PracMatII

Introduccion

Las diversas practicas que se presenta en este material, estan dirigidos a los estudiantes

del curso de Matematica II de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela.

En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biologıa, Geoquımica, Quımica,

Computacion, Fısica y Matematica.

La presente guıa practica es el resultado de una recoleccion de ejercicios, tomados de var-

ios textos de calculo, como tambien de guıas elaboradas por profesores que han dictado esta

asignatura anteriormente y su objetivo es proporcionar al estudiante una serie de ejercicios

variados que deberan resolver para reforzar la teorıa vista durante el curso de Matematica II.

Este material es elaborado con caracter experimental, por lo tanto, durante el transcurso

del segundo semestre de 2009 sera evaluado por los profesores, preparadores y estudiantes

de la asignatura para una posterior modificacion que busca el mejoramiento del material.

Queremos agradecer a los profesores que dictaron el curso de Matematica II, en el primer

semestre de 2009, quienes aportaron ideas y algunas recomendaciones para la realizacion de

esta guıa practica.

Maricarmen Andrade.

Robert Espitia.

Septiembre 2009.

PRACTICA 1

Repaso de Derivadas

1) Usando la definicion de derivada calcule la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = 13x− 6

b) f(x) = sen(x)

c) f(x) =1√x

d) f(x) =1

xe) f(x) = cos(x)

f) f(x) =x + 1

x− 1

g) f(x) =√

x, x > 0

h) f(x) = x3 + 7x

i) f(x) =x2

4− x2

2) Recordando las reglas de derivacion de la adicion, sustraccion, producto y cociente. Halle

la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) =sen(x) + cos(x)− e(x)

tan(x)

b) f(x) =x2ln(x)cos(x)

7x2 − 1x

c) f(x) =arctan(x)(1 + x2)

arcsen(x)

d) f(x) = x2sen(x)cos(x)

e) f(x) =x3 − x2 + 1

5

g) f(x) =√

x + 3√

x +1

x

h) f(x) =

(2x3 + 1)

(1

x+ 2

)

1

x2

i) f(x) = [√

x + cos(x)]sec(x)

j) f(x) =sen(x)

1 + cos(x)

f) f(x) = [ln(x)(5√

x3 +√

x + x−1)]− ln(2√

5)

3) Usando la regla de la cadena, halle la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) =

√1 + x

1− x

b) f(x) = ln

(√1 + sen(x)

1− sen(x)

)

c) f(x) = ln

(1 + x2

1− x2

)

d) f(x) = e(x)ln(sen(x))

e) f(x) = arcsen

(2x3 − 5x

4

)

h) f(x) = 2x2e(x2+3)

i) f(x) =[sen2(2x)−√2x

]2

j) f(x) = e(2√

2+x2)

k) f(x) = etan(2x−1) + sen4

(1

x

)

l) f(a) =sen(sec(a))

sec3(√

a3 + 1)

f) f(x) = ln(2√

51− sen(16) + 4x)− e(75) + (7x3 + 50)100

g) f(x) = tan2[ln(sen(x) + cos(x)]− sen(2x)

2

4) Usando la regla de una funcion elevada a otra funcion o bien el procedimiento usado para

la deduccion de la misma, halle la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = 7(3x+1)

b) f(x) = xln(x)

c) f(x) = xx

e) f(x) = [cos(x)]x

f) f(x) = [cos(x)]sen(x)

g) f(x) = [tan(x)]sec(x)

d) f(x) = [tan(x) + arctan(x)− arcsen(x)]tan(x)

5) En las siguientes funciones calcule la derivada indicada:

a) y = ln(

1+x1−x

); y′′

b) y = cos2(x) + tan(x); y′′

c) y = arcsen(

x+1√2

); y′′

d) f(x) = 4x2 ; f ′′(x)

e) f(x) = 3(x2 + 4x)2(x− 3); f ′′(x)

f) f(x) = ln(x +

√x2 + 4

); f ′′(x)

g) y = ln(cos(x)); y′′′

h) y = (x+1)2

x; y′′′

i) y = arctan(2x4); y′′′

j) f(x) = 3x4 − 2x2 + x− 5; f ′′′(x)

k) f(x) = 1√x; f (4)(x)

l) f(x) =√

2− 3x2; f ′′(x)

m) y = x√x−1

; y′′

n) y = 3x1−x

; y′′′

n) y = 1x−1

; y′′′

o) f(x) = 2+3x2−3x

; f ′′′(x)

p) f(x) = (1−x)2

x; f ′′′(x)

q) f(x) = x(x− 1)3; f ′′′(x)

r) y = x2

x+1; y(4)

s) y = a2√

ax; y(4)

3

PRACTICA 2

Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy

1) Verificar si las siguientes funciones cumplen con las hipotesis del Teorema de Rolle. En

caso de cumplirlas obtener los valores c que satisfagan la conclusion del teorema.

a)f(x) = x− x3 en [−1, 0].

c)f(x) = |x| − 1 en [−1, 1].

e)f(x) = x3 + 5x2 − 6x en [0, 1].

g)f(x) = cos2(x) en [−π4

, π4].

i)f(x) =

{x + 3 si x ≤ 2

7− x si x > 2 en[−3, 7].

b)f(x) = x− x23 en [−1, 1].

d)f(x) = sen(x) en [0, 2π].

f)f(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3) en [1, 3].

h)f(x) = 3x2 − 12x + 11 en [0, 4].

j)f(x) =

{x2−5x+4

x−1si x 6= 1

0 si x = 1 en[1, 4].

2) Sea f(x) = 5 + 3(x− 1)23 .

a) Calcule f(0) y f(2).

b) Calcule f ′(x).

c) ¿Hay algun valor x en (0, 2) tal que f ′(x) = 0?.

d) ¿Cual es la hipotesis del teorema de Rolle que falla?.

3) Escribir la formula de Lagrange para la funcion f(x) = sen(x) en el intervalo [a, b] con

a < b.

4) Verificar si las siguientes funciones cumplen con las hipotesis del teorema de Lagrange.

En caso de cumplirlas obtener los valores c que satisfagan la conclusion del teorema.

a)f(x) = x3 + 1 en [−2, 4].

c)f(x) = x +4

xen [1, 4].

e)f(x) =√

3x− 2 en[

23, 1

].

g)f(x) =1

(x− 1)2en [0, 2].

i)f(x) =2

x− 3en [3.1, 3.2].

b)f(x) = 2x− x2 en [0, 1].

d)f(x) = x23 en [−8, 8].

f)f(x) = x3 − 2x2 + x + 3 en [−1, 1].

h)f(x) = 1− 3x13 en [−8,−1].

j)f(x) =

{2x + 3 si x < 3

15− 2x si x ≥ 3 en[−1, 5].

4

5) Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar las siguientes desigualdades. Haga un

dibujo para visualizar lo que esta demostrando.

a) ep(q − p) < eq − ep < eq(q − p) si p < q.

b) |sen(x)| ≤ x si x ≥ 0.

c) arctan(x2)− arctan(x1) ≤ x2 − x1 si x1 < x2.

d)x

1 + x≤ ln(1 + x) ≤ x si x ≥ 0.

e) −1 < ln(12) < −1

2.

f)1

9<√

66− 8 <1

8.

g)1

18<

5√

37− 2 <1

16.

h) ex ≥ 1 + x.

i) |sen(x)− sen(y)| ≤ |x− y| si x, y ∈ R.

j)1

55√

b4(b− a5) ≤ 5

√b− a ≤ 1

5a4(b− a5) si 0 < a5 < b.

k) ex > ex si x > 1.

l) nyn−1(x− y) ≤ xn − yn ≤ nxn−1(x− y) si 0 < y < x.

m) x2 − x1 ≤ arcsen(x2)− arcsen(x1) si −1 ≤ x1 < x2 ≤ 1.

6) Demuestre que las raıces cuadradas de dos numeros naturales consecutivos difieren en

menos de 0.5.

7) Calcule el valor de c para el cual se tiene que (ln(c))′ es igual a la pendiente de la recta

que pasa por (1, 0) y (e, 1).

8) Demuestre que c =a + b

2si f(x) = Ax2 + Bx + C en [a, b] con a < b.

