Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales

MATEMÁTICA II

María Elena Cotrina León 1

INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DIFERENCIALES es una rama muy importante de las matemáticas, pues

proporciona el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de múltiples fenómenos

de la ciencia y la ingeniería (ya sean económico, biológicos, físico, químicos, etc.) con la

finalidad de comprender mejor el comportamiento de la naturaleza y mundo que nos rodea.

Un objeto se libera desde una altura determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la

fuerza de la gravedad. (en este caso supondremos que la gravedad es la única fuerza que actúa

sobre el objeto, y que esta fuerza es constante).

Otros modelos más generales considerarían otras fuerzas, como la resistencia del aire.

Podemos aplicar al objeto que cae la 2ª Ley de Newton, la cual establece que la masa de un

objeto por su aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él. amF

Esto lleva a la siguiente ecuación:

)1(..........gmam

Sea )(th una función que representa la altura del objeto en el tiempo t . Luego al derivar la

función altura, )(' th obtenemos la velocidad con que el objeto cae en un instante t . Finalmente

al derivar por segunda vez )('' th obtenemos la aceleración con el objeto cae en un instante t .

Por notación utilizamos 2

2

)(''dt

hdth ; luego al reemplazar la aceleración en la ecuación ( 1 )

obtenemos la siguiente ecuación diferencial: gdt

hd

2

2

Definamos ahora una Ecuación Diferencial

Definición.- Una ECUACION DIFERENCIAL es una ecuación que contiene derivadas de

una función desconocida o variable dependiente con respecto a una o más variables

independientes.

Ejemplos.

1.- 2

3

3

58 xxdx

dy

dx

ydx 6.- ),(

2

2

txQx

u

t

u

2.- dt

dykmg

dt

ydm

2

2

7. senxydx

dy2 -

MATEMÁTICA II


3.- 02

22

2

2

x

uc

t

u 8.- 0

2

23

dx

yd

dx

dy

4.- 52)1( 2

2

2

xxyx

dyx

dx

ydx 9.- xexyyx x cos'''2

5.- txdt

xd4

2

10.- kydt

ydm

2

2

NOTA Siempre que un modelo matemático implique la “razón de cambio de una variable con respecto

de otra”, es probable que aparezca una ECUACION DIFERENCIAL.

Ejemplos:

1.- 2/32/3 1

2yy

dx

dy ; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso la función

incógnita )(xy representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las

constantes , dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.

2.- WWdx

dW24 ; modelo sencillo de la forma de un tsunami o maremoto, 0)(tW es

la altura de la ola en función de su posición relativa a un punto determinado en alta mar.

3.- Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de

3/254 t personas por mes; la razón de cambio de la población queda escrita de la forma dt

dP,

por lo tanto la ecuación diferencial que describe este fenómeno es:

3/254 tdt

dP

4.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es

2341)( tttv metros por minuto; debido a que la velocidad es la razón de cambio de la

distancia con respecto del tiempo dt

dDv , entonces la ecuación diferencial que describe este

fenómeno será:

2341 ttdt

dD

MATEMÁTICA II


5.- ),(2

2

txQx

u

t

u; ecuación de calor de una barra delgada

Para comenzar nuestro estudio de las Ecuaciones Diferenciales necesitamos cierta terminología

común. Si una ecuación implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la

primera se llama variable dependiente y la segunda variable independiente.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ORDINARIAS y PARCIALES:

a) Una ecuación diferencial que solo tiene derivadas ordinarias de una o más variables

dependientes con respecto a una sola variable independiente se llama ECUACIÓN

DIFERENCIAL ORDINARIA. (EDO).

Ejemplo:

1.- ;2

2

kxdt

xdm

2.- 2341 tt

dt

dD

3.- )(1

2

2

tECdt

dqR

dt

qdL

q

4.- senxydx

dy2

5.- 0

5

2

2

xdt

dx

dt

xd

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), se representan:

0),...,,,,(2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyyxF ó 0),...,''','',',,( )(nyyyyyxF

Donde F indica la relación de x é y , de igual manera sus derivadas.

b) ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP), se llama así a las ecuaciones

diferenciales que implican derivadas parciales de una o más variables dependientes con

respecto a mas de una variable independiente.

