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Calculo 2 Introduccion a las ecuaciones diferenciales

Parte IIIIntroduccion a las ecuaciones diferenciales ordinarias

1. Introduccion y generalidades.El tema de estudio central de esta parte de la materia seran las ecuaciones diferenciales ordina-rias (EDO). Las ecuaciones diferenciales en general, constituyen la esencia matematica para lamodelizacion y comprension de un gran numero de eventos fısicos, economicos, etc. Ademashistoricamente han estado a la base de los desarrollos mas notables del analisis, de cuyas herra-mientas haremos uso para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales que estudiaremos.Si bien el desarrollo teorico y abstracto sera importante, no tiene sentido estudiar ecuacionesdiferenciales sin hacer referencia a los problemas practicos que generaron su desarrollo y que pue-den resolverse encontrando la solucion de cierto tipo de ecuaciones, ergo veremos gran cantidadde aplicaciones.Se presentan una gran cantidad de problemas, en los cuales se desea determinar un elementovariable a partir de su coeficiente de variacion. Por ejemplo conocer la posicion de una partıculaconociendo su velocidad o su aceleracion, en dicho ejemplo se quiere determinar una funcion apartir de una ecuacion en la que interviene al menos una derivada de la funcion incognita.Se entiende por ecuacion diferencial cualquier ecuacion en la que interviene una variable independien-te y una funcion desconocida y sus derivadas con respecto a esa variable independiente.

Fpx, ypxq, y1pxq, y2pxq, . . . q “ 0

o cuando la funcion incognita u depende de varias variables independientes, por ejemplo

Gpx, y,upx, yq, uxpx, yq,uypx, yq, uxxpx, yq, . . . q “ 0

Muchas leyes de la fısica, la quımica, la biologıa, la astronomıa se expresan a traves de una ecuaciondiferencial, y las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales incluyen a la economıa, la ingenierıa,a la misma matematica, sobre todo en geometrıa.Analicemos un ejemplo simple. Consideremos la segunda ley de Newton

F “ m a,

es decir, la aceleracion que adquiere un cuerpo es proporcional a la fuerza total que actua sobredicho cuerpo. Si suponemos que un cuerpo de masa m cae libremente, es decir la unica fuerzaactuante es la fuerza peso, entonces se tiene que F “ m g, con g la aceleracion gravitatoria quepodemos suponer constante g “ 9,8m{s2. Si notamos con y la posicion del cuerpo (situando elorigen de los ejes en el punto de lanzamiento del cuerpo), se tiene que la velocidad es v “ dy{dt yla aceleracion es d2y{dt2 y ası

md2ydt2 “ mg ñ

d2ydt2 “ g. (1)

Si ampliamos el modelo y consideramos el efecto de rozamiento que ejerce el aire sobre el cuerpo,este efecto esta dado por una fuerza opuesta al desplazamiento proporcional a la velocidad, y ası laecuacion que regula el movimiento es

md2ydt2 “ mg ´ k

dydt. (2)

Definicion 1 Las ecuaciones diferenciales (ED) se clasifican en ecuaciones diferenciales ordinarias(EDO) y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP) segun la incognita sea funcion deuna unica o varias variables independientes respectivamente.

1

Introduccion a las ecuaciones diferenciales Calculo 2

Ejemplo 1 Algunos ejemplos de EDO

aqdydx

“ ´ky,

bq md2ydt2 “ ´ky,

cqdydx

` 2xy “ e´x2,

dqd2ydx2 ´ 5

dydx

` 6y “ 0,

eq p1 ´ x2qd2ydx2 ´ 2x

dydx

` ppp ` 1qy “ 0 Ecuacion de Legendre,

fq x2 d2ydx2 ` x

dydx

` px2 ´ y2qy “ 0 Ecuacion de Bessel,donde y es la variable dependiente o incognita, x o t son las variables independientes y p,m, k son constantes.

Ejemplo 2 Como ejemplos de EDP para funciones de tres variables tenemos

B2wBx2 `

B2wBy2 `

B2wBz2 “ 0 Ecuacion de Laplace,

a2ˆ

B2wBx2 `

B2wBy2 `

B2wBz2

˙

“BwBt

Ecuacion del calor,

a2ˆ

B2wBx2 `

B2wBy2 `

B2wBz2

˙

“B2wBt2 Ecuacion de ondas.

Estas son EDP destacadas pues tienen importantes significados en fısica teorica. Las EDP apare-cen en problemas relacionados con la mecanica de los medios continuos, problemas de camposelectricos, dinamica de fluidos, movimientos ondulatorios, etc.Las ecuaciones diferenciales comienzan en el siglo XVII con Newton, Leibniz y los Bernoulli. Secreıa en un principio que las ecuaciones diferenciales generadas en problemas fısicos y geometricostenıan soluciones expresables por medio de funciones elementales del calculo.Ası los primeros pasos consistieron en el desarrollo de tecnicas ingeniosas para resolver las ecua-ciones diferenciales por medios sencillos. Estos ”trucos” de resolucion son aplicables a pocos casospero permiten resolver muchas ecuaciones diferenciales utiles, veremos algunos de estos metodosesenciales y los problemas a los que podemos aplicarlos.

1.1. Terminologıa y notacion.

Como ya vimos suele usarse y “ ypxq para la funcion incognita, en lugar de f pxq, y1 “ y1pxq parasus derivadas o bien dy{dx o directamente y1, y2, etc.

Definicion 2 Se entiende por orden de una ecuacion diferencial el de la derivada de mayor orden queaparece en la ecuacion.

Ası las EDO del ejemplo 1 a) y c) son de 1˝ orden mientras que las restantes son todas de 2˝ orden.Y todas las EDP del ejemplo 2 son de 2˝ orden.

Definicion 3 Una ecuacion diferencial ordinaria de orden n es

Fpx, y, y1, y2, . . . , ypnqq “ 0.

Definicion 4 Una funcion y se dice solucion de una ecuacion diferencial si tal ecuacion se verificapara y y sus derivadas.

2


Cuando decimos que vamos a resolver una ecuacion diferencial, trataremos de encontrar todas lasposibles soluciones de la ecuacion. Suele resultar sencillo comprobar que una funcion y “ ypxq essolucion de una ecuacion diferencial dada, basta calcular sus derivadas, sustituirlas en la ecuaciony comprobar que se obtiene una identidad en x.