9) Verificar el teorema de Cauchy para las siguientes funciones. Obtener los valores de c

que satisfagan la conclusion del teorema.

a) f(x) = x2, g(x) = x3 en [1, 2]

b) f(x) = ln(x), g(x) = x en [1, 3]

c) f(x) = x3 + 5x2 + 6x, g(x) = x en [0, 1]

d) f(x) = e3x, g(x) = ex en [−1, 1]

e) f(x) = 3x2 + 3x− 1, g(x) = x3 − 4x + 2 en [0, 1]

f) f(x) = sen(x), g(x) = cos(x) en [0, π]

5

PRACTICA 3

Regla de L’Hopital

Encuentre el lımite (si existe) de cada una de las siguientes expresiones. Asegurese de

que es aplicable la regla de L’Hopital antes de utilizarla.

.

1)limx→0

sen(x)− 2x

x

2)limx→0

x− 2sen(x)

tan(x)

3)limx→1

ln(x)

x2 − 1

4)limx→1

√x− x

ln(x)

5) limx→0+

8√

x − 1

3√

x − 1

6) limx→0+

2sen(x)√x

7)limx→0

tan(x)− sen(x)

x2tan(x)

8) limx→π

2

tan(x)

cot(x)

9) limx→2+

ln(x− 1)

(x− 2)2

10)limx→0

2− ex − e−x

1− cos2(x)

.

11)limx→0

ex − e−x − 2sen(x)

xsen(x)

12) limx→∞

xln(x)

x + ln(x)

13) limx→∞

ln(x)√x

14) limx→∞

ln(x)

2x

15)limx→0

2x3

ln(3x + ex)

16) limx→0+

ln(sen(x))

ln(tan(x))

17) limx→∞

(1

x)

1x

18) limx→∞

(1x + 2x)1x

19) limx→o+

(ex + x)2x

20)limx→0

(cos(x))cot(x)

21) limx→0+

(sen(x))x2

.

22)limx→0

(cos(x))2x

23)limx→0

(x + e2x)1x

24)limx→0

arcsen(x)

3arctan(x)

25)limx→0

ln(cos(3x))

2x2

26)limx→0

tan(x)− x

sen(x)− x

27)limx→0

ex − ln(1 + x)− 1

x2

28)limx→0

sen(x)

x− tan(x)

29) limx→π

2−

2 + sec(x)

3tan(x)

30) limx→∞

x32 + 5x− 4

xln(x)

31) limx→0+

ln(sen(x))

ln(sen(2x))

32) limx→∞

ln(ln(x))

ln(x)

33) limx→∞

x1x

34) limx→0+

(2x)x2

35) limx→π

2−(cos(x))cot(x)

36) limx→0+

(xx)x

37) limx→∞

(1 +1

x)x

38) limx→π

2−

cos2(3x)

cos2(x)

39) limx→0+

(1

x2− 1

x2sec(x))

40) limx→2+

(5

x2 + x− 6− 1

x− 2)

41) limx→0+

(tan(x)ln(x))

6

42) limx→π

2−

sec2(x)

sec2(3x)43) lim

x→0+(

1

sen(x)− 1

x)

44) limx→ 1

2

+(2x− 1)(tan(πx))

45) limx→0+

(arcsen(x)csc(x))

PRACTICA 4

Graficas de Funciones

Realice el estudio completo de cada funcion y determine: dominio, rango, puntos de cortes

con los ejes, puntos crıticos, puntos de inflexion, intervalos de crecimiento y decrecimiento,

maximo(s) y mınimo(s), tipo de concavidad, asıntotas: vertical, horizontal y oblicua (en caso

de tenerla). Con la informacion que obtuvo trace la grafica de la funcion:

.

1)f(x) = 4x13 + x

43

2)f(x) = x83 − 2x

53 − 6x

23

3)f(x) = 2− (x− 3)13

4)f(x) = (4− x) 3√

x

5)f(x) = (x + 3)√

x

6)f(x) = x13 (6− x)

23

7)f(x) =2

x− 3

8)f(x) =1

x2 + x− 6

9)f(x) = x√

x− 3

10)f(x) = x 3√

4− x

11)f(x) = 6x4 − 8x3 + 1

.

12)f(x) =2 + x− x2

(x− 1)2

13)f(x) =x2 + x + 4

x + 1

14)f(x) = − 4

(3− x)2

15)f(x) =x + 1

x− 1

16)f(x) =2x

x2 + 1

17)f(x) = 2x +1

x2

18)f(x) =2x3 − 5x2 + 4x

x2 − 2x + 1

19)f(x) =1

(x + 1)2(x− 1)

20)f(x) =1

x+

1

x2

.

21)f(x) = x + sen(x)

22)f(x) = e1x

23)f(x) = x2e−x2

24)f(x) =ln |x|

x

25)f(x) = x2e−x

26)f(x) =e

1x−1

x− 1

27)f(x) = x ln |x|

28)f(x) = (1 + x2)e−x2

29)f(x) =1

2 + 31x

30)f(x) = x− ln |x|x

7

PRACTICA 5

Optimizacion: Problemas de Maximos y Mınimos

Consideremos la siguiente informacion:

1) Perımetro de una figura geometrica: suma de las longitudes de todos los lados.

2) Areas de figuras planas:

a) Cuadrado: A = x2

b) Rectangulo: A = xy

c) Triangulo: A =xy

2

d) Cırculo: A = πr2

e) Trapecio: A =(x + y)h

2

3) Para triangulos rectangulos: h2 = x2 + y2 (Teorema de Pitagoras)

4) Longitud de una circunsferencia: l = 2πr

5) Volumen de figuras tridimensionales:

a) Cubo: V = x3

b) Paralelepıpedo: V = xyz

c) Cilindro: V = πr2h

d) Cono: V =πr2h

3

e) Esfera: V =4πr3

3

6) Area total de la superficie de figuras tridimensionales:

a) Cubo: A = 6x2

b) Paralelepipedo: A = 2xy + 2xz + 2yz

c) Cilindro: A = 2πr2 + 2πrh

d) Cono: A = πr2 + πr√

r2 + h2

e) Esfera: A = 4πr2

Resolver los siguientes problemas:

1) Hallar dos numeros reales cuya suma sea 18 y que el producto de uno por el cuadrado

del otro sea maximo. R: x = 6; y = 12

8

2) Hallar dos numeros reales cuya diferencia sea 40 y el producto sea mınimo. R: x = 20;

y = −20

3) Hallar dos numeros reales cuya suma sea 44 y cinco veces el cuadrado de uno mas siete

veces el cuadrado del otro sea mınimo. R: x =77

3; y =

55

3

4) Un campesino tiene que hacer un corral de forma rectangular y cuenta para ello con

900m de malla. Ademas, el corral va a estar pegado a un rıo. Por lo tanto, el debe

cercar solo tres lados del corral. Hallar la longitud que deben tener los lados del corral

para que su superficie sea lo mas grande posible (con la malla que cuenta).

R: x = 225m; y = 450m

5) Hallar las longitudes de una forma rectangular de area 36cm2 para que sea cercado por

una valla de longitud mınima. R: x = 6cm; y = 6cm

6) Se quiere construir un marco para una ventana que debe tener un area de 1m2. Cada

metro de altura vale 125 Bs.F. y cada metro de anchura 80 Bs.F. Hallar las dimensiones

del marco para minimizar su costo. R: x =4

5m; y =

5

4m

7) Un granjero desea construir un potrero rectangular de 230.000m2 de superficie. Uno de

los lados da a un precipicio. La cerca que ira del lado del precipicio cuesta 950 Bs.F.

por metro. El precio para los otros tres lados es de 1450 Bs.F. por metro. Hallar las

dimensiones del potrero que minimizan el costo de la cerca. R: x =

√5520000

29m;

y =3335

2760

√5520000

29m

8) Se dispone de una hoja de papel que mide 2m2 para un cartel. Ls margenes superior

e inferior miden 0,2m cada uno y los margenes laterales 0,12m cada uno. Hallar las

dimensiones de la hoja, para que el area de la parte impresa del cartel sea maxima.

