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Motivacion y Resultados PreviosDefiniciones Necesarias

ResultadoSobre la Optimalidad del Resultado

La Estructura Natural de Espacio Invariante porReordenamiento sobre el Producto Tensorial

C. Fernandez-Gonzalez, C. Palazuelos, D. Perez-Garca

3 de abril de 2008

C. Fernandez-Gonzalez, C. Palazuelos, D. Perez-Garca La Estructura Natural de Espacio Invariante por Reordenamiento sobre el Producto Tensorial


1 Motivacion y Resultados Previos

2 Definiciones NecesariasEspacios Invariantes por ReordenamientoProductos Tensoriales y Crossnorms

3 ResultadoResultadoPasos de la DemostracionBases Simetricas

4 Sobre la Optimalidad del Resultado



Motivacion y Resultados Previos




El problema sobre la existencia de bases:

* En 1962 Gelbaum y Gil de Lamadrid prueban que si X e Ytienen base, la sucesion producto es base del productotensorial con cualquier uniform crossnorm. Ademas,demuestran que la base producto en el espacio S = `2`2(operadores compactos) no es incondicional.

* Kwapien y Pelczynski demuestran en 1970 que los espacios S1y S no admiten base incondicional.

* En 1974 Gordon y Lewis demuestran que, de hecho, ningunespacio Sp admite base incondicional salvo S2.



Teorema de Pisier-Schutt

En 1978 Pisier y Schutt demuestran independientemente:

Teorema (Teorema de Pisier-Schutt)

Sean X e Y dos espacios de Banach con bases incondicionales(xi )i e (yj)j respectivamente; y sea una norma tensorial.Entonces X Y tiene base incondicional si y solo si la baseproducto (Xi Yj)i ,j es base incondicional.

Observacion

De hecho, Pisier prueba un resultado mas fuerte: Que el productotensorial tenga base incondicional es equivalente a que este espaciotenga la propiedad de Gordon-Lewis. Y por tanto a que tengaestructura de retculo.







Observacion








Observacion





La investigacion sobre la incondicionalidad en productos tensorialessigue siendo una lnea muy activa de investigacion:

* En 2004 I. Villanueva y D. Perez Garca demuestran queninguna de las 14 normas naturales de Grothendieck preservaincondicionalidad

* En 2005 A. Defant y N. Kalton demuestran que el espacio depolinomios m-homogeneos sobre un espacio de Banachinfinito-dimensional nunca tiene base incondicional. Hay variostrabajos detrasde este.

* En 2007 A. Defant y D. Perez Garca definen una normatesorial que preserva incondicionalidad sobre un amplioconjunto de espacios (subespacios de espacios L1,...).

* .....








* .....








* .....








* .....








* .....



Simetra de la base

Interesa mas el caso continuo:

* En sucesivos trabajos (1960-1980) T. Ando, R. ONeil, M.Milman, etc; estudian la estructura de r.i. en el productotensorial de determinados espacios: Lorentz, Orlicz,Marcinkiewicz... Les interesa mas el problema desde el puntode vista de su relacion con los operadores integrales.

* En 1989 C. Read aborda el problema de las bases simetricasen productos tensoriales para una determinada crossnorm ydeterminados espacios. Volveremos a esto al final deltrabajo.

* Finalmente, en 1974 D. H. Fremlin trata el problema de ladefinicion de crossnorms sobre el producto tensorial deretculos de forma que se preserve esta estructura.

* Otros trabajos que citaremos..



Simetra de la base








Simetra de la base








Simetra de la base








Simetra de la base








Espacios Invariantes por ReordenamientoProductos Tensoriales y Crossnorms

Definiciones Necesarias




Espacios Invariantes por Reordenamiento

Sea (,, ) un espacio de medida. Y ( , ) el espacioproducto.

M0() (resp. M0( )) sera el conjunto de funciones mediblessobre (resp. sobre ) K = (R or C)-valuadas.Dada una funcion f M0(), denotamos f la funcion dedistribucion de f , definida por

f (x) := {t : |f (t)| > x},

para todo x 0.





Sea (,, ) un espacio de medida. Y ( , ) el espacioproducto.M0() (resp. M0( )) sera el conjunto de funciones mediblessobre (resp. sobre ) K = (R or C)-valuadas.

Dada una funcion f M0(), denotamos f la funcion dedistribucion de f , definida por

f (x) := {t : |f (t)| > x},

para todo x 0.