Ejemplo 3 a) La funcion y “ e4x es solucion de la ecuacion y1 “ 4y. Tambien lo es la funcion y “ Ce4x

para cada valor de C Pℜ.

b) y “ e2x, y “ e3x son soluciones de la ecuacion diferencial de 2˝ orden y2 ´ 5y1 ` 6y “ 0. Mas aun, siconsideramos y “ c1e2x ` c2e3x se ve que tambien es solucion para todas las constantes c1 y c2.

Estos ejemplos nos muestran que hay ecuaciones que tienen infinitas soluciones.

No siempre puede obtenerse de manera explıcita la solucion de una ecuacion diferencial. Por

ejemplo, para c constante cualquiera, xy “ ln y ` c es solucion de y1 “y2

1´xy .

Observacion 1 La solucion de una ecuacion diferencial contiene uno o mas constantes arbitrarias depen-diendo del orden de la ecuacion.Por lo general una ecuacion diferencial admite infinitas soluciones.Usualmente no estamos interesados en hallar esta familia de soluciones o solucion general, sino que quere-mos encontrar una solucion que satisfaga cierto requerimiento adicional. En muchos problemas necesitamoshallar la solucion particular que verifique una condicion de la forma ypx0q “ y0 llamada condicion inicial.

Definicion 5 El problema de hallar la solucion de una ecuacion diferencial que satisface una condicioninicial se llama Problema de Valores Iniciales (PVI).

Observacion 2 De lo visto hasta ahora podrıa esperarse que una ecuacion general de 1˝ orden Fpx, y, y1q “ 0tenga una solucion que dependa de una constante arbitraria, pero si consideramos el caso py1q2 ` 1 “ 0 notiene soluciones reales y en py1q2 ` y2 “ 0 solo admite la solucion y “ 0.Esto nos lleva a la reflexion de que hay cuestiones teoricas muy delicadas sobre la existencia y la naturalezade las soluciones de las ecuaciones diferenciales.

2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.Queremos encontrar las soluciones de una ecuacion diferencial ordinaria de primer orden.Una EDO de 1˝ orden, en general sera de la forma Fpx, y, y1q “ 0 o bien (cuando sea posible despejary1)

y1 “ f px, yq (3)

Una funcion derivable y “ ypxq es solucion de esta ecuacion en un intervalo I si se satisface

y1pxq “ f px, ypxqq, @x P I.

Analizaremos algunos casos importantes segun como sea f px, yq en la ecuacion (3).

– Cuando f px, yq “ Rpxq.El caso mas sencillo se presenta cuando f px, yq es independiente de y, en cuyo caso tenemos

y1 “ Rpxq (4)

donde R es una funcion definida en un cierto intervalo I. Luego resolver dicha ecuacion diferencialsignifica encontrar una primitiva de R y ası

ypxq “

ż

Rpxqdx ` c (5)

3


siendo c una constante de integracion. Ahora bien, esto podemos hacerlo si estamos en las hipotesisdel 2˝TFCI: R funcion continua en el intervalo I.

Para el

PVI :

#

y1 “ Rpxq

ypaq “ b(6)

tenemos el siguiente

Teorema 1 Sea R una funcion continua en un intervalo abierto I. Si a P I y b es un numero real dado, existe

una unica funcion y “ ypxq que satisface (6) en I. Dicha funcion esta dada por la formula ypxq “ b`xş

aRptqdt.

dem: Existencia: obviamente ypxq “ b `xş

aRptqdt verifica (6).

Unicidad: Si g es otra solucion de (6), se tiene que py ´ gq1 “ 0 y entonces y ´ g “ cte, peroademas ypaq ´ gpaq “ b ´ b “ 0 luego ypxq “ gpxq.

En ciertos casos la integral puede hallarse por metodos de integracion que aprendimos en calculoy se llega a expresarla por medio de funciones elementales: polinomios, funciones racionales,trigonometricas, trigonometricas inversas, logarıtmicas, exponenciales. Esto no ocurre siemprepor ejemplo si

Rpxq “ e´x2Rpxq “

sen xx

Ejemplo 4 Movimiento lineal determinado por la velocidad.

Supongamos que una partıcula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad alinstante t es 2 sen t. Queremos determinar la posicion de la partıcula en todo instante t. Supongamosque yptq representa la posicion de la partıcula al instante t, sabemos entonces que

y1ptq “ 2 sen t ñ yptq “ 2ż

sen tdt ` C “ ´2 cos t ` C, C “ cte arbitraria.

Esto es todo lo que podemos decir conociendo la velocidad al instante t pero para saber la posicionexacta necesitamos mas datos, o sea determinar C. Supongamos para ello que conocemos laposicion inicial, es decir yp0q “ 0 entonces resulta C “ 2 y la funcion posicion es yptq “ ´2 cos t`2.De elegir, otra posicion inicial, yp0q “ 2, se obtendrıa C “ 4 y la solucion serıa yptq “ ´2 cos t ` 4.

2.1. Ecuacion diferencial de 1˝ orden para la exponencial.

– Cuando f px, yq “ yEs decir tenemos el

PVI :

#

y1 “ y

yp0q “ C(7)

Teorema 2 Si C es un numero real dado, existe una unica funcion y “ ypxq que satisface (8). Dichafuncion esta dada por la formula ypxq “ Cex.

dem: Es facil comprobar que ypxq “ Cex es solucion de la ecuacion diferencial con condicioninicial, yp0q “ C, es decir solucion del PVI. Veamos que es la unica. Sea gpxq una solucioncualquiera del PVI, luego g1pxq “ gpxq y gp0q “ C. Queremos probar que gpxq “ Cex o

4


e´xgpxq “ C. Consideremos la funcion hpxq “ e´xgpxq y demostraremos que su derivada esidenticamente nula. Se tiene que

h1pxq “ é´xgpxq ` e´xg1pxq “ é´xgpxq ` e´xgpxq ” 0,@x P R.

por lo tanto hpxq “ cte y como hp0q “ e´0gp0q “ gp0q “ C ñ hpxq “ C, @x P R. Ası hpxq “

e´xgpxq “ C ñ gpxq “ Cex.

Observacion: Para el

PVI :

#

y1 “ y

yp0q “ C(8)

la solucion es ypxq “ Cekx.En general, para el

PVI :

#

y1 “ ky

ypaq “ b(9)

Corolario 1 Si b, k son numeros reales y a P I entonces existe una unica funcion y “ ypxq que satisface(9). Dicha funcion esta dada por la formula ypxq “ bekpxáq.

