TEORÍA DE CIRCUITOSRESOLUCIÓN DE CIRCUITOS CA

Jorge Luis JaramilloPIET EET UTPL septiembre 2011

Créditos

Esta presentación fue preparada estrictamente como material de apoyo a la jornada presencial del curso de Teoría de Circuitos, del programa de Ingeniería en Electrónica y Telecomunicaciones que se imparte en el Universidad Técnica Particular de Loja.

La secuencia de contenidos corresponde al plan docente de la asignatura, y, para la elaboración se han utilizado aportes propios del docente, y, una serie de materiales y recursos disponibles gratuitamente en la web.

Resolución de circuitos ca

• Fasores• Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca.• Aplicación de los fasores al análisis de circuito de ca.• Discusión y análisis

Resolución de circuitos ca

•Fasores

La expresión matemática para describir a una onda senoidal, esta dada por:

x(ωt) = Xm*sen(ωt + θ)

En dónde,

x(t), puede representar v(t) ó i(t).Xm, es la amplitud o valor máximo, es la frecuencia angulart , es el argumento de la función senoΘ, es la fase

Fasores

Introducción

La expresión x(ωt) = Xm*sen(ωt + θ), utilizando identidades trigonométricas, puede ser presentada como:

x(t) = Xm*sen(ωt + θ)x(t) = Xm*(senωt*cosθ + cosωt*senθ)

x(t) = A senωt + B cosωt

En dónde,

A = Xm*cosθB = Xm*senθ

Entonces:

Fasores

Introducción

22 BAXM AB1tan

Por otra parte, la ecuación de Euler liga las funciones temporales senoidales con los números complejos:

ejωt = cosωt + jsenωt, En donde:

R(ejωt) = cosωtIm(ejωt) = senωt

Así por ejemplo, si la función que describe el voltaje puede expresarse como:

v(t) = Vmejωt,

entonces ésta magnitud puede ser representada trigonométricamente como:

v(t) = Vmcosωt + jVmsenωt

y, la intensidad de corriente podrá ser expresada como:

i(t) = Imej(ωt + φ)

Fasores

Introducción

Al analizar la expresión compleja del voltaje o del amperaje, es posible afirmar que el factor ejωt puede ser “eliminado” y centrar la atención en la magnitud y en la fase. Esta representación compleja se denomina fasor.

En términos generales, se conoce como fasor a un vector giratorio que puede ser empleado para representar a una función sinusoidal.

Fasores

Introducción

Resolución de circuitos ca

•Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca.

De acuerdo a la Ley de Ohm, en el circuito se cumple que:

v(t) = Ri(t)

Lo que, expresado en magnitudes complejas, equivale a:

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca

Resistor

)()( iv tjm

tjm eRIeV

Al analizar la expresión:

Se puede afirmar que θv = θi, lo que significa que la corriente y el voltaje para este circuito están en fase.

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca

Resistor

)()( iv tjm

tjm eRIeV

En la bobina se cumple que:

Lo que, expresado en magnitudes complejas, equivale a:

Que también puede ser representada como:

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca

Inductor

dt

tdiLtv

)()(

iv jm

jm eLIjeV

)90( iv jm

jm eLIeV

Al analizar la expresión:

Se puede afirmar que θv = θi +90o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase en 90º. Se dice que el voltaje adelanta a la corriente en 90º, o, que la corriente esta atrasada respecto al voltaje en 90º.

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca

Inductor

)90( iv jm

jm eLIeV

En el capacitor se cumple que:

Lo que, expresado en magnitudes complejas, equivale a:

Que también puede ser representado como:

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca

Capacitor

dt

tdvCti

)()(

vi jm

jm eCVjeI

)90( vi jm

jm eCVeI

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca

Capacitor

Al analizar la expresión:

Se puede afirmar que θi = θv +90o, lo que significa que la corriente y el voltaje están fuera de fase en 90º. Se dice que la corriente adelanta al voltaje en 90º, o, que el voltaje esta atrasado de la corriente en 90º.

)90( vi jm

jm eCVeI

Relaciones fasoriales de los elementos de un circuito ca

Resumen

Resolución de circuitos ca

•Aplicación de los fasores al análisis de los circuitos de ca.

La impedancia se define como la razón entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial, y, se simboliza con la letra Z.

La impedancia es una cantidad compleja cuya dimensión esta dada en ohm. La impedancia no es un fasor

Un inductor se representa en el dominio del tiempo por su inductancia L, y, en el dominio de la frecuencia por su impedancia jωL.

Un capacitor tiene una capacitancia C en el dominio del tiempo, y, una impedancia 1/jωc en el dominio de la frecuencia

Las impendancias se tratan como resistencias, pero sin olvidar que son magnitudes complejas.

Aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de ca

Impedancia

Resolver el circuito RL planteado, a través del uso de fasores.

Aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de ca

Al plantear la LKV a la malla, se obtiene:

Al reemplazar el voltaje y el amperaje por los fasores respectivos, se obtiene:

O, lo que se lo mismo:

Aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de ca

tVtiRdttdi

L m cos)()(

tjtjtj eeRedt

dL VII

tjtjtj eeReLj VII

Aplicación de los fasores a la resolución de circuitos de ca

Imagen tomada del sitio web de la Biblioteca de la Universidad de la Rioja

AC

)(ti

k5.1 k1

F6

1Vtsen )3000(40

H3

1

DISCUSIÓN Y ANÁLISIS