Sea (,, ) un espacio de medida. Y ( , ) el espacioproducto.M0() (resp. M0( )) sera el conjunto de funciones mediblessobre (resp. sobre ) K = (R or C)-valuadas.Dada una funcion f M0(), denotamos f la funcion dedistribucion de f , definida por

f (x) := {t : |f (t)| > x},

para todo x 0.





Dada f M0(), el reordenamiento decreciente de f es unafuncion f definida sobre [0,) como

f (t) := nf{x : f (x) t},

t [0,).

Definicion

Un espacio Kothe de funciones X definido sobre el espacio demedida se dice invariante por reordenamiento (r.i.) si verificala siguiente propiedad:

Dadas f , g M0() tal que f (t) g(t) para todo t [0,) yg X (), entonces f X () y f X gX .





Dada f M0(), el reordenamiento decreciente de f es unafuncion f definida sobre [0,) como

f (t) := nf{x : f (x) t},

t [0,).

Definicion

Un espacio Kothe de funciones X definido sobre el espacio demedida se dice invariante por reordenamiento (r.i.) si verificala siguiente propiedad:

Dadas f , g M0() tal que f (t) g(t) para todo t [0,) yg X (), entonces f X () y f X gX .





Se puede reducir el estudio de los espacios r.i. a los espacios demedida = I = [0, 1] con la medida de Lesbegue usual , = [0,) con la medida de Lesbegue usual , y el caso en que es el conjunto de numeros enteros con la medida discreta.En la primera parte del trabajo, denotara uno de los primerosdos casos.

Cuando tenemos un espacio r.i. X = X () sobre , elcorrespondiente espacio r.i. X () sobre es el espacio defunciones medibles x(s, t) sobre tal que x(t) X () , conla norma xX () = xX (), donde x denota elreordenamiento decreciente de x .





Se puede reducir el estudio de los espacios r.i. a los espacios demedida = I = [0, 1] con la medida de Lesbegue usual , = [0,) con la medida de Lesbegue usual , y el caso en que es el conjunto de numeros enteros con la medida discreta.En la primera parte del trabajo, denotara uno de los primerosdos casos.

Cuando tenemos un espacio r.i. X = X () sobre , elcorrespondiente espacio r.i. X () sobre es el espacio defunciones medibles x(s, t) sobre tal que x(t) X () , conla norma xX () = xX (), donde x denota elreordenamiento decreciente de x .





Se puede reducir el estudio de los espacios r.i. a los espacios demedida = I = [0, 1] con la medida de Lesbegue usual , = [0,) con la medida de Lesbegue usual , y el caso en que es el conjunto de numeros enteros con la medida discreta.En la primera parte del trabajo, denotara uno de los primerosdos casos.Cuando tenemos un espacio r.i. X = X () sobre , elcorrespondiente espacio r.i. X () sobre es el espacio defunciones medibles x(s, t) sobre tal que x(t) X () , conla norma xX () = xX (), donde x denota elreordenamiento decreciente de x .




Productos Tensoriales y Crossnorms

Definicion

Dados dos espacios de Banach X ,Y , diremos que es unacrossnorm razonable cuando satisface las condiciones:

1. (x y) = xy para todo x X e y Y , y2. Si x X e y Y , entonces x y (X Y , ) y

tiene xy.

En lo que sigue diremos simplemente crossnorm.

Existen dos crossnorms particularmente interesantes sobre elproducto tensorial X Y : La crossnorm proyectiva , y lacrossnorm inyectiva . Verificandose que cualquier crossnorm satisface .





Definicion

Dados dos espacios de Banach X ,Y , diremos que es unacrossnorm razonable cuando satisface las condiciones:

1. (x y) = xy para todo x X e y Y , y2. Si x X e y Y , entonces x y (X Y , ) y

tiene xy.

En lo que sigue diremos simplemente crossnorm.

Existen dos crossnorms particularmente interesantes sobre elproducto tensorial X Y : La crossnorm proyectiva , y lacrossnorm inyectiva . Verificandose que cualquier crossnorm satisface .





La siguiente familia de crossnorms seran clave en nuestro trabajo:

Sea (, ) un espacio arbitrario de medida, y E un espacio Banach.Entonces para cada p [1,) consideramos el espacio Lp(,E ).Consideremos la aplicacion natural inyectiva

Lp() E Lp(,E )

definida por f x 7 f ()x . Podemos definir la crossnorm

p(f ; Lp,E ) := (

f (w)pEd(w))

1p

on Lp E . La denotaremos por Lp p E y por LppE sucompletacion.