Este teorema es un ejemplo de teorema de existencia y unicidad de solucion al PVI.El objetivo de gran parte de la investigacion en ecuaciones diferenciales es descubrir teoremas deexistencia y unicidad para clases mas amplias de ecuaciones. Veremos algunos tipos muy importantesde ecuaciones diferenciales ordinarias de las que podremos establecer condiciones bajo las cualestengamos existencia y unicidad de solucion. Y tambien veremos otros tipos de ecuaciones que,mediante un cambio de variables, u otras ”manipulaciones”, puedan ser llevadas a algunas de lasecuaciones estudiadas.

2.2. Ecuaciones diferenciales lineales.

Un tipo muy importante de ecuaciones diferenciales esta constituido por las lineales que sonaquellas en las cuales las derivadas de mayor orden intervinientes pueden expresarse como unacombinacion lineal de las derivadas de orden inferior mas un termino independiente.

Definicion 6 Una ecuacion diferencial lineal de 1˝ orden es

y1 “ ppxqy ` qpxq,

Una ecuacion diferencial lineal de segundo orden es

y2 “ ppxqy1 ` qpxqy ` rpxq,

y ası siguiendo, una ecuacion diferencial lineal de orden n es

ypnq “ pn´1pxqypn´1q ` ¨ ¨ ¨ ` p1pxqy1 ` p0pxqy ` rpxq,

donde los coeficientes ppxq, qpxq, rpxq y pipxq para i “ 0, . . . , n ´ 1, son funciones solo de la variableindependiente x.

Nos enfocaremos en el estudio de las EDO lineales de 1˝ orden.

5


Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.Consideramos la ecuacion lineal de 1˝ orden general que escribiremos como

y1 ` Ppxqy “ Qpxq. (10)

Lo primero que podemos observar es que dos de los tipos de ecuaciones que ya vimos constituyencasos particulares de ecuaciones lineales de 1˝ orden (EDOL1), a saber, el caso y1 “ Rpxq (cuandoPpxq “ 0 y Qpxq “ Rpxq) y el caso y1 “ ky (cuando Qpxq “ 0 y Ppxq “ ´k).

– Cuando Qpxq “ 0, tenemos

Definicion 7 Una EDOL1 se llama ecuacion homogenea o reducida a

y1 ` Ppxqy “ 0 (11)

Caractericemos las soluciones para la ecuacion homogenea.

Teorema 3 Supongamos que P es una funcion continua en un intervalo abierto I. Elijamos un puntocualquiera de dicho intervalo a P I y b P R. Entonces existe una y solo una funcion y “ ypxq que satisfaceel problema a valores iniciales en I

PVI :

#

y1 ` Ppxqy “ 0

ypaq “ b(12)

Esta funcion esta dada por la formula

ypxq “ beÁpxq, Apxq “

ż x

aPptqdt.

dem: Sea ypxq “ beÁpxq, como Apaq “ 0 resulta ypaq “ be´0 “ b, luego y satisface la condicioninicial y ademas, derivando, y verifica la ecuacion diferencial, concluimos que y es soluciondel PVI. Tenemos que probar la unicidad. Sea gpxq una solucion cualquiera del PVI, veremosque gpxq “ beÁpxq o bien que gpxqeApxq “ b. Sea hpxq “ gpxqeApxq, se tiene que

h1pxq “ g1pxqeApxq ` gpxqeApxqA1pxq “ eApxqpg1pxq ` Ppxqgpxqq “ 0 @x P I

Entonces h “ cte en I, ademas como hpaq “ gpaqeApaq “ b, resulta hpxq “ b, @x P I

∴ gpxq “ beÁpxq “ ypxq

lo que completa la demostracion.

– Cuando Qpxq , 0, tenemos la ecuacion lineal no homogenea

y1 ` Ppxqy “ Qpxq

Teorema 4 Supongamos que P y Q son continuas en un intervalo abierto I. Elijamos puntos a P I y b P Rcualesquiera. Entonces existe una unica funcion y “ ypxq que en I, satisface el

PVI :

#

y1 ` Ppxqy “ Qpxq

ypaq “ b(13)

Dicha funcion esta dada por

ypxq “ beÁpxq ` eÁpxq

ż x

aQptqeAptqdt, Apxq “

ż x

aPptqdt.

6


dem: Supongamos que gpxq sea una solucion cualquiera del PVI y sea hpxq “ gpxqeApxq. Luegoderivando se obtiene

h1pxq “ eApxqpg1pxq ` Ppxqgpxqq “ eApxqQpxq.

Como eApxqQpxq “ Rpxq continua en I, por el 2˝ teorema fundamental del calculo integraltenemos

hpxq “ hpaq `

ż x

aeAptqQptqdt,

y como hpaq “ gpaq “ b, toda solucion g del PVI tiene la forma

gpxq “ eÁpxqhpxq “ beÁpxq ` eÁpxq

ż x

aQptqeAptqdt.

Derivando se obtiene

g1pxq “ ´beÁpxqPpxq ´ eÁpxqPpxq

ż x

aQptqeAptqdt ` eÁpxqeApxqQpxq

luegog1 ` Pg “ Q con gpaq “ b

hemos encontrado la solucion del PVI.

Ejemplo 5 Resolver el

PVI :

#

y1 ` 1x y “ 3x

ypaq “ b

Debemos considerar un intervalo I tal que 0 < I, ası resulta el coeficiente Ppxq “ 1x continuo en I.

Apxq “

xż

a

Pptqdt “

xż

a

1t

dt “ ln x ´ ln a Ñ eApxq “xa, eÁpxq “

ax

∴ ypxq “ bax

àx

xż

a

3x2

adx ñ ypxq “ x2 `

ba ´ a3

x.

