INVESTIGACiÓN REVISTA MEXICANA DE FlslCA 47 (5) 425-430 OCTUBRE 2001

La nueva termodinámica: la termodinámica de sistemas finitos y tiempos cortosJorge Alberto López Gallardo

Universidad de Texas en El Paso, El Paso, Texas 79968, USA

Recibido el 9 de septiembre de 200 1; aceptado el 9 de septiembre de 2001

Experimentos recientes indican que sistemas pequeños y de corta vida ~rían ten~r fases líquida~ y gaseosa~ y suf~r cambios ent~e .e,lIas.Esto indicarla la existencia de procesos termodinámicos en sistemas chicos y tranSlcntes. Este articulo estudIa esta mteresante posibilidadpresentando algunos resultados experimentales obtenidos en reacciones nucleares y un resumen de la teoría tras eslc fenómeno.

Descriptores: Materia nuclear; reacciones de iones pesadas; cambios de fase; ecuación de estado

Recen!ex.perimenlsindicate (hal short-lived and small systems could have liquid and gaseous phases and experience changes among them.This would indieate lhc exislence of thennodynamie processes in transienl and small systems. This anicle studies this interesting possibililyshowing sorneexperimenlal rcsults oblained in nuclear reactions as wcll as a surnrnaryof the Iheory behind this phcnorncnon.

Keywords: Nuclear mattcr; heavy ion rcactions; ehange of phase; nuclear equalion of state

PACS: 24.IO.Lx; 25.70.Pq; 65.20.+w

I. Introducción

El hecho de que el núcleo atómico se comporta como un lí-quido ha sido conocido por décadas, yeso es lo que dio lu-gar al popular modelo de la gota del núcleo [1]. Asimismo,se sabe que los protones y neutrones pueden fluir dentro delnúcleo con un comportamiento hidrodinámico [2, 3J. Pero laevidencia de que los nucleones (protones y neutrones) pue-dan cambiar de estado de una fase líquida a una gaseosa esmás reciente [4,5]. Este escrito presenta un breve resumen dedatos experimentales y su interpretación te6rica, más detallesse pueden encontrar en el libro de L6pez y Dorso [6].

2. Evaporación nuclear

Puesto que el núcleo se comporta como una gota de líquido,se podría esperar que al calentarse, esta gota pudiera evapo.rar partículas igual que una taza de café caliente emite vaporde agua. Hay diferencias obvias entre los dos casos. Mien-tras que el café contiene millones de millones de moléculasde agua y se calienta durante tiempos largos, en la evapora.ción nuclear los sistemas son pequeñísimos (con menos detrescientos protones y neutrones), y, si el calentamiento espor medio de una reacción nuclear, su duración es de menosde 10-21 segundos.

Otra diferencia importante es que el calentamiento y eva.poración nuclear podría suceder fuera de equilibrio: es decir,ciertas partes del sistema nuclear podrían calentarse y eva-porarse, mientras que el resto no. Sería interesante ver si esposible lograr equilibrio termodinámico en tan corto tiem-po y con lan pocas partículas. De ser asÍ, el resuhado seríasorprendente pues estaría indicando que es posible usar ter-modinámica en procesos rápidos con sistemas tan pequeños.En realidad sería un resultado novedoso e inesperado.

Para determinar si un núcleo puede evaporar partículas,primero se le excita por medio de una reacción. Por ejemplo,

.~ ,'"

~<> ••• '" ~ 8>

EvaporaciónFragm<ffil'ción

FIGURA1. Posible sequencia de pasos para lograr evaporaci6n enun choque de iones pesados.

la de un protón chocando con un nucleo de xenón, p + Xc, aenergías suficientemente altas para que el protón penetre den.tro del xenón. En este caso el protón imparte energía al restodel núcleo incrementando su temperatura.