La siguiente familia de crossnorms seran clave en nuestro trabajo:Sea (, ) un espacio arbitrario de medida, y E un espacio Banach.Entonces para cada p [1,) consideramos el espacio Lp(,E ).

Consideremos la aplicacion natural inyectiva

Lp() E Lp(,E )


p(f ; Lp,E ) := (

f (w)pEd(w))

1p






La siguiente familia de crossnorms seran clave en nuestro trabajo:Sea (, ) un espacio arbitrario de medida, y E un espacio Banach.Entonces para cada p [1,) consideramos el espacio Lp(,E ).Consideremos la aplicacion natural inyectiva

Lp() E Lp(,E )


p(f ; Lp,E ) := (

f (w)pEd(w))

1p






Usando un argumento de densidad con funciones simples, se sigueque la identificacion LppE = Lp(, E ) es un isomorfismoisometrico.

En el caso p =, L(,E ) se define de forma analoga.Es facil ver que 1 = sobre L1 E y = sobre L E .

Observacion

L()L() L( ) en los casos que estamosconsiderando.





Usando un argumento de densidad con funciones simples, se sigueque la identificacion LppE = Lp(, E ) es un isomorfismoisometrico.En el caso p =, L(,E ) se define de forma analoga.

Es facil ver que 1 = sobre L1 E y = sobre L E .

Observacion






Usando un argumento de densidad con funciones simples, se sigueque la identificacion LppE = Lp(, E ) es un isomorfismoisometrico.En el caso p =, L(,E ) se define de forma analoga.Es facil ver que 1 = sobre L1 E y = sobre L E .

Observacion






Usando un argumento de densidad con funciones simples, se sigueque la identificacion LppE = Lp(, E ) es un isomorfismoisometrico.En el caso p =, L(,E ) se define de forma analoga.Es facil ver que 1 = sobre L1 E y = sobre L E .

Observacion




ResultadoPasos de la DemostracionBases Simetricas

Resultado y pasos de la Demostracion




Resultado

Como vemos el producto tensorial como espacio de funciones?,Que es lo analogo a la base producto?

Sean X (1), Y (2) y Z (1 2) espacios de Banach defunciones. Consideremos el operador bilineal

B : X (1) Y (2) Z (1 2),

definido como B(x , y)(s, t) = x y(s, t) = x(s)y(t) para todo(s, t) 1 2.




Resultado

Como vemos el producto tensorial como espacio de funciones?,Que es lo analogo a la base producto?Sean X (1), Y (2) y Z (1 2) espacios de Banach defunciones. Consideremos el operador bilineal

B : X (1) Y (2) Z (1 2),

definido como B(x , y)(s, t) = x y(s, t) = x(s)y(t) para todo(s, t) 1 2.




Resultado

La pregunta que vamos a estudiar es:

Que espacios r.i. X ,Y ,Z verifican que existe una crossnorm talque el operador B : X (1)Y (2) Z (1 2) es unisomorfismo topologico de X (1)Y (2) sobre Z (1 2)?(Bes la extension del operador B a la completacion X (1)Y (2)).Obviamente, si consideramos X = Y = Z = Lp y = p para1 p



Resultado

La pregunta que vamos a estudiar es:Que espacios r.i. X ,Y ,Z verifican que existe una crossnorm talque el operador B : X (1)Y (2) Z (1 2) es unisomorfismo topologico de X (1)Y (2) sobre Z (1 2)?(Bes la extension del operador B a la completacion X (1)Y (2)).

Obviamente, si consideramos X = Y = Z = Lp y = p para1 p



Resultado

La pregunta que vamos a estudiar es:Que espacios r.i. X ,Y ,Z verifican que existe una crossnorm talque el operador B : X (1)Y (2) Z (1 2) es unisomorfismo topologico de X (1)Y (2) sobre Z (1 2)?(Bes la extension del operador B a la completacion X (1)Y (2)).Obviamente, si consideramos X = Y = Z = Lp y = p para1 p



Resultado

La pregunta que vamos a estudiar es:Que espacios r.i. X ,Y ,Z verifican que existe una crossnorm talque el operador B : X (1)Y (2) Z (1 2) es unisomorfismo topologico de X (1)Y (2) sobre Z (1 2)?(Bes la extension del operador B a la completacion X (1)Y (2)).Obviamente, si consideramos X = Y = Z = Lp y = p para1 p



Pasos de la Demostracion

Trabajamos sobre = I = [0, 1]. El caso [0,) es similar. Elproblema de bases simetricas se comentara al final.