Observacion: Para la ecuacion lineal homogenea

y1 ` Ppxqy “ 0

Multiplicando por eş

Ppxq llegamos a

eş

Ppxqpy1 ` Ppxqyq “ 0

es decir,pe

ş

Ppxqyq1 “ 0

eş

Ppxqy “ k

entonces llegamos a la solucionypxq “ ke´

ş

Ppxqdx

Para la ecuacion lineal no homogenea

y1 ` Ppxqy “ Qpxq

7


usando la tecnica de variacion de las constantes, esto es, proponemos como solucion

ypxq “ kpxqe´ş

Ppxq

de dondekpxq “ ypxqe

ş

Ppxq

Luego multiplicando nuevamente por eş

Ppxq llegamos a

eş

Ppxqpy1 ` ppxqyq “ Qpxqeş

Ppxq

es decir,pe

ş

Ppxqyq1 “ Qpxqeş

Ppxq

tenemos entoncesk1pxq “ Qpxqe

ş

Ppxq

integrando llegamos a

kpxq “

ż

Qpxqeş

Ppxq ` C

Obteniendo que la solucion es entonces

ypxq “ Ce´ş

Ppxqdx ` e´ş

Ppxqdxż

Qpxqeş

Ppxqdxdx

2.3. Ecuaciones diferenciales a variables separables.

Volvamos al estudio de EDO de primer orden no necesariamente lineales.

y1 “ f px, yq

Un tipo de ecuacion diferencial que resultan sencillas son las llamadas ecuaciones separables oecuaciones a variables separables, son aquellas donde f px, yq “ QpxqRpyq es decir

y1 “ QpxqRpyq (14)

En tal caso podemos separar las variables (si Rpyq , 0) y resolver la ecuacion por integracion comosigue

dyRpyq

“ Qpxqdx ñ

ż

1Rpyq

dy “

ż

Qpxqdx ` C.

Teorema 5 Sea y “ ypxq una solucion cualquiera de la ecuacion diferencial separable

y1

Rpyq“ Apyqy1 “ Qpxq (15)

tal que y1 sea continua en un abierto I. Supongamos que Q y pA ˝ yq son ambas continuas en I. Sea Gcualquier primitiva de A, es decir G1 “ A. Entonces la solucion y satisface la formula implıcita

Gpypxqq “

ż

Qpxqdx ` C, (16)

para cierto valor constante C. Recıprocamente, si y satisface (16) entonces y es solucion de la ecuaciondiferencial (15).

8


dem: Ya que y es solucion de (15) debe ser Apypxqqy1pxq “ Qpxq, @x P I. Como G1 “ A, podemosescribir esto como G1pypxqqy1pxq “ Qpxq, @x P I, pero por la regla de la cadena se tiene quepG ˝ yq1pxq “ Qpxq,@x P I, luego pG ˝ yq es una primitiva de Q y entonces

Gpypxqq “

ż

Qpxqdx ` C.

Recıprocamente, si y “ ypxq satisface (16), derivando se obtiene que es solucion de (15).

Nota 1 A partir de la primera igualdad de la demostracion podemos escribirż

Apypxqqy1pxqdx “

ż

Qpxqdx ` C.

Haciendo la sustitucion y “ ypxq, dy “ y1pxqdx, luego resultaż

Apyqdy “

ż

Qpxqdx ` C.

Ejemplo 6 La ecuacion no lineal xy1 ` y “ y2 es separable.

Puede escribirse de la formay1

ypy ´ 1q“

1x

siempre que ypy ´ 1q , 0 y x , 0. En este caso las dos funciones y “ 0 e y “ 1 son soluciones de laecuacion, las restantes las obtenemos segun el teorema anterior

ż

dyypy ´ 1q

“

ż

dxx

` K

para cierto valor de K. Cuando integramos tenemos

ln |y ´ 1| ´ ln |y| “ ln |x| ` K

luegoˇ

ˇ

ˇ

ˇ

y ´ 1y

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ |x| eK

O seay ´ 1

y“ Cx

para cierto valor C. Despejando y (no siempre se podra hacer) tenemos

y “1

1 ´ Cx

El teorema anterior nos garantiza que para un valor cualquiera de C esa y es solucion de la ecuacion.Por consiguiente hemos determinado todas las soluciones: las funciones constantes y “ 0, y “ 1y todas las definidas por y “ 1

1´Cx para cada valor de C. Observemos que en este caso si C “ 0obtenemos y “ 1.Entonces (todas) las soluciones de la ecuacion

xy1 ` y “ y2

sony “ 0 y y “

11 ´ Cx

para C constante arbitraria.

9


2.4. Familias de curvas.

Familia uniparametrica de curvas. Curvas integrales.Volvamos a la cuestion sobre la existencia y la naturaleza de las soluciones de las ecuacionesdiferenciales.Hagamos un analisis geometrico de la situacion. Sea una ecuacion diferencial de 1˝ orden

y1 “ f px, yq

supongamos que la funcion f px, yq es continua en un rectangulo R Ă R2. Luego el significadogeometrico de una solucion de esta ecuacion diferencial es el siguiente:

Sea P0 “ px0, y0q P R, se tiene pdydx

qP0 “ y1px0q “ f px0, y0q determina en el punto P0 una direccion.

Sea P1 “ px1, y1q proximo a P0 en dicha direccion y usemos pdydx

qP1 “ y1px1q “ f px1, y1q para deter-minar una nueva direccion en P1. Ası siguiendo, encontramos una poligonal determinada por lospuntos que hemos ido escogiendo, si hacemos esos puntos cada vez mas proximos obtendrıamosuna curva suave (ya no una poligonal) que pasa por el punto P0. Esta curva es una soluciony “ ypxq de la ecuacion, pues en cada punto verifica que y1 “ f px, yq. Si partimos de otro puntoinicial obtendremos otra curva (solucion) distinta.

Figura 1: Poligonal.

Ası, las soluciones de la ecuacion diferencial constituyen una familia de curvas llamadas curvasintegrales.

Definicion 8 Con˝

R indicamos el interior de R, el conjunto de todos los puntos px, yq P R tales que admitenla existencia de una bola (o cırculo) centrada en px, yq y de radio r ą 0, que indicamos Bppx, yq, rq, que

esta ıntegramente contenida en R. O sea, px, yq P˝

R si y solo si existe r ą 0 tal que px, yq P Bppx, yq, rq Ă R.

Resulta esperable que por cada punto de˝

R pase una sola curva, esta es la idea que subyace en elsiguiente teorema:

Teorema 6 pde Picardq Si f px, yq y B f {By son funciones continuas sobre un rectangulo cerrado R Ă R2,

por cada punto px0, y0q P˝

R pasa una unica curva integral de la ecuacion y1 “ f px, yq.

Considerando un x0 fijo, la curva integral que pasa por px0, y0q esta determinada por el valor y0.Ası las curvas integrales de la ecuacion y1 “ f px, yq forman una familia uniparametrica de curvas,cuya ecuacion es

y “ ypx, cq.