R: x = 1, 66√

1, 2m; y =√

1, 2m

9) Las paginas de un libro deben tener cada una 600cm2 de area, con margenes de 2cm

abajo y a los lados y 3cm arriba. Encuentre las dimensiones de la pagina que permitan

la mayor area impresa. R: x = 5√

30cm; y = 4√

30cm

10) De todos los triangulos isosceles de 12cm de perımetro, hallar el que tiene area maxima.

R: x = 4cm; y = 4cm

11) En un triangulo isosceles, los lados iguales miden 20cm cada uno. Hallar la longitud

de la base para que el area sea maxima. R: x = 20√

2cm

9

12) Hallar entre todos los triangulos rectangulos con una hipotenusa de longitud h, el que

tiene area maxima. R: x =h√

2

2; y =

h√

2

2

13) Se tiene un alambre de 1m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar

con uno de ellos un cırculo y con el otro un cuadrado. Hallar las longitudes de cada uno

de los trozos para que la suma de las areas de las dos figuras sea mınimo. R: Longitud

del alambre para el cuadrado=4

π + 4m; Longitud del alambre para el cırculo=

π

π + 4m

14) Un alambre de 90cm de largo se va a partir en dos pedazos. Uno de los pedazos se

doblara para formar un triangulo equilatero y el otro para formar un cırculo. Hallar

la longitud de cada uno de los pedazos para que la suma de las areas de las dos figuras

sea maxima. R: Longitud del alambre para el triangulo= 0cm

15) Se va a partir un alambre de 36cm de largo en dos pedazos. Uno de los pedazos se

doblara para formar un triangulo equilatero y el otro para formar un rectangulo dos

veces mas largo que ancho. Hallar la longitud del alambre para que la suma de las

areas de las dos figuras sea mınima y maxima. R: Longitud del alambre para el

triangulo = 144− 72√

3cm para que alcance un mınimo; Longitud del alambre para el

triangulo = 0cm para que alcance un maximo.

16) Una ventana tiene forma de rectangulo coronado con un triangulo equilatero. El

perımetro de la ventana es de 6m. Encuentre las dimensiones del rectangulo que

permiten el mayor paso de luz (area maxima). R: x =36 + 6

√3

33m; y =

15− 3√

3

11m

17) Una ventana tiene forma de rectangulo coronado en la parte superior e inferior por

triangulos equilateros. Si el perımetro total de la figura es p, hallar las dimensiones de

la figura para que su area sea maxima. R: x =8 + 2

√3

52p; y =

5− 2√

3

26p

18) Se quiere construir una caja (con tapa) de base cuadrada que tenga un volumen de

3m2. Encuentre las dimensiones de la caja que hacen la cantidad de material utilizado

sea mınimo. R: x = 3√

3m; y =33√

9m

19) Se dispone de una lamina de carton cuadrada de 12cm de lado. Cortando cuadrados

iguales en las esquinas se construye una caja doblando los lados del carton. Hallar las

dimensiones de los cuadrados cortados para que el volumen de la caja sea maximo.

R: x = 2cm

20) Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza

rectangular de carton de 16cm de ancho y 21cm de largo, recortando un cuadrado en

10

cada esquina y doblando los lados. Encuentre el lado del cuadrado para el cual se

obtiene una caja de volumen maximo. R: x = 3cm

21) Se quiere construir una lata de refresco, sin tapa, de base circular que tenga un volumen

de 4πm3. Encuentre la altura de la lata para que el material utilizado sea mınimo.

R: h = 3√

4m

22) Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho

papel mide 9cm, calcular la altura del cono que se forma para que su volumen sea

maximo. R: h = 3√

3cm

23) Un triangulo isosceles de perımetro 30cm gira alrededor de su altura obteniendose un

cono. Hallar el valor de la longitud de la base del triangulo para que el volumen del

cono sea maximo. R: b = 12cm

24) Hallar las dimensiones del rectangulo de area maxima con dos de sus vertices sobre el

eje X y los otros dos por encima del eje X sobre la grafica de la parabola y = 6 − x2.

R: x = 2√

2unidades; y = 4unidades

25) Hallar el trapecio de mayor area que puede inscribirse en un semicırculo de radio 10cm

teniendo como base inferior el diametro. R: B = 20cm; b = 10cm; h = 5√

3cm

26) Hallar las dimensiones del rectangulo de area maxima que puede inscribirse en la elipsex2

32+

y2

22= 4. R: x =

3

2unidades; y =

√15unidades

27) Una esfera tiene un radio de 6cm. Hallar la altura del cilindro de volumen maximo

inscrito en ella. R: h = 4√

3cm

28) Encuentre las dimensiones del cilindro circular de volumen maximo que puede in-

scribirse en un cono de 12cm de altura y base de 4cm de radio, suponiendo que los ejes

del cilindro y del cono coinciden. R: r =8

3cm; h = 4cm

29) Hallar el punto de la recta y = −x + 1 que esta mas cerca del punto (1,3).

R:

(−1

2,3

2

)

30) Un hombre que esta en el mar, puede remar a una velocidad de 3Km/h y caminar al

doble de la velocidad. La costa es rectilınea. El punto mas cercano de la costa es P y

se encuentra a una distancia de 10Km del hombre. El hombre se dirige a un punto Q

de la playa que esta a una distancia de 6Km de P. Hallar el punto en que le conviene

desembarcar, para que llegue lo antes posible al punto Q. Calcular el tiempo que puede

tardar en llegar.

11

Sugerencia: La relacion entre distancia recorrida (d), velocidad (v) y tiempo (t)

esta dada por: d=vt. R: Le conviene desembarcar a10√

3

3Km del punto P ;

t =5√

3 + 3

3h

31) Un barco B se encuentra situado a 90Km al sur de un barco A. Si el barco A navega

hacia el este a 15Km/h y el B lo hace hacia el norte a 20Km/h. ¿En que momento se

encuentran a la menor distancia?. ¿Cual es la distancia?. Represente a Ai y Bi como

la posicion del barco A y B, respectivamente, despues de i horas. Utilizar la relacion

d=vt. R: t =72

25h; d = 15

√13Km

32) Una tienda vende 100 neveras por semana a 4500 Bs.F. cada una. Una investigacion de

mercadeo indica que por cada 100 Bs.F. de descuento que ofrezca la tienda, el numero

de neveras se incrementara en 1000 por semana:

a) Encuentre la funcion de demanda.

b) ¿Cuan grande debe ser el descuento que ofrezca la tienda para maximizar su

ingreso?

c) Si la funcion de costo semanal es C(x)=680000+1500x, ¿cual tiene que ser la

magnitud del descuento para maximizar la utilidad?.

R: a) P (x) = 4510− x

10; b) d = 2245Bs.F; c) d = 1495Bs.F

12

PRACTICA 6

Formula de Taylor

1) Calcule en cada caso el polinomio de Taylor Pn(x) centrado en a = 0 (Polinomio de

Maclaurin), del grado indicado n y calcule el residuo Rn(x) :

a) f(x) = e−x; n = 5

b) f(x) = sen(x); n = 3

c) f(x) =1

1− x; n = 5

d) f(x) = tan(x); n = 4

e) f(x) = arctan(x); n = 2

f) f(x) =√

1 + x; n = 4

g) f(x) = e2x; n = 4

h) f(x) = (1− x)−12 ; n = 5

i) f(x) = sen(2x); n = 4

j) f(x) = cos(x); n = 5

k) f(x) = ln(1 + x); n = 4

l) f(x) = x3 − 3x2 + 5x− 7; n = 3

2) Encuentre la formula de Taylor y su respectivo error para cada una de las siguientes

funciones con los valores dados de a y n:

a) f(x) =1

x; a = −2 ; n = 5

b) f(x) = cos(x); a = π4

; n = 6

c) f(x) = sec(x); a = π4

; n = 3

d) f(x) = 3√

x; a = −8 ; n = 4

e) f(x) = tan(x); a = π4

; n = 3

f) f(x) = x√

x; a = 4 ; n = 4

g) f(x) = xsen(x); a = π6

; n = 5

h) f(x) = ex; a = 1 ; n = 3

i) f(x) = ln(sen(x)); a = π6

; n = 4

j) f(x) = sen(x); a = π4

; n = 3

k) f(x) = arctan(x); a = 1 ; n = 2

l) f(x) =√

x; a = 2 ; n = 3

3) Utilice un polinomio de Taylor (orden 2 para la primera columna y orden 3 para la

segunda columna) para calcular el valor aproximado de las siguientes expresiones y

estime el error de la aproximacion:

a)√

65

b)√

e

c) 3√

9

d) sen(89o)

e) cos(47o)

f) ln(1.25)

g) sen(1o)

h) tan(44o)

i) cos(59o)

j) 4√

17

13

4) Determine el polinomio de Taylor de orden 3 alrededor del punto a = 1 para f(x) =

x3 − 2x2 + 3x + 5 y muestre que es una representacion exacta de f(x).