Descartamos el caso p =:

Lema

No existe ningun espacio r.i. Z tal que exista una crossnorm verificando que el operador B es un isomorfismo topologico desdeL(I )L(I ) sobre Z (I I ).





Trabajamos sobre = I = [0, 1]. El caso [0,) es similar. Elproblema de bases simetricas se comentara al final.Descartamos el caso p =:

Lema

No existe ningun espacio r.i. Z tal que exista una crossnorm verificando que el operador B es un isomorfismo topologico desdeL(I )L(I ) sobre Z (I I ).





El resultado principal que usamos es la caracterizacion de espaciosLp que se da en el trabajo:S. V. Astashkin, L. Maligranda and E. M. Semenov, Multiplicatorspace and complemented subspaces of rearrangement invariantspace, J. Funct. Anal. 202 (2003) 247-276.En el se hace la siguiente construccion:

Dado un espacio r.i. X sobre I , denotamos

V0(X ) = {a X : a 6= 0, a = a}.

Ahora, para cualquier funcion a V0(X ) e intervalos diadicosn,k = [

k12n ,

k2n ], k = 1, 2, , 2

n, n N, consideramos lasdilataciones y translaciones de la funcion a:

an,k =

{a(2nt k + 1) si t [k12n ,

k2n ],

0 en otro caso.





El resultado principal que usamos es la caracterizacion de espaciosLp que se da en el trabajo:S. V. Astashkin, L. Maligranda and E. M. Semenov, Multiplicatorspace and complemented subspaces of rearrangement invariantspace, J. Funct. Anal. 202 (2003) 247-276.En el se hace la siguiente construccion:Dado un espacio r.i. X sobre I , denotamos

V0(X ) = {a X : a 6= 0, a = a}.

Ahora, para cualquier funcion a V0(X ) e intervalos diadicosn,k = [

k12n ,

k2n ], k = 1, 2, , 2

n, n N, consideramos lasdilataciones y translaciones de la funcion a:

an,k =

{a(2nt k + 1) si t [k12n ,

k2n ],

0 en otro caso.





El punto clave de nuestra demostracion es el siguiente resultado,que aparece en el artcullo anteriormente citado:

Teorema (S. V. Astashkin, L. Maligranda y E. M. Semenov)

Sea X un espacio r.i. sobre [0, 1]. Entonces existe un p [1,] talque X = Lp si y solo si existe una constante C > 0 tal que

C12n

k=1

cn,kn,kXaX 2n

k=1

cn,kan,kX

C2n

k=1

cn,kn,kXaX , (1)

para todo a V0(X ) y todo cn,k R conk = 1, 2, , 2n, n = 0, 1, 2, .





El punto clave de nuestra demostracion es el siguiente resultado,que aparece en el artcullo anteriormente citado:

Teorema (S. V. Astashkin, L. Maligranda y E. M. Semenov)

Sea X un espacio r.i. sobre [0, 1]. Entonces existe un p [1,] talque X = Lp si y solo si existe una constante C > 0 tal que

C12n

k=1

cn,kn,kXaX 2n

k=1

cn,kan,kX

C2n

k=1

cn,kn,kXaX , (1)

para todo a V0(X ) y todo cn,k R conk = 1, 2, , 2n, n = 0, 1, 2, .




Idea de la Demostracion

Con esto se puede probar la siguiente proposicion

Proposicion

Dados X , Y , Z espacios r.i. y una crossnorm , si el operador B esun isomorfismo topologico desde X (I ) Y (I ) en Z (I I ),entonces debe existir un p [1,] tal que X = Lp = Y .

El teorema principal se demuestra a partir de este resultado usandorazonamientos de densidad sobre las funciones simples.






Proposicion








Proposicion







Algunas observaciones:

(i) Hemos pedido que el operador B fuese isomorfismo topologicoy sobreyectivo. El caso L muestra que la hipotesis desobreyectividad no es redundante.

