INSTITUTO TECNOLOGICO DE MINATITLAN

INGENIERIA INDUSTRIAL- 7 SEM.

INVESTIGACION DE OPERACIONES II

DIAGRAMA DE DECISION

EQUIPO:

DENISSE ASTRID HDEZ. CASTELANOSCAR MARIN PEÑADAIRY LIZ MARCIANO MARTINEZYARED LOPEZ GARCIA

UNIDAD 5.- OPTMIZACION DE REDES

Optimización de redes es un tipo especial de modelo en programación lineal. Los modelos de redes tienen tres ventajas importantes con respecto a la programación lineal.

1. Pueden resolverse muy rápidamente. Problemas que con programación lineal tendrían 1000 filas y 30.000 columnas pueden ser resueltos en segundos. Esto permite que los modelos de redes sean usados en muchas aplicaciones (tal como la toma de decisión en tiempo real) para lo cual la programación lineal no es lo ideal.

2. Requieren en forma natural de soluciones enteras. Al reconocer que un problema puede formularse como algún modelo de red nos permitirá  resolver tipos especiales de problemas de programación entera aumentando la eficiencia y reduciendo el tiempo consumido por los algoritmos clásicos de programación lineal.

3. Son intuitivos. Los modelos de redes proveen un lenguaje para tratar los problemas, mucho más intuitivo que "variables, objetivo, restricciones".

MODELOS DE REDES

Los problemas de optimización de redes se pueden representar en términos generales a través de uno de estos cuatro modelos:

Modelo de minimización de redes (Problema del árbol de mínima expansión).Modelo de la ruta más corta.Modelo del flujo máximo.Modelo del flujo del costo mínimo.

APLICACIONES PRÁCTICAS DE LA OPTIMIZACIÓN DE REDES

Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica, de computadores, telefónicas, de televisión por cable, etc.)Diseño de redes de transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etc.)Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje.Diseño de una red de cableado en equipo eléctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable.

 

Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades.Diseño de una red de tuberías de gas natural mar adentro que conecta fuentes del golfo de México con un punto de entrega en tierra con el objetivo de minimizar el costo de construcción.Determinación de la ruta más corta que une dos ciudades en una red de caminos existentes.Determinar la capacidad anual de máxima en toneladas de una red de conductos de pasta aguada de carbón que enlaza las minas carboneras de Wyoming con las plantas generadoras de electricidad Houston. (Los conductos de pasta aguada de carbón transportan éste bombeando agua a través de tubos adecuadamente diseñados que operan entre las minas de carbón y el destino deseado.)Determinación del programa de costo mínimo de los campos petrolíferos a refinerías y finalmente a los campos de distribución. Se pueden enviar petróleo crudo y productos derivados de la gasolina en buques tanque, oleoductos y/o camiones. Además de la disponibilidad de la oferta máxima en los campos petrolíferos y los requisitos de demanda mínima en los centros de distribución, deben tomarse en cuenta restricciones sobre la capacidad de las refinerías y los modos de transporte.

5.1 TERMINOLOGIA

Red: Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices). Las líneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas).

Nodo

Arco

Figura 1. Representación de una Red

A

O

C

B

E

D

T

Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre lo nodos A Y B.En un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre si a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la comercialización o la distribución.

Arcos Dirigidos: Se dice que un arco es dirigido cuando el arco tiene flujo en una dirección (como en una calle de un sentido). La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco.

A B

Figura 2. Representación de un Arco Dirigido

Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se coloca primero al nodo de donde viene y des no como BA. Otra Manera es A B.

Arcos No Dirigidos: Si el flujo a través de pués el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y un arco se permite en ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que es un arco no dirigido.

A B

Figura 3. Representación de un Arco No Dirigido

También se les llama ligadura. Aunque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección, se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrá flujos simultáneos en direcciones opuestas.

Trayectoria: Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan los nodos O y T en la figura 4 es la sucesión de arcos OB-BD-DT (O B D T), y viceversa.

Figura 4. Representación de una Trayectoria

A

O

C

B

E

D

T

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas.

Trayectoria Dirigida: Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j, es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j, a través de esta trayectoria es factible.

Trayectoria No Dirigida: Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) pueden ser hacia o desde el nodo j. Con frecuencia alguna trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i).

Ciclo: Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En la red no dirigida que se muestra en la figura 5 existen muchos ciclos, OA-AB-BC-CO.

Figura 5. Representación de un Ciclo

A

O

C

B

E

D

T

Red Conexa: Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado. Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. Se debe resaltar que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red sea dirigida. La figura 6 representa una red conexa.

Figura 6. Red Conexa

B

A

E

D

C

Capacidad de Arco: Es la cantidad máxima de flujo (quizás infinito) que puede circular en un arco dirigido.

Nodo Fuente: (o nodo de origen) tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo excede al flujo que entra a él.