Al ser excitado, el núcleo compuesto por el protón y el xe-nón, ahora formando un sólo núcleo, reparte su energía entrelos protones y neutrones haciéndolos que se "tennalizen" yque algunos logren escapar produciendo una "evaporación"nuclear. Para ciertas energías, los protones y neutrones po-ddan formar cúmulos de partículas y escapar como tales. Esteescenario se ilustra en la caricatura de la Fig. 1.

La distribución de velocidades o energías de las partículasemitidas en la reacción, estarían relacionadas con la tempe-ratura que haya adquirido el núcleo compuesta al igual quela radiación de "cuerpo negro". Para temperaturas suficien.temente altas, la distribución de energía cinética de las par-tículas emitidas pasará de una distribución de Fcrmi-Dirac auna de Maxwell. La detección de estas partículas y el estu.dio de su distribución de energías es la manera más directade verificar la existencia de evaporación nuclear y el estable-cimiento de equilibrio en procesos rápidos en sistemas pe-queños.

La Fig. 2 muestra precisamente el espectro de energía denúcleos de Oc evaporados en la reacción p +Xc con protonescon energías entre 10.1 y 11.4 GeV [7J. La distribución mos-

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,\00

= '00~~~~ '00

~, 100 120

10'

IO~

~10'

000

~ 10'~10'

10' ..Kinrtir Enl'rllJ (!'th-VI

FIGURA 2. Distribución de energía cinética de Be emitidos en lareacción p + Xc con energías de protón entre 10.1 y 11.4 Gcv. Lalínea punteada es el ajuste de "emisión en movimiento",

trada, fue obtenida con miles de llc que fueron emitidos enmiles de reacciones. Los Be fueron capturados a un ángulode -t8.5° respecto al haz de protones. La curva representa elajuste de los dalos a una distribución de Maxwell.

El hecho de que núcleos de Oe sean emitidos demuestraque la evaporación nuclear existe, y el excelente ajuste ob-tenido a la distribución de energías es prueba de que los Befueron emitidos por un cuerpo en equilibrio térmico. Curvassimilares han sido obtenidas para otros isótopos.

Cabe mencionar algunos detalles experimentales. Los da-tos usados son de choques a diferentes parámetros de impac-to (centrales, periféricos e intermedios), algo de importanciamenor para el caso de choques con protones. Los isótoposde I3e de baja energía no son capturados debido a los lími-tes de detección experimental. Finalmente, debido a que laspartículas son emitidas de una fuente que está en movimiento,la distribución de energía cinética podría estar afectada poreste hecho. Esto se compensa usando un ajuste de "emisiónen movimiento" en lugar de un ajuste de Maxwell normal.Para mayor información ver Refs. 7 y 8.

3. Condensación de gotas nucleares

Así como en el ejemplo anterior se presentó la evaporación denúcleos de I3e, otros nucleos, o "partículas" de otros tamañospueden ser evaporados. Si esta evaporación sucede como unproceso termodinámico, la abundancia relativa de las diferen-les partículas debe de obedecer la llamada "Ley de Fisher" denucleación.

Como se explica en el apéndice e, la distribución de lamasa de las gotas producidas en los cambios de fase está re-lacionada con la nucleación. Nucleación es el proceso pormedio del cual las partículas son emitidas o absorbidas porgotas en la fase líquida. Dependiendo de si la transición defase tiene lugar en la región supersaturada (ver apéndice A),o en la de coexistencia, o en el punto crítico, la distribuciónde masa tendrá una dependencia característica en el tamañode las gotas. Para usar esto como una señal de un cambio defase, se necesita hacer un cuidadoso análisis de la distribuciónexperimental de masa.

o 10 20 .\0 40 50,\

FIGURA 3. Distribución de masa emitida en reacciones de protonen kriptón a 80-350 GeY (top) y neón en oro a 250 y 2100 MeYIN.