Luego y “ ypx, cq es la solucion general de la ecuacion diferencial y si notamos c0 a un valorparticular de c tal que y0 “ ypx0, c0q, entonces y “ ypx, c0q se llama solucion particular quesatisface la condicion inicial y “ y0 para x “ x0.

10


Vimos que la solucion general de una EDO de 1˝ orden contiene una constante c arbitraria, elparametro. Variando dicho parametro obtenemos una familia uniparametrica de curvas.

Por ejemplo si consideramos la ecuacion y1 “ 3 ñ y “ 3x ` c es la familia uniparametricadada por todas las rectas paralelas de pendiente 3 (c es la ordenada al origen, el valor en que lacurva corta al eje y).Si y1 “ x ñ y “ x2{2 ` c, las curvas de la familia uniparametrica son las parabolas con verticesobre el eje y (c es el valor en que la curva corta al eje y).Recıprocamente si consideramos una familia uniparametrica de curvas resultan ser las curvasintegrales de alguna ecuacion diferencial de primer orden. Sea la familia dada por

f px, y, cq “ 0,

luego la ecuacion diferencial que resuelven puede hallarse derivando implıcitamente en x, ası obtene-mos una relacion del tipo

gpx, y, y1, cq “ 0.

Luego usamos ambas relaciones para eliminar el parametro c y llegar a una expresion del tipo, osea una EDO 1˝

Fpx, y, y1q “ 0.

Ejemplo 7 Hallar la EDO de 1˝ orden que satisfacen todas las circunferencias con centro en el origen.

La familia uniparametrica de todas las circunferencias con centro en el origen ( f px, y, cq “ 0)esta dada por la ecuacion x2 ` y2 “ c2, derivando 2x ` 2yy1 “ 0, por lo tanto en este caso no hacefalta eliminar c y se tiene que

y1 “ ´xy

(17)

Y recıprocamente, las soluciones de esta ecuacion son las curvas integrales x2 ` y2 “ c2.

Ejemplo 8 Hallar la EDO de 1˝ orden para la familia de todas las circunferencias que pasan por el origeny tienen sus centros sobre el eje x.

La familia uniparametrica esta dada por la expresion px ´ cq2 ` y2 “ c2 ñ x2 ` y2 ´ 2cx “ 0,derivando 2x ` 2yy1 ´ 2c “ 0 de donde c “ x ` yy1, reemplazando en la primera

x2 ` y2 ´ 2px ` yy1qx “ 0 ñ x2 ` y2 ´ 2x2 ´ 2xyy1 “ 0 ñ y1 “y2 ´ x2

2xy.

Las soluciones de esta ecuacion son las curvas integrales px ´ cq2 ` y2 “ c2.

Trayectorias ortogonales.Definicion 9 Decimos que dos curvas son ortogonales si se cortan en un punto y si sus rectas tangentesen dicho punto son ortogonales o perpendiculares. Una curva que corta ortogonalmente a todas las curvasde una familia se llama trayectoria ortogonal de la familia.

Los problemas relativos a trayectorias ortogonales son importantes tanto en matematica pura co-mo en la aplicada, por ejemplo, en la teorıa de flujos de fluidos, dos familias ortogonales de curvasse llaman lıneas equipotenciales y lıneas de corriente, en la teorıa del calor se habla de lıneas isotermasy lıneas de flujo.

Supongamos dada una familia de curvas integrales solucion de la EDO de 1˝ orden y1 “ f px, yq,

11


Figura 2: Trayectoria ortogonal a una familia de curvas.

ası f px, yq es la pendiente de una curva integral que pasa por el punto px, yq. La pendiente de

la trayectoria ortogonal en dicho punto sera´1

f px, yq. De modo que las trayectorias ortogonales

satisfacen la EDO de 1˝ orden

y1 “´1

f px, yq

En el ejemplo de las circunferencias centradas en el origen resulta obvio que la familia de rectasque pasan por el origen son sus trayectorias ortogonales, pues en virtud de (17) deben satisfacer

la ecuacion y1 “´1

´x{y“

yx

, cuyas curvas solucion (o curvas integrales) son y “ Cx.

Ejemplo 9 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x “ ky2 con k P R.

Esta es una familia de parabolas cuyo eje de simetrıa es el eje x. Lo primero que haremos es hallaruna EDO que sea satisfecha por la familia, y esto se hace sencillamente derivando respecto a x:

1 “ 2 k y y1

Para eliminar dicho k notemos que k “xy2 (¿que sucede si y “ 0?), y entonces

y1 “y

2x

Esto significa que la pendiente de la tangente en cualquier px, yq perteneciente a las parabolas es

y1 “y

2x. Sobre una trayectoria ortogonal, la pendiente debe ser recıproca y de signo opuesto, por

lo tanto las trayectorias ortogonales deben satisfacer la siguiente ecuacion:

y1 “ ´2xy

Esta es separable, y se resuelve de la siguiente manera:

ż

y dy “ ´

ż

2x dx ôy2

2“ ´x2 ` C, C P Rô

x2

C`

y2

2C“ 1, C P R

Vale decir entonces que obtuvimos una familia de elipses centradas en el origen.

Nota 2 Notemos que si la ecuacion diferencial original es separable tambien lo es la de la familia detrayectorias ortogonales.

12


Figura 3: Trayectorias ortogonales.

Volviendo al ejemplo 8 se tiene que la ecuacion diferencial de 1˝ orden asociada a las trayectoriasortogonales es

y1 “2xy

x2 ´ y2 (18)

En este caso f px, yq no es separable por lo que tendremos que buscar otro metodo para resolveresta ecuacion.

Metodo: Hagamos el cambio de variables y “ vx, y1 “ v1x ` v en la ecuacion (18), ası se tiene

v1x ` v “2x2v

x2p1 ´ v2q“

2v1 ´ v2 ñ v1x “

2v1 ´ v2 ´ v “

v ` v3

1 ´ v2 ñ1 ´ v2

vp1 ` v2qdv “

dxx.

Integrando se llega a la familia x2 ` y2 ´ 2cy “ 0.En este caso usamos el hecho que la funcion f px, yq sea homogenea.

2.5. Ecuaciones homogeneas de 1˝ orden.

Este es un caso particular de EDO de 1˝ orden y1 “ f px, yq donde la funcion f px, yq verifica lapropiedad de homogeneidad: f ptx, tyq “ f px, yq,@t , 0. En general:

Definicion 10 Se llama funcion homogenea de grado p a aquella que verifica f ptx, tyq “ tp f px, yq.

