SEMESTRE 2012.docx

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UNDAC MATEMATICA BASICA II

SEMESTRE 2012B

Mg. Eusebio ROQUE HUAMAN

RESPONSABLE DEL CURSO

Jorge RENTERIA MAURATE

ESTUDIANTE

CERRO DE PASCO - 2012


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PROLOGO

Este trabajo es realizado con las intenciones que profundizar los

temas del curso de Matemtica Bsica II, como una contribucin alos contenidos ya realizados, es por estas razones, que hemos

estimado utilizar una recopilacin de textos con el objetivo, de

que sea un lenguaje sencillo, claro y conciso. El empeado en

conseguir que en este trabajo, sea un instrumento de trabajo til

y de fcil manejo.

El trabajo de Matemtica Bsica II, est organizado por 4

captulos, cada uno de ellos con una introduccin que ofrece un

panorama general de los contenidos fundamentales del tema, cada

captulo est elaborado de la siguiente forma: Objetivos,

Contenidos.

Como toda realizacin humana es perfeccionable, suplico al

docente que nos apoya a corregir los errores cometidos en este

trabajo, para poder mejorar y superar nuestros errores.

Finalmente no quiero terminar sin antes expresar mi profundo

agradecimiento al Ing. Eusebio Roque Huamn, por su gran

enseanza y compromiso en este curso, por lo que lo tendremos

siempre presente en nuestra vida profesional.

EL ESTUDIANTE


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INDICE

CAPITULO I: FACTORIAL DE UN NMERO

CAPITULO II: PROGRESION ARITMETICA Y GEOMETRICA

CAPITULO III: SERIES

CAPITULO IV: NUMEROS COMPLEJOS


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OBJETIVOS

Identificar y comprender la forma de desarrollo

de la factorial de un nmero.

El alumno al finalizar este captulo debe saber

desarrollar todo tipo de problemas respecto a un

factorial de un nmero.

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INTRODUCCION

El estudio de la factorial de un nmero entero positivo (Z+)

es de suma importancia en esta parte del algebra, ya que este

objeto matemtico ayudara a profundizar temas como elBinomio de Newton. Al respecto, se presenta un esbozo de la

teora de factorial de un nmero entero positivo, junto con las

propiedades que nos ayudaran a enfrentar diferentes tipos deproblemas.

1. DEFINICION

La factorial de un nmero entero positivo se define comoel producto que se obtiene de multiplicar los nmeros enteros

desde 1 hasta el nmero n indicado en la factorial. Lanotacin de factorial que usaremos es la siguiente: n! Al

respecto, la definicin queda expresada en smbolos as:

Tambin:

Dnde: NOTA 1:El factorial de un nmero se lee:

Se lee: factorial de 2

Smbolo Representa


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Ejemplo:

1! = 1

3! = 1 2 3 = 6

4! = 1 2 3 4 = 24

./

NOTA 2: Para el caso de factorial de cero (0!) se toma por

convencin el valor de 1. Entonces:

0 = 1

2. PROPIEDADES

a)n! = n (n 1)! ; n 2La prueba es directa, para ello usamos la definicin defactorial:

de lo que se desprende que: n! = n (n 1)!

b)Si n! = m! ; n = m n, m {1}Un caso especial de esta propiedad est relacionado con lasiguiente igualdad:

n! = 1! para lo cual siguiendo lo enunciado n = 1, pero

tambin se cumple para n = 0.

c)n (n!) = (n + 1)! n!La prueba es inmediata, ya que:

(n + 1)! n! = (n + 1) n! n! = n! (n + 1 1) = n (n!)


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NOTA 3: En general, no es posible realizar las siguientes

operaciones:

./

3. COFACTORIAL O SEMI-FACTORIAL DE UN NMERO

Es importante mencionar que (2n)!! Equivale a multiplicar

todos los nmero pares desde 2 hasta (2n), entonces se

cumple que:

(2n)!! = 2 4 6 . . . (2n)

Asimismo, para (2n

1)!! equivale a multiplicar todos los

nmero impares desde 1 hasta (2n 1), entonces se cumpleque:(2n 1)!! = 1 3 5 . . . (2n 1)

ATENCION!

Otra forma menos usual de representar el factorial de un

numero nes de la siguiente forma

n

La cual equivale a n!