En el caso de que el cambio de fase ocurra en la regiónsupersaturada O la de coexistencia, Fig. 7, la distribución detamaños de gotas está dada por una ley de potencias de la for-ma P,(A) = }óA -T modulada por un exponencial dellipoe(¡11l-Jt¡)Aj'1'c-(.hr5u(T)A1/31'f). Esto, en general, resulta enuna distribución de forma de "U", en el punto crítico, sin em-bargo, se modifica pues (", - ",) = O Y lambién a(T,) = O(i.e .• ahí las fases gaseosas y líquidas son indistinguibles). Ladistribución de masa producida por cambios ocurridos en elpunto crítico esta dada por una ley de potencias pura y, comotal, libre de escalas

(1 )

La Fig. 3 muestra tres de las primeras observaciones ex-perimentales de distribuciones de masa A obtenidas en rom-pimientos nucleares. La curva superior muestra la distribu-cion de masa A de los fragmentos producidos en la re-acción p + Kr a energías de prolón de 80-350 GeY [4J.Las otras curvas son de las reacciones neón en oro a 250y 2100 MeY/N [9J. Como se puede ver, estas distribucionesson bien representadas por leyes de potencia, y fueron ini-cialmente tomadas como evidencia de nucleación en el puntocrítico. Sin embargo, el hecho de que haya más de un sólo T,

que varía de 1.5 a 3.1, indica que este no es el caso. Aún apesar de esto, estos datos pueden ser usados para obtener unaindicación de la existencia de un fenómeno crítico.

En principio, una ley de potencias pura debe de existirsólo en rompimientos en el punto crítico, y con un único ex-ponente T independiente del tamaño de sistema. reacción, etc.[ver Ec. (1 )J. Usando un ajuste de ley de pOlencias, se pue-den obtener los exponentes, T, como parámetros de ajuste.Este "exponente aparente" hace las veces de los factores ex-ponenciales de las Ec. (4) y (5), Y toma diferenles valores enlas regiones de supersaturación, coexistencia. y punto crítico.Puesto que los factores exponenciales son menores que 1 fue-ra del punto crítico, la distribución estará modulada por unfactor de reducción dependiente de la masa. Esto hace que ladistribución sea más decayente y el T aparente mayor. Alre-dedor del punto crítico, donde la función exponencial es :::::::1,la distribución debe ser menos decayente, y el exponente apa-rente debe tener su valor mínimo. Este procedimiento, nos

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JORGE ALBERTO LÓPEZ GALLARDO 427

FIGURA 5. Dctcnninación experimental de la curva calórica nu-clear.

••10 Il

T~mpe•..ature (l\leV)•• "

,

3 ~:

f,

oo

•• 00 o

10EO (MeV) "

FIGURA 4. Valores del exponente aparente T obtenido de vanosexperimentos.

debe de dar el exponente crítico real así como una estimaciónde la temperatura crítica obtenida directamente de los datosexperimentales.

La Fig. 4 muestra una compilación de exponentes apa-rentes obtenidos de varios experimentos l'crSllS la "tempc-ratur;'l" obtenida a partir del estudio de la cinemática dela reacción. Los círculos negros son los de las reaccionesl' + Ag (0.21-4.9 GeV), p+ U (4.9, 5.5 GeV), p+Xe, p+Kr(80,350 GeV) y C + Ag, C + Au (0.18, 0.3G GeV) [5]. Loscírculos vacíos son los obtenidos con cinemática inversa enAu+C, Au+AI y Au+Cu a GOO MeV/N [lO]. La dependen-cia en la temperatura de los exponentes aparentes claramentemuestra un mínimo en T::::::: 2 a T::::::: 12 MeV. de acuerdo conlo predicho por las teorías, (ver Fig. 7).

El hecho de que nuevos experimentos sigan producien-do valores distintos del exponente crítico (T '" 2.2 [11-13J Yotros valores [14]), indica que aún no está garantizado que elproceso sea una transición de fase de líquido a gas. La cues-tión de si las distribuciones de carga en forma de leyes de po-tencias identifican a procesos de nucleación, sigue aún siendoun problema sin resolver.