Si p “ 0 decimos simplemente homogenea, en lugar de homogenea de grado cero.

Definicion 11 Una ecuacion diferencial Mpx, yqdx ` Npx, yqdy “ 0 sera una ecuacion diferencialhomogenea si M y N son homogeneas del mismo grado ya que podremos escribir

y1 “dydx

“ ´Mpx, yq

Npx, yq“ f px, yq.

Tambien podemos escribir.Mpx, yq ` Npx, yqy1 “ 0

El metodo para este tipo de ecuaciones consiste en llevarlas, a traves de un cambio de variables,al caso de una EDO a variables separables. Para ello notemos que si tomamos t “ 1{x, cuando f eshomogenea, se tiene que

f px, yq “ f ptx, tyq “ f p1, y{xq “ f p1, vq,

haciendo el cambio de variables v “ y{x. Luego como y “ vx ñ y1 “ v1x ` v “ f p1, vq y podemosreescribir la EDO original como

dvf p1, vq ´ v

“dxx

y siendo esta separable la resolvemos como vimos anteriormente.

13


Ejemplo 10 Resolver px ` yqdx ´ px ´ yqdy “ 0

Debemos resolvery1 “

x ` yx ´ y

,

es facil comprobar que es homogenea, introduciendo el cambio de variables y “ vx, se llega a unaseparable

1 ´ v1 ` v2 dv “

dxx,

integrando se obtiene arctan v ´ 12 lnp1 ` v2q “ ln x ` c, sustituyendo v “ y{x se llega a

arctanyx

“ lnb

x2 ` y2 ` c

que expresa en forma implıcita la solucion y buscada.

2.6. Cambio de variables.

Veremos algunos cambios de variables que nos permiten resolver ciertos tipos de ecuaciones.

Ecuaciones del tipo y1 “ f pax ` by ` cq

Estas ecuaciones se resuelven facilmente con el cambio de variable z “ ax ` by ` c. Este cambiosiempre conduce a una ecuacion a variables separables en x y z:

ypxq “1b

pzpxq ´ ax ´ cq ñ y1pxq “1b

pz1pxq ´ aq ñ z1pxq ´ a “ b f pzpxqq ñ

ż

dzb f pzq ` a

“ C `

ż

dx

Una vez calculada la primitiva de 1b f pzq`a , se deshace el cambio de variables y obtenemos las

soluciones y.

Ejemplo 11 Resolver y1 “ px ` y ` 5q2

Ponemos z “ x ` y ` 5, y surge que y1 “ z1 ´ 1 “ z2. Entonces arctanpzq “ x ` C. Finalmente,y “ ´x ´ 5 ` tanpx ` Cq.

14


Ecuaciones del tipo y1 “ f pa1x`b1 y`c1a2x`b2 y`c2

q

Observacion:a) Si c1 “ c2 “ 0, la ecuacion es homogenea y ya la hemos resuelto.b) Si a1b2 “ a2b1, el cambio de variable z “ a1x`b1y conduce a una ecuacion a variables separablescon incognita z.

c) Si a1b2 , a2b1, el sistema de ecuaciones"

a1x ` b1y ` c1 “ 0a2x ` b2y ` c2 “ 0 tiene solucion unica pα; βq. Entonces

el cambio de variables t “ x ´ α, z “ y ´ β conduce a una ecuacion homogenea donde t es lavariable independiente y z la incognita.

Ejemplo 12 Resolver y1 “x ` y

x ´ y ´ 6

Vemos que a1b2 ´ a2b1 “ ´2, ası que resolviendo el sistema de ecuaciones"

x ` y “ 0x ´ y “ 6 obtenemos

que α “ 3; β “ ´3. Por lo tanto ponemos t “ x ´ 3; z “ y ` 3 y nos queda que pt ` zq ` pt ´ zqz1 “ 0.Decimos que Ppt, zq “ t ` z y Qpt, zq “ z ´ t, y resolvemos como hemos visto anteriormente.

Ecuaciones de Bernoulli.Son ecuaciones de la forma

y1 ` yppxq “ ynqpxq

Para n “ 1 esta ecuacion es a variables separables.Para n “ 0 esta ecuacion es lineal.Para 0 , n , 1 podemos dividir ambos miembros por yn, tenemos

y1

yn `ppxq

yn´1“ qpxq

Con el cambio de variable zpxq “ y1´n la transformaremos en una ecuacion lineal:

z1 ` p1 ´ nqppxqz “ p1 ´ nqqpxq

Ejemplo 13 Resolver y1 ` x2y “ x3y2.

Ponemos entonces y1

y2 ` x2

y “ x3. Sustituimos por z “ 1y y nos queda z1 ´ x2z “ ´x3, que es una

ecuacion lineal en donde Ppxq “ ´x2 y Qpxq “ ´x3 luego zpxq “ 1ypxq

“ ´ex3{3ş

x3e´x3{3dt.

3. Algunos problemas ligados a ecuaciones de 1˝ orden.En esta seccion veremos algunos problemas que pueden ser formulados matematicamente comoecuaciones diferenciales, en cada caso, la ecuacion representa una simplificacion del problema y sellama modelo matematico del problema. La ecuacion se presenta como una traduccion de algunaley fısica, de biologıa, de economıa, etc.

Ejemplo 14 Caıda libre.

Ya mencionamos este problema y vimos en (1) que se llega a la ecuaciond2ydt2 “ g. Integrando se

obtiene la velocidad v “dydt

“ gt ` v0 e integrando nuevamente se llega a la solucion

y “ y0 ` v0t `12

gt2.

15


Si el cuerpo cae partiendo del reposo y ademas situamos el eje de coordenadas de modo que y0 “ 0se tiene

v “ gt y “12

gt2,

eliminando t, se obtiene la ecuacion v “a

2gy para la velocidad en funcion de la distancia decaıda.Esta misma expresion puede obtenerse del principio de conservacion de la energıa

energıa cinetica + energıa potencial = constante

Luego como la partıcula parte del reposo en y “ 0 resulta que lo que gana en energıa cinetica lopierde en energıa potencial ası 1

2 mv2 “ mgy.

Ejemplo 15 Caıda retardada o con rozamiento.