PRACTICA 7

Integrales Indefinidas

1) Resuelva las siguientes integrales haciendo manipulaciones algebraicas y usando inte-

gracion inmediata:

a)

∫(3x3 − 5x2 + 3x + 4)dx

b)

∫(sen(x) + 7cos(x)− 1)dx

c)

∫2√x

dx

d)

∫x3 − 2x2 − 4x

xdx

e)

∫(4x + 3)2dx

f)

∫2x− 1

2xdx

g)

∫(2√

x− 3√

x− x4)dx

h)

∫ (3

x− x

3

)dx

i)

∫2ex + e2x

exdx

j)

∫2

1 + x2dx

k)

∫(4x + 2)(x− 1)dx

l)

∫ex(x− 1)− ex

(x− 1)2dx

m)

∫5xdx

n)

∫ (3√

x +13√

x

)dx

n)

∫(x√

x + x 3√

x)dx

o)

∫(xm − xn)2

p√

xdx

p)

∫x3 − 3x2 + 1√

xdx

q)

∫(x2 + 1)(x2 − 2)

3√

x2dx

r)

∫ln(x) + ln(5)

5xln(5x)dx

s)

∫(ax − bx)2

(ab)xdx

t)

∫(2x + sec(x)tan(x))dx

u)

∫dx

1− sen(x)

14

2) Resuelva las siguientes integrales utilizando el metodo de sustitucion:

a)

∫tan(x)dx

b)

∫x− 1√

2x−√x + 1dx

c)

∫x + 2

2√

x + 2dx

d)

∫ex+1dx

e)

∫cos(ax + b)dx

f)

∫sen(x)cos(x)dx

g)

∫sen(2x)√cos(2x)

dx

h)

∫tan(x)

√sec(x)dx

i)

∫xtan(x2 + 1)dx

j)

∫dx

xln(x)ln(ln(x))

k)

∫esen(x)cos(x)cos(2x)dx

l)

∫sen(e2x)e2xdx

m)

∫dx√

(1 + x2)ln(x +√

1 + x2)

n)

∫6tan(x3)sec2(x3)x2dx

n)

∫24x2 − 4

8x3 − 4x + 16dx

o)

∫x + 8√

3x2 + 48x + 1dx

p)

∫sec(x)dx

q)

∫x(2x + 5)10dx

r)

∫1 + x

1 +√

xdx

s)

∫arcsen2(x)√

1− x2dx

t)

∫dx√

ex − 1

u)

∫e2x

√ex + 1

dx

3) Resuelva las siguientes integrales utilizando el metodo de integracion por partes:

a)

∫e2tsen(3t)dt

b)

∫x2cos(x)dx

c)

∫(2x + 4)e2x+4dx

d)

∫x2arctan(x)dx

e)

∫ √xln2(x)dx

f)

∫xln

(1 + x

1− x

)dx

g)

∫ln(x)dx

h)

∫excos(x)dx

i)

∫xln(x)dx

j)

∫arctan(x)dx

k)

∫arcsen(x)dx

l)

∫xsen(x)dx

15

m)

∫x

exdx

n)

∫x2−xdx

n)

∫x2e3xdx

o)

∫xsen(x)cos(x)dx

p)

∫(x2 + 5x + 6)cos(2x)dx

q)

∫ln(x)

x3dx

r)

∫ln(x +

√1 + x2)dx

s)

∫x

sen2(x)dx

t)

∫xcos(x)

sen2(x)dx

u)

∫sen(ln(x))dx

4) Resuelva las siguientes integrales de funciones trigonometricas:

a)

∫tan3(x)dx

b)

∫sec3(x)dx

c)

∫sen3(x)cos−4(x)dx

d)

∫sen5(4x)cos2(4x)dx

e)

∫sen(8x)sen(5x)dx

f)

∫sen(8x)cos(4x)dx

g)

∫tan3(3x)sec(3x)dx

h)

∫csc4(2x)dx

i)

∫tan−3(x)sec4(x)dx

j)

∫cotan2(3x)csc4(3x)dx

k)

∫tan2(5x)dx

l)

∫cos3(x)

sen4(x)dx

m)

∫sen(x)

1 + sen(x)dx

n)

∫cos3(x)

1− sen(x)dx

n)

∫sen3(x)

2 + cos(x)dx

o)

∫sen7(x)dx

p)

∫cos3(x)dx

q)

∫sen2(x)cos3(x)dx

r)

∫sen3

(x

2

)cos5

(x

2

)dx

s)

∫cos5(x)

sen3(x)dx

t)

∫sen4(x)dx

u)

∫sen2(x)cos2(x)dx

16

5) Resuelva las siguientes integrales utilizando el metodo de sustitucion trigonometrica:

a)

∫dx√

3x2 − 2

b)

∫x2

(a2 − x2)32

dx

c)

∫y

(y2 + 4)52

dy

d)

∫y3

√4− 9y2dy

e)

∫x3

√2− x2

dx

f)

∫ √x2 + 1

x2dx

g)

∫dx

(x + 1)2√

x2 + 2x + 2

h)

∫dx

x2 − 2x + 3

i)

∫ √3− 2x− x2dx

j)

∫4dx√

4− (x− 1)2

k)

∫(1 + ex)2

1 + e2xdx

l)

∫2x− 1√1− 4x2

dx

m)

∫x2

√1− x2

dx

n)

∫ √x2 − a2

xdx

n)

∫dx

x√

x2 − 1

o)

∫dx

x2√

4− x2

p)

∫ √x2 + 1

xdx

q)

∫ √1− x2dx

r)

∫dx

x2 + 2x + 5

s)

∫dx

x2 + 2x

t)

∫dx

3x2 − x + 1

u)

∫2x− 8√

1− x− x2dx

6) Resuelva las siguientes integrales de funciones racionales:

a)

∫dx

(x + a)(x + b)

b)

∫x2 − 5x + 9

x2 − 5x + 6dx

c)

∫dx

(x + 1)(x + 2)(x + 3)

d)

∫2x2 + 41x− 91

(x + 1)(x + 3)(x− 4)dx

e)

∫dx

x(x + 1)2

f)

∫5x2 + 6x + 9

(x− 3)2(x + 1)2dx

g)

∫x2 − 8x + 7

(x2 − 3x− 10)2dx

h)

∫2x− 3

(x2 − 3x + 2)3dx

i)

∫x3 + x + 1

x(x2 + 1)dx

j)

∫x

(x− 1)(x + 2)2dx

k)

∫3x2 + 1

(x− 1)(x2 + x + 1)dx

l)

∫x4

(x2 − 1)(x + 2)dx

17

m)

∫et

e2t + 3et + 2dt

n)

∫5x− 2

x2 − xdx

n)

∫3x3 − 3x + 4

4x2 − 4dx

o)

∫14x3 + 24x

(x2 + 1)(x2 + 2)dx

p)

∫4x3 + x

(x2 + 1)2dx

q)

∫ −2x− 4

x3 + x2 + xdx

r)

∫6x2 + 13x + 6

(x + 2)(x + 1)2dx

s)

∫x + 1

x3 + x2 − 6xdx

t)

∫2x4 − 3x3 − 4x2 − 17x− 6

x3 − 2x2 − 3xdx

u)

∫x + 1

(x2 + 4x + 5)2dx

7) Resuelva las siguientes integrales de funciones racionales en terminos de las funciones

sen(x) y cos(x) (Cambio Universal):

a)

∫dx

3 + 5cos(x)

b)

∫dx

sen(x) + cos(x)

c)

∫cos(x)

1 + cos(x)dx

d)

∫sen(x)

1− sen(x)dx

e)

∫1 + tan(x)