4, Curva calórica

Otra posibilidad para identificar una transición de fase vie-ne de la curva calórica de la materia nuclear. La energía quese agrega durante una transición de fase se usa para romperuniones entre partículas y produce, no un incremento en latemperatura, sino una temperatura constante. La obtención deuna curva calórica nuclear plana indicaría, sin lugar a dudas,la existencia de un cambio de fase. Su obtención experimen-tal, sin embargo, requiere de la extracciór. simultánea de latemperatura lograda en la reacción y la energía de excitacióndepositada durante el choque, algo nada trivial.

Para extraer la curva calórica se necesita usar la tempera-tura que tuvo el sistema mientras la supuesta transición de fa-se tuvo lugar. Experimentalmente, sin embargo, esto es muydifícil de lograr pues son los productos finales los únicos quese detcctan. PochodzaJla y colegas [15] entre otros [IG-18Jhan logrado construir tal curva.

La Fig. S muestra la relación entre la temperatura isotó-pica y la energía de excitación por nucleón obtenida de lasreacciones Au + Au a GOO MeVIN, C, O + Ag, Au a 30y 84 MeVIN, y Nc+ Ta a 8.1 MeVIN [15J. La parte plana queseñalaría una transición de fase de primer orden está clara-mente visible en T", 5 MeV para 3 :'O E' :'O 9 MeV.Tambiénse muestran las curvas esperadas para un sistema de Fermi,E' = aT2 (con a = 1/12 MeV-1), y la expresión clásicaE' = Eo + 3T(2, con un corrimiento de Eo = 1.5 MeV.

Para construir esta curva calórica, se usaron varias supo-siciones en la obtención de la temperatura [19,20], energíade excitación, etc. Cabe mencionar que otros análisis de losmismos datos producen la misma curva sin la parte "clá-sica" [21], lo cual está de acuerdo con la fragmentación degotas de partículas dc Lennard-Jones [22].

Con todas estas reservas, la afarente transición de un lí-quido de Fermi a bajas temperaturas a un sistema clásico aaltas energías, mediado por una región de T constante pareceindicar que una transición de fase es en realidad posible enuna reacción nuclear.

S. Conclusiones

Este artículo presenta datos experimentales para comprobarla existencia de fases en la materia nuclear. Para examinartal posibilidad, un escenario general fue adoptado en el cualun choque entre iones pesados forma un sistema comprimi-do y caliente que se expande rompiéndose en fragmentos ypartículas ligeras.

Así, las partículas emitidas en una reacción experimentalpueden ser atribuídas a una evaporación de una fuente terma-!izada. Esto fue corroborado presentando la distribución deenergía cinética de las partículas emitidas, la cual se ajustabien a una distribución de Max well.

De igual manera, partículas más grandes serían formadasen cambios de fase por medio del proceso de nucleación, ytendrían una distribucion de masa parecida a la ley de po-tencias de Fisher. Datos experimentales obtenidos de la frag-mentación de kriptón por protones, y oro por neón dan los"justes esperados de ley de potencias, con el valor esperadode los exponentes obtenidos.

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~28 LA NUEVA TERMODINÁMICk LA TERMODINÁMICA DE SISTEMAS FINITOS Y TIEMPOS CORTOS

TABLA r. Coeficientes é'0 y EG'

'¿, 0.693

':¿2 = 0.037

Coeficientes isoténnicos

5.4200.082

E'~ - 11.447

ef2 = -0.312E~l - -0.098~

E~2 - 0.845

Coeficientes isentrópicos

til = -2.481

ET2 20.607

ti. = -1.697E~2 17.151

con "2 = 21.1 Mev. "3 = -38.3 Mev. a, = -26.7 Mev y2 .

"5 = 35.9 Mev. Usando £T(n, T) = 2::.=0 £T,(T)n' con loscoeficientes £"1", de la Tabla l. La Fig. 6 muestra las curvas depresión isotérmicas obtenidas con la Ec. (2) en función de ladensidad para varias temperaturas.