Consideremos ahora la resistencia del aire en la caıda del cuerpo, usando (2) para c “ k{m, laecuacion esta dada por

d2ydt2 “ g ´ c

dydt

Ñdvdt

“ g ´ cv.

Integrando resulta v “g ´ C2ećt

c, con la condicion inicial vp0q “ 0 se obtiene C2 “ g luego la

solucion esv “

gc

`

1 ´ ećt˘ ,

como c ą 0 vemos que para t Ñ 8, v Ñ g{c, lo que se llama velocidad terminal.Integrando una vez obtenemos y en funcion de t y con la condicion inicial yp0q “ 0 se llega a

y “gc2

`

´1 ` ct ` ećt˘

Ejemplo 16 Curva de persecucion.

Un conejo parte del origen y corre por el eje y ą 0 a velocidad a.

Figura 4: Trayectoria de per-secucion.

Al mismo tiempo parte un perro, que corre a velocidad b, del puntopc, 0q persiguiendo al conejo. Queremos encontrar la trayectoria quesigue el perro. En el instante t “ 0 el conejo parte del p0, 0q y el perrodel pc, 0q. En el instante t el conejo estara en el punto p0, atq y el perroen el punto D “ px, yq. El segmento RD es tangente a la trayectoria(en todo momento el perro corre en direccion al conejo), luego

dydx

“y ´ at

xÑ xy1 ´ y “ át.

Para eliminar t derivamos respecto de x, ası y1 ` xy2 ´ y1 “ ádtdx

.

Sabemos quedsdt

“ b (velocidad del perro) entonces se tiene

dtdx

“dtds

dsdx

“´1b

b

1 ` py1q2.

Aparece el signo - pues s crece cuando x decrece. Ası combinando las 2 ultimas expresiones sellega a la ecuacion

xy2 “ab

b

a ` py1q2 Ñ p “ y1,dp

a

1 ` p2“

ab

dxx.

16


Integrando y usando ppcq “ 0, se tiene lnpp à

1 ` p2q “ lnpx{cqk, k “ a{c y despejando p

dydx

“ p “12

„

´xc

¯k´

´ cx

¯kȷ

.

Para continuar tendrıamos que tener mas informacion sobre k.

Ejemplo 17 Curva tractriz.

Un punto P es arrastrado por el plano con una cuerda de longitud a que llega hasta el punto T. Seinicia con T en el origen y P en el eje x, luego se desliza T por el eje y. Buscamos la trayectoria quedescribe P. Esta curva se llama tractriz.

a

T0

a

x

xP = (x, y)

√

a2−

x2

Figura 5: Curva tractriz.

Surge por simple observacion de la grafica que la ecuacion diferencial asociada a la curva esta dadapor

dydx

“ ´

a

a2 ´ x2

x.

Separando variables e integrando obtenemos

y “ a ln

˜

a à

a2 ´ x2

x

¸

á

a2 ´ x2.

Esta curva llamada tractriz es importante en geometrıa pues:- la superficie que se forma al hacerla girar entorno del eje y es un modelo de la version de Loba-chevsky de geometrıa no euclidiana ya que la suma de los angulos de cualquier triangulo sobre lasuperficie es menor que 360˝,- en geometrıa diferencial se conoce dicha superficie como la pseudoesfera ya que tiene curvaturanegativa constante, por contraposicion de la curvatura positiva constante que es la esfera.

Ejemplo 18 Interes compuesto continuo.

Si se depositan C pesos a una tasa del 6 % de interes anual, con capitalizacion semestral, entoncesluego de t anos el capital sera A “ Cp1 ` 0,03q2t.En general si la tasa de interes anual es k % y el interes se capitaliza n veces por ano, tras t anos elcapital acumulado sera

A “ Cˆ

1 `kn

˙nt

.

17


Si hacemos n grande (es decir capitalizamos cada vez con mayor frecuencia) se tiende al caso lımitede capitalizacion continua donde

ˆ

1 `kn

˙nt

“

˜

ˆ

1 `kn

˙nk¸kt

ÝÑnÑ8

ekt

y ası A “ Cekt. Se dice en este caso que el capital acumulado A crece exponencialmente. Si deriva-mos la expresion de A se obtiene A1 “ Ckekt de donde A1{A “ k, luego k es el cambio relativo de Apor unidad de tiempo.

Ejemplo 19 Crecimiento poblacional.

En el estudio de crecimiento de una poblacion (ya sea humana, animal o bacteriana), la funcionque cuenta el numero x de individuos presentes en el instante t es necesariamente una funcionescalonada a valores enteros, por lo tanto el verdadero coeficiente de crecimiento dx{dt es 0 paratodo t no entero, donde no existe.Podemos suponer a la poblacion x como funcion continua de t con derivada continua. Si consi-deramos que la poblacion se desarrolla en un ambiente donde no faltan ni espacio ni alimentos,es razonable suponer que la velocidad de crecimiento poblacional es proporcional a la poblaciontotal, luego la ley de crecimiento toma la forma

dxdt

“ kx,

con k constante que depende de las caracterısticas de la poblacion. Bajo las condiciones inicialesxp0q “ x0, resulta la solucion de la ecuacion x “ x0ekt.Si la tasa de crecimiento es k “ 0,02, se tiene que x “ x0et{50. Si se busca el tiempo en que se duplicala poblacion se obtiene 2x0 “ x0et{50 Ñ t “ 50 ln 2 � 34,65 anos.

Ejemplo 20 Desintegracion radiactiva.

Las moleculas de cierto material tienen tendencia a desintegrarse en moleculas mas pequenas.Esta es una caracterıstica de los elementos radiactivos, donde la velocidad de descomposiciones proporcional a la cantidad de sustancia presente en cada instante, si bien los coeficientes deproporcionalidad de los distintos elementos son distintos. Una reaccion de este tipo se llamareaccion de 1˝ orden.Si suponemos que x0 es la cantidad en gramos de materia de la que se disponıa originalmente y xdenota la cantidad en el instante t se tiene que

´x1 “ kx, k ą 0

donde k es la llamada constante de desintegracion que depende de la sustancia. Se tiene ası quex “ x0e´kt. Es interesante ver que informacion podemos obtener de esta ecuacion para x aun sinconocer x0 o k. Puede observarse que @t, x , 0, luego no se puede hablar de tiempo total de vidade una sustancia radiactiva, pero podemos calcular su semivida o tiempo en que la sustancia sereduce a la mitad obteniendose t “ ln 2{k.