1− tan(x)dx

f)

∫sen(x)

(1− cos(x))3dx

g)

∫dx

2sen(x) + cos(x) + 3

h)

∫dx

1 + cos(x)

i)

∫dx

5− 3cos(x)

j)

∫dx

(2 + cos(x))sen(x)

k)

∫dx

4− 5sen(x)

l)

∫5

6 + 4sec(x)dx

m)

∫dx

1− sen(x) + cos(x)

n)

∫dx

−7cos(x) + sen(x)− 9

n)

∫dx

8− 4sen(x) + cos(x)

o)

∫sen(x)√

2 + sen(x) + cos(x)dx

p)

∫dx

(1 + cos(x))2

q)

∫dx

(1− sen(x))2

r)

∫dx

sen(

x2

)cos3

(x2

)

s)

∫cos5(x)

sen3(x)dx

t)

∫dx

sen4(x)

u)

∫dx

sen2(x)cos4(x)

18

8) Utilice una sustitucion adecuada, para hallar las siguientes integrales de funciones

irracionales:

a)

∫ √x− 1

x + 1dx

b)

∫x + 3

x2√

2x + 3dx

c)

∫3√

x√x + 3

√x

dx

d)

∫x−√x

x + 3√

xdx

e)

∫ √x

4√

x + 1dx

f)

∫1 + 3 6

√x− 2

3√

(x− 2)2 −√x− 2dx

g)

∫1√

x 3√

x(1 + 3√

x)2dx

h)

∫ 3√

x2 + 6√

x

4x(1 + 3√

x)dx

i)

∫x + 2x

34 + 6

√x + 4

√x2

4x(1 + 3√

x)dx

j)

∫6√

x + 2 4√

x

5x(1 + 6√

x)dx

k)

∫ √x

3√

x + 2dx

l)

∫4√

x4√

x +√

xdx

m)

∫ √x

x2 + xdx

n)

∫dx√

2x(√

2x + 9)

n)

∫dx

x√

x2 + x + 1

o)

∫dx

x2√

3x2 + 2x + 1

p)

∫dx

1 +√

x

q)

∫x

32

x + 1dx

r)

∫dx√√x + 1

s)

∫xdx

(3 +√

x)

t)

∫ √x + 1

1− xdx

u)

∫dx

1 + 3√

x− 2

9) Utilice cualquier metodo expuesto anteriormente, para hallar las siguientes integrales:

a)

∫e2x − exsen(x)

exdx

b)

∫x−

√arctan(2x)

1 + 4x2dx

c)

∫3xxdx

d)

∫cotan3(x)dx

e)

∫dx

(x− 1)√

x2 − 2

f)

∫x

x2 − 2x− 3dx

g)

∫x3 − 3x2 + 3x− 1

x− 1dx

h)

∫dx

( 3√

x−√x)

i)

∫dx

sen4(x)cos2(x)

j)

∫sen(x)√

cos2(x) + 4cos(x) + 1dx

19

k)

∫ln(3x)dx

l)

∫x2

5− x6dx

m)

∫ea

1 + x2dx

n)

∫sen(2x)√2− cos2(x)

dx

n)

∫csc3(x)dx

o)

∫x5√

x2 + 4dx

p)

∫sen(x)− cos(x)

sen(x) + 2cos(x)dx

q)

∫exdx√

1 + ex + e2x

r)

∫x3√

x2 − 4dx

s)

∫xarcsen(x)dx

t)

∫dx

5 + 4cos(x)

u)

∫tan3(x)sec2(x)dx

v)

∫x(1 + x)

23 dx

w)

∫x− 1

x3 − x2 − 2xdx

20

PRACTICA 8

Integrales Definidas

1) Use el Teorema Fundamental del Calculo para evaluar cada una de las siguientes inte-

grales:

1)

∫ 2

0

x3dx

2)

∫ 1

0

(2x4 − 3x2 + 5)dx

3)

∫ 2

1

3√

wdw

4)

∫ 7

1

1√2x + 2

dx

5)

∫ 4

1

s4 − 8

s2ds

6)

∫ π2

0

(4x + 3 + cos(x))dx

7)

∫ 1

0

(x2 + 2x)2dx

8)

∫ 3

−1

1

(t + 2)2dt

9)

∫ −2

−4

(y2 +

1

y3

)dy

10)

∫ 3

−3

8t√

7 + 2t2dt

11)

∫ 3

1

x2 + 1√x3 + 3x

dx

12)

∫ π2

0

cos(3x)sen2(3x)dx

13)

∫ π2

π6

2sen(t)dt

14)

∫ 4

0

(√

x−√2x + 1)dx

15)

∫ −1

−4

1− s4

2s2ds

16)

∫ −2

−4

2

y3dy

17)

∫ 8a

a

(a13 − x

13 )dx

18)

∫ 3

−2

|x2 − 1|dx

19)

∫ 2

−1

(x− 2|x|)dx

20)

∫ 2

0

(x2 − |x− 1|)dx

21)

∫ π3

−π3

sen5(θ)dθ

22)

∫ π2

−π2

x2sen(x)

1 + x6dx

23)

∫ 1

0

(4√

x5 +5√

x4)

dx

24)

∫ e4

e

dx

x√

ln(x)

25)

∫ 1

0

t22−t3dt

26)

∫ 12

0

arcsen(x)√1− x2

dx

27)

∫ 4

0

|x− 2|dx

28)

∫ 18

16

dx√x− 4

√x3

29)

∫ 5

0

| − x2 + 4x− 1|dx

30)

∫ 12

− 12

1

1− x2dx

31)

∫ 3

2

1√4x2 − 12x− 5

dx

32)

∫ π2

0

1

5sen(x) + 3dx

21

33)

∫ π3

π6

3

2sen(2x) + 1dx

34)

∫ 4

0

1

1 +√

xdx

35)

∫ 2

12

1√2x(

√2x + 9)

dx

36)

∫ 1

−1

x3 + x

(x4 + 2x2 + 1)5dx

37)

∫ 1

0

1√x +

√x + 1

dx

38)

∫ 4

1

1√t(√

t + 1)3dt

39)

∫ 3

13

3√

x− x3

x4dx

40)

∫ √2

0

x

4 + x4dx

2) Calcular las siguientes derivadas:

1)d

dx

[∫ x

0

(t2 + t)dt

]

2)d

dx

[∫ x

−6

(2t + t)dt

]

3)d

dx

[∫ x

0

sen4(u)tan(u)du

]

4)d

dx

[∫ x

1

√1 + t4dt

]

5)d

dx

[∫ π4

x

utan(u)du

]

6)d

dx

[∫ 1

x

x2√

u2 + 1du

]

7)d

dx

[∫ cos(x)

sen(x)

u2du

]

8)d

dx

[∫ x3

x

√t3 + 1dt

]

9)d

dx

[∫ sen(x)

0

(t2 + cos(t))dt

]

10)d

dx

[∫ 1x

0

sen4(t)dt

]

11)d

dx

[∫ x

−1

√1 + s4ds

]

12)d

dx

[∫ x

0

(t2 − 1)20dt

]

13)d

du

[∫ u

π

1

1 + t4dt

]

14)d

dt

[∫ t

0

sen(x2)dx

]

15)d

dx

[∫ 4

x

(2 +√

t)8dt

]

16)d

dx

[∫ 2

x

cos(t2)dt

]

17)d

dx

[∫ √x

0

s2

s2 + 1ds

]

18)d

dx

[∫ 17

tan(x)

sen(t4)dt

]

19)d

dx

[∫ π

x2

sen(t)

tdt

]

20)d

dx

[∫ 5x+1

0

1

u2 − 5du

]

21)d

dx

[∫ sen(x)

−5

t cos(t3)dt

]

22)d

dx

[∫ 2x

3x

u− 1

u + 1du

]

23)d

dx

[∫ x2

tan(x)

1√2 + t4

dt

]

24)d

dx

[∫ x3

√x

√tsen(t)dt

]

22

3) Dibuje la region limitada por las curvas dadas y calcule su area:

1) y = x2 ; y = x4

2) y = x ; y = x3

3) y = x2 − 4x ; y = 2x

4) y = x ; y = x2

5) y = x2 ; y2 = x

6) y =√

x ; y =x

2

7) y = 4x2 ; y = x2 + 3

8) y = x4 − x2 ; y = 1− x2

9) x + y2 = 2 ; y + x = 0

10) y2 = x ; x− 2y = 3

11) x = 1− y2 ; x = y2 − 1

12) y = 2x− x2 ; y = x3

13) x = 1− y4 ; x = y3 − y

14) y = x3 ; x = y3

15) y = x√

1− x2 ; y = x− x3

16) y = x2 − 4x + 3 ; y = 0

17) y = 4 + 3x− x2 ; y = 0

18) y =√

x− 4 ; y = 0 ; x = 8

19) x = y4 ; x = 2− y4

20) x = 6y − y2 ; x = 0

21) y = x4 ; y = −x− 1 ; x = −2 ; x = 0

22) x+y2 = 0 ; x = y2+1 ; y = 0 ; y = 3

23) x = 3y ; y + x = 0 ; 7x + 3y = 24

24) y2 = x ; y = x + 5 ; y = −1 ; y = 2

25) y = x4 + 3 ; y = x ; x = −1 ; x = 1

26) y = cosx; y = sen(2x); x = 0; x =π

2

27) y = x2+2 ; y = 2x+5 ; x = 0 ; x = 6

28) y = 4−x2 ; y = x+2 ; x = −3 ; x = 0

29) y = (x+1)2; y = x+4; x = −3; x = 2

30) y = x2+1; y = −3−x2; x = −2; x = 2

31) y = |x| ; y = (x + 1)2 − 7 ; x = −4

32) y = x ; y = sen(x) ; x = −π

4; x =

π

2

33) y = cosx; y = tan2x; x = −π

4; x =

π

4

34) y = senx; y = sen(2x); x = 0; x =π

2

35) y = senx; y = cos(2x); x = 0; x =π

4

36) y = |x− 1| ; y = x2 − 3 ; x = 0

37) y = cos(x) ; y = sen(2x); x =π

2

38) x2 + 2x + y = 0 ; x + y + 2 = 0

39) y = x3 − 4x2 + 3x ; y = x2 − x

40) y =√

x− 1 ; x− 2 = 0;

4) Dibuje la region R limitada por las graficas de las ecuaciones dadas, mostrando un

rectangulo vertical caracterıstico. Encuentre despues el volumen del solido generado

por la rotacion de R alrededor del eje x:

1) y =x2

4; x = 4 ; y = 0

2) y = x23 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 8

3) y = x3 ; x = 2 ; y = 0

4) y = x32 ; x = 1 ; x = 3 ; y = 0

5) y =1

x; x = 1 ; x = 4 ; y = 0

6) y =√

4− x2 ; y = 0 ; x = −1 ; x = 2

23


rectangulo horizontal caracterıstico. Encuentre despues el volumen del solido generado

por la rotacion de R alrededor del eje y:

1) x = y2 ; x = 0 ; y = 2

2) x =2

y; y = 1 ; y = 6 ; x = 0

3) x =√

y ; y = 4 ; x = 0

4) x =√

9− y2 ; x = 0

5) x = y23 ; y = 8 ; x = 0

6) x = y32 ; y = 4 ; x = 0



por la rotacion de R alrededor del eje indicado:

Region En Torno

1) x = y2 ; x = 1 x = 1

2) x + y = 3 ; y = 2x ; x = 0 eje y

3) x = −y2 + 2y ; x = 0 x = 2

4) x + y = 2 ; x = 0 ; y = 0 ; y = 1 eje x

5) y = x13 ; x = 0 ; y = 1 ; x = 2 y = 2

6) y =√

x− 1 ; x = 5 ; y = 0 x = 5

7) Encuentre el volumen del solido generado por la rotacion alrededor del eje x de la

region limitada por la:

1) Mitad superior de la elipse:x2

a2+

y2

b2= 1 y el eje x, encuentre despues el volumen

del esferoide alargado. Aqui a y b son constantes positivas, siendo a > b.

2) Recta y = 4x y la parabola y = 4x2.

3) Recta x = −2y y la parabola y2 − 2x = 0.

4) De la region del primer cuadrante limitada por la recta x = r − h, el cırculo

x2 + y2 = r2 y el eje x. Siendo 0 < h < r y encuentre despues el volumen de un

segmento esferico de altura h, si el radio de la esfera es r.

8) Encuentre el volumen del solido generado por la rotacion alrededor del eje y de la

region limitada por la:

1) Recta y = 4x y la parabola y = 4x2.

24

2) La recta y = 2, de la region del primer cuadrante limitada por las parabolas

3x2 − 16y + 48 = 0 ; x2 − 16y + 80 y el eje y.

9) Calcule los volumenes de los solidos que se obtienen al hacer girar la region limitada

por las curvas y = x y y = x2 en torno a los siguientes ejes:

a) El eje x. b) El eje y. c) y = 2.

10) Encuentre el volumen del solido generado por la rotacion de la region del primer cuad-

rante limitada por la curva y2 = x2, la recta x = 4 y el eje x.

a) Alrededor de x = 4. b) Alrededor de y = 8. c) Alrededor de y = 2.

11) Encuentre el volumen del solido generado por la rotacion de la region en el primer

cuadrante aislado por la curva y2 = x3, la recta y = 8 y el eje y.

a) Alrededor de x = 4. b) Alrededor de y = 8. c) Alrededor de y = 2.

12) Sea R la region del primer cuadrante limitada por las curvas y2 = x3 y y = 2x − x2.

Calcule las siguientes cantidades:

1) El area de R.

2) El volumen que se obtiene al hacer girar R en torno al eje x.

3) El volumen que se obtiene al hacer girar R en torno al eje y.



por la rotacion de R alrededor del eje x:

1) y = x2 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 4

2) y2 = x ; x = 2y

3) y = x2 ; y = 4 ; x = 0

4) y = x2 − x3 ; y = 0

5) y = −4x3 − 3 ; y = 0

6) y =1

x; y = 0 ; x = 1 ; x = 10

7) y = sen2(x) ; y = 0 ; x = 0 ; x =√

π

8) y =√

4 + x2 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 4

9) y = −x2− 6x+10 ; y = −x2− 6x− 6

10) y = x−2 ; y = 0 ; x = 0 ; y =√

x− 2

25

14) Aplique el metodo de las envolventes cılindricas para calcular el volumen del solido

que se obtiene al hacer girar en torno al eje indicado la region limitada por las curvas

dadas. Dibuje la region y una corteza representativa:

Region En Torno

1) y =√

x ; y = o ; x = 1 ; x = 4 eje y

2) y = x2 ; y = 0 ; x = −2 ; x = −1 eje y

3) y = x2 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 x = 1

4) y = x2 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 2 x = 4

5) y =√

x− 1 ; y = 0 ; x = 5 y = 3

6) y = 4x− x2 ; y = 8x− 2x2 x = −2

15) Establezca pero no evalue, una integral para el volumen del solido que se genera al

hacer girar la region limitada por las curvas dadas en torno al eje indicado:

Region En Torno

1) y = sen(x) ; y = o ; x = 2π ; x = 3π eje y

2) y =1

1 + x2; y = 0 ; x = 0 ; x = 3 eje y

3) x = cos(y) ; y = 0 ; x = 0 ; y =π

4eje x

4) y = −x2 + 7x− 10 ; y = x− 2 eje x

5) y = x4 ; y =π x

2; x = 5 x = −1

6) x = 4− y2 ; x = 8− 2y2 y = 5

7) y = ln(x) ; y = 0 ; x = e eje y

8) y = ex ; y = e(−x) ; x = 1 eje y

16) Estudie la Convergencia o Divergencia de las siguientes integrales:

1)

∫ ∞

1

exdx

2)

∫ ∞

3

x√9− x2

dx

3)

∫ ∞

−∞

dx

x2 + 2x + 5

4)

∫ −2

−∞

dx

x5

5)

∫ ∞

−∞

x√x2 + 4

dx

6)

∫ ∞

2

x

1 + x2dx

26

7)

∫ 0

−∞e3xdx

8)

∫ ∞

2

dx

xln(x)

9)

∫ ∞

4

xe−x2

dx

10)

∫ π4

0

tan(2x)dx

11)