En la Fig. 6 la presión tiene el comportamiento normal deun medio clásico. en el que un aumento en la densidad produ-ce uno en la presión (debido a que ap/an > O).Sin embargo.esta Figura también muestra una región donde Dp/Dn < O;ahí un aumento de densidad produce un mayor aumento dela misma. Esta región es inestable, y cualquier nuctuación dedensidad rompe al sistema en partículas gaseosas y en goti-tas en estado líquido. Estas regiones son conocidas corno lasregiones espinodales isotérmicas.

Pero aún antes de que el núcleo entre a las espinodales,hay una región donde, a pesar de que ap/a" > 0, no esnecesario añadir energía extra para remover o agregar nucle-ones al nucleo. En esta región, conocida como la región decoexistencia. no hay oposición para que las partículas aban-donen la fases uniformes, y el sistema se rompa en fases. Esesta región, las fases líquidas y gaseosas están en equilibrio(l.e,. ~iquid = Tga.. .•• Pliquid = TJga...• Y Il.iq •.;d = It,••).

Para la EDE descrita anleriarmente. el diagrama de fa-ses resultante se muestra en la Fig. 7. La curva solida señalael límite de la región de coexistencia y las otras los límitesde las regiones espinodales. Las zonas intermedias son co-nocidas como la región de vapor supercalellfada y la dellíquido superenjriado. El punto máximo es el punto críti-co (ne, Te)' que para nuestra parametrización [Ec. (2)]. ocu-rre en "e = 0.OG1fm-3 y Te = 14.542 MeY.

FIGURA 6, Presión versus densidad para varias temperaturas.

(2)

0.20(rm',

0.1(1

2

.)

La EDE correspondiente es entonces

no 5 ( n ) i/3+ 1p(n, T) = "3L i", - + £T(n, T),

i=2 no

La ecuación de estado (EDE) de un medio relaciona la pre-sión con la densidad n y la temperatura T, p(n, T). lacual se puede oblener de p(n, T) = n2(&(n, T)/an)s'Tomando al núcleo como una colección de fermiones coninteracciones nucleares y de Coulomb, la energía por nu-cleón (a T cero y densidad normal no = 0,15 fm-3) seríade é{no) = -8 MeY. La expresión completa, é{n, T), sepuede obtener considerando al núcleo como un gas libre deFermi y agregandole la energía de interacción.

Existen varias maneras de representar la energía de inte-racción [24-28]. La de Kapusta [27] es sencilla de manipu-lar. y se puede usar junto con el ajuste doble cuadrático deLópez y Dorso [6J que representa el gas libre de fermiones.Sin entrar en detalles. el modelo resultante produce un siste-ma con p = O.£0 = -8 MeY. K = 210 MeY. a la densidadde saturación, así como la energía correcta del gas de Fermipara T = OY densidad baja.

Finalmente, la extracción de la energía de excitación y latemperatura lograda en reacciones de fragmentación, permi-ten obtener la curva calórica nuclear, la cual indica que pa-ra un gran intervalo de energías la temperatura no aumenta,comportamiento característico de los cambios de fase.

En resumen, la termalización parece ser lograda durantelas reacciones nucleares. Existe la evaporación nuclear. Lanucleación parece tencr tiempo suficiente para producir ladistribución de masas esperadas. Las curvas calóricas pare-cen indicar la existencia de un cambio de fase líquido a gas deprimer orden. El hecho de que un efecto macroscópico, comoun cambio de fase, se presente en un sistema microscópico,como el núcleo, es una ilustración del principio "ad augustaper angusta oo.

Apéndices

Para entender los cambios de fase en un sistema, estos debeneslar enmarcados dentro de la ecuación de estado (EDE) yde su diagrama de fases. En el caso de la materia nuclear, aúnno se conoce la EDE ni su diagrama, pero usando argumentosintuitivos es posible obtener una idea muy realista de comodeben de ser éstos. A los lectores interesados en más detallessobre este tema se les recomienda ver la Ref. 23.