Ejemplo 21 Mezcla o disolucion.

18


Un deposito contiene 50 litros de salmuera en la que hay disueltas 7.5 Kg de sal. A partir de t “ 0,una disolucion al 0,3kg por litro entra en el deposito a un ritmo de 2l por minuto. Al mismo tiempola mezcla (uniforme por el movimiento) sale del recipiente al mismo ritmo. La pregunta es cuandohabra 12kg de sal disuelta en el deposito.Sea x la cantidad de sal en kg en el deposito en el instante t ě 0, la concentracion en ese momentoes x{50. El ritmo de cambio esta dado por x1 “ ritmo de entrada - ritmo de salida, ası

dxdt

“ 0,3 ˆ 2kg{l ´x

50ˆ 2kg{l “ 0,6 ´

x25

“15 ´ x

25.

Separando variables e integrando se obtiene lnp15 ´ xq “ ´t{25 ` C, como xp0q “ 7,5 resultaC “ lnp7,5q de donde x “ 7,5p2 ´ e´t{25q. Finalmente si x “ 12 Ñ t “ 25 ln 3 � 27,45min.

Ejemplo 22 Espejo curvado.

Hallar la forma de un espejo curvado tal que la luz de una fuente situada en el origen se refleja enel como un haz de rayos paralelos al eje x.

α

A

β

B

θ

P

ϕx

y

Figura 6: Espejo curvado.

Por simetrıa el espejo estara dado por una superficie de revolucion en torno del eje x generada poruna curva en el plano xy representada en el grafico, que pasa por los puntos A, P de coordenadaspx, yq y B. De la ley de la reflexion sabemos que α “ β. Por la geometrıa del problema surge queφ “ β y ademas θ “ φ` α “ 2β. Luego como tgθ “

yx y tgθ “ tg 2β “

2 tg β1´tg2 β

resulta

yx

“2y1

1 ´ py1q2 Ñ 0 “ ypy1q2 ` 2xy1 ´ y “ 0 Ñ y1 “dydx

“2x ˘

a

x2 ` y2

y.

que tomando en consideracion la diferencial exacta 3. del apartado anterior queda

ydy ` xdx “ ˘

b

x2 ` y2dx Ñ ˘dpx2 ` y2q

2a

x2 ` y2“ dx Ñ ˘dp

b

x2 ` y2q “ dx,

de donde la solucion general de la ecuacion esta dada por

y2 “ 2cx ` c2,

que es la familia de parabolas con foco en el origen y eje en el eje x.

Ejemplo 23 La braquistocrona.

Se tienen 2 puntos unidos por un hilo en el cual se encuentra una cuenta o abalorio. Buscamos latrayectoria por la cual el descenso del abalorio desde A hasta B requiera menos tiempo. Galileoconjeturo que descenderıa mas rapido por un camino semicircular, mas tarde Jean Bernoulli (1696)

19


α1

α2

v1

v2

A

B

Pa

b

c

x

c − x

Figura 7: Braquistocrona.

se planteo el problema para una curva arbitraria, denominada braquistocrona, nombre provenien-te del griego: ”brachistos”mas corto y chronos”tiempo.

Para entender la solucion de Bernoulli empezamos analizando un problema de optica. Supongamostener un rayo de luz que viaja en medios de densidad creciente. De A hasta P lo hace a velocidadv1, y de P hasta B a velocidad v2. El tiempo total T esta dado por

T “

a

a2 ` x2

v1`

a

b2 ` pc ´ xq2

v2.

Si el rayo puede elegir el camino que minimiza el tiempo se tendra que dT{dt “ 0 y ası derivandose tiene

x

v1

a

a2 ` x2“

c ´ x

v2a

b2 ` pc ´ xq2ñ

senα1

v1“

senα2

v2.

Esto se conoce como la Ley de Snell de la refraccion.Si ahora tuviesemos mas de 2 medios tendrıamos

senα1

v1“

senα2

v2“

senα3

v3“ ¨ ¨ ¨ “

y si pensamos en el lımite de un rayo atravesando un medio de densidades variables llegamos a

senαv

“ cte,

esta es la situacion de la luz solar al caer a la tierra atravesando las distintas capas de la atmosfera.Volviendo al problema del abalorio yendo desde A hasta B, la situacion es similar, luego se tiene

senαv

“ cte.

Por el principio de conservacion de la energıa, la energıa cinetica en t es igual a la energıa potencialperdida y vimos que v “

a

2gy, ademas por la geometrıa del problema se ve que senα “ cos β “

p1 ` tg2 βq´1{2 “ p1 ` py1q2q´1{2 y ası se obtiene

yp1 ` py1q2q “ c Ecuacion de la Braquistocrona

Resulta ser una ecuacion a variables separables que podemos reescribir como

dx “

d

yc ´ y

dy.

Integremos. Sea φ tal qued

yc ´ y

“ tgφ Ñ y “ sen2 φ, dy “ 2c senφ cosφdφ,

20


y ası

dx “ 2c sen2 φdφ Ñ x “c2

p2φ´ sen2 φq ` c1

como x “ y “ 0 para φ “ 0 resulta c1 “ 0 y x “ c2 p2φ ´ sen2 φq y y “ c sen2 φ “ c

2 p1 ´ cos 2φq, sitomamos a “ c{2 y θ “ 2φ se obtiene

#

x “ apθ´ senθq,

y “ ap1 ´ cosθq,

ecuaciones parametricas de la curva cicloide.

21

Referencias Calculo 2

ReferenciasReferencias

[1] Tom M. Apostol, Calculus Volumen I: Calculo con funciones de una variable, con una introduccion al Algebra Lineal,Editorial Reverte.

[2] Tom M. Apostol, Calculus Volumen II: Calculo con funciones de varias variables y algebra lineal, con aplicaciones a lasecuaciones diferenciales y a las probabilidades, Editorial Reverte.

[3] Tom M. Apostol, Analisis Matematico, Editorial Reverte.[4] Richard Courant - Fritz John, Introduccion al calculo y al analisis matematico Vol. 2, Editorial Limusa.[5] Murray H. Protter, Basic Elements of Real Analysis, Springer.[6] George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Historicas, Editorial Mc-Graw Hill.[7] Michael Spivak, Calculus, Editorial Reverte.[8] James Stewart, Calculus 5th Edition, Brooks-Cole.[9] James Stewart, Calculo de una variable 6th Edition, Cengage Learning.

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