∫ ∞

2

x

(1 + x2)2dx

12)

∫ 0

−∞

dx

(2x− 1)3

13)

∫ ∞

−∞

x

e|x|dx

14)

∫ ∞

0

xe−xdx

15)

∫ ∞

−∞

x

(x2 + 4)2dx

16)

∫ ∞

2

dx

(1− x)23

17)

∫ 1

0

ln(x)

xdx

18)

∫ 7

3

dx√x− 3

19)

∫ 1

0

dx√1− x2

20)

∫ ∞

0

dx√3x

21)

∫ ∞

0

ln(x)

xdx

22)

∫ ∞

2

dx

x(ln(x))2

23)

∫ 4

2

dx

(3− x)23

24)

∫ ∞

3

x

9− x2dx

25)

∫ ∞

12

x + 1

x3dx

26)

∫ 2

1

dx

(x− 1)13

27)

∫ π2

0

csc(x)dx

28)

∫ 2

0

3dx

x2 + x− 2

29)

∫ 1

−1

dx

1− x

30)

∫ 0

−3

xdx

(x2 + 4)23

31)

∫ 3

0

dx√1− x2

32)

∫ π2

0

dt

1− sen(t)

33)

∫ ∞

−∞e−|x|dx

34)

∫ π4

π2

sec(x)dx

35)

∫ ∞

0

sen(x)dx

36)

∫ ∞

0

− dx

x2 + 1

37)

∫ 1

0

csc(x)dx

38)

∫ ∞

−∞(1− x2)dx

39)

∫ ∞

0

dx

(x + 1)2

40)

∫ 0

−∞x5−x2

dx

41)

∫ ∞

1

ln(x)dx

42)

∫ 3

0

dx3√

(x− 1)2

43)

∫ ∞

0

e−x cos(x)dx

44)

∫ 1

0

xln(x)dx

45)

∫ ∞

1

e−√

x

√x

dx

46)

∫ ∞

−∞xcos(x2)dx

27

47)

∫ ∞

0

x3e−x2

dx

48)

∫ ∞

2

dx

x√

x2 − 4

49)

∫ ∞

−∞xe−xdx

50)

∫ ∞

0

dx

a2 + x2; a > 0

17) Encuentre el area de la region bajo la curva y =2

4x2 − 1a la derecha de x = 1.

18) Encuentre el area de la region bajo la curva y =1

x2 + xa la derecha de x = 1.

19) Evalue

∫ 2

−2

dx

4− x2o demuestre si diverge.

20) Demuestre

∫ ∞

1

dx

xpconverge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.

21) Encuentre el area de la region comprendida entre las curvas y = (x − 8)−23 y y = 0

para 0 ≤ x < 8.

22) Demuestre que:

1)

∫ ∞

−∞

x

(1 + x2)2dx converge.

2)

∫ ∞

−∞

x

1 + x2dx diverge.

23) Calcular:

1)

∫ ∞

−∞sen(x)dx

limr→∞

∫ r

−r

sen(x)dx

2)

∫ 1

−1

1

xdx

limr→0+

[∫ −r

−1

1

xdx +

∫ 1

r

1

xdx

]

28

24) Hallar los valores de n, para los cuales, las siguientes integrales son convergentes:

1)

∫ ∞

1

1

xndx

2)

∫ 1

0

xndx

3)

∫ 1

0

xnln(x)dx

4)

∫ ∞

0

1

(1 + x)ndx

25) Utilice una integracion en x para determinar la longitud del segmento de la recta

y = 2x + 3, entre x = 1 y x = 3. Verifique usando la formula de distancia entre dos

puntos.

26) Utilice una integracion en y para encontrar la longitud del segmento de la recta 2y −2x + 3 = 0, entre y = 1 y y = 3. Verifique usando la formula de distancia entre dos

puntos.

27) Encontar en cada caso, la longitud de la curva que se indica:

1) y = 4x32 entre x =

1

3y x = 5

2) y =x4 + 3

6xentre x = 1 y x = 3

3) 30xy3 − y8 = 15 entre y = 1 y y = 3

4) y =2

3(x2 + 1)

32 entre x = 1 y x = 8

5) x =y4

16+

1

2y2entre y = −3 y y = −2

28) Dibuje la grafica de la ecuacion parametrica dada y encuentre su longitud de arco en

cada caso:

1) x =t3

3; y =

t2

2; 0 ≤ t ≤ 1

2) x = 3t2 + 2 ; y = 2t3 − 1

2; 0 ≤ t ≤ 4

3) x = 4sen(t) ; y = 4cos(t)− 5 ; 0 ≤ t ≤ π

4) x =√

5 sen(2t)− 2 ; y =√

5cos(2t)−√3 ; 0 ≤ t ≤ π4

29

PRACTICA 9

Ecuaciones Diferenciales

1) En las siguientes ecuaciones diferenciales, determinar el orden, el grado (si es posible),

si es lineal o no, la funcion incognita y la variable independiente:

1) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cos(x)

2) yy′ + 2y = 1 + x2

3) x2dy + (y − xy − xex)dx = 0

4) x3y(4) − x2y′′ + 4xy′ − 3y = 0

5)dy

dx=

√1 +

(d2y

dx2

)2

6) sen(x)y′′′ − cos(x)y′ = 2

7) (1− y2)dx + xdy = 0

8) (y′′)2 − 3yy′ + xy = 0

9) y(4) + xy′′′ + x2y′′ − xy′ + sen(y) = 0

10)

(d2y

dx2

) 32

+ y = x

11) s2 d2t

ds2+ st

dt

ds= 8

12) x4y(4) + xy′′′ = ex

2) Verifique que las siguientes funciones (explıcitas o implıcitas) son soluciones de las

correspondientes ecuaciones diferenciales:

1) y′ = 2x ; y = x2 + c

2) xy′ = 2y ; y = cx2

3) yy′ = e2x ; y2 = e2x + c

4) xy′ = y + x2 + y2 ; y = xtan(x)

5) xy′ + y = y′√

1− x2y2 ; y = arcsen(xy)

6) (ycos(y)− sen(y) + x)y′ = y ; y + sen(y) = x

3) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales usando separacion de variables:

1)dy

dx= sen(5x)

2)dy

dx= (x + 1)2

3) dx + e3xdy = 0

4) (x + 1)y′ = x + 6

5) xy′ = 4y

6)dy

dx=

y3

x2

7)dx

dy=

x2y2

1 + x

8)dy

dx= e3x+2y

30

9) (4y + yx2)dy − (2x + xy2)dx = 0

10) (1 + x2 + y2 + x2y2)dy = y2dx

11) 2y(x + 1)dy = xdx

12) y ln(x)dx

dy=

(y + 1

x

)2

13) sec2(x)dy + csc(y)dx = 0

14) exydy

dx= e−y + e−2x−y

15)dy

dx=

xy + 3x− y − 3

xy − 2x + 4y − 8

16)dy

dx=

(2y + 3

4x + 5

)2

17) 2dy

dx− 1

y=

2x

y

18)dy

dx=

(1 + x2)−12

(1 + y2)12

4) Resuelva la ecuacion diferencial por separacion de variables, sujeta a la condicion inicial

respectiva:

1) (e−y + 1)sen(x)dx = (1 + cos(x))dy ; y(0) = 0

2) (1 + x4)dy + x(1 + 4y2)dx = 0 ; y(1) = 0

3) ydy = 4x√

1 + y2dx = 0 ; y(0) = 1

4)dy

dx+ ty = y ; y(1) = 3

5)dx

dy= 4(x2 + 1) ; x(π

4) = 1

6) x2y′ = y − xy ; y(−1) = −1

7)dy

dx=

y2 − 1

x2 − 1; y(2) = 2

8)dy

dt+ 2y = 1 ; y(0) = −5

2

5) Determine la solucion general de la ecuacion diferencial lineal de primer orden dada:

1)dy

dx= 5y

2) 3dy

dx+ 12y = 4

3)dy

dx+ y = e3x

4) y′ + 3x2y = x2

5) x2y′ + xy = 1

6) (x + 4y2)dy + 2ydx = 0

7) xdy = (xsen(x)− y)dx

8) (1 + x2)dy + (xy + x3 + x)dx = 0

31

9) (1 + ex)y′ + exy = 0

10) cos(x)y′ + ysen(x) = 1

11) cos2(x)sen(x)dy + (ycos3(x)− 1)dx = 0

12) x2y′ + x(x + 2)y = ex

13) xy′ + 4y = x3 − x

14) ydx + (xy + 2x− yey)dy = 0

15) xy′ + (3x + 1)y = e−3x

16) ydx− 4(x + y6)dy = 0

17) y′ + y =1− e−2x

ex + e−x

18) ydx + (x + 2xy2 − 2y)dy = 0

6) Resuelva la ecuacion diferencial lineal dada, sujeta a la condicion inicial que se indica:

1) y′ + ytan(x) = cos2(x) ; y(0) = −1

2) sen(x)dy

dx+ ycos(x) = 0 ; y(−π

2) = 1

3) cos2(x)y′ + y = 1 ; y(0) = −3

4)dy

dx=

y

y − x; y(5) = 2

5)dy

dx+ ytan(x) = sec(x) ; y(0) = −1

6) xdy + (xy + 2y − 2e−x)dx = 0 ; y(1) = 0

7) y′ + 2y + x(e3x − e2x) = 0 ; y(0) = 2

8)dy

dx− 2y

x + 1= (x + 1)3 ; y(0) = 1

7) Resuelva las ecuaciones diferenciales homogeneas dadas, utilizando la sustitucion ade-

cuada:

1) (x− y)dx + xdy = 0

2) (x + y)dx + xdy = 0

3) xdx + (y − 2x)dy = 0

4) ydx = 2(x + y)dy

5) (y2 + yx)dx− x2dy = 0

6)dy

dx=

y − x

y + x

7) −ydx + (x +√

xy)dy = 0

8) xy′ − y =√

x2 + y2

9) y′ =y2 + 2xy

x2

32

10) y′ =x + y

x

11) y′ =x2 + xy + y2

x2

12) 2ydx− xdy = 0

13)dy

dx=

x + 3y

3x + y

14) 2x2ydx = (3x3 + y3)dy

15) (x2 + xy − y2)dx + xydy = 0

16) ydx

dy= x + 4ye(

−2xy )

8) Resuelva las ecuaciones diferenciales homogeneas dadas, sujeta a la condicion inicial

respectiva:

1) xy2y′ = y3 − x3 ; y(1) = 2

2) (x + ye(yx))dx− xe(

yx)dy = 0 ; y(1) = 0

3) (x2 + 2y2)x′ = xy ; y(−1) = 1

4) ydx + x(ln(x)− ln(y)− 1)dy = 0 ; y(1) = e

5)dy

dx=

y

xln

(y

x

); y(1) = 3

6)dy

dx=

y

x+

x2

y2+ 1 ; y(2) = 1

9) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reducibles a homogeneas (recta sobre

recta o coeficientes lineales):

1)dy

dx=−x− y + 1

x + y − 3

2)dy

dx=

6x− y − 5

4x− y − 3

3) (2x + y + 1)dx− (2x + 4y + 3)dy = 0

4) (3x + y − 2)dx + (2x + y − 1)dy = 0

5) (10x−9y+2)dx+(9y−10x+3)dy = 0

6) 3x + y − 2 + y′(x− 1) = 0

7) (2x− 4y)dx + (x + y − 3)dy = 0

8) 2x + 2y − 1 + y′(x + y − 2) = 0

9) x′ =x + y − 1

x− y − 3

10) (y − x− 4)y′ − (x + y − 2) = 0

11) (2 + 2x− y)y′ = 1 + 6x− 3y

12) y′(4x + 5y + 2) = (2x + 3y + 1)

13) y′ =x + y − 1

x− 2y

14)dy

dx=

2x + 9y − 20

6x + 2y − 10

15)dy

dx=

3y − 2x− 3

4x− 6y

16) (3y−7x+7)dx− (3x−7y−3)dy = 0

33

10) Resuelva la ecuacion diferencial de Bernoulli dada:

1) xy′ + y =1

y2

2) y′ − y = exy2

3) y′ = y(xy3 − 1)

4) xdy

dx− (1 + x)y = xy2

5) x2 dy

dx+ y2 = xy

6) 3(1 + x2)y′ = 2xy(y3 − 1)

7) y − xy′ = ky2

8) xdy + ydx = x3y6dx

9) x2y′ + 2xy − y3 = 0

10) 4y′ + 8xy − 4xy2 = 0

11) (2xt2ln(x) + 1) =2xdt

tdx

12) x2y − x3 dy

dx= y4cos(x)

11) Resuelva la ecuacion diferencial de Bernoulli dada, sujeta a la codicion que se indica:

1) x2y′ − 2xy = 3y4 ; y(1) =1

2

2) y( 12)y′ + y( 3

2) = 1 ; y(0) = 4

3) (12e2xy2 − y)dx = dy ; y(0) = 1

4) y′ + xy = xe−x2y−3 ; y(2) = 1

5) y′ + 3x2y = x2y3 ; y(0) = 1

6) 2dy

dx=

y

x− x

y2; y(1) = 1

12) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Ricatti, donde yp es una solucion

particular en cada una de las ecuaciones:

1) y′ = e2x + (1 + 2ex)y + y2 ; yp = Aex

2) x2y′ + 4 + xy = (xy)2 ; yp =A

x

3) y′ = y2 − 2

x2; yp =

A

x

4) x2(y′ + y2) + xy = 1 ; yp =A

x

5) y′ + y2 + x2 = 1 + 2xy ; yp = Ax

6) 3y′ − 3y2 = 3e2x + (3 + 6ex)y ; yp = Aex

7) y′x = −4

x− y + y2x ; yp =

A

x

8) y′ = 2x2 +1

xy − 2y2 ; yp = Ax

9) 6y′ + 6y2 + y − 1 = 0 ; yp = A

10) y′ + y2 +y

x=

1

x2; yp = −A

x

11) y′ = 1 + x2 − 2xy + y2 ; yp = Ax

34

12) y′ + 2y + 3y2 + 1 = 2 ; yp = A

13) Encuentre la solucion general de la ecuacion diferencial dada:

1) 4y′′ + y′ = 0

2) y′′ + 36y′ = 0

3) y′′ − y′ − 6y = 0

4) y′′ − y′ + 2y = 0

5) y′′ + y′ + 16y = 0

6) y′′ − 10y′ + 25y = 0

7) y′′ + 9y′ = 0

8) 12y′′ − 5y′ − 2y = 0

9) y′′ − 4y′ + 5y = 0

10) 2y′′ − 3y′ + 4y = 0

11) 3y′′ + 2y = 0

12) 3y′′ + 2y′ + y = 0

14) Resuelva cada problema de valor inicial:

1) y′′ + 16y = 0 ; y(o) = 2 ; y′(0) = −2

2) y′′ + y = 0 ; y(

π3

)= 0 ; y′

(π3

)= 2

3) y′′ − 4y′ − 5y = 0 ; y(1) = 0 ; y′(1) = 0

4) 4y′′ − 4y′ + 3y = 0 ; y(0) = 1 ; y′(0) = 5

5) y′′ + y′ + 2y = 0 ; y(0) = 0 ; y′(0) = 0

6) y′′ − 2y′ + y = 0 ; y(0) = 5 ; y′(0) = 10

15) Encuentre la solucion general de cada una de las ecuaciones diferenciales dadas:

1) y′′ + 4y′ + 3y = x

2) y′′ − 7y′ + 6y = (x− 2)ex

3) y′′ + 2y′ + 5y = 2cos(x)

4) y′′ + 4y = cos(2x)

5) y′′ − y = 3e2xcos(x)

6) y′′ − 3y′ + 2y = 2x− 3

7) y′′ − 3y′ − 4y = 2sen(x)

8) y′′ − 3y′ − 4y = 4x2

9) y′′ − 2y′ = exsen(x)

10) y′′ − 4y = ex + e2x + sen(2x)

11) y′′ − y′ − 6y = 2sen(3x) + cos(5x)

12) y′′ + 2y′ − 24y = 16− (x + 2)e4x

13) y′′ + 2y′ + y = cos(x) + 3sen(2x)

14) y′′ + 5y′ + 4y = 8x2 + 3 + 2cos(2x)

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