Apéndice A

Ecuación de estado nuclear)' diagrama de fases

Rev. Mex. Fís. 47 (5) (2001) 425-430

15

,

/"O.llO

~'rilical/ I'oinl

(1.115 O.HlIlton,il) llm.J,

JORGE ALBERTO LÓPEZ GALLARDO

,~ 20

0.15(J.(l~ 11.10 0.1~ 11.211 O.2~

Ofnsily (fm,J)1l••l11

429

FIGURA 7. Diagrama de fases de la materia nuclear.

Apéndice B

Cambio de fase líquido gas

Expansión iscntrópica. La materia nuclear puede ir de unafase uniforme a una de fases mezcladas si entra en la regiónde coexistencia (ver Fig. 7). En particular para sistemas fini-tos, esto sucede durante la expansión del sistema, como sesupone que pasa en algunas reacciones nucleares. Un choqueentre dos iones pesados podría, en principio, formar un siste-ma comprimido y caliente Que pudiera expandirse y entrar enla región de coexistencia rompiéndose en una mezcla de go-tas y nudeones libres. Puesto que el núcleo compuesto que seforma está aislado, su expansión será adiabática conservandola entropía. Para determinar la manera en que un núcleo seexpande y entra en la zona de coexistencia hay que seguir losposibles caminos isentrópicos.

En términos de densidad, temperatura y entropía,durante el choque el núcleo iría del punto inicial,(11, T, S) = (110' O,O), hasta algún punto con alta compre-sión, temperatura y entropía. 1Z > HO' T > OY S > O. Alexpandirse y disminuir la densidad del sistema comprimido,su temperatura bajará, y mientras el sistema continue en unasola fase no habrá ningún otro cambio de entropía. La Fig. 8muestra posibles evoluciones de sistemas en expansión a en-tropía constante en el plano n-T.

Cambios de fase. Una vez que el sistema nuclear expan-sivo entre en la región de coexistencia, se descompondrá enfases líquidas y gaseosas. La configuración final dependeráde la velocidad de la expansión, así, como también en la cur.va isentrópica que haya seguido durante la expansión.

Cambios de fase isotérmicos de gas a líquido. Existen va-rias posibilidades en la expansión isentrópica de un sistemanuclear. Sistemas nucleares inicialmente en la fase gaseosa.y expandiendose de un punto de partida con T o S altas (¡.e.,encima del punto crítico), como en la curva S = 3 en laFig. 8, puede irse a una fase mixta por la condensación departículas gaseosas en gotitas en la región supercalentada.

Cambios isotérmicos de líquido a gas. Lo~ núcleos que seensanchan lentamente desde una fase líquida y T (o S) sub-críticas. como en la curva S = 1en la Fig. 8. tendrán suficien-

FIGURA 8. Expansión iscntrópica de la materia nuclear con en-tropías S = 1,2 Y3.

te tiempo en la región superenfriada como para permitir queel líquido forme una mezcla de partículas gaseosas y gotitaslíquidas.

Descomposición espinodal isotérmica. Si la expansión deun sistema líquido es lo suficientemente rápida, un núcleoque comenzará de una densidad liquida y temperatura o en.tropía subcrilica (como en la curva S = 2 de la Fig. 8) notendría suficiente tiempo para nuclearse en la región supe-renfriada. En este caso, el núcleo será capaz de alcanzar laespinodal isotérmica y se romperá en una fase mixta por elcrecimiento isotérmico de fluctuaciones de densidad.

Descomposición espinodal adiabática. Si la expansión deun núcleo es lo suficientemente rápida, y comienza de unadensidad alta y temperatura o entropía bajos (como en la cur-va S = 1 de la Fig. 8), el sistema no se romperá en la re-gión superenfriada. Esta vez, el núcleo entrará en la espinodalisentrópica y se romperá en una fase mixta por descomposi-ción espinoda!.