REDES DIRIGIDAS Y NO DIRIGIDAS

Red Dirigida: Es una red que tiene solo arcos dirigidos.

B

A

E

D

C

Figura 9. Representación de una Red Dirigida

Nodo Demanda: (o nodo destino) es el caso contrario al nodo fuente, donde el flujo que llega excede al que sale de él.

Nodo de Trasbordo: (o nodo intermedio) satisface la conservación del flujo, es decir, el flujo que entra es igual al que sale.

 

En una red dirigida, un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, según si la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.) Por ejemplo en la figura 9 DE-ED es un ciclo dirigido. Por contrario, AB-BC-CA no es un ciclo dirigido puesto que la dirección del arco AC es opuesta a la de los arcos AB y BC. Por otro lado, AB-BC-AC no es un ciclo dirigido porque ABCA es una trayectoria no dirigida.

Red No Dirigida: Es una red donde todos sus arcos son no dirigidos. La figura 10 representa una red no dirigida.

B

A

E

D

C

Figura 10. Representación de una Red No Dirigida

5.4 PROBLEMA DEL FLUJO MAXIMO

El flujo máximo consiste en determinar la máxima capacidad de flujo que puede ingresar a través de la fuente y salir por el nodo de destino.El procedimiento para obtener el flujo máximo de una red, consiste en seleccionar repetidas veces cualquier trayectoria de la fuente al destino y asignar el flujo máximo posible en esa trayectoria.

OBJETIVO: Encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo N sin exceder la capacidad de los arcos.

El problema consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total que puede circular a través de a red en una unidad de tiempo. El único requerimiento en ellos es que para cada nodo ( que no sea la fuente o el destino) la relación de equilibrio debe cumplirse flujo que sale= flujo que entra.

Dicho en términos formales, siendo f= flujo, n= destino, l = origen:

= f, si i= 1= -f, si j= n= 0 en otro caso

De la red

Capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos arcos

Maximizar f sujeto a:

UTILIZACION este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos intermediosCada arco tiene una capacidad que no puede ser excedidaLa capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.

PASOS DEL ALGORITMO DEL FLUJO MAXIMO

1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a cero en el sentido deseado.

2. Encontrar la rama de menos capacidad (pf) del camino seleccionado en el paso anterior y programar el envío de dicha capacidad (pf).

3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad pf en las ramas involucradas y aumentar dicha cantidad en el sentido contrario.

4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.

El parque seervada esta organizado del tal manera que se dispone de una entrada y una serie de senderos que pasan por 5 estaciones intermedias que conducen al mirador, el cual representa la estación terminal.

En la fig. se identifican las 7 estaciones del parque como nodos, con la entrada como nodo (O) y el mirador como nodo (T). La información disponibles en cada arcorepresenta la distancia entre nodos medidos en millas.

EJEMPLO DEL FLUJO MÁXIMO

Para resolver el problema se usa el algoritmo de la trayectoria de aumento, el cual selecciona de manera iterativa las trayectorias de aumento y agrega un flujo igual a su capacidad residual a esta trayectoria en la red original. Este proceso continua hasta que ya no hay mas trayectorias de aumento posibles. Se muestra a continuación el método grafico iterativo para aplicar el algoritmo al caso del parque seervada que incluye la información sobre el flujo máximo por arco.

Primera iteración: a partir de la fig. anterior una de las trayectorias de aumento es O-B-E-T que tiene la capacidad residual igual al min. (7,5,6) = 5. si se asigna un flujo de 5 a esta trayectoria, la red residual que resulta es

Resultando un flujo igual a 5.Para la segunda iteración, se asigna el flujo de 3 a la trayectoria de aumento O-A-D-T. la red residual que resulta es :

Con lo cual el flujo asignado total hasta el momento es 5+3=8. continuando con este procedimiento iterativo, se lleva al punto en que hay mas trayectorias de aumento, obteniéndose:

El flujo total es 14, el cual se obtiene acumulando las asignaciones de flujo o comparando las capacidades residuales finales con las capacidades finales en los arcos, para redes de mayor complejidad el teorema de flujo máximo – cortadura mínima puede ayudar a identificar el flujo máximo (por ser igual al valor de la cortadura mínima para todas las cortaduras de la red).

5.5 PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO

El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Igual que el problema del flujo máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignación, puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mínimo.

A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo:

1.La red es una red dirigida conexa.

2.Al menos uno de los nodos es nodo fuente.

3.Al menos uno de los nodos es nodo demanda.

4.El resto de los nodos son nodos de trasbordo.

5.Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.)

6.La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.

7.El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad.

8.El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío.)