(ii) El caso de [0,) se demuestra con un teorema analogo.Teniendo que salvar alguna cuestion tecnica nueva como la

aparicion del espacio = S

. El resultado que se usa eneste caso aparece en:F. L. Hernandez and E. M. Semenov, Subspaces generated bytranslations in rearrangement invariant spaces, J. Funct. Anal.169 (1999) 52-80.

(iii) Notemos que el espacio que funciona bien con la crossnorm es C (K ), ya que C (K )C (L) es isometricamente isomorfo(va el operador B) a C (K L). Pero no es un r.i.!!!!




Bases Simetricas

El problema para espacios separables puede ser traducido a bases.

Que espacios de Banach X e Y con bases simetricas yque crossnorms verifican que la base producto es una basesimetrica del producto tensorial X Y ?La demostracion para este caso es totalmente analoga a la quehemos desarrollado. El teorema que debemos usar, puedeencontrarse en el trabajoZ. Altshuler, Characterization of co and lp among Banach spaceswith symmetric basis, Israel J. Math., 24 (1976) 39-44.




Bases Simetricas

El problema para espacios separables puede ser traducido a bases.Que espacios de Banach X e Y con bases simetricas yque crossnorms verifican que la base producto es una basesimetrica del producto tensorial X Y ?

La demostracion para este caso es totalmente analoga a la quehemos desarrollado. El teorema que debemos usar, puedeencontrarse en el trabajoZ. Altshuler, Characterization of co and lp among Banach spaceswith symmetric basis, Israel J. Math., 24 (1976) 39-44.




Bases Simetricas

El problema para espacios separables puede ser traducido a bases.Que espacios de Banach X e Y con bases simetricas yque crossnorms verifican que la base producto es una basesimetrica del producto tensorial X Y ?La demostracion para este caso es totalmente analoga a la quehemos desarrollado. El teorema que debemos usar, puedeencontrarse en el trabajoZ. Altshuler, Characterization of co and lp among Banach spaceswith symmetric basis, Israel J. Math., 24 (1976) 39-44.




Bases Simetricas

El teorema en este caso queda:

Teorema

Si X , Y son espacios con bases simetricas {xn} e {yn}respectivamente, tal que existe una crossnorm que hace que{xn ym} es una base simetrica en Z = X Y , entoncesX = Y = Z es el espacio `p y = p para algun 1 p



Bases Simetricas


Teorema




Bases Simetricas


Teorema



Sobre la Optimalidad del Resultado




Si uno recuerda el teorema de Pisier-Schutt, y existiese una versionsimetrica, el resultado que damos podra ser mucho mas completo.

Nuestro resultado implicara entonces que, con que el productotensorial tenga base simetrica, sea la que sea, necesariamenteambos espacios son `p o c0 y la crossnorm es p o .




Si uno recuerda el teorema de Pisier-Schutt, y existiese una versionsimetrica, el resultado que damos podra ser mucho mas completo.Nuestro resultado implicara entonces que, con que el productotensorial tenga base simetrica, sea la que sea, necesariamenteambos espacios son `p o c0 y la crossnorm es p o .




Este resultado NO es cierto:

Dados dos espacios de Banach X e Y con bases (xn)n e (ym)mrespectivamente, se define la siguiente crossnorm sobre X Y :

(n,m

an,mxn ym) = n

m

an,mymY xnX .

EnC.J.Read, When E and E [E ] are isomorphic, Geometry of Banachspaces (Strobl, 1989), 245-252, London Math. Soc. Lecture NoteSer., 158, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990.se demuestra que existe un espacio U (Espacio Universal dePelcynsky) tal que tiene base simetrica, U ' UU, pero U no es`p ni c0.




Este resultado NO es cierto:Dados dos espacios de Banach X e Y con bases (xn)n e (ym)mrespectivamente, se define la siguiente crossnorm sobre X Y :

(n,m

an,mxn ym) = n

m

an,mymY xnX .





Este resultado NO es cierto:Dados dos espacios de Banach X e Y con bases (xn)n e (ym)mrespectivamente, se define la siguiente crossnorm sobre X Y :

(n,m

an,mxn ym) = n

m

an,mymY xnX .





En este sentido nuestro resultado no es mejorable. Es optimo!

Algunos Comentarios sobre la NO existencia de Pisier-Schutt simetrico.




En este sentido nuestro resultado no es mejorable. Es optimo!Algunos Comentarios sobre la NO existencia de Pisier-Schutt simetrico.


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ResultadoResultadoPasos de la DemostracinBases Simtricas

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