones trigonomtrica

Donde Bs son los Numero de Bernoulli.

4.6 Representacin de funciones mediante la serie de Taylor

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13

La funcin exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 trminos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

La funcin exponencial y = ex (lnea roja continua) y su aproximacin mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (lnea verde discontinua).

Puedes observar el comportamiento de aproximacin usando algn polinomio de taylor por y = sin x.

El valor en x = en cada funcin se despliegan al lado derecho.

4.7 Calculo de integrales expresadas como serie de Taylor

Sea f(x) una funcin definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los rdenes.

El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y tambin, como se comprueba fcilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su grfica es una recta tangente a la grfica de f(x) en el punto a.

Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores tambin iguales para su primera y segunda derivadas. Su grfica en el punto a se acercar a la de f(x) ms que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximar ms a f(x) en los puntos x prximos a a. As obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la frmula de Taylor:

f(x) f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) nEl segundo miembro de esta frmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.

Para funciones que tienen derivada (n+1)-sima, el segundo miembro de esta frmula, como se demuestra fcilmente, difiere del primero en una pequea cantidad que tiende a cero ms rpidamente que (x-a)n. Adems, es el nico polinomio de grado n que difiere de f(x), para x prximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) ms rpidamente que (x-a)n.

Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad. Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos aadir al segundo miembro un trmino ms, llamado resto:

f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)(c)(x-a)n+1

El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en l aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.

La demostracin de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia.Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximacin por funciones derivables un nmero arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisin deseada.La frmula de Taylor, que abre el camino para la mayora de los clculos en el anlisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista prctico.

La idea de aproximar una funcin mediante polinomios o de representarla como suma de un nmero finito de funciones ms sencillas alcanz un gran desarrollo en el anlisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teora de la aproximacin de funciones.

En las siguientes escenas podemos observar cmo la grfica de las funciones se va "tapando" con la grfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del polinomio. Para un valor de x calculamos la diferencia entre el valor real y el valor del polinomio correspondiente. Al aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada vez menor. Hemos calculado los polinomios de Taylor para a=0.

La funcin exponencial y = ex (lnea roja continua) y su aproximacin mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (lnea verde discontinua).

CONCLUSIN

En conclusin, Una serie numrica es un conjunto de nmeros ordenados que siguen un patrn, el patrn (sucesin) es la relacin que existe entre los nmeros que forman la serie. Se trata normalmente de averiguar cmo contina una sucesin de nmeros enteros de la que nos dan los primeros trminos. Pero aqu en clculo integral es ms complejo de averiguar la sucesin que le sigue, ya que no es fcil en algunos casos y por ello hay diversos mtodos o teoremas que suelen usarse como lo que vimos aqu. Las series permiten entender la idea de querer hacer sumas en las que hay una cantidad infinita de sumandos, tantos sumandos como nmeros naturales. Por ello estas series se dividen en finitas e infinitas. Serie finitas: Tienen un nmero limitado de trminos. Series infinitas: el nmero de trminos es ilimitado.

Tambin se habla de la serie de convergencia, que recordando es; si la serie es convergente, entonces el lmite en el infinito es igual a cero. Y por ltimo las series de Taylor pueden utilizarse para generar esquemas de diferencias finitas. Dichos esquemas se utilizan para aproximar la derivada de una funcin en un punto de la malla.

BIBLIOGRAFA

Louis Leithold. (1972). El clculo con geometra analtica: Series infinita. (pp. 662 731). Estados Unidos de Amrica: Harper y Row publishers.

Curso calculo integral unidad IV Series. Recuperado el 04 de Mayo del 2013 en (Blogger.com):http://ittepiccalculointegral.blogspot.mx/

Sucesiones y series. Recuperado el 04 de Mayo del 2013 en (Disfrutalasmatemticas.com):http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

18Hernndez Cadena Tilo Daniel.