Ejemplos:

MATEMÁTICA II


1.- 02

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w, Ecuación Diferencial de Laplace.

2.- 2

2

2

2

2

2

2

22

t

w

z

w

y

w

x

wa , Ecuación Diferencial de la Onda

3.- 2

22

x

uh

t

u, Ecuación Diferencial Térmica Unidimensional

4.- ),(2

2

2

2

yxfy

u

x

u, Ecuación Diferencial Bidimensional de Poisson

5.- 02

22

2

2

x

ya

t

y, Ecuación Diferencial de la Onda Unidimensional.

6.- t

w

z

w

y

w

x

wa

2

2

2

2

2

22

, Ecuación Diferencial del Calor

ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACION DIFRENECIAL

- El ORDEN de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el mayor orden de la derivada que

aparece en la ecuación.

- El GRADO de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el exponente de la derivada de mayor

orden.

Ejemplos Explicativos

1.- 053

3

xdt

xda

dt

dx, Orden:

Grado:

2.- ydx

dy

dx

yd5

4

4

, Orden:

Grado:

3.- 1352

2

txdt

dx

dt

xd, Orden:

Grado:

4.- vudu

vd4

2

2

, Orden:

Grado:

MATEMÁTICA II


5.- 0

5

2

2

xdt

dx

dt

xd, Orden:

Grado:

Ejemplos para el aula

1.- 52

2

23

txtdt

xd

dt

dx Orden:

Grado:

2. 05

5

2

2

dt

dxk

dt

xda

dt

xd Orden:

Grado:

3. tdt

dt

dt

d43

2

2

6 Orden:

Grado:

4. )1(

2

xxdx

dy Orden:

Grado:

5. Cdx

ydy

2

3

3

1 Orden:

Grado:

6. xdx

dysenx

dx

yde x

52

2

2

Orden:

Grado:

7. xdx

dy

dx

yd

dx

ydtan2

3

2

2

3

3

Orden:

Grado:

8. )()(

2

xqyxpdx

dy Orden:

Grado:

9. 042

4

5

52

7

7

xdx

yd

dx

yd Orden:

Grado:

10. 02

23

dx

yd

dx

dy Orden:

Grado:

MATEMÁTICA II


ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL

Una Ecuación Diferencial Ordinaria es Lineal si su variable dependiente "" y y sus derivadas

sólo aparecen en combinaciones aditivas de sus primeras potencias

Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal (EDOL) se representa como

)()()(...)()( 011

1

1 xFyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

donde )(,)(,...,)(,)( 01 xFxaxaxa nn , son funciones que dependen sólo de la variable

independiente x .

Si una EDO no es lineal, entonces se conoce como ecuación no lineal.

Ejemplos

Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias en lineales o no lineales

1. xydx

dyx cos

2. 0652

2

ydx

dy

dx

yd

3. 0

4

2

22

3

3

vwdv

wd

dv

wd

4. xxe

dx

dyx

dx

ydx

dx

yd 3

2

3

32

4

4

5. 6sentAdt

dA

6. 02

2

C

Q

dt

dQR

dt

QdL

7. 123

2

2

xxydx

yd

8. 0kPdt

dP

9. mkTkTdt

dT

10. txxdt

dxt

dt

xd

dt

xdcos5

2

2

3

3

MATEMÁTICA II


SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA Recordemos que nuestro objetivo, ahora, es determinar la solución de una ecuación

diferencial, en particular, de una Ecuación Diferencial Ordinaria EDO.

Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria en su forma general:

0,...,,,,2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyyxF

- Solución Explícita: Se denomina solución explícita de una EDO a toda función )(xuy

de valor real, definida en un intervalo I, tal que satisfaga idénticamente la EDO

- Solución Implícita: Diremos que una relación 0),( yx es una solución implícita de la

EDO en el intervalo I, si define una o mas soluciones explícitas en I


1. Demuestre que x

senxy es una solución explícita de xyxy cos'

2. Mostrar que Cyx 224 , donde C es una constante arbitraria proporciona una familia

de soluciones implícitas de la ecuación 04xdx

dyy .