Apéndice eDistrihuci()n del hmmño de las gotas

Un vapor saturado da lugar a una mezcla de líquido y gas pormedio del crecimiento de las gotitas sumergidas en el vapor.De la misma manera, burbujas de vapor puede aparecer enuna fase líquida. Tanto el cambio de líquido a gas y el de gasa líquido pueden tener lugar en la región de metaestabilidad,la cual está delimitada por la curva de coexistencia y la es-pinodal isotérmica (ver Fig. 7). El análisis de tales procesosestá descrito por la teoría de nucleación.

La nucleación es ese proceso en el que una fluctuaciónde densidad crece por medio de la agregación de nucleones ose encoge debido a la evaporación de los mismos. La teoríade fluctuaciónes [29] explica que para sistemas en equilibriotermodinámico, la probabilidad, w(x) de que una magnitud xalcance un valor entre x y dx es w(x) IX eS(r), donde S(x)es la entropía del sistema. Usando el trabajo mínimo nece-sario para variar las condiciones del sistema de forma rever-sible como Rmin se obtiene que w(x) ex:e-llmmlTo, dondeRllIilJ = 6.£ -1;)6.po6.\I, con 6.£, 6.5 Y6.V representa

Rev. Mex. Frs. ~7(5)(200t) ~25-430

430 LA NUEVA TERMODINÁMICA: LA TERMODINÁMICA DE SISTEMAS FINITOS Y TIEMPOS CORTOS

caso en el cual el decaimiento tiene forma de ley de potenciasmás un corte exponencial que domina para masas grandes.

las variaciones de energía, entropía y volumen, respectiva-mente, de la pequeña región donde sucede una fluctuación.To Y Po son los valores medios de la temperatura y presión.En partícu)ar, cuando se trala con un sistema con tempera-tUfa y presión constantes, Rmill = .ó.G. Para fluctuacionesde densidad que producen gOlas, la probabilidad de lener unagota en el vapor está dada por

Estas expresiones pueden ser usadas para explorar los dife-rentes términos que afectan la estabilidad de gotas líquidassumergidas en el vapor.

En el caso en que ,ó,G sea expresado usando los términosde volumen (ex A), y superficie (ex A2/3) de la fórmula demasa del modelo de la gola [IJ, la Ec. (3) se puede reordenarcomo:

Pr(A) = lóA-Tc-[(¡q-,1J~)A+4ITr50"(T)A2/3J/T, (4)

donde Yo es una constante de normalización, JI el poten~cial químico y a la energía superficial. Dependiendo de laposición del sistema en el diagrama de fases, Pr(A) adop-tará formas funcionales diferentes. En la región supersatura-da, JII < Jt" Y la producción está dada precisamente por laEc. (4), la cual muestra un comport<lllliento en forma de "U".

En la región de coexistencia, la condición de equilibrio es(Jtl - Jt,,) = O, entonces

UNN)

w-1..,~;..llf~

La Fig. 9 muestm la distribución de masa resultante enfunción de la masa de los fragmentos para T = 0.5 Te, 0.8 Tey T = T,. (En es le caso se fijó A = 200 Y se usó la temperaturacrítica de nuestra ecuación de estado, T,= 14.542 MeV). in-mediatamente se ve que, en la medida en que nos acercamosal punto crítico, la producción va de ser un decaimiento ex-ponencial hacia una ley de potencias neta.

P,(A) = ¡~rT.

Si el sistema está en el punto crítico, una vez más(/tl - /t,,) = O pero también a(Te) = O, lo cual nos dice quelas fases gaseosas y líquidas son indistinguibles en ese punto.La distribución de maS<l es la ley de potencias pura y libre deescalas mostrada anteriormente [Ec. (1)]

FIGURA 9. Masas resultantes en función del tamaño de los frag-mentos para T = 0.5Te, 0.81~, y Te.

11I"

(3)

(5)

P,(A) ex e-tJ.GIT

P ( ') _ ¡r I-T ,-.llfr5",(T)A2/3/Tr ."1 - 0'''1. e ,

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