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OBJETIVOS

Reconocer las dos formas de progresiones para

poder resolver ejercicios


desarrollar todo tipo de problemas respecto a

progresiones aritmtica y geomtricas

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INTRODUCCION

Las progresiones constituyen el ejemplo ms sencillo del

concepto de sucesin. Desde los albores de la historia de las

matemticas se han estudiado sus propiedades, y stas han sido

aplicadas, sobre todo, a la aritmtica comercial.

El estudio de las progresiones aritmticas es paralelo al de las

geomtricas por cuanto las propiedades de estas ltimas emanan

de las primeras sin ms que convertir las sumas en productos,

diferencias en cocientes, y el producto por un nmero natural en

una potencia de exponente natural.

El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras

ramas de las matemticas, es incierto. No obstante, se conservan

algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones

varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir

su paternidad a ningn matemtico concreto.

1. PROGRESION ARITMTICA

Una progresin aritmtica es una sucesin en la que cada

elemento se obtiene sumando al anterior un nmero fijo

llamado diferencia o razn aritmtica que se representa por la

letra d.

As, si (an) es una progresin aritmtica, se verifica que:

ATENCION!

Si en una progresin aritmtica, d0 , entonces decimosque la progresin es creciente: Ejemplo.

d = 4


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Si una progresin aritmtica, d , entonces decimos quela progresin es decreciente: Ejemplo.

d = -7

1.1CMO RECONOCER UNA PROGRESIN ARITMTICA

Para asegurarse de que una sucesin es una progresin

aritmtica se ha de comprobar que la diferencia entre cada

trmino y su anterior es siempre la misma. Adems, esta

comprobacin elemental determina el valor de la diferencia de

la progresin.

Es la sucesin 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5...una progresin aritmtica? Si

lo es, cul es la razn?

SOLUCION

Se determina si la diferencia entre cada dos trminos

consecutivos es la misma:

5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2 ; 1 - 3 = -2 ; -1 - 1 = -2; ...

Es una progresin aritmtica la razn es: d = -2.

1.2TRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIN ARITMTICA

La frmula del trmino general de una progresin aritmtica

(an) se encuentra sin ms que observar que:

a2= a1+ d

a3= a2+ d = (a1+ d) + d = a1+ 2 d

a4= a3+ d = (a1+ 2d) + d = a1+ 3d

a5= a4+ d = (a1+ 3d) + d = a1+ 4d

Ntese que en todos los casos el trmino correspondiente es

la suma de dos cantidades:


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La primera es siempre a1

La segunda es el producto (n - 1) d.

1.3INTERPOLACIN DE MEDIOS ARITMTICOSInterpolar (de inter, entre y polos, ejes) n nmeros entre otros

dos conocidos a y b; consiste en construir una progresin

aritmtica a, a1, a2,..., an, b.

Para resolver este problema basta con conocer la diferencia

que ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que

tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesin tiene n + 2 trminos

2) El primer trmino es a y el trmino an + 2 es b.

Aplicando la frmula del trmino general de una progresin

aritmtica, se tiene que:

b = a + [(n + 2) - 1] d,

Una vez conocido el valor de la diferencia, a1se obtiene como

la suma de a y d; a2 es la suma de a1 y d, y as

sucesivamente.

Los nmeros a1, a2,..., an reciben el nombre de medios

aritmticos.

1.4

SUMA DE TRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIN ARITMTICA

Se denotar por: Sna la suma a1+ a2+... + an

Se tiene entonces:

Sn= a1+ a2+ a3+... + an-2 + an-1 + an

Invirtiendo el orden,

Sn= an+ an-1+ an-2+ ... + a3+ a2+ a1


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y sumando,

2Sn= (a1+ a2) + (a2+ an-1) +... + (an-1 + a2) + (an+ a1)

Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes sesabe que:

a1+ an= a2+ an-1= a3+ an-2= ... = an+ a1

Por tanto, 2 Sn= n(a1+ an),y despejando:

.

2. PROGRESION GEOMETRICA

Una progresin geomtrica es una sucesin en la que cada

elemento se obtiene multiplicando el anterior por un nmero fijo

llamado razn, y que se representar por la letra r.

As, si (an) es una progresin geomtrica, se verifica:

2.1CMO RECONOCER UNA PROGRESIN ARITMTICA

Para asegurarse de que una sucesin es una progresin

geomtrica se ha de comprobar que el cociente entre cada

trmino y su anterior es siempre el mismo. Adems estacomprobacin elemental determina el valor de esta razn de la

progresin.

