ECUACIONES DIFERENCIALES

INTRODUCCION El tema de las ecuaciones diferenciales

constituye una rama extensa y muy importante de la matemática moderna. Hecha la afirmación anterior, surgen de manera natural varias interrogantes. Qué es una ecuación diferencial y que significa? ¿Dónde y como se originan las ecuación diferencial y cual es su utilidad. Estas preguntas señalan tres aspectos importantes

del tema: teoría, métodos y aplicación.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL?

Una ecuación que contienen derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes. (derivadas o diferenciales).

CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Tipo:

Ordinarias: ecuación que contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente

Parciales:

Es Una ecuación diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependendientes con respecto a mas de una variable independiente.

Orden:

Primer Orden, Segundo Orden, Tercer Orden, Orden n. Grado:

Lineales: Las variables dependientes (Y) y todas sus derivadas son de primer orden.

No Lineales: Son aquellas que no cumplen con las propiedades lineales.

¿Qué es Orden? Derivada mas alta contenida en una ecuación.

¿Qué es Grado? Potencia elevada mas alta de una ecuación,

siempre y cuando la expresión este en su forma polinomial.

¿Qué es una solución de una ecuación diferencial?

Función que contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad.

¿Qué es una solución de una ecuación diferencial?

Función que contiene derivadas y que satisface a dicha ecuación; es decir, al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación diferencial resulta una identidad

¿Qué es una solución general de una ecuación diferencial?

Función que contiene una o mas constantes arbitrarias(obtenidas de las sucesivas integraciones).

¿Qué es una solución particular de una ecuación diferencial?

Es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor especifico.

Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de

la variable dependiente, contamos con una interpretación geométrica muy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución. Una vez hechas las manipulaciones que sean necesarias para el despeje descrito, la expresión de las pendientes en todos los puntos donde tenga sentido la solución se ajustarán a una función de las coordenadas del punto en estudio.

INTERPRETACION GEOMETRICA

Ejemplo

El plano interseca al elipsoide formando una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la elipse el el punto .

Solución

La ecuación define a implícitamente como una función de e , entonces :

Con lo cual la pendiente de la recta tangente esta dada por

Pero como la recta tangente pasa por el punto , entonces

De donde su ecuación es : ; y sus ecuaciones paramétricas son

INTERPRETACION GEOMETRICA

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Son las curvas que se intersectan formando

ángulo recto. Si dos curvas son ortogonales en un punto, sus tangentes son perpendiculares en el punto de intersección.

Ejemplo.x²+2kx +y² = 0

CAMPOS DIRECCIONALES La terna (x,y,y’) determina la dirección de una

recta que pasa por el punto(x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la representación geométrica del campo direccional.

Ejemplo

Ecuaciones DiferencialesAutor: Isabel carmona JoverEditorial: Pearson

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