Una empresa fabrica un compuesto químico básico que utilizan otros fabricantes para producir una variedad de productos para pinturas. La empresa tiene dos rutas y ha firmado tratos con dos proveedores de materia prima. Los contratos estipulan una entrega mínima de 500 y 750 toneladas de materia prima por mes, por parte de los proveedores 1 y 2, a los precios de $200 y $210 por tonelada, respectivamente. Se necesitan 1.2 toneladas de materia prima para fabricar una tonelada del compuesto químico básico. Los costos de transporte por tonelada desde fábrica de los proveedores a las dos plantas se resumen en la siguiente tabla:

PROVEEDOR PLANTA 1 PLANTA 21 $10 $12 2 9 13

EJEMPLO DEL FLUJO MINIMO

Las capacidades de producción y el costo por tonelada en las dos plantas se dan a continuación:

PLANTA CTO DE PRODUCCION/ton CAPACIDAD MINIMA (ton) CAPACIDAD MAXIMA (ton)

1 $25 400 8002 28 450 900las demandas mensuales en las dos plantas son de 660 y 800 toneladas. Los costos de transporte por toneladas entre las plantas y los centros de distribución, se dan a continuación: PLANTA CTO DE TRANSPORTE/ton

D1 D2 1 3 4 2 5 2

La siguiente figura muestra la red que representa al problema. El nodo fuente esta dado por el nodo 1. Las ramas (1,2) y (1,3) representan los dos proveedores. Las capacidades mínimas de las ramas reflejan el envío mínimo garantizado para cada proveedor. Como estas ramas no tienen cotas superiores, sus capacidades se resumen como y . Los precios de compra por tonelada para los dos proveedores son $200 y $210, respectivamente.

Para determinar la capacidad de las plantas en el modelo, cada planta se representa con dos nodos, que pueden verse como los puntos de entrada y salida de la planta. Las ramas que conectan los nodos de entrada y salida tienen las siguientes capacidades (400,800) y (450,900). Los nodos de salida de las plantas (nodos 6 y 7) se conectan a los de distribución (nodos 8 y 9) a través de las ramas de transporte (6,8), (6,9), (7,8) y (7,9). Estas ramas son similares a las de transporte que llega a las plantas en los nodos 4 y 5.

Las demandas en los nodos de distribución 8 y 9 están representadas por [-660] y [-800], respectivamente. En forma correspondiente, la oferta en el nodo fuente se especifica como [F]. para que el problema dé una solución factible, la oferta debe ser igual a la demanda total. Sin embargo, debemos tomar en consideración el hecho que los proveedores están tratando con toneladas de materia prima, en tanto que los centros de distribución están tratando con toneladas del compuesto químico. Una discrepancia puede arreglar usando un factor de 1.2 para convertir la materia prima en compuesto químico equivalente.

Por ejemplo, las capacidades de las ramas (1,2) y (1,3) deben reemplazarse por (500/1.2,) y (750/1.2, . En este caso los costos unitarios de compra de los dos proveedores deben ponerse a una escala de los nodos 2 y 3 hacia los nodos 4 y 5. Con esta conversión podemos especificar la cantidad de oferta en el nodo fuente 1 como 660+800=1460 ton (de compuesto químico).

La solución de la red de la figura anterior debería dar la asignación óptima de la oferta de las dos plantas, así como la asignación de la producción de cada planta a los dos centros de distribución. El objetivo es minimizar el costo neto de la operación total.

5.6.- PROGRAMACIÓN LINEAL EN TEORÍA DE REDES

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal.Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1: 

Tipo 2: 

Tipo 3: 

Donde:•A = valor conocido a ser respetado estrictamente;•B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;•C = valor conocido que no debe ser superado;•j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);•a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;•X = Incógnitas, de 1 a N;•i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M. Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización. Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

La función objetivo puede ser:

ó

Donde:fi = coeficientes son relativamente iguales a cero.

Éste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de transporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento de cálculo.

Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es:La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día;La mina "b" otras 40 t/día; y,La Mina "c" produce 20 t/día.

En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen:La central "d" consume 40 t/día de carbón; y,La central "e" consume 60 t/día

Los costos de mercado, de transporte por tonelada son:De "a" a "d" = 2 monedasDe "a" a "e" = 11 monedasDe "b" a "d" = 12 monedasDe "b" a "e" = 24 monedasDe "c" a "d" = 13 monedasDe "c" a "e" = 18 monedas

EJEMPLO DEL FLUJO MINIMO

Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte, tal vez la mayoría opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque es más conveniente que los otros, debido a que es el de más bajo precio.

En este caso, el costo total del transporte es:Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedasTransporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedasTransporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedasTotal 1.400 monedas.

Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal se tienen las siguientes ecuaciones:

•Restricciones de la producción:                                                                                                                                                     

•Restricciones del consumo:

                                                                                                       •La función objetivo será:

La solución de costo mínimo de transporte diario resulta ser:Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedasXa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedasXc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas

Total 1.280 monedas.120 monedas menos que antes.