Es5, 15, 45, 135, 405...una progresin geomtrica?

SOLUCION

Es una progresin geomtrica de razn 3


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2.2TRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIN ARITMTICA

La frmula del trmino general de una progresin geomtrica

(an) se encuentra sin ms que observar que:

a2= a1 r

a3= a2 r = (a1 r) r = a1 r2

a4= a3 r = (a1 r2) r = a1 r3

a5= a4 r = (a1 r3) r = a1 r4

Ntese que, en todos los casos, el trmino correspondiente es

el producto de dos cantidades:

- La primera es siempre a1

- La segunda es una potencia de base r y exponente un

cierto nmero, que se obtiene restando una unidad al

subndice.

En definitiva, la expresin del trmino general es:

Si la razn de una progresin geomtrica es mayor que uno,

la progresin es creciente, es decir, cada trmino es mayor

que el anterior.

Si la razn de una progresin geomtrica est comprendida

entre cero y uno, la progresin es decreciente, es decir, cada

trmino es menor que el anterior.

Si la razn de una progresin geomtrica es igual a uno, la

progresin es constante, es decir, tiene todos los trminosiguales.

Si la razn de una progresin geomtrica es menor que cero,

la progresin es alterna, es decir, sus trminos son

alternativamente positivos y negativos.

2.3INTERPOLACIN DE MEDIOS ARITMTICOS

Interpolar n medios geomtricos entre otros dos conocidos ay

b, consiste en construir una progresin geomtrica a, a1, a2, ..., an,b.


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Para resolver este problema basta con conocer la razn que

ha de tener la progresin, la cual se deduce sin ms que

tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesin tiene n + 2 trminos.

2) El primer trmino es ay el n + 2 es b.

Aplicando la frmula del trmino general de una progresin

geomtrica se tiene que:

, de donde

Una vez conocido el valor de la razn, a1se obtiene como el

producto de r por a; a2 es el producto de a1 por r, y as

sucesivamente.

2.3PRODUCTO DE TRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESINGEOMTRICA

Continuando con la analoga observada, se encuentra la

frmula del producto de trminos de una progresingeomtrica.

Se denotar por Pnal producto a1 a2... an.

Se tiene entonces:

Pn= a1a2a3... an-2an- 1 an

Invirtiendo el orden Pn= an an - 1 an-2... a3 a2 a1

y multiplicando Pn=(a1 an )(a2 an - 1) ... (an - 1 a2)(an a1

Ahora bien, por la propiedad de los trminos equidistantes sesabe que:

a1an= a2an-1= a3an-2= ... = ana1

Por tanto Pn 2 = (a1 an)ny despejando:

nPara determinar el signo, ha de estudiarse cada caso concreto.


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Esta frmula no slo sirve para multiplicar los primeros

trminos de una progresin geomtrica, sino que tambin es

vlida para multiplicar cualquier n trminos consecutivos, al

igual que se hace en las progresiones aritmticas.

2.4SUMA DE VARIOS TRMINOS CONSECUTIVOS DE UNA PROGRESIN

GEOMTRICA

Se denotar por Sna la suma de n trminos consecutivos de

una progresin geomtrica:

Sn= a1+ a2+... + an-1 + an

Para obtener una frmula que permita hacer este clculo de un

modo rpido, se multiplican ambos miembros de la igualdad

por la razn:

Sn r = (a1+ a2+ ... + an-1+ an) r

Sn r = a1r + a2r + ... + an-1r + anr,

y teniendo en cuenta que al multiplicar un trmino por la razn

se obtiene el trmino siguiente,

Sn r = a2+ a3+ ... + an+ an r

Restando ahora a esta igualdad la primera:

Sn r = a2+ a3+ ... + an+ an r

Sn= a1+ a2+ ... + an-1+ an

Sn r Sn= -a1+ an r

Sn(r - 1) = an r a1

Despejando Sn,


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OBJETIVOS

Reconocer las formas que se presentan una serie

geomtrica

El alumno al finalizar este captulo debe tener

nocin para poder desarrollar todo tipo de

problemas respecto a series geomtricas.

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INTRODUCCION

Es conocido el problema de calcular en cunto tiempo se

doblara una cantidad de dinero a un determinado interscompuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo

cual hace pensar que conocan de alguna manera la frmula del

inters compuesto y, por tanto, las progresiones geomtricas.