3.- Demuestre que xx ececxf 2

21)( es una solución explícita de 02''' yyy

4.- Demostrar que 0xyeyx es solución implícita de 01)1( xyxy eydx

dyex

5.- Demuestre que 08),( 32 xyyxf es una solución implícita de 02

3 2

y

x

dx

dy en

,2I

Ejemplos para el Aula

1.- Demuestre que xsenxxf cos32)( es una solución explícita para todo real de:

02

2

ydx

yd

2.- Pruebe que 212 xcy es solución de xxyyx 2')1( 2

3.- Pruebe que )ln( xecy es una solución explícita de yxey'

4.- Demuestre que 21 xxy es una solución explícita de

32' xxyy

MATEMÁTICA II


5.- Demuestre que x

Cy

cos es una solución explícita de 0.tan' yxy

6.- Demuestre que 12)( xxxg es una solución explícita de 0

222

2

x

y

dx

yd

7- Probar que 02522 yx es una solución implícita de 0dx

dyyx en .55 xI

8.- Demostrar que ,622 yx es solución implícita de y

x'y

9.- Demostrar que ,13 23 xyx es solución implícita de

10,02xyy 22' xIyx

10. Demostrar que Cyx 224 , es solución implícita de 04xdx

dyy

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

Por un problema con valores iniciales para una ecuación diferencial de orden n :

0,...,,,,2

2

n

n

dx

yd

dx

yd

dx

dyyxF

Se debe entender: “Hallar una solución de la EDO en un intervalo I, que satisfaga en 0x , las n

condiciones iniciales:”

10)1(

10

00

)(

)('

)(

nn yxy

yxy

yxy

Donde Ix0 y 1210 ,...,,, nyyyy son constantes dadas.


1.- Mostrar que xxsenxy cos)( es una solución del problema con valores iniciales

MATEMÁTICA II


1)0('

1)0(

02

2

y

y

ydx

yd

2.- Verifique que la función xx ececx 2

21)( es una solución de 022

2

ydx

dy

dx

yd

para cualquier 21 , cc . Determine 21 , cc de modo que se satisfagan las siguientes

condiciones iniciales. 1)1(';1)1( yy

3.- Verifique si la función xxxy cos)( es una solución del problema con valor inicial

24)4/(;tancos' yxyxy

Ejemplos para el Aula

1.- Verifique que la función xCCx ln)( 21 es una solución del problema con valor

inicial 1)2(';1)2(;0''' yyyxy

2.- Verifique que la función 1222)( xcexxx es una solución del problema con

valor inicial 1)0(;/'2

yyxyy

3.- Verifique que la función 2)( xCeBeAx xx

es una solución del problema con

valor inicial 2)0('';1)0(';0)0(;2'''' yyyxyy

4.- Determine el valor de m para que la función mxx)( sea una solución de la ecuación

dada 052

22 y

dx

dyx

dx

ydx


21)( es una solución de 022

2

ydx

dy

dx

yd

para cualquier 21 , cc . Determine 21 , cc de modo que se satisfagan las siguientes

condiciones iniciales. 3)0(';2)0( yy

MATEMÁTICA II


HOJADE PRÁCTICA

I.- Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales, proporcionar el orden, grado, además

identificar sus variables independientes y dependientes:

1.- )31(

)32(

yx

xy

dx

dy 11.- )1(3 2

5

5

xxdx

yd

2.- 02

2

2

x

ua

x

u 12.-

2

2

x

U

x

U

3.- txdt

dx

dt

xd

dt

xdcos45

2

2

3

3

13.- kNr

N

rr

N

t

N 12

2

4.- 02

2

xtdt

dy

dx

ydx 14.- 05)'(2''3)'''( 43 yyyxyy

5.- yxdx

yd

dx

yd 2

4

4

43

2

2

15.- 2

2

ydx

dy

6.- txdt

dx

dt

xd3cos2943

2

2

16.- )1(84

4

xxdx

yd

7.- 02

2

2

2

y

u

x

u 17.- 0)cos( dxxxydy

8.- 02

2

C

Q

dt

dQR

dt

OdL 18.- ;022

2

2

ydt

dxx

dx

yd

MATEMÁTICA II


9.- 0

4

2

22

3

3

vwdv

wd

dv

wd 19.- ),1)(4( xx

dt

dy

10.- ;0)( 22

2

22 px

dx

dyx

dx

ydx 20.- ;09)1(1.0 2

2

2

ydt

dxy

dx

yd

II.- Verificar si las siguientes funciones son solucione de las ecuaciones diferenciales que los

acompaña:

1.- 013'4''33cos 2

2

2

1 yyyxseneCxeCy xx

2.- )1(22''' 22

21

2 xxyyyeCeCxy xx

3.- 0)(ln ydx

dyxyC

y

xy

4.- 23'

3

1yy

Cxy

5.- 0'2'')cos()(cos xyyxyxxsenxBxsenxxAy

6.- 1cos' xsenyyyCexseny x

7.- 2xxseny 22

2

2

xydx

yd

8.- x

xy

cos, .sectan' xxyy

9.- xxx Ceey

2

2

2' xxxeyy

10.- 1224

1 22 xxCey x xxyy 22' 2

11.- xx Ceey 2

xeyy 2'

12.- 24cos2'2'' 22

21 tttxxxtsentetccx t

13.- senxy xsenxxxyy 2cos2'

14.- tx 2cos tsentxdt

dx2

15.- 22 xeCxy

2

22' xxexyy

16.- ,13 23 xyx 10,02xyy 22' xIyx

17.- 1Cxe y

yexy 1'

18.- Pruebe que 3

)( 2x

x ecexf es una solución explícita de

xeyy 2'

19.- mxexf )( , hallar el valor de m para que la función sea solución de ,056y ''' yy

MATEMÁTICA II


20.- Hallar el valor de m para que la función ,)( mxxf sea solución de

,023y '''''' yy

III Dadas las funciones analizar si )(xf es solución del PVI dado


21)( es una solución de

022

2

ydx

dy

dx

yd para cualquier elección de las constantes 21 , cc . Determine 21 , cc

de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales. 2)1(';1)1( yy

2.- ,24)( 32 xx eexf es solución del PVI: ,2)0(y 6;y(0) 0,6y-yy ''''

IV.- En los siguientes problemas escriba una ecuación diferencial que se ajuste a la

descripción.

1. La velocidad en el instante t de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta es

proporcional a la cuarta potencia de su posición x .

2. La población P de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional al producto de la población

y la diferencia entre la población y 100 000

3. Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de

3/254 t personas por mes. Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno.

4. Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es 2341)( tttv

metros por minuto Determinar la ecuación diferencial que describe el desplazamiento del objeto.

5. La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en los alimentos en un país

es proporcional al número de personas que no ha oído hablar al respecto.

6. La razón a la que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional a la

cantidad de residentes que han sido infectados y al número de residentes propenso a la enfermedad

que no han sido infectados. Expresar la ecuación diferencial que modela el fenómeno.

7. El modelo de Mitsherlich, es un modelo útil de producción agrícola, especifica que el tamaño

)(tQ de un cultivo cambia de modo que la razón de cambio es proporcional a )(tQB , donde

B es el tamaño máximo del cultivo. Escribir esta relación como una ecuación diferencial.

8. La razón de cambio de masa de una partícula en un instante t es proporcional al cociente entre la

cantidad de masa presente y la cantidad de masa inicial.

MATEMÁTICA II


9. La razón de cambio de una población en el instante t es proporcional al cuadrado de la población

en el instante t

10. Después de aplicar los frenos, la aceleración de un automóvil disminuye una razón constante de 10

2/ sm . Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno

11. La razón de cambio de la producción de cierto artículo es proporcional a la diferencia de la

producción en ese instante y la producción inicial.

12. La razón de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado de la masa

de sal presente en el instante t .

13. . La variación de cantidad de sal x que hay en un recipiente en relación al tiempo es igual a la a la

cantidad de sal que entra en el recipiente menos la cantidad de sal que sale.

14. El ritmo de crecimiento de una población de bacterias es proporcional a su población en ese

instante.

Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales

Documents

Transcript of Introduccion a Las Ecuaciones Diferenciales