En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una

frmula, semejante a la actual, de la suma de n trminos

consecutivos de una progresin geomtrica. Bhaskara, matemtico

hind del siglo XII, plantea en su ms conocida obra, el Lilavati,

diversos problemas sobre progresiones aritmticas y geomtricas.

3.1 SERIES

Una serie es una suma formada por un nmero ilimitado de

sumandos, y provista de una ley determinada que define cada

termino en funcin de su rango. La frmula algebraica que

expresa esta ley se denomina trmino general de la serie.

Los trminos que forman una serie pueden ser reales o

imaginarios, positivos o negativos. Pero nos ocuparemos de las

series de trminos reales.

Indicaremos los diversos trminos de una serie por la notacin

Tiende a un lmite infinito, cuando n tiende al infinito. Esto

quiere decir que la sucesin. definida de la manerasiguiente:


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Tenga un lmite finito y fijo de S, cuando n crezca

indefinidamente que es lo que se llama, aunque

incorrectamente, suma de la serie.

Pero si la sucesin crece indefinidamente a medidaque , se dice que el lmite es infinito y que la serie esdivergente. Si el lmite de no es , ni , ni seaproxima a un numero determinado fijo, sino que oscila entre y , o entre varios valores infinitos; la eleccindepende del carcter del entero n, por consideraciones tales

como la siguiente: que n sea par o impar, o que sea de la

forma: , se dice que la serie es oscilante.Con oscilacin infinita en el primer caso y finita en el segundo.Si todo los trminos tiene el mismo signo la serie no puede

oscilar, porque ella va aumentando en valor absoluta

continuamente.

Consideramos como ejemplo la progresin geomtrica.

Se sabe que la suma de n trminos es:

Si el valor absoluto de r o sea ||es menor que 1, el valor de

cuando n crezca indefinidamente tendera a 0, y la suma

se deduce en el lmite a:

Que es finita, luego la serie es convergente.

Si ||es mayor que 1, sucede que rncrece sin lmite cuando ntiende al infinito, luego la serie ser divergente; en el caso de

que , entonces la frmula para se presenta en formaindeterminada, pero la progresin viene a ser:


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Cuya suma es:

Que para , nos da:

O sea que es divergente tambin.

Cuando r = -1 se tiene la serie en la forma:

La suma ser cero si n es par, y a si n es impar. La serieser en este caso.

Anlogamente a como se ha procedido en el ejemplo anterior,

puede procederse en todos aquellos casos en los que se

conozca el valor general de las sumas .Pero en muchos casos no se conoce este valor, lo cual hace

necesario otras reglas.

3.2 CARCTER GENERAL DE CONVERGENCIA.

La condicin necesaria y suficiente para que la sucesin, tenga un lmite, o lo que es lo mismo para quela serie correspondiente sea con ver gente, es que dado un

numero positivo e (tan pequeo como se quiere) sea posible

determinar un nmero entero v tal que para todos los valoresde se verifique que:

Cualquiera que sea el entero p.


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OBJETIVOS

Determinar las 4 formas de representar los

nmeros complejos


desarrollar todo tipo de problemas respecto

nmeros complejos.

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INTRODUCCION

Los algebristas de los siglos XV y XVI, al resolver ecuaciones de

segundo grado, por ejemplo: y obtener laexpresin decan que no era posible extraer la razcuadrada de un nmero negativo y por tanto la ecuacin no tenasolucin. Pero en algn momento los algebristas se decidieron a

operar con estas expresiones como si se tratara de nmeros

reales:

Y seguan operando con

como si se tratara de un nmero

real. Fue en 1777 cuando Euler le dio a el nombre de i (porimaginario) y a partir de entonces se ha desarrollado toda lateora de los nmeros complejos. En estas notas vamos a dar

solamente unos breves conceptos de distintas formas de expresarlos nmeros complejos y como se trabaja con ellos. Pero antes de

empezar una advertencia: aunque histricamente (y vulgarmente)

se llama i a la raz cuadrada de 1 esta expresin no es

totalmente cierta. Si as fuera obtendramos la siguiente cadena de

igualdades que no es posible,...Verdad?

4.1 NUMERO COMPLEJO EN FORMA DE PAR ORDENADO

Nombraremos nmeros complejos a todo par ordenado de

nmeros reales el cual denotaremos por Se denota:

* +4.1.1 EL PLANO COMPLEJO

Entre los nmeros complejos y los puntos del plano

cartesiano, existe una correspondencia biunvoca, de tal

amera que todo nmero complejo se puederepresentar geomtricamente por un segmento orientado,


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que tiene su origen, en el origen de coordenadas y su

extremo en el punto

4.1.2 OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA DE PAR ORDENADO

a) IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS.

Dos nmeros complejos son iguales cunado tienen iguales

su parte real y su parte imaginaria, es decir:

b) SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS

La suma de dos nmeros complejos, es un nmero

complejo, que tiene por parte real a la suma de las partes

reales de los sumandos y la parte imaginaria a la suma de

las partes imaginarias de la misma, es decir:

c) RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS

Sean

y

dos nmeros complejos,

definimos la diferencia por: d) MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS

Sean y dos nmeros complejos, alproducto de y definiremos por:

Y

bZ=(a, b)

a x


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e) DIVISION DE UN NUMERO COMPLEJOS

Sean , sabiendo , la divisin de definiremos por:

de esta definicin obtendremos la regla para la divisinSi entonces:

( ) . /

4.2 NUMERO COMPLEJO EN FORMA BINOMICA (CUADRADA)

El nmero complejo se define como una expresin de la forma

Donde x e y son nmeros enteros

Este tipo de expresin, , y se denomina formaBinmica.

Se llama parte real de al nmero real , que sedenota Re (z), y parte imaginaria de , al numero real

y, que se denota Im (z), por lo que se tiene entonces que: El conjunto de los nmeros complejos es: por lo tanto

* +Esta construccin permite considerar a los nmeros reales

como un sub conjunto de los nmeros complejos de parte

imaginaria nula. As, los nmeros complejos de la forma son nmeros reales y se denominan numerosimaginarios a los de la forma , es decir, con su partereal nula.


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4 2 1 OPERACIONES EN FORMA BINOMICA

Las operaciones de suma y producto definidas en los nmeros

reales se pueden extender a los nmeros complejos. Para la

suma y el producto de dos nmeros complejos escritos de laforma se tiene en cuenta laspropiedades usuales del algebra con lo que se define:

a) IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOS.

Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen iguales

su parte real y su parte imaginaria, es decir:

b) SUMA DE NUMEROS COMPLEJOSSean y dos nmeros complejos,definimos la adicin por:

,-c) RESTA DE NUMEROS COMPLEJOS

Sean y dos nmeros complejos,definimos la diferencia por: , -

d) MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS

Sean y dos nmeros complejos, alproducto de

y

definiremos por:

, -e) DIVISION DE UN NUMERO COMPLEJOS

Sean , sabiendo , la divisin de definiremos por:

[(

) (

) ]


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Que esto llamamos forma polar o trigonomtrica de un nmero

complejo:

Dnde:

Argumento de z Modulo4 3 2 OPERACIONES EN FORMA POLAR

a) ADICION Y SUSTRACION DE NUMEROS COMPLEJOS

Para las operaciones debemos de seguir algunos pasos:

Si los nmeros complejos que vamos a desarrollar seobserva que presentan ngulos notables, lo llevamos a

su forma Binmica ya conocida y a continuacin

realizamos la operacin correspondiente.

Si los nmeros complejos a operar no se presentan

ngulos notables hay que seguir algunos

transformaciones trigonomtricas.

b) MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS

Sea:

y

, -c) DIVISION DE NUMEROS COMPLEJOS

Sea:

y


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, -

d) POTENCIACION DE NUMEROS COMPLEJOS

Sea:

,-

e) POTENCIACION DE NUMEROS COMPLEJOS

,- [ ( ) ( )]

NOTA: Dependiendo el valor que tome n, k toma el valor

para desarrollar la raz

4.3 NUMERO COMPLEJO EN FORMA EXPONENCIAL

Sea:

Definimos la exponencial compleja por:


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e: nmero de Euler, que es hallado la frmula de Euler.

Entonces multiplicamos a ambos miembros por r:

Donde:

r = Modulo

e = base del logaritmo neperiano

i = unidad imaginaria

= ngulo expresado en radianes

PROPIEDADES:

Si en la frmula de Euler sustituimos por , es decir:=

Si lo sumamos:

Si